Progression Classe de Seconde Mathématiques -...

Groupe des formateurs sur les nouveaux programmes de lycée 2019 - Académie de Rouen

Progression – Classe de Seconde – Mathématiques - 2019

Contenus et capacités étudiés tout au long de l’année :

Le calcul littéral est un « fil rouge » du programme qui est étudié tout au long de l’année. Les contenus suivants sont étudiés régulièrement sans faire l’objet

d’un « cours » particulier :

• Exemples simples de calcul sur des expressions algébriques, en particulier sur des expressions fractionnaires

• Ensemble des solutions d’une équation, d’une inéquation

La résolution des problèmes de géométrie est également un « fil rouge ». La géométrie est un support permettant de faire émerger des problèmes résolus dans

le cadre fonctionnel, le cadre probabiliste, …

• Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est à étudier à un moment de l’année laissé au choix du professeur (+ démonstration de la minimisation

de longueur point/droite)

• La démonstration de la relation trigonométrique cos²(a)+sin²(a)=1 est à étudier à un moment de l’année laissé au choix du professeur

Un choix est fait de travailler très tôt les fonctions de référence afin d’assurer leur maitrise tout au long de l’année (en les utilisant dans des résolutions de

problèmes, dans les automatismes, ...) et d’enrichir les connaissances au fur et à mesure des séquences.

L’algorithmique et la programmation en Python sont utilisées de manière récurrente tout au long de l’année scolaire : les acquis du cycle 4 sont consolidés

(variable, affectation, séquence d’instruction, boucle) et étoffés avec la notion de fonction. L’utilisation d’algorithmes peut être envisagée dans l’ensemble des

séquences proposées. Les exemples d’algorithmes indiqués dans le programme officiel sont indiqués dans la progression proposée. L’utilisation de l’outil

algorithmique ne se limite pas à ceux-ci et doit être étendue à d’autres problèmes.

Le travail autour du vocabulaire ensembliste et de la logique est également récurrent tout au long de l’année et prend sa part dans l’ensemble des séquences

proposées.

Des idées d’automatismes sont proposées en reprenant la séquence précédente. D’autres organisations sont possibles.

Des propositions d’intégration d’histoire des mathématiques sont formulées à titre indicatif. La richesse des situations exploitables permet d’en envisager

d’autres.

La présente progression représente un volume horaire d’environ 30 semaines. Les durées en semaines sont données à titre

indicatif.


Séquence 1 (2 semaines) Manipuler les nombres réels Automatismes Histoire des mathématiques

Contenus Nombres rationnels (D,Q) et réels (R),

encadrement d’un réel par des décimaux,

Intervalles, distance entre nombres réels

Calculs numériques de base, test d’égalité,

résolution équation simple du 1er degré

Implémentation en python de l'algorithme

de Babylone (ou méthode de Héron) pour

approximer racine de 2. (S'appuyer sur

l'approche géométrique basique à savoir

s'approcher de plus en plus d'un carré en

faisant la moyenne arithmétique de la

largeur et de la longueur du rectangle

précédent)

Le nombre de Champernowne

Démonstrations 1/3 n’est pas décimal

Exemple d’algorithme du

programme

Encadrement de racine de 2 par balayage

Exemple de « situation problème » Quel est le plus proche de 1 : 777777774 / 777777775 ou 777777775 / 777777774 ?

Séquence 2 (2 semaines) Les fonctions de référence Automatismes Histoire des mathématiques

Contenus Fonctions affine, carré, inverse, cube, racine carrée Distance entre deux nombres, intervalle et

distance, fraction décimale et différentes

écritures d’un même nombre

Règle de calculs de Matiyasevich

(concerne la courbe d’équation y=x² ) Démonstrations Positions relatives x, x², x³ pour x>=0


programme

-

Exemple de « situation problème » Problème d’optimisation de volume ou d’aire

Séquence 3 (1,5 semaine) Utiliser l’information chiffrée Automatismes Histoire des mathématiques

Contenus Proportion, pourcentage, pourcentage de

pourcentage, évolution

Calcul d’image et d’antécédent à l’aide des

fonctions de référence, calculs avec

relation simple entre variable (U =RI, …),

présentation algorithmique (ou écrite en

Python)

Les cartogrammes d'Emile Levasseur

(carte dont certains paramètres, superficie,

PIB... varient en fonction d'une autre

variable thématique. Cela donne par

exemple une carte de l'Europe avec

beaucoup de rectangles pour chaque pays)

Démonstrations -


programme

-

Exemple de « situation problème » Écriture de courtes fonctions Python répondant à des petits problèmes d’évolution, fonction appelant une autre fonction


Séquence 4 (2 semaines) Vecteurs du plan Automatismes Histoire des mathématiques

Contenus Vecteur, égalité de vecteurs, coordonnées d’un

vecteur, norme

Calculs de proportion et d’évolution

séparément, différencier une évolution

d’une proportion

Description de certains très beaux pavages

de Escher à l'aide du vocabulaire des

vecteurs. Construction de frises du même

style avec fonction principale pour un

motif appelée dans une fonction gérant la

répétition (prg Scratch vs module

turle de python)

Démonstrations -


programme

Exemple de « situation problème » Problèmes faisant intervenir les configurations du plan autour de la longueur et du milieu

Séquence 5 (2 semaines) Utiliser le calcul littéral Automatismes Histoire des mathématiques

Contenus Règles de calculs sur les puissances, racines

carrées, identités remarquables

Calculs et lectures de coordonnées de

vecteurs et de points, théorème de

Pythagore, norme d’un vecteur

Résolution de certaines équations du 2nd

degré (avec paramètre c bien choisi) par la

méthode d'Al-Khwarizmi. Cela met en

lumière l'utilisation de la première identité

remarquable : on dégage la forme

canonique géométriquement sans avoir

besoin de la nommer ou de la désigner

(plus au programme)

Mener un travail sur tableur ou (et) sur

python sur le théorème des deux carrés de

Fermat (décomposition de tout nb premier

de la forme 4n+1 comme somme unique de

deux carrés d'entiers)

Démonstrations Racine carrée d’un produit, d’un quotient,

illustration graphique de (a+b)²


programme

Première puissance supérieure ou inférieure à une

valeur donnée

Exemple de « situation problème » Quels sont les nombres entiers qui peuvent s’écrire comme différence de deux carrés d’entiers ?


Séquence 6 (1,5 semaine) Utiliser l’information chiffrée Automatismes Histoire des mathématiques

Contenus Évolutions successives, évolution réciproque Identités remarquables (102x98), calculs

de puissances, différentes écritures d’une

racine carrée

Ou plutôt une belle histoire du JT de

France 2 regarder et commenter avec les

élèves les propos de Jean-Paul Chapel lors

du JT de France 2 du 19/02/2013.

Démonstrations -


programme

-

Exemple de « situation problème » Paradoxes des pourcentages, évolution de t % non compensée par une baisse de t % (lien avec calcul littéral (1+t’)(1-t’) )

Séquence 7 (1,5 semaine) Représenter algébriquement et

graphiquement les fonctions

Automatismes Histoire des mathématiques

Contenus Fonction définie sur un intervalle (ou une réunion

d’intervalles), courbe représentative, parité

Augmentations successives, augmentation

non compensée, évolution réciproque

Maths dans l'histoire :

qu'est ce qu'une fonction ?

définition d'Euler en 1748 dans Introductio

in analysin infinitorum (étude d'un extrait)

plus restreinte (seulement une expression

analytique) que celle purement algébrique

de Dirichlet formalisée en 1837.

Démonstrations


programme

Exemple de « situation problème » Parmi les fonctions affines, quelles sont celles qui sont paires ? Impaires ?

Séquence 8 (2 semaines) Statistique descriptive Automatismes Histoire des mathématiques

Contenus Indicateurs de tendance centrale, indicateurs de

dispersion

Lecture d’image et d’antécédent, équation

f(x)=k, inéquation f(x)<k

Un peu de topologie...

définition de la distance en norme 1 sur un

exemple simple. Calcul d'un itinéraire

entre deux points sur l'île de Manhattan.

Puis interprétation de la médiane comme

minimiseur en norme 1 sur une série de 3

valeurs. Interprétation de la moyenne

comme minimiseur en norme 2. La racine

carrée du min est l'écart-type.

Démonstrations


programme

Fonction renvoyant la moyenne, l’écart-type et la

proportion appartenant à [m-2s;m+2s]

Exemple de « situation problème » Travail à partir de fichiers de données réelles volumineux ( data.gouv.fr )


Séquence 9 (2 semaines) Opérations sur les vecteurs Automatismes Histoire des mathématiques

Contenus Somme, relation de Chasles, produit, colinéarité Associer à des séries les bons indicateurs

Calcul littéral, équations

Une démonstration du théorème de

Ménélaus (énoncé sans mesures

algébriques) à l'aide d'un déterminant Démonstrations 2 vecteurs colinéaires ssi déterminant = 0


programme

-

Exemple de « situation problème » Problèmes faisant intervenir les configurations du plan autour de l’alignement et du parallélisme

Séquence 10 (2 semaines) Variations et extrémums d’une

fonction


Contenus Croissance, décroissance, monotonie

Maximum et minimum

Vecteurs colinéaires, relation de Chasles,

déterminant

Situation d’alignement et de parallélisme à

partir de la donnée des coordonnées de

points

Pb de l'aire entre les trois demi-cercles (on

peut à cette occasion faire une digression

sur les lunules d'Hippocrate) Démonstrations


programme

Approximation d’un extrémum (balayage,

dichotomie)

Calcul approché de longueur d’une portion d’une

courbe

Exemple de « situation problème » Problème de l’aire de baignade, ...


Séquence 11 (2 semaines) Multiple, diviseur, nombre premier Automatismes Histoire des mathématiques

Contenus Ensembles N,Z

Multiple, diviseur, nombres pair & impairs,

nombre premier

Exploitation de tableau de variation,

lecture graphique sur la courbe, comparer

des images

Faire jouer les élèves en duel au jeu de

"Juniper Green" (ouverture très ambitieuse

programmer une Intelligence artificielle

pour jouer contre un humain, encore

ambitieux mais moins, programmer une

version solitaire = partie la plus longue)

Vérification à l'aide d'un programme

python de la conjecture de Goldbach sur

les premiers entiers pairs.

Extraction d'une racine carrée par diverses

méthodes dont celle géométrique de Liu

Hui

Démonstrations Somme de deux multiples de a est un multiple de a

Le carré d’un nombre impair est impair

Racine 2 est irrationnel


programme

Déterminer si a est multiple de b

Plus grand multiple de a inférieur ou égal à b

Déterminer si un nombre est premier

Exemple de « situation problème » Les fractions d’Erdös : décomposer 4/n en somme de 3 fractions de numérateur 1 (n>=2). Conjecture toujours d'actualité en 2019 !!!

Séquence 12 (2 semaines) Modéliser le hasard, calculer des

probabilités


Contenus Univers, événements, réunion, intersection,

complémentaire

Loi de probabilité, probabilité d’un événement

P(AuB)+P(AnB)=P(A)+P(B)

Dénombrement à l’aide de tableaux et d’arbres

Liste de diviseurs, différentes écritures

d’une racine carrée, fraction irréductible,

nombre premier ou pas ?

Paradoxe de Bertrand (longueur d'une

corde prise au hasard dans un cercle et

probabilité que longueur de cette corde soit

supérieure au côté d'un triangle équilatéral

inscrit dans ce cercle)

Problème du duc de Toscane

Problème du Chevalier de Méré

Insister sur l'importance du choix du

modèle. C'est lui qui fixe le cadre, et qui

donne notre perception du réel, c'est-à-dire

la suite à donner à la mathématisation du

problème.

Démonstrations -


programme

-

Exemple de « situation problème » Problèmes faisant intervenir des dénombrements à l’aide de tableaux ou d’arbres

(Soient a,b les résultats de 2 lancers de dés étude de la loi de proba de min(a,b) ; max(a;b) ; a + b ; a*b ; événement a/b irréductible ?

avec 3 dés a,b,c : le triangle de longueurs a,b,c est-il constructible ? ; celui avec 2 angles de mesure 15*a et 15*b est-il rectangle ?


Séquence 13 (2 semaines) Variations des fonctions de

référence


Contenus Interprétation du coefficient directeur d’une

fonction affine comme taux d’accroissement,

variation

Variation des fonctions carré, inverse, racine

carrée, cube

Produit d’une inégalité par un réel en lien avec le

sens de variation d’une fonction affine

Probabilité manquante dans une loi de

probabilité, calculer probabilité de l’union,

utilisation d’un arbre de dénombrement

Travaux de Newton et Leibniz, un mot sur

leurs méthodes pour une brève présentation

du calcul infinitésimal (ouverture au choix

de la spécialité maths de 1ère)

Démonstrations Variations des fonctions carré, inverse, racine

carrée


programme

Exemple de « situation problème » Problèmes menant à des résolutions d’inéquations en lien avec les sens de variation des fonctions de référence

Séquence 14 (2 semaines) Représenter et caractériser les

droites du plan


Contenus Vecteur directeur d’une droite

Equation de droite (cartésienne, réduite)

Pente d’une droite

Lecture graphique de coefficient directeur,

résolution d’inéquation du premier degré,

exploitation des variations des fonctions de

référence

Etude d'un texte de Descartes, l'un des

fondateurs de la géométrie analytique.

Tache intermédiaire guidée pour aboutir à

la célèbre égalité OH = 3 OG et

l'alignement O,H,G sur la droite d'Euler.

Démonstrations Forme générale d’une équation de droite


programme

Alignement de trois points du plan

Equation de droite passant par deux points

Exemple de « situation problème » Problèmes de rebonds sur un billard, concours des trois médianes d’un triangle


Séquence 15 (2 semaines) Échantillonnage Automatismes Histoire des mathématiques

Contenus Échantillon aléatoire pour une expérience à deux

issues

Version vulgarisée de la loi des grands nombres

Principe de l’estimation d’une probabilité, d’une

proportion

Appartenance d’un point à une droite

d’équation donnée, lecture graphique

d’une équation réduite de droite, associer

droites et équations

Problème du duc de Toscane

Problème du Chevalier de Méré

Démonstrations -


programme

-

Exemple de « situation problème » Problème du duc de Toscane ou un autre historique le problème du Chevalier de Méré

Le jeu du lièvre et de la tortue ; le jeu de franc-carreau ; le jeu de Monty Hall ; illustration du théorème de Césaro (théorie des nombres) avec

une simulation en python et une approximation de la probabilité par la fréquence.


Évaluation – Capacités attendues

Nombres et calculs

Manipuler les nombres réels :

• Associer à chaque point de la droite graduée un unique nombre réel et réciproquement.

• Représenter un intervalle de la droite numérique. Déterminer si un nombre réel appartient à un intervalle donné.

• Donner un encadrement, d’amplitude donnée, d’un nombre réel par des décimaux.

• Dans le cadre de la résolution de problèmes, arrondir en donnant le nombre de chiffres significatifs adapté à la situation étudiée.

Utiliser les notions de multiple, diviseur et de nombre premier :

• Modéliser et résoudre des problèmes mobilisant les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair, de nombre premier.

• Présenter les résultats fractionnaires sous forme irréductible.

Utiliser le calcul littéral :

• Effectuer des calculs numériques ou littéraux mettant en jeu des puissances, des racines carrées, des écritures fractionnaires.

• Sur des cas simples de relations entre variables (par exemple U=RI, d=vt, S=πr², V=abc, V=πr²h), exprimer une variable en fonction des autres. Cas

d’une relation du premier degré ax+by=c.

• Choisir la forme la plus adaptée (factorisée, développée réduite) d’une expression en vue de la résolution d’un problème.

• Comparer deux quantités en utilisant leur différence, ou leur quotient dans le cas positif.

• Modéliser un problème par une inéquation.

• Résoudre une inéquation du premier degré.



Géométrie

Manipuler les vecteurs du plan :

• Représenter géométriquement des vecteurs.

• Construire géométriquement la somme de deux vecteurs.

• Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Lire les coordonnées d’un vecteur.

• Calculer les coordonnées d’une somme de vecteurs, d’un produit d’un vecteur par un nombre réel.

• Calculer la distance entre deux points. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.

• Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.

• Résoudre des problèmes en utilisant la représentation la plus adaptée des vecteurs.

Résoudre des problèmes de géométrie :

• Résoudre des problèmes de géométrie plane sur des figures simples ou complexes (triangles, quadrilatères, cercles).

• Calculer des longueurs, des angles, des aires et des volumes.

• Traiter de problèmes d’optimisation.

Représenter et caractériser les droites du plan :

• Déterminer une équation de droite à partir de deux points, un point et un vecteur directeur ou un point et la pente.

• Déterminer la pente ou un vecteur directeur d’une droite donnée par une équation ou une représentation graphique.

• Tracer une droite connaissant son équation cartésienne ou réduite.

• Établir que trois points sont alignés ou non.

• Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes.

• Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes.



Fonctions

Se constituer un répertoire de fonctions de référence :

• Pour deux nombres a et b donnés et une fonction de référence ƒ, comparer ƒ(a) et ƒ(b) numériquement ou graphiquement.

• Pour les fonctions affines, carré, inverse, racine carrée et cube, résoudre graphiquement ou algébriquement une équation ou une inéquation du type

ƒ(x)=k, ƒ(x)<k.

Représenter algébriquement et graphiquement les fonctions :

• Exploiter l’équation y=ƒ(x) d’une courbe : appartenance, calcul de coordonnées.

• Modéliser par des fonctions des situations issues des mathématiques, des autres disciplines.

• Résoudre une équation ou une inéquation du type ƒ(x)=k, ƒ(x)<k, en choisissant une méthode adaptée : graphique, algébrique, logicielle.

• Résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient, à l’aide d’un tableau de signes.

• Résoudre graphiquement ou à l’aide d’un outil numérique, une équation ou inéquation du type ƒ(x)=g(x), ƒ(x)<g(x).

Étudier les variations et les extrémums d’une fonction :

• Relier représentation graphique et tableau de variations.

• Déterminer graphiquement les extremums d’une fonction sur un intervalle.

• Exploiter un logiciel de géométrie dynamique ou de calcul formel, la calculatrice ou Python pour décrire les variations d’une fonction donnée par une

formule.

• Relier sens de variation, signe et droite représentative d’une fonction affine.



Statistiques et probabilités

Utiliser l’information chiffrée et statistique descriptive :

• Exploiter la relation entre effectifs, proportions et pourcentages.

• Traiter des situations simples mettant en jeu des pourcentages de pourcentages.

• Exploiter la relation entre deux valeurs successives et leur taux d’évolution.

• Calculer le taux d’évolution global à partir des taux d’évolution successifs.

• Calculer un taux d’évolution réciproque.

• Décrire verbalement les différences entre deux séries statistiques, en s’appuyant sur des indicateurs ou sur des représentations graphiques données.

• Pour des données réelles ou issues d’une simulation, lire et comprendre une fonction écrite en Python renvoyant la moyenne m, l’écart type s, et la

proportion d’éléments appartenant à [m-2s , m+2s].

Modéliser le hasard, calculer des probabilités :

• Utiliser des modèles théoriques de référence (dé, pièce équilibrée, tirage au sort avec équiprobabilité dans une population) en comprenant que les

probabilités sont définies a priori.

• Construire un modèle à partir de fréquences observées, en distinguant nettement modèle et réalité.

• Calculer des probabilités dans des cas simples : expérience aléatoire à deux ou trois épreuves.

Échantillonnage :

• Lire et comprendre une fonction Python renvoyant le nombre ou la fréquence de succès dans un échantillon de taille n pour une expérience aléatoire à

deux issues.

• Observer la loi des grands nombres à l’aide d’une simulation sur Python ou tableur.

• Simuler N échantillons de taille n d’une expérience aléatoire à deux issues. Si p est la probabilité d’une issue et ƒ sa fréquence observée dans un

échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre p et ƒ est inférieur ou égal à 1/racine(n).



Algorithmique et programmation

Utiliser les variables et les instructions élémentaires :

• Choisir ou déterminer le type d’une variable (entier, flottant ou chaîne de caractères).

• Concevoir et écrire une instruction d’affectation, une séquence d’instructions, une instruction conditionnelle.

• Écrire une formule permettant un calcul combinant des variables.

• Programmer, dans des cas simples, une boucle bornée, une boucle non bornée.

• Dans des cas plus complexes : lire, comprendre, modifier ou compléter un algorithme ou un programme.

Notion de fonction :

• Écrire des fonctions simples : lire, comprendre, modifier, compléter des fonctions plus complexes. Appeler une fonction.

• Lire et comprendre une fonction renvoyant une moyenne, un écart type. Aucune connaissance sur les listes n’est exigée.

• Écrire des fonctions renvoyant le résultat numérique d’une expérience aléatoire, d’une répétition d’expériences aléatoires indépendantes.

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