Problemas resueltos de Progresiones Aritméticas y geométricas

Los problemas aquí expuestos fueron tomados del libro “1000 problemas de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría” de N. Antonov, M. Vygodsky, V. Nikitin y A. Sankin. Editorial MIR.

Algunas definiciones previas.

Sucesiones.

Una sucesión real es un conjunto ordenado de números reales: a1, a2, a3, a4, a5, a6,.......donde cada elemento de la sucesión es llamado término de la sucesión, dichos términos están descritos con subíndices: 1 para el primero, 2 para el segundo, etc, así por ejemplo, a3 denota el tercer término de la sucesión y en general an denotará el n-ésimo término de la sucesión.Los términos de las sucesiones se pueden determinar a partir de cierto criterio o regla de formación.

Progresiones aritméticasLas progresiones aritméticas son sucesiones de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia o razón aritmética la cual se representaremos por d.

Asi por ejm: 8, 3, -2, -7, -12, ..., es una progresión aritmética, cuyo primer término es 8, y cada uno de sus término, con excepción del primero, se obtiene sumando -5 al anterior, esto es d = -5

En una progresión aritmética a1, a2, a3, a4, a5, a6,....., la diferencia de un término con el anterior es siempre d.

Progresiones geométricas.Las progresiones geométricas son sucesiones de números u1, u2, u3, …, en las que cada término, salvo el primero, se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija q, llamada razón.

Así por ejm: 3, 6, 12, 24, 48, ..., es una progresión geométrica, cuyo primer término es 3 y cada uno de ellos, salvo el primero, se obtiene del anterior multiplicándolo por 2, esto es, la razón q = 2En una progresión geométrica, el cociente de un término entre el anterior es siempre la razón q

Notación

a1 = primer término de la progresión aritmética

an = n-ésimo término de la progresión aritmética

d = razón o diferencia de la progresión aritmética

u1 = primer término de una progresión geométrica

un =n-ésimo término de una progresión geométrica

Sn = suma de los n primeros términos en una progresión (ya sea aritmética o geométrica)

S = suma de una progresión geométrica decreciente indefinidamente.

Fórmulas para progresiones aritméticasPuesto que cada uno de los términos en una progresión aritmética, salvo el primero, se obtiene sumando la diferencia d al anterior, entonces

a1 = a1

a2= a1+d

a3= a1+2d

a4 = a1 + 3d

…

an= a1 + (n-1)d

fórmula que nos permite conocer el n-ésimo término, teniendo como datos el primero y la diferencia d

Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

Fórmulas para progresiones geométricas.

término n-ésimo

Puesto que cada término (con excepción del primero), en las progresiones geométricas, se obtiene multiplicando el anterior por una constante o razón q, tendremos

u1 = u1

u2= u1qu3 = u2q = (u1q)q = u1q2

…un =un-1q = (u1qn-2)q = u1qn-1

un = u1qn-1

Suma de los n primeros términos en una progresión geométrica.

Si q > 1, restando (1) de (2) se tiene

Si q < 1, restemos (2) de (1), para obtener

y en este caso, cuando q < 1, al hacer crecer n , q se hace pequeño (tiende a cero) y por lo tanto

Problemas resueltos de progresiones Aritméticas

1. ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión aritmética 5, 9, 13, 17,…, para que la suma valga 10 877?

Solución. Los datos que tenemos son: , d = 4, Sn = 10 877

Conviene emplear la fórmula

Sn =

sustituyendo los datos en la fórmula se tiene

por la naturaleza de n, descartamos la raíz , de manera que n = 73, esto es, deben tomarse 73 términos de la progresión para que la suma de todos ellos sea 10 877

2 Hallar una progresión aritmética sabiendo que la suma de sus primeros cuatro términos es igual a 26 y el producto de esos mismos términos vale 880

Solución.

sabemos que

de (1) se tiene

sustituyendo este valor en (2) tendremos

poniendo D = d2 , se tiene

D=1690±√(−1690 )2−4 (9 ) (14481 )

2 (9 )

de manera que, tenemos cuatro valores para d y por lo tanto cuatro soluciones.

puesto que de (1)

se tiene para el caso d1 = 3

primera solución: 2, 5, 8, 11, 14, ….

para d2 = -3

segunda solución: 11, 8, 5, 2, -1, …

para ,

obteniéndose una tercera solución

,…

finalmente, para ,

y la cuarta solución será

3. En una progresión aritmética, el término p-ésimo .

Expresar el término n-ésimo en función de n, p y q.

Solución.

Por hipótesis

resolviendo por determinantes el sistema, para

determinante del sistema

determinante para a1

determinante para d

y por lo tanto

y puesto que

4. Hallar la suma de todos los números naturales de dos cifras, 10,11,12,…, 97,98,99

Solución.

Los número naturales de dos cifras, 10, 11, 12, …, 97, 98, 99 forman una progresión aritmética de razón d = 1, su primer término y el último an = 99

Empleando tendremos

y por lo tanto la suma de estos 90 términos será

la suma de todos los números naturales de dos cifras es pues, 4905

5. Hallar cuatro números impares sucesivos sabiendo que la suma de sus cuadrados excede en 48 a la suma de los cuadrados de los números pares contenidos entre ellos.

solución.

Sean los números impares que se mencionan, entonces los números

pares intercalados entre ellos serán: .

Por hipótesis se tiene

sumandos que se pueden reordenar como

de manera que tenemos dos soluciones posibles

primer solución: 3, 5, 7, 9

segunda solución: -9, -7, -5, -3

6. Una progresión aritmética tiene 20 términos. La suma de los términos que ocupan lugares pares vale 250 y la de los términos que ocupan impares vale 220, Encuentre los dos términos centrales de la progresión.

Los términos pares constituyen o forman una progresión aritmética de razón

común 2d y el número de términos es 10. Usando la fórmula , en la que

debe ser sustituida por y d por 2d con lo que se tendrá

es decir

De manera similar para los 10 términos , de lugares impares tendremos

, o sea

de (I) y (II) se tiene d = 3 ; a1 = -5

siendo entonces la progresión -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52

los términos centrales serán , o sea

7. Dada la sucesión de expresiones , demostrar que forman una progresión aritmética y encuentre de sus n primeros términos.

solución. Sea

entonces

y

de manera que los términos , forman una progresión aritmética de razón

por lo que, por ejemplo,

la suma de los n primeros términos lo calculamos con

8. Si se representan con las sumas de los primeros términos de una progresión aritmética, demostrar que

Demostración.

De acuerdo a la hipótesis y empleando la fórmula

, se tiene

multiplicando las igualdades de la derecha por , respectivamente, se tendrá

y sumando miembro a miembro se tiene

es fácil ver que los términos del segundo miembro encerrados en corchetes suman cero, por lo que

que era lo que se quería demostrar

9. Encuentre la progresión aritmética en la que el primer término sea 1 y la suma de los cinco

primeros términos sea de la suma de los cinco términos siguientes.

solución.

Por hipótesis

Ahora, empleando la fórmula

de manera que la progresión buscada es

10. Encuentre una progresión aritmética en la que, la suma de un de un número cualquiera de

términos sea siempre el triple del número de términos elevado al cuadrado.

Solución.

Por hipótesis , esto es

y como , podemos dividir ambos miembros por n y tener

por hipótesis esto se tiene que cumplir para toda n, y como el segundo miembro depende de n,

esto se cumplirá sólo si , quedando

siendo entonces , la progresión buscada.

11. Hallar la suma de todos los número de dos cifras que, al dividirse por 4, den como resto launidad.Solución.

los números que al dividirse por 4 dan como resto uno son de la forma , siendo k un número natural cualquiera, estos números forman una progresión aritmética de razón 4. El primer

número de dos cifras de este tipo es , el último es .Mediante la fórmula

con , hallamos

de manera que hay 22 números de dos cifras con esta propiedad y su suma será

Problemas resueltos de Progresiones Geométricas

12. Intercalar tres números medios geométricos entre los números 1 y 256. Los números intercalados, junto con el primero y el último formarán una progresión geométrica.

Solución.

pongamos

entonces, de acuerdo a la fórmula de progresiones geométricas se tiene

y por lo tanto

entonces la progresión es: , siendo 4, 16 y 64 los tres números geométricos intercalados.

13. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que la suma del primero con eltercero es igual a 52 y que el cuadrado del segundo es 100.

Solución.

Por hipótesis

entonces

ahora bien, por las propiedades de los términos geométricos

teniendo la suma y el producto de podemos decir que son soluciones de la ecuación

o sea

y como

se tendrán las progresiones 2, 10, 50 ó 2, -10, 50 , para el primer casoy las progresiones 50, 10, 2 ó 50, -10, 2 , para el segundo caso

14. Escribir los primeros términos de una progresión geométrica en la cual la diferencia entre el tercer y primer término sea igual a 9 y la diferencia entre el quinto y el tercero sea igual a 36

solución.

por hipótesis

aplicando la fórmula , podemos escribir las ecuaciones anteriores como

de la ecuación (2) se tiene

y sustituyendo lo de la ecuación (1) en el paréntesis , se tiene

sustituyendo esto en la ecuación (1) se tiene

y por lo tanto tendremos como resultado dos progresiones

3, 6, 12, 24, 48, … ( con q = 2 )3, -6, 12, -24, 48, … ( con q = -2 )

15. Hallar cuatro números en progresión geométrica tales que la suma de los extremos valga 27 y el producto de los medios sea igual a 72.

Solución.

sean los términos , entonces por hipótesis

por estar en progresión geométrica los términos se tiene que

y por lo tanto, las relaciones de la hipótesis quedan

términos que son raíces de la ecuación

pudiendo ser, entonces

teniendo en cuenta que para el primer caso se tiene

teniéndose en este caso la los cuatro términos en progresión geométrica 3, 6, 12, 24

para el segundo caso se tiene

lo cual nos da la progresión geométrica de cuatro términos 24, 12, 6, 3

16. hallar cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la suma de los extremos es igual a 35 y la suma de los medios es igual a 30

Solución.Por hipótesis se tiene

ecuaciones que se pueden escribir

dividiendo estas ecuaciones se tendrá

resolviendo la ecuación

sustituyendo el primer valor en se tiene

obteniéndose la progresión:

similarmente, para el segundo valor , se tendrá

obteniéndose la progresión

17. determinar una progresión geométrica en la que

Solución.

Empleando la fórmula en la segunda ecuación tendremos

Ahora para determinar el primer término emplearemos la fórmula

siendo entonces la progresión

18. Una progresión geométrica consta de cinco términos, su suma, sin el primer término, vale 19.5 y la suma, sin el último término vale 13, calcular los extremos de la progresión.

Solución. Por hipótesis

de la ecuación ( 1 ), y empleando el hecho de que , se tiene

puesto que la suma de los cuatro primeros términos es 13, empleando la fórmula

y puesto que o sea

19. Hallar el primer término y la razón de una progresión geométrica que consta de nueve términos, tales que el producto de sus extremos sea igual a 2304 y la suma de los términos cuarto y sexto sea igual 120.

Solución.

Por hipótesis Ahora bien, se puede ver que

por lo tanto tenemos que

Primer caso. Si

entonces

y como

si

si De manera que para este primer caso se tiene

Segundo caso. Si

de donde

siendo , entonces, el segundo caso

20. Tres números forman una progresión geométrica. Su suma vale 126 y su producto 13824.

Hallar estos números.Solución.Por hipótesis

por estar los números en progresión geométrica

de manera que

o sea que tenemos la suma y el producto de por lo que podemos considerarlos como raíces de

de donde

obteniéndose por lo tanto, como solución, las dos ternas de número en progresión geométrica

21. Una progresión geométrica consta de un número par de términos. La suma de todos ellos es igual al triple de la suma de los términos impares. Determine la razón q de la progresión.

Solución.

Sea dicha progresiónpor hipótesis se tiene

si pasamos todos los impares del primer miembro al segundo se tendrá

esto es

y como en una progresión geométrica , entonces, el numerador del cociente anterior, se puede escribir

de manera que

progresiones geométricas decrecientes indefinidamente

22. Demostrar que los números

constituyen una progresión geométrica decreciente indefinidamente y hallar el límite de la suma de sus términos

Solución.Para demostrar que los números dados constituyen una progresión geométrica decreciente los

cocientes deben ser iguales y cada uno de ellos menor que la unidadEn efecto

esto demuestra que los números dados forman una progresión geométrica decreciente cuya suma

es

multiplicando por

23. Calcular el valor de la expresión

después de demostrar que los sumandos entre corchetes son términos de una progresión geométrica decreciente.

Solución. Igual que en el problema anterior demostremos primero que la expresión entre corchetes es una progresión geométrica decreciente y encontremos su suma

siendo la suma

de manera que el producto buscado será

24. Hallar los términos de una progresión geométrica decreciente indefinidamente en la que

todos los términos son positivos, el primero vale 4 y la diferencia entre el tercero y el

quinto vale Solución. Por hipótesis

teniendo en cuenta que , la segunda igualdad quedaría

y como

haciendo

cuyas soluciones son

ambas raíces positivas son menores que la unidad, por lo que se tienen dos progresiones

decrecientes indefinidas con sumas

25. Determinar la suma de una progresión geométrica decreciente indefinidamente si se sabe que la suma de los términos primero y cuarto es 54 y la suma del segundo con el tercero vale 36.

Solución. Por hipótesis

empleando la fórmula

sistema que se puede escribir

dividiendo la primer ecuación entre la segunda se tiene

sustituyendo la raíz válida en se tiene

y la suma de la progresión será

Leonardo Sáenz Baez, Enero de 2014