Progresiones geométricas

Reflexiones Matemáticas Nagua, Rep. Dom.

Reflexiones Matemáticas Prof. Joel Amauris Gelabert 829-292-9484.

Progresiones Geométricas.

Una progresión geométrica es aquella en la que cada término después del primero se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón. Ejemplos.

a. 2, 10, 50, 250,………… b. 3, 9, 27, 81, 243,……... c. 5, 15, 45, 135,……….... d. 7, 21, 63, 189,………....

Término N-ésimo de una progresión geométrica.

Para hallar el término n-ésimo de una progresión geométrica usamos la fórmula:

An=a1 (Rn-1), donde a1 es el primer término, R es la razón y n es la cantidad de términos de la progresión. Ejemplo 1.

Halle el término número 20 de la P. G. 3, 6, 12, 24,…….

Solución:

En este caso a1=3, para obtener la razón se divide un término cualquiera entre su

anterior, por lo que R=

= 2 y n= 20.

Datos: Solución:

a1=3 An=a1 (Rn-1)

R= 2 An=3 (220-1)

n= 20 An=3 (219)

An=3 (524,288)

An=1, 572, 864

Ejemplo 2.

Halle el décimo término de la progresión: 3, 9, 27,……….

Datos: An=a1 (Rn-1)

a1=3 An=3 (310-1)

R= 3 An=3 (39)

n= 20 An=3 (19,683)

An=59,049.

Ejemplo 3.

Si el primer término de una P. G. de 11 términos es 5, halle el último término sabiendo que la razón es 3. Datos: Solución:

a1=3 An=a1 (Rn-1)

R= 3 An=3 (311-1)

n=20 An=5 (310)

An=5 (59,049)

An=295,245.

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Fórmulas que se usan en las progresiones geométricas.

Si en la formula An=a1 (Rn-1) se despeja a a1 tendremos que:

a1=

Esta fórmula se utiliza para hallar el primer término.

Ahora despejaremos a R.

An=a1 (Rn-1) Se divide todo por a1

Rn-1 =

ahora se busca la

y n

a1

por lo que:

=

n

a1

luego:

R= n

a1

Esta fórmula se utiliza para hallar la razón.

De igual forma, si queremos saber la cantidad de términos que tiene una P. G. se despeja a n. An=a1 (Rn-1) En este caso:

Rn-1 =

para despejar a n aplicamos la operación de logaritmación.

Log (Rn-1)=Log [

(n 1) Log R= Log [

ahora dividimos por Log R en ambos lados.

n 1=

n=

+1 Con esta fórmula se calcula el número de términos.

Ejemplo 4.

¿Cuántos términos tiene una P. G. si el primero es 3, la razón es 4 y el último es 196,608? Solución: Datos:

a1= 3 R=4

An=196,608 n=?

n=

+1

n=

,

+1 =

,

+1=

.

. +1

n= 8+1

n= 9

La progresión está formada por 9 términos.



Ejemplo 5.

Halle el primer término de una P. G. de 11 términos sabiendo que la razón es 3 y que el último es 295,245. Solución: Datos:

An=295,245 R= 3 n=11

a1=? Ejemplo 6.

Halle la razón de una P. G. de 9 términos sabiendo que el primero es 7 y el último es 458,752. Solución: Datos:

a1=7

An=458,752 n=9 R=?

Suma de los términos de una progresión geométrica.

Para hallar la suma de los términos de una P. G. usamos la fórmula:

Sn=

Ejemplo 1.

Halle la suma de los primeros 12 términos de la progresión: 3, 12, 48, 192,………..

Datos: Solución:

a1=3 n=12 R=4 Sn=?

a1=

a1= ,

=

,

,

a1= 5

R=

R= ,

R= 65,536

R=4

Sn=

Sn=

Sn= , ,

Sn= , ,

=

, ,

Sn= 16,777,215



Ejemplo 2.

Halle la suma de los primeros 10 términos de una P. G. Sabiendo que el primero es 5, la razón es 3 y el último es 98,415. Datos: Solución: a1=5 n=10 R=3 Sn=?

Ejemplo 3.

Pedro inicia guardando $20,000 pesos y por cada día que pasa después del primero guarda la mitad de lo que guardó el día anterior. ¿Cuánto tendrá guardado a los 10 días?

Datos: Solución: a1=20,000 n=10

R=

= 0.5

Sn=?

Sn=

Sn=

Sn= , ,

Sn= , ,

=

, ,

Sn=24,414,060.

Sn=

Sn= , .

.

Sn= , .

.

Sn= , .

. =

, .

.

Sn= 39,960.94

A los diez días Pedro tendrá guardado $39,960 pesos con 94 ctvos.

http://es.123rf.com/photo_13097321_pensamiento.html



Aplicación de las progresiones geométricas en la solución de problemas.

Una de las muchas utilidades de las progresiones geométricas es su aplicación en la solución de problemas relacionados con situaciones de nuestra vida cotidiana. Ejemplo 1.

Juan inicia un plan de ahorro por 20 días. El primer día ahorra 1 peso con 50 ctvos y por cada día que pasaba ahorraba el doble de lo que había ahorrado el día anterior. ¿Cuánto tendrá que ahorrar el día número 20?

A los 20 días ¿Cuánto tendrá ahorrado en total? Datos: Solución:

a1=1.5 n=20 R=2 An=? A los 20 tendrá que ahorrar $786,432 pesos. Para responder la segunda pregunta debemos calcular la suma de los términos de la progresión. Datos: Solución:

a1=1.5 n=20 R=2 A los 20 días tendrá un ahorro total de $ 1,572,862.5

An=a1 (Rn-1)

An=1.5 (220-1)

An=1.5 (219)

An=1.5 (524,288)

An=786,432.

Sn=

Sn= .

Sn= . , ,

Sn= 1.5 (1,048,575)

Sn=1,572,862.5




Interpolación de medios geométricos.

La interpolación es un procedimiento que nos permite, dados los extremos de una P. G. hallar los términos que van ubicados entre el primer termino y el ultimo. Ejemplos 1. Interpolar 4 medios geométricos entre 5 y 1,215.

Datos: Solución. a1=5 An=1,215. n=6 En este caso la P. G. que se forma es: 5, 15, 45, 135, 405, 1,215. Ejemplo 2. Interpolar 6 medios geométricos entre 3 y 49,152.

Datos: Solución. a1=3 An=49,152. n=8

R=

R= ,

R= 243

R=3

En este problema n=6 ya que tenemos los dos extremos y en medio de ellos introduciremos 4 términos. Como primer paso debemos calcular la razón para luego determinar los términos que componen la progresión.

R=

R= ,

R= 16,384

R=4




Evaluación.

Halle el término número 12 de las P. G. siguientes.

a. 2,8,32,128,………..

b. 7,21,63,189,……...

c. 4,2,1,0.5,…………

d. 3,12,48,192,…….

e. 5,15,45,135,…….

Resuelve los siguientes ejercicios.

1. Halle el primer término de una P. G. de 7 términos sabiendo que el primero

es 8, el último es 91.125 y la razón es 1.5

2. Si el primer término de una progresión geométrica de 9 términos es 7 y la razón es 2 ¿Cuál es último?

3. ¿Cuál es la razón de una P. G. de 13 términos si el primero es 2 y el último es 8,192?

4. ¿Cuántos términos tiene una progresión geométrica si el primero es 8, la razón es 8 y el último es 32,768?

5. ¿Cuál es la razón de una P. G. de 7 términos si el primero es 9 y el último es 6,561?

Halle la suma de los primeros 10 términos de las P. G. siguientes.

a. 9, 27, 81, 243,………

b. 7, 28, 112, 448,…….

c. 3, 18, 108, 648,…….

Resuelve los siguientes problemas aplicando progresiones geométricas.

1. Como regalo de cumpleaños el padre de un joven decide regalarle a su hijo un carro valorado en $850,000 pesos, pero el joven se niega a aceptar el regalo pidiéndole a cambio que iniciara dándole 10 centavos y que por cada día transcurrido le diera el doble de lo que le había dado el día anterior hasta completar 25 días. Sin pensarlo el padre acepta la propuesta del joven.

¿Le convenía más al hijo la oferta de su padre?

¿Qué cantidad de dinero en total recibió el hijo de su padre?

2. Un caracol inicia un recorrido que dura 6 minutos.

En el primer minuto recorre 3.5 cm y luego de manera constante recorre

de

la distancia que recorrió en el minuto anterior. ¿Qué distancia en metros recorrió en total?

¿Con que velocidad en m/seg promedio se movió?

3. Interpolar 6 medios geométricos entre 8 y 17,496.

4. Interpolar 5 medios geométricos entre 3 y 2,187.

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