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MÓDULO No. 1

TEMA:

MODELADO DE ELEMENTOS

INSTRUCTORES: DR. RICARDO MOTA PALOMINODR. HORACIO TOVAR HERNÁNDEZMC. MIGUEL JIMÉNEZ GUZMÁN

DIPLOMADO EN PROTECCIONES DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA1

PRESENTACIÓN

Este Diplomado en Protecciones de Sistemas Eléctricos de Potencia es resultado de la inquietud de la Subgerencia de Protección y Medición de la Gerencia Regional de Transmisión Central de la Comisión Federal de Electricidad, así como del trabajo coordinado de dicha entidad y profesores del Posgrado en Ingeniería Eléctrica de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica del Instituto Politécnico Nacional.

El Diplomado ha sido diseñado para ser constituido con una parte teórica y una parte práctica, desarrolladas por el Politécnico y la CFE, respectivamente.

En su parte teórica, se han desarrollado cuatro módulos como sigue:

Modelado de elementos Protección convencional de sistemas eléctricos Protecciones digitales Protocolos de comunicación

En su parte práctica se consideran seis módulos como sigue:

Manejo y aplicación del ATP Draw y manejo de fallas en formato COMTRADE Manejo de equipo de prueba para relevadores de protección, TC´s y medición

de impedancias de líneas de transmisión y cálculo de ajuste y pruebas a relevadores de sobrecorriente

Cálculo de ajuste y pruebas a relevadores de distancia Cálculo de ajuste y pruebas a relevadores 87b y 87 l Cálculo de ajuste y pruebas a relevadores de falla de interruptor y 67 n

Este volumen contiene el material básico correspondiente al primer módulo del diplomado. Se desea que sea una modesta contribución al esfuerzo de capacitación de profesionales técnicos en el área de protección, medición y control de la Comisión Federal de Electricidad, empresa que sigue siendo orgullo de todos los mexicanos


ÍNDICE

No. Página

Capítulo 1. Fundamentos de Algebra Lineal y Análisis de Redes……….…………… 4

Capítulo 2. Transformación Lineal de Componentes Simétricas………………………28

Capítulo 3. Modelado de Líneas de Transmisión…………………………………..……38

Capítulo 4. Cables de Potencia…………………………………………………….……..93

Capítulo 5. Transformadores de Potencia………………………………………..……148

Capítulo 6. La Máquina Síncrona y Generación de Potencia…………………….… 185

Capítulo 7. Metodología General para el Análisis de Fallas…………………….……218


CAPÍTULO 1

FUNDAMENTOS DE ALGEBRA LINEAL Y ANÁLISIS DE REDES

1.1 Introducción al algebra lineal

Se define a una matriz como un conjunto de números (reales o complejos) ordenados en arreglos rectangulares. Por ejemplo:

La forma general de una matriz consiste de mn números arreglados en m renglones y n columnas, dando el siguiente arreglo de orden m×n:

donde i = 1, …, m y j = 1, …, n.

Definición 1. Las matrices A y B son iguales si y sólo si:

(a) A y B tienen el mismo número de renglones y el mismo número de columnas.

(b) para i = 1, …, m y j = 1, …, n.

Definición 2. Dos matrices pueden sumarse si y sólo si tienen el mismo número de renglones y el mismo número de columnas. En este caso, las matrices A y B de orden m×n, al sumarse, resulta la matriz C del mismo orden. Es decir,

para i = 1, …, m y j = 1, …, n.

o en notación matricial:

Por ejemplo:


Además, se cumple con las leyes de adición de los números:

También, en notación matricial:

Ejemplo:

Es natural definir , cuyos elementos son , de modo que:

Donde ó 0 es la matriz nula, la cual cumple con:

para i = 1, …, m y j = 1, …, n.

Entonces, la sustracción de matrices se define como:

Por otra parte, , de modo que, en términos generales, se cumple con lo siguiente:

donde k es cualquier número real o complejo.

Ejemplo.


1.2 Multiplicación de Matrices

Definición 3. Una matriz renglón puede multiplicarse por una matriz columna, en ese orden, si y solo si cada una de ellas tiene un número de elementos igual. Por ejemplo, si

y ,

entonces, UV se define como la matriz de orden 1 (o de 1×1) siguiente:

Ejemplo. Efectuar el producto matricial siguiente:

Definición 4. Dos matrices A y B pueden multiplicarse en el orden AB si y solo si el número de columnas de A es igual al número de reglones de B. En este caso, el elemento (i,k) del producto AB es el elemento de la matriz de orden 1×1 obtenida mediante la multiplicación del i-ésimo renglón de A por la k-ésima columna de B.

Si es de orden m×n, y es de orden n×p, entonces, las dos matrices pueden multiplicarse como AB y, si el resultado es la matriz C, entonces, C es de orden m×p, donde:

Ejemplos.


Si , entonces, se puede tener los productos matriciales

siguientes:

donde se nota que AB ≠ BA. En términos más generales, si AB existe, donde el orden de A es m×n, y el orden de B es n×p, entonces, el producto BA no existe, a menos que m = p.

Para el caso especial en que AB = BA, se dice que las matrices A y B son permutables.

Debido a que, en general, no hay permutabilidad en el producto matricial, se dice que en el producto AB, la matriz A premultiplica a la matriz B, mientras que la matriz B postmultiplica a la matriz A.

Definición 5. La transpuesta de la matriz A de orden m×n, es una matriz de n×m, denotada como , obtenida mediante el intercambio de renglones y columnas de A:

Las matrices transpuestas poseen las siguientes propiedades:

(a)(b)(c)

Ejercicio. Sean las matrices , , demostrar las propiedades

anteriores.


Definición 6. Se dice que la matriz A de orden n (ó n×n), es una matriz simétrica si se cumple que para i≠j, i = 1, …,n y j = 1, …, n. De hecho, las matrices A y B del ejercicio anterior son matrices simetricas.

1.3 La matriz inversa

Considere el siguiente conjunto de n ecuaciones algebraicas lineales:

el cual, en términos matriciales, puede escribirse como sigue:

o en forma compacta como:

En el caso de escalares, para resolver ax = b, puede multiplicarse por 1/a a ambos lados de la igualdad, de modo que x = b/a, lo cual puede escribirse como , donde es el inverso de a. Con respecto a la forma de obtener la solución de A x = b, el problema es encontrar una matriz, por ejemplo G, tal que se tenga lo siguiente:

En caso de que el producto matricial GA pueda corresponder a una matriz I de orden n con las características siguientes:


entonces, I es una matriz diagonal, puesto que y , para i≠j, e i=1, …, n y j =1, …, n. Además, I es una matriz unitaria o identidad, debido a que .

Definición 7. Si existe una matriz G tal que GA = I, entonces, G es llamada la inversa de A, la cual se denota como .

Por otra parte, se cumple que AI = IA = A. Entonces, para el conjunto de ecuaciones:

Si , entonces,

y, finalmente,

De este resultado, se desprende el hecho que la solución de A x = b puede obtenerse si existe y se encuentra la inversa de A, y se realiza el producto .

Entonces, el problema principal es encontrar .

Definición 8. Una matriz (cuadrada) de orden n que tiene inversa, se dice que es una matriz no singular. Por el contrario, si una matriz de orden n no tiene inversa, entonces, se dice que es una matriz singular.

Ejemplos. La matriz:

tiene inversa: . Por otra parte, la matriz:

no tiene inversa.

En el primer caso, el determinante de A, denotado como Det(A), es diferente de cero:

Det(A) = 2(4) – (1)(-3) = 11

En el segundo caso,

Det(B) = 2(-6) – 4(-3) = -12 + 12 = 0.


Este resultado es general para todas las matrices de orden n:

(a) Si A tiene inversa, entonces, Det(A) ≠ 0.(b) Si A no tiene inversa, entonces, Det(A) = 0.

Por otra parte, se puede demostrar que la matriz inversa de A es única, lo cual también se cumple con un escalar, cuyo inverso es único.

1.4 Solución de Ecuaciones Algebraicas Lineales

Sea el conjunto de ecuaciones algebraicas lineales siguiente:

Para resolver estas ecuaciones, la manera natural de hacerlo es despejar de la primera ecuación a y substituirla en la segunda y tercera ecuaciones. Posteriormente, de la segunda ecuación se despeja a y se substituye en la tercera ecuación. De este resultado, se puede obtener el valor de , el cual se substituye en la expresión donde está despejada, y se calcula el valor de esta. Finalmente, se substituye los valores de y en la expresión donde está despejada y, así, se obtiene la solución del problema.

Un método análogo es aplicar operaciones elementales de renglón al conjunto de ecuaciones original, a fin de ir obteniendo una matriz escalonada o triangular superior, de modo que al final se obtenga el valor de la última incógnita del problema y, a través de una substitución regresiva se irá obteniendo los valores de las incógnitas restantes.

Las operaciones elementales de renglón pueden resumirse en dos: multiplicación del renglón (ecuación) por un escalar y resta (suma) entre renglones (ecuaciones). A continuación, se ilustra este proceso.

1.5 El método de eliminación Gaussiana

El proceso de eliminación Gaussiana consiste en aplicar operaciones elementales de renglón a las ecuaciones a resolver, a fin de obtener en forma recursiva la solución del problema.

Para el conjunto de tres ecuaciones anterior, se realiza el proceso de eliminación Gaussiana.


Paso 1. Se divide entre la primera ecuación:

Paso 2. A la segunda ecuación se le resta la primera ecuación multiplicada por :

Paso 3. A la tercera ecuación se le resta la primera ecuación multiplicada por :

El conjunto de ecuaciones anterior, puede escribirse de manera simplificada como:

Paso 4. La segunda ecuación se divide entre :


Paso 5. A la tercera ecuación se le resta la segunda ecuación multiplicada por :

Estas últimas ecuaciones pueden escribirse en la forma siguiente:

Paso 6. De la última de estas ecuaciones se divide entre :

de modo que se ha encontrado el valor de la tercera incógnita del problema. Con esta incógnita calculada, se substituye en la segunda ecuación, para obtener :

y ya conocidas y , se substituyen en la primera ecuación para obtener :

Ejercicio. Encontrar la solución del problema siguiente, mediante el proceso de eliminación Gaussiana:

1.6 Existencia de soluciones


Considere primeramente la ecuación con escalares ax=b. En este caso, se obtiene de manera directa que la solución es x=b/a, pero de hecho hay tres posibilidades:

(a) Si a≠0, entonces, existe x=b/a, siendo esta la única solución de la ecuación, cualquiera que sea el valor de b, incluyendo b=0.

(b) Si a=0, entonces hay dos posibilidades, dependiendo del valor de b:

- Si b≠0, entonces, la ecuación es 0x = b ≠ 0, para la cual no existe solución finita posible. En este caso, se dice que no hay solución o que el problema es inconsistente, debido a que se tiene en 0 = b ≠ 0 una contradicción.

- Si b = 0, entonces cualquier número de soluciones existe a la ecuación, debido a que se tiene que 0x = 0.

Estos resultados también se aplican al caso de cuando se tiene un conjunto de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El conjunto de ecuaciones:

tiene una solución única. Por otra parte, el siguiente conjunto de ecuaciones es inconsistente:

y, por último, el siguiente conjunto de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones:

Los dos primeros casos son obvios: en el primero, la solución única es , mientras que en el segundo la inconsistencia radica en que los lados izquierdos de las ecuaciones son idénticos, de modo que los lados derechos también deben serlo, pero no es el caso, por lo cual hay inconsistencia. La manera de identificar de que existe el conjunto de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones es ejecutando el proceso de eliminación Gaussiana:


La primera ecuación ya está puesta de tal forma que no hay que ejecutar operación alguna sobre ella:

La segunda ecuación se modifica restándole la primera multiplicada por 2:

de donde se observa que alguna de las dos variables puede tomar cualquier valor, de modo que la igualdad se sigue cumpliendo con la segunda ecuación. Sea , de modo que, substituyendo en la primera ecuación:

Un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales se dice que es un conjunto de ecuaciones homogéneo, cuando todos sus términos independientes , para i = 1, .., n. En este caso, se tiene como solución única la trivial, es decir que , para i = 1, .., n, o se tiene un número infinito de soluciones. Ejemplo del primer caso es el conjunto de ecuaciones homogéneo siguiente:

donde se observa que las igualdades se cumplen de manera simultánea únicamente cuando . Un ejemplo del segundo caso es el conjunto de ecuaciones:

de donde se observa que, al aplicar el método de eliminación Gaussiana, se tiene las ecuaciones:

Notándose que puede tomar cualquier valor y se calculará con la relación:


Sea el conjunto de ecuaciones siguiente:

El proceso de eliminación Gaussiana se puede ejecutar en términos de la matriz de coeficientes aumentada:

donde la última columna corresponde a los términos independientes de las ecuaciones.

Al aplicar operaciones elementales de renglón, esta matriz se modifica a la siguiente:

de modo que este es un conjunto de ecuaciones con un número infinito de soluciones, debido a que la variable puede tomar cualquier valor.

1.7 El método de nodos para analizar redes eléctricas

Los componentes de un sistema eléctrico de potencia son modelados en términos de resistencia, inductancia y capacitancia. Cada componente constituye una red eléctrica por sí misma y su interconexión con otras componentes constituye un sistema de transmisión.

Entre las varias alternativas para describir sistemas de transmisión de modo que se cumpla con las Leyes de Kirchhoff, dos métodos, el de análisis nodal o el de análisis por mallas son normalmente usados. El análisis nodal ha resultado más adecuado para trabajo en la computadora digital, siendo de uso generalizado en tareas de simulación en estas máquinas, debido a que presenta las siguientes ventajas:

La numeración de nodos, ejecutada directamente a partir de un diagrama del sistema es muy simple.

Fácil preparación de datos.


El número de ecuaciones y variables es usualmente menor que con el método de análisis de mallas para sistemas eléctricos de potencia.

Las ramas en paralelo no incrementan el número de ecuaciones.

Los voltajes nodales son obtenidos directamente de la solución y las corrientes de rama son calculadas fácilmente.

Para obtener un conjunto de ecuaciones relacionando voltajes y corrientes dentro de un marco de referencia nodal, resulta útil la aplicación del concepto de transformación lineal. Una vez analizado el resultado obtenido, es posible definir un procedimiento sistemático para obtener tal conjunto de ecuaciones de manera muy sencilla.

1.7.1 Técnicas de transformación lineal

Las técnicas de transformación lineal son usadas para poder obtener en forma sistemática la matriz de admitancias nodal, a partir del concepto de matriz de admitancias de rama, primitivas o desconectadas. A través de esta transformación lineal, se relacionarán voltajes y corrientes nodales con voltajes y corrientes de rama. Para propósitos de ilustración, considérese la red de la Figura 1.1.Cinco pasos son necesarios para formar la matriz de admitancias nodal mediante transformación lineal:

1. Numerar los nodos de la red original.

2. Numerar en cualquier orden las admitancias de rama.

3. Formar la matriz de admitancias primitiva por inspección.


Figura 1.1 Sistema eléctrico conectado.

Esta matriz relaciona las corrientes nodales inyectadas con los voltajes nodales de la red primitiva, la cual consiste de las ramas desconectadas de la red original con una corriente igual a la corriente de rama original inyectada en el nodo correspondiente de la red primitiva, tal que se tengan los voltajes a través de cada rama de la red original. La red primitiva de la Figura 1.1, se muestra en la Figura 1.2.

Figura 1.2 Red primitiva o desconectada del circuito de la Figura 1.1.

La relación de corrientes y voltajes de la red de la Figura 1.2, puede representarse por la ecuación matricial siguiente:


1i

2i

3i

4i

5i

3i

1I

1V

3v

1i

Nodo 1

4i

2I

2V

4v

2i

Nodo 2

5i

3I

3V

5v

Nodo 3

(1.1)

donde la matriz de coeficientes diagonal representa a la matriz de admitancias primitiva, denotada por Yprim , la cual podrá tener términos fuera de la diagonal cuando existan acoplamientos mutuos entre las admitancias de la red original.

4. Formar la matriz de conectividad [C], la cual relaciona los voltajes nodales, Vi , de la red conectada con los voltajes de rama de la red primitiva, vi .

Por inspección:

(1.2)

En forma matricial:

(1.3)

5. La matriz de admitancias nodal (de la red conectada), la cual relaciona corrientes nodales con voltajes nodales mediante la ecuación:

(1.4)

puede obtenerse de:

(1.5)

Substituyendo:


(1.6)

1.7.2 Método por inspección

Del resultado anterior, puede notarse que los elementos diagonales corresponden exactamente a la suma de todos los componentes que inciden al nodo correspondiente, mientras que los elementos fuera de la diagonal son el negativo de la admitancia del componente que interconecta a ambos nodos. Es decir, la matriz de admitancias nodal puede construirse en base a observar la topología del circuito eléctrico. Por esta razón, a este método de construcción de la matriz de admitancias nodal se le conoce como método de inspección y consiste en lo siguiente:

1. Para determinar los elementos diagonales , se suma las admitancias de todos los componentes incidentes al nodo i, esto es:

(1.7)

2. Los elementos no diagonales, , se calculan como el negativo de la admitancia del componente de circuito primitivo que interconecta a los nodos i y m:

(1.8)


Por ejemplo, de la Figura 1.1 puede observarse que los componentes que inciden al nodo 1 son los que tienen como valores de admitancia y , de modo que el elemento diagonal , de acuerdo a la ecuación (1.7), será calculado como sigue:

, mientras que el elemento no diagonal correspondiente al renglón 1 y la columna 2, aplicando la expresión (1.8) será , siendo estos resultados idénticos a los obtenidos en (1.6) al aplicar la transformación lineal.

1.7.3 Concepto de admitancias compuestas

Cuando se analiza redes trifásicas, donde las tres fases en un nodo siempre están asociadas en conjunto con sus interconexiones, la representación gráfica de la red se simplifica usando el concepto de “admitancias compuestas”, el cual se basa en el uso de cantidades matriciales para representar las admitancias de red. Las leyes y ecuaciones de redes ordinarias son todas válidas para redes compuestas, reemplazando simplemente cantidades escalares por matrices apropiadas.

Considere que se tiene 6 admitancias acopladas magnéticamente, cuya red primitiva se muestra en la Figura 1.3.

Figura 1.3 Red primitiva de 6 admitancias acopladas (los acoplamientos no se muestran).

La matriz de admitancias primitivas relaciona las corrientes inyectadas en cada rama con los voltajes de rama:


1i

2i

3i

4i

5i

6i

(1.9)

Particionando en bloques matriciales de orden 3:

(1.10)

donde:

; ; ;

;

;

Gráficamente, esta partición se representa como el agrupamiento de las 6 admitancias en dos admitancias compuestas A y B, cada una integrada de tres admitancias individuales. Esto se ilustra en la Figura 1.4.

Figura 1.4 Red primitiva de dos admitancias compuestas acopladas.


Resulta claro que , si y sólo si , para i = 1, 2, 3 y k = 4, 5, 6. Esto es, si y sólo si los acoplamientos mutuos son bilaterales.

La ecuación (1.10) puede escribirse como:

(1.11)

La red primitiva para cualquier número de admitancias compuestas es formada exactamente en la misma forma que en el caso de admitancias simples, teniendo presente que todas las cantidades involucradas son matrices del mismo orden que las admitancias compuestas. Si la matriz de conectividad de cualquier red puede descomponerse en elementos identidad de dimensiones mayores a 1, el uso de las admitancias compuestas es ventajoso.

Por ejemplo, considere la sección de línea de transmisión de la Figura 1.5. La matriz de admitancias nodal se obtendrá usando admitancias simples y compuestas.

Figura 1.5 Sección de línea de transmisión representada por admitancias simples acopladas.

La matriz de admitancias primitivas es la siguiente:


a

b

c

a'

b’

c’

y las relaciones de voltaje son:

Entonces, la matriz de conectividad es la siguiente:

a b c a’ b’ c’

Aplicando la definición de transformación singular, se obtiene la matriz de admitancias nodal:

a b c a’ b’ c’


(1.12)

Para determinar a partir de las admitancias compuestas, la Figura 1.5 se transforma en el circuito de la Figura 1.6.

Figura 1.6 Sección de línea de transmisión representada por admitancias compuestas.

La red desconectada o primitiva del circuito de arriba es mostrada en la Figura 1.7.

Figura 1.7 Red primitiva del circuito de la Figura 1.6.

Del circuito de la Figura 1.6, se tiene la relación de voltajes:


[a b c] [a’ b’ c’]

En forma matricial:

La matriz de admitancias primitiva correspondiente a las admitancias compuestas es:

Entonces la matriz de admitancias nodal será:

con el resultado siguiente:

(1.13)

Si se desarrolla la matriz anterior, considerando los elementos que tiene cada submatriz, se obtendrá el resultado de la ecuación (1.12).

Por otro lado, debe recordarse que, debido a que se trata de una línea de transmisión, la matriz de admitancias nodal (1.13) puede escribirse en la forma siguiente:

(1.14)

donde z representa al efecto serie de la línea en el dominio de fase, mientras que y representa al efecto en derivación en el mismo marco de referencia.


CAPÍTULO 2

TRANSFORMACIÓN LINEAL DE COMPONENTES SIMÉTRICAS

Esta transformación, definida desde un punto de vista práctico, en función de fasores, por C.L. Fortescue en 1918, puede justificarse matemáticamente, aplicando la teoría de transformaciones lineales.

2.1 Cambio del Marco de Referencia de Fases al de Secuencias

Considerando que se tiene un sistema trifásico balanceado perfectamente, cuya matriz de coeficientes es la siguiente:

(2.1)

Una transformación lineal permite trasladar un conjunto de ecuaciones definido en un marco de referencia a otro. Por ejemplo, en el “marco de referencia de circuitos trifásicos”, el modelo matricial que relaciona voltajes y corrientes es:

(2.2)

El cual puede trasladarse al “marco de referencia de las componentes simétricas”, aplicando la transformación lineal siguiente:

o también,

Premultiplicando ambos miembros por :

y de aquí, se obtiene que:

(2.3)

donde:


(2.4)

Entonces, el problema para pasar de un marco de referencia a otro consiste en encontrar la matriz de transformación, de modo que se obtenga alguna ventaja con respecto al marco de referencia original, ya sea en cuestión de conceptos o de simplificación de la resolución de problemas de redes eléctricas.

3.7.2 Obtención de la Matriz de Transformación de Componentes Simétricas

Se conoce que dos matrices, A y B, están relacionadas por medio de la transformación lineal siguiente:

(2.5)

o viceversa, y también se conoce que los valores propios o eigenvalores de ambas matrices serán los mismos. Por esta razón, se dice que A y B son semejantes y que (2.5) se conoce como transformación de similaridad o semejanza. Si la matriz A, por ejemplo, es de la forma diagonal:

Entonces, el determinante característico es el siguiente:

el cual, al desarrollarlo, resulta en:

donde U es la matriz identidad o unitaria. Si se iguala a cero este determinante característico, se obtiene el polinomio característico del arreglo matricial que, al resolverlo, se obtendrá los valores propios correspondientes. Es decir, si


Entonces, se tiene:

Puede concluirse que los valores propios de una matriz completamente diagonal son precisamente sus correspondientes elementos diagonales.

Ahora bien, si se requiere substituir una red trifásica por un sistema equivalente de redes desacopladas, entonces, se deberá obtener una matriz completamente diagonal, a partir de una matriz original , utilizando la transformación lineal (3.88). Esto obliga a pensar en obtener una matriz de transformación T de modo que la matriz semejante a , llamada matriz de componentes simétricas, denotada como , sea completamente diagonal.

En términos generales, un circuito trifásico puede representarse matricialmente como:

donde los elementos no diagonales representan los acoplamientos mutuos entre fases y los diagonales son las impedancias propias de cada una de las fases. Si se supone que el circuito trifásico está perfectamente balanceado, entonces abcZ se simplifica a la matriz:

El correspondiente determinante característico de este modelo matricial será el siguiente:

Al desarrollar este determinante e igualarlo a cero, se obtiene el polinomio característico correspondiente y cuyas soluciones son:

(2.6)


Para determinar la matriz de transformación lineal, Ts, debe calcularse los eigenvectores o vectores propios, los cuales representarán cada columna de la misma. Cada vector propio es la solución de un sistema de ecuaciones homogéneo [i U – ]=0, donde U es la matriz identidad del mismo orden que abcZ . En este caso, se tienen tres valores propios, de modo que se resolverá tres sistemas de ecuaciones de este tipo.

Para cuando se aplica MZ 21 , se tiene el sistema de ecuaciones homogéneo siguiente:

Dividiendo el conjunto de ecuaciones entre :

Al aplicar operaciones elementales de renglón, se reducirá este conjunto de ecuaciones a uno triangular superior:

el cual tiene un número infinito de soluciones, incluyendo la trivial, donde cada una cumple que x11 = x21 = x31, de donde se obtiene que este vector propio será:

y se podrá observar que un caso particular es el siguiente:


Repitiendo el proceso para , se obtiene el conjunto de ecuaciones homogéneo:

Dividiendo entre y aplicando operaciones elementales de renglón, el conjunto de ecuaciones anterior se reduce a:

el cual tiene un número infinito de soluciones, donde cada una de ellas estará definida por una combinación que cumpla con la igualdad x x x12 22 32 0 . Por ejemplo, este vector propio podría ser:

, etc.

Debe mencionarse que una característica que debe tener la matriz de transformación es que sea invertible, de modo que los vectores propios que la conforman deben ser linealmente independientes. Normalmente, para que esto ocurra, los valores propios deben ser distintos entre sí. En caso contrario, no será posible obtener una matriz semejante diagonal. Sin embargo, en este caso en particular, 2 = 3, aunque, debido a que se tiene dos grados de libertad para seleccionar valores, es posible definir dos vectores propios.


Para el modelo trifásico balanceado, se define la matriz de transformación lineal:

2

2

1

1

111

aa

aaTs (2.7)

donde y . La inversa de Ts será:

(2.8)

Anteriormente, se mencionó que el objetivo era encontrar una matriz diagonal representativa del sistema trifásico original mediante tres circuitos monofásicos independientes o desacoplados entre sí.

Para ello, puede formalmente plantearse el problema de pasar de un sistema de coordenadas de fase (abc) al sistema de coordenadas de secuencia (012). En este caso, se parte de la relación lineal:

a la cual se le aplica la regla de transformación lineal, usando como matriz de transformación a la matriz de componentes simétricas Ts:

Premultiplicando ambos lados de la expresión anterior por :

y en términos de las coordenadas de secuencia:

donde:

sabcs TZTZ 1012

(2.9)


Es fácilmente demostrable que realizando el producto matricial anterior, se obtiene una matriz diagonal de la forma:

(2.10)

donde se nota que los elementos diagonales son exactamente los valores propios de . La matriz (2.10) representará tres circuitos monofásicos desacoplados

electromagnéticamente entre sí. Este concepto se ilustra en la Figura 2.1, donde se muestra un circuito trifásico y sus respectivas redes de secuencia monofásicas y desacopladas.

Figura 2.1 Red trifásica y redes monofásicas de secuencia desacopladas.

2.2 Transformación de un Sistema Trifásico de Circuitos Múltiples

Cuando una red eléctrica contiene dos o más circuitos trifásicos acoplados magnéticamente, entonces se habla de un sistema trifásico de circuitos múltiples. Para este tipo de sistemas, las ecuaciones de voltaje pueden escribirse de la forma:

donde:


++

++

++

b’

c’

b

c

a’a

Mediante una transformación lineal, puede establecerse que:

e donde:

(2.11)

Los vectores de voltaje y corriente de secuencia serán los siguientes:

; (2.12)

De manera similar al caso del circuito trifásico único, se tiene la expresión relacionando voltajes y corrientes de secuencia:

donde: (2.13)

En este caso, se tiene un modelo matemático en el marco de referencia de fase, caracterizado por acoplamientos mutuos entre fases, el cual se convierte en varios circuitos desacoplados entre sí, al pasar al marco de referencia de secuencias.


Sin embargo, debe recordarse que la transformación de componentes simétricas se obtiene partiendo de un modelo de circuito trifásico perfectamente balanceado. Esto implica que para modelos que no cumplan con esta condición, el desacoplamiento de los circuitos de secuencia no será total. Sin embargo, los desbalances normalmente serán relativamente pequeños, por lo que, en términos generales, puede considerarse que los circuitos trifásicos son balanceados. Por otra parte, para los circuitos múltiples sobre el mismo derecho de vía, una situación típica se presenta al aplicar la transformación al modelo de una línea con circuitos múltiples, donde se observa un fuerte acoplamiento entre las componentes de secuencia cero.

El tratamiento de las transposiciones para líneas de transmisión con múltiples circuitos, es semejante a la aplicación de la transformación de componentes simétricas, es decir, las transformaciones lineales se aplican en forma de bloques diagonales, cuyo número dependerá de los circuitos múltiples involucrados.


CAPITULO 3

MODELADO DE LINEAS DE TRANSMISION

3.1 INTRODUCCIÓN

En términos generales una red de transporte de energía eléctrica está constituida por un conjunto de equipos que permiten conducir el fluido eléctrico desde los centros de generación hasta los de consumo. Entonces, tales trayectorias requieren de que no haya puntos en los cuales pueda haber “fugas” de corriente eléctrica y que, para lograr esto, se debe aislar a los conductores de la red eléctrica, a fin de establecer la ruta sobre la cual fluirá la corriente eléctrica. El aislamiento de conductores depende del medio en el cual se instala la red eléctrica y ha evolucionado dramáticamente desde hace más de un siglo, donde se ha utilizado una gran cantidad de materiales tales como el vidrio, caucho natural y artificial, papel de diferentes tipos en conjunto con resinas, y terminando con el uso extensivo de materiales plásticos.

Normalmente, los conductores son metálicos y pueden ser de una pieza (sólidos) o compuestos de un conjunto de filamentos, siendo esta última alternativa la más común, sobretodo cuando se requiere de flexibilidad y un gran soporte de esfuerzos mecánicos, así como de una capacidad de corriente eléctrica. Por otra parte, el medio de aislamiento más común es el aire, tal como lo muestra la Figura 3.1.

Figura 3.1 Conductor aislado con su voltaje y corriente.

En esta figura, claramente se observa que el voltaje es medido entre el conductor y tierra, la cual se considera la referencia del circuito. En términos de capacitancia, existe una separación entre la carga positiva (conductor) y la carga negativa (tierra) de modo que existe un efecto capacitivo y un gran efecto resistivo entre el conductor y tierra. Finalmente, conforme el conductor se aleja de la tierra, se puede suponer que las líneas de campo eléctrico se alejan en línea recta del centro del conductor.


Corriente

Voltaje Capacitor de aire

tierra

Por otra parte, el aire no es buen aislante, puesto que tiene una rigidez dieléctrica mucho menor que otros materiales aislantes. Sin embargo, es de menor costo si el espacio no es una restricción y, por tal motivo, la transmisión aérea es la más común.

Si el espacio es una restricción, entonces, la transmisión o distribución debe ser realizada a través de conductores aislados con materiales diferentes del aire. El ejemplo más común es la instalación eléctrica de una casa habitación, mientras que en redes de alta tensión, la transmisión puede ser subterránea, a través de cables de alta tensión, cuyo uso se ha venido incrementando durante las últimas décadas, debido a cuestiones de confiabilidad, estética y medio ambiente.

3.2 DEFINICIÓN DE PARAMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN AÉREA

La línea de transmisión es el elemento más común de los que conforman las redes eléctricas. En conjunto, estos elementos constituyen las arterias a través de las cuales fluye la energía eléctrica desde centros de generación hasta los centros de consumo. La transmisión de esta energía puede realizarse ya sea por corriente alterna (c.a.) o directa (c.d.), y dependiendo del nivel de voltaje al cual se realiza la transmisión de energía eléctrica, se tiene clasificadas a las redes en tres categorías: transmisión, subtransmisión y distribución.

En México y otros países, los niveles de voltajes mayores de 115 kV son considerados como de transmisión. Cuando se opera con voltajes de 34 hasta 115 kV se dice que la red es de subtransmisión. Por último, niveles de tensión menores a 34 kV están relacionados con redes de distribución.

Además, excepto en pocas situaciones, la transmisión de energía eléctrica es aérea, de modo que, como se mencionó anteriormente, el aislante común entre conductores es el aire circundante, además de que los dispositivos de generación y de transporte se diseñan para que operen con corriente alterna trifásica.

En base a esto, se tendrá como objetivo desarrollar un modelo matemático que represente el comportamiento de la línea de transmisión aérea de corriente alterna y trifásica. Este modelo se caracteriza por cuatro parámetros principales:

Resistencia serie Inductancia serie Conductancia en derivación Capacitancia en derivación.

Primeramente, se desarrolla el modelo de los parámetros serie y posteriormente, se obtienen los correspondientes al efecto en derivación.


Aspectos como la transposición de líneas y obtención de modelos monofásicos desacoplados son analizados posteriormente.

3.3 IMPEDANCIA SERIE DE LINEAS DE TRANSMISION

Los dos parámetros serie de la línea de transmisión aérea se analizan en conjunto, aunque previamente se mencionarán algunos conceptos concernientes a la resistencia.

3.3.1 Resistencia de la Línea

La resistencia en conductores de una línea es causa de las pérdidas por transmisión, las cuales están dadas por la expresión I2R, donde I es la corriente que fluye a través de conductor y R es la resistencia del mismo. Estas pérdidas tienen que ser mínimas, lo cual depende de un diseño adecuado de la línea, tomando en consideración factores como el calibre de conductores, número de estos por fase, tipo de material e influencia del medio ambiente, entre otros.

3.3.1.1 Resistencia de Corriente Directa

La resistencia de c.d. se caracteriza por tener una densidad de corriente distribuida uniformemente en toda la sección transversal del conductor, la cual puede calcularse mediante la expresión siguiente:

(3.1)

donde:

= resistividad del material conductor (-m)l = longitud del conductor (m)A = área efectiva de la sección transversal del conductor (m2)

Si se utiliza el sistema inglés, en lugar del métrico decimal, entonces la longitud y área del conductor estarán dadas en ft y ft2, respectivamente. Sin embargo, puede usarse cualquier sistema congruente de unidades, de modo que resulte que la unidad de longitud esté dada en kilómetros o millas, que es lo más usual.

El estándar internacional de conductividad es el cobre recocido. El cobre comercial estirado en frío tiene el 97.3% y el aluminio el 61% de la conductividad estándar del cobre recocido. es igual a 1.77×10-8 Ω-m para el cobre estirado en frío a 20oC. Para el aluminio a 20oC, es igual a 2.83×10-8 Ω-m.


Por otro lado, la resistencia de c.d. de conductores trenzados es mayor que el valor que se calcula mediante la ecuación (3.1), debido a la colocación en espiral de los conductores, la cual los hace más largos. Para cada milla de conductor, excepto en el del centro, la corriente en todos los hilos fluye en una longitud mayor. El incremento en la resistencia, debido al trenzado se estima en 1% para conductores de tres hilos y de 2% para conductores concéntricamente trenzados.

3.3.1.2 Efecto de la Temperatura Sobre la Resistencia

Un cambio en la temperatura causa una variación en la resistencia, en forma prácticamente lineal, dentro del margen normal de utilización de la línea de transmisión. Esta variación está dada por la siguiente ecuación:

(3.2)

donde R1 y R2 son las resistencias a las temperaturas t1 y t2, respectivamente. La constante T varía de acuerdo al material conductor y se define como la temperatura a la cual la resistencia del conductor es igual a cero. Algunos de los valores de T son los siguientes:

T = 234.5 para el cobre recocido con 100% de conductividad.T = 241.0 para el cobre estirado en frío con 97.3% de conductividad.T = 228.0 para el aluminio estirado en frío con 61% de conductividad.

La Figura 3.2 muestra gráficamente la relación entre la resistencia y la temperatura. El punto de intersección de la extensión de la línea con el eje de la temperatura a resistencia cero, es una característica del material del conductor.

Figura 3.2 Resistencia de un conductor metálico como función de la temperatura.


R1 R2

T

R

t1

t2

t

La distribución uniforme de la corriente en la sección transversal de un conductor solamente se presenta para la corriente directa. Conforme se incrementa la frecuencia de la corriente alterna, la no uniformidad de la distribución se hace más pronunciada. Un incremento en la frecuencia da origen a una densidad de corriente no uniforme. A este fenómeno se le conoce como efecto piel, el cual es explicado a continuación.

3.3.1.3 Efecto Piel

Para el análisis de este efecto, será necesario considerar lo siguiente:

1. A partir de la Figura 3.3 se hará el análisis, donde se muestra la sección transversal de un conductor, en la cual se ha dibujado dos filamentos hipotéticos iguales además del centro.

Figura 3.3 Sección transversal de un conductor mostrando dos de sus filamentos.

2. Las dimensiones del conductor son uniformes, es decir, si se secciona el conductor en diferentes tramos, todas las secciones transversales resultarán ser iguales.

3. La corriente será la misma para toda la longitud del conductor, esto es, la corriente que entra por un extremo, será la misma que saldrá por el otro extremo.

4. Apoyándose en las dos suposiciones anteriores, puede suponerse que cualquier sección transversal del conductor será una superficie equipotencial.

Al medir una caída de tensión en cada uno de los filamentos, esta será la misma para ambos (suposición 4). En corriente directa, la condición anterior se satisface con la densidad de corriente uniforme que resultará en caídas de tensión por resistencia uniformes. Si se trata de corriente alterna, además de la caída de tensión por resistencia, existirá un voltaje inducido en cada filamento, resultante del campo magnético variante producido por la corriente en el propio conductor. Las líneas de flujo de este campo magnético circularán de acuerdo al eje del conductor y algunas encerrarán al filamento B sin hacerlo con el A, debido a la posición geométrica de ambos. Las reactancias alejadas del centro (como la del filamento A), serán menores que las de los filamentos alrededor del centro del conductor (como el filamento B). Por lo tanto, para producir caídas de tensión iguales, las densidades de corriente


AB

deben ser mayores cerca de la periferia del conductor, para compensar la reactancia menor.

El resultado final es que la distribución de densidades de corriente a través de la sección transversal del conductor no será uniforme, siendo conocido como efecto piel, el cual causará que la resistencia de c.d. se incremente ligeramente. Esta es la llamada resistencia de c.a. Por otro lado, la inductancia debida al flujo interno en el conductor se verá disminuida.

Si se expresa tales conclusiones mediante fórmulas, se tendrá lo siguiente:

y para la inductancia interna:

donde R y L son ligeramente mayor y menor que la unidad, respectivamente.

Por ejemplo, las tablas de características eléctricas [1] dan para el conductor trenzado de aluminio Marigold, una resistencia de c.d. de 0.01558 Ω por 1000 pies a 20oC y una resistencia de c.a. de 0.0956 Ω/milla a 50oC. El conductor tiene 61 hilos y su tamaño de 1113 MCM (mil circular mils). Entonces, considerando un incremento del trenzado del 2% a 20oC, el valor de la resistencia de c.d. debe ser el siguiente:

Ω por 1000 pies de longitud.

De la ecuación (3.2), para la temperatura de 50oC:

Ω por 1000 pies de longitud.

En este caso, la relación entre las resistencias de c.d. y c.a. es la siguiente:

Es decir, el efecto piel causa un incremento del 3.722% en el valor de la resistencia de corriente directa.

3.3.1.4 Efecto Corona


Aunque este fenómeno no afecta a la resistencia en una forma directa, sí influye en la eficiencia de operación de la línea de transmisión, debido a que su existencia producirá pérdidas adicionales.

Este efecto está relacionado con la producción de campos eléctricos cuya intensidad es capaz de ionizar el aire circundante a los conductores de fase de la línea de transmisión. Una ionización extrema resultará en la presencia de arcos eléctricos entre conductores. Este efecto puede detectarse audiblemente por el zumbido que produce y visualmente por el aura luminosa que se presenta en cada conductor de fase.

El efecto corona producirá pérdidas e interferencias radiofónicas. Tales pérdidas serán relativamente pequeñas en ambientes secos y tienden a incrementarse en ambientes más húmedos, llegando inclusive a magnitudes 15 veces mayores.

Comúnmente, estas pérdidas son expresadas en kW/km, pero resulta difícil obtener un modelo analítico que permita calcularlas de manera exacta, debido a la gran cantidad de variables involucradas. Los resultados son obtenidos mediante relaciones empíricas y métodos estadísticos. Sin embargo, el efecto corona debe tomarse en cuenta para el diseño adecuado de líneas de transmisión.

3.3.2 Inductancia de Dos Conductores Paralelos

La inductancia es usualmente definida dividiendo los enlaces de flujo por la corriente. Para la inductancia propia, los enlaces de flujo de un circuito dado son divididos por la corriente en ese circuito, esto es [2]:

donde es el enlace de flujo en Weber-vuelta del circuito 1, debido a la corriente en Amperes. La inductancia mutua es definida en forma semejante. El cálculo de la inductancia propia de un conductor cilíndrico recto de longitud finita es usualmente dividida en dos componentes:

donde es la inductancia del conductor debida a los enlaces de flujo internos, mientras que es la inductancia propia debida a los enlaces externos al conductor. Entonces, puede mostrarse que, para una densidad de corriente uniforme se tiene:

H


donde:

= permeabilidad del conductor = 4 ×10-7 H/m para materiales no ferrosos. s = longitud del conductor en metros.

Los enlaces de flujo externos se definen como:

Wb-vuelta

donde:

= permeabilidad del medio circundante al conductor = 4 ×10-7 H/m para el aire. r = radio del conductor en metros.

Si s>>r como ocurre siempre con las líneas de transmisión de alta tensión, la expresión para la inductancia externa puede simplificarse en la forma siguiente:

H

Sumando las inductancias interna y externa, se obtiene la inductancia de un conductor cilíndrico de longitud finita s:

H

En la mayoría de los casos, los conductores no están hechos con materiales ferromagnéticos y el medio circundante es el aire, de modo que y son iguales y tienen un valor de 4 ×10-7 H/m. Esto implica que debe suponerse que para conductores ACSR el material ferromagnético prácticamente no transporta corriente. Con esta aproximación, la inductancia puede escribirse como:

o también como:

H

Por otra parte,


Aplicando las propiedades de los logaritmos:

Para conductores cilíndricos se puede definir , de modo que la expresión anterior se puede rescribir como:

H

o también,

H/m

3.3.3 Impedancia Serie de Líneas de Transmisión Monofásicas

Como se mencionó anteriormente, este parámetro está compuesto por los efectos resistivo e inductivo de la línea. El desarrollo de esta parte del modelo considerará el efecto de retorno por tierra.

Para condiciones normales de diseño, la reactancia correspondiente a la inductancia, xL = L, es la parte dominante de la impedancia serie, la cual determina el efecto sobre la capacidad de transmitir y la caída de tensión. Este dominio de la inductancia sobre la resistencia se aprecia por medio de la relación x/r >> 1 para líneas de transmisión de alta tensión.

El efecto de retorno por tierra consiste en considerar que las líneas tienen un retorno por medio de un conductor ficticio de longitud infinita, situado debajo de la superficie del terreno que tiene una resistividad uniforme y paralelo a la línea. Además, este conductor tendrá un radio medio geométrico, denotado por , igual a la unidad de longitud de las coordenadas entre los conductores de la línea. La Figura 3.4 representa esta situación.


a a’

+

Figura 3.4 Línea monofásica considerando el efecto de retorno por tierra.

Al observar la Figura 3.4, las caídas de tensión están dadas por:

(3.3)

Sabiendo que , se deduce que . Restando renglones en la ecuación (3.3):

Además,

Esta expresión puede escribirse en términos de una sola corriente, resultando:

donde:

(3.4)

cuyas componentes son impedancias primitivas, las cuales, a su vez, están definidas por las siguientes expresiones:


g’g

ref

tierralocal

tierra remota

_

/ul (3.5)

donde es la resistencia del conductor de la línea, es la resistencia del supuesto conductor que representa al efecto de retorno por tierra; es la frecuencia en rad/s;

y son las inductancias propias de la línea y del efecto de retorno por tierra, respectivamente, mientras que representa al efecto mutuo inductivo entre ambos conductores; ul representa cualquier unidad de longitud y k es una constante de conversión para unidades de longitud.

Si se substituye las expresiones (3.5) en la ecuación (3.4), se obtiene lo siguiente:

(3.6)

donde las inductancias están definidas por las expresiones siguientes:

(3.7)

En estas expresiones (3.7), s es la longitud del conductor a. Si se suma las inductancias, tal como se describe en (3.6),

(3.8)

Sabiendo que , se definirá a la constante como:

(3.9)

y substituyendo en la ecuación (3.7), la impedancia de la línea estará dada por:

(3.10)


En las expresiones anteriores, es el Radio Medio Geométrico (RMG) del conductor a. Para calcular el valor de la resistencia del efecto de retorno por tierra, Carson encontró que, empíricamente, ésta puede calcularse mediante las fórmulas:

Ω/mi (3.11)

Ω/km

donde f es la frecuencia en Hz. El cálculo de la constante está dado por:

(3.12)

siendo la resistividad de la tierra en -m.

3.3.4 Ecuaciones de Carson

En 1926, el Dr. John R. Carson publicó sus ecuaciones para calcular la impedancia de un circuito, considerando el efecto de retorno por tierra. Estas ecuaciones actualmente son muy utilizadas para el cálculo de parámetros de líneas de transmisión aérea y subterránea.

Carson supone que la tierra es una superficie uniforme, plana, sólida e infinita con una resistividad constante. Cualquier efecto en los extremos de la línea en los puntos de aterrizamiento es despreciable para frecuencias de estado estacionario. Las ecuaciones de Carson son las siguientes:

/mi (3.13)

/mi

(3.14)

donde:

= impedancia propia del conductor i. = impedancia mutua entre los conductores i y j. = resistencia del conductor i. = frecuencia en rad/s.

G = 0.1609347


= radio exterior del conductor i.

Los factores , , y son determinados mediante las Series de Carson siguientes:

donde

Las distancias y se calculan de acuerdo a lo mostrado en la Figura 3.5, donde las primeras relacionan a los conductores con sus imágenes.

Normalmente, >> , de modo que los ángulos serán pequeños y las funciones Cos(.) dentro de las expresiones de la Serie de Carson podrán ser aproximadas a 1. Para una distancia = 100 pies, una frecuencia de 60Hz y una resistividad de 100 -m, se tiene que:

Este valor puede aproximarse a lo siguiente:

De la misma manera,

que, de acuerdo a los resultados anteriores, puede simplificarse a:


Figura 3.5 Conductores de una línea monofásica y sus imágenes.

Analizando de manera más detallada la expresión anterior, se obtiene lo siguiente:

Resultando:

Mediante estas aproximaciones, las ecuaciones de Carson pueden simplificarse de manera significativa. Tanto las impedancias serie como mutua están afectadas por el término 2Q, de tal manera que:


ijD

ijSiiS jjS

ij

(3.15)

(3.16)

Substituyendo las expresiones anteriores en (3.13):

(3.17)

donde:

(3.18)

2 (3.19)

Substituyendo (3.15) dentro del paréntesis en (3.17), este resulta en lo siguiente:

Definiendo:

ft

Entonces,

/mi

(3.20)De la misma manera:


/mi (3.21)

Nótese la semejanza entre los valores que la referencia [8] presenta para k y para , los cuales se presentan en la Tabla 3.1.

Tabla 3.1 Constantes para el cálculo de inductancias.Constante Unidad de Longitud Logaritmo Natural Logaritmo Base 10

2 k

kmmi

kmMi

0.00020000.0003219

0.0012570.002022

0.00046050.0007411

0.0028930.004656

f = 50 Hzf k

k

kmmi

kmMi

0.010000.01609

0.062830.10111

0.023020.03705

0.144600.23280

f = 60 Hzf k

k

kmmi

kmMi

0.012000.01931

0.075390.12134

0.02763 0.04446

0.173600.27940

3.3.5 Impedancia Serie de la Línea Trifásica

El cálculo de la impedancia serie de la línea trifásica, considerando el efecto de retorno por tierra, se realiza similarmente al cálculo de impedancia serie de la línea monofásica. La configuración de los circuitos se muestra en la Figura 3.6, identificándose impedancias, voltajes y corrientes.


b’

c’

a’

ref

tierra remota

b

+

cIc

+

a

+

Figura 3.6 Línea trifásica incluyendo el efecto de retorno por tierra.

De la Figura 3.6, se observará que:

(3.22)

y las caídas de tensión, en la dirección dada a las corrientes, se expresan como:

(3.23)

Extendiendo al caso trifásico lo visto en la sección anterior, se tiene:

Además, se conoce el valor de , y partiendo de estas condiciones, puede establecerse el siguiente sistema de ecuaciones:

(3.24)

y en forma más compacta, la ecuación anterior puede escribirse como:

(3.25)


g g’

tierralocal

__

_

donde las impedancias definidas en (3.24), de acuerdo a la ecuación (3.10), pueden calcularse tal como se muestra a continuación. Para las impedancias serie propias de cada fase:

(3.26)

Además, para las impedancias serie mutuas entre fases, se tiene la expresión siguiente:

(3.27)

En ambos casos, las unidades estarán dadas en /ul. Debe observarse que el efecto de retorno por tierra hace que en los elementos fuera de la diagonal de una matriz trifásica tengan una parte real, representada por . En caso de que el efecto de retorno por tierra no fuese considerado, esta componente no aparecería en la ecuación (3.27).

3.3.5.1 Impedancia Serie de una Línea Trifásica con Hilos de Guarda

Por lo general, en líneas que operan a voltajes mayores de 23 kV, se coloca conductores arriba de los correspondientes a cada una de las fases y aterrizados en cada subestación, con la finalidad de proteger a la línea contra descargas atmosféricas.

La Figura 3.7 representa una línea de estas características conteniendo dos hilos de guarda. Por simplicidad, las impedancias, resultado de los efectos mutuos entre todos los conductores no son mostradas.


b’

c’

a’

b

+

a

+

v’v

w’w

Figura 3.7 Línea trifásica con dos hilos de guarda.

Para este circuito, el conjunto de ecuaciones que resulta es el siguiente:

(3.28)

Donde resulta claro que, debido al aterrizaje de los conductores de guarda, sus correspondientes voltajes serán iguales a cero.

Nótese que en (3.28) ya se ha realizado el proceso de reducir el efecto de retorno por tierra y donde cada elemento se determina ya sea con la ecuación (3.26) o la (3.27), dependiendo si se trata de un elemento diagonal o fuera de esta.

Considerando la partición matricial mostrada en (3.28) y compactando cada bloque submatricial, se obtiene:

(3.29)

El objetivo es que, a partir de (3.29), se obtenga un modelo matricial equivalente trifásico. Esto significa que se debe obtener un conjunto de ecuaciones que incluya únicamente a las fases a, b, c, y que, además, tenga incluidos los efectos de los conductores de guarda. Para esto, se aplica el procedimiento que se describe a continuación.

Realizando las operaciones matriciales indicadas por la partición en la ecuación (3.29), se obtiene lo siguiente:


_ _ _

g g’ref

tierralocal

tierra remota

cIc

+

(3.30)

Debido a que los voltajes de los conductores de guarda son iguales a cero, la segunda ecuación de (3.30) se simplifica como sigue:

De esta última ecuación, puede despejarse a en la forma siguiente:

(3.31)

Substituyendo (3.31) en la primera expresión de (3.30):

Factorizando a : (3.32)

La ecuación (3.32) también puede escribirse en forma simplificada como:

de donde:

(3.33)

Podrá observarse que el conjunto de ecuaciones (3.28), se ha reducido de cinco renglones a tres. El efecto de los conductores de guarda está representado por el término negativo de (3.32).

La ecuación (3.33) representa un procedimiento matricial conocido como Reducción de Kron. Este procedimiento es aplicable también a cualquier número de circuitos con cualquier número de hilos de guarda. La única condición es que los voltajes de la parte inferior del vector correspondiente a los voltajes sean iguales a cero.


Posteriormente, se mostrará como el método de eliminación Gaussiana aplicado parcialmente a la matriz de impedancias en (3.28) es equivalente.

Ejemplo 3.1 La Tabla 3.2 presenta la configuración de una línea de 230 kV conocida en la CFE como 9H04, la cual es mostrada en la Figura 3.8. En este caso, se trata de un circuito con un conductor por fase y dos hilos de guarda. La resistividad del terreno es de 100 Ω-m y la frecuencia es 60 Hz.

Tabla 3.2 Coordenadas de los conductores de la estructura 9H04 (metros).Eje x Eje y0.00 20.916.50 20.9113.00 20.912.45 26.0110.55 26.01

Las características de los conductores de fase e hilos de guarda, para ambos tipos de línea son las siguientes:

Conductores de fase: Conductores de guarda: Tipo: ACSR Tipo: Acero Calibre: 1113 MCM Calibre: 3/8 Resistencia a 50oC: 0.0969 Ohms/mi. Resistencia a 50oC: 6.03375 Ohms/mi. Radio exterior: 1.293 pulgadas Radio exterior: 0.374 pulgadas RMG: 0.0435 pies RMG: 0.001 pies. Capacidad térmica: 1.1 kA.


2.45

6.5

20.9126.01

8.1

6.5

a b

v

Figura 3.8 Estructura de la línea de 230 kV conocida como 9H04.

Primeramente, son calculadas las distancias , tal como se muestra a continuación para algunos de estos valores:

= = 0.0435 ft = 0.0132588 m = [ (0.0 – 6.5)2 + (20.91 – 20.91)2 ]1/2 = 6.5 m. = [ (0.0 – 13.0)2 + (20.91 – 20.91)2 ]1/2 = 13.0 m.

Note que el conductor de la fase es la referencia para las coordenadas horiziontales. Por otra parte, de la Tabla 3.1:

k = 0.07539

Además,

= 0.0969 Ω/mi = 0.0602237 Ω/km

ft = 2790.612 ft = 850.57855 m

Ω/mi = 0.05923 Ω/km

Aplicando las ecuaciones (3.26):

= 0.0602237 + 0.05923 + j 0.07539 (850.57855/0.0132588) = 0.1194544 + j 0.8344927 Ω/km

y las ecuaciones (3.27):

= 0.05923 + j 0.07539 (850.57855/6.5) = 0.1194544 + j 0.3674595 Ω/km

La matriz mostrada a continuación presenta los valores de las impedancias serie de cada uno de los conductores. Posteriormente, se presenta, de acuerdo a la partición mostrada en líneas gruesas, cada una de las submatrices para obtener el equivalente trifásico de esta configuración de línea de transmisión.


a b c v w0.11943774 +

j0.83443695

0.05921400 +

j0.36740372

0.05921400 +

j0.31514737

0.05921400 +

j0.37786326

0.05921400 +

j0.32297432

0.05921400 +

j0.36740372

0.11943774 +

j0.83443695

0.05921400 +

j0.36740372

0.05921400 +

j0.36725903

0.05921400 +

j0.36725903

0.05921400 +

j0.31514737

0.05921400 +

j0.36740372

0.11943774 +

j0.83443695

0.05921400 +

j0.32297432

0.05921400 +

j0.37786326

0.05921400 +

j0.37786326

0.05921400 +

j0.36725903

0.05921400 +

j0.32297432

3.80918312 +

j1.11886537

0.05921400 +

j0.35081327

0.05921400 +

j0.32297432

0.05921400 +

j0.36725903

0.05921400 +

j0.37786326

0.05921400 +

j0.35081327

3.80918312 +

j1.11886537

Donde:

=

DIPLOMADO EN PROTECCIONES DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

0.11943774

+j0.83443695

0.05921400

+j0.36740372

0.05921400

+j0.31514737

0.05921400

+j0.36740372

0.11943774

+j0.83443695

0.05921400

+j0.36740372

0.05921400

+j0.31514737

0.05921400

+j0.36740372

0.11943774

+j0.83443695

58

=

=

=

Esta última submatriz debe ser invertida para obtener el equivalente trifásico:

=

Desarrollando el producto matricial siguiente:

=


0.05921400

+j0.37786326

0.05921400

+j0.32297432

0.05921400

+j0.36725903

0.05921400

+j0.36725903

0.05921400

+j0.32297432

0.05921400

+j0.37786326

0.05921400

+j0.37786326

0.05921400

+j0.36725903

0.05921400

+j0.32297432

0.05921400

+j0.32297432

0.05921400

+j0.36725903

0.05921400

+j0.37786326

3.80918312

+j1.11886537

0.05921400

+j0.35081327

0.05921400

+j0.35081327

3.80918312

+j1.11886537

0.24091584

-j0.06912119

- 0.0150168

-j0.0167022

- 0.0150168

-j0.0167022

0.24091584

-j0.06912119

0.0592140

+j0.3778632

0.0592140

+j0.3229743

0.0592140

+j0.3672590

0.0592140

+j0.3672590

0.0592140

+j0.3229743

0.0592140

+j0.3778632

59

0.24091584

-j0.0691212

-

0.0150168

-

j0.0167022

- 0.0150168

-j0.0167022

.24091584

-

j0.0691212

0.0592140

+j0.3778632

0.059214

+j0.367259

0.0592140

+j0.3229743

0.0592140

+j0.3229743

0.059214

+j0.367259

0.0592140

+j0.3778632

-0.0471517

+j0.0393010

-0.0492629

+j0.0406866

-0.0463823

+j0.0391442

-0.0492629

+j0.0406866

0.11943774

+j0.83443695

-0.0492653

+j0.0406880

-0.0463823

+j0.0391442

-0.0492653

+j0.0406880

-0.0471559

+j0.0393035

Finalmente, el equivalente trifásico para la línea de 230 kV, con la configuración mostrada en la Figura 3.8 es el siguiente:

=

Ω/km

3.3.5.2 Impedancia Serie de Líneas Trifásicas con Conductores Agrupados por Fase

Resulta claro que, conforme se incrementa la transferencia de potencia a través de una línea de transmisión, también se tiene un incremento en las pérdidas, así como en el efecto corona. Una manera de reducir las pérdidas es incrementando el nivel de tensión de las líneas. Otra forma de reducir estos efectos se basa en la definición de resistencia, la cual puede reducirse incrementando la sección transversal de cada conductor de fase.

Sin embargo, si se utiliza un conductor único con sección transversal mayor en cada fase, éste tendría que ser de un calibre que, desde un punto vista de esfuerzos mecánicos, sería impráctico.

Los conductores agrupados causan el mismo efecto de incrementar la sección transversal de los conductores de fase, permitiendo el transporte de altas cantidades de energía, reduciendo el problema del efecto corona y las pérdidas por transmisión, sin presentar los problemas de los conductores de calibres excesivos.

La Figura 3.9 ilustra la secuencia para resolver el problema de modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados en cada fase. Por otro lado, la Figura 3.10


0.16659369

+j0.79513341

0.10847937

+j0.32671571

0.10559887

+j0.27600172

0.10847937

+j0.32671571

0.17132619

+j0.79223686

0.10847937

+j0.32671568

0.10559887

+j0.27600172

0.10847937

+j0.32671568

0.16659369

+j0.79513341

muestra el circuito representativo, en este caso, para la fase a de la línea. Es de suponerse que para las demás fases los circuitos serán semejantes y, además, estarán acoplados entre sí.

Figura 3.9 Secuencia para modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados por fase.

Figura 3.10 Conductores agrupados para la fase a.

Utilizando las ecuaciones (3.26) y (3.27), puede calcularse la matriz de coeficientes para el siguiente conjunto de ecuaciones:

(3.34)

De la Figura 3.10, puede observarse las siguientes relaciones de corriente:


a

r r’

Transformación a’ r

c’ t b’ s b

a

c

a’

+

tierralocal

tierra remota

_

así como también las siguientes relaciones de voltaje:

Entonces, efectuando las restas indicadas, el conjunto de ecuaciones (3.34) se modificará y, en forma compacta, resultará en el siguiente:

(3.35)

donde:

(3.36)

(3.37)

(3.38)

(3.39)

donde cada elemento de la submatriz anterior se determina mediante las expresiones:

(3.40)

Finalmente, la matriz equivalente trifásica se calcula mediante la ecuación (3.33).

3.3.6 Filosofía General del Cálculo de Parámetros de Líneas de Transmisión

Para cada línea de transmisión con un solo circuito, una matriz de impedancias puede formarse tal como se muestra en la Figura 3.11.


Figura 3.11 Forma general de la matriz de impedancias serie.Cuando la línea de transmisión sea del tipo multicircuitos, esto es, que la torre de transmisión soporte más de un circuito, o que se tengan varias torres sobre un mismo derecho de vía, entonces el orden anterior se modificará. Supóngase que se tienen dos circuitos A y B soportados en una misma torre de transmisión. En este caso, el orden para la formación de la matriz general de impedancias serie será como sigue:

1. Conductores principales de A2. Conductores principales de B3. Conductores agrupados de A4. Conductores agrupados de B5. Hilos de guarda de A6. Hilos de guarda de B

El orden de la matriz será igual al número total de conductores y siempre será cuadrada y simétrica. Después de que se ha formado la matriz general, se harán las operaciones necesarias para reducirla, hasta obtener una matriz equivalente de orden 3N, donde N es el número de circuitos sobre un mismo derecho de vía.

3.3.7 Aspectos Computacionales

El diagrama de bloques para calcular las impedancias serie de líneas de transmisión mediante un programa de computadora digital, se muestra en la Figura 3.12.

A continuación, se describe cada bloque, marcando las especificaciones generales que debe contener cualquier programa de computadora digital de este tipo.


hilos de guarda

hilos de guarda

conductores agrupados

conductores agrupados

conductoresprincipales

conductores principales

Figura 3.12 Diagrama de bloques de un programa de computadora digital para el

cálculo de impedancias serie de líneas de transmisión.

3.3.7.1 Lectura de Datos

Los datos que deben alimentar al programa son los siguientes:

Número total de conductores Número de hilos de guarda Resistencia en /ul de cada conductor Radio medio geométrico de cada conductor Coordenadas geométricas de cada conductor Frecuencia Resistividad del terreno Unidad de longitud deseada

3.3.7.2 Formación de la Matriz de Distancias Entre Conductores

Los elementos de la matriz de distancias pueden calcularse mediante la siguiente ecuación:

; i ≠ j (3.41)

donde:

xi, xj = coordenadas horizontales de los conductores i y j, respectivamente.


Lectura de datos

Construcción de la matriz de distancias

Cálculo de la matriz general de impedancias

Reducción de hilos de guarda

Reducción de conductores agrupados por fase

yi, yj = coordenadas verticales de los conductores i y j, respectivamente.

Podrá observarse que Dij = Dji, de modo que es suficiente formar una matriz de distancias entre conductores triangular superior o inferior, sin incluir la diagonal.

3.3.7.3 Cálculo de la Matriz General de Impedancias Serie

Como ya se mencionó anteriormente, el orden de la matriz será igual al número total de conductores que formen la línea de transmisión. Los elementos de la diagonal se determinan con la ecuación (3.26) y los no diagonales mediante la ecuación (3.27).

3.3.7.4 Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados en las Fases

Aplicando la ecuación (3.33) se obtiene el equivalente trifásico de la impedancia serie de la línea de transmisión. Adicionalmente, puede obtenerse este equivalente mediante una eliminación Gaussiana parcial. Para esto, primeramente se reduce los hilos de guarda y, posteriormente de aplicar las ecuaciones (3.38)-(3.39), se reducirá los conductores agrupados en las fases. Este último paso puede representarse esquemáticamente como sigue.

Primeramente, se tiene la matriz de impedancias por bloques de la ecuación (3.35):

(3.42)

Entonces, aplicando el proceso de eliminación Gaussiana parcial, esta matriz por bloques se modifica a la siguiente:

(3.43)

donde el equivalente trifásico de las impedancias serie de la línea estará dado por:

(3.44)

3.4 ADMITANCIA EN PARALELO DE LINEAS DE TRANSMISION


La admitancia en paralelo de líneas de transmisión está formada básicamente por dos parámetros: conductancia y capacitancia. Sin embargo, el primero de ellos se desprecia por las razones que se describen a continuación.

3.4.1 Conductancia de Líneas de Transmisión

Concretamente, para este parámetro todavía no existe un modelo matemático preciso y con la simplicidad apropiada para poderlo manejar. Este parámetro resulta de la observación de las “corrientes de fuga” describiendo una trayectoria de las fases a tierra. Principalmente, estas corrientes fluyen a través del aislador hacia la torre, siendo función de la eficiencia del aislador, la cual varía significativamente con el calor, humedad atmosférica, contaminación y salinidad del ambiente, entre otros factores. Por esta razón, obtener un modelo matemático representativo de este fenómeno, resulta una tarea compleja. Por otro lado, es común despreciar este efecto de corrientes de fuga, debido a que representan un porcentaje muy pequeño con respecto a las corrientes nominales de la línea.

3.4.2 Capacitancia Monofásica

A partir de la ecuación de teoría de campo eléctrico:

(3.45)

donde = 8.854×10-12 F/m y q es la carga en Coulombs. De acuerdo a la Figura 3.13, la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 está dada por:

(3.46)

donde es la permitividad del medio circundante.

Figura 3.13 Esquema para analizar la caída de potencial entre dos puntos.A partir de la ecuación (3.46), puede encontrarse la expresión para una línea monofásica, la cual se representa por la Figura 3.14.


1

2

q

Figura 3.14 Línea monofásica para el análisis de capacitancias.

La diferencia de potencial entre los dos conductores es la siguiente:

(3.47)

y sabiendo que , la ecuación anterior se simplifica como sigue:

F/m (3.48)

Por definición, la capacitancia es:

F/ul (3.49)

substituyendo (3.48) en (3.49), y considerando que ,

F/m (3.50)

3.4.3 Capacitancia para Líneas de Transmisión

En esta sección, se presenta el método general para determinar capacitancias para una línea con cualquier número de conductores, incluyendo hilos de guarda y considerando el efecto de tierra.

La Figura 3.15 muestra el esquema de cargas-imágenes, para considerar el efecto de tierra en el cálculo de capacitancias. Con este método, los voltajes involucrados son determinados mediante la ecuación siguiente:

(3.51)


D

ar

donde:

Hij = distancia entre el conductor i y la imagen del conductor j. Si i = j, Hii es la distancia del conductor i a su propia imagen.Dij = distancia entre los conductores i y j. Si i = j, Dii es el radio exterior del conductor i. qj = carga del conductor j.

La ecuación (3.51) puede compactarse para obtener:

(3.52)

En esta ecuación, V es el vector de voltajes, P es una matriz de coeficientes de potencial y q es el vector de cargas. La matriz de coeficientes de potencial es definida como:

F-1 m (3.53)En este caso, ri es el radio exterior del conductor i. Si la ecuación anterior se escribe en la forma:

Coul/m (3.54) se podrá definir:

F/ul (3.55)


Figura 3.15 Conductores con sus respectivas imágenes, representados por cargas.

En términos fasoriales, para la densidad de carga Q y el voltaje V, la ecuación (3.54) se escribe como:

(3.56)

multiplicando ambos miembros por j:

(3.57)

y sabiendo que I = Y V, entonces,

(3.58)

donde , en este caso, es la admitancia en paralelo de la línea de transmisión.

3.4.4 Aspectos Computacionales

La matriz de coeficientes de potencial P se maneja en la misma forma que la matriz de impedancias serie, desde que se forma hasta que se obtiene su equivalente trifásico. Se debe notar que la matriz P, para fines computacionales, será considerada como real. A diferencia de la matriz de impedancias, se requiere de la inversión matricial (3.55) y multiplicar por j para obtener la matriz de admitancias


equivalente. Esto puede observarse en la Figura 3.15. Los detalles de cada bloque se describen a continuación.

3.4.4.1 Lectura de Datos

Bajo la suposición de que en un mismo programa de computadora se calculan todos los parámetros de la línea de transmisión, el único dato adicional, con respecto a los definidos para la impedancia serie, es el radio exterior de los conductores.

Figura 3.15 Diagrama de bloques para el cálculo de la matriz de admitancias en derivación , para líneas de transmisión trifásicas.

3.4.4.2 Formación de la Matriz de Distancias

Las distancias son calculadas en base a las coordenadas geométricas de los conductores. Considerando como referencia a la tierra para el eje vertical, entonces, la fórmula para encontrar tales distancias es:

(3.59)

3.4.4.3 Construcción de la Matriz de Coeficientes de Potencial

Para un programa de cómputo, las ecuaciones (3.53) pueden rescribirse como sigue:


Lectura de datos

Construcción de la matriz de distancias

Cálculo de la matriz de coeficientes de potencial P

Reducción de hilos de guarda y conductores agrupados por fase

Obtención de la matriz de admitancias

F-1 m (3.60)

donde k’ puede tener los valores mostrados en la Tabla 3.3. El orden de la matriz será igual al número total de conductores de la línea.

3.4.4.4 Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados

Este proceso se ejecuta en forma similar al descrito en la sección correspondiente a los parámetros serie.

3.4.4.5 Cálculo de la Matriz

La matriz de admitancias en derivación trifásica, se obtiene al invertir la matriz de coeficientes de potencial reducida, y multiplicándola por el término j, tal como lo muestran las ecuaciones (3.55) y (3.58). El orden de la matriz por invertir es de 3, únicamente. La forma general de la matriz de admitancias en derivación será la siguiente:

(3.61)

y las unidades pueden ser mhos (-1) o submúltiplos de mhos/ul. Las más usuales son dadas en micromhos/milla y micromhos/kilometro. Los signos de los elementos en (3.61) son debidos a que todos los elementos de la matriz P son positivos.


Tabla 3.3. Constantes para capacitancias en nF/ulConstante Unidad de Longitud Logaritmo Natural Logaritmo Base 10

k’

(1/3) k’

Kmmi

kmMi

55.63089.525

18.54329.842

24.15938.880

8.05312.960

f = 50 Hzf k’

k’

kmmi

kmMi

2781.494476.24

17476.5728125.04

1207.971943.99

7589.9012214.42

f = 60 Hzf k’

k’

kmmi

kmMi

3337.785317.49

20971.8933750.07

1449.57 2309.33

9107.8814657.32

nota: n = nano =10-9.

3.5 TRANSPOSICION DE CONDUCTORES EN LINEAS

Hasta este momento, se ha calculado los parámetros serie y derivación de la línea de transmisión en por unidad de longitud. En esta sección, se obtendrá tales parámetros considerando la longitud de la línea, a fin de observar el efecto de las transposiciones sobre los mismos.

A manera de ilustración, únicamente se observa el efecto de la transposición sobre la impedancia serie, debido a que su efecto sobre la admitancia en derivación es similar.

El equivalente trifásico de la impedancia serie, relacionando a los voltajes con las corrientes es el siguiente:

(3.62)

Aquí, es clara la existencia de acoplamientos mutuos, de modo que las corrientes de cualquier conductor producirán caídas de tensión en los conductores adyacentes.


Además, estas caídas de tensión pueden ser diferentes entre sí, aun para corrientes balanceadas, debido a que las impedancias mutuas dependen del arreglo físico de los conductores de la línea.

Solamente se tendrá un efecto balanceado de los acoplamientos mutuos cuando la línea tenga un espaciamiento triangular equilátero, es decir, que Dab = Dbc = Dca. Sin embargo, este tipo de arreglo es pocas veces utilizado en la realidad, debido a cuestiones del diseño mecánico de la línea.

Otra manera para balancear las impedancias mutuas consiste en la realización de transposiciones a lo largo de la línea. Una transposición es una rotación física de los conductores que puede ejecutarse a intervalos regulares o irregulares de la distancia total de la línea. En la práctica, solo las líneas de transmisión de alto voltaje y de longitud considerable presentan transposiciones (por ejemplo, líneas de 230 o 400 kV y de longitudes mayores a 100 km).

3.5.1 Método General de Transposiciones

Este método permite obtener parámetros de la línea con cualquier número de transposiciones y a cualquier distancia que se desee para cada transposición, tal como muestra la Figura 3.16, donde se presenta la transposición completa de la línea consistente en dos rotaciones. Esta transposición se dice que es completa, debido a que solo se requiere de dos rotaciones para balancear perfectamente el circuito trifásico. En la práctica, puede realizarse otra rotación adicional con el fin de mantener en la misma posición a las fases del circuito trifásico.

Figura 3.16 Esquema de la transposición completa de una línea de transmisión.

Matemáticamente, para lograr las rotaciones se utiliza las matrices de rotación siguientes:


S

a

b a

c

b

3s1s Sección 1 Sección 2 Sección 3

Posición 1

Posición 2bI

Posición 3

cI

c

(3.63)

y su inversa:

(3.64)

pudiéndose comprobar que .

Un ciclo completo de transposición está dado por las transformaciones lineales:

(3.65)

que es llamada “Transformación R” y, además,

(3.66)

la cual es conocida como “Transformación 1R ”.

Si se desea analizar el efecto de la transposición, sin tomar en cuenta la longitud S de la línea, entonces se define lo siguiente para un ciclo completo:

(3.67)

donde:

(3.68)

Partiendo de la Figura 3.16, el cálculo de parámetros con transposiciones, para cada una de las secciones es como sigue:Primera sección:

/ul (3.69)Segunda sección:

/ul (3.70) Tercera sección:


/ul (3.71) Por último, se tendrá la impedancia serie total de la línea de transmisión:

321 ZZZZabc /ul (3.72)

De acuerdo a lo anterior, puede observarse que con este método puede calcularse transposiciones en cantidades y longitudes que se desee.

3.5.2 Línea No Transpuesta

La Figura 3.17 muestra una línea no transpuesta. El modelo matricial permite observar que el mayor grado de desbalance que puede existir entre los acoplamientos mutuos se presenta en este caso, cuya impedancia serie de la línea, considerando su longitud, se determina como sigue:

(3.73) (3.74)

(3.75)

Figura 3.17 Línea No Transpuesta.

3.5.3 Línea Con Transposiciones Parciales

Una transposición parcial es la que resulta de dividir a la línea en solo dos secciones de longitud y haciendo una rotación, tal como lo muestra la Figura 3.18.


b

c

S =

Sección 1

Posición 1

Posición 2

Posición 3

a

cPosición 1

Figura 3.18 Línea de transmisión con transposición parcial.

En este caso,

(3.76)

(3.77)

(3.78)

donde la rotación se logra aplicando las ecuaciones (3.69) y (3.70), para calcular y , respectivamente. Si se aplica la ecuación (3.71) en lugar de la (3.70), se logrará el mismo efecto, pero con una rotación en sentido opuesto.

El grado de desbalance para el caso de líneas con transposiciones parciales será menor que en el caso de tener una línea no transpuesta, debido a que una rotación ayuda considerablemente al balanceo de los efectos mutuos.

En general, los resultados de las dos secciones anteriores serán los siguientes:

(3.79)

donde:

, , (3.80)


S

a

b

Sección 1 Sección 2

Posición 2

Posición 3

La transposición completa de línea permite balancear perfectamente los efectos propios y mutuos. Sin embargo, cualquier tipo de transposición, ya sea parcial o total, económicamente resultará costosa, además de que los desbalances en los acoplamientos mutuos son relativamente pequeños, por lo que normalmente las líneas no se transponen, aun cuando los modelos matemáticos consideren balanceados los efectos mutuos.

Ante una transposición ideal, el modelo trifásico de la línea de transmisión será:

(3.81)

Para los casos anteriores, se obtiene un modelo trifásico de los efectos serie y derivación de la línea de transmisión. Sin embargo, cuando se tiene el caso de dos o más líneas de transmisión sobre un mismo derecho de vía o dos o más líneas físicamente cercanas entre sí, el modelo que se obtiene será de orden mayor, lo cual es descrito a continuación.

3.6 LÍNEA DE TRANSMISIÓN CON CIRCUITOS MULTIPLES

Cuando una línea de transmisión contiene dos o más circuitos en paralelo, entonces se habla de un sistema de transmisión de circuitos múltiples. Para este tipo de sistemas, las ecuaciones de voltaje pueden escribirse de la manera siguiente [3]:

(3.82)

donde:

; ;

(3.83)


El orden del conjunto de ecuaciones (3.82) será de 3 veces el número de circuitos múltiples. Por ejemplo, para una línea con dos circuitos múltiples, el modelo matricial será de orden 6.

Como se explicó anteriormente, ante la presencia de circuitos múltiples se tiene que construir el modelo matricial de la siguiente manera:

1. Conductores principales de A2. Conductores principales de B3. Conductores agrupados de A4. Conductores agrupados de B5. Hilos de guarda de A6. Hilos de guarda de B

El orden de la matriz será igual al número total de conductores y siempre será cuadrada y simétrica. Después de que se ha formado la matriz general, se harán las operaciones necesarias para reducirla, hasta obtener una matriz equivalente de orden 3N, donde N es el número de circuitos sobre un mismo derecho de vía.

En el caso de realizar transposiciones, estas son ejecutadas para cada bloque matricial de orden 3 resultantes del modelo de estas líneas sobre el mismo derecho de vía. Es decir, para el caso en que se tiene dos circuitos sobre el mismo derecho de vía, el modelo de impedancias serie es:

de modo que la aplicación del método de transposición completa será el siguiente:

Primera sección:

Transformación R :


Transformación 1R :

y posteriormente son sumados los resultados anteriores, para cada bloque matricial, de acuerdo a la ecuación (3.72).

3.8 MODELADO MONOFASICO DE LINEAS DE TRANSMISION

En estado estacionario, la línea de transmisión puede modelarse como un circuito de parámetros concentrados de una línea larga, donde la resistencia e inductancia totales son incluidas en la rama serie del circuito , mientras que la capacitancia total se divide entre sus ramas en derivación. Para obtener este modelo, se parte del circuito de la Figura 3.20.

Figura 3.20 Línea de transmisión con parámetros distribuidos.


++

xIxz xxI

xxV

+

+

x

x = d

Entonces, de acuerdo a lo anterior, se tiene las siguientes relaciones en por unidad de longitud:

Ω / ul (3.96)

ul

Aplicando la Ley de Voltajes de Kirchhoff:

de donde:

Tomando el límite cuando 0x :

xIzx

xVxxVLimx

0

resulta que:

(3.97)

De la misma manera, aplicando la Ley de Corrientes de Kirchhoff:

Rearreglando:

Tomando el límite cuando :

(3.98)


Derivando (3.97) y (3.98) con respecto a x:

(3.99)

(3.100)

Substituyendo (3.97) en (3.100):

(3.101)

y ahora substituyendo (3.98) en (3.99):

(3.102)

Definiendo:

1/ul2 (3.103)

1/ul

= Re= constante de atenuación (3.104)

= Im = constante de fase

donde = + j y se define como constante de propagación. Substituyendo en (3.101) y (3.102):

(3.105) xI

dxxId 2

2

2


Estas ecuaciones pueden escribirse en la forma siguiente:

(3.106)

(3.107)

siendo estas ecuaciones diferenciales homogéneas, las cuales tienen la solución:

(3.108)

Para determinar p1 y p2 se forma el polinomio característico de (3.106), haciendo:

;

Substituyendo:

De aquí,

022 p

Resolviendo para p:

de donde p1 = y p2 = - . Substituyendo en (3.108):

(3.109)

Para determinar A1 y A2 se establecen las relaciones cuando x = 0:

(3.110)


Además, se supone una carga conectada en el extremo de recepción equivalente a la impedancia característica de la línea de transmisión:

de modo que se establece el voltaje en tal extremo, en función de la corriente:

(3.111)

De la ecuación (3.111) se obtiene:

(3.112)

Substituyendo en (3.110):

Resolviendo para A2:

(3.113)


Resultando:

(3.114)

Entonces, substituyendo (3.113) y (3.114) en (3.109):


(3.115)

(3.116)

Rearreglando:

(3.117)

(3.118)

Las funciones exponenciales de las dos últimas ecuaciones son las funciones seno y coseno hiperbólicas, es decir:

de modo que las ecuaciones (3.117) y (3.118) pueden escribirse en la forma:

(3.119)

(3.120)

Estas ecuaciones son completamente adecuadas para determinar el comportamiento de la línea de transmisión, una vez conocidas , y las variables de voltaje y corriente en el extremo de recepción, e . Para obtener los valores de voltaje y corriente en el extremo de envío:

(3.121)


(3.122)

Aun cuando las ecuaciones (3.121) y (3.122) permiten determinar el comportamiento de la línea, un circuito equivalente es más adecuado para el análisis nodal, debido a que puede ser interconectado con otros componentes.

Para cumplir con tal objetivo, considérese el circuito de la Figura 3.21.

Figura 3.21 Circuito de la línea de transmisión.

A partir de esta figura, el voltaje en el extremo de envío es definido en términos del voltaje y las corrientes en otros puntos del circuito:

Esta expresión puede escribirse también como:

(3.123)

Por otro lado,

Substituyendo (3.123) en esta última ecuación:


rs

de donde se obtiene:

(3.124)

Comparando la ecuación (3.123) con la (3.121), se obtiene las siguientes igualdades:

(3.125)

(3.126)


Rearreglando:

El lado derecho de esta última expresión es la función tangente hiperbólica del argumento de los exponenciales, de modo que se simplifica a:

y de aquí,


(3.127)

Las ecuaciones (3.126) y (3.127) representan al circuito de la Figura 3.21, en términos de los parámetros de la línea de transmisión. Sin embargo, para poder obtener este modelo es necesario aplicar la transformación de componentes simétricas a los modelos trifásicos de la línea. Esto es, debe calcularse:

Definiendo:

; ;

; ;

y de aquí,

;

;

;

Substituyendo valores:

(3.128)

(3.129)

(3.130)


Similarmente:

(3.131)

(3.132)

(3.133)

Los circuitos correspondientes a las ecuaciones (3.128)-(3.133) son los mostrados en la Figura 3.22.


(a)

(b)

(c)

Figura 3.22 (a) Circuito de secuencia cero (0); (b) circuito de secuencia positiva (1); (c) circuito de secuencia negativa (2), después de haber aplicado la transformación de componentes simétricas al

modelo trifásico de la línea de transmisión.

REFERENCIAS

[1] John J. Grainger, William D. Stevenson Jr., Análisis de Sistemas de Potencia, McGraw-Hill, 1996.

[2] P.M. Anderson, Analysis of Faulted Power Systems, University of Iowa Press, 1982.

[3] Mo-Shing Chen, William E. Dillon, "Power System Modeling," Proceedings of the IEEE, Vol. 62, No.7, July 1974, pp. 901-915.


rs

0sI0z

roV0sV 2

0y

0rI

20y

rs

1sI

1z

1rV1sV 2

1y

1rI

21y

rs

CAPITULO 4

CABLES DE POTENCIA

4.1 INTRODUCCION

Los cables de alta tensión se están convirtiendo en una opción para la transmisión de energía eléctrica donde existen problemas de espacio para las líneas de transmisión aérea, o bien, cuando el problema es de tipo estético, ambiental o cuando se tiene el problema de que las líneas de transmisión aérea están sujetas a condiciones meteorológicas extremas como pueden ser huracanes. En este capítulo, son presentados los conceptos asociados con el diseño, modelado y análisis de cables de alto voltaje para la transmisión de energía eléctrica.

4.2 AISLAMIENTO DE LOS CABLES

La Figura 4.1 presenta un cable aislado a través de una pantalla de aislamiento. En este caso, el voltaje entre el conductor y tierra es el mismo que en el caso en el que el aire fuera el aislante únicamente. Además, un divisor de voltaje se ha creado, ya que ahora existe una impedancia entre el material aislante que cubre al conductor y tierra.

Figura 4.1 Conductor cubierto por una pantalla aislante.


Voltaje entre el conductor y tierra Voltaje entre la cubierta y

tierra

Conductor

Cubierta

Aire

Es importante hacer notar que la distribución de voltajes hacia la superficie de la cubierta estará definida por las impedancias presentes en el cable. Además, se debe considerar que con la tierra relativamente lejana del conductor aislado, se presenta una distribución de voltaje donde la superficie de la cubierta exterior tiene un voltaje muy menor (del 5 al 2%) con respecto al que presenta el conductor (del 95 al 97%).

La corriente que puede fluir de la cubierta a tierra está limitada por la impedancia de la cubierta. Si esta está hecha de un material aislante excelente, la mayoría de la corriente se deberá a corrientes capacitivas. Entonces, una corriente estará presente en la superficie de la cubierta, debida a un voltaje relativamente pequeño (600 volts o menos), aunque en magnitud puede considerarse imperceptible. Cuando esta condición existe con algún nivel de confianza, entonces, a la cubierta se le puede llamar aislamiento del cable, la cual será adecuada para un contacto continuo con una superficie aterrizada, de manera que tal contacto no resulte en degradaciones térmicas o químicas.

Debido a la proximidad y contacto con otros objetos, el grosor de los materiales aislantes obedece más a cuestiones mecánicas que eléctricas. El medioambiente, la necesidad de resistencia al fuego, a la luz solar y reglas de instalación a menudo hacen que solo un material cumpla con todos estos requisitos, de modo que es común encontrar diseños de dos o más capas para niveles de tensión relativamente bajos.

4.3 ASPECTOS DE DISEÑO DE CABLES SUBTERRÁNEOS

Para el cable de la Figura 4.1, donde se tiene un conductor metálico rodeado por aire y cubierto por un material aislante, conforme se acerca al plano de la tierra e incluso cuando la cubierta toca la tierra, las líneas de campo eléctrico tienden a distorsionarse, lo cual es mostrado en la Figura 4.2. El resultado es una diferencia de potencial entre la superficie aislante y el plano de tierra, la cual puede considerarse insignificante conforme para niveles de tensión operativa bajos. Sin embargo, conforme se incrementa el voltaje de operación, los gradientes de potencial son suficientes para hacer fluir una corriente a través de la superficie de la cubierta aislante. Aun cuando estas corrientes son pequeñas, debido a la alta impedancia del material de la superficie, se produce un calentamiento que a través del tiempo puede causar daños al material.

A primera vista, tal parece que la solución de este problema es aumentar sección transversal del aislamiento conforme se incrementa el nivel de tensión. Sin embargo, el problema de la erosión de la superficie de este material y los posibles daños a personal e instalaciones hacen que esta sea una solución inviable.


Figura 4.2 Líneas del campo eléctrico del conductor al plano de tierra.

Una forma de mantener en valores mínimos a las corrientes a través de la superficie aislante, es introduciendo en el diseño del cable una capa de material semiconductor, en lugar de aire hacia el interior de la cubierta. Esto hace posible el contacto permanente con tierra y el campo eléctrico se confina al interior de la superficie semiconductora. Este diseño es mostrado en la Figura 4.3.

Figura 4.3 Cable aislado con una capa semiconductora.


Tierra

Conductor

Superficiede la cubierta

Voltaje entre el conductor y la superficie

Voltaje entre la superficie semiconductora a tierra

tierra

Conductor

Capa semiconductora

De esta figura resulta claro que se crea un capacitor desde el conductor a la superficie semiconductora. Una gran cantidad de carga puede estar contenida dentro de este capacitor y la corriente de carga asociada debe ser controlada, tal que una trayectoria a tierra, a través de puntos específicos, no se establezca a lo largo de la superficie semiconductora, ya que esta corriente puede dañar e inclusive destruir la superficie semiconductora. Por lo tanto, es necesario proporcionar un contacto continuo entre la superficie semiconductora y tierra, lo cual puede lograrse mediante la adición de una pantalla metálica para drenar la corriente de carga capacitiva en contacto con la superficie semiconductora.

Una vez que la pantalla metálica ha sido agregada al sistema de aislamiento del cable, no hay forma de que se evite su impacto ante la presencia de fallas a tierra. Esto debe ser considerado para evaluar su capacidad interruptora de corrientes de falla o para proporcionar un medio complementario para satisfacer este requisito. Este es un aspecto crucial en el diseño del cable.

Los cables pueden tener requerimientos de corrientes de falla suficientemente grandes, que es común agregar un neutro al diseño de la pantalla metálica del sistema de cables. A estos cables se les ha conocido como Distribución Residencial Subterránea (URD) y Distribución Subterránea (UD). Es importante que las funciones del sistema de la pantalla metálica sean conocidas a detalle, debido a que han ocurrido accidentes y errores serios al pasar por alto tales funciones. Sin embargo, es importante apuntar que los esfuerzos eléctricos mayores ocurren en el conductor.

Una forma de reducir los esfuerzos en el conductor es agregando una pantalla semiconductora rodeando al conductor, tal como lo muestra la Figura 4.4. Esto reduce la probabilidad de deformaciones en la superficie de aislamiento. Estas deformaciones incrementa los esfuerzos eléctricos en puntos específicos que, a través del tiempo, pueden exceder la capacidad de aislamiento de tal superficie. Esto es especialmente crítico cuando se trata de aislamientos dieléctricos por expulsión. A diferencia del aire no hay una forma fresca para suministrar aislamiento. Cualquier daño será progresivo hasta culminar en la destrucción total de la superficie aislante.

Figura 4.4 Conductor con un pantalla semiconductora.


Conductor

Pantalla semiconductora

Por otra parte, para niveles medios y altos de tensión es crítico que las superficies de asilamiento y la capa semiconductora estén libres de contaminación.

Los materiales de aislamiento eléctrico son utilizados sobre los conductores metálicos de los cables subterráneos que operan a cualquier nivel de tensión. Los materiales poliméricos son utilizados como aislamiento, pero la naturaleza del polímero dependerá del nivel de tensión.

Los cables de transmisión, los cuales son definidos de esta forma cuando operan a niveles de tensión superiores de 46kV, han utilizado sistemas de papel/aceite como aislamiento. En algunos años atrás, se desarrolló una variación basada en películas de papel con polipropileno (PPP o PPLP). Con la aparición de los materiales polímeros sintéticos, el polietileno ha sido usado como un material de aislamiento y en muchos países este uso fue limitado a la versión de enlaces cruzados (XLPE). El XLPE ha sido el material de uso más generalizado, debido a que es fácil de procesar y manejar, aunque los sistemas de papel/aceite tienen una historia de utilización más antigua y, por tanto, existe una cantidad de confiabilidad mayor de estos sistemas.

Para niveles de voltaje de distribución, hasta 35 kV, se ha utilizado el polietileno convencional (PE). Sin embargo, y sobretodo en la década de los años ochenta, el material más utilizado ha sido el XLPE. En años más recientes, el propileno etileno (EPR) se ha venido aplicando también. Para niveles de tensión más bajos, la posible selección de materiales poliméricos se extiende. Aquí es posible la aplicación del cloruro de polivinilo (PVC), hule de silicón (SIR) u otros polímeros que son fáciles de procesar y usar. La Tabla 4.1 presenta algunas de las propiedades de estos tipos de materiales, asociadas a propiedades químicas y eléctricas.

Tabla 4.1 Algunas propiedades de materiales poliméricos.Tipo de Polímero Propiedad

PE de baja densidad Pérdidas dieléctricas bajas;Sensible a la humedad bajo esfuerzos de voltaje

XLPE Pérdidas ligeramente mayores vs. PE;Vida útil mayor que el PE.

EPR Pérdidas mayores que PE y XLPE;Mayor flexibilidad que PE y XLPE;Requiere de la integración de moléculas de materiales inorgánicos.

PVC Debe contener plastificantes para flexibilidad;Mayores pérdidas que los tipos anteriores.

La gráfica de la Figura 4.5 presenta las pérdidas dieléctricas por km de cable, para diferentes tipos de aislamiento. La calidad de los aislamientos actuales puede decirse


que es excelente. En los últimos años ha habido progresos considerables tanto en los materiales como en los procesos de fabricación de cables.

La decisión acerca de aislamientos secos o de aceite solamente es estudiada con cuidado para cables de 230 y 400 kV. Cada tipo tiene sus ventajas y desventajas y la decisión final dependerá de la situación particular de cada cable.

Figura 4.5 Pérdidas dieléctricas en función del nivel de tensión.

4.4 ESTRUCTURA GENERAL DE CABLES DE POTENCIA

En términos generales, la estructura de un cable que utilizan estos materiales es mostrada en la Figura 4.6. A este tipo de cables también se les conoce como cables de aislamiento seco. Note además de que tiene una doble protección contra la infiltración de humedad a las pantallas semiconductoras interior y exterior.


Figura 4.6 Componentes de un cable de aislamiento seco.

4.4.1 Conductor

El material del conductor es comúnmente cobre o aluminio y su función, aparte de conducir la corriente eléctrica, es soportar tensiones mecánicas durante el tendido del cable. La capacidad de transporte del cobre es mayor que la del aluminio, debido a que tiene una menor resistividad. Un análisis comparativo muestra que se requiere de dos secciones transversales de aluminio con respecto a la sección transversal de cobre para obtener la misma capacidad de transporte.

Los conductores están formados por alambres redondos compactados. Cuando las tensiones son muy elevadas y se tiene secciones transversales muy grandes (1000 mm2 para el cobre y 1600 mm2 para el aluminio), se recurre a seccionar el conductor en varias partes para reducir el efecto piel, el cual causa pérdidas de energía.

4.4.2 Pantallas Semiconductoras Interna y Externa

El semiconductor interno es una capa pequeña de XLPE situada entre el conductor y el aislamiento cuya función principal es distribuir el campo eléctrico, evitando que se concentre en puntos concretos, además de que asegura un contacto perfecto con el aislamiento evitando la presencia de aire, cuya ionización resultaría en problemas de perforación del aislamiento.


La pantalla semiconductora exterior tiene las mismas funciones que la interior. Esta es incorporada en el cable en conjunto con la interior y el aislamiento a través de un proceso llamado extrusión, con lo cual se evita la presencia de impurezas que pueden causar problemas con la distribución del campo eléctrico.

El material semiconductor está constituido, generalmente, de polímeros a base de EVA (Ethyl Vinyl Acetato) o similares que contienen un 40% de negro de humo, grafito o negro de carbono, para conferirle su necesaria conductividad eléctrica.

La importancia de estas capas semiconductoras no se tenía muy en cuenta en los inicios de la construcción de cables, pero pronto se constató que los iones que contenían contaminaban en gran medida al aislamiento, causando perforaciones prematuras de los cables. Por ello se ha dejado de utilizar las capas semiconductoras grafitadas que se usaron en las primeras generaciones de cables aislados con materiales sintéticos.

Para cables de alta tensión (>60 kV), se debe usar semiconductores superlisos (“supersmooth”), producidos con negro de humo, cuyo contenido en iones es menor que el negro de carbono, lo que disminuye el peligro de difusión de cargas eléctricas peligrosas en el aislamiento. Además, este tipo de semiconductores garantiza una superficie de contacto perfecto entre el aislamiento y los semiconductores exterior e interior y por consiguiente, una homogeneidad perfecta del campo eléctrico y una ausencia de puntos con campo eléctrico alto.

4.4.3 Pantalla Metálica

La pantalla metálica tiene las funciones siguientes:

Evitar la presencia del campo eléctrico en el exterior. Proporcionar un asilamiento adicional contra la humedad. Contribuir a la fortaleza mecánica del cable. Funciona como conductor de corrientes capacitivas y de fallas desbalanceadas.

Los materiales de las pantallas incluyen cobre, aluminio, bronce, plomo, así como mezclas de estos materiales, dependiendo de cada caso concreto.

Por otra parte, si se requiere, se puede agregar una armadura como refuerzo adicional, dependiendo de las condiciones de trabajo del cable.

4.4.4 Cubierta Exterior

La cubierta exterior está hecha de polietileno termoplástico, y en ocasiones puede llevar una capa semiconductora para realizar ensayos dieléctricos de la cubierta en obra. La función de esta cubierta es aislar al cable de exterior, evitando fugas a tierra de la pantalla metálica y protegiéndola de la corrosión.


4.4.5 Aislamiento

El aislamiento está diseñado para soportar tensiones nominales de operación, sobretensiones tipo rayo y sobretensiones de maniobra.

Con respecto al aislamiento, este puede ser de dos tipos: encintado y extruido, tal como se muestra en el esquema de la Figura 4.7. La Figura 4.8 muestra además una fotografía de los tipos de aislamiento más utilizados en cables de alta tensión.

Figura 4.7 Esquema de los tipos de aislamiento para cables.


Figura 4.8 Aislamientos del tipo encintado y extruidos.

La gráfica de la Figura 4.9 presenta los tipos de aislamiento aplicados con respecto al nivel de tensión de operación del cable.

Figura 4.8 Utilización de diferentes tipos de asilamiento con respecto a niveles de tensión.

4.4.6 Envejecimiento de los Aislamientos

La norma IEC 60505 define al envejecimiento como “un cambio nefasto e irreversible de los sistemas aislantes para seguir siendo apto para el servicio. Estos cambios se caracterizan por un índice de fallos que aumentan con el tiempo”. A pesar de esta bella definición, el envejecimiento eléctrico de los dieléctricos es, incluso hoy día, más un asunto de opinión que un fenómeno perfectamente conocido y definido. El termino “envejecimiento” está asociado a un amplio espectro de fenómenos tales como las perforaciones, arborescencias, descargas parciales, oxidación, etc.

A pesar de la cantidad enorme de datos experimentales disponibles sobre el envejecimiento, los fenómenos fundamentales causantes del mismo aún están lejos de ser entendidos. Entonces, no es extraño que sea muy difícil predecir con precisión la vida útil que le queda a un cable, basándose en ensayos acelerados realizados en condiciones absolutamente diferentes a las que el cable tendrá en su vida real de servicio. No obstante lo anterior, hay un fenómeno que es perfectamente conocido


por los fabricantes e investigadores de cables, aunque su origen sea todavía un misterio: las arborescencias de agua de las cuales se muestra un ejemplo en la Figura 4.10.

Figura 4.10 Ejemplo de arborescencias de agua en cables antiguos con aislamiento de PE termoplástico y XLP.

Estas arborescencias, especie de micro canales de descomposición del polímero, pueden llevar más o menos rápidamente a la perforación de los cables en servicio. Para que su nacimiento tenga lugar debe darse en el cable la presencia de tres elementos al mismo tiempo:

Agua Impurezas en aislamiento o irregularidades en interfaz aislamiento/semiconductor Campo eléctrico

Las primeras generaciones de aislamientos sintéticos contenían muchas impurezas y los procedimientos y técnicas de fabricación así como los ensayos eléctricos no eran como los de hoy en día; por esas razones se producían numerosos fallos en los primeros cables con apenas unos años de servicio.

4.5 CÁLCULO DE PARÁMETROS DE CABLES DE ALTA TENSIÓN

Para modelar adecuadamente cables de alta tensión es necesario determinar los parámetros eléctricos a partir de sus características físicas y eléctricas. En la Figura 4.11 se muestra la configuración geométrica de un cable coaxial de núcleo sencillo (CNS), la cual se utilizará para calcular la impedancia serie y la admitancia en paralelo.


Figura 4.11 Sección transversal de un cable coaxial de alta tensión.

En el cálculo de los parámetros eléctricos se hace las siguientes consideraciones:

1. Las pérdidas involucradas en los dieléctricos son despreciables.2. El conductor tiene permeabilidad constante.3. El cable es longitudinalmente uniforme.

Lo anterior se justifica por el hecho de que en este estudio se considera aislamientos poliméricos, los cuales están caracterizados por tener bajas pérdidas dieléctricas. Actualmente, el uso de este tipo de aislamientos se está extendiendo en los sistemas industriales y de distribución. Algunos materiales comúnmente usados son el cloruro de polivinilo (PVC), polietileno (PE), polietileno de cadena cruzada (XLPE) y EPR. 4.5.1 Impedancia Serie

El campo magnético en el núcleo del cable, en la pantalla conductora y en el aislamiento, junto con la corriente eléctrica en los conductores, da lugar a la impedancia serie , la cual, en por unidad de longitud, está integrada por la impedancia del conductor central, , por la impedancia de la pantalla conductora, , y de la impedancia asociada con la inductancia debida al flujo magnético en el aislamiento, , esto es [6]:


Ω/m (4.1)

donde:

Ω /m (4.2)

Ω /m (4.3)

H/m (4.4)

(4.5)

Las constantes y son la conductividad del núcleo y de la pantalla, respectivamente, mientras que . Las funciones I0(x), I1(x), K0(x) y K1(x) son las funciones modificadas de Bessel del primero y segundo tipo y de cero y primer orden, respectivamente. Las impedancias del núcleo y de la pantalla conductora son obtenidas a partir de las ecuaciones de Maxwell, cuya manipulación matemática conduce a ecuaciones diferenciales que definen la difusión del campo electromagnético en el interior de los conductores. La característica de estas ecuaciones es que son ecuaciones de Bessel, las cuales tienen como solución a las funciones de Bessel mencionadas anteriormente.

La manipulación matemática de las ecuaciones (4.1) y (4.2) conduce a las siguientes ecuaciones simplificadas [2]:

Ω /m (4.6)

Ω /m (4.7)

Estas ecuaciones no contienen funciones de Bessel y por lo tanto es más fácil evaluarlas.

4.5.2 Impedancia de Retorno por Tierra


La impedancia propia de la trayectoria de retorno por tierra de un cable subterráneo fue determinada por Pollaczek [7] y, tal como ocurre en las fórmulas de Carson para la línea de transmisión aérea, se involucra series infinitas [3].

Para determinar la matriz de impedancias de un sistema de cables subterráneos se considera que la tierra es un medio homogéneo, cuya superficie plana divide al espacio en dos regiones semifinitas: el suelo y el aire, las cuales tienen la misma permeabilidad, esto es, µ1 = µ2. En la Figura 4.12 se muestra el arreglo de los cables subterráneos y las regiones involucradas en el análisis. Se considera además que el campo en el suelo será prácticamente igual al campo que estaría presente si los cables fueran reemplazados por conductores aislados infinitamente pequeños y sus volúmenes reemplazados por el terreno. El análisis de los campos electromagnéticos presentes en ambas regiones conduce a la integral de Pollazeck [5, 7], a partir de la cual, Wedephol [3] obtuvo una formulación más simple de aplicar y útil para la mayoría de los casos prácticos de interés [3, 5, 6, 7].

Figura 4.12 Arreglo de dos cables subterráneos.

Entonces, la impedancia propia del cable j se expresa como [3,5]:


Ω/m

(4.8)

donde ρ es la resistividad del terreno, γ es la constante de Euler y lj es la profundidad del cable j. El término mt se calcula de manera similar a m1 y m3 en la ecuación (4.5), pero utilizando la resistividad del terreno donde se alojan los conductores. La expresión (4.8) es muy aproximada para frecuencias en las cuales mt rj < 0.25. La impedancia mutua entre el cable j y el cable k está dada por [3,5]:

Ω/m (4.9)

donde sjk es la distancia entre el k-ésimo y el j-ésimo cable y ljk representa la suma de las profundidades de los cables respectivos. Esta fórmula es muy aproximada cuando se cumple que mt sjk < 0.25. Esta fórmula se reduce a la ecuación (4.8) reemplazando sjk por el radio del cable y ljk por 2lj.

Finalmente, en virtud de la reciprocidad de la impedancia mutua:

Ω/m (4.10)

4.5.3 Admitancia Paralelo

La admitancia propia por unidad de longitud puede obtenerse mediante [4, 5]:

Siemens/m

(4.11)

donde es la permitividad relativa del aislamiento y . Esta admitancia se obtiene considerando que el campo eléctrico está confinado a la región de aislamiento. Lo anterior se justifica por el hecho de que la pantalla conductora del cable se aterriza para brindar seguridad, lo cual implica que el campo eléctrico se distribuye únicamente en el aislamiento principal del cable. También, debido a que la pantalla se aterriza no existen los acoplamientos mutuos capacitivos entre las diferentes fases.

4.5.4 Matrices de Impedancia Serie y Admitancia en Derivación


Los parámetros eléctricos que son calculados mediante las ecuaciones presentadas anteriormente, permiten construir las matrices de impedancia y admitancia de un arreglo de varios conductores. Por ejemplo, para el caso de un sistema trifásico de cables subterráneos, las matrices y se conforman de la siguiente manera:

Ω/m (4.12)

Siemens/m (4.13)

Las matrices de impedancias serie y admitancias en derivación se reducen dependiendo del número de cables que tiene el sistema. Para un sistema bifásico las matrices son:

Ω/m (4.14)

Siemens/m (4.15)

y para un sistema monofásico:

Ω/m (4.16)

Siemens/m (4.17)

4.5.5 Ejemplo de Aplicación

Con el fin de aclarar el procedimiento de cálculo de la impedancia y admitancia, se determinará los parámetros para un sistema trifásico de cables, con base a las formulaciones presentadas. El circuito tiene las siguientes características:

Radio del conductor central: r1 = 0.0254 m.Radio interno de la pantalla: r2=0.0456 m.Radio externo de la pantalla: r3=0.0508 m.Conductividad de los conductores: = = 1/1.72×10-8 siemens–m.Resistividad del terreno: ρ=20 Ω-m.


Separación y profundidad de los cables:

Profundidad del cable de la fase 1: l1 = 0.6 m. Profundidad del cable de la fase 2: l2 = 0.6 m.Profundidad del cable de la fase 3: l3 = 0.6 m.Separación entre las fases 1 y 2: s12 = 1 m. Separación entre las fases 1 y 3: s13 = 2 m.Separación entre las fases 2 y 3: s23 = 1 m.Frecuencia de operación del sistema: f = 60 hz, ω = 2 π f

La inductancia debida al flujo magnético en el aislamiento, calculada con la ecuación (4.4), es:

Lais = 1.1703×10-7 H/m (4.18)

y la impedancia asociada con Lais es la siguiente:

= jωLais = j 4.4121×10-5 Ω/m (4.19)

Los valores de los términos de la ecuación (4.6) son:

= 1/1.72×10-8 r1 = 0.0254

y la impedancia calculada con la ecuación (4.6) es:

= 1.5402×10-5 + j 1.2871×10-5 Ω/m (4.20)

Por otro lado, debido a que = , los valores de los términos de la ecuación (4.7) son:

m3 = 1.1735×102 + j 1.1735×102 = 1/1.72×10-8 r2 = 0.0456 r3 = 0.0508


y la impedancia calculada con la ecuación (4.7) es:

= 1.1063×10-5 + j 2.856×10-6 Ω/m (4.21)

Para determinar la impedancia propia de retorno por tierra para cada cable se utiliza la ecuación (4.8). Los valores de los términos de esta ecuación son:

γ = 0.57721 lj = 0.6 (profundidad de los cables)

y la impedancia propia de retorno por tierra calculada mediante (4.8) es:

Zjj tierra = 5.9427×10-5 + j 8.0966×10-4 Ω/m (4.22)

Esta impedancia propia es la misma para los 3 cables del sistema, ya que están colocados a la misma profundidad.

Por otra parte, la impedancia mutua de retorno por tierra entre los tres cables del sistema se obtiene mediante la ecuación (4.9). Para el caso de la impedancia entre los cables 1 y 2, los valores de los términos de esta ecuación son:

mt = 0.00344 + j 0.00344, γ = 0.57721, s12 = 1 (separación entre los cables 1 y 2)l12=1.2 (suma de las profundidades de los cables 1 y 2)

y la impedancia mutua entre las fases 1 y 2, calculada mediante (4.9) es:


= 5.9427×10-5 + j 5.3272×10-4 Ω/m (4.23)

Esta impedancia es la misma que entre los cables 2 y 3 debido a que están separados por la misma distancia (1 m). Para el caso de la impedancia mutua de retorno por tierra entre las fases 1 y 3, los valores de los términos de la ecuación (4.9) son:

mt = 0.00344+ j0.00344, γ = 0.57721, s13 = 2 (separación entre los cables 1 y 3)l13 = 1.2 (suma de las profundidades de los cables 1 y 3)

y la impedancia mutua entre la fase 1 y 3 calculada mediante (4.13) es :

= 5.9427×10-5 + j 4.8045×10-4 Ω/m (4.24)

Entonces, la impedancia propia total del cable se obtiene considerando las aportaciones de (4.19) a (4.22):

= 8.5892 ×10-5 + j 8.6951× 10-4 Ω/m (4.25)

Finalmente, se calcula la admitancia propia de cada cable por unidad de longitud. Los valores de los términos de la ecuación (4.11) son:

ε0 = 8.85×10-12 ε1 = 2.5 r1 = 0.0254 r2 = 0.0456

y la admitancia propia calculada mediante (4.11) es:


= j 8.9563×10-8 Siemens/m (4.26)

Cabe recordar que no existen acoplamientos mutuos capacitivos, por lo tanto la admitancia en derivación entre cables es cero. Como resultado la matriz de admitancia será diagonal.

Las matrices de impedancia y admitancia del sistema trifásico de cables se integran de la siguiente manera:

Ω/m (4.27)

Siemens/m (4.28)

en donde está dada por la ecuación (4.25), por (4.23), por (4.24) y por la ecuación (4.26).

4.6 AMPACIDAD DE CABLES

La determinación de la capacidad de conducción de corriente (ampacidad) en cables de energía, es un problema de transferencia de calor. El cálculo de la ampacidad en los cables de potencia requiere la solución de la ecuación de transferencia de calor que define una relación entre la corriente del conductor y la temperatura en el cable.

Para el cálculo de la capacidad de conducción de corriente se utiliza las ecuaciones de análisis de ampacidad desarrolladas por Neher-McGrath en 1957 [8]. El método propuesto en esta referencia es el más utilizado en cables aéreos y subterráneos y es la base para los estándares del IEEE y la IEC.

4.6.1 Circuito Térmico Equivalente del Cable de Potencia El cálculo de la ampacidad de un cable consiste en determinar la corriente de carga máxima sin que se sobrepase cierto límite de temperatura. El calor generado en el conductor debe ser disipado a través de los distintos materiales que lo rodean. La


capacidad del medio circundante al cable para disipar el calor generado juega un papel muy importante y esta varía drásticamente debido a diversos factores tales como la composición del suelo, la humedad contenida, la temperatura ambiente y las condiciones del viento, para el caso aéreo. Para iniciar el análisis es conveniente describir los mecanismos para la transferencia de calor en un cable de potencia.

4.6.1.1 Transferencia de Calor por Conducción

Para instalaciones subterráneas el calor es transferido por conducción del conductor central a otra parte metálica del cable, así como también a su aislamiento principal. La ecuación de transferencia de calor por conducción es conocida como ley de Fourier y se describe en términos muy simples: El flujo de calor (W/m2) es la transferencia de calor en x dirección perpendicular a la dirección de transferencia y es proporcional al gradiente de temperatura en esta dirección. En un cable subterráneo la conducción de calor ocurre en cualquier lugar excepto en el espacio de aire del ducto:

(4.29)

4.6.1.2 Transferencia de Calor por Convección

Para cables instalados en el aire, la convección y radiación son importantes para el mecanismo de transferencia de calor, desde la superficie de este, hacia el aire que lo rodea.

La transferencia de calor por convección se clasifica de acuerdo a la naturaleza del flujo de calor en los medios externos, tal como ocurre en fluidos en movimiento (aire, agua, etc.). Con bombeo o ventiladores o donde esta depende de la naturaleza, tal como una situación de mal tiempo (vientos huracanados), la determinación de la transferencia por convección implica una transferencia natural tomando cualquier lugar de la superficie del cable para el análisis. La ley de enfriamiento de Newton indica que el flujo de calor es proporcional a la diferencia de temperatura. En un cable subterráneo la convección toma lugar en el espacio del aire dentro del ducto y en la superficie de la tierra:

(4.30)

Donde q es el flujo de calor, h el coeficiente de transferencia de calor por convección, es la temperatura de la superficie del cable y es la temperatura ambiente.

4.6.1.3 Transferencia de Calor por Radiación


Pantalla metálica

La radiación térmica es energía emitida por un cable o ducto. La ley de Stefan-Boltzman describe la radiación del fenómeno del calor como proporcional a la diferencia de temperaturas a la potencia de 4:

(4.31)

En cables subterráneos la radiación de calor ocurre desde los cables hacia el ducto, donde es la temperatura absoluta de la superficie, es la constante Stefan-Boltzman y es el coeficiente de emisividad según el tipo de superficie opaca o brillante.

4.6.2 Fuentes de Calor en un Sistema de Cables

Las fuentes de calor en un cable de potencia o distribución están divididas en dos grupos: el calor generado en los conductores y el calor generado en los aislamientos. La Figura 4.13 muestra las partes que integran un cable de núcleo sencillo y que generan pérdidas por calor.

Figura 4.13 Vista axisimétrica de las partes principales de un cable de potencia.

Las pérdidas producidas en los elementos metálicos del cable son las más significativas que existen y son causadas por: (a) efecto Joule debido a corrientes circulantes o inducidas ––corrientes de Eddy––, (b) pérdidas por histéresis en conductores que son magnéticos.

Los siguientes componentes metálicos de un cable producen calor: Conductor Pantallas Medio concéntrico Armaduras (cintas metálicas) Ductos o tuberías de acero


Aislamiento XLP o

Conductor de cobre o Aluminio

Cubierta de PVC o PE

Las pérdidas en estos componentes están en función de la frecuencia, f, y la temperatura de operación, t, y además es proporcional al cuadrado de la corriente, I.

Habitualmente, la dependencia con la temperatura y la frecuencia son incluidas en una resistencia equivalente de CA para expresar la Ley de Joule como:

(4.32)

Los materiales aislantes también producen calor en un cable de potencia y son importantes bajo ciertas condiciones de operación. Estas pérdidas en el dieléctrico serán abordadas mas adelante con mayor atención y se considerarán los siguientes elementos:

Aislamiento principal Pantallas semiconductoras Cubiertas

Para estos casos, la razón de pérdidas en el dieléctrico está dada por:

(4.33)

donde C es la capacitancia del material aislante, V es el voltaje aplicado y es el factor de pérdidas en el aislamiento a la frecuencia y temperatura de operación.

4.6.3 Flujo de Calor en Cables Subterráneos

En un sistema de cables subterráneos el principal mecanismo de transferencia de calor es la conducción, con la excepción del aire dentro de ductos enterrados o en bancos de ductos, ya que la dimensión longitudinal de un cable es siempre más larga que la profundidad de instalación. El problema de conducción de calor se puede manejar en dos dimensiones. La ecuación diferencial que describe la conducción de calor en coordenadas cartesianas queda de la siguiente forma:

(4.34)

donde:

= Resistividad térmica del material (C – cm/W)


= Gradiente de temperatura en la dirección x.

c = Capacidad térmica volumétrica del material.w = Valor de energía (calor) generado.

La ecuación (4.34) no puede ser fácilmente resuelta de manera analítica debido a los arreglos geométricos asociados a la instalación del sistema de cables subterráneos, como el que se ilustra en la Figura 4.14.

Figura 4.14 Formación lineal de un sistema de cable subterráneos enterrados directamente.

Otra alternativa de solución, es la evaluación numérica, la cual puede complicarse si se considera todas las particularidades de la instalación, ya que se requiere de la solución de un gran número de ecuaciones lineales o no lineales.

En vista de los problemas asociados a la determinación de la ampacidad eléctrica, se optó por combinar aspectos prácticos de ingeniería con soluciones analíticas para simplificar la geometría con resultados heurísticos. En particular, resultó útil considerar una analogía entre los circuitos eléctricos y los circuitos térmicos. El método publicado por Neher-McGrath en 1957 se basa en dichas analogías y hoy en día es el más utilizado en cables de potencia.

4.6.4 Método de Neher-Mcgrath

El método Neher-McGrath para determinar la ampacidad eléctrica, se basa en la analogía térmica-eléctrica. La idea básica es subdividir el área bajo estudio en capas, donde se sustituyen las fuentes de calor por fuentes de corriente, las resistencias térmicas por resistencias eléctricas y las capacitancias térmicas por capacitancias eléctricas. La Figura 4.15 muestra la correspondencia entre los componentes de instalación del cable y los elementos del circuito eléctrico para la determinación de la ampacidad en estado estacionario.


Nivel del suelo

T4

T3

T2

T1

Nivel del ambiente

En la Figura 4.15, wc, wd, wp y wcub representan las pérdidas en el conductor, dieléctrico, pantalla metálica y cubierta, respectivamente en W/m. Además, T1, T2, T3 y T4 son resistencias térmicas en oC-m/W, donde T1 es la resistencia térmica por unidad de longitud entre el conductor y la pantalla metálica, T2 es la resistencia térmica por unidad de longitud entre la pantalla metálica y la cubierta, T3 es la resistencia térmica por unidad de longitud de la cubierta exterior del cable y T4 es la resistencia térmica por unidad de longitud entre la superficie del cable o cable dentro del ducto y el medio que lo rodea [9-12].

Figura 4.15 Circuito térmico-eléctrico equivalente.

Para calcular la ampacidad, se considera que el potencial en cada nodo del circuito es análogo a las temperaturas entre las regiones de las capas del cable. Si la diferencia de potencial entre las terminales del circuito y la fuente de corriente inerte representan el incremento de temperatura del conductor central con respecto al de la temperatura ambiente, entonces la temperatura del conductor central se incrementa por la temperatura ambiente , como se muestra en la Figura 4.16.


Wp c

1/2W

W

T4T3T2T1

Figura 4.16 Circuito eléctrico equivalente.

De la figura anterior se puede determinar , por medio del método de nodos:

(4.35)

Con la finalidad de obtener una expresión útil para calcular la ampacidad, las fuentes de calor (pérdidas eléctricas) ‘’w’’ son expresadas en proporción de las pérdidas del conductor, . Las pérdidas en el conductor son calculadas usando la resistencia de corriente alterna del conductor, Rac, y la corriente, I, entonces se tiene las siguientes expresiones:

, , (4.36)

donde wp y wcub son pérdidas por corrientes circulantes y de Eddy relacionadas con dicha capa o parte del cable subterráneo bajo análisis. Substituyendo (4.36) en (4.35), se realiza operaciones y se despeja a I:


c

c

c

c

c

(4.37)

4.6.5 Determinación de las Resistencias Térmicas del Cable de Potencia

4.6.5.1 Ley Térmica de Ohm

La transferencia de calor en estado estable (cuando no existe absorción de calor en los elementos del sistema) se puede expresar con la ecuación (4.38), que por su analogía con la ley de Ohm eléctrica se le llama ley de Ohm térmica, ver Figura 4.17.

(4.38)

donde:

= Diferencia de temperatura a través del medio, en °C. Es análogo al voltaje en la ley de Ohm.w = Calor transmitido a través del medio en el que existe una diferencia de temperatura, en Watts. Es análogo a la corriente eléctrica

= Resistencia térmica del medio en °C-m/W. Es análoga a la resistencia eléctrica.

Figura 4.17 Ley térmica de Ohm para cuerpos cuadrados.

La resistencia térmica en materiales sólidos planos está dada por la siguiente ecuación:

(4.39)


donde:

= resistencia térmica del material, en °C-m/W. = resistividad térmica del material, en °C-m/W.

e = espesor del material, en m.S = área de la sección transversal del material, en m2.

En el método de Neher-McGrath las resistencias térmicas de los cables se determinan a partir de principios básicos o de forma heurística. La Figura 4.18, muestra la geometría de un cable, representando con capas circulares los distintos materiales [10-12].

Figura 4.18 Resistencia térmica en materiales sólidos cilíndricos, donde el calor fluye en forma radial.

Para determinar la ecuación de resistencias térmicas para cuerpos cilíndricos, se parte de (4.39), en donde las variables e y S son sustituidas por las expresiones que corresponden a un cuerpo cilíndrico. Si se realiza las derivadas y operaciones correspondientes, se tiene que:

, cuya derivada con respecto a la longitud del conductor, x, es:

y de aquí,


(4.40)

O en por unidad de longitud:

(4.41)

donde:

= Resistencia térmica del cuerpo cilíndrico, en °C-m/W. = Resistividad del material, en °C-m/W.

l = Longitud del cilindro, en m.= Diámetro exterior de la capa del cilindro, en mm.

d = Diámetro interior de la capa del cilindro, en mm.

Las expresiones (4.40) y (4.41) son utilizadas para determinar las resistencias térmicas en cables de alta tensión. Las unidades de las resistencias térmicas son en oC-m/W para una longitud especificada. Debido a que la longitud considerada es de 1 m, las resistencias térmicas de los componentes de un cable se expresan en oC /W por metro, lo cual es más frecuente escribirlo como oC -m/W. Estas deben distinguirse de la unidad de resistividad térmica que también se expresa en oC -m/W.

4.6.5.2 Resistencia Térmica Entre el Conductor y la Pantalla Metálica

En cables de un solo conductor la resistencia térmica entre el conductor y la pantalla metálica se determina por (14):

°C-m/W

(4.42)

Para cables de tres conductores es utilizada la siguiente ecuación, en donde se considera un factor geométrico, G, que se obtiene de las gráficas de la Figura 4.19.

°C-m/W

(4.43)

donde:


= Resistencia térmica del aislamiento, por unidad de longitud, en °C-m/W. = Resistividad térmica del aislamiento, en °C-m/W, ver Tabla 4.2.= Espesor del aislamiento, en mm.= Diámetro sobre el conductor, en mm.

G = Factor geométrico.

La Tabla 4.2 muestra las resistividades térmicas de los materiales más comunes utilizados en el aislamiento principal de los cables de potencia.

Tabla 4.2 Resistividad térmica de aislamientos.Aislamiento

Papel 6.0Polietileno 3.5

XLP 3.5EP 5.0

PVC 6.0


G

Figura 4.19 Factor geométrico para cables de tres conductores.

4.6.5.3 Resistencia Térmica Entre la Pantalla Metálica y la Cubierta

Para cables de uno, dos o tres conductores que tienen la misma pantalla metálica en común, la resistencia térmica entre la pantalla metálica y la cubierta se obtiene de la siguiente ecuación, que representa cualquier capa concéntrica entre estas:

°C-m/W

(4.44)

donde:

=Resistencia térmica entre pantalla y cubierta, por unidad de longitud, en °C-m/W. = Resistividad térmica del material, regularmente cobre, en °C-m/W.= Espesor de la armadura entre pantalla metálica y cubierta, en mm.= Diámetro externo de la pantalla metálica, en mm.


2.5

3.0

t= Espesor del aislamiento entre conductores en mm.

t1/t =1.0

2.0

1.5

1.0

=0.9

=0.7 =0.8

=0.6 =0.5

t1= Espesor del aislamiento entre conductor y pantalla en mm.

dc= Diámetro del conductor circular en mm.

0.51.0 1.5 2.0 2.5 3.00.50.0

t1/dc

4.6.5.4 Resistencia Térmica de la Cubierta

La cubierta externa es regularmente de forma concéntrica a las capas del cable y su resistencia térmica se determina por:

°C-m/W

(4.45)

donde:

=Resistencia térmica de la cubierta, por unidad de longitud, en °C-m/W. = Resistividad térmica del material de la cubierta en °C-m/W.= Espesor de la cubierta, en mm.= Diámetro bajo la cubierta, en mm.

La Tabla 4.3 muestra las resistividades térmicas de los materiales más comúnmente utilizados en las cubiertas de los cables de potencia.

Tabla 4.3 Resistividad térmica de cubiertas.Cubierta

Policloropreno 5.5Polietileno 3.5

PVC 6.0

4.6.5.5 Resistencia Térmica Externa a la Superficie Externa del Cable o Ducto

La capacidad de conducción de corriente de un cable depende del medio que lo rodea. Para un cable subterráneo la resistencia térmica externa determina más del 70% del incremento de temperatura en el conductor. Para un sistema subterráneo, la resistencia térmica depende del valor característico de la tierra nativa o relleno térmico utilizado, el diámetro del cable, la profundidad de instalación, modo de instalación (directamente enterrados, en ductos o en bancos de concreto), así como del factor de calentamiento generado por los cables cercanos del sistema. Para cables aéreos, la resistencia térmica externa tiene un efecto menor en la capacidad del cable; en este caso hay otros factores de la instalación que se toman en cuenta: a la intemperie o bajo techo, proximidad de muros y de otros cables, etc.

4.6.5.6 Resistencia Térmica Externa de Cables Directamente Enterrados


Para cables directamente enterrados, dos resistencias térmicas externas son determinadas. representa las pérdidas en el dieléctrico (a factor de carga de 100%) y es la resistencia térmica asociada a las pérdidas por efecto Joule, donde la asignación es hecha para el factor de carga diaria y el correspondiente factor de pérdida , el cual es discutido con mayor énfasis posteriormente.

°C-m/W

(4.46)

°C-m/W

(4.46)

(4.47)

donde:

= Resistencia térmica externa con un factor de carga al 100 %. = Resistencia térmica externa con un factor de carga diario.

= Resistividad térmica del terreno, en °C-m/W. = Número de cables que transmiten energía dentro de .

F = Factor de calentamiento.

L = Profundidad a la que se encuentra instalado el cable bajo análisis.

= Diámetro donde comienza la porción de la tierra. Para cables directamente enterrados es el diámetro externo de la cubierta o para cables en ductos en el diámetro externo del ducto.

= Diámetro donde comienza la reducción de la resistencia exterior en un factor de , normalmente tomado con un valor de 211 mm.

La Tabla 4.4 muestra las resistividades de algunos materiales que se pueden encontrar en las trincheras donde van colocados los cables o ductos. De esta tabla, se puede concluir que la tierra con materiales de baja resistividad son los que tienen mayor humedad y, por lo tanto, menos aire.

Tabla 4.4 Resistividades de materiales más comunes en el suelo.Material del suelo °C-cm/W


Granos de cuarzo 11Granos de granito 26Granos de piedra caliza

45

Granos de arenisca 58Granos de mica 170Agua 165Orgánico 400 Húmedo - 700 SecoAire 4000

El factor de calentamiento F toma en cuenta los efectos de calentamiento mutuo entre cables colocados en una misma trinchera o banco de ductos [12] y se calcula mediante:

(n-1) términos (4.48)

donde:

= Distancia del centro de la imagen del cable k al centro del cable i, en mm.= Distancia del centro del cable k al centro del cable i, en mm, n-1 términos porque

son el número de cables los que calientan al cable i.

El factor F se debe de calcular para cada cable o ducto del sistema y varía de acuerdo al cable que se esté analizando.

La Figura 4.20 muestra las imágenes de los cables para calcular el factor de calentamiento F en un arreglo de cables.


Figura 4.20 Método de imágenes para obtener el factor de calentamiento.

4.6.5.7 Resistencia Térmica Externa de Cables en Banco de Ductos o Enterrados en Rellenos Térmicos

En muchos lugares del mundo, los cables de bajo y medio voltaje, son frecuentemente instalados en bancos de ductos, alojando un gran número de circuitos en la misma trinchera. Los ductos son instalados por capas y, posteriormente son cubiertos de un material de relleno que se compacta. El concreto es el material más frecuentemente utilizado como relleno.

El primer intento para modelar la presencia de banco de ductos o rellenos fue presentado por Neher and McGrath en 1957 y después adoptado por el estándar de la IEC 60287 en 1982; después, el método de Neher and McGrath fue extendido para tomar en cuenta bancos y rellenos de elongaciones de forma rectangular.


Cuando los cables son instalados en banco de ductos, entonces (4.46) y (4.47) deben modificarse quedando como se muestran a continuación:

°C-m/W

(4.49)

°C-

m/W (4.50)

(4.51)

(4.52)

(4.53)

donde:

N = Número de cables o ductos del sistema.= Resistividad del concreto, en °C-m/W.

F = Factor de calentamiento.= Factor geométrico del banco de concreto o relleno térmico.= Longitud de profundidad al centro de banco de ductos o relleno térmico, en mm.

= Radio geométrico del banco de concreto o relleno térmico, en mm.x = Dimensión menor del banco de concreto o relleno térmico, en mm.y = Dimensión mayor del banco de concreto o relleno térmico, en mm.

En el caso de cables dentro de ductos, a la resistencia térmica externa calculada se le debe sumar el valor de la resistencia térmica del medio dentro del ducto, , y la resistencia térmica del ducto, , la cual es igual a cero si el ducto es metálico, de acuerdo a las siguientes ecuaciones:


°C-m/W

(4.54)

°C-m/W

(4.55)donde:

= Resistencia térmica del medio dentro del ducto. = Resistencia térmica del ducto.

U, V e Y = Constantes que dependen del tipo de instalación. = Diámetro exterior del cable, en mm. = Temperatura del medio dentro del ducto, en °C. = Resistividad térmica del material empleado en el ducto.= Diámetro exterior del ducto, en mm.= Diámetro interior del ducto, en mm.

La Tabla 4.5 muestra el valor de las constantes U, V e Y utilizadas para el cálculo de la resistencia térmica dentro del ducto, mientras que la Tabla 4.6 muestra las resistividades de los materiales empleados en los ductos.

Tabla 4.5 Valores de U, V e Y.Instalación U V Y

En ducto metálico 5.2 1.4 0.011En ducto de fibra en aire 5.2 0.83 0.006En ducto de fibra en concreto 5.2 0.91 0.010En ducto de asbesto cemento:Ductos en aire 5.2 1.2 0.006Ductos en concreto 5.2 1.1 0.011

Tabla 4.6 Resistividad de materiales empleados en ductos.Material (°C-m/W)Concreto 1.0

Fibra 4.8Asbesto 2.0

PVC 7.0PE 3.5

4.6.6 Pérdidas y Factores que Afectan la Capacidad de


Conducción de Corriente en Cables de Potencia

Una parte de las pérdidas que tienen lugar en los sistemas eléctricos se deben a la conversión de energía eléctrica a energía calorífica, proceso que se da en cables aislados. En esta sección se considera las pérdidas producidas en forma de calor en tres elementos del cable: (a) conductor, (b) aislamiento y (c) pantallas o cubiertas metálicas.

Los mecanismos físicos que efectúan la transferencia de calor desde las fuentes que las originan, son las siguientes:

Conducción Convección Radiación

La ley de Fourier describe la transferencia de calor por conducción en términos muy simples. El flujo de calor es proporcional al radio de la temperatura en el espacio. En un cable subterráneo la conducción de calor ocurre en cualquier lugar, excepto en el espacio de aire del ducto.

La convección de calor ocurre en fluidos en movimiento (aire, agua, etc.). La ley de Newton dice que el flujo de calor es proporcional a la diferencia de temperatura. En un cable subterráneo la convección toma lugar en el espacio del aire dentro del ducto y en la superficie.

La ley de Stefan-Boltzman describe la radiación del fenómeno del calor como proporcional a la diferencia de temperaturas a la potencia de 4, . En cables subterráneos la radiación de calor ocurre del o los cables hacia el ducto.

La Figura 4.21 muestra la distribución típica de temperatura para un sistema de cables en un banco de ductos. En ella se puede apreciar la difusión de calor que ocurre en un sistema de cables subterráneos, la cual se entiende como la transferencia de calor de una región a otra en un espacio limitado.


Figura 4.21 Distribución típica de calor en un sistema subterráneo de cables de potencia.

4.6.6.1 Pérdidas en el Conductor

La mayoría de las pérdidas en los sistemas de potencia son resultado de las características físicas de los conductores eléctricos, regularmente su resistencia, la cual convierte la energía eléctrica en calor cuando hay un flujo de corriente. A este proceso de conversión de energía eléctrica a calorífica también se le denomina como “pérdidas por efecto Joule” y son denotadas por y dadas en W/m, que están en función del cuadrado de la corriente que circula por el conductor y de su resistencia efectiva, la cual debe ser calculada a la temperatura de operación del conductor y tomar en cuenta los efectos piel y de proximidad, según las condiciones de instalación y de operación [10-12].

En términos de potencia, lo anterior se puede escribir de la manera siguiente:

(4.56)

La corriente I se da en amperes y en Ohm/m.

A fin de efectuar evaluaciones totales en un cierto periodo (normalmente un año), se acostumbra ponderar las pérdidas en unidades de energía, como son kilowatts-hora, y (4.56) se obtiene:

W-h/m (4.57)

donde: L = longitud del circuito en m. N = número de cables del sistema. H = horas efectivas de operación del sistema después de descontar mantenimiento, o paros programados.


= factor de pérdidas. = factor de carga por unidad.

Las pérdidas en el conductor y la pantalla no son constantes, ya que la carga varía en el ciclo diario, mensual y anual; el factor de pérdidas permite relacionar las variaciones de carga en un ciclo (factor de carga) y calcular las pérdidas correspondientes.

4.6.6.2 Factor de Carga y Factor de Pérdidas

En la práctica, la corriente transmitida por un cable rara vez es constante y varia de acuerdo al ciclo de la carga diaria. Las pérdidas en el cable variarán de acuerdo con el correspondiente ciclo de perdidas diaria, teniendo un factor .

El factor de carga se define como la corriente de carga promedio dividida entre la corriente máxima de carga, para un periodo dado. Similarmente, el factor se define como la corriente de carga promedio elevada al cuadrado, dividida entre la corriente máxima de carga elevada al cuadrado [10-12]. Estas dos definiciones son formuladas como:

Factor de carga = (4.58)

Factor de pérdidas = (4.59)

Del análisis de un gran numero de ciclos de carga y sus correspondientes factores de carga y pérdidas, se ha desarrollado la siguiente fórmula que relaciona el factor de carga con el factor de pérdidas:

(4.60)

Para considerar los efectos de variación de la corriente, se acostumbra introducir en los elementos que están ligados a esta variación (conductor, pantalla, cubierta y tuberías metálicas), así como el factor de pérdidas , los cuales afectan a las pérdidas. Sin embargo, dado que es un producto, matemáticamente se puede considerar que multiplica a la resistencia térmica del terreno.

En instalaciones de cables de potencia, el calor generado por estas pérdidas tiende a ser disipado por el medio que lo rodea. Para un caso subterráneo es la tierra nativa o relleno térmico y para el caso aéreo el aire. Estas pérdidas por efecto Joule


dependen y varían principalmente por la resistencia que presenta el conductor del cable de potencia. Además, debe recordarse que la resistencia de corriente alterna,

, siempre es mayor que la que de corriente directa, , debido al efecto piel y el efecto de proximidad. La debe mantenerse lo más bajo posible con un cuidadoso diseño y construcción del conductor.

4.6.6.3 Resistencia Eléctrica a la Corriente Directa

La resistencia eléctrica a la corriente directa, a 20oC, de un conductor se expresa mediante la relación que existe entre la resistividad volumétrica del material por unidad de longitud a una temperatura de operación de 20 oC, y la sección transversal de un cuerpo sólido en mm2, s, como se muestra a continuación:

Ω/m (4.61)

donde es conocido como factor de cableado y varía según el tipo de cable, ver Tabla 4.7.

Tabla 4.7 Incremento de la resistencia por efecto del cableado.Tipo de cableado Redondo normal 0.020Redondo compacto 0.020Sectorial 0.015Segmental 0.020

Los materiales más comúnmente utilizados en la fabricación de los conductores son mencionados en la Tabla 4.8, los cuales fueron estandarizados en 1913 por la IEC. En la misma tabla también se incluye a algunos materiales utilizados en la fabricación de pantallas metálicas, los cuales también fueron estandarizados por la IEC en 1983 [13]. Los cambios de temperatura en los conductores de los cables de potencia (temperatura de operación) originan cambios en las dimensiones y resistividades de los materiales. Para corregir la resistencia eléctrica de 20oC a la temperatura de operación real es útil considerar la relación lineal entre la resistencia y la temperatura, la cual se muestra en la Figura 4.22.


Figura 4.22 Relación lineal entre la resistencia y temperatura del material empleado como conductor.

En esta figura, es la resistencia de CD a una temperatura T2 de operación, en función de la resistencia del material a 20oC, , dada a una temperatura T1 (20oC). De lo anterior se tiene que:

(4.62)

donde es el coeficiente de resistencia a la temperatura a 20oC, el cual varía dependiendo de la pureza del material; algunos valores son dados en la Tabla 4.8 que son recomendados por la IEC [13] para la determinación del índice de la resistencia del material a la temperatura deseada.

Tabla 4.8 Resistividades térmicas y coeficientes de temperaturas de materiales utilizados en la construcción de los conductores.

Material Resistividad ( ) Ω/m Coeficiente de temperatura ( )

Cobre 1.7241x10-8 0.00393Aluminio 2.846 x10-8 0.00403Aleación 21.40 x10-8 0.00400

Acero 13.80 x10-8 0.00450Bronce 3.500x10-8 0.00300

Acero inoxidable 70.00x10-8 0.00000

4.6.6.4 Resistencia Eléctrica a la Corriente Alterna


La resistencia de un conductor eléctrico por el que circula corriente alterna es mayor que la resistencia que presenta el mismo conductor a la corriente directa. Las razones principales de este incremento son:

a) Efecto superficial o de piel.b) Efecto de proximidad. c) Efecto de histéresis. d) Corrientes de Eddy en materiales ferromagnéticos cercanos.

El grado de complejidad matemática asociada al cálculo de estos efectos puede ser económicamente justificable, considerando que es necesaria mayor exactitud en ciertos casos o condiciones.

La resistencia a la corriente alterna tomando en cuenta los efectos piel y de proximidad se determina de la siguiente forma:

(4.63)

donde:

= Resistencia a la corriente alterna, en Ω/m.= Factor debido al efecto piel.

= Factor debido al efecto de proximidad.

4.6.6.5 Efecto Piel

Cuando circula una corriente alterna, se produce un flujo magnético que cortará los filamentos que integran el conductor. Los filamentos de la parte central se eslabonan con más líneas de campo magnético que las que encadenan a los filamentos externos del conductor, de modo que la fuerza contraelectromotriz inducida en los filamentos centrales será mayor que la inducida en los filamentos superficiales.

Como la diferencia de potencial entre los extremos de todos los filamentos tiene que ser igual, ya que están conectados en paralelo, tendrá que verificarse que las caídas de potencial sean iguales y, por tanto, la corriente en los filamentos centrales, en los que la fuerza contraelectromotriz inducida es mayor tendrá que ser menor que la corriente en los filamentos superficiales. En otras palabras la densidad de corriente es mayor a la superficie del conductor que en el centro.

El factor del efecto piel se calcula por medio de la ecuación siguiente:


(4.64) donde:

(4.65)

donde:

f = Frecuencia del sistema en Hz. = Resistencia de c.d. corregida a la temperatura de operación, en Ω/m= Factor de corrección según tipo de conductor, ver Tabla 4.9.

4.6.6.6 Efecto de Proximidad

Cuando un conductor por el cual fluye una corriente alterna se encuentra cercano a otro que transporta corriente de iguales características, pero en sentido contrario, crea una resta vectorial de densidad de flujo, originando una reducción en la inductancia en las caras próximas y un aumento en las diametralmente opuestas. Lo anterior, da por resultado una distribución no uniforme de la densidad de corriente y un aumento aparente de la resistividad efectiva, la cual se calcula afectando la resistencia original por un factor :

(4.66)

donde:

(4.67)

donde:

= Diámetro del conductor en mm.s = Distancia media geométrica entre conductores en mm.

= Factor de corrección según tipo de conductor, ver Tabla 4.9.


Ir

(b)θ

(a)I

Ic

Tabla 4.9 Valores de ks y kp.

Forma del conductorRedondo normal 1.0 1.0

Redondo compacto 1.0 1.0Segmental 0.435 0.370

4.6.6.7 Pérdidas en el Dieléctrico

Partiendo de la hipótesis de que ningún material aislante es perfecto, esto es, de que todo material conocido sujeto a una diferencia de potencial permite una circulación de corriente activa entre dos puntos a diferente potencial, se puede establecer que esa corriente eléctrica también producirá calor [10-13].

El aislamiento de un cable es un material cuya respuesta dieléctrica es resultado de su naturaleza capacitiva (capacidad de almacenamiento de carga) y de su naturaleza conductiva (capacidad de transmitir la carga). Este material aislante se puede representar con un resistor y un capacitor en paralelo, como se muestra en la Figura 4.23 (a).

Figura 4.23 Representación eléctrica del aislamiento.

Cuando un voltaje es aplicado al circuito de la Figura 4.23, la corriente I formará un ángulo θ con el voltaje como se muestra en la Figura 4.23(b). Esta corriente tiene dos componentes, una capacitiva, Ic, y una resistiva de dispersión, Ir. En este caso, por ser un material aislante, la magnitud de la carga resistiva dispersa es mucho más pequeña que la corriente capacitiva y, por lo tanto, el ángulo de pérdidas es muy pequeño. Entonces:

e

(4.68)


C

RI

Ic

rII

U0

donde C es la capacitancia dada por:

F/m

(4.69)

donde:

= Constante dieléctrica, ver Tabla 4.10.= Diámetro sobre el aislamiento, en mm.= Diámetro bajo el aislamiento, en mm.= Capacitancia para la misma geometría pero con vacío como dieléctrico.

Otro valor que se toma en cuenta en las pérdidas del dieléctrico, es el factor de disipación denotado también como , el cual está dado por:

(4.70)

La expresión para el cálculo de pérdidas en el dieléctrico en un cable de energía es: w/m

(4.71)

donde:

f = Frecuencia en Hz. = Factor de pérdidas del aislamiento, ver valores de Tabla 4.10.

= Tensión al neutro, en Volts. C = Capacitancia del cable.

Las pérdidas en el dieléctrico son dependientes del voltaje, de modo que solo son significativas en niveles de voltaje muy altos. La Tabla 4.10 muestra los materiales de uso común, donde se dan valores de que deben tomarse en cuenta para el cálculo de las pérdidas del dieléctrico. Estos datos son proporcionados por la IEC 287-1-1 [14].

4.6.6.8 Factor de Pérdidas en Pantallas Metálicas

Estas pérdidas son generadas por corrientes inducidas en la pantalla metálica o coraza debidas a la corriente que está fluyendo en el conductor.


Las pérdidas en las pantallas metálicas se asocian a la presencia de ciertas corrientes en el sistema de cables. Pueden ser pérdidas por corrientes circulantes (solo cables monopolares), con flujo en las pantallas metálicas, si estas se tienen aterrizadas en más de dos puntos, y pérdidas debidas a corrientes de Eddy. Las pérdidas por corrientes de Eddy ocurren en cables monopolares y trifásicos y solo se consideran en pantallas de lámina, ya que en pantallas de alambres, las pérdidas son muy pequeñas, tal que las corrientes circulantes son despreciables.

Las pérdidas en las corazas de protección también caen en algunas categorías dependiendo del tipo de cable, del material de la coraza y el método de instalación. En cables monopolares acorazados, sin pantalla metálica, generalmente se tiene una coraza no magnética, por lo que las pérdidas en los alambre de acero o en la capa de la coraza pueden ser inaceptablemente altas. Para cables con armaduras no magnéticas estas pérdidas son calculadas como pérdidas en pantallas metálicas, pero utilizando la combinación de las resistencias de la pantalla metálica y de la coraza en paralelo.

Tabla 4.10 Valores de la constante dieléctrica y factor de pérdida del aislamiento

Tipo de cableAislamiento de cable con papel impregnado Tipo sólido completamente impregnado Relleno de aceite a baja presión Por debajo de los 36 kV Por debajo de los 87 kV Por debajo de los 160 kV Por debajo de los 220 kV Aceite a presión, tipo ducto Gas interno presurizado Gas externo presurizado Cables con otro tipo de aislamiento Butilo de caucho EPR por debajo de los 30 kV EPR por arriba de los 30 kV PVC PE XLPE por debajo de los 36 kV sin relleno XLPE por encima de los 36 kV sin relleno

4.0

3.63.63.53.53.73.43.6

4.03.03.08.02.32.52.5

0.01

0.00350.00330.00300.00280.00450.00450.0040

0.05000.02000.00500.10000.00100.00400.0010


XLPE por encima de los 36 kV rellenados 3 0.0050

Para cables submarinos se requiere consideraciones especiales, ya que, para cables monopolares de potencia, sus conexiones difieren en mucho con respecto a los cables subterráneos. De hecho, los cables submarinos son manufacturados para grandes longitudes y son instalados en grandes distancias; por estas razones, el método para determinación descrito por la IEC 287 (1982) [14] debe ser complementado y modificado en algunos puntos.

4.6.6.9 Arreglo de la Unión de la Pantalla Metálica

Las pérdidas en los cables monopolares dependen de varios factores, uno de ellos es el arreglo de unión de pantalla metálica; de hecho el arreglo de unión es el segundo parámetro más importante para la determinación de la ampacidad de un cable, después de la determinación de la resistencia térmica externa del cable, T4. Por razones de seguridad las pantallas de los cables deben ser aterrizadas y unidas en al menos un punto de su tendido para eliminar la peligrosidad de los voltajes inducidos. Estas uniones se pueden estudiar con mayor detalle en la ANSI/IEEE, 1988 [16].

La unión de las pantallas metálicas en un solo punto, evitan el efecto de calentamiento debido a la circulación de corriente del cable pero, a la vez, se inducen voltajes a lo largo de la longitud del cable, los cuales son proporcionales a la corriente del conductor. Particularmente, se debe tomar cuidados especiales en el aislamiento y proveerlo de alguna protección en la terminación de la pantalla para eliminar el peligro del voltaje inducido. La desventaja de la eliminación del voltaje inducido en las pantallas, por medio de las uniones de las pantallas al final del tendido del cable, es el flujo de corrientes circulantes, las cuales reducen la capacidad de conducción de corriente del cable.

La unión transversal de la pantalla metálica de cables monopolares es un método aplicado para evitar las corrientes circulantes y el voltaje excesivo de la pantalla, permitiendo el incremento de la longitud de tendido del cable. Por lo tanto, el incremento en el espaciamiento del cable incrementa la independencia térmica de cada cable e incrementa su capacidad de conducción de corriente. Una desventaja de la unión transversal de las pantallas metálicas es que la elección de este sistema es muy costosa y, por consiguiente, es aplicado principalmente a instalaciones de sistemas de alto voltaje.

La Figura 4.24 muestra un arreglo de conexiones transversales, donde la longitud del sistema de cables es dividida en tres secciones iguales y la continuidad de las pantallas metálicas es interrumpida en cada articulación. Los voltajes inducidos en la pantalla en cada sección de cada fase son iguales en magnitud y desfasados 120o.


Cuando las pantallas metálicas se transponen, cada circuito de la pantalla contiene una sección de cada fase, de tal manera que el voltaje neto total en cada circuito de la pantalla es cero y solo se presentarán pérdidas por corrientes de Eddy.

El esquema de unión transversal de la Figura 4.24 asume que los cables son ubicados simétricamente, es decir en una formación trébol; pero usualmente los cables monopolares son instalados en una formación plana, por lo que en este caso es una práctica común transponer los cables como se muestra en la Figura 4.24 (b).


Figura 4.24 Diagrama representativo de las uniones transversales de un sistema de cables:(a) Cables sin transposición. (b) Cables con transposición

Como se mencionó anteriormente, las pérdidas en la pantalla del conductor, , son producidas por corrientes circulantes y pérdidas por corrientes de Eddy, , [9-13]:

(4.72)

Las pérdidas en la coraza también tienen dos componentes: una debida a las corrientes circulantes y, para corazas magnéticas que presentan histéresis, :


Seccionador de pantallas

Pantallas unidas y aterrizadas

Conexión Transposición de cables

Conductores de los cables Pantallas de los cables Pantallas de los cables

e

ae

a2 e

e e

ae ae

a2 e a2 e

Voltaje total en cada pantalla del circuito = e+ae+a2e=0(Donde a indica un desfasamiento de 1200)

(a)

(b)

(4.73)

Las ecuaciones para obtener las pérdidas por corrientes circulantes en pantallas o corazas son muy generales y se aplican a cables en formación plana o trébol.

Para cables monoconductores en formación trébol (trifásico) o sistema de dos cables (bifásicos) equidistantes, tal como se muestra en la Figura 4.25, con sus pantallas unidas en más de dos puntos (por lo tanto, =0), la razón de pérdidas en la pantalla

de corriente circulante se calcula mediante (4.74) y (4.75).

Figura 4.25 (a) formación triangular para sistemas trifásicos, (b) formación equidistante para dos

cables, en donde S es la misma distancia entre ejes.

(4.74)

(4.75)

donde:

= Resistencia del conductor en corriente alterna en Ω/m.= Resistencia eléctrica de la pantalla o cubierta metálica, en Ω/m.

X = Reactancia mutua de la pantalla por unidad de longitud, en Ω/m.s = Distancia entre ejes de los conductores, en mm.d = Diámetro medio de la pantalla metálica, en mm.


Una forma simplificada de determinar los efectos de las corrientes que circulan en pantallas y cubiertas metálicas es considerar un cable imaginario sin pantalla, que presenta una resistencia y reactancia comparable a la que presenta un conductor real, incluidos los efectos de la pantalla [12-16].

A la resistencia y a la reactancia de este cable imaginario se les conoce como resistencia y reactancia aparentes, y los valores obtenidos de estos parámetros permiten calcular de manera directa la impedancia de línea, caída de tensión, etc.

En la Tabla 4.11, se muestra fórmulas para el cálculo de la resistencia eléctrica de pantallas y cubiertas metálicas.

Tabla 4.11 Fórmulas para calcular de la resistencia eléctrica de pantallas y cubiertas metálicas.

En esta tabla se tiene que:

= Diámetro medio de la pantalla o forro metálico en mm. d = Diámetro de los alambres de la pantalla en mmt = Espesor de la pantalla o forro metálico (0.12 mm para cintas de cobre, aproximadamente)n = Número de alambres de la pantallaK = Factor para incrementar la resistencia debido al contacto al traslape (K =1 para cables nuevos, K =2 para cables que ya han estado en servicio).

= Resistividad eléctrica de material de pantalla, a temperatura de operación, Ω/m.

(4.76)

donde:


Tipo de pantalla Fórmula

Pantalla de alambres/Km

Tubular de plomo/Km

Pantalla de cintas de cobre traslapadas /Km

141

= Resistividad del material de la pantalla a 20 C. α = Coeficiente térmico de resistividad eléctrica de material de la pantalla metálica a 20 C.t = Temperatura de la pantalla metálica, ver Tabla 4.12.

Tabla 4.12 Temperaturas aproximadas de la pantalla metálica. Voltaje de fase a

fase del cable Temperatura aproximada de la pantalla en °C, en función de la

temperatura del conductor kV 95 °C 90 °C 85 °C 80 °C 75 °C 70 °C 65 °C 5 15 25 35 46 69

90 90 90 85 85 80

85 85 85 80 80 75

80 80 80 75 75 70

75 75 75 70 70 65

70 70 70 65 65 60

65 65 65 60 60 55

60 60 60 55 55 50

Para sistemas trifásicos con cables monopolares en formación plana con transposición y con pantallas unidas, con un conductor central equidistante a los otros dos como se muestra en la Figura 4.26, las pérdidas por corrientes circulantes se determinan de forma parecida.

Figura 4.26 Formación plana para sistemas trifásicos de cables monopolares, pero con transposición de fases.

Para este caso las corrientes circulantes son determinadas con (4.75) pero, ahora sustituyendo la reactancia X por X1; la reactancia X1 se determina a través de la siguiente ecuación:

(4.77)

Para sistemas trifásicos de cables monopolares en formación plana sin transposición y con pantallas unidas, con un conductor central equidistante a los otros dos, como se muestra en la Figura 4.27, las pérdidas son calculadas con algunas variantes.


Figura 4.27 (a) Formación plana de un sistema de cables monopolares (b) Formación acunada de un

sistema de cables monopolares, donde solo se tiene dos distancias iguales S.

Las pérdidas por corrientes circulantes en la pantalla del conductor serán diferentes ya que la distancia entre ellas no es la misma, debiéndose calcular cada pérdida por conductor en forma diferente como se muestra a continuación:Para la fase del extremo:

(4.78)

Para la fase central:

(4.79)

Para la fase del extremo contrario:

(4.80)

donde:

(4.81)


Las ecuaciones usadas para la determinación de las pérdidas por corrientes de Eddy en cables tripolares son basadas en las ecuaciones desarrolladas por Carter (1927) para pantallas con gran resistencia y por Whitehead (1939) para cables de resistencia baja en la pantalla.

Para cables tripolares la determinación de las pérdidas por corrientes de Eddy con resistencia en la pantalla 100 Ω/m son determinadas de la manera siguiente:

(4.82)

Para 100 Ω/m:

(4.83)

Para conductores de forma sectorial con cualquier valor de :

(4.84)

donde:

c = Distancia entre el eje de un conductor y el eje del cable, en mm. = Radio del círculo que circunscribe los tres conductores, en mm.

= Espesor del asilamiento entre conductores, en mm.d = Diámetro medio de la pantalla, en mm.


REFERENCIAS

[1] William Thue (editor), Electrical Power Cable Engineering, Marcel Dekker Inc., 1999.

[2] A. Ametani, "A General Formulation of Impedance and Admittance of Cables," IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-99, No. 3, May/June 1980.

[3] L.M. Wedephol and D.J. Wilcox, “Transient Analysis of Underground Power-Transmission Systems: System Model and Wave-Propgation Characteristics”, Proc. IEE, Vol. 120, No. 2, February 1973.

[4] O. Breien and I. Johansen, “Attenuation of Travelling Waves in Single-Phase High-Voltage Cables”, Proc IEE, Vol. 118, No. 6, June 1979.

[5] J. Silva, Modelado de Cables para Transitorios Electromagnéticos, Tesis de Maestría, ESIME-IPN, 1988.

[6] ATP (Alternative Transient Program), Theory Book, 1999.[7] J.P. Bickford, N. Mullinex and J.R. Reed, Computation of Power System

Transients, Peregrinus, IEEE Monograph Series 18, pp.4-26 and pp. 46-57.[8] J. H. Neher and M.H. McGrath, “The Calculation of the Temperature Rise and

Load Capability of Cable Systems”, AIEE Transactions Part III - Power Apparatus and Systems, Vol. 76, October 1957, pp. 752-772.

[9] F. de León, ‘’ Calculation of Underground Cable Ampacity’’, CYME International T&D, 2005

[10] George Anders, Rating of Electric Power Cables: Ampacity Computations for Transmission, Distribution, and Industrial Applications, IEEE Press, 1997/McGraw Hill, 1997.

[11] George Anders, Rating of Electric Power Cables: In unfavorable thermal enviroment, IEEE Press, 2005/Wiley-Interscience, 2005.

[12] Condumex, ‘’Manual Técnico de Cables de Energía’’, 3ra ed, Ed Servicios Condumex, Ene. 2005.

[13] IEEE, Standard Power Cable Ampacity Table, IEEE Std 835-1994.[14] IEC 287 (1987), ‘’Calculation of the continuous current rating of cable 100%

load factor ’’ ,IEC 287.[15] Electric Cables – ‘’Calculation of the current rating’’ – Part 1: Currentrating

equations (100% load factor) and calculation of losses – Section 1: General. IEC Standard 287-1-1 (1994).

[16] ANSI/IEEE, ‘’Aplication of sheath-bunding methods and determination of induced voltages and currents in cables sheath’’, Std 575 (1988)


CAPÍTULO 5

TRANSFORMADORES DE POTENCIA

5.1 Transformadores monofásicosTransformadores monofásicos, conectados para formar bancos trifásicos, se utilizaron en forma generalizada para transformar altos y bajos voltajes en la primera mitad del siglo veinte. Una razón para esto fue que se podía comprar un cuarto transformador e instalarlo con un banco trifásico para una conexión posterior en el evento de que un banco monofásico fallara. Recientemente, la tendencia se ha movido hacia el uso de unidades trifásicas ya que son más económicas y más eficientes y se consideran generalmente como muy confiables. Todavía, sin embargo, muchas unidades monofásicas están en servicio, y grandes transformadores son formados con unidades monofásicas debido a limitaciones de embarque y peso.

5.1.1 Equivalentes de transformadores monofásicosEl circuito equivalente usado frecuentemente para un transformador monofásico se muestra en la Figura 5.1(a) donde la impedancia de dispersión de alto y bajo voltaje

y se dan en Ohms. Las pérdidas en el núcleo del transformador se consideran variantes con el cuadrado del voltaje del devanado y se representan mediante . El valor rms de la corriente de magnetización se representa mediante la reactancia

. La relación de vueltas se define como:

(5.1)

Donde= número de vueltas en el devanado = número de vueltas en el devanado

Usualmente eliminamos la rama de magnetización ya que y también la impedancia de transferencia al lado del circuito como se muestra en la Figura 5.1 (b). Entonces, a circuito abierto:

(5.2)

Y, ya que los ampere-vuelta de los devanados del transformador son iguales excepto para la fmm de la excitación dada por , tenemos que ó :


(5.3)

Los transformadores de subestaciones modernas usualmente tienen menor a 1% en tamaños hasta cerca de 10MVA y en capacidades de alto voltaje de hasta 69 kV.

Figura 5.1 Equivalentes de un banco monofásico de dos devanados: (a) equivalente en cantidades de sistema, (b) equivalente simplificado con toda la impedancia serie referida al devanado (c)

equivalente en por unidad

Cualquier corriente de un devanado se ve en el lado primario como y la

impedancia parece ser a como . Entonces, la impedancia total vista por la corriente del devanado es:

(5.4)

Que se muestra en la Figura 5.1 (b) como la impedancia total del transformador donde, ya que es pequeña, se desprecia la rama en derivación.


Es conveniente cambiar la Figura 5.1(b) a un circuito equivalente en pu. Arbitrariamente seleccionamos las cantidades base como:

capacidad nominal del transformador VA= nominal= nominal (5.5)

Entonces

(5.6)

Y

(5.7)

De la ecuación (5.2) y la ecuación (5.5) calculamos en pu en vacío, = , y la relación de vueltas en pu es:

1.0 (5.8)

También, de la ecuación (5.7) se calcula la impedancia total del transformador vista desde el devanado resultando:

(5.9)

Finalmente, de la ecuación (5.3), se calcula:

(5.10)

De las ecuaciones (2.8)-(2.10) se establece el circuito equivalente de la Figura 5.1(c) y este es el equivalente que se usa con más frecuencia para estudios de flujos de potencia, fallas y estabilidad; (en estudios de ferroresonancia, transitorios por maniobra, ondas viajeras, armónicas, etc., la reactancia de magnetización no se debe de ignorar).

5.1.2 Impedancias de transformadores

Las impedancias de transformadores están casi siempre dadas en pu (ó por ciento) basado en la capacidad del transformador. Entonces, de la ecuación (5.9):

(5.11)

El resultado se puede verificar dividiendo por para calcular:


(5.12)

Los valores de son casi constantes para transformadores de un diseño y tamaño dado. Las Tablas de valores promedio están disponibles de fabricantes y pueden ser usados cuando el valor de placa no se conozca. La Tabla 5.1 proporciona valores típicos de transformadores de distribución de dos devanados de capacidades de 500 kVA y menores. Note que en los tamaños mas grandes la impedancia es casi completamente una reactancia inductiva. En aplicaciones de subestaciones, donde algunas veces se usan los tamaños mayores, la resistencia es frecuentemente despreciada completamente. Usualmente la resistencia se considera solamente cuando se efectúan estudios de eficiencia, económicos ó de pérdidas.La Tabla 5.2 proporciona valores típicos para transformadores grandes de dos devanados. Esta tabla es adecuada para estimar las impedancias de transformadores donde pueden ser considerados diferentes métodos de enfriamiento. Note que para cada clase de voltaje, se especifica un rango de impedancias. Si el transformador es auto enfriado(OA), la impedancia se debe tomar de la parte mas baja del rango especificado. El enfriamiento forzado permite a un transformador de un tamaño dado disipar calor más rápido y operar a una carga en volt-amperes mayor y por lo tanto se debe representar por una mayor impedancia que una capacidad similar en una unidad auto enfriada. La resistencia generalmente se desprecia en transformadores de potencia.

Tabla 5.1 Impedancias de transformadores de distribución. Reactancias e impedancias normalizadas para capacidades de 500 kVA y menores (para transformadores operando a 60Hz)

Fuente: Westinghouse Electric Corp. * Para transformadores trifásicos use 1/3 de la capacidad trifásica en kVA, y entre en la tabla con los voltajes de línea a línea.

5.1.3 Marcas de polaridad de transformadores y marcas de terminales

Las terminales de un transformador monofásico fabricado en los Estados Unidos se marcan de acuerdo a la especificación publicada por la United States of America Standars Institute, llamada frecuentemente USA Standards. Estos USA Standards especifican que el devanado de mas alto voltaje se debe designar ó y que se


utilicen subscritos numerados para identificar las terminales, por ejemplo y . El devanado de baja tensión se designa ó y se subscribe en forma semejante. Si hay mas de dos devanados, los otros se designan y con subscritos adecuados.

Este mismo esquema de marcado para devanados permite la identificación de derivaciones en un devanado. Entonces, en un devanado dado los subscritos 1,2,3,…, n se pueden usar para identificar todas las terminales, con uno y n marcando el devanado completo y los números intermedios 2,3, …, n-1 marcando los devanados fraccionarios ó derivaciones. Estos números se arreglan de modo que cuando la terminal i+1 es positiva (ó negativa) con respecto a la terminal i, entonces i también es positiva (negativa) con respecto a i-1. La especificación además requiere que si

y están unidos y el devanado se energiza, el voltaje entre el devanado numerado mas alto y el devanado numerado mas alto debe ser menor que el voltaje a través del devanado .

Las normas también especifican la ubicación relativa de las terminales numeradas en la envoltura del tanque del transformador. Las dos posibilidades se muestran en la Figura 5.2. Aquí se ha evitado el uso de los términos “primario” y “secundario” ya que estos términos se refieren a la dirección del flujo de energía y esto no está establecido cuando se derivan resultados generales.

La Figura 5.2 también ilustra lo que significan los términos polaridad “aditiva” y polaridad “substractiva”. El mas bajo de los tres conjuntos de dibujos muestra un segmento de núcleo con polaridades de voltaje y terminales etiquetadas. Obviamente hay dos formas de orientar dos devanados en un núcleo y estas posibilidades se muestran en la Figura 5.2 (a) y 5.2 (b). Si está aumentando en el circuito de la izquierda, este causaría un flujo que tiende a aumentar en la dirección hacia arriba.

Pero por la Ley de Lenz una corriente fluirá para oponerse a este cambio en el flujo en el núcleo y mantendrá los enlaces de flujo constantes. Esto establece a como una terminal positiva. Ya que los “bushings” y tienen la misma posición relativa en el tanque, como se nota en el conjunto de dibujos a la izquierda, este es por definición una “polaridad substractiva”. Entonces para el transformador de la izquierda la polaridad se puede determinar conectando juntas las terminales adyacentes (esto es, y ), aplicando un voltaje entre y , y verificando que el voltaje entre las conexiones adyacentes y es menor que el voltaje aplicado. Si es así, la polaridad es substractiva. Obviamente, lo reverso es cierto para transformadores con polaridad positiva. La polaridad aditiva es normalizada para transformadores monofásicos de 500 kVA y menores cuando el devanado es de voltajes nominales de 8660 Volts y menores. Todos los otros transformadores son normalmente de polaridad substractiva, aunque se debe checar la placa antes de conectar cualquier transformador en un banco trifásico.


Tabla 5.2 Rango normalizado en impedancias de transformadores de potencia de dos devanados evaluados a 65ºC de elevación (para transformadores de 25 y 60 Hz)

Fuente: Westinghouse Electric Corp. *Las impedancias se expresan en por ciento de la capacidad de auto enfriado de OA/FA y OA/FA/FOA.Definición de clases de transformadores:OA-Ahogado en aceite, auto enfriado OW-Ahogado en aceite, enfriado con aguaOA/FA Ahogado en aceite, auto enfriado/enfriado con aire forzadoOA/FA/FOA Ahogado en aceite, auto enfriado/enfriado con aire forzado/enfriado con aceite forzadoFOA Ahogado en aceite, enfriado con aceite forzado, con enfriador de aire forzado.FOW Ahogado en aceite, enfriado con aceite forzado con enfriador de agua.Nota. La impedancia serie de un autotransformador se puede estimar conociendo los voltajes nominales del circuito, multiplicando la impedancia obtenida de esta tabla por le factor ( )


Figura 5.2 Marcas de polaridad normalizadas para transformadores de dos devanados: (a) substractiva, (b) aditiva. Fuente Westinghouse Electric Corp.

Desde el punto de vista de análisis de circuitos, frecuentemente se identifican las bobinas de circuitos acoplados mediante marcas de polaridad ó puntos. Por esta convención se puede establecer fácilmente que si es una terminal con punto, es igualmente una terminal con punto como se muestra en la Figura 5.3. Este hecho se deriva de la definición de polaridad aditiva donde se estableció que el instante en que es positiva con respecto a , entonces es igualmente positivo con respecto a . Si elegimos a como entrando a la terminal con punto ( ) e como saliendo de la terminal con punto ( ), estas corrientes están en fase si la corriente de excitación es despreciable. Las ecuaciones (5.2) a (5.10) se escribieron con esta base.

Figura 5.3 Convención de puntos para un transformador de dos devanados

5.2 Transformadores de tres devanadosEs común en sistemas de potencia utilizar transformadores con más de dos devanados. Esto es especialmente cierto en subestaciones de transmisión de gran tamaño donde los voltajes se transforman de niveles de la red de transmisión a


niveles intermedios de subtransmisión. En tales casos se establece un tercer nivel de voltaje para distribución local, para aplicar capacitores para corregir factor de potencia ó reactores, ó posiblemente para establecer simplemente una conexión para proporcionar una trayectoria para corrientes de secuencia cero. Aunque tales subestaciones de transmisión están equipadas normalmente con transformadores trifásicos, la teoría del transformador de tres devanados es más fácilmente entendible examinando una unidad monofásica. Estos resultados pueden posteriormente ser usados en una base por fase en el estudio de aplicaciones trifásicas.

Los devanados de un transformador de tres devanados se designan como para el voltaje más alto, para el voltaje intermedio, y Y para el voltaje mas bajo. También se considera que las corrientes de excitación son despreciables y se usarán circuitos equivalentes semejantes a los de las figuras 5.1 (b) y 5.1 (c), donde se omite la rama de excitación.

Considere el diagrama de devanados de un transformador de tres devanados mostrado en la Figura 5.4 (a) donde los devanados y se muestran teniendo número de vueltas , y respectivamente. Al probar este transformador para determinar su impedancia se hacen pruebas de corto circuito entre pares de devanados. Esto se hace con el tercer devanado abierto. Aplicando esta prueba entre entre los devanados y con abierto se obtiene la impedancia óhmica como se muestra en la figura 5.2(b) donde, siguiendo el procedimiento de la ecuación (5.4) con instrumentación en el devanado y el devanado cortocircuitado, se obtiene:

Figura 5.4 Transformador de tres devanados. (a) diagrama de devanados, (b) circuito equivalente en Ohms (c) circuito equivalente en pu


(5.13)

Ó en pu basado en el voltaje del devanado y la capacidad en volt-amperes se escribe:

(5.14)

Donde la base se indica mediante la notación . Se deben referir todas las impedancias arbitrariamente al devanado donde:

Capacidad en VA del devanado Voltaje nominal del devanado (5.15)

Entonces, (5.16)

Y si se multiplica la ecuación 5.14 por , tenemos:

en base (5.17)

Donde es la misma que en la ecuación 5.13 pero:

(5.18)

Donde:

(5.19)

Para completar el circuito equivalente de la Figura 5.4(b), también se define

(5.20)

Y(5.21)

De modo que:

en base (5.22)


Una tercer medición se puede hacer del devanado al devanado , con el devanado abierto, para determinar . Se calcula:

(5.23)

Donde

(5.24)

Reescribiendo la ecuación (5.23), se tiene:

en base a (5.25)

Se tiene un problema de tres ecuaciones con tres incógnitas, las ecuaciones (5.17), (5.22) y (5.25) que se pueden reescribir como sigue:

en bases mezcladas y ..(5.26)

Se debe notar que el vector columna a la izquierda se conoce ó se puede determinar mediante pruebas en el transformador. El vector columna a la derecha contiene las cantidades deseadas para el circuito equivalente. Ya que el determinante de la matriz

de coeficientes es diferente de cero (det = - ), existe una solución única,

en una base

mezclada y (5.27)

Estos valores se insertan en el circuito equivalente de la Figura 2.4(b).


Se convierte el circuito equivalente a un equivalente en pu dividiendo la ecuación (5.27) por los Ohms base del devanado . También se debe notar que:

= (5.28)

Incorporando la ecuación 5.28, se divide (5.27) por y se encuentra la expresión en pu:

pu (5.29)

Donde

Estos valores se usan en el circuito equivalente en pu (ó por ciento) de la Figura 5.4 (c). Se debe notar cuidadosamente que estos valores se calculan de pu de devanado a impedancias de devanado donde y están en una base y está en una base (ambas en volt-ampere y voltaje).

El procedimiento anterior es necesario en transformadores con mas de un devanado ya que las impedancias en pu deben ser cuidadosamente identificados como a la base usada en especificar cada valor. Los valores de la ecuación (5.29) podían estar basados en la capacidad de cualquier devanado, pero el devanado se elige comúnmente. Es importante reconocer que cuando está completamente cargado el devanado divide su capacidad entre y . Resulta razonable entonces que la

relación afecta la impedancia la que a su vez afecta el circuito equivalente.

Hay que notar también que el efecto de sobre es convertir esta cantidad a una impedancia en pu en base a .Observe que el “equivalente T” de la figura 5.4 tiene un nodo en la unión de y

que es un nodo ficticio y no tiene significado físico. El voltaje de este nodo usualmente no se calcula. Este nodo se puede eliminar cambiando la T a una . La ecuación (5.29) contiene signos negativos y los resultados calculados no son necesariamente positivos. De hecho, es algo común para una pierna del equivalente T ser negativa ó cero.

5.3 Equivalentes de autotransformadores.


En un sistema de potencia moderno se efectúan un número grande de transformaciones mayores mediante autotransformadores más que con transformadores de devanados separados. Una razón para esto es el menor costo de los autotransformadores. Hay sin embargo, otras diferencias importantes. La impedancia de un auto transformador es menor que la de un transformador convencional de la misma capacidad. Esto es tanto una ventaja como una desventaja. La menor impedancia significa menor regulación, pero también significa menor capacidad de limitar corrientes de falla y algunas veces es necesaria la inclusión de una impedancia externa. Los autotransformadores también tienen menores pérdidas y menores corrientes de excitación que los transformadores de dos devanados de la misma capacidad. Son físicamente menores y generalmente tienen mayores eficiencias.

Figura 5.5 Circuito de un autotransformador de dos devanados

Considere el circuito de un autotransformador de la Figura 5.5 donde se denota la relación de voltajes de a mediante la relación de número de vueltas , esto es:

= (5.30)

Entonces, de acuerdo a esta definición , y la relación de vueltas en los dos

devanados no es igual a la relación de voltajes en vacío .

Cuando el transformador se carga, la fmm de los dos devanados debe ser el mismo (si es ideal), esto es:

(5.31)Y ya que

(5.32)Se calcula

(5.33)


Comparando las ecuaciones (5.30) y (5.33) con ecuaciones semejantes (5.2) y (5.3) para un transformador de dos devanados, se puede ver que el autotransformador se ve exactamente como un transformador de dos devanados con relación de vueltas donde se define por la ecuación (5.30).De la teoría del transformador se sabe que los volt amperes totales del circuito en un transformador deben ser los mismos en ambos la entrada y la salida (para un transformador ideal). Para un autotransformador se calcula, usando un subscrito para volt amperes del “circuito”:

(5.34)

Pero los volt amperes de devanado son:

Para el devanado 1

Para el devanado 2 (5.35)

La relación de volt amperes de devanado a circuito es:

(5.36)

Esto conduce a un “ahorro” considerable en capacidad de devanado. Por ejemplo, si la transformación es de dos a uno, esto es, = 2, la relación de la ecuación (5.36) es un medio, ó los devanados del autotransformador tienen dos veces la capacidad en volt amperes del transformador de dos devanados equivalente.

La impedancia del autotransformador se puede medir, como en el caso del transformador de dos devanados, haciendo una prueba de corto circuito. El circuito para realizar una prueba se muestra en la Figura 5.6, de donde se calcula la impedancia de dispersión.

referidos a


Figura 5.6 Circuito para prueba de corto circuito

Esta es la impedancia mostrada en el equivalente del autotransfromador de la Figura 5.7 dónde se presenta al autotransformador como un transformador de dos devanados con relación de transformación e impedancia .

Figura 5.7 Circuito equivalente convencional de un autotransformador

5.4 Autotransformadores de tres devanados

Los autotransformadores de tres devanados se utilizan ampliamente también. Debido al arreglo físico de los circuitos del autotransformador, los transformadores de tres devanados se conectan usualmente en Y-Y con neutro aterrizado. Ya que la conexión Y-Y no contiene trayectoria para corrientes de excitación de tercera armónica, un tercer devanado se suministra en cada fase que puede estar conectado en . Este devanado, llamado terciario en , proporciona una trayectoria para corrientes de excitación y se puede usar para transformar potencia también.

En autotransformadores de tres devanados es necesario reconocer claramente si uno está calculando impedancias en una base de circuito ó en una base de devanado. Se debe tener cuidado al aplicar fórmulas dadas en la literatura ya que no parece ser una práctica comúnmente aceptada.

Los autotransformadores de tres devanados usualmente consisten de dos devanados físicos, uno de los cuales tiene una derivación para formar dos sub-devanados que son identificados separadamente. En el análisis siguiente se llamarán devanados y (para serie, común y terciario) y los circuitos y (algunas veces llamados ó por otros autores). Estos circuitos y configuraciones de devanados se identifican en la Figura 5.8 donde los circuitos


equivalentes de tres terminales son también mostrados para cada caso. Estos son los circuitos equivalentes para las redes de secuencia positiva y negativa. El equivalente de secuencia cero depende de la naturaleza de la conexión, como se discute en la sección 5.6. Se debe notar, sin embargo, que ya que están presentes en cada caso tres circuitos a los que se harán conexiones externas (a) ó (b) de la figura 5.8, el circuito equivalente debe tener tres terminales como en (c) y (d). Note también que en la figura 5.8 se usa la relación:

(5.38)

Que está de acuerdo con la ecuación (5.30) para los autotransformadores de dos devanados.

La Tabla 5.3 da las ecuaciones que convierten de una base a otra con todos los valores basados ya sea en el devanado ó los voltajes del circuito , y donde todas las impedancias están en pu en estas bases, con una base arbitraria de voltamperes.Entonces las ecuaciones (a) y (b) son las mismas que la ecuación (5.29) las diferentes ecuaciones de conversión de (c), (d), (e), y (f) están todas en pu en estas mismas bases. La única excepción a esto es que las relaciones de corriente dadas en los circuitos equivalentes de la figura 5.8 (c) y (d) son relaciones de amperes. La Tabla 5.4 proporciona valores típicos de impedancias de autotransformadores.

Figura 5.8 Conexiones y equivalentes de un autotransformador para análisis de un devanado en base a un circuito (Del libro Componentes Simétricas de C.F. Wagner y R.D. Evans, Mc Graw Hill, 1933)

Tabla 5.3 Fórmulas de Conversión para autotransformadores con devanado terciarioBase en devanado Base en circuito


Fuente: Wagner y Evans. Devanado ó circuito se usan como voltaje base. Para pu usar una base VA arbitraria,


Tabla 5.4 Características típicas de autotransformadores

Fuente: Federal Power Comission* Todas las reactancias en por ciento sobre voltaje nominal y base en kVAŦ Las reactancias y datos de pérdidas de los transformadores de arriba se basan en 1050 kV BIL para devanados de transformadores de 345 kV, 1550 kV BIL para devanados de transformadores de 500 kV, y 2175 kV BIL para devanados de transformadores de 700 kV. Aumentando ó disminuyendo los valores de BIL resulta en un aumento ó disminución correspondiente en reactancias y pérdidas del transformador de hasta aproximadamente 10% de los valores sugeridos.

5.5 Bancos trifásicos con unidades monofásicasYa que la preocupación es principalmente con sistemas de potencia trifásicos, estamos interesados naturalmente en la aplicación de bancos monofásicos conectados para formar bancos trifásicos. Este análisis se limita a tres unidades monofásicas idénticas y se desarrollan las representaciones en redes de secuencia para las conexiones usadas comúnmente. El uso de unidades diferentes introduce un desbalance en serie que se puede analizar separadamente como tal, una vez que se identifican las configuraciones en redes de secuencia básicas.

Un problema en el cálculo de las impedancias de transformadores es la selección de la base para convertir los valores óhmicos a pu. Para transformadores es común elegir la capacidad en voltamperes de una unidad monofásica como la base, ó en el caso de transformadores de tres devanados, referir todas las impedancias a la capacidad en voltamperes de uno de los devanados. Si los devanados están conectados en Y, el voltaje de línea a neutro se toma como el voltaje base, y este es el voltaje nominal de devanado. Si los devanados están conectados en , el voltaje


de línea a neutro es el voltaje nominal del devanado y este debe ser calculado

como el valor base. Pero se puede elegir la base en voltamperes como la capacidad total del banco, ó tres veces la capacidad de una de las unidades monofásicas , y usar el voltaje de línea á línea como la base de voltaje. Note que una vez que se selecciona un voltaje base para un devanado, la base se fija automáticamente, a través de la relación de vueltas, para los otros devanados. Si estos valores no coinciden con los voltajes base seleccionados arbitrariamente, se debe considerar una relación no nominal para tomarlo en cuenta. Esto puede se hecho insertando un transformador ideal con una relación de vueltas igual a la relación no nominal de estos voltajes.

Se debe enfatizar aquí que todos los bancos de transformación conectados en se representarán como un equivalente (sin aterrizar) en Y en lo que a las redes de secuencia positiva y negativa respecta. Para la red de secuencia cero, sin embargo, se debe también reconocer que la conexión permite el flujo de corriente de secuencia cero, mientras que la conexión Y sin aterrizar no lo permita. Este concepto de pensar en términos de un equivalente Y es muy aceptable en tanto se refiera a las relaciones entre cantidades de fase. Entonces, la corriente total entrando al banco es correcta y las relaciones de fase son correctas entre cantidades a cualquier lado del transformador. Si deseamos comparar las relaciones de fase de cantidades a través de un banco Y- , se debe hacer como un cálculo separado ya que la representación como equivalente Y destruye esta relación.

Usando esta idea de un equivalente Y, se puede ver que el transformador equivalente de la figura 5.1(c) es el equivalente (por fase) para las redes de secuencia positiva y negativa de cualquier conexión de transformadores de dos devanados. Para transformadores de tres devanados el circuito T de la Figura 5.4 (c) es adecuado. De aquí con las cantidades base elegidas como se discutió arriba, las representaciones de secuencia positiva y negativa son idénticas y son las mismas que las del equivalente de transformador monofásico.

El circuito equivalente de secuencia cero depende del tipo de conexión y el método de aterrizaje. En un devanado conectado en , las corrientes de secuencia cero pueden fluir, pero ya que son iguales en cada pierna de la , no salen de las terminales del transformador. De aquí que el devanado en visto desde el circuito externo aparece como una impedancia con ambos lados aterrizados y un circuito abierto al circuito externo. En un circuito Y aterrizado, las tres corrientes e se suman para producir fluyendo a (ó desde) tierra. Ya que la red de secuencia cero representa solamente una fase con corriente , se incluye cualquier impedancia al neutro como en la red de secuencia de modo que el voltaje al neutro se calculará correctamente. La Y aislada aparece abierta a corrientes de


secuencia cero ya que las corrientes trifásicas se suman a cero, de donde se concluye que es cero.

Estos conceptos se ilustran en los circuitos equivalentes de secuencia cero de transformadores de dos y tres devanados mostrados en la figura 5.9 donde las letras P, Q y R designan los circuitos del transformador. Una vez que se especifican los niveles de voltaje, estas designaciones se pueden reemplazar por H, X y Y para los devanados adecuados. En esta figura los símbolos de tierra representan la barra de potencial cero .

Figura 5.9 Circuitos equivalentes de secuencia cero para nacos de transformación de tres unidades monofásicas idénticas, despreciando corrientes de excitación. (De Clarke: Vol. I).

Dos casos adicionales de circuitos equivalentes de secuencia cero se muestran en la Figura 5.10 donde una impedancia de neutro se presenta en (a) y una esquina de la impedancia en existe en (b). Los circuitos equivalentes se muestran en la Figura 5.10 (c) y 5.10 (d) respectivamente para estos casos especiales. Se considera que la impedancia de neutro en (a) y (c) se expresan en pu en la base de voltamperes por fase del sistema y el voltaje de línea a neutro de los devanados conectados en Y


(igual que la impedancia del transformador ). La esquina de la impedancia en se considera expresada en pu en la base de voltamperes por fase del sistema y la base de voltaje de línea á línea del circuito en .

Figura 5.10 Banco Y- con (a) neutro aterrizado a través de , (b) en una esquina de la , (c) y (d) circuitos equivalentes de secuencia cero para (a) y (b) respectivamente, donde = impedancia de

dispersión entre devanados (De Clarke Vol II)

Es también posible formar bancos trifásicos de autotransformadores monofásicos, de dos ó tres devanados. Tales bancos están generalmente conectados en Y, frecuentemente con el neutro aterrizado, y con un tercer devanado (terciario) conectado en para alimentar fmm de tercera armónica para excitación. Tal conexión de transformador se muestra en la Figura 5.11(a) donde los circuitos se designan y .Clarke1 mostró que el circuito equivalente para las redes de secuencia positiva y negativa son las mostradas en la Figura 5.11 (b) donde los parámetros del circuito T se toman de la tabla 5.3 (b) y son:

pu (5.39)

EL cual se ve exactamente igual a (5.29). Aquí todas las impedancias están en pu en la misma base.

1 Edith Clarke, Circuit Analysis of AC Power Systems, Vol II, General Electric Co, 1950


Figura 5.11 Circuito equivalente para una conexión Y- -Y de tres autotransformadores idénticos: (a) conexión de los autotransformadores, (b) equivalentes de secuencia positiva y negativa, (c)

equivalente de secuencia cero (De Clarke, Vol. II)

Las impedancias de secuencia cero para la figura 5.11(c) también están dadas por Clarke (Vol. II) como:

(5.40)

En el caso de un banco sin aterrizar, y todas las impedancias en (5.40) se hacen inifinitas. Una forma de resolver este problema es convertir el equivalente Y (consistente de y ) a un equivalente y entonces tomar el límite cuando

se aproxima a infinito. Si llamamos estas impedancias en como y , se calcula el llamado equivalente “ resonante” que es:

pu (5.41)

Dónde es la impedancia serie del terciario definida (en base a devanado) en la figura 5.8.

5.6 Transformadores trifásicos

Mucha de la información necesaria para realizar estudios de sistemas en falla y para representar adecuadamente los transformadores en estos estudios se dan en las secciones precedentes. Es siempre de poca importancia si el banco de transformadores consiste de tres unidades monofásicas ó es una unidad trifásica. Hay, sin embargo, ciertas dificultades que pueden ser importantes bajo algunas condiciones. Entre estas está la práctica normalizada de marcar las terminales de


unidades trifásicas, las diferencias de impedancia debidas a diferentes diseños del núcleo, y el defasamiento a través del transformador.

5.6.1 Marcas de terminales de transformadores trifásicos.

Las terminales de transformadores trifásicos se etiquetan y , etc. exactamente como para los bancos monofásicos discutidos en la sección 5.3. En este caso, sin embargo, cada nivel de voltaje tendrá tres terminales, una para cada fase, y puede tener cuatro si se saca el neutro como una conexión externa. Estas están etiquetadas mediante subscritos 1,2,3, y con 0 designando el neutro. Los subscritos tienen la importancia de designar el orden en tiempo del voltaje instantáneo si se conectan en una manera lógica. Entonces si la secuencia de fases es y estas fases se conectan a y , entonces y serán de secuencia de fases

.

Figura 5.12 Desplazamiento angular y marcas de terminales para transformadores trifásicos. Las líneas punteadas muestran el desplazamiento angular entre devanados de alto y bajo voltaje. El

desplazamiento angular es el ángulo entre una línea dibujada del neutro a y una línea dibujada del neutro a .


Las normas americanas también especifican una relación de fases definida entre devanados de un transformador trifásico. Para conexiones Y-Y ó el ángulo de fase entre terminales numeradas igual es 0º, mientras que para conexiones Y- ó -Y el voltaje de la terminal adelanta el voltaje de la correspondiente terminal por 30º. Esto se muestra en la Figura 5.12 que también muestra el arreglo de las normas americanas para posiciones de terminales en el tanque del transformador.

De la figura 5.12 observamos que el voltaje asociado con la fase en un lado del transformador puede tener muchas relaciones de fase diferentes con el voltaje de la fase del otro lado, dependiendo de la forma que se etiqueten las fases. Entonces, para transformadores Y-Y ó - esta relación de fases puede ser de 0º, +120º, ó -120º. En conexiones Y- ó -Y, la relación entre devanados de la fase , puede ser

30º, 150º, ó 90º, otra vez dependiendo de las etiquetas. El transformador mismo, si es de diseño y marcado normalizado, es consistente en la relación mostrada en la figura 5.12.

5.6.2 Defasamientos en transformadores Y-

Al calcular corrientes desbalanceadas, los transformadores ó Y-Y no presentan problemas especiales ya que las corrientes se transforman como si fueran imágenes de un espejo. Entonces, una falla entre líneas entra las fases y en un lado del transformador aparecen como un par de corrientes similares en el otro lado y también fluirán en las líneas y si así están etiquetadas (y siempre consideramos que las líneas están etiquetadas de modo semejante).

En una transformación Y- ó -Y, sin embargo, este no es el caso. Aquí, por ejemplo, una falla de línea a tierra en la fase del lado de la Y(aterrizada) aparece como un flujo de corriente en ambas líneas y en el lado de la . Obviamente, esto requiere un tratamiento especial.

Los circuitos equivalentes para corrientes de secuencia positiva, negativa y cero de un transformador Y- se muestran en la Figura 5.13, donde se nota que hay una transformación en magnitudes de voltaje y fase. (La figura 5.13 muestra el lado adelantando al lado Y por 30º, que sería el caso si el devanado fuera el devanado

). Usualmente, sin embargo, no se toma este defasamiento en cuenta en el circuito equivalente por fase porque no estamos interesados usualmente en las relaciones de fase a través del transformador pero requerimos examinar solamente las relaciones de fase entre voltajes y corrientes en un lado ú el otro. De hecho, no aprenderíamos nada de valor desfasando estas cantidades en fase por 30º. Por lo tanto, reducimos el devanado a un equivalente Y con neutro aislado. Esto permite cambiar los circuitos equivalentes de secuencia positiva y negativa a una simple impedancia serie. Sin embargo, se toma en cuente el hecho de que las corrientes de secuencia cero pueden circular en el devanado en reteniendo la representación de la figura 5.13 (d).


Figura 5.13 Circuitos equivalentes de un banco transformador en Y- : (a) diagrama esquemático, (b) secuencia positiva, (c) secuencia negativa, (d) secuencia cero

Aunque se ha encontrado conveniente ignorar el defasamiento en una transformación Y- para la mayoría de los problemas, necesitamos establecer un procedimiento para calcular la relación de fase de todos los voltajes y corrientes cuando se requiera. Como se mencionó antes, la relación de fases actual depende del etiquetado de las tres fases y puede ser 30º, 150, ó 90º como se muestra en la figura 5.14. Sin embargo, no hay necesidad de analizar exhaustivamente todos los seis arreglos mostrados en la Figura 5.14.


Stevenson ha analizado el defasamiento de 90º. Este es muy conveniente para trabajar y se elige como la base para todos los cálculos aquí. El arreglo básico se muestra en la figura 5.15 donde se deben notar diferentes rasgos importantes. Primero, Notar que la fase etiquetada se conecta a y que la etiquetada está conectada a . Ya que por definición la secuencia positiva de voltajes es , una vez que elegimos conectar á , se debe conectar y á y respectivamente, a fin de que la secuencia de fases sea en cada lado de la transformación. Comparando con la figura 5.14, se puede ver que esta es una conexión de 90º (ó etiquetado) de terminales. Esto se verifica en el diagrama fasorial de secuencia positiva de la figura 5.15 (b) donde se ve que esta atrasado respecto a por 90º. La figura 5.15 también sigue la convención de que los devanados dibujados en paralelo (por ejemplo y ) están enlazados magnéticamente y que las etiquetas están arregladas de modo que en el lado Y está enlazado con en el lado . Las letras minúsculas se usan en un lado y las mayúsculas en el otro.

Figura 5.14 Desplazamientos de fase angulares obtenibles en unidades de transformación Y-

La notación es tal que está en fase con . Si este es el caso, estas bobinas están enlazadas magnéticamente de modo que una corriente entrando a produciría una corriente que estaría saliendo de , como en la figura 5.3 (donde

). Entonces é están 180º fuera de fase como se muestra en la figura 5.16, y esto es cierto para ambas secuencias, positiva y negativa. De las relaciones de corrientes y voltajes de la figura 5.15, se puede escribir:

pu (5.42)


pu (2.43)

Figura 5.15 Diagrama de alambrado y fasores de voltaje para un transformador trifásico conectado en Y- (a) Diagrama de alambrado, (b) componentes de voltaje

Figura 5.16 Fasores de corriente de un transformador trifásico conectado en Y- .

Obviamente, esto no dice nada acerca de las relaciones de fase entre cantidades de secuencia ya que esto depende enteramente de las condiciones de frontera en la falla.

5.6.3 Impedancia de secuencia cero de transformadores trifásicos.

Analizando las impedancias de secuencia de bancos de transformadores trifásicos consistentes de tres unidades monofásicas, se usa la misma impedancia para la red de secuencia cero así como para las redes de secuencia positiva y negativa. Esto se debe a que los transformadores individuales presentan una misma impedancia a cualquier voltaje. De hecho, el transformador individual no esta enterado de la secuencia de voltajes aplicados.Este no es el caso con transformadores trifásicos donde los flujos de cada devanado de fase comparten trayectorias de un circuito magnético común. Aquí el dispositivo responde diferente a voltajes de secuencia positiva y cero, y estas diferencias


pueden ser importantes al obtener una representación correcta en redes de secuencia. Si falta la información precisa se puede despreciar estos refinamientos en estudios de sistema. Aun si este es el caso sin embargo, el ingeniero debe poder estimar el error posible al hacer consideraciones simplificatorias.

Hay dos diseños básicos usados comúnmente para transformadores trifásicos, el diseño tipo núcleo y el diseño tipo acorazado. Estas configuraciones de núcleo se muestran en la figura 5.17 donde se muestran los flujos debidos a la aplicación de voltajes de secuencia positiva.

Note que los devanados en forma de núcleo (solamente se muestran los devanados primarios) están todos devanados en el mismo sentido. En el transformador acorazado la pierna central se devana en sentido opuesto a las otras dos piernas para reducir el flujo en las secciones de núcleo entre devanados. Ya que casi todo el flujo se confina a las trayectorias de hierro, la corriente de excitación es baja y la rama de excitación en derivación se omite usualmente de los circuitos equivalentes del transformador para las secuencias positiva y negativa para ambos diseños.


Figura 5.17 Flujos de secuencia positiva en transformadores forma núcleo y forma acorazado. (a) forma acorazado, (b) forma núcleo


Figura 5.18 Los flujos de secuencia cero en transformadores forma núcleo y forma acorazado (a) forma núcleo (b) forma acorazado

La impedancia de secuencia cero de un transformador trifásico se puede encontrar realizando pruebas de circuito abierto y de corto circuito con la aplicación de voltajes de secuencia cero. Si se hace esto, la prueba de corto circuito determina impedancias de dispersión que son casi las mismas que la impedancia de secuencia positiva, siempre y cuando la prueba no sature el núcleo. La prueba de circuito abierto, sin embargo, revela una diferencia sustancial en la rama de excitación del equivalente de secuencia cero para unidades tipo núcleo y tipo acorazado. Esto se debe a los patrones de flujo diferentes inherentes a los dos diseños como se muestra en la figura 5.18 donde se aplican los voltajes de secuencia cero para establecer los flujos de secuencia cero. En el diseño tipo núcleo en las tres piernas no se suman a cero como en el caso de secuencia positiva. En vez de eso, la suma debe buscar una trayectoria a través del aire (ò del aceite) ó a través del tanque de transformador cualquiera de los cuales presenta una alta reluctancia. El resultado es una


impedancia de excitación de secuencia cero baja, tan baja que no se debe de despreciar en el circuito equivalente si se requiere alta precisión en los cálculos.El diseño tipo acorazado puede presentar también un problema si se saturan las piernas entre devanados. Usualmente, sin embargo, la impedancia de excitación de este diseño se desprecia.

La excitación de cualquiera de los dos diseños depende de la magnitud del voltaje de secuencia cero aplicado como se muestra en la figura 5.19, pero el diseño tipo acorazado es mucho más variable que el tipo núcleo debido a la saturación de el tipo acorazado por flujos de secuencia cero. La figura 5.19 (a) también muestra como el tanque del transformador actúa como una trayectoria de flujo para flujos de secuencia cero en transformadores tipo núcleo y alguna vez se trata como un devanado terciario de alta impedancia.

Figura 5.19 Impedancias de secuencia cero a circuito abierto típicas: (a) tipo núcleo, (a) tipo acorazado.

En cualquier situación donde se requiera alta precisión en cálculo de fallas se debe consultar al fabricante del transformador para tener información exacta sobre impedancias de secuencia cero. Donde no se consiguen datos precisos o no se requiera alta precisión, la impedancia de secuencia cero se considera igual a la impedancia de secuencia positiva y el equivalente de secuencia cero se consideran ser el mismo que el desarrollado para tres unidades monofásicas.


El problema de una impedancia de excitación finita es mas pronunciada en unidades pequeñas que en grandes diseños trifásicos. Los transformadores de distribución trifásica con capacidades menores a 500 kVA y a bajo de 79 kV, siempre son del diseño tipo núcleo. Muchos pero no todos los grandes transformadores de potencia son del diseño tipo acorazado. También hay un diseño tipo núcleo de cinco piernas que tiene un valor de impedancia de excitación entre el tipo núcleo de tres piernas y el tipo acorazado.

La figuras 5.20 y 5.21 presentan la representación de transformadores trifásicos tipo núcleo de tres piernas donde la notación Q//N indica que las terminales Q y N estarían conectadas, ó es la impedancia entre P y la combinación paralela de Q y N. Nótese que estos datos se aplican solamente para unidades tipo núcleo. Los circuitos del transformador están etiquetados P, Q y R y estas etiquetas se pueden remplazar por H, X, y Y cuando los niveles de voltaje se conocen.

Figura 5.20 Circuitos equivalentes de secuencia cero para transformadores tipo núcleo, trifásicos de dos devanados


Figura 5.21. Circuitos equivalentes de secuencia cero para transformadores trifásicos tipo núcleo de tres devanados.

5.7 Transformadores de aterrizaje

Los transformadores de aterrizaje se usan algunas veces en sistemas que están aislados ó que tienen conexiones a tierra de alta impedancia. Estas unidades sirven como fuente de corrientes de secuencia cero para polarizar relevadores de tierra y para limitar sobre voltajes. Estos transformadores deben tener alguna conexión a tierra, y esto usualmente es a través de algún tipo de conexión en Y. Como componente de sistema el transformador de aterrizaje no lleva carga y no afecta el comportamiento normal del sistema. Cuando ocurren desbalances, el transformador de aterrizaje proporciona una impedancia pequeña de red de secuencia cero. Se usan dos clases de transformadores de aterrizaje, los diseños Y- , y el diseño Zig-Zag.

El transformador de aterrizaje Y- es una conexión de transformador Y- pero con el devanado aislado como se muestra en la figura 5.22. Visto desde el lado Y, la impedancia es la impedancia de excitación que usualmente se toma como infinita. Ya que el lado no alimenta ninguna carga, la presencia de este transformador no afecta las redes de secuencia positiva y negativa de ninguna manera. La red de secuencia cero, sin embargo, ve la impedancia del transformador desde el punto

a ya que las corrientes puede fluir en todos los devanados Y y ser balanceado por corrientes que circulen en el devanado en . El equivalente de secuencia cero se muestra en la figura 5.22 (b).


Figura 5.22 Transformador de aterrizaje tipo Y- : (a) Conexión en , (b) representación de red de secuencia cero

El transformador de aterrizaje zigzag es un autotransformador con conexión uno a uno, donde los devanados primario y secundario se interconectan como se muestra en la figura 5.23. Cuando los voltajes de secuencia positiva ó negativa se aplican se nota que las corrientes están todas en fase y se conectan de modo que la FMM producida en cada bobina se oponga por una FMM de otro devanado de fase. Estas ideas se expresan gráficamente en la figura 5.24 donde (b) muestra la condición de secuencia positiva y (a) muestra el sentido oponiéndose de las conexiones de bobina. (Nótese que la figura 5.24 es valida para tres unidades monofasicas ó una unidad trifásica como en la figura 5.23) el devanado siente que esta cargado en el devanado por una corriente de carga que es igual a . La impedancia vista por

, entonces es la impedancia de dispersión entre y , ó por fase. Entonces la representación de secuencia cero es exactamente el mismo de la figura 5.22(b).

Figura 5.23 Conexiones de transformador de aterrizaje zigzag. (a) arreglos de devanados en un circuito magnético forma núcleo. (b) arreglo esquemático donde devanados paralelos y

comparten el núcleo 1.


Figura 5.24 Transformador de aterrizaje zigzag: (a) diagrama de alambrado, (b) diagrama fasorial de voltaje normal

5.8 Transformadores en estudios de sistemas

In el estudio de pequeños sistemas radiales, no hay problema de representar el transformador, siguiendo las guías presentadas previamente, y los voltajes base elegidos se toman convenientemente de los voltajes nominales del transformador. Sin embargo no siempre es posible elegir el voltaje base como el voltaje nominal del transformador ya que los voltajes nominales de bancos en un sistema no siempre son iguales.

Considere por ejemplo, el sistema sencillo mostrado en la Figura 5.25 donde tres sistemas S1, S2 y S3 están interconectados como se muestra y donde los tres transformadores pueden tener diferentes voltajes nominales. No obstante, los tres transformadores operan esencialmente en paralelo, interconectando sistemas nominalmente establecidos en 69kV y 161 kV. Esta conexión de transformadores presenta dos problemas, un problema “operativo” y un problema “matemático”. Si los transformadores tienen diferentes relaciones de vueltas, aún muy cercanas a la relación nominal de transformación 69-161 kV, una interconexión como la de la figura 2.28 causará corrientes circulantes y circulación de potencia reactiva en las mallas interconectadas. Este es el problema operativo, que frecuentemente se ignora para cálculo de fallas, aunque se encuentra que se puede emplear un tranaformador con relación de transformación no nominal, ya sea con cambiador de derivaciones fijo ó con equipo cambiador bajo carga, para eliminar las corrientes circulantes. EL problema matemático es el de derivar una representación correcta para un sistema tal como el de la figura 5.25. Este problema es de interés ya que involucra la representación correcta del sistema para una condición de operación asumida. En otras palabras, si los voltajes base seleccionados no coinciden con la relación de transformación de los transformadores, ¿Como se compensa esta diferencia?


Figura 5.25 Sistema con transformaciones diversas

En cualquier forma, en el trabajo analítico es incómodo trabajar con un transformador ideal. En lugar de esto, se usa un equivalente pasivo donde el transformador con relación no nominal (transformador ideal) es reemplazado por un circuito equivalente pi. Tal equivalente se puede derivar con referencia a la figura 5.26 donde un transformador con cambiador de derivaciones se representa entre los nodos j y k y con el equipo cambiador del lado j. Note también que la relación del cambiador se indica del nodo k hacia j, esto es, una relación del cambiador >1.0 indicaría que j está en una posición elevadora con respecto a k. La admitancia Y es la inversa de la impedancia del transformador Z y se usa por conveniencia.Con la corriente definida como en la Figura 5.26, se calcula:

(5.57)

Figura 5.26 Circuito equivalente de un transformador con cambiador de derivaciones bajo carga en el nodo del lado j

Pero para un transformador ideal se tiene:

(5.58)

Y se elimina de la ecuación 5.57 por sustitución para calcular:

(5.59)


Multiplicando por , tenemos

(5.60)

Ahora se pueden establecer ecuaciones similares para el circuito pi equivalente de la Figura 5.27 donde se escribe por inspección:

Figura 5.27. Circuito pi equivalente para la Figura 2.30

(5.61)

De5.61 se calcula:

(5.62)

Y

(5.63)

Ahora comparamos la ecuación(5.59) y la ecuación (5.60) con las ecuaciones (5.62) y (5.63), respectivamente para escribir:

(5.64)

Note que todas las admitancias de la ecuación (5.64) son funciones de la relación de vueltas n. Además, el signo asociado con las componentes en derivación y son ya sea inductivas ó capacitivas para Y representando una inductancia pura, dependiendo enteramente del valor de . Esto se muestra en la Tabla 5.5.

Tabla 5.5 Naturaleza de los elementos del circuito del equivalente pi para >0.


Referencias1. P.M. Anderson, “Analysis of Faulted Power Systems”, IEEE Press, Power

system Engineerinf Series2. E. Clarke, “Circuit Analysis of AC Power Systems”, General Electric Co. 19503. C.F.Wagner, R.D. Evans, “Symmetrical Components”, Mc Graw Hill, 1933


CAPITULO 6

LA MÁQUINA SÍNCRONA Y GENERACIÓN DE POTENCIA

6.1 Introducción

La red principal de cualquier sistema eléctrico de potencia se compone de varias centrales generadoras que operan en paralelo. La producción de energía en las centrales eléctricas se realiza mediante generadores síncronos. El funcionamiento de un generador síncrono se basa en la ley de Faraday de inducción electromagnética (La corriente inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez con que cambia el flujo magnético que lo atraviesa). El término síncrono se refiere al hecho que este tipo de máquinas opera a velocidad y frecuencia constante bajo condiciones de estado estacionario. Las máquinas síncronas son igualmente capaces de operar como motores en cuyo caso se convierte la energía eléctrica en energía mecánica.

Un generador sincrónico convierte energía termo-mecánica en energía eléctrica. La potencia mecánica del primo-motor hace girar la flecha del generador en el cual está instalado el campo de Corriente Continua (CD). La figura 6.1 ilustra una máquina síncrona simple.

Figura 6.1. Generador sincrónico básico


La energía del primo-motor puede ser obtenida de quemar combustibles fósiles tales como carbón, petróleo o gas natural. El vapor producido hace girar la flecha del generador (rotor) a velocidades típicas de 1800 ó 3600 rpm (revoluciones por minuto). La conversión de la energía del vapor a rotación mecánica se realiza en la turbina. En plantas nucleares, el uranio, a través del proceso de fusión, es convertido en calor, el cual produce vapor. El vapor es forzado a través de la turbina de vapor para hacer rotar la flecha del generador. La energía del primo-motor también puede obtenerse por caída o movimiento del agua. Los generadores hidroeléctricos giran más lento (100 a 300 rpm) que las turbinas de vapor.

Las máquinas sincrónicas son clasificadas en dos diseños principales, máquinas de rotor cilíndrico y máquinas de polos salientes. La figura 6.2 proporciona una vista de la sección transversal de ambos tipos de construcción. Los generadores impulsados por turbinas de vapor tienen rotores cilíndricos con ranuras en las cuales son colocados los devanados de campo distribuidos. La mayoría de los rotores cilíndricos están hechos de acero forjado sólido. El número de polos es típicamente dos o cuatro.

Rotor cilíndrico Rotor de polos salientes

Figura 6.2. Tipos de generador sincrónicos

Los generadores impulsados por turbinas hidráulicas tienen rotores de polos salientes laminados con devanados de campo concentrados y un gran número de polos. Cualquiera que sea el tipo de primo-motor o diseño de la máquina, la fuente de energía usada para girar la flecha es mantenida en un nivel constante a través de un regulador de velocidad conocido como gobernador. La rotación del flujo de CD en el campo del generador reacciona con los devanados del estator y, debido al principio de inducción, se genera una Tensión Trifásica.


6.2 Teoría General de la Máquina Síncrona

Los devanados de la armadura en una máquina síncrona se localizan en el estator, y el campo en el rotor como se muestra en la Figura 6.3. El campo es excitado por corriente directa que se suministra a través de escobillas de carbón que tocan los anillos colectores. A la fuente de CD se llama excitador y está a menudo montada en la misma flecha de la máquina síncrona. Se emplean varios sistemas de excitación, como el de la excitación en CA con rectificadores en los casos de generadores con grandes turbinas. Las ventajas principales de estos sistemas incluyen la eliminación del sistema de enfriamiento y los problemas de mantenimiento asociados con los anillos del colector, conmutadores y escobillas. Las caras polares se forman de tal manera que la distribución radial de la densidad de flujo del entrehierro B tenga lo más aproximadamente la forma senoidal como se muestra en la Figura 6.4.

Figura 6.3. Diagrama Simplificado de una Máquina Síncrona

El devanado de la armadura incluye muchas bobinas. En Figura 6.3 se muestra un devanado el cual tiene dos lados (a y -a) opuestos diametralmente en hendiduras opuestas en la periferia interna del estator con conductores paralelos al núcleo de la máquina. El rotor se mueve a una velocidad constante mediante un primo-motor conectado a la flecha. Como resultado del barrido de la forma de onda del flujo por los lados del devanado a y – a se obtiene un voltaje inducido en el devanado con forma de onda senoidal. La frecuencia del voltaje en ciclos por segundo (hertz) es proporcional a la velocidad del rotor en revoluciones por segundo. Así, una máquina síncrona bipolar debe girar a 3600 rpm para producir un voltaje de 60-Hz.


Figura 6.4. Distribución Espacial de la Densidad de Flujo en un Generador Síncrono

En la Figura 6.5 se presenta un diagrama que describe el principio de funcionamiento del Generador Síncrono. En primer lugar la excitatriz alimenta de CD al rotor esto genera un campo magnético B constante en el rotor, en seguida el primo-motor hace girar el rotor a una velocidad de N rpm, lo que ocasiona que el campo magnético B gire a la misma velocidad que el rotor BN. El campo magnético giratorio BN induce tensiones EV en el estator con una frecuencia igual al número de polos por la velocidad de giro entre 60. Al conectar una carga en la maquina circula una corriente por el estator I que a su vez origina un campo magnético giratorio BS en el estator conocido como reacción del inducido. El campo magnético resultante es la suma de los dos campos magnéticos el del inductor y el del inducido BN+BS. Finalmente la tensión en bornes V del alternador es distinta de EV debido a las caídas de tensión por: las resistencias de los devanados y por la reactancia Síncrona.


Figura 6.5. Principio de Funcionamiento de un Generador Síncrono.


Las Máquinas de p-polos

Muchas máquinas síncronas tienen más de dos polos. Una máquina de p-polos es una con más de dos polos. Como ejemplo, se considera un generador elemental, monofásico de cuatro-polos como el que se muestra en la Figura 6.6.

Figura 6.6. Máquina Síncrona de cuatro-polos

Hay dos ciclos completos en la distribución de flujo alrededor de la periferia como se muestra en la Figura 6.7.

Figura 6.7. Distribución del Espacio de Densidad de Flujo n en la maquina síncrona de cuatro-polos.

El devanado de la armadura en este caso consiste en dos devanados (a1 –a1, y a2 -a2) conectados en serie. El voltaje generado tendrá dos ciclos completos en cada revolución del rotor, y así la frecuencia será dos veces la velocidad en revoluciones por segundo. En general, el voltaje de la bobina de una maquina con p-polos tendrá un ciclo completo cada vez que un par de polos recorren p/2 veces una revolución. La frecuencia por consiguiente, esta dada por


(6.1)

Donde n es la velocidad de la flecha en revoluciones por minuto (rpm).

Hablando de máquinas síncronas de p-polos, es más conveniente expresar los ángulos en grados eléctricos que nos resultan más familiares en lugar de las unidades mecánicas. Aquí al concentrarnos en un solo par de polos y reconociendo que las condiciones asociadas con cualquier otro par simplemente son las repeticiones de aquél par bajo consideración. Un ciclo completo de voltaje generado se presentara cuando el rotor de una máquina de cuatro polos haya girado 180 grados mecánicos. Esto es:

Un ciclo representa 360 grados eléctricos en la onda de voltaje. Extendiendo este argumento a una máquina de p-polos nos conduce a:

Dónde e, y m denotan los ángulos en los grados eléctricos y mecánicos, respectivamente.

La Construcción Cilíndrica y la de Polos-Salientes

Las máquinas como las ilustradas en las Figuras 6.3 y 6.6 tienen los rotores con polos salientes. Hay otro tipo de rotor que se muestra en Figura 6.8. La máquina con dicho rotor se llama de rotor cilíndrico o rotor de polos lisos. La opción entre los dos diseños (salientes o lisos) para una aplicación específica depende del primo-motor. Para la generación hidroeléctrica, se emplea la construcción de polos salientes, porque las turbinas hidráulicas giran a velocidades relativamente bajas, y se requiere un número grande de polos para producir la frecuencia deseada indicada por la ecuación (6.1). Las turbinas de gas y de vapor trabajan bien a velocidades relativamente altas, y dos o cuatro polos se usan en los turbogeneradores de rotor cilíndrico para evitar el desgaste con el uso de las partes en el rotor.


Figura 6.8. Maquina de Rotor Cilíndrico de Dos Polos

Figura 6.9. Tipos de Inductores

Para un generador monofásico, como se muestra en la Figura 6.10.a si el rotor tiene un par de polos, p=1 en la bobina aa' una vuelta del rotor implica un periodo de FEM, y si N es la rpm del rotor la frecuencia de la FEM es f=N/60. Mientras que en la Figura 6.10.b. Si el rotor tiene dos pares de polos, p=2 en la bobina aa' una vuelta del


rotor implica dos periodos de FEM, y si N es la rpm del rotor la frecuencia de fa FEM es f=2N/60.

a) b)

Figura 6.10. Velocidad y Número de Polos del Generador

En general, si el rotor tiene p pares de polos la frecuencia de la FEM producida por el alternador es:

Como la f suele estar impuesta por la red, f = 60 Hz, esto significa que el alternador tendrá 2 polos para 3600 rpm y 4 polos para 1800 rpm y 6 polos para 800 rmp, etc.

6.3 Campos en la Maquina Síncrona

Se requiere de una comprensión de la naturaleza del campo magnético producido por un devanado polifásico para el análisis de las máquinas de CA polifásicas. En lo consiguiente se considerará una máquina trifásica de dos polos. Los devanados de las fases individuales son desplazados 120 grados eléctricos en el espacio. De igual forma las fuerzas magnetomotrices desarrolladas en el entrehierro debido a las corrientes en el devanado también se desplazaran 120 grados eléctricos. Asumiendo formas de onda senoidales y una operación trifásica balanceada, las corrientes de fase son desplazadas 120 grados eléctricos en el tiempo.

Asumamos que Im es el valor máximo de la corriente, y el origen de tiempo se toma arbitrariamente tomando un instante cuando la corriente de la fase a esta en su máximo positivo. Considerando que la secuencia de fase es abc. La fuerza magneto motriz (FMM) de cada fase es proporcional a la corriente correspondiente, y de aquí, que el pico de la FMM esta dado por

max mF KI


donde K es una constante de proporcionalidad que depende de la distribución del devanado y el número de vueltas en serie en el devanado por fase. Así tenemos

max

max

max

cos

cos 120

cos 240

a p

b p

c p

A F t

A F t

A F t

(6.2)

(6.3)

(6.4)

donde Aa(p) es la amplitud de la onda de la componente de la FMM en el tiempo t. En tiempo t, las tres fases contribuyen a la FMM del entrehierro en el punto p (cuyo ángulo espacial es el θ). La FMM resultante es dada entonces por

cos cos 120 cos 240p a p b p c pA A A A (6.5)

Esto se reduce a

max3 cos2pA F t (6.6)

La onda representada en la ecuación (6.6) depende de la posición espacial de θ así como del tiempo. El anglo ωt proporciona la rotación de la onda completa alrededor del entrehierro a velocidad angular constante ω. En t1, la onda es senoidal con su pico positivo desplazado ωt1 desde el punto p (en θ); en un instante posterior (t2) la onda tiene pico positivo desplazado ωt2 desde el mismo punto. Por lo tanto se puede observar que el devanado polifásico excitado por las corrientes polifásicas balanceadas produce el mismo efecto como el de un imán permanente que gira dentro del estator.

La onda de la FMM creada por la corriente trifásica de la armadura en la maquina síncrona es comúnmente llamada FMM de reacción-armadura. Es una onda que gira a la velocidad síncrona y es opuesta directamente a la fase a en el instante cuando la fase a tiene su corriente máxima (t = 0). El devanado de campo de CD produce una F senoidal con un eje a 90º del eje de la fase a de acuerdo con la Ley de Faraday.

El campo magnético resultante en la máquina es la suma de las dos contribuciones a partir de la reacción del campo y de la armadura. La Figura 6.11 muestra un esquema de los devanados de campo y de armadura de un generador de rotor cilíndrico. El FMM espacial producido por el devanado es representado por la senoide F. Esto para un instante específico cuando la fuerza electromotriz (FEM) de la fase a debido a la excitación tiene su valor máximo. La razón de cambio en el


tiempo de las líneas de flujo con la fase a es un máximo bajo estas condiciones, y así el eje del campo esta a 90° de la fase a. La onda de la reacción-armadura se muestra en la figura como la senoidal A. Ésta es dibujada opuesta a la fase a debido a que para este instante tanto Ia como FEM del campo Ef (también llamado voltaje de excitación) tienen su valor máximo. El campo magnético resultante en la máquina se denota como R y es obtenido agregando gráficamente las formas de onda de F y A.

Figura 6.11. Formas de onda de FMM espaciales en un Rotor Cilíndrico de un Generador Síncrono.

Las senoides pueden ser manejadas convenientemente usando métodos fasoriales. De esta manera se puede realizar la suma de las formas de onda de A y F usando notación fasorial. La Figura 6.7 muestra un diagrama fasorial espacial donde los flujos Φf (debido al campo), Φar (debido a la reacción de la armadura), y Φr (el flujo del resultante) son representados. Está claro que bajo el supuesto de que existe un entrehierro uniforme y no existe saturación, éstos son proporcionales a la ondas de la FMM, F, A, y R respectivamente. En la figura 6.6, se muestra el caso en el que la corriente de armadura esta en fase con el voltaje de excitación.


Figura 6.12 Diagrama Fasorial para la corriente de Armadura en fase con el Voltaje de Excitación

6.4 Circuito Equivalente Simple de la Maquina Síncrona

El modelo más simple de una máquina síncrona con el rotor cilíndrico puede obtenerse si el efecto del flujo de la reacción-armadura es representado por una reactancia inductiva. La base para esto se muestra en la Figura 6.13, dónde se muestra el diagrama fasorial de la componente de flujo y los voltajes correspondientes.

Figura 6.13 Diagrama Fasorial de los Flujos y Voltajes Resultantes en una Máquina Síncrona

El flujo del campo Φf es añadido al flujo de la reacción-armadura Φar para producir el flujo del entrehierro Φr resultante. El flujo de la reacción de armadura Φar está en fase con la corriente de armadura Ia. El voltaje de excitación Ef es generado por el flujo del campo, y Ef atraza Φf en 90°. Similarmente, Ear y Er son generados por Φar y Φr

respectivamente, con cada uno de los voltajes atrasando el flujo generado en 90°.

Introduciendo la constante de proporcionalidad xΦ para relacionar los valores rms de Ear y Ia para mostrar.

ar aE jx I (6.7)

donde el - j representa el efecto de retraso de 90°. Por consiguiente tenemos

r f aE E jx I (6.8)

Un circuito equivalente basado en la ecuación (6.8) se da en la Figura 6.14. Por lo tanto podemos concluir que la reactancia inductiva xΦ contribuye para los efectos de la reacción-armadura. Esta reactancia es conocida como la reactancia de magnetización de la máquina.


Figura 6.14. Dos circuitos equivalentes para la Máquina Síncrona

El voltaje en terminales de la máquina denotado por V1, es la diferencia entre el voltaje del entrehierro Er y la caída de voltaje en la resistencia de la armadura ra y la reactancia de dispersión xl. De aquí que xl, contribuye con los efectos del flujo de dispersión así como de los efectos del espacio armónico de campo no considerado por xΦ. Una impedancia simple comúnmente conocida como la impedancia síncrona Zs se obtiene combinando xΦ, x1, y ra de acuerdo a

s a sZ r jX (6.9) La reactancia síncrona Xs es dada por

s lX x x

(6.10)

El modelo obtenido aquí aplica a una máquina de rotor cilíndrico no saturado que proporciona corrientes polifásicas balanceadas a su carga. La relación de voltaje esta dada por

f t a sE V I Z (6.11)

Ejemplo 6.1. Un alternador de 10 MVA, 13.8 kV, de 60 Hz, dos polos, conectado en Y, trifásico tiene una resistencia del devanado de armadura de 0.07 Ω por fase y una reactancia de dispersión de 1.9 Ω por fase. La reacción de la armadura FEM de la máquina esta relacionada con la corriente de armadura por

19.91ar aE j I

Se asume que la FEM generada se relaciona con la corriente de campo por

60f fE I A. Calcular la corriente de campo requerida para establecer el voltaje nominal entre

las terminales de la carga cuando la corriente nominal de armadura se suministra a un factor de potencia (fp) de 0.8 atrasado.


B. Calcular la corriente de campo requerida para establecer un voltaje en terminales de la carga cuando se entrega una corriente nominal de armadura con un fp de 0.85 atrasado.

Solución:

La corriente nominal se determina por

610 10 418.373 13800a

xI Ax

El valor del voltaje de fase en terminales se determina por:

13,800 7967.433tV V

Con referencia al circuito equivalente de la Figura 6.9, tenemos A.

1

1

7967.43 418.37 cos 0.8 0.07 1.9

8490.35 4.18

19.91 418.37 cos 0.8 8329.75 53.13

r t a a

ar

E V I Z

j

E j

El voltaje de excitación de campo Ef requerido es por consiguiente:

8490.35 4.18 8329.75 53.1315308.61 28.4

f r arE E E

V

Por consiguiente, usando el voltaje del campo en relación con la corriente,

255.1460

ff

EI A

B. Con condiciones dadas, tenemos


1418.37 1 cos 0.85 418.37 31.79

7967.43 418.37 31.79 0.07 1.9

8436.94 4.4919.91 418.37 31.79

8329.74 58.21

8436.94 4.48 8329.74 58.2114,957.72 31.16

a

r

ar

f r ar

I

E j

VE j

E E E

Por consiguiente calcularemos la corriente del campo requerido como

6.5 Características Principales del Estado Estacionario

Considere un generador síncrono que entrega potencia a una carga con factor de potencia constante y a una frecuencia constante. Una curva de comportamiento muestra que la variación de la corriente del campo exige mantener el voltaje nominal en terminales que se proporciona a la carga. En la Figura 6.15, se muestran comportamientos típicos de curvas conocidas como compuestas para los varios factores de potencia. El cálculo de valores en la curva se puede obtener fácilmente aplicando la Ecuación (6.11).

Figura 6.15. Curvas de Comportamiento de la Maquina-Síncrona


La Figura 6.16 muestra las representaciones del diagrama fasorial para tres diferentes factores de potencia.

Figura 6.16. Diagrama Fasorial para una Máquina Síncrona que Opera a Factores de Potencia Diferentes: (a) Carga con PF unitario, (b) Carga con PF atrasado, y (c)

Carga con PF adelantado.

Ejemplo 6.2. Un generador de 1,250 kVA, trifásico, conectado en Y, tensión de 4,160 V (línea a línea), diez-polos, 60 Hz, tiene una resistencia de armadura de 0.126 Ω por fase y una reactancia síncrona de 3 Ω por fase. Encuentre el voltaje generado total de la carga por fase a un factor de potencia de 0.8 atrasado.

Solución:

La magnitud de corriente de carga total se obtiene

31,250 10 173.483 4,160a

xI Ax


Se toma el voltaje terminal por fase como la referencia

4,160 2,401.77 03tV V

La impedancia síncrona se obtiene como

El voltaje generado por la fase se obtiene usando (6.1 1) como:

Para un factor de potencia de 0.8 atrasado: Φ = - 36.87°

Una característica de la máquina síncrona se muestra mediante las curvas de capacidad reactiva. Estas muestran las cargas de potencia reactiva máxima que corresponden a varias cargas de potencia activa para la operación en voltaje nominal. El calentamiento de la armadura restringe a la maquina a los factores de potencia desde el nominal asta el unitario. El calentamiento de campo representa los estados ante bajos factores de potencia. La Figura 6.17 muestra un juego típico de curvas para un generador de turbina grande.


Figura 6.17. Curvas de Capacidad Reactiva de Generador

6.6 Características Potencia-Ángulo y el Concepto de Bus Infinito

Considere el circuito simple como el que se muestra en Figura 6.18.

Figura 6.18. Circuito Equivalente y Diagrama Fasorial para un Enlace Simple

La impedancia Z conecta el voltaje en el lado de envió cuyo valor es E y el voltaje en el lado de recepción, cuyo valor es V. Asumiendo en forma polar tenemos


0E EV VZ Z

Se concluye por consiguiente que la corriente I se da por

E VIZ

La potencia compleja S1 en el lado de envió esta dada por

* *S E I

En forma similar, la potencia compleja S2 en el lado de recepción es

* *2S V I

Por consiguiente,

2*1

2*2

E EVSZ ZEV VSZ Z

(6.12)

(6.13)

Reafirmando que *S P jQ

Cuando la resistencia es despreciable; entonces tenemos

90Z X

y las ecuaciones de potencia se obtienen como:


1 2

2

1

2

2

sin

cos

cos

EVP PX

E EVQX

EV VQX

(6.14)

(6.15)

(6.16)

En sistemas de potencia a gran escala, una máquina síncrona trifásica se conecta a través de una reactancia equivalente del sistema (Xe) a la red la cual tiene alta capacidad de generación en comparación con cualquier otra unidad generadora individual. Normalmente siempre nos referimos a la red o sistema como un bus infinito cuando un cambio en la entrada de potencia mecánica o en la excitación de campo en la unidad no causa ningún cambio apreciable en la frecuencia del sistema o en el voltaje en terminales. La Figura 6.19 muestra dicha situación, dónde V es el voltaje del bus infinito.

Figura 6.19. Máquina Síncrona Conectada a un Bus Infinito

El análisis previo muestra que en el caso actual se tiene la transferencia de potencia, con

max

max1

t s e

P P senEVPX

X X X

(6.17)

(6.18)

(6.19)


Si intentamos adelantar a δ más allá de 90° (correspondiendo a la máxima transferencia de potencia) incrementando la entrada de potencia mecánica, la potencia eléctrica de salida decrecerá a partir del punto de Pmax. Por lo tanto el ángulo δ se incrementa en la medida en que la máquina acelera. Esto maneja a la máquina y al sistema eléctricamente separado. El valor Pmax se llama límite de estabilidad en estado estacionario o potencia de pérdida de sincronismo (pull-out power).

Ejemplo 6.3. Se conecta un generador síncrono con una reactancia síncrona de 1.15 p.u. a un bus infinito cuyo voltaje es unitario en p.u. a través de una reactancia de equivalencia de 0. 1 5 p.u. La máxima salida posible es de 1 .2 p.u

A. Calcule el voltaje de excitación E.

B. La potencia de salida es gradualmente reducida a 0.7 p.u. con una excitación de campo fija. Encuentre el ángulo δ de potencia.

Solución

La reactancia total es

Xt =1.15 + 0.15 = 1.3

Así tenemos,

Por consiguiente,

E = 1.56 p.u.

A. Tenemos que para cualquier ángulo δ,

maxP P sen

Por consiguiente,

0.7 = 1.2senδ

Esto resulta en

δ=35.69º


La corriente es

t

E VIjX

Sustituyendo los valores dados, se tiene

1.56 35.69 1.01.3

0.7296 16.35

Ij

A

A continuación se presenta un programa en MATLAB™ para resolver problemas como el presentado en el Ejemplo 6.3.

% Ejemplo 6.3% Entrada de DatosXs = 1.25; % Reactancia SíncronaXe = 0.25; % Reactancia EquivalentePm = 1.2; % Salida máx permisibleV = 1; % voltaje del bus infinitoXt = Xs + Xe; % La reactancia total% A. Calcular el voltaje de Excitación de Pm = E * V / XtE=Pm*Xt/V% B. La potencia de salida es gradualmente reducida a 0.7 p.u.% con el campo de excitación fijo% Para encontrar el ángulo de potencia deltaP=0.7; % Potencia de Salida% de P = Pm * sin(delta)delta = asin(P/Pm);delta_deg = delta*180/piE_complex = E*(cos(delta)+i*sin(delta));I = (E_complex-V)/Xt*i; % Para encontrar la nueva corrientemodulus_I = abs(I) % Modulo y argumentoeta = atan(imag(I)/real(I));argumen_I = eta*180/pi

La solución siguiente se obtiene corriendo el programa:

>> ejem33E = 1.8000


delta_deg = 35.6853modulus_I = 0.7648argumen_I = -23.7504

Generación de Potencia Reactiva La ecuación (6.16) sugiere que el generador produce potencia reactiva (Q2 > 0)

SiE cos δ < V

En este caso, el generador se comporta en la red como un condensador. Esta condición aplica para magnitudes altas de E, y se dice que la máquina esta sobreexcitada. Por otro lado, la máquina se encuentra subexcitada si consume potencia reactiva (Q2 < 0). Aquí tenemos

E cos δ < V

La Figura 6.20 muestra los diagramas fasoriales para ambos casos. La máquina síncrona sobreexcitada normalmente se emplea para proporcionar la acción del condensador síncrono cuando normalmente no se alimentan cargas reales mediante la maquina (δ = 0). En este caso tenemos

2( )V E VQ

X

(6.20)

El control de la generación de potencia reactiva se lleva a cabo simplemente cambiando E, variando la excitación de CD.

0 < 8 < 90º 0 < 8 < 90º0 < Φ < 90º -90º < Φ < 0 Generador Sobre Excitado Generador Sub ExcitadoPG > 0 PG > 0QG > 0 QG > 0

Figura 6.20. Diagramas fasoriales para Máquinas Síncronas Sobre-excitadas y Sub-excitadas.


Ejemplo 6.4. Calcular la potencia reactiva generada por la máquina del Ejemplo 6.3 bajo las condiciones del inciso (b). Si se requiere que la máquina genere una potencia reactiva de 0.4 p.u. mientras se proporciona la misma potencia activa cambiando la excitación, encontrar el nuevo voltaje de excitación y el ángulo de potencia δ.

Solución:

Se obtiene la potencia reactiva generada según la ecuación (6.16) como

21(1.56cos35.69 1) 0.205

1.3Q

Con un nuevo voltaje de excitación y las potencias activas y reactivas, tenemos:

Usando la ecuaciones (6.14) y (6.16)

10.7

1.3

1 cos 10.4

1.3

Esen

E

Así obtenemos

1.3 0.7tan

1.52

30.9083

De lo anterior tenemos

1.3 0.71.7716

30.9083E

sen

El siguiente programa entrega la solución de este ejemplo en el ambiente de MATLAB™.

% Ejemplo 6.4% Entrada de DatosXs=1.15; % Reactancia síncronaXe=0.15; % Reactancia equivalentePm=1.2; % Salida máx permisibleV=1; % Voltaje de bus infinito% La reactancia totalXt=Xs+Xe;% A. Calculo del voltaje de excitación de Pm = E * V / XtE=Pm*Xt/V;


P=0.7; % Potencia de salida% de P = Pm * sin(delta)delta=asin(P/Pm);% Cálculo de la potencia reactiva generadaQ2=(E*V*cos(delta)-V^2)/Xt;% Si la maquina requiere generar una potencia reactiva de 0.4 p.u. % mientras suministra la misma potencia activa para encontrar el nuevo % ángulo de potencia (delta1)Q2_required=0.4;% con un nuevo voltaje de excitación y las potencias activas y reactivas % indicadas usando la ecuación P=(E*V/Xt)sin(delta1) yQ2=(E*V*cos(delta)-V^2)/Xtdelta1=atan(P/(Q2_required+V^2/Xt));delta1_deg=delta1*180/pi% Para encontrar el nuevo campo de excitaciónE_new=P*Xt/sin(delta1)

La solución se obtiene como:

>> ejem34delta1_deg = 30.9083E_new = 1.7716

6.7 Consideraciones para la Saliencia

Los polos de campo en una maquina de polos salientes causan uniformidades de la reluctancia magnética en el entrehierro. La reluctancia a lo largo del eje de la cara polar es apreciablemente menor a lo largo de eje interpolar. Nos referimos a menudo al eje polar como el eje directo y el interpolar como el eje en cuadratura. Este efecto puede tomarse en cuenta para separar la corriente de armadura Ia en dos componentes, una en fase y la otra en cuadratura ambas con respecto al tiempo con el voltaje de excitación como se muestra en Figura 6.21. La componente Id de la corriente de armadura está a lo largo del eje directo (el eje de los polos del campo), y la componente Iq está a lo largo del eje en cuadratura.


Figura 6.21 Representación de la Corriente de Armadura en dos Componentes

Considerando el efecto de la componente sobre el eje directo solamente. Con Id

atrasada al voltaje de excitación Ef FEM por 90°, El flujo de reacción de armadura resultante Φad es directamente opuesto a los polos del campo como se muestra en la Figura 6.22. El efecto de la componente en el eje en cuadratura es producir un flujo de reacción armadura el cual está en la misma dirección del eje en cuadratura como se muestra en la Figura 6.22. En la Figura 6.23 se muestran los diagramas fasoriales con ambos componentes.

Figura 6.22. Flujos en el Entrehierro sobre el Eje Directo y Eje en Cuadratura en una Máquina Síncrona de Polos Salientes.


Figura 6.23. Diagrama Fasorial para una Máquina Síncrona de Polos Salientes.

En la máquina de rotor cilíndrico, se empleo la reactancia síncrona xs, para tomar en cuenta la reacción de la armadura FEM en un circuito equivalente. El mismo argumento puede utilizarse para el caso de polos salientes. Con cada uno de las componentes Id e Iq, se asocia la caída de voltaje de la reactancia síncrona, jIdxd y jIqxd respectivamente. La reactancia síncrona en eje directo y la reactancia síncrona en el eje en cuadratura xq se obtiene por.

d l d

q l q

x x x

x x x

Donde el x1 es la reactancia de dispersión de la armadura y se asume que es la misma para las corrientes del eje directo y del eje en cuadratura. Las reactancias de magnetización del eje directo y del eje de cuadratura xΦd y xΦq toman en cuenta los efectos inductivos del flujo de reacción de armadura respectivo. La Figura 6.24 muestra un diagrama de fasorial que utiliza el resultado.

f t a a a a q dE V I r jI x I x (6.21)

Figura 6.24. Diagrama fasorial para una Máquina Síncrona


En muchos casos, el ángulo de factor de potencia Φ en las terminales de la máquina es explícitamente conocido en lugar del ángulo de factor de potencia interno (Φ + δ), el cual se requiere para la resolución de Ia en su eje directo y en las componentes del eje de cuadratura. Nosotros podemos evitar esta dificultad renombrándolo en notación fasorial,

a q dI I I (6.22)

De la substitución de (6.22) en (6.21) para Iq y rearreglando, obtenemos:

f t a a q d d qE V I r jx jI x x (6.23)Definiendo:

'f t a a qE V I r jx (6.24)

E'f como esta definido en la misma dirección de Ef desde jId también se encuentra a lo largo de la misma dirección. Nuestro objetivo entonces es obtener E'f como se muestra en la ecuación (6.24) y por lo tanto se obtiene el componente Id basado en el ángulo de la fase de E'f. Finalmente, se encuentra E'f como resultado de:

'f f d d qE E jI x x (6.25)

Esto se muestra en Figura 6.25.

Figura 6.25. Diagrama fasorial Modificado para la Maquina Síncrona de polos salientes


Ejemplo 6.5. Un generador síncrono de polos salientes de 5-kVA, 220-V, conexión-Y, trifásico, el cual se utiliza para proporcionar la potencia a una carga con fp unitario. La reactancia síncrona en el eje directo es de 12 Ω y la reactancia síncrona en el eje de cuadratura es de 7 Ω. Considerando que la corriente nominal que entrega a la carga es con voltaje nominal y que la resistencia de armadura se desprecia. Calcular el voltaje de excitación y el ángulo de potencia.

Solución:

3

127.02

5 10 13.12220 3

t

a

V V

xI A

Calculando

'

127.02 13.12 7 156.75 35.87f t a qE V jI x

j

Además:

'

35.87 7.69

156.75 7.69 12 7 195.20

35.87

d a

f f d qd

I I sen A

E E I x x

V

El Ejemplo 6.5. se puede resolver corriendo el siguiente programa de MATLAB™.

% Ejemplo 6.5% 5 kVA, 220 Volts, conexión en Y, trifásico% Generador síncrono de polos salientesPF=1;VL=220; % Voltajexd=12;xq=7;P=5*10^3; % VAVt=VL/3^.5;Ia=P/(VL*3^.5)% CálculoEf_prime=Vt+i*Ia*xq;abs(Ef_prime)angle(Ef_prime)*180/piId=Ia*sin(angle(Ef_prime));Ef=abs(Ef_prime)+abs(Id*(xd-xq))delta=angle(Ef_prime)*180/pi

La solución se obtiene como:


>> ejem35Ia = 13.1216ans = 156.7481ans = 35.8722Ef = 195.1931delta = 35.8722

6.8 Características del Angulo de Potencia de la Máquina de Polos Salientes

Las características de ángulo de potencia de la máquina de polos salientes conectada a un bus infinito de voltaje V a través de una reactancia en serie xe, puede obtener considerando el diagrama fasorial mostrado en la Figura 6.26. La potencia activa entregada al bus es:

cosd qP I sen I V (6.26)

Figura 6.26. Una Máquina de polos salientes conectada a un bus Infinito a través de una impedancia externa.

Similarmente, la potencia reactiva entregada Q es:

cosd qQ I I sen V (6.27)

Para eliminar Id e Iq, necesitamos las siguientes identidades obtenidas de la inspección del diagrama fasorial:

cosfd

d

E VI

X

(6.28)


qq

VsenIX

(6.29)

Donded d cX x x (6.30)

q q cX x x (6.31)

La sustitución de las ecuaciones (6.28) y (6.29) en las ecuaciones (6.26) y (6.27) produce las ecuaciones que contienen seis variables (dos variables P y δ y los cuatro parámetros Ef, V, Xd, y Xq) y pueden escribirse de muchas maneras diferentes. Las siguientes ecuaciones ilustran el efecto de saliencia. Se define a Pd y Qd como:

fd

d

VEP sen

X (6.32)

2

cosfd

d d

VE VQX x

(6.33)

Las ecuaciones anteriores dan la potencia reactiva y activa generada por una máquina del rotor cilíndrico con reactancia síncrona Xd. De esta manera tenemos:

2 1 1 22d

q d

VP P senX X

(6.34)

2 21 1d

q d

Q Q V senX X

(6.34)

En segundo término, en las dos ecuaciones anteriores introduce el efecto de los polos salientes, y en la ecuación de potencia los términos corresponden a la reluctancia.

Note que si Xd = Xq, como en una máquina de entrehierro uniforme, los segundos términos en ambas ecuaciones son cero. En la Figura 6.27 se muestran las características de ángulo de potencia de una máquina típica de polos salientes.


Figure 6.27. Características del Ángulo de potencia de la Máquina Síncrona de Polos Salientes

La potencia de perdida de sincronismo y el ángulo de potencia δ para la máquina de polos salientes puede obtenerse resolviendo la ecuación (6.36) requiriendo que la derivada parcial de P con respecto a δ sea igual a cero.

0P

Ejemplo 6.6. Una maquina síncrona de polos salientes es conecta a un bus infinito a través de un enlace con reactancia de 0.2 p.u. Las reactancias en el eje directo y en el eje de cuadratura de la máquina son 0.9 y 0.65 p.u., respectivamente. El voltaje excitación es 1.3 p.u., y el voltaje del bus infinito se mantiene a 1 p.u. Para un ángulo de potencia de 30°, calcule la potencia activa y reactiva suministrada al bus. Solución: Calculando Xd y Xq como:

0.9 0.2 1.10.65 0.2 0.85

d d a

q q a

X x xX x x

Esto implica que:

1.3 1 1 1 130 601.1 2 0.85 1.1

0.7067 . .

P sen sen

p u

En forma simular, la potencia activa es obtenida usando la ecuación (6.32) como:


2 21.3 1 cos 30 30301.1 1.1 0.85

0.0475 . .

senQ sen

p u

REFERENCIAS:

El-Hawary, M.E. “Power Generation and the Synchronous Machine”Electrical Energy Systems, Series Ed. Leo GrigsbyCRC Press LLC, 2000


CAPITULO 7METODOLOGÍA GENERAL PARA EL ANÁLISIS DE FALLAS

7.1 INTRODUCCIÓN

El análisis de fallas en sistemas eléctricos ha evolucionado a la par que las herramientas de cálculo numérico. Los primeros estudios recibieron el nombre genérico de cortocircuito y a la fecha todavía se le aplica este nombre, asignado al análisis de fallas trifásicas en sistemas eléctricos, bajo ciertas suposiciones que simplificaban el análisis. Actualmente, es posible realizar simulaciones sobre una variedad de sistemas y fallas y bajo un menor número de suposiciones, con lo que se permite obtener resultados más precisos para la coordinación de protecciones en redes eléctricas. Estas simulaciones se conjuntan en lo que se ha dado a conocer bajo el nombre de análisis generalizado de fallas.

Esta metodología permite el análisis sistemático de fallas balanceadas o desbalanceadas en un sistema eléctrico de potencia o distribución. Estas fallas, normalmente se clasifican en:

Fallas en Derivación:

Línea a tierra. Doble línea a tierra. Entre líneas. Trifásica a tierra. Trifásica sin aterrizar.

Fallas Serie:

Una fase abierta Dos fases abiertas

Los requerimientos de información de esta metodología son los siguientes:

Redes de secuencia positiva, negativa y cero del sistema eléctrico (matrices de admitancias nodales de secuencias).

Condiciones de prefalla del sistema (voltajes complejos nodales), las cuales se obtienen mediante un estudio de flujos o suponiendo un perfil plano de voltaje.

Generalmente, se considera que las redes de secuencias positiva y negativa son idénticas, sin considerar las fuentes de voltaje, las cuales solo existen en la red de secuencia positiva, debido a que se considera condiciones de prefalla balanceadas.


La red de secuencia cero dependerá de la red de alimentación (acoplamientos mutuos) y del tipo de generadores y transformadores incluidos en el sistema eléctrico.

7.2 SIMULACIÓN DE FALLAS EN DERIVACIÓN

En un sistema eléctrico de n nodos, se presenta una falla en derivación en el nodo q. Una situación general se muestra en la Figura 7.1.

Figura 7.1 Situación general de una falla en derivación ocurriendo en el nodo q del sistema eléctrico.

Las relaciones voltaje-corriente de la Figura 7.1 se expresan matricialmente como:

(7.1)

y además:


abc

nodo q

sistema eléctrico

Compactando la ecuación (7.1):

(7.2)

donde:

(7.3)

En términos de admitancias, la ecuación (7.2) se convierte en la siguiente:

(7.4)

donde:

(7.5)

Pasando al marco de referencia de las componentes simétricas:

Premultiplicando por :

La expresión anterior puede rescribirse como:

(7.6)

donde:


(7.7)

donde T es la matriz de transformación de componentes simétricas, definida como:

(7.8)

y su inversa:

(7.9)

donde:

; .

En términos de admitancias:

(7.10)

donde:

(7.11)

Se puede demostrar (después de mucha álgebra) que la matriz de admitancias de falla, desde el punto de vista de secuencias es la siguiente:


(7.12)

Del circuito de la Figura 7.1, puede obtenerse las expresiones para las distintas fallas en derivación, incluyendo la opción de su conexión a tierra (sólidamente o a través de la impedancia ).

7.2.1 Falla de Línea a Tierra

En este caso, se supone a la fase a como la fase donde ocurre la falla. Entonces,

;

Debido a que las fallas desbalanceadas son más sencillas de manejar desde el punto de vista de componentes simétricas, y que las admitancias de falla no introducen indeterminaciones, es conveniente (y necesario) calcular la matriz de admitancias de falla, de modo que la matriz (7.12) se simplifica a la siguiente:

y de aquí,

(7.13)


Si la falla de línea a tierra está sólidamente aterrizada, entonces . Por lo tanto,

Haciendo , la matriz de admitancias de falla resulta en la

siguiente:

(7.14)

En caso de que la fase b sea la fallada, entonces, la matriz de falla será:

(7.15)

En caso de que la fase c sea la fallada, la matriz de falla será:

(7.16)

7.2.2 Falla de Doble Línea a Tierra

Para simular este tipo de falla, se supondrá que en las fases a y b ocurre la falla, de modo que:

.


Entonces, substituyendo estos valores y factorizando el término , la matriz de admitancias de falla (9.12) se simplifica a la siguiente:

Si se supone que , se obtiene:

Dividiendo arriba y abajo entre y aplicando :

o también,

(7.17)

Esta matriz mostrará cambios si se considera que el par de fases falladas es otro. Por ejemplo, si ahora se tiene falladas a las fases b y c, entonces ,

, de modo que la matriz de falla será la siguiente:

Dividiendo arriba y abajo entre y aplicando , se obtiene:

(7.18)

Si se supone que , entonces:


(7.19)

En el caso de que las fases falladas fueran a y c, entonces, el resultado sería el siguiente:

(7.20)

7.2.3 Falla Entre Líneas

Para simular este tipo de falla, se supondrá que las fases donde ocurre la falla son las fases b y c, de modo que , siendo equivalente a que . Entonces, la matriz de admitancias de falla es:

Si , entonces:

(7.21)

Cuando las fases a y b son las falladas, la matriz de admitancias de falla resulta en la siguiente:

(7.22)

mientras que cuando las fases a y c son las que resultan afectadas:


(7.23)

Debe notarse que, debido a que no hay una conexión física a tierra para este tipo de falla, no hay admitancias de falla para la secuencia cero. Esto se corrobora cuando se obtiene los modelos de transformadores trifásicos en el marco de referencia de secuencias, para conexiones que no tienen conexión al neutro.

7.2.4 Falla Trifásica sin Aterrizar

Para simular este tipo de falla, se tiene , siendo equivalente a que . Entonces, la matriz de admitancias de falla es la siguiente:

(7.24)

Si se supone que , entonces:

Lo cual resulta en:

(7.25)

Nótese que nuevamente se cumple que no hay admitancia para la secuencia cero, debido a que no existe una conexión física a tierra entre las fases y tierra.

7.2.5 Falla Trifásica Aterrizada

Este caso corresponde exactamente al circuito de la Figura 7.1, de modo que la matriz de admitancias de falla en componentes de secuencia está dada en (7.12):


(7.26)

Si se supone que , entonces la matriz de falla es:

observándose que todos los elementos no diagonales son cero, de modo que:

y de aquí,


(7.27)

Ahora, si se supone que la falla está sólidamente aterrizada, entonces , y dividiendo arriba y abajo entre esta admitancia a la matriz anterior, se obtiene lo siguiente:

(7.28)

7.3 CÁLCULO DE CORRIENTES Y VOLTAJES DE FALLA

Una vez que se tiene definida la matriz de admitancias de falla, , para el tipo de falla en derivación deseada, y las condiciones de prefalla son conocidas, se está en condiciones de calcular corrientes y voltajes de falla.

Para condiciones de prefalla balanceadas, los voltajes de secuencia en todos los n nodos del sistema eléctrico son:

(7.29)

donde los tres primeros valores corresponden a los voltajes de secuencias cero, positiva y negativa del nodo 1, y así sucesivamente. El superíndice 0 indica valor de prefalla.

Los voltajes después de la falla, aplicando el Teorema de Thevenin, son calculados en la forma:

(7.30)


donde es la matriz de impedancias nodal del sistema, la cual se calcula eliminando todas las fuentes de voltaje, substituyéndolas por inyecciones de corriente, tal como se muestra en las figuras 9.2(a) y 9.2(b), respectivamente.

(a) (b) Figura 7.2. Aplicación del Teorema de Thevenin para el cálculo de la matriz de impedancias nodal.

(a) red original, (b) circuito resultante de cortocircuitar la fuente de voltaje.

Las variables mostradas en la figura anterior son definidas como sigue:

= Corriente producida por el generador i. = Corriente neta inyectada al nodo i por el generador M.= Voltaje síncrono interno del generador M. = Voltaje complejo medido en el nodo i. = Admitancia síncrona interna del generador M.

Las inyecciones de corriente mostradas en la Figura 7.2 son determinadas bajo condiciones de prefalla, mediante un estudio de flujos de potencia.

En la ecuación (7.30), es el vector cuyas componentes son las corrientes de falla inyectadas en los nodos del sistema. Debido a que únicamente se inyecta al sistema la corriente de falla en el nodo q, con un total de – , puede ser escrita como:


nodo i nodo i

(7.31)

donde contiene la corriente de falla de las secuencias positiva (1), negativa (2) y cero (0) en el nodo q. Cada cero en (7.31), en realidad representa un valor de cero para las tres secuencias.


Desarrollando la expresión anterior resulta:

Como se observa, únicamente se usa la columna q de la matriz de impedancias nodal de secuencias. Esto permite aplicar un método para invertir la matriz de admitancias nodal por columnas.

Rescribiendo la expresión:


en la siguiente forma:

donde:

y de aquí,

y la corriente de falla, en términos de la matriz de impedancias de falla, estará dada por:

(7.32)

donde:

= Matriz de impedancias de falla.

= Elemento (q,q) de la matriz de impedancias nodal de secuencias del sistema.

= Voltaje complejo de prefalla de secuencias en el nodo q.

Una vez conocida la corriente de falla, puede calcularse los voltajes de falla en los demás nodos del sistema:

(7.33)

(7.34)

Sin embargo, habrá casos en que no esté definida (esto es, algunos elementos toman el valor de ), de modo que es necesario utilizar la matriz de admitancias de falla, . Entonces,


se substituye por la siguiente ecuación:

Despejando al voltaje de prefalla en el nodo q:

y haciendo un poco de álgebra, se obtiene:

(7.35)

donde es la matriz unitaria o identidad.

La corriente de falla en términos de la matriz de admitancias de falla es:

Substituyendo (9.35) en la ecuación anterior:

(7.36)

Los voltajes en los demás nodos del sistema podrán ser calculados de la manera siguiente:

y substituyendo (9.36) en la ecuación anterior:

(9.37)

Como puede observarse, las ecuaciones (9.35) y (9.37) son aplicables para cualquier tipo de falla, independientemente que se tenga algunas indefiniciones en la matriz de impedancias de falla.

Los voltajes de falla en todos los nodos estarán en función de los voltajes de prefalla, así como de las matrices de falla y de impedancias nodal. Además, como ya se mencionó anteriormente, únicamente se requiere calcular una columna de la matriz de impedancias nodal de secuencias.


7.4 SIMULACIÓN DE FALLAS SERIE

Este tipo de fallas involucra dos nodos del sistema, tal como se muestra en la Figura 7.3.

Figura 7.3 Falla serie entre los nodos r y q de un sistema eléctrico.

Entonces, el equivalente de Thevenin se obtiene entre los nodos r y q, y siguiendo la metodología para fallas en derivación, ahora se inyecta una corriente de falla en los dos nodos del sistema, a fin de determinar los voltajes.

Al igual que en las fallas en derivación, es conveniente usar la matriz de admitancias de falla, en lugar de la matriz de impedancias de falla. Aquí, las matrices de admitancias de falla también se definen con base a las diferencias de voltaje entre nodos y las corrientes que circulan por las fases correspondientes.

En términos generales, una falla serie entre los nodos r y q del sistema eléctrico, puede representarse por la Figura 7.4.


FALLA

a otro nododel sistema



r q

Figura 7.4 Voltajes y red de falla serie en función de impedancias entre los nodos r y q.

De la Figura 7.4, se define a los siguientes voltajes:

= Voltaje complejo en el nodo r, fase a. = Voltaje complejo en el nodo r, fase b. = Voltaje complejo en el nodo r, fase c. = Voltaje complejo en el nodo q, fase a. = Voltaje complejo en el nodo q, fase b. = Voltaje complejo en el nodo q, fase c.

Además, en términos de admitancias, la matriz de falla estará dada por:

(7.38)


VC r,

VB r,

VA r,

VC q,

VB q,

VA q,

cba

nodo rcba

nodo q

Si , , , entonces la matriz de (9.38) se simplifica a:

(7.39)

Si se pasa al marco de referencia de secuencias, a través del producto matricial:

(7.40)

donde Y f012 es la matriz de admitancias de falla en componentes de secuencia (012),

y representa el caso general de una falla trifásica serie. Substituyendo (7.38) en (7.40) y desarrollando el producto matricial, se obtiene:

…(7.41)

A partir de la matriz (7.41), se puede derivar a los elementos para cada falla serie en particular, tal como se describe a continuación.

7.4.1 Una Fase Abierta

Si se supone que la fase a es la fallada, entonces , de modo que la matriz (9.41) se reduce a la siguiente:

Suponiendo que y , la matriz anterior se simplifica a:

(7.42)

Ahora bien, si se supone que no existen acoplamientos mutuos entre las fases b y c, entonces y la matriz de falla en (9.42) se modifica a la siguiente:


lo cual resulta en:

(7.43)

Para el caso en que la fase b sea la fallada, se tiene el siguiente resultado:

(7.44)

y para cuando la fase c está abierta:

(7.45)

7.4.2 Dos Fases Abiertas

Para esto, se supone abiertas a las fases b y c, por lo que , de modo que la matriz de admitancias de falla (7.41) se simplifica a la siguiente:

En caso de que , entonces:

(7.46)

En caso de que las fases abiertas sean a y b, entonces:

(7.47)


Si las fases abiertas son a y c, entonces la matriz de admitancias de falla será:

Yy

a aa aa a

ff

012

2

2

23

11

1

(7.48)

Al igual que con las fallas en derivación, una vez conocida la matriz de falla, es posible calcular voltajes y corrientes para una falla serie en particular. La Figura 7.5 muestra las condiciones entre los nodos r y q del sistema eléctrico.

Figura 7.5 Corrientes de falla inyectadas en los nodos r y q del sistema eléctrico.

El vector de corrientes de falla será ahora como sigue:

o también, (7.49)

Los voltajes de falla son los siguientes:


y Zbc bc1 /

y Zab ab1 / I ABC

f I ABCf

I IABC rf

ABCf

, I IABC qf

ABCf

,

nodo qnodo r

Notándose que en se tiene dos posiciones distintas de cero. En particular, el voltaje en el nodo r es:

(7.50)

y en el nodo q:

(7.51)

La diferencia de voltaje entre ambos nodos es:

y de aquí,

(7.52)

Si , la ecuación anterior se reduce a la siguiente:

(7.53)

De esta última ecuación se nota que únicamente se requiere de dos columnas de la matriz de impedancias nodal de secuencias. Por otro lado,

donde el voltaje de falla es precisamente la diferencia de voltajes de falla entre los nodos r y q, de modo que:

(7.54)



Despejando a la diferencia de voltajes de prefalla:

Debido a que y haciendo:

la ecuación de voltaje de prefalla resulta en la siguiente:

Desarrollando:

Premultiplicando ambos lados por :

Y V Y Z Ifrq

feq

f012 012

0012

012012,

Despejando a la corriente de falla de la expresión anterior:

Substituyendo el valor de la impedancia equivalente:

(7.55)

Debe hacerse notar que en esta ecuación la diferencia de voltajes de prefalla es cero si se considera que el sistema antes de la falla tiene un perfil de voltaje nodal plano, de modo que para obtener resultados adecuados, se debe realizar un estudio de flujos de potencia.


Una vez conocidas las corrientes de falla de secuencias, son substituidas en la ecuación:

Desarrollando:

Generalizando:

(7.56)

7.5 EJEMPLO DE APLICACION

A continuación, se presenta un ejemplo de cálculo de fallas en un sistema eléctrico de potencia de prueba, el cual se muestra en la Figura 9.6. Las características del sistema son:

a) Los parámetros de la línea de transmisión están dados sobre el voltaje nominal, 345 kV y la potencia base del sistema, 100 MVA.

b) Los dos transformadores son de 100 MVA y tienen relación de transformación de 345/20 kV, es decir, los nominales de alta y baja tensión.

c) Los generadores tienen un voltaje en terminales de 20 kV y una potencia nominal igual a la base del sistema, esto es, 100 MVA.

d) La carga está dada en por unidad con respecto a la base del sistema.e) La impedancia de falla tiene un valor de 0.0001 Ohms, y se considera que la falla

está sólidamente aterrizada.


34j8%

5%

Figura 7.6 Sistema de cuatro nodos para simulación de fallas.

Para este sistema, se simula las fallas en derivación en el nodo 3, es decir, falla de línea a tierra, fallas de dos fases a tierra, falla entre líneas y falla trifásica aterrizada.

De acuerdo a estos parámetros, las matrices de impedancias nodal de secuencias son las siguientes:

Falla de línea a tierra. En este caso, la corriente de falla es calculada en la forma siguiente:

=


2j 8%

1

=

=

De donde:

pu

Con estas corrientes de falla de secuencia, se calcula las corrientes de falla en el marco de referencia de fases:

pu

Los voltajes de posfalla en los nodos del sistema son los siguientes.

Nodo 3:

Nodo 1:

Nodo 2:


Nodo 4:

Las aportaciones de corrientes hacia la falla son calculadas de la manera siguiente:

pu

pu

pu

pu

pu

pu

Los demás resultados pueden ser calculados de manera semejante. Resulta interesante notar lo siguiente:

1. En este caso, los voltajes de las fases no falladas, y algunos nodos, tienden a ser mayores que 1 pu.

2. Esto es un efecto de la red de secuencia cero del sistema, lo cual se puede corroborar si se realiza los experimentos de cambiar las conexiones a estrella aterrizada-delta (YG-DE) y a estrella-delta (YY-DE) en el transformador entre los nodos 3 y 4. Este último caso se presenta en la página 450 del libro de Grainger-Stevenson. Conforme se incrementa la corriente de falla, se podrá observar una mayor caída de voltaje en las fases no falladas y viceversa.

REFERENCIAS

[1] Olle I. Elgerd, “Electric Energy Systems Theory: An Introduction”, McGraw-Hill, Second Edition, 1982.


[2] J. Arrillaga, C. P. Arnold, B. J. Harker, “Computer Modelling of Electrical Power Systems”, John Wiley & Sons, 1983.

[3] John J. Grainger, William D. Stevenson Jr., Análisis de Sistemas de Potencia, McGraw-Hill, 1996.


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