programacion lineal entera mixta binaria

8/17/2019 programacion lineal entera mixta binaria

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MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA

Un modelo se dice de programación entera si incluye

alguna(s) variable(s) entera(s)

TIPOS DE VARIABLES ENTERAS

1. Variables Enteras Generales

2. Variables Binarias

CLASES DE MODELOS DE PE

Dependiendo del tipo de variables ue incluyen pueden ser!

1. "odelos de #E pura

2. "odelos "i$tos

%os "odelos "i$tos son &tiles cuando se incluyen'ostos emii*os

COSTOS SEMIFIJOS

on costos cuya magnitud no depende del volumen producido+ pero ue sólo ocurren si se produce.


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EL MODELO TIPO “MOCHILA”

E,E"#%-!

Una persona dispone de 1/+000 y desea esco*er la me*orcombinación de entre cuatro alternativas de inversión!

lternativa nversión V#31 4000 150002 6000 220007 /000 12000/ 7000 8000

ea! 9* : 1 si decide invertir en alternativa * : 1+2+7+/: 0 si 3-

";$ < : 15 $1 = 22 $2 = 12 $7 = 8 $/ 4 $1 = 6 $2 = / $7 = 7 $/ ≤ 1/

%a solución de este modelo Binario indica la me*or combinación.

Formulaci! "#l Mo"#lo “Moc$ila”

-B,E>V-! incluir el m;$ ? de productos de distinto valor (c i) enun espacio limitado (b)

9 * : 1 se incluye el art@culo j en la mocAila 0 no se incluye

";$ < : c1$1 = c2$2 = ... = cn$n s.a.

$1 = $2 = .... = $n ≤ b%&' FORM(LACIÓN DE MODELOS

CON VARIABLES ENTERAS


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APLICACIONES TIPICAS

Mo"#lo) *i+o Moc$ila,

se busca incluir el m;$imo n&mero de diversos productoscon dierente valor+ en un espacio limitado.

S#l#cci! "# Car*#ra,seleccionar la me*or combinación de alternativas paraalcanar el m;$imo rendimiento.

Mo"#lo) co! Co)*o) S#mi-Fi.o)"odelos con costos variables y costos semiCi*os

(de preparación o de instalación.)

Pro/l#ma) "# Co/#r*uraDeterminar el n&mero m@nimo de localiaciones con elob*eto de proveer cobertura a un grupo de areas

Pro/l#ma) "# A)i0!aci!e busca asignar unoCaCuno recursos en orma óptima.

Pro0ramaci! "# R#cur)o),asignar optimamente recursos de manera secuencial.

Pro/l#ma "#l A0#!*# Via.#ro 1TSP2

Determinar la me*or secuencia de actividades e*ecutandocada actividad una sola ve.


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/

%&'&3 (SO DE VARIABLES BINARIAS(se usan para indicar decisiones lógicas)

uponga ue se disponen de k alternativas y sea

9 * : 1 si se esco*e la alternativa *0 si no

ALTERNATIVAS M(T(AMENTE E4CL(SIVASlternativas ue no pueden aparecer *untas en la solución

$1 = $2 ≤ 1

MA4IMO 5 ACEPTABLE DE ALTERNATIVAS'uando todas las alternativas no pueden estar *untas en lasolución

$1 = $2 = $7 = $/ = $4 ≤ 2

ALTERNATIVAS DEPENDIENTESEl valor de una variable depende del valor de otra(s)

E*emplo!

alternativa 2 sólo puede estar en solución si alternativa 1 seseleccionó

$2 ≤ $1


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EJERCICIO

uponga ue 91 92 y 97 son variables binarias cuyo valor 1 indica ue se vaa abrir una planta en una lugar determinado y 0 indica lo contrario. Escribauna restricción para cada una de las siguientes condiciones!

a. i se abre la planta 1 entonces la planta 2 no deber@a abrirse. b. i se abre la planta 1 entonces la planta 2 deber@a abrirse.c. l menos una de las tres plantas deber@a abrirse.d. 3o m;s de dos de las tres plantas deber@a abrirse.e. i ni la planta 2 y ni la planta 7 se abren+ la planta 1 no deber@a abrirse.. i se abre la planta 1 o la planta 7 no se abre+ la planta 2 debe abrirse.

SOL(CIÓN

a. 91 = 92 : 1

b. las posibilidades son!91 920 00 11 0 CCCCC eliminar con la restricción 91 ≤ 921 1

c. 91 = 92 = 97 ≥ 1

d. 91 = 92 = 97 ≤ 2

e. upongamos! si la planta 2 no se abre, la planta 1 no debe abrirse91 920 00 11 0 CCCCC eliminar con la restricción 91 ≤ 921 1 entonces la condición es! 91 ≤ 92 = 97

. i se abre la planta 1+ la planta 2 debe abrirse 92 ≥ 91 i la planta 7 no se abre+ la planta 2 debe abrirse. 92 = 97 ≥ 1 entonces la condición es igual a la suma de ambas 292 = 97 ≥ 1 = 91


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VARIABLES BINARIAS 6 CONTIN(AS

RANGOS CONDICIONADOSi una variable cont@nua puede tomar valor 'E- ó+#->V- pero dentro de un intervalo espec@ico

E*emplo!

variable binaria F * : 1 si se produce art@culo *: 0 si no

variable continua 9 * ! el vol&men a producir de *

i se produce articulo j y no e$iste l@mite $ * ≤ " y *

y:0 y :1$:0 $ 0

0 volumen

i se produce+ no m;s de U ni menos de % %y * ≤ $ * ≤ U y *

y:0 y :1$:0 % $ U

0 % U volumen

MA4IMO 5 DE RESTRICCIONES

'uando una solución actible solo necesita satisacer un subconjunto de todas las restricciones del modelo


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E*emplo!g * ( $1+...+ $n ) ≥ b * C " ( 1C y * )g * ( $1+...+ $n ) ≤ b * = " ( 1C y * )

y * : 1 indica ue la restricción j es considerada en el modelo : 0 no se la considera

i se desea ue cualuier solución satisaga 7 restricciones o m;s

y1 = y2 = ... = ym ≥ 7

E*emplo! se necesita una

solución ue satisaga por lo menos / restriccionesdel siguiente modelo! "odelo modiicado!

"a$ < : 7$1 = $2 "a$ < : 7$1 = $22$1= $2 ≤ / 2$1= $2 ≤ / = " (1Cy1)

7$1= /$2 ≤ 12 7$1= /$2 ≤ 12= " (1Cy2)

6$1

= 6$2 ≤

746$

1= 6$

2≤

74= " (1Cy7)

$1= $2 ≤ 6 $1= $2 ≤ 6 = " (1Cy/)

7$1=2$2 ≥ 5 7$1=2$2 ≥ 5 C " (1Cy4)

$1C 2$2 ≥ 11 $1C 2$2 ≥ 11C " (1Cy5)

4$1=/$2 ≥ 21 4$1=/$2 ≥ 21C " (1Cy6)

$1+ $2 ≥ 0 y1 = y2 = ... = y6 ≥ /

$1+ $2 ≥ 0 y1 + y2 + ...+ y6 binarias


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EJERCICIOS - MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA

1. Un abricante de muebles de oicina+ produce dos tipos de escritorios!e*ecutivos y secretariales. %a compania tiene dos plantas en las ue abricalos escritorios. %a planta 1 es una planta antigua ue opera con doble turno de80 Aoras por semana. %a planta 2 es una planta mas nueva y no opera a sucapacidad total. 'ada turno de la planta 2 traba*a 24 Aoras por semana y la

planta opera 2 turnos. %a siguiente tabla muestra el tiempo de producción(AorasHunidad) y los costos est;ndar (Hunidad) en cada planta. >ambien semuestran los precios de venta de cada escritorio.

Debido a ue la compaI@a Aa estado e$perimentando un e$ceso decostos durante el ultimo periodo presupuestal+ los administradores Aan i*adouna restricción semanal sobre los costos de producción.

El Costo Semifijo por producir en cada planta asciende a $ 600 y$900 para las plantas 1 y 2 respectivamente !dem"s en caso de producir al#un modelo de escritorio se debe ase#urar una produccin m%nima de 100unidades

El presupuesto semanal para la producción en miles de pesos tambiense muestra en la tabla. e le pide a usted averiguar cu;l es el numero óptimode escritorios de cada tipo+ a producirse en cada planta con el ob*eto dema$imiar las ganancias.

>ipo >iempo #roducción 'osto est;ndar #recio #resupuesto #lanta 1 #lanta 2 #lanta 1 #lanta 2 Venta emanalE*ecut. 6 5 240 250 740 2+000ecret. / 4 200 180 264 2200


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J

PROBLEMA 3,

9i* ! ? escritorios de modelo j : E+ a producir por semana en la planta i : 1+ 2

K.-.";$ < : (740 C 240) 91E = (264 C 200) 91 =(740 C 250) 92E = (264 C 180) 92s

estricciones de 'apacidad!

691E = /91 : 80 AorasHsemana #lanta 1592E = 492 : 40 AorasHsemana #lanta 2

estricciones de #resupuesto!

24091E = 25092E : 2000 Escritorios E*ecutivos20091 = 18092 : 2200 Escritorios ecretariales

estricciones de 3oC3egatividad!

91E +91 +92E +92 : 0

Nu#7a) Varia/l#) 8 R#)*riccio!#),

binaria Fi : 1 se produce en la planta i : 1+20 no se produce

binaria F j : 1 se producen escritorios del modelo j : E+ 0 no se producen

Decisión de #roducción en cada #lanta

691E = /91 : 80 y1 #lanta 1592E = 492 : 40 y2 #lanta 2

Decisión de #roducir cada "odelo

100 y E &' 91E = 92E : " y E Escritorios E*ecutivos100 yS &' 91 = 92 : " yS Escritorios ecretariales

Kunción -b*etivo "odiicada!

";$ < : (740 C 240) 91E = (264 C 200) 91 =(740 C 250) 92E = (264 C 180) 92s C 500 y1 C J00 y2


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2. un paciente Aospitaliado se le Aan restringido la cantidad de los dosalimentos ue puede consumir. De acuerdo con lo prescrito por el doctor+se deben satisacer los siguientes reuerimientos nutritivos m@nimos por d@a! 1000 unidades de nutriente + 2000 del nutriente B+ y 1400 unidadesdel nutriente '. E$isten dos uentes alimenticias disponibles K1 y K2.'ada ona de la uente alimenticia K1 contiene 100 unidades del nutriente+ /00 unidades del nutriente B+ y unidades del '. 'ada ona de K2contiene 200 unidades de + 240 unidades de B+ y 200 unidades de '. %asuentes alimenticias cuestan 5 y 8 por ona.

a) i se considera ue los costos de pedidos no son despreciables yascienden a 4 y 6.4 para las uentes K1 y K2+ cu;l es la me*or combinación de uentes alimenticiasL

b) i adem;s slo es necesario satisfacer dos de los tres re(uerimientosnutritivos+ cu;l es la me*or combinación de uentes alimenticiasL


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PROBLEMA ',

9 * ! ? onas de alimento j : K1+ K2 a consumir H d@a

K.-."in < : 5 $1 = 8 $2

estricciones de euerimientos 3utritivos

100 $1 = 200 $2 : 1000 unidades de /00 $1 = 240 $2 : 2000 unidades de B200 $1 = 200 $2 : 1400 unidades de '


91 +92 : 0

a) 'ostos emii*os de #edidos (binaria) F * : 1 se ordena la compra de alimento j : K1+ K2

0 no se ordena la compra

K.-."in < : 5 $1 = 8 $2 = 4 y1 = 6.4 y2

$1 : " y1

$2 : " y2

b) ólo es necesario satisacer dos de los tres reuerimientos nutritivos!

(binaria) MN : 1 restricción k : 1+ 2+ 7 se considera en el modelo0 no se considera

100 $1 = 200 $2 : 1000 C " (1 C )1 )/00 $1 = 240 $2 : 2000 C " (1 C )2 )200 $1 = 200 $2 : 1400 C " (1 C )7 )

)1 = )2 = )7 : 2


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"3 4 F1 = 6.4 F2 = 5 91 = 8 92 UB,E'> >- 2) C JJJJJ M1 = 100 91 = 200 92 : C J8JJJ 7) C JJJJJ M2 = /00 91 = 240 92 : C J6JJJ /) C JJJJJ M7 = 200 91 = 200 92 : C J8/JJ 4) C JJJJJ F1 = 91 : 0 5) C JJJJJ F2 = 92 : 0 6) M1 = M2 = M7 : 2 E3D 3> F1 3> F2 3> M1 3> M2 3> M7

-B,E'>VE KU3'>-3 V%UE 1) 40.000000

VB%E V%UE EDU'ED '-> F1 1.000000 4.000000 F2 .000000 6.400000 M1 .000000 .000000 M2 1.000000 .000000 M7 1.000000 2JJJ.J60000 91 6.400000 .000000 92 .000000 2.000000

-M %'O - U#%U DU% #'E 2) JJ6/J.000000 .000000 7) 1000.000000 .000000 /) .000000 C.070000 4) JJJJ1.400000 .000000 5) .000000 .000000 6) .000000 .000000

3-. >E>-3: /J B3'PE: 4 DE>E".: 1.000E 0


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7. Una compan@a enrenta el problema de determinar en uQ proyectosinvertir durante los pró$imos / anos. %a compania dispone de un

presupuesto limitado anual para inversiones. E$isten / proyectosdisponibles. Qstos se les Aa caracteriado por su valor presente estimadoy los costos anuales de capital reueridos. Estos se muestran en lasiguiente tabla!

euerimientos de 'apital nual (en miles de dólares)

>ipo de proyecto! 1 2 7 / V#31 E$pansion de planta 70 /0 /0 70 1802 3ueva "auinaria 12 8 0 / 207 3uevos productos 70 20 20 20 62/ mpliar del almacQn 20 70 /0 10 80

Kondos disponibles 54 80 80 40

*a compra de nueva ma(uinaria slo puede reali+arse en caso de (ue laepansin de la planta se lleve a cabo y se deseen invertir en lab-s(ueda de nuevos productos Desarrolle un plan de asignación decapital ue muestre las erogaciones necesarias para cada uno de los / anosy seleccione ue proyectos conviene inanciar. Supon#a adem"s (ue se .adecidido (ue si se invierte en la !mpliacin del almac/n no se podr"invertir en ueva a(uinaria

(binaria) 9 * : 1 se invierte en el proyecto j : 1+ 2+ 7+ /

0 no se invierte

";$ < : 180 $1 = 20 $2 = 62 $7 = 80 $/

estricciones de Kondos disponibles

70 $1 = 12 $2 = 70 $7 = 20 $/ : 54 Io 1/0 $1 = 8 $2 = 20 $7 = 70 $/ : 80 Io 2/0 $1 = = 20 $7 = /0 $/ : 80 Io 770 $1 = / $2 = 20 $7 = 10 $/ : 40 Io /

R#)*ricci! A"icio!alnversión 2 sólo puede realiarse si se invierte en alternativas 1 y 7

2 $2 ≤ $1 = $7


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/. %a compan@a -V" abrica un producto cuya demanda es estacional ycambia mes con mes. El pronóstico de la demanda para los pro$imos cuatromeses es 1800+ 2200+ 7/00+ y 2800 unidades. Debido a la demanda variable+se Aa encontrado ue en algunos meses e$iste producción en e$ceso lo cualocasiona grandes costos de almacena*e y mantenimiento. En otros meses lacompania no puede cubrir la demanda resultando en perdidas deoportunidades de venta.

%a capacidad de la planta es de 2/00 articulos por mes utiliando turnosnormales. De reuerirse subcontratos es posible disponer Aasta de 800articulos adicionales.

El costos variable de produccion es de /00 dolares por unidad+ paraarticulos abricados. El costo de subcontrato implica pagar un costo unitario

de /40. De no venderse un articulo y almacenarse para el pro$imo mes seincurre en un costo de 14 dolares por mes.

e producir unidades en un mes particular es necesario reali+ar la preparacin de ma(uinaria, .acer corridas de prueba y ec.ar a andar ciertos e(uipos especiales, por lo (uese incurrir%a en costos semifijos de$130 e ordenar un art%culo al subcontratista se re(uiere incurrir en uncosto semifijo de $304orden

e le pide a usted ue determine un programa óptimo de aduisición ue

minimice los costos de producción+ almacena*e y subcontrato para el per@odode / meses. El programa debe satisacer la demanda pronosticada.


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PROBLEMA 9,

9i* ! ? unidades a producir en el mes i : 1+ 2+ 7+ / j : 1 producción propia + 2 subcontrato

K.-. "in < : /00 ($11 = $21 = $71 = $/1 ) = /40 ($12 = $22 = $72 = $/2 ) = 14 (1 = 2 = 7 = / )

estricciones de Balance!

$11 = $12 : 1800 = 1 mes 11 = $21 = $22 : 2200 = 2 mes 22 = $71 = $72 : 7/00 = 7 mes 77 = $/1 = $/2 : 2800 = / mes /

estricciones de 'apacidad

9i1 : 2/00 i : 1+ 2+ 7+ / producción propia

9i2 : 800 i : 1+ 2+ 7+ / subcontrato


911 +912 +921 +922 + 971 +972 +9/1 +9/2 : 0

Nu#7a) Varia/l#) 8 R#)*riccio!#),

binaria Fi1 : 1 se produce en mes i : 1+2+ 7+ / 0 no se produce

binaria Fi2 : 1 se subcontrata en mes i : 1+2+ 7+ / 0 no se subcontrata

Fi1 ≤ 9i1 ≤ 2/00 Fi1 i : 1+ 2+ 7+ / producción propiaFi2 ≤ 9i2 ≤ 800 Fi2 i : 1+ 2+ 7+ / subcontrato

Kunción -b*etivo "odiicada!

"in < : /00 ($11 = $21 = $71 = $/1 ) = /40 ($12 = $22 = $72 = $/2 ) = 14 (1 = 2 = 7 = / ) == 140 ( y11 = y21 = y71 = y/1 ) = 40 (y12 = y22 = y72 = y/2 )

4. Una compaIia tiene tres localiaciones alternativas para ubicar nuevosalmacQnes ue den servicio a la región norte del pa@s. E$isten 4 clientes('1+'2+'7+'/+'4) importantes es esta región. e desea determinar en cu;les


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localiaciones se instalar;n almacenes como puntos de distribución para surtir a los clientes.

'ostos Unitarios de >ransporte a 'liente%ocaliación nstalación 'apacidad '1 '2 '7 '/ '4

1 40+000 200 8 10 12 5 82 70+000 140 6 J 11 J 177 /0+000 700 8 11 10 8 6DemandaH'liente ! 64 40 74 64 74

-%U'R3

9i* ! ? unidades a transportar del almacQn i : 1+ 2+ 7 a cliente j : 1+ 2+ 7+ /+ 4

Fi : 1 se instalar; el almacQn en localiación i : 1+ 2+ 7 0 no se instalar;

"in < : 8$11 = 10$12 = 12$17 = ...... = 8$7/ = 6$74 =40000y1 = 70000y2 = /0000y7

estricciones de Demanda$11 = $21 = $71 : 64 (cliente 1)

$12 = $22 = $72 : 40 (cliente 2)

$17 = $27 = $77 : 74 (cliente 7)$1/ = $2/ = $7/ : 64 (cliente /)$14 = $24 = $74 : 74 (cliente 4)

estricciones de 'apacidad$11 = $12 = $17 = $1/ = $14 : 200 y1 (almacQn 1)$21 = $22 = $27 = $2/ = $24 : 140 y2 (almacQn 2)$71 = $72 = $77 = $7/ = $74 : 700 y7 (almacQn 7)

3o negatividad! 911 +912 +921 +922 + 971 +972 +917 +91/+ .... + 974 : 0


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5. (Cobertura 5otal ) El lcalde del DK est; considerando la reubicación deun n&mero de estaciones de polic@a con el ob*eto de reorar el cumplimientode la ley en colonias de alta criminalidad. %as localidades donde

potencialmente puede ubicarse estaciones de policia as@ como las colonias dela ciudad ue pueden ser cubiertas por estas localidades se muestran en lasiguiente tabla. Kormule un modelo de #E para encontrar el n&mero m@nimode estaciones cubriendo todas las colonias peligrosas.

%-'%


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6. ( aimi+ar Cobertura con recursos limitados Un banco est; planeando abrir 2sucursales en "onterrey. %a dirección Aa dividido la ciudad en 6 onas as@ como Aaestimado el n&mero de clientes potenciales en cHu. . e supone ue un local ubicado en unaona podr@a atender a los clientes de onas vecinas as@ como a los de su propia ona.(Vease la tabla siguiente)


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1J

8. Una compan@a necesita contratar personal de seguridad. e estima ue losguardias traba*aran turnos de 8 Aoras y ue cada dia se necesitan seis turnos

para cubrir las 2/ Aoras. %as siguientes tablas muestran el n&mero reueridode personal de seguridad por cada / Aoras del d@a y los Aorarios de entrada ysalida de cada turno. e necesita determinar cu;ntos guardias deber;ntraba*ar en cada turno con el ob*eto de minimiar el n&mero de ellos. 12amC/am /C8am 8C 12pm 12C/pm /C8pm8C12am4 6 14 6 12 J

>U3- P--1 "edianocAeC8am2 /amC"ediod@a7 8amC/pm

/ "ediod@aC8pm4 /pmC"edianocAe5 8pmC/am

-%U'-3!

F * ! n&mero de guardias ue traba*an en turno j'1,2,7,8,3,6

K.-. "in < : y1 = y2 = y7 = y/ = y4 = y5

estricciones de 'obertura (de turnos) y1 = y5 ≥ 4

y1 = y2 ≥ 6y2 = y7 ≥ 14y7 = y/ ≥ 6y/ = y4 ≥ 12

F * ≥ 0 y enteras j'1,2,7,8,3,6 y4 = y5 ≥ J

b) i los guardias reciben un sueldo de 100 por Aora y un premio de 10S silaboran entre las 10 pm y 5 am+ cómo se modiica el modelo de #E L

K.-. "in < : 8 $ 100 (y1 = y2 = y7 = y/ = y4 = y5 )= 8 $ 10 ( 0.24y4 = 0.64y1 = 0.64 y5 = 0.24 y2 )


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PROBLEMAS DE PLANEACION

eterminar la mejor: secuencia de actividades

ejor; costo, tiempo o distancia

!ctividades; 5areas a efectuarse en varias m"(uinas, o secuencia de locali+aciones a visitar

TRAVELING SALESMAN PROBLEM 1EL AGENTE VIAJERO2

eterminar la ruta m"s corta para (ue saliendo de un punto base se visiten diversaslocali+aciones slo una ve+: y despu/s se vuelva al punto base

EJEMPLO

Un vendedor traba*a para una compaI@a localiada a sur de "Q$ico D.K. Esta semana debevisitar a cuatro clientes. %a siguiente tabla muestra las distancias desde la compaI@a Aastacada cliente. El vendedor desea visitar la ruta m;s corta considerando ue no convienevisitar a algun cliente m;s de una ve.

De T -icina 'liente 1 'liente 2 'liente 7 'liente /-icina " 120 54 64 /4'liente 1 J0 " /4 J0 84'liente 2 44 40 " 54 /0

'liente 7 80 100 50 " 40'liente / 44 80 50 50 "

'u;ntas combinaciones posibles Aay L

aliendo de la oicina Aay / posibles destinossaliendo del primer destino Aay 7 posibles destinossaliendo del segundo destino Aay 2 posibles destinossaliendo del &ltimo cliente sólo Aay 1 posibles destinos ! la oicina

En total e$isten / : 2/ posibles combinaciones

iempre ue Aaya n localiaciones ⇒ e$istir;n (n


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-%U'R3

ea 9i* : 1 si el vendedor via*a de or@gen i a destino j : 0+1+2+7+/0 si no

"in < : 120 901 = 54902 = ... = 50 9/7

e via*ara Aacia cada clienteHoicina una sola ve!910 = 920 = 970 = 9/0 : 1911 = 921 = 971 = 9/1 : 1912 = 922 = 972 = 9/2 : 1917 = 927 = 977 = 9/7 : 1

e saldra desde el lugar de cada cliente H oicina una sola ve!901 = 902 = 907 = 90/ : 1911 = 912 = 917 = 91/ : 1921 = 922 = 927 = 92/ : 1

971 = 972 = 977 = 97/ : 1

-%U'-3E #-B%E

/ 0 / 0

1 1

7 7

2 2

901 : 917 : 972 : 92/ : 9/0 : 1 901 : 917 : 970 : 1 y 97/ : 9/7 : 1

>our ! secuencia de visitas

ubtour ! tour en el ue se visita una localiación m;s de una ve (o su base m;s de veces)

Como #limi!ar )u/*our) 1)o! )olucio!#) i!;ac*i/l#)2 :

gregar las restricciones! 901 = 917 = 970 ≤ 2 97/ = 9/7 ≤ 1

E,E"#%-


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22

Una peueIa empresa tiene un contrato para llevar a cabo varios traba*os de preparaciónde pinturas utiliando una m;uina de alta velocidad. 'uando la m;uina cambia detraba*o deba limpiarse por completo antes de realiar un traba*o dierente en el ue lacombinación de pinturas y colorantes sea distinta. En la tabla a continuación se muestranlos tiempos de limpiea en minutos para todas las posibles secuencias de traba*os. Elob*etivo es minimiar la suma de todos los tiempos de limpiea eligiendo la me*or secuencia de traba*os.

>raba*o >raba*o B ' D

C 70 14 /0B 24 C /4 20' 74 14 C 70

D 20 40 24 C

"-DE%-

"in < : 709B = 149' = /0 9D = 249B = /49B' = 209BD = 749' =149'B = 709'D = 209D = 409DB = 249D'


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MODELOS DE PROGRAMACION ENTERAMETODOS DE SOL(CION

e reuiere ue una solución actible tenga valores enteros paraalguna o todas las variables de decisión.

%a egión Kactible no es una región cont@nua sino ue est;ormada por puntos separados.

Un "odelo de #E se llama ela*ado si no se toma en cuenta larestricción de soluciones enteras.

El modelo de #E relajado es el modelo de #%

edondear una solución de #% puede resultar en una solución le*osde la óptima ó en una solución 3o actible.

3o e$iste un procedimiento de analisis de sensibilidad paramodelos de #E (tal como en #%) . >ampoco se genera inormaciónsobre sensibilidad al usar la computadora.

%&% MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA


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2/

METODOS DE SOL(CION

1. "E>-D- GK'-Solo 2 variables

2. ED-3DE- DE % -%U'-3 DE #% o se ase#ura obtener la solucin ptima En al#unos casos se obtiene una solucin muy lejos de

la ptima

7. E3U"E'-3 '-"#%E>Si .ay 2 variables binarias, 8 soluciones posiblesSi .ay 30 variables binarias, 230 soluciones posibles

/. "K''-3 F '->"E3>- (BrancA W Bound)

4. #%3- DE '->E (trong 'utting #lanes)


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%&'&3 EN(MERACION COMPLETA

EJEMPLO

";$ < : 700 $1 = J0 $2 = /00 $7 = 140 $/

su*eto a! 74 $1 = 10 $2 = 24 $7 = J0 $/ : 120 / $1 = 2 $2 = 6 $7 = 7 $/ : 12 $1 = $2 : 1

$1 +$2 +$7 +$/ binarias 0 ó 1

E$isten 2/ : 15 alternativas de solución!

91:0 91:1

92:0 92:1 92:0 92:1

i97:0 97:1 97:0 97:1 97:0 97:1 97:0 97:1

i i

0 $/:1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

2 7 / 4 5 6 8 J 10 11 12 17 1/ 14 15 i i i i i i i

'ada nodo representa un modelo en el ue alguna(s) variable(s)

tiene su valor especiicado'ada !o"o *#rmi!al representa una solución entera (actible ó no)i en un nodo cualuiera la solución es inactible los nodos ue

siguen ba*o Ql+ tendran solución inactible%&'&3 EN(MERACION COMPLETA


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EJEMPLO

";$ < : 700 $1 = J0 $2 = /00 $7 = 140 $/

su*eto a! 74 $1 = 10 $2 = 24 $7 = J0 $/ : 120 / $1 = 2 $2 = 6 $7 = 7 $/ : 12 $1 = $2 : 1

$1 +$2 +$7 +$/ binarias 0 ó 1

E$isten 2/ : 15 alternativas de solución!

91 92 97 9/ Kactible L <0 0 0 0 s@ 00 0 0 1 si 1400 0 1 0 s@ /00

0 0 1 1 si 4400 1 0 0 s@ J00 1 0 1 s@ 2/00 1 1 0 s@ /J0

0 1 1 1 no CCCCC1 0 0 0 s@ 700

1 0 0 1 no CCCCC1 0 1 0 si 600 1 0 1 1 no CCCCC

1 1 0 0 no CCCCC1 1 0 1 no CCCCC1 1 1 0 no CCCCC

1 1 1 1 no CCCCC

#or tanto la solución óptima es!91 : 97 : 1+ 92 : 9/ : 0+ < : 600

%&'&' REDONDEO DE LA SOL(CION DE PL

E,E"#%-!


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";$ < : $1 = 4$2s.a. $1 = 10$2 ≤ 20

$1 ≤ 2

olución modelo rela*ado (#%)! $1 : 2 $2 : 1.8 < : 11

olución con redondeo ! $1 : 2 $2 : 1 < : 6

olución óptima de #E ! $1 : 0 $2 : 2 < : 10

*a solucin ptima de >E tiene un valor en ? (ue es87@ superior a la solucin redondeada=

Al r#"o!"#ar )# "#/# *#!#r #! cu#!*a la ma0!i*u" la) 7aria/l#)

si la solución es! < : 4+206

$1 : 11.592 : 5.8 3- es conveniente redondear

si en cambio! < : 4+206$1 : 7+208./ redondear puede ser 92 : 6+044.7 aceptable.

iempre veriicar ue la solución redondeada se mantenga actible

%&'&% RAMIFICACION 6 ACOTAMIENTO(%and W Doig+ 1J50)

"K' (Un modelo de #% con solución no entera)! ividir la re#in factible en 2 re#iones (ue< no conten#an la solucin del modelo>* relajado


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< s% conten#an todas sus soluciones enteras factibles

'>E- B'-! !#re#ar restricciones a un modelo no puede producirun modelo con mejor solucin ?

#-'ED"E3>- DE "9"


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2J

E,E"#%-! considerando 91 y 92 vars. enteras no negativas resuelva

"in < : /91 = 492 sa. sol. modelo rela*ado! 91 : 2.55

791 = 592 ≥ 18 92 : 1.55 < : 1J491 = /92 ≥ 20891 = 292 ≥ 15 sol. con redondeo! 91 : 7691 = 592 ≤ /2 92 : 2 < : 22

91 : 2.55 ': 2292 : 1.55 ' : 1J< : 1J

91 ≤ 291 ≥ 7

' : 22 91 : 2 91 :7 ': 22' : 20.4 92 : 2.4 92 : 1.4 ' : 1J.4

< : 20.4 < : 1J.4

92 ≤ 292 ≥ 7

3- ' : 22 91 : 1.5K'>B%E ' : 21./ 92 : 7

< : 21./


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RAMIFICACION 6 ACOTAMIENTOCASOS ESPECIALES

MODELOS MI4TOS

ólo ramiicar variables enteras

MODELOS BINARIOS

"odelo ela*ado! eemplaar 9: 0 ó 1 por 9 ≤ 1

amiicar una variable binaria

9 : 0 (1 rama)9 : 1 (1 rama)

MINIMI CS

C %a CS es igual a la me*or solución entera Aasta el momentoC %a CI en un nodo es igual a < encontrado

C medida ue se ramiica y se desciende del rbol la CI tiende a aum#!*ar

programacion lineal entera mixta binaria

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