Programacion lineal entera invope

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN ENTERA DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

Problema 3:

El equipo de gimnasia olímpica de Transilvania consta de 6 personas. Transilvania tiene que seleccionar tres personas para viga de equilibrio y ejercicios de piso. También tiene que presentar un total de cuatro personas por cada evento. La calificación que cada gimnasta puede obtener en cada evento se muestra en la tabla 1.Plantee un PE con el que se maximice la calificación total que obtengan los gimnastas de Transilvania.

TABLA 1

Gimnasta Viga de equilibrio

Ejercicios de piso

1 8.8 7.92 9.4 8.33 9.2 8.54 7.5 8.75 8.7 8.16 9.1 8.6

Solución:

1, si el gimnasta i entra en ambos eventos. (i = 1, 2, 3, 4, 5,6) 0, si no es así.

1, si el gimnasta i entra solo en vigas de equilibrio. (i = 1, 2, 3, 4, 5,6) 0, si no es así.

1, si el gimnasta i entra solo en ejercicios de piso. (i =1, 2, 3, 4, 5,6) 0, si no es así.

Función objetivo:

Max z = 16.7 X1+17.7 X2+17.7 X3+16.2 X4+16.8 X5+17.7 X6 +8.8 Y1+9.4 Y2+9.2 Y3+7.5 Y4+8.7 Y5+9.1 Y6 +7.9 W1+8.3 W2+8.5 W3+8.7 W4+8.1 W5+8.6 W6

Sujeto a:

X1+ X2+ X3+ X4+ X5+ X6 = 3 (seleccionar a 3 personas que hagan ambos eventos)

Y1+ Y2+ Y3+ Y4+ Y5+ Y6 =4 (se quiere un total de 4 personas que hagan el mismo evento, en este caso el evento 1: vigas de equilibrio)

1

Xi =

Yi =

Wi =

W1+ W2+ W3+ W4+ W5+ W6 =4 (se quiere un total de 4 personas que hagan el mismo evento, en este caso el evento 2: ejercicios de piso)

Xi, Yi, Wi =0 ó 1

SETS:Cant/1..6/:X,Y,W,VIGA,EJRPISO,PUNTAJE;

ENDSETS

DATA: VIGA = 8.8 9.4 9.2 7.5 8.7 9.1 ; EJRPISO = 7.9 8.3 8.5 8.7 8.1 8.6; ALVEZ=3; POREVNTO=4;ENDDATA

max=@SUM(cant(i):PUNTAJE*X(i))+@SUM(cant(i):VIGA*Y(i))+@SUM(cant(i):EJRPISO*W);

@FOR(cantidad(I): PUNTAJE(i)=VIGA(i)+EJRPISO(i); );

! RESTRICCIONES;

@SUM (cant(I):X(i))=ALVEZ;

@SUM (cant(I):Y(i))=POREVNTO;

@SUM (cant(I):W(i))=POREVNTO; ! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS; @FOR (cant(I):

@BIN(X); @BIN(Y); @BIN(W); );

2

La solución nos dice que los gimnastas que entran solo en viga de equilibrio son el 1,2,3,6 ;los gimnastas que entran solo en ejercicio de piso son el 2,3,4,6 y los gimnastas que entran a ambos eventos son el 2,3,6 ;uno se da cuenta ya que el valor de cada una de estas variables es 1.La calificación total máxima que obtienen los gimnastas de Transilvania es 123.70.

Problema 4 :

La decisión de una corte estableció que la matricula de cada escuela de bachillerato en Metrópolis debe tener por lo menos 20% de negros. El número de estudiantes de bachillerato, blancos y negros, en cada uno de los 5 distritos escolares de la ciudad se muestra en la tabla 1. La distancia en millas que un estudiante debe viajar a cada escuela de bachillerato en cada distrito, se proporciona en la tabla 2.La política escolar establece que todos los estudiantes en un distrito dado asistan a la misma escuela. Si se supone que cada escuela debe tener una matricula de por lo menos 150 estudiantes, formular el PE con el cual se pueda minimizar la distancia total que los estudiantes de Metrópolis tienen que recorrer hasta la escuela.

DISTRITO BLANCOS NEGROS1 80 302 70 53 90 104 50 405 60 30

Tabla 1

DISTRITOESCUELA

1ESCUELA

21 1 22 0,5 1,73 0,8 0,84 1,3 0,45 1,5 0,6

Tabla 2

3

Sol:seaXij = distrito i, escuela de bachillerato j

Min z = X11 +2X12 + 0.5X21 + 1.7X22 + 0.8X31 +1.3X41 + 0.4X42 + 1.5X51 + 0.6X52

Sujeto a:

110X11 + 75X21 + 100X31 + 90X41 + 90X51 >= 150 (restricción alumnos por escuela)

110X12 + 75X22 + 100X32 + 90X42 + 90X52 >= 150

100*(30X11 + 5X21 + 10X31 + 40X41 + 30X51)/ (110X11 + 75X21 + 100X31 + 90X41 + 90X51)>=20

100*(30X12 + 5X22 + 10X32 + 40X42 + 30X52)/ (110X12 + 75X22 + 100X32 + 90X42 + 90X52)>=20

X11 + X12 <=1X21 + X22 <=1X31 + X32 <=1X41 + X42 <=1X51 + X52 <=1

Xij =0 ó 1 (i,j =1,2,3,4,5)

PROBLEMA 6 :

Los datos del problema se pueden expresar de la siguiente manera:

MATERIA CURSOS

4

Cal.

(1)

Inv. Op.(2)

Estr. Dat.(3)

Estadi.

Adm.(4)

Sim. Comp.

(5)

Intr.Prog.

(6)

Pred. Requ.

(7)

total

matemáticas 1 1 1 1 0 0 1 2Inv.

operativa0 1 0 1 1 0 1 2

computación

0 0 1 0 1 1 0 2

Pre- requisito

Nin. Nin. (6) (1) (6) Nin. (4)

Se Utilizara el programa lingo para resolver el problema

!x= 1-->si se estudia el curso i (i=1..7) 0-->si no se estudia el curso i (i=1..7);

!min = cantidad mínima de curso;

!pcurso =posibilidad de tomar un curso i (1..7) para la materia j (1..3);

sets:cursos/1..7/:x; materias/1..3/:tot;matcur(materias,cursos):pcurso;endsets

data:tot= 2 2 2;

pcurso= 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0;

enddata

min=@sum(cursos:x);

@for(materias(i):@sum(cursos(j):pcurso(i,j)*x(j))>=tot(i));

x(3)<=x(6);x(4)<=x(1);x(5)<=x(6);x(7)<=x(4);

@for(cursos:@bin(x););end

5

MIN X( 1) + X( 2) + X( 3) + X( 4) + X( 5) + X( 6) + X( 7) SUBJECT TO 2] X( 1) + X( 2) + X( 3) + X( 4) + X( 7) >= 2 3] X( 2) + X( 4) + X( 5) + X( 7) >= 2 4] X( 3) + X( 5) + X( 6) >= 2 5] X( 3) - X( 6) <= 0 6]- X( 1) + X( 4) <= 0 7] X( 5) - X( 6) <= 0 8]- X( 4) + X( 7) <= 0 END INTE 7

La solución que me proporciona es la siguiente:

Interpretación

Los cursos que utilizaran para lograr la especialización son 4 y son los siguientes:

• Investigación operativa• Estructura de datos• Simulación por computadora• Introducción a la programación

Por lo tanto significa que al llevar estos 4 cursos podré satisfacer los requerimientos para la especialización con la menor cantidad de cursos llevados

PROBLEMA Nª12:

Una compañía planea abrir unas bodegas en cuatro ciudades; Nueva York, Los Ángeles, Chicago y Atlanta. Desde cada bodega se pueden embarcar 100 unidades por semana. El costo fijo por semana por mantener en operación cada bodega es de 400 dólares para Nueva York, 500 dólares para Los Ángeles, 300 dólares para Chicago y 150 dólares para Atlanta. La región 1 del país requiere 80 unidades por semana, la región 2 demanda 70 unidades por semana y la región 3 necesita 40 unidades por semana. Los costos (sin olvidar los costos de producción y embarque) por enviar una unidad desde una planta desde una región se señala en la tabla 11. Se desea cumplir con las demandas

6

semanales a un costo mínimo, sujeto a la información precedente y a las restricciones siguientes:

1. Si se abre la bodega de Nueva York, entonces se debe abrir la bodega de Los Ángeles.

2. Es posible abrir a lo más dos bodegas.

3. Se tiene que abrir la bodega de Atlanta o la de Los Ángeles.

Formule un PE que se pueda usar para minimizar los costos semanales de cumplir con las demandas.

TABLA11

Hasta (dólares)

DesdeRegión

1 Región 2 Región 3

Nueva York 20 40 50

Los Ángeles 48 15 26

Chicago 26 35 18

Atlanta 24 50 35

Formulación de la PE:Xi { = 1 Si se abre la bodega i (i=0,1,2,3,4) = 0 En caso contrario.Yj = Cantidad de unidades destinadas para la región j (j=1,2,3)Yij = Cantidad de unidades trasladadas de la bodega i (i=1,2,3,4) hasta la región j (j=1,2,3)PE :Minz = 400X1 + 500X2 + 300X3 + 150X4 + 20Y11 + 40Y12 + 50Y13 + 48Y21 + 15Y22 + 26Y23 + 26Y31 + 35Y32 + 18Y33 +

24Y41 + 50Y42 + 31Y43 S.a:Y11 + Y21 + Y31 + Y41 = Y1Y12 + Y22 + Y32 + Y42 = Y2Y13 + Y23 + Y33 + Y43 = Y3

Y11 + Y12 + Y13 <= 100 Y21 + Y22 + Y23 <= 100 Y31 + Y32 + Y33 <= 100 Y41 + Y42 + Y43 <= 100

X1 <= MY11 X2 <= MY21 X3 <= MY31 X4 <= MY41X1 <= MY12 X2 <= MY22 X3 <= MY32 X4 <= MY42X1 <= MY13 X2 <= MY23 X3 <= MY33 X4 <= MY43Y1=>80Y2=>70

7

Y3=>40

X1 – X2 <= 0X1 + X2 + X3 + X4 <= 2X4 + X2 <= 1

X1,X2,X3=0 ó 1;Y1,Y2,Y3,Y11,Y12,Y13,Y21,Y22,Y23,Y31,Y32,Y33,Y41,Y42,Y43 = # enterosM = # muy grande

P roblema 13

Glueco fabrica tres tipos de pegamento en dos líneas de producción distintas. Hasta 7

trabajadores usan a la vez cada línea. Cada trabajador recibe un pago de 500 dólares por

semana en la línea de producción 1, y 900 dólares por semana en la línea de producción

2. Una semana de producción en la línea de producción 1 cuesta 1000 dólares para

organizarla y 2000 en la línea de producción 2.

Durante una semana en una línea de producción cada trabajador elabora la cantidad de

unidades de pegamentos indicada en la siguiente tabla::

Se tienen que elaborar a la semana, por lo menos, 120 unidades del pegamento 1, por lo

menos 150 unidades del pegamento 2 y por lo menos 200 unidades del pegamento 3.

Formule un PE para minimizar el costo total por cumplir con las demandas semanales.

Solución:

Sea:

8

Línea de producciónPegamento

1 2 31 20 30 402 50 35 45

xi = número de trabajadores empleados en la línea i (i =1,2).

1 se usa la línea i, (i =1,2).

yi =

0 si no es así

Entonces, la PE apropiada es:

F:O : min z = 1000y1 + 2000y2 + 500x1 + 900x2

s.a.

20x1 + 50x2 120

30x1 + 35x2 150

40x1 + 45x2 200

x1 7 y1

x2 7 y2

x1, x2 0; y1,y2 = 0 ó 1

La programación en LINDO sería:

9

Y La solución en LINDO sería:

CONCLUSIÓN:

Como se puede observar en el resultado se tendrá un costo de 4000 dólares para cumplir las demandas semanales, con 6 trabajadores trabajando en la línea número 1 solamente.

1

PROBLEMA 15PROBLEMA 15:

En el hospital general Blair se ejecutan 6 tipos de operaciones quirúrgicas. Los tipos de operaciones que cada cirujano esta calificado para practicar (señalados como 1) se proporciona en la tabla. Suponga que el cirujano 1 y el cirujano 2 no simpatizan entre si, y no pueden estar en el mismo tiempo de servicio. Se necesita la cantidad mínima de cirujanos necesarios para que el hospital pueda desarrollar todo tipo de operaciones.

CIRUJANO OPERACIÓN1 2 3 4 5 6

1 x x x2 x x x3 x x4 x x5 x6 x x

SOLUCION:SOLUCION:

Si consideramos a cada X como 1 y cada espacio vacío como 0:

CIRUJANO OPERACIÓN1 2 3 4 5 6

1 1 1 0 1 0 02 0 0 1 0 1 13 0 0 1 0 1 04 1 0 0 0 0 15 0 1 0 0 0 06 0 0 0 1 1 0

Definimos las variables a utilizar:

Xi = 1 Si el cirujano i realiza alguna operación. (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) 0 en caso contrario.

1

El PE apropiado para este problema es:

FUNCION OBJETIVO:

MIN Z= X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6;

S.A:

C i r u j a n o s q u e e s t a n d i s p o n i b l e s p a r ar e a l i z a r c a d a u n a d e l a s 6 o p e r a c i o n e ss e g ú n l a t a b l a .

X1 + X4 > = 1 X1 + X5 > = 1 X2 + X3 > = 1 X1 + X6 > = 1

X2 + X3 + X6 > = 1 X2 + X4 + X5 > = 1

X1 + X2 <= 1 (el cirujano 1 y 2 no simpatizan entre si)

Xi >= 0 (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6);

PROGRAMACIÓN EN LINGOPROGRAMACIÓN EN LINGO:

VARIABLES UTILIZADAS:

DISPONIBILIDAD = Operaciones que pueden realizar los cirujanos

1

SETS:CIRUJANO/1..6/:X;OPERACION/1..6/;COMBINACION(CIRUJANO,OPERACIÓN):DISPONIBILIDAD;

ENDSETS

DATA:DISPONIBILIDAD=1,1,0,1,0,0, 0,0,1,0,1,1, 0,0,1,0,1,0, 1,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,0, 0,0,0,1,1,0;

ENDDATA

! FUNCION OBJETIVO;

MIN=@SUM(CIRUJANO:X);

! RESTRICCIONES;

! CIRUJANOS DISPONIBLES; @FOR(OPERACION(J):@SUM(CIRUJANO(I):DISPONIBILIDAD(I,J)*X(I))>=1);

! CIRUJANO 1 Y 2 NO SIMPATIZAN ENTRE SI; X(1)+X(2)<=1;

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;@FOR(CIRUJANO:@BIN(X));

END

LA SOLUCIÓN DEL PROGRAMA CON LINGO ES:LA SOLUCIÓN DEL PROGRAMA CON LINGO ES:

RESPUESTA:RESPUESTA:

Como se nota en la solución con LINGO, la cantidad mínima de cirujanos para que se puedan realizar las 6 operaciones es 3. Los cirujanos que pueden realizar las operaciones son 1, 3 y 4.

PROBLEMA 16 : Cárdenas Rondoño, Bryan 04170102

Eastinghouse embarca 12 000 capacitores por mes para sus clientes. Se podrían producir los capacitares en plantas distintas. La capacidad de producción, costos fijos mensuales y costos variables por la producción de un capacitor en cada planta se proporcionan en la tabla 96. el costo fijo en una planta se contrae sólo si la planta se usa para hacer capacitares. Desarrolle un modelo de programación con enteros cuya solución le indique a eastinghouse cómo minimizar sus costos mensuales por cumplir con la demanda de sus clientes.

1

Tabla 96Planta Costos fijos

(en miles de dólares)

Costos variables(dólares)

Capacidad de

producción1 80 20 60002 40 25 70003 30 30 6000

SOLUCIÓN

El programa en Lingo es:

!DESCRIPCIÓN DE LAS VARIABLES UTILIZADAS;!X = Cantidad de capacitores producidos por fabrica;!Y = Si se produce i(cada planta) entonces 1, caso contrario 0;!CAP = capacidad de producción de cada planta;!CF = costos fijos de cada planta en dólares;!CV = costos variables de cada planta en dólares;!DEM = demanda total de los clientes;SETS:PLANT/1..3/:X,Y,CAP,CF,CV;DEMAND/TOTAL/:DEM;ENDSETSDATA:CAP = 6000 7000 6000;CF = 80000 40000 30000;CV = 20 25 30;DEM = 12000;ENDDATAMIN=@SUM(PLANT:CF*Y+CV*X);@FOR(PLANT:@BIN(Y););@FOR(PLANT:X<=CAP);@FOR(DEMAND:@SUM(PLANT:X)>=DEM);@FOR(PLANT:X<=(12000*Y));

La solución del Lingo es:

Global optimal solution found at step: 14 Objective value: 390000.0 Branch count: 0

Variable Value Reduced Cost X( 1) 6000.000 0.0000000 X( 2) 6000.000 0.0000000 X( 3) 0.0000000 5.000000 Y( 1) 1.000000 80000.00

1

Y( 2) 1.000000 40000.00 Y( 3) 0.0000000 30000.00 CAP( 1) 6000.000 0.0000000 CAP( 2) 7000.000 0.0000000 CAP( 3) 6000.000 0.0000000 CF( 1) 80000.00 0.0000000 CF( 2) 40000.00 0.0000000 CF( 3) 30000.00 0.0000000 CV( 1) 20.00000 0.0000000 CV( 2) 25.00000 0.0000000 CV( 3) 30.00000 0.0000000 DEM( TOTAL) 12000.00 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 390000.0 1.000000 2 0.0000000 5.000000 3 1000.000 0.0000000 4 6000.000 0.0000000 5 0.0000000 -25.00000 6 6000.000 0.0000000 7 6000.000 0.0000000 8 0.0000000 0.0000000

Problema16: García Paz María 03170054

Eastinghouse embarca 12 000 capacitores por mes para sus clientes. Se podrían producir los capacitores en tres plantas distintas. La capacidad de producción, costos fijos mensuales de operación y costos variables por la producción de un capacitor en cada planta se proporciona en la tabla. El costo fijo en una planta se contrae solo si la planta se usa para hacer capacitores. Desarrolle un modelo de programación con enteros cuya solución le indique a Eastinghouse como minimizar sus costos mensuales por cumplir con la demanda de sus clientes.

PlantaCostos fijos(en miles de

dólares)

Costos variables(dólares)

Capacidad de producción

1

123

804030

202530

6 0007 0006 000

Solución:

Podemos observa por el enunciado que se trata de un problema al que se denomina “problema de cargo fijo”.

Definimos las variables a utilizar:

Xi = Numero de capacitores producidos en la planta i. (i = 1, 2,3)

1, si se produce en la planta i. (i =1, 2,3) 0, si no es así.

M = Cantidad muy grande, que puede ser de un millón.

Entonces, el PE apropiado es:

FUNCIÓN OBJETIVO:

MIN Z= 20 X1 + 25 X2 + 30 X3 + 80 Y1 + 40 Y2 + 30 Y3;S.A.:

X1 + X2 + X3 = 12 000; (Se embarca 12 000 capacitores al mes)

X1 <= 6 000 (Capacidad de producción en la planta 1 de 6 000)X2 <= 7 000 (Capacidad de producción en la planta 2 de 7 000)X3 <= 6 000 (Capacidad de producción en la planta 3 de 6 000)

X1 <= M Y1

X2 <= M Y2

X3 <= M Y3

Xi >= 0 (i = 1, 2,3); Yi =0 ó 1

Programación en Lingo:VARIABLES UTILIZADAS:

• COSTO = Costo variables (dólares) sujeto a la cantidad de producción que se produzca.

• COSTOADIC = Costos fijo (dólares) adicional por utilizar las instalaciones de alguna planta.

• CAP= Capacidad de cada planta.• M = valor muy grande• REQUERIMIENTO = cantidad de capacitares embarcados al mes

1

Yi =

SETS:PLANTA/1..3/: COSTO, COSTOADIC, X, Y, CAP;

ENDSETS

DATA: COSTO = 20 25 30; COSTOADIC = 80 40 30; CAP= 6000 7000 6000; M=1000000; REQUERIMIENTO=12000;ENDDATA

! FUNCION OBJETIVO:MIN=@SUM(PLANTA(I):COSTO(I)*X(I))+ @SUM(PLANTA(I):COSTOADIC(I)*Y(I));

! RESTRICCIONES:

! RESTRICCION DE REQUERIMIENTO; @SUM(PLANTA(I):X(I))=REQUERIMIENTO;

! RESTRICCION DE LA MAXIMA CAPACIDAD DE CADA PLANTA; @FOR(PLANTA(I):X(I)<=CAP(I)); @FOR(PLANTA(I):X(I)<=M*Y(I));

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS; @FOR(PLANTA(I):@BIN(Y));

END

Respuesta:Como se nota en la solución con LINGO, para poder cumplir la demanda de los clientes y a su vez minimizar los costos se deben producir en las plantas 1 y 2 con una cantidad de 6 000 capacitores en cada planta, de esta forma el costo de producir capacitores en estas plantas será de 270 120 dólares.

Problema 17

Un producto se puede fabricar en cuatro maquinas distintas. Cada maquina tiene un costo fijo de preparación, costos variables de producción por unidad procesada y una capacidad de producción que se proporciona en la tabla 15. Se tiene que fabricar un total de 2000 unidades del producto. Plantee un PE cuya solución indique como minimizar los costos totales.

1

1 1000 20 9002 920 24 10003 800 16 12004 700 28 1600

Solución:

X i = Cantidad de producto fabricado en la maquina i. (i = 1,2,3,4.)

1, si el producto se fabrica en la maquina i. (i =1, 2, 3, 4.) 0, si no es así.


Función objetivo es:

MIN Z = 20 X1 + 24 X2 + 16 X3 + 28 X4 + 1000 Y1 + 920 Y2 + 800 Y3 + 700 Y4

Sujeto a:

X1 + X2 + X3 + X4 = 2000 (Total de producción requerida) X1 - 2000 Y1 <= 0 (Si produce en maquina 1, se considera CF 1) X2 - 2000 Y2 <= 0 (Si produce en maquina 2, se considera CF 2) X3 - 2000 Y3 <= 0 (Si produce en maquina 3, se considera CF 3) X4 - 2000 Y4 <= 0 (Si produce en maquina 4, se considera CF 4) X1 <= 900 (Capacidad de la maquina 1) X2 <= 1000 (Capacidad de la maquina 2) X3 <= 1200 (Capacidad de la maquina 3) X4 <= 1600 (Capacidad de la maquina 4)

X i, Yi =0 ó 1 ( i =1, 2, 3, 4. )

En Lindo

1

TABLA

MAQUINA COSTO FIJO ($)

COSTO VARIABLE POR UNIDAD ($)

CAPACIDAD

Yi =

MIN 20 X1 + 24 X2 + 16 X3 + 28 X4 + 1000 Y1 + 920 Y2 + 800 Y3

+ 700 Y4

SUBJECT TO

X1 + X2 + X3 + X4 = 2000

X1 - 2000 Y1 <= 0

X2 - 2000 Y2 <= 0

X3 - 2000 Y3 <= 0

X4 - 2000 Y4 <= 0

X1 <= 900

X2 <= 1000

X3 <= 1200

X4 <= 1600

END

GIN X1

GIN X2

GIN X3

GIN X4

INTE Y1

INTE Y2

INTE Y3

INTE Y4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 37000.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 800.000000 20.000000 X2 0.000000 24.000000 X3 1200.000000 16.000000 X4 0.000000 28.000000 Y1 1.000000 1000.000000 Y2 0.000000 920.000000 Y3 1.000000 800.000000 Y4 0.000000 700.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 1200.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 800.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 100.000000 0.000000 8) 1000.000000 0.000000

1

9) 0.000000 0.000000 10) 1600.000000 0.000000

NO. ITERATIONS = 26 En conclusión:

El productor para minimizar sus costos totales deberá producir 800 productos en la maquina 1 y 1200 productos en la maquina 3, de esta manera incurrirá en menos costos fijos y variables. Con esto la empresa incurrirá en un costo total de 37 000 dólares.

PROBLEMA 18

Monsanto produce anualmente 359 millones de libras de anhídrido maleico. DisponeDe un total de cuatro reactores para elaborar este producto. Cada reactor tiene la aptitud de funcionar en uno de tres regimenes. El costo (en miles de dólares) y libras producidas 8en millones) anuales para cada reactor y cada régimen se proporcionan en la séte tabla. Un reactor solo puede funcionar a un régimen el año completo. Prepare un P.E cuya solución indique a Monsanto el método de costo mínimo para cumplir con su demanda anual de anhídrido maleico.

MODEL:

SETS:

REACTOR/RX1 RX2 RX3 RX4/:P;REGIMEN/RM1 RM2 RM3/;FUNC(REACTOR,REGIMEN):X,COSTO,LIBRAS;

¡DEFINICION DE ATRIBUTOS:;¡P:RESTRICCION DE QUE UN REACTOR SOLO PUEDE TRABAJAR A UN REGIMEN EN UN AÑO;¡COSTO:EN MILES DE DOLARES;¡LIBRAS:CANTIDAD DE LIBRAS PRODUCIDAS EN EL REACTOR; ENDSETS

DATA:

COSTO = 50 80 100 65 90 120 70 90 110 40 60 70;

LIBRAS = 80 140 170 100 140 215 112 153 195 65 105 130;

ENDDATA

@FOR(REACTOR(J):@SUM(REGIMEN(I):X(I,J))<=P(I));

2

@FOR(REGIMEN(I):@BIN(P(I));@FOR(FUNC(I,J):@SUM(FUNC:COSTO*X(I,J))=359);MAX=@SUM(FUNC:LIBRAS(I,J)*X(I,J));

END

El reactor 2 y el reactor 4 serán los que trabajen con el régimen 3 durante todo el año

Problema 20 Gasahol, Inc. Tiene 14 000 galones de una mezcla de gasolina y alcohol almacenada en suinstalación de Fresno y 16 000 galones almacenados en su instalación de Bakersfield. Desde estas instalaciones, Gasahol debe proveer a Fresh Food Farms (FFF) 10 000 galones y a American Growers (AG) 20 000 galones. El costo de embarcar un galón desde cada instalación de almacenado a cada cliente es:

Formule un modelo de programación lineal para determinar el plan de embarque de costo mínimo que satisfaga las restricciones de provisión y demanda.

Planteo Gráfico:

Variables de Decisión:

FRFFF: Cantidad de galones para proveer de Fresno a Fresh Food Farms.FRAG: Cantidad de galones para proveer de Fresno a American Growers.BKFFF: Cantidad de galones para proveer de Bakersfield a Fresh Food Farms.BKAG: Cantidad de galones para proveer de Bakersfield a American Growers.

2

Restricciones de no negatividad:

FRFFF, FRAG, BKFFF y BKAG >= 0

Restricciones de Disponibilidad:

FRFFF + BKFFF >= 10000FRAG + BKAG >= 20000FRFFF + FRAG <= 14000BKFFF + BKAG <= 16000Función Objetivo:

Min = ( FRFFF * 0.04 ) + ( FRAG * 0.06 ) + ( BKFFF *0.05 ) + ( BKAG * 0.03)

Mediante Lindo:

MIN 0.04 FRFFF + 0.06 FRAG + 0.05 BKFFF + 0.03BKAG

SUBJECT TO FRFFF + BKFFF >= 10000 FRAG + BKAG >= 20000 FRFFF + FRAG <= 14000 BKFFF + BKAG <= 16000 END

Respuesta en Lindo luego de compilar y ejecutar:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 1120.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST FRFFF 10000.000000 0.000000 FRAG 4000.000000 0.000000 BKFFF 0.000000 0.040000 BKAG 16000.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -0.040000 3) 0.000000 -0.060000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.030000

NO. ITERATIONS= 1

2

PROBLEMA 21Gotham City fue divida en 8 distritos. El tiempo en minutos que tarda una

ambulancia en llegar de un distrito a otro se muestra en la tabla. La población de cada distrito en miles es como se indica:

Distrito 1 2 3 4 5 6 7 8Población 40 30 35 20 15 50 45 60

La ciudad solo tiene 2 ambulancias y desea ubicarlas en tales lugares que se maximice el numero de personas que viven a dos minutos de una ambulancia.

DISTRITO DISTRITO1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 3 4 6 8 9 8 102 3 0 5 4 8 6 12 93 4 5 0 2 2 3 5 74 6 4 2 0 3 2 5 45 8 8 2 3 0 2 2 46 9 6 3 2 2 0 3 27 8 12 5 5 2 3 0 28 10 9 7 4 4 2 2 0

SOLUCION:

Definimos las Variables de Decisión:

Xi = 1 si el distrito i cuenta con ambulancia 0 en caso contrario

Yi = 1 si el distrito i es atendido 0 en caso contrario

Donde i = 1,2,3,4,5,6,7,8

Si se quiere atender a las personas que viven a dos minutos o menos de una de las ambulancias entonces en la siguiente tabla el valor 1 significa si la ambulancia del

2

distrito i atiende en 2 o menos minutos al distrito j , y 0 en caso contrario. La ambulancia de un distrito atiende a su propio distrito en 0 min.

DISTRITO

DISTRITO1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 0 0 0 0 0 0 02 0 1 0 0 0 0 0 03 0 0 1 1 1 0 0 04 0 0 1 1 0 1 0 05 0 0 1 0 1 1 1 06 0 0 0 1 1 1 0 17 0 0 0 0 1 0 1 18 0 0 0 0 0 1 1 1

o La tabla anterior va a estar representada por el parámetro tviajeij

Definimos la siguiente FUNCION OBJETIVO:

MAX Z= 40 Y( 1) + 30 Y( 2) + 35 Y( 3) + 20 Y( 4) + 15 Y( 5) + 50 Y( 6)+ 45 Y( 7) + 60 Y( 8)

RESTRICCIONES:

o RESTRICCION 1: La ciudad solo tiene dos ambulancias.

X( 1) + X( 2) + X( 3) + X( 4) + X( 5) + X( 6) + X( 7) + X( 8) = 2

o RESTRICCION 2: En cada una de las siguientes ecuaciones se muestra cuales son los distritos Xi que pueden atender a un distrito Yj . Por ejemplo en la tercera ecuación si por lo menos uno de los distritos 3, 4 ,5 posee una ambulancia entonces Y(3) podria ser 0 o 1 (1 >=Y(3)) y como Y(3) esta en la función objetivo y esta es de maximización el valor de Y(3) seria 1, es decir que la ciudad si es atendida.

X( 1) - Y( 1) >= 0X( 2) - Y( 2) >= 0X( 3) - Y( 3) + X( 4) + X( 5) >= 0X( 3) + X( 4) - Y( 4) + X( 6) >= 0X( 3) + X( 5) - Y( 5) + X( 6) + X( 7) >= 0X( 4) + X( 5) + X( 6) - Y( 6) + X( 8) >= 0X( 5) + X( 7) - Y( 7) + X( 8) >= 0X( 6) + X( 7) + X( 8) - Y( 8) >= 0

2

FORMULACION EN LINGO:

!x= 1-->si el distrito cuenta con la ambulancia 0-->si el distrito no cuenta con la ambulancia ;!y= 1-->si el distrito es atendido 0-->si el distrito no es atendido;!pob= cantidad de pobladores de un distrito; !tviaje=posibilidad de viaje segun el tiempo que requiera de un distrito a otro;

sets:distrito/1..8/:pob,x,y;

distime(distrito,distrito):tviaje;endsets

data:tviaje=1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1;pob=40,30,35,20,15,50,45,60; enddata

max=@sum(distrito(i):pob(i)*y(i));!RESTRICCION 1;@sum(distrito:x)=2;!RESTRICCION 2;@for(distrito(j):@sum(distrito(i):tviaje(i,j)*x(i))>=@sum(distrito(j):y(j)));! X e Y SON VARIABLES BINARIAS;@for(distrito:@bin(x););@for(distrito:@bin(y););end

2

SOLUCION EN LINGO:

El máximo número de personas atendidas es 225. Para que esto ocurra los distritos con ambulancia deben ser el 3 y 8. Se va a dejar de atender a los distritos 1 y 2.

ROBLEMA 22

Una compañía debe terminar tres trabajos. El tiempo de proceso ( en minutos) requerido

se muestra en la tabla. Un trabajo no se pueda procesar en la maquina j a menos que

para toda i<j el trabajo ha completado su proceso en la maquina i. Una vez que un

trabajo empieza su proceso en la maquina j, dicho trabajo debe continuar en la maquina

j . El tiempo de flujo para un trabajo es la diferencia entre su tiempo de terminación y el

tiempo en el cual el trabajo empieza su primera etapa de proceso. Planteé un PE cuya

solución se pueda usar para minimizar el tiempo de flujo promedio de los tres trabajos.

SOLUCION EN LINGO:

2

MaquinaTrabajo 1 2 3 4

1 20 - 25 302 15 20 - 183 - 35 28 -

SETS:TRABAJO/1..3/:;MAQUINA/1..4/:;MATRIZ(TRABAJO,MAQUINA):T,X,Y;ENDSETS

DATA:T=20 0 25 30 15 20 0 18 0 35 28 0;!M, mayor valor posible para quer no afecte a las restricciones M=1000;ENDDATA

MIN=@SUM(MATRIZ(I,J):X(I,J));!tiempo para trabajar c/u de los 3 trabajos >= tiempo establecido para optimizar la produccion por ejemplo:X(1,1)<=MY(1,1)20-X(1,1)<=M*(1-Y(1,1); @FOR(TRABAJO(I):@FOR(MAQUINA(J):X(I,J)<=M*Y(I,J)));@FOR(TRABAJO(I):@FOR(MAQUINA(J):T(I,J)-X(I,J)<=M*(1-Y(I,J))));

!cada maquina debe realizar solo un trabajo completo @FOR(MAQUINA(J):@SUMA(TRABAJO(I):Y(I,J)=1);

!el producto1 solo requiere 3 procesos;Y(1,1)+Y(2,1)+Y(1,3)+Y(1,4)=3;



!Y es la variable binaria;@FOR(MATRIZ(I,J):@BIN(Y(I,J)));

Problema 26:

El gobernador Blue del estado de Berry pretende conseguir la legislatura del estado para dividir injusta y arbitrariamente los distritos electorales de de Berry. El estado consiste en 10 ciudades y el número de republicanos y demócratas (en miles) en cada ciudad es el que se presenta en la tabla. Berry tiene cinco representantes electorales. Para formar los distritos electorales; las ciudades se tienen que agrupar según las restricciones siguientes.1.- Todos los electores en un a ciudad deben estar en el mismo distrito.2.- cada distrito debe tener entre 150000 y 250000 electores (no hay electores independientes).El gobernador Blue es demócrata. Suponga que cada votante siempre vota por todos los candidatos de un partido. Formule un PE que para ayudar al gobernador Blue a maximizar el número de demócratas que ganaran curules en el congreso.TablaCiudad Republicanos Demócratas1 80 342 60 443 40 444 20 245 40 1146 40 647 70 148 50 119 70 5410 70 64

Solución:Xi = 1: si ganan los demócratas en el distrito i 0: caso contrarioYij =cantidad de votantes del tipo j (1=Demócratas, 2= Republicanos)Wij = 1 si los pobladores de la ciudad j pertenecen al distrito i 0 caso contrarioMax Z = X1 + X2+ X3+ X4 + X5

Y11 + Y12 ≥ 150000Y21 + Y22 ≥ 150000Y31 + Y32 ≥ 150000Y41 + Y42 ≥ 150000Y51 + Y52 ≥ 150000Y11 + Y12 ≥ 250000Y21 + Y22 ≥ 250000Y31 + Y32 ≥ 250000Y41 + Y42 ≥ 250000

2

Y51 + Y52 ≥ 250000Y12 = 80 W11 + 60 W12 + 40 W13 + 20 W14 + 40 W15+40 W16+70 W17 +50 W18 +70 W19+70 W1 10 Y22 = 80 W21 + 60 W22 + 40 W23 + 20 W24 + 40 W25+40 W26+70 W27 +50 W28 +70 W29+70 W2 10 Y32 = 80 W31 + 60 W32 + 40 W33 + 20 W34 + 40 W35+40 W36+70 W37 +50 W38 +70 W39+70 W3 10 Y42 = 80 W41 + 60 W42 + 40 W43 + 20 W44 + 40 W45+40 W46+70 W47 +50 W48 +70 W49+70 W4 10 Y52 = 80 W51 + 60 W52 + 40 W53 + 20 W54 + 40 W55+40 W56+70 W57 +50 W58 +70 W59+70 W5 10 Y11 = 34 W11 + 44 W12 + 44 W13 + 24 W14 + 114 W15+64 W16+14 W17 +44 W18 +54 W19+64 W1 10 Y21 = 34 W21 + 44 W22 + 44 W23 + 24 W24 + 114 W25+64 W26+14 W27 +44 W28 +54 W29+64 W2 10 Y31 = 34 W31 + 44 W32 + 44 W33 + 24 W34 + 114 W35+64 W36+14 W37 +44 W38 +54 W39+64 W3 10 Y41= 34 W41 + 44 W42 + 44 W43 + 24 W44 + 114 W45+64 W46+14 W47 +44 W48 +54 W49+64 W4 10 Y51 = 34 W51 + 44 W52 + 44 W53 + 24 W54 + 114 W55+64 W56+14 W57 +44 W58 +54 W59+64 W5 10 W11 + W21+ W31 + W41 + W51 = 1W12+ W22+ W32 + W42 + W52 = 1W13+ W23+ W33+ W43 + W53= 1W14+ W24+ W34 + W44 + W54 = 1W15+ W25+ W35+ W45+ W55 = 1W16+ W26+ W36 + W46 + W56 = 1W17+ W27+ W37 + W47 + W57 = 1W18+ W28+ W38 + W48 + W58 = 1W19+ W29+ W39 + W49 + W59 = 1W1 10 + W2 10 + W3 10 + W4 10 + W5 10 = 1Y11 - Y12 = a11 – a12

Y21 - Y22 = a21 – a22

Y31 - Y32 = a31 – a32

Y41 - Y42 = a41 – a42

Y51 - Y52 = a51 – a52

a11 ≥ X1

a21 ≥ X2

a31 ≥ X3

a41 ≥ X4

a51 ≥ X5

2

PROBLEMA 26

Houseco Developers planean construir tres edificios de oficinas. El tiempo requerido para terminar cada uno de ellos y la cantidad de trabajadores necesarios para ejecutar la obra en todos los tiempos se proporcionan en la tabla 106. Una vez que se termina un edificio se renta por la siguiente cantidad anual: edificio 1, 50 000 dólares; edificio 2, 30 000 dólares; edificio 3, 40 000 dólares. Houseco afronta las restricciones siguientes:

a Durante cada año se dispone de 60 trabajadores.b Se puede iniciar cuando mucho un edificio durante cualquier año.c El edificio 2 se debe terminar al final del año 4.

Formule un PE que maximice la renta total que gana Houseco al final del año 4.

Tabla 106

Edificio Duración del proyecto (años)Numero de trabajadores

necesarios1 2 302 2 203 3 20

SOLUCION

VARIABLES: i=1, 2, 3; j=1, 2, 3X(i,j)= 1 si el edificio i se empieza a construir en el año j 0 en caso contrario

AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4|________|________|________|________|

X11 X12 X23 X31 X32

FUNCION OBJETIVO (EN MILES DE DOLARES):

MAX Z = 50(4-2) X11 + 50(4-3) X12 + 40(4-3) X31

RESTRICCIONES:

X11 + X31<=1 (restricción del año 1) X23 =1 (restricción del año 2)X13 + X33<=1 (restricción del año 3)

X11 + X13<=1 (restricción del edificio 1)

2

X31 + X33<=1 (restricción del edificio 3)

30 X13 + 20 X31<=60 (restricción mano de obra en el año 1)(30X11 + 20 X31)+20 X23<=60 (restricción mano de obra en el año 2)(30X11 + 20 X31 + 20 X23)+30 X13 + 20 X33<=60 (restricción mano de obra en el año 3)

FORMULACIÓN EN LINGO:

SETS:EDIFICIO /1..3/:NUMTRAB,INGRESO;YEAR/1..3/;EDIFYEAR(EDIFICIO,YEAR):X;ENDSETSDATA:NUMTRAB= 30 20 20;INGRESO= 50 30 40;ENDDATAMAX= 100*X(1,1)+50*X(1,2)+40*X(3,1);@FOR(YEAR(J):@SUM(EDIFICIO(I):X(I,J))<=1);@FOR(EDIFICIO(I):@SUM(YEAR(J):X(I,J))<=1);X(2,3)=1;@SUM(EDIFICIO(I):NUMTRAB*X(I,1))<=60;@SUM(EDIFICIO(I):NUMTRAB*X(I,1)+NUMTRAB*X(I,2))<=60;@SUM(EDIFICIO(I):NUMTRAB*X(I,1)+NUMTRAB*X(I,2)+NUMTRAB*X(I,3))<=60;@FOR(EDIFYEAR:@BIN(X));

SOLUCION EN LINGO:

El máximo ingreso por la renta total de Houseco es 100 mil dólares. El edificio 1 se construye en el año 1, el edificio 2 en el año 3 para que este listo a finales del año 4 y el edificio 3 se empezara a construir recién en el año 4 debido a la restricción de la mano de obra.

Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 100.0000

Variable Value Reduced Cost NUMTRAB( 1) 30.00000 0.000000 NUMTRAB( 2) 20.00000 0.000000 NUMTRAB( 3) 20.00000 0.000000 INGRESO( 1) 50.00000 0.000000 INGRESO( 2) 30.00000 0.000000 INGRESO( 3) 40.00000 0.000000 X( 1, 1) 1.000000 -100.0000 X( 1, 2) 0.000000 -50.00000 X( 1, 3) 0.000000 0.000000 X( 2, 1) 0.000000 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.000000 X( 2, 3) 1.000000 0.000000 X( 3, 1) 0.000000 -40.00000 X( 3, 2) 0.000000 0.000000 X( 3, 3) 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 100.0000 1.000000

3

2 0.000000 0.000000 3 1.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 1.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 30.00000 0.000000 10 30.00000 0.000000 11 10.00000 0.000000

Problema 27: Hay cuatro camiones disponibles para entregar leche a cinco tiendas. La capacidad y los costos de operación diarios de cada camión se muestran en la tabla 107, la demanda de cada tienda puede ser surtida por sólo un camión, pero un camión podría entregar a más de una tienda. La demanda diaria de cada tienda es como se indica: tienda 1, 100 galones; tienda 2, 200 galones; tienda3, 300 galones; tienda 4, 500 galones; tienda 5, 800 galones. Formule un PE con el que se pueda minimizar el costo diario de cumplir con la demanda.

camión capacidad (galones)

costos de operación diarios(dólares)

1 400 45

2 500 50

3 600 55

4 1100 60

Solución

1, si se usa el camión i. (i =1, 2, 3, 4)

0, si no es así.

1, si se usa el camión i para repartir a la tienda j (j=1, 2, 3, 4, 5)x ij= 0, si no es así.

3

yi =

El PE sería:

min z= 45y1+50y2+55y3+60y4

s.a 100x11+200x12+300x13+500x14+800x15<=400y1 (restricción de la capacidad)

100x21+200x22+300x23+500x24+800x25<=500y2

100x31+200x32+300x33+500x34+800x35<=600y3

100x41+200x42+300x43+500x44+800x45<=1100y4

x11 + x21 + x31 + x41=1 (la demanda de cada tienda no puede ser surtida por más de un camión)

x12 + x22 + x32 + x42=1

x13 + x23 + x33 + x43=1

x14 + x24 + x34 + x44=1

x15 + x25 + x35 + x45=1

todas las variables son 0 o 1

EN LINGO EL PROGRAMA SERÍA:

SETS:CAMION/1..4/:CAP,COST,Y;TIENDA/1..5/:DEM;

REPARTO(CAMION, TIENDA):X; ENDSETS

DATA: CAP=400 500 600 1100; COST = 45 50 55 60; DEM= 100 200 300 500 800;ENDDATA

MIN=@SUM(CAMION(I):COST(I)*Y(I));

@FOR(CAMION(I): @SUM(TIENDA(J):X(I,J)*DEM(J))<=CAP(I)*Y(I););

@FOR(TIENDA(I):

@SUM(REPARTO(J,I):X(J,I))=1;);

3

@FOR(CAMION(I): @BIN(Y););@FOR(REPARTO(I,J): @BIN(X(I,J)););

El mínimo costo en que se incurriría para cumplir con la demanda y ajustándose a las restricciones es de 155 dólares.

Problema 28

El estado de Texas efectúa con frecuencia auditorias a compañías que tienen negocios en Texas. Las oficinas centrales de estas compañías están ubicadas a menudo fuera del estado de modo que los auditores tienen que viajar a lugares fuera del estado. Los auditores tienen que hacer al año 500 viajes a ciudades en el noroeste, 400 viajes a ciudades en el oeste medio, 300 viajes a ciudades en el oeste y 400 viajes a ciudades en el sur. Texas está proyectando ubicar a sus auditores en Chicago, Nueva York, Atlanta y Los Ángeles. El costo anual por ubicar auditores en cualquier ciudad es 100 000. El costo por enviar un auditor desde cualquiera de estas ciudades a una región dada del país, se muestra en la tabla 108.

Costo del auditor (dólares)

NoresteOeste medio

Oeste Sur

Nueva York 1 100 1 400 1 900 1 400

Chicago 1 200 1 000 1 500 1 200

Los Ángeles 1 900 1 700 1 100 1 400

Atlanta 1 300 1 400 1 500 1 050

Plantee un PE cuya solución minimice el costo anual que se genera por enviar a los auditores fuera del estado.

Solución:

3

PROBLEMA Nº 28 :

3

El estado de Texas efectúa con frecuencia auditorias a compañías que tienen negocios en Texas. Las oficinas centrales de estas compañías están ubicadas a menudo fuera del estado, de modo que los auditores tienen que viajar a lugares fuera del estado. Los auditores tienen que hacer al año 500 viajes a ciudades en el noreste, 400 viajes a ciudades en el oeste medio, 300 viajes a ciudades en el oeste y 400 viajes a ciudades en el sur. Texas esta proyectando ubicar a sus auditores en Chicago, Nueva York, Atlanta y Los Ángeles.

El costo anual por ubicar auditores en cualquier ciudad es 100 000. El costo por enviar un auditor desde cualquiera de estas ciudades a una región dada del país, se muestra en la siguiente tabla.

CIUDADCOSTO DE AUDITOR (miles dólares)

NORESTE OESTE MEDIO

OESTE SUR

Nueva York 1 100 1 400 1 900 1 400Atlanta 1 200 1 000 1 500 1 200Chicago 1 900 1 700 1 100 1 400Los Ángeles 1 300 1 400 1 500 1 050

Solución:

Xij = Cantidad de viajes de los auditores de la ciudad i ( i = 1: NY,2:A, 3:C, 4:LA) hacia una región j ( j = 1: NO, 2:OM , 3: O, 4: S)

1, si el auditor es asignado a la ciudad i ( i = 1: NY, 2:A, 3:C, 4:LA)

0, si no es así.


Función objetivo es:

Min z = COSTO X ASIGNAR AUDITORES + COSTO X VIAJE DE AUDITORES

Costo x viajes de auditores :

1 100 * X11+ 1 400 * X12 +1 900 * X13 + 1 400 * X14 + 1 200 * X12 + 1000 *X22 + 1 500 * X23 + 1 200 * X24 + 1 900 * X31+ 1 700 * X32 + 1 100 * X33 + 1 400 * X34 + 1 300 * X41

+ 1 400 * X42 + 1 500 * X43 + 1 050 * X44

Costo x asignar auditores :

3

Yi =

100 000Y1 + 100 000 Y2 + 100 000Y3 +100 000 Y4

Restricciones :

Restricción de cantidad de viajes:

Noreste:X11+ X21 + X31 + X41 >= 500

Oeste Medio: X12+ X22 + X32 + X42 >= 400

Oeste: X13+ X23+ X33 + X43 >= 300

Sur: X13+ X23+ X33 + X44 >= 400

Restricción de asignación de auditores:

M= un numero muy grande

El auditor 1 puede ir a una región que pueden ser (j=1, 2, 3, 4)

X11+ X12 + X13 + X14 <= M * Y1


X21 + X22 + X23 + X24 <= M * Y2


X31+ X32 + X33 + X34 <= M * Y3


X41+ X42 + X43 + X44 <= M * Y4

3

Yi = 0 ó 1 (i = 1:A, 2:B, 3:C, 4:D) , (j = 1, 2, 3, 4)

Xi,j >= 0 (i = 1:A, 2:B, 3:C, 4:D) , (j = 1, 2, 3, 4)

El programa del Lingo es:

!COSTOS EN DOLARES;!M=VALOR MUY GRANDE;!Y =1 O 0 (1 = SI SE ASIGNA AUDITOR EN LA CIUDAD Y 0 = SI NO LO ES A SI);!CANT_V= CANTIDAD DE VIAJES HACIA LAS REGIONES;!COST_V= COSTO POR VIAJE A LA CIUDAD I HACIA LA REGION J;!COST_A= COSTO POR ASIGNAR UN AUDITOR A UNA LA CIUDAD;

SETS:CIUDAD /1..4/: Y;REGION /1..4/: CANT_V;

VIAJES (CIUDAD,REGION) : COST_V,X;ENDSETS

DATA: COST_V = 1100 1400 1900 1400 1200 1000 1500 1200

1900 1700 1100 1400 1300 1400 1500 1050 ;

CANT_V = 500 400 300 400 ; M=10000000000; COST_A=100000;ENDDATA

MIN=@SUM(VIAJES :COST_V*X)+ @SUM(CIUDAD:Y)*COST_A;

! RESTRICION DE VIAJES;

@FOR(REGION(J):@SUM(CIUDAD(I):X(I,J))>=CANT_V(J));

! RESTRICCION DE ASIGNACION DE AUDITORES;

@FOR(CIUDAD(I):@SUM(REGION(J):X(I,J))<=M*Y(I));

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS; @FOR(CIUDAD(I):@BIN(Y));

MODEL: [_1] MIN= 1100 * X_1_1 + 1400 * X_1_2 + 1900 * X_1_3 + 1400 * X_1_4 +

3

1200 * X_2_1 + 1000 * X_2_2 + 1500 * X_2_3 + 1200 * X_2_4 + 1900 * X_3_1 + 1700 * X_3_2 + 1100 * X_3_3 + 1400 * X_3_4 + 1300 * X_4_1 + 1400 * X_4_2 + 1500 * X_4_3 + 1050 * X_4_4 + 100000 * Y_1 + 100000 * Y_2 + 100000 * Y_3 + 100000 * Y_4 ; [_2] X_1_1 + X_2_1 + X_3_1 + X_4_1 <= 500 ; [_3] X_1_2 + X_2_2 + X_3_2 + X_4_2 <= 400 ; [_4] X_1_3 + X_2_3 + X_3_3 + X_4_3 <= 300 ; [_5] X_1_4 + X_2_4 + X_3_4 + X_4_4 <= 400 ; [_6] X_1_1 + X_1_2 + X_1_3 + X_1_4 - 10000000000 * Y_1 <= 0 ; [_7] X_2_1 + X_2_2 + X_2_3 + X_2_4 - 10000000000 * Y_2 <= 0 ; [_8] X_3_1 + X_3_2 + X_3_3 + X_3_4 - 10000000000 * Y_3 <= 0 ; [_9] X_4_1 + X_4_2 + X_4_3 + X_4_4 - 10000000000 * Y_4 <= 0 ; @BIN( Y_1); @BIN( Y_2); @BIN( Y_3); @BIN( Y_4); END

CONCLUSIONES:

El menor costo que se puede asignar para tener el costo en auditorias a compañías que tienen negocios en el estado de Texas será por los cálculos obtenidos de 2010000 dólares al año.

No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de Noreste.No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de OM.No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de Oeste.No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de Sur.

Se ha realizado 500 viajes de la ciudad Chicago a la región de Noreste.Se ha realizado 400 viajes de la ciudad Chicago a la región de OM.No se ha realizado viajes de la ciudad Chicago a la región de Oeste.Se ha realizado 400 viajes de la ciudad Chicago a la región de Sur.

No se ha realizado viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de Noreste.No se ha realizado viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de OM.Se ha realizado 300 viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de Oeste.No se ha realizado viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de Sur.

No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de Noreste.No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de OM.No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de Oeste.No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de Sur.

Como se observa en la ciudad de Chicago y Los Ángeles se han realizado viajes por lo que en estos lugares se asignaran auditores, en tanto como la ciudad de Nueva York y de Atlanta no se han realizado viajes no se asignaran auditores.

Problema 29:

3

Alumno: milla luyo

Usted fue asignado para acomodar las canciones del ultimo álbum de Madona en la versión audio cinta. Una cinta tiene dos lados ( 1 y 2 ). Las canciones de cada lado de la cinta deben hacer en total entre 14 y 16 minutos de duración. La duración y tipo de cada canción se proporcionan en la tabla 28.

Las asignaciones de canciones en la cinta debe cumplir con las condiciones siguientes:

1. Cada lado debe llevar dos baladas, exactamente.

2. El lado 1 debe tener por lo menos tres canciones hit

3. La canción 5 o la canción 6 tiene que estar en el lado 1.

4. Si las canciones 2 y 4 están en el lado 1, entonces la canción 5 debe estar en el lado 2.

1 Balada 42 Hit 53 Balada 34 Hit 25 Balada 46 Hit 37 58 Balada y Hit 4

Solución:

Considerando a M un valor grande.

4

CanciónTipo

Duración ( min. )

1; Si en el lado i esta la canción numero j.Xij = 0; Si no es así

Función objetivo:

max Z = X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 + X18 + X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 + X27 + X28 Sujeto a:

2) 4 X11 + 5 X12 + 3 X13 + 2 X14 + 4 X15 + 3 X16 + 5 X17 + 4 X18 <= 16 3) 4 X11 + 5 X12 + 3 X13 + 2 X14 + 4 X15 + 3 X16 + 5 X17 + 4 X18 >= 14 4) 4 X21 + 5 X22 + 3 X23 + 2 X24 + 4 X25 + 3 X26 + 5 X27 + 4 X28 <= 16 5) 4 X11 + 5 X12 + 3 X13 + 2 X14 + 4 X15 + 3 X16 + 5 X17 + 4 X18 >= 14 6) X11 + X13 + X15 + X18 = 2 7) X21 + X23 + X25 + X28 = 2 8) X12 + X14 + X16 + X18 >= 3 9) X15 + X16 >= 1 10) X12 + X14 >= M (1 - X25)

END INTE X11 INTE X12 INTE X13 INTE X14 INTE X15 INTE X16 INTE X17 INTE X18 INTE X21 INTE X22 INTE X23 INTE X24 INTE X25 INTE X26 INTE X27 INTE X28

Problema 29:

4

Una compañia de consultoria tiene 10 empleados ,cada uno de los cuales puede trabajar cuando mucho en 2 proyectos de grupos.Hay 6 proyectos en planes .Cada proyecto requiere 4 de nuestros 10 trabajadores. Los trabajadores necesarios y las ganancias generadas en cada proyecto se muestra en la tabla 109.A cada trabajador que interviene en cualquier proyecto se debe pagar el anticipo de la tabla 110 .Por ultimo ,cada trabajador que interviene en un proyecto se le paga la tarifa del proyecto que se muestra en la tabla 111.¿Como se puede maximizar su ganancia?

Tabla 109Proyecto Trabajadore

s necesariosRendimiento($)

1 1,4,5,8 100002 2,3,7,10 150003 1,6,8,9 60004 2,3,5,10 80005 1,6,7,9 120006 2,4,8,10 9000

Tabla 110Trabajadores

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Anticip

o800 500 600 700 800 600 400 500 400 500

Tabla 111Proyecto

1 2 3 4 5 6Tarifa($) 250 300 250 300 175 180

Resolución:

1, si el trabajador i integra el grupo de trabajo del proyecto jXij = 0, si no es así.

1, si se realiza el proyecto iYi = 0, si no es asi.

Funcion objetivo es:

Max z= 10000*Y1 + 15000*Y2 + 6000*Y3 + 8000*Y4 + 12000*Y5 + 9000*Y6 – 800*(X11+X13+X15) – 500*(X12+X24+X26) – 600*(X32+X34) – 700*(X41+X46) –

4

800*(X51+X54) – 600*(X63+X65) – 400(X72+X75) – 500(X81+X83+X86) – 400*(X93+X95) – 500*(X102+X104+X10 6) – 250*( X11 + X41 + X51 + X81 ) – 300*( X22 + X32 + X72 + X10.2) – 250*( X13 + X62 + X83 + X93) – 300*( X24 + X34 + X54 + X10 4) – 175*( X15 + X65 + X75 + X95) – 180*( X26 + X46 + X86+ X10 6) Sujeto a:

Restricción de participación de cada trabajador en cada proyecto

X11+X12+X13+ X14+X15+X16 ≤ 2X21+X22+X23+ X24+X25+X26 ≤ 2 X31+X32+X33+ X34+X35+X36 ≤ 2X41+X42+X43+ X44+X45+X46 ≤ 2X51+X52+X53+ X54+X55+X56 ≤ 2X61+X62+X63+ X64+X65+X66 ≤ 2X71+X72+X73+ X74+X75+X76 ≤ 2X81+X82+X83+ X84+X85+X86 ≤ 2X91+X92+X93+ X94+X95+X96 ≤ 2X10 1+X10 2+X10 3+ X10 4+X10 5+X10 6 ≤ 2

Restricción de participación necesaria por proyecto

X11 + X41 + X51 + X81 >= 4*Y1

X22 + X32 + X72 + X10 2 >= 4*Y2

X13 + X62 + X83 + X93 >= 4*Y3

X24 + X34 + X54 + X10.4 >= 4*Y4

X15 + X65 + X75 + X95 >= 4*Y5

X26 + X46 + X86+ X10 6 > = 4*Y6

El Programa de Lingo es:

4

SETS:TRABAJADOR/1..10/:ANTICIPO;PROYECTO/1..6/:TARIFA,RENDIMIENTO,Y;MATRIZ(TRABAJADOR,PROYECTO):X;

ENDSETS

DATA:ANTICIPO = 800 500 600 700 800 600 400 500 400 500;TARIFA = 250 300 250 300 175 180;RENDIMIENTO = 10000 15000 6000 8000 12000 9000;

MAXIMOP = 2;

ENDDATA

MAX=@SUM(PROYECTO:RENDIMIENTO*Y)- 800*(X(1,1)+X(1,3)+X(1,5) ) - 500*(X(1,2)+X(2,4)+X(2,6)) - 600*(X(3,2)+X(3,4)) - 700*(X(4,1)+X(4,6)) - 800*(X(5,1)+X(5,4)) - 600*(X(6,3)+X(6,5)) - 400*(X(7,2)+X(7,5)) - 500*(X(8,1)+X(8,3)+X(8,6)) - 400*(X(9,3)+X(9,5)) - 500*(X(10,2)+X(10,4)+X(10,6)) - 250*(X(1,1)+X(4,1)+X(5,1)+X(8,1)) - 300*(X(2,2)+X(3,2)+X(7,2)+X(10,2)) - 250*(X(1,3)+X(6,3)+X(8,3)+X(9,3)) - 300*( X(2,4)+X(3,4)+X(5,4)+X(10,4)) - 175*(X(1,5)+X(6,5)+X(7,5)+X(9,5)) - 180*(X(2,6)+X(4,6)+X(8,6)+X(10,6));

!RESTRICCION DE CAPACIDAD DEL TRABAJADOR;@FOR(TRABAJADOR(I):@SUM(PROYECTO(J):X(I,J))<=MAXIMOP);

!RESTRICCION DE TRABAJADOR POR PROYECTO;X(1,1)+X(4,1)+X(5,1)+X(8,1) >=4*Y(1);

X(2,2)+X(3,2)+X(7,2)+X(10,2)>=4*Y(2); X(1,3)+X(6,3)+X(8,3)+X(9,3) >=4*Y(3);

Nota 1: No se pudo probar el Programa puede encontrar un Lingo de otra version pues la cantidad de variables binarias es superior al limite que presenta esta version.Nota 2: Se intento tratar de reducir el número de variables pero no llegue a ninguna solución.Nota 3: Gran parte de las restricciones se encuentran escritas en forma literal pues no encontre la regla de adecuada para poder solo visualizar las variables que se necesitan para la resolución de este problema.

Problema 29.

Una compañía de consultaría tiene 10 empleados , cada uno de los cuales puede trabajar cuando mucho en dos proyectos de grupo. Hay seis proyectos en planes . Cada proyecto requiere cuatro de nuestros 10 trabajadores . los trabajadores necesarios y las ganancias generadas en cada proyecto se muestran en la tabla 1.A cada trabajador que interviene en cualquier proyecto se debe pagar el anticipo de de la tabla 2. Por ultimo cada trabajador que interviene en un proyecto se le paga la tarifa del proyecto que se muestra en la tabla 3.

¿Cómo se puede maximizar la ganancia ?

TABLA 1PROYECTO TRABAJADORES

NECESARIOSRENDIMIENTO

(DOLARES )1 1,4,5,8 100002 2,3,7,10 150003 1,6,8,9 60004 2,3,5,10 80005 1,6,7,9 120006 2,4,8,10 9000

TABLA 2TRABAJADOR

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Anticipo(Dólares) 800 500 600 700 800 600 400 500 400 500

TABLA 3PROYECTO

1 2 3 4 5 6TARIFA(DOLARES) 250 300 250 300 175 180

Solución

4

MODEL:SETS:

TRABAJADOR/1..10/:ANTICIPO, Y ; PROYECTO/1..6/:R, T, Z; MATRIZ(PROYECTO , TRABAJADOR):C, X ;

ENDSETS

DATA: ANTICIPO = 800 500 600 700 800 600 400 500 400 500; RENDIMIENTO = 10000 15000 6000 8000 12000 9000; TARIFA = 250 300 250 300 175 180;

C = 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1;

ENDDATA

MAX = @SUM(PROYECTO(I):R(I)*Z(I))+@SUM(TRABAJADOR(I):ANTICIPO(I)*Y(I))+@SUM(PROYECTO(I):T(I)*X(I,J)); ! RESTRICCIONES;@FOR(TRABAJADOR(J):@SUM(PROYECTO(I):X(I,J)*C(I,J))<=2 );@FOR(TRABAJDOR(J):@SUM(PROYECTO(I): X(I,J))<=2);@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(I): X(I,J))>=M*Y(I));@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(J): X(I,J))>=M*Z(J));@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(J): X(I,J)*C(I,J))<=4);@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(J): X(I,J))<=4);

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;@FOR(MATRIZ(I,J):@BIN(X));@FOR(PROYECTO(I):@BIN(Z));@FOR(TRABAJADOR(I):@BIN(Y));

END

PROBLEMA 30:

4

La ciudad de Nueva Cork tiene 10 distritos de recolección de basura y pretende

determinar cuál de los distritos debería un tiradero. Cuesta 1000 dólares acarrear una

tonelada de basura un tramo de una milla. La ubicación de cada distrito, el costo fijo

anual (en millones de dólares) por operar un tiradero, y el costo variable (por tonelada)

por procesar una tonelada de basura en un tiradero, se muestra en la tabla 112.

Por ejemplo, el distrito 3 se localiza en las coordenadas (10,8). El distrito 3 produce 555

toneladas de basura al año, y cuesta un millón de dólares al año en costos fijos operar un

tiradero en el distrito 3. Cada tonelada de basura procesada en el sitio 3 incurre en un

costo variable de 51 dólares.

Cada tiradero puede procesar cuando mucho 1500 toneladas de basura. Cada distrito

debe enviar toda su basura a un solo sitio. Determine dónde localizar los tiraderos de tal

manera que se minimice el costo total por año.

TABLA 112:

Distrito Coordenadas Toneladas Costos(millones de $)x y Fijo Variable

1 4 3 49 2 3102 2 5 874 1 403 10 8 555 1 514 2 8 352 1 3415 5 3 381 3 1316 4 5 428 2 1827 10 5 985 1 208 5 1 105 2 409 5 8 258 4 17710 1 7 210 2 75

SOLUCIÓN:

Xi =

Yi j =

Dij = Distancia del distrito i al distrito j; (Donde i y j = 1, 2, ......10)

FO:

4

1: Si el distrito i, será un tiradero. (i=1,2....10)0: Si el distrito i, no será un tiradero. (i=1,2....10)

1: Si el distrito i manda basura al distrito j (i=1,2....10)

0: Si el distrito i, no manda basura al distrito j. (i=1,2....10)

Min Z = (2 + 49*310)*X1 + (1+40*874)*X2 + (1+51*555)*X3 + (1+341*351)*X4 + (3+131*381)*X5 + (2+182*428)*X6 + (1+20*985)*X7 + (2+40*105)*X8 + (4+177*258)*X9 + (2+75*210)*X10 +

(D11*Y11 + D12*Y21 + D13*Y31 + D14*Y41 + D15*Y51 + D16*Y61 +D17*Y71 +D18*Y81 + D19*Y91 + D110*Y101)*1000*X1

+ (D21*Y12 + D22*Y22 + D23*Y32 + D24*Y42 + D25*Y52 + D26*Y62 +D27*Y72 +D28*Y82 + D29*Y92 + D210*Y102)*1000*X2



+(D51*Y15 + D52*Y25 + D53*Y35 + D54*Y45 + D55*Y55 + D56*Y65 +D57*Y75 +D58*Y85 + D59*Y95 + D510*Y105)*1000*X5






Sa:

X1*(Y11*49+Y12*874+Y13*555+Y14*352+Y15*381+Y16*428+Y17*985+Y18*105+Y19*258+Y110*210) <=1500;

X2*(Y21*49+Y22*874+Y23*555+Y24*352+Y25*381+Y26*428+Y27*985+Y28*105+Y29*258+Y210*210) <=1500;

X3*(Y31*49+Y32*874+Y33*555+Y34*352+Y35*381+Y36*428+Y37*985+Y38*105+Y39*258+Y310*210) <=1500;

X4*(Y41*49+Y42*874+Y43*555+Y44*352+Y45*381+Y46*428+Y47*985+Y48*105+Y49*258+Y410*210) <=1500;

4

RESTRICCION DE LA CAPACIDAD DE LOS TIRADEROS

X5*(Y51*49+Y52*874+Y53*555+Y54*352+Y55*381+Y56*428+Y57*985+Y58*105+Y59*258+Y510*210) <=1500;

X6*(Y61*49+Y62*874+Y63*555+Y64*352+Y65*381+Y66*428+Y67*985+Y68*105+Y69*258+Y610*210) <=1500;

X7*(Y71*49+Y72*874+Y73*555+Y74*352+Y75*381+Y76*428+Y77*985+Y78*105+Y79*258+Y710*210) <=1500;

X8*(Y81*49+Y82*874+Y83*555+Y84*352+Y85*381+Y86*428+Y87*985+Y88*105+Y89*258+Y810*210) <=1500;

X9*(Y91*49+Y92*874+Y93*555+Y94*352+Y95*381+Y96*428+Y97*985+Y98*105+Y99*258+Y910*210) <=1500;

X10*(Y101*49+Y102*874+Y103*555+Y104*352+Y105*381+Y106*428+Y107*985+Y108*105+Y109*258+Y1010*210) <=1500;

Y11+Y21+Y31+Y41+Y51+Y61+Y71+Y81+Y91+Y101<=1;Y12+Y22+Y32+Y42+Y52+Y62+Y72+Y82+Y92+Y102<=1;Y13+Y23+Y33+Y43+Y53+Y63+Y73+Y83+Y93+Y103<=1;Y14+Y24+Y34+Y44+Y54+Y64+Y74+Y84+Y91+Y104<=1;Y15+Y24+Y35+Y45+Y55+Y65+Y75+Y85+Y91+Y105<=1;Y16+Y24+Y36+Y46+Y56+Y66+Y76+Y86+Y91+Y106<=1;Y17+Y24+Y37+Y47+Y57+Y67+Y77+Y87+Y91+Y107<=1;Y18+Y24+Y38+Y48+Y58+Y68+Y78+Y88+Y91+Y108<=1;Y19+Y24+Y39+Y49+Y59+Y69+Y79+Y89+Y91+Y109<=1;Y110+Y24+Y310+Y410+Y510+Y610+Y710+Y810+Y91+Y1010<=1;

El programa en lingo:

SETS:DISTRITO/1..10/:TN,CF,CV,CT,X;DISTANCIA (DISTRITO,DISTRITO):D,Y;ENDSETS

DATA:TN=49 874 555 352 381 428 985 105 258 210;CF=2 1 1 3 2 1 2 4 2;CV=310 40 51 341 131 182 20 40 177 75;D=0 2.83 7.81 5.38 1 2 6.32 2.23 5.09 5 2.83 0 8.54 3 3.61 2 8 5 4.24 2.23 7.81 8.54 0 8 7.07 6.71 3 8.6 5 9.05 5.38 3 8 0 5.83 3.6 7.61 7.62 3 1.41 1 3.61 7.07 5.83 0 1.49 5.38 2 5 5.65 2 2 6.71 3.6 1.49 0 6 4.12 3.16 3.6 6.32 8 3 7.61 5.38 6 0 6.4 5.83 9.22 2.23 5 8.6 7.62 2 4.12 6.4 0 7 7.21

4

CADA DISTRITO DEBE ENVIAR TODA SU BASURA A UN SOLO SITIO.

RESTRICCION DE LA CAPACIDAD DE LOS TIRADEROS

5.09 4.24 5 3 5 3.16 5.83 7 0 4.12 5 2.23 9.05 1.41 5.65 3.6 9.22 7.21 4.12 0;ENDDATA

!FUNCION OBJETIVO;MIN = @SUM(DISTRITO(I):CT(I)*X(I))+@SUM(DISTANCIA(I,J):@SUM(DISTANCIA(I,J):D(I,J)*Y(I,J))*1000*X(I));!COSTO TOTAL;@FOR(DISTRITO:CT=CF+CV*TN);

!RESTRICCIONES;@FOR(DISTANCIA(I,J):@SUM(DISTRITO(I):TN(I)*Y(I,J))*X(I)<=1500);@FOR (DISTANCIA:@SUM(DISTANCIA(I,J):Y(I,1))<=1);

!RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;@FOR(DISTRITO(I):@BIN(X););@FOR (DISTANCIA(I,J):@BIN (Y););

Problema 30:

La universidad estatal tiene que comprar 1100 computadoras de tres vendedores. El vendedor 1 carga 500 dólares por computadora mas un encargo por la entrega de 5000 dólares , el vendedor 2 carga 350 dólares por computadora mas un cargo por la entrega de 4000 dólares. El vendedor 3 carga 250 dólares por computadora mas un cargo por la entrega por de 6000 dólares. El vendedor 1 venderá a lo mas 500 computadoras, el vendedor a los mucho 900 y el vendedor cuando mas 400. Se necesita minimizar el costo de la compra de computadoras necesarias.

SOLUCION:

VARIABLES:

X(i,j) = Cantidad de computadoras que vende el vendedor i

Y(i,j) = 1 Si el vendedor i vende computadoras a la universidad estatal 0 en caso contrario.

FUNCION OBJETIVO:

MIN Z = 5000Y(1) + 4000Y(2) + 6000Y(3) + 500X(1) + 350X(2) + 250X(3)

RESTRICCIONES:

o RESTRICCION 1: La universidad estatal tiene que comprar 1100 computadoras de tres vendedores.

X( 1) + X( 2) + X( 3) >= 1100

o RESTRICCION 2: Lo máximo que puede vender cada vendedor:

4

X( 1) <= 500X( 2) <= 900X( 3) <= 400

o RESTRICCION 3: Si la universidad compra computadoras al vendedor i entonces también tendrá que pagar el cargo respectivo por la entrega de computadoras.

1000000 Y( 1) + X( 1) <= 01000000 Y( 2) + X( 2) <= 01000000 Y( 3) + X( 3) <= 0


! MODELO DE WINSTON CAP 9 # PROB 6

COSTOS EN DOLARES; !M=VALOR MUY GRANDE;!COSTOE ES EL COSTO DE ENTREGA;!X CANTIDAD DE COMPUTADORAS QUE VENDE EN VENDEDOR I;!Y 1 SI EL VENDEDOR I VENDCOMPUTADORAS! 0 EN CASO CONTRARIO;SETS:

VENDEDOR/1..3/:COSTOE,COSTO,X,Y,MAXVEND; ENDSETS

DATA: COSTOE = 5000 4000 6000; COSTO = 500 350 250; MAXVEND= 500 900 400; M=1000000; REQUERIMIENTO=1100;ENDDATA

MIN=@SUM(VENDEDOR(I):COSTO(I)*X(I))+@SUM(VENDEDOR(I):COSTOE(I)*Y(I)); ! RESTRICCION 1; @SUM(VENDEDOR(I):X(I))>=REQUERIMIENTO;

! RESTRICCION DE 2; @FOR(VENDEDOR(I): X(I)<=MAXVEND(I); );! RESTRICCION DE 3;

@FOR(VENDEDOR(I): X(I)<=M*Y(I); );

5

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;@FOR(VENDEDOR(I): @BIN(Y););

SOLUCION EN LINGO:

El mínimo costo para comprar computadoras es de 355 000 dolares, y la universidad tendrá que comprar 700 y 400 computadoras a los vendedores 1 y 2 respectivamente.


Variable Value Reduced Cost M 1000000. 0.0000000 REQUERIMIENTO 1100.000 0.0000000 COSTOE( 1) 5000.000 0.0000000 COSTOE( 2) 4000.000 0.0000000 COSTOE( 3) 6000.000 0.0000000 COSTO( 1) 500.0000 0.0000000 COSTO( 2) 350.0000 0.0000000 COSTO( 3) 250.0000 0.0000000 X( 1) 0.0000000 150.0000 X( 2) 700.0000 0.0000000 X( 3) 400.0000 0.0000000 Y( 1) 0.0000000 5000.000 Y( 2) 1.000000 4000.000 Y( 3) 1.000000 6000.000 MAXVEND( 1) 500.0000 0.0000000 MAXVEND( 2) 900.0000 0.0000000 MAXVEND( 3) 400.0000 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 355000.0 1.000000 2 0.0000000 -350.0000 3 500.0000 0.0000000 4 200.0000 0.0000000 5 0.0000000 100.0000 6 0.0000000 0.0000000 7 999300.0 0.0000000 8 999600.0 0.0000000

5

PROBLEMA30:

La ciudad de Neva York tiene 10 distritos de recoleccion de basura y pretende determinar cual de los distritos deberia ser un tiradero. Cuesta 1 000 dolares acarrear una tonelada de basura un tramo de una milla. La ubicación de cada distrito, la cantidad de toneladas de basura producidas en un año por el distrito, el costo fijo anual (en millones de dólares) por operar un tiradero, y el costo variable(por tonelada) por procesar una tonelada de basura en un tiradero, se muestra en la tabla 112.

Distrito Coordenadas x

Coordenadas y

toneladas Costo fijo (millones)

Costo variable(millones)

1 4 3 49 2 3102 2 5 874 1 403 10 8 555 1 514 2 8 352 1 3415 5 3 381 3 1316 4 5 428 2 1827 10 5 985 1 208 5 1 105 2 409 5 8 258 4 17710 1 7 210 2 75

Por ejemplo el distrito 3 se localiza en las coordenadas (10,8). El distrito 3 produce 555 toneladas de basura al año, y cuesta un millon de dolares al año en costos fijos operar un tiradero en el distrito 3. Cada tonelada de basura procesada en el sitio 3 incurre en un costo variable de 51 dólares.Cada tiradero puede procesar cuando mucho 1500 toneladas de basura. Cada distrito debe enviar toda su basura a un solo sitio. Determine dónde localizar los tiraderos de tal manera que se minimice el costo total por año.

Soluciòn(LINGO)

min 2015190x1+1034960x2+1028305x3+120032x4+3049911x5+ 2077896x6+1019700x7+2004200x8+4045666x9+2015750x10 +7000x1+7000x2+18000x3+10000x4+8000x5+9000x6+15000x7 +6000x8+13000x9+8000x10 subject to49x1+874x2+555x3+352x4+381x5+428x6+985x7+105x8+258x9+210x10<=15000end

INT X1INT X2INT X3

5

INT X4INT X5INT X6INT X7INT X8INT X9INT X10

Problema 31:

Usted es el Gerente de ventas de Eli Lilly. Ud. Desea Ubicar oficinas de ventas en cuatro de las ciudades de la tabla 1. La cantidad de llamadas telefónica de ventas (en miles) Que se deben hacer en cada ciudad que se dan e n la tabla 1. por ejemplo San Antonio requiere 2000 llamadas y está a 602 millas de Phoenix. La distancia entre cada ciudad se da en la tabla 2. ¿En donde se deben ubicar las oficinas centrales con el objeto de minimizar la distancia total que se debe recorrer para hacer las llamadas necesarias?

Tabla N° 1

Ciudad (i)Llamada requeridas

(en miles)San Antonio (1) 2Phoenix (2) 3Los Angeles (3) 6Seattle (4) 3Detroit (5) 4Minneapolis (6) 2Chicago (7) 7Atlanta (8) 5Nueva York (9) 9Boston (10) 5Filadelfia (11) 4

Tabla N° 2

San

Antonio PhoenixLos

Angeles Sealtle Detroit Minneap. Chicago AtlantaNueva York Boston Filadelfia

San Antonio 0 602 1376 1780 1262 1140 1060 935 1848 2000 1668Phoenix 602 0 851 1193 1321 1026 1127 1290 2065 2201 1891Los Angeles 1376 851 0 971 2088 1727 1914 2140 2870 2995 2702Sealtle 1780 1193 971 0 1834 1432 1734 2178 2620 2707 2486Detroit 1262 1321 2088 1834 0 403 205 655 801 912 654Minneapolis 1140 1026 1727 1432 403 0 328 876 1200 1304 1057Chicago 1060 1127 1914 1734 205 328 0 564 957 1082 794Atlanta 935 1290 2140 2178 655 876 564 0 940 1096 765Nueva York 1848 2065 2870 2620 801 1200 957 940 0 156 180Boston 2000 2201 2995 2707 912 1304 1082 1096 156 0 333Filadelfia 1668 1891 2702 2486 654 1057 794 765 180 333 0

5

PROBLEMA N°

SOLUCIÓNDenotaremos las ciudades por códigos asignados:

Sea Xj = la ruta que debe realizar de una ciudad a otra

Xj= 1 Si se hace la ruta 0 Si no se realiza

j = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,.....55

entonces: grafico de las rutas será como se muestra en la tabla:

San Antonio Phoenix

Los Angeles Sealtle Detroit Minneap. Chicago Atlanta

Nueva York Boston Filadelfia

San Antonio (1) 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10Phoenix (2) X1 0 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19Los Angeles (3) X2 X11 0 X20 X21 X22 X23 X24 X25 X26 X27Sealtle (4) X3 X12 X20 0 X28 X29 X30 X31 X32 X33 X34Detroit (5) X4 X13 X21 X28 0 X35 X36 X37 X38 X39 X40Minneapolis (6) X5 X14 X22 X29 X35 0 X41 X42 X43 X44 X45Chicago (7) X6 X15 X23 X30 X36 X41 0 X46 X47 X48 X49Atlanta (8) X7 X16 X24 X31 X37 X42 X46 0 X50 X51 X52Nueva York (9) X8 X17 X25 X32 X38 X43 X47 X50 0 X53 X54Boston (10) X9 X18 X26 X33 X39 X44 X48 X51 X53 0 X55Filadelfia (11) X10 X19 X27 X34 X40 X45 X49 X52 X54 X55 0Llamadas Neces. 2000 3000 6000 3000 4000 2000 7000 5000 9000 5000 4000

Obteniéndose entonces 55 rutas posibles a realizarse

Sea:

Yi = 1 si la Oficina central de ventas está en la ciudad i 0 si no está

i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

La función Objetivo:Minimizar las distancias totales que se debe recorrer para hacer las llamadas necesarias:

Min Z = Y1(602X1+1376X2+1780X3+1262X4+1140X5+1060X6+935X7+1848X8+2000X9+16

68X10)+Y2(602X1+851X11+1193X12+1321X13+1026X14+1127X15+1290X16+2065X17+2201X

18+1894X19)+Y3(1376X2+875X11+971X20+2088X21+1727X22+1914X23+2140X24+2870X25+2995X

26+ 2702X27)+Y4(1780X3+1193X12+971X20+1834X28+1432X29+1734X30+2178X31+2620X32+2707

X33+ 2486+Y5(1262X4+1321X13+2088X21+1834X

28+403X35+205X36+655X37+801X38+912X39+654X40)+

5

Y6(1140X5+1026X14+1727X22+1432X 29+403X35+328X41+876X42+1200X43+1304X44+1057X45)+

Y7(1060X6+1127X15+1914X23+1734X 30+205X36+328X41+564X46+957X47+1082X48+794X49)+

Y8(935X7+1290X16+2140X24+2178X 31+655X37+876X42+564X46+940X5+1096X51+765X52)+

Y9(1848X8+2065X17+2870X25+2620X 32+801X38+1200X43+957X47+940X50+156X53+180X54)+

Y10(2000X9+2201X10+2995X26+2707X 33+912X39+1304X44+1082X48+1096X51+156X53+333X55)+

Y11(1668X10+1891X11+2702X27+2486X 34+654X40+1057X45+794X49+765X52+180X54+333X55)

S.A.

Se desea con cuatro Oficinas centrales para realizar las ventas vía llamadas telefónicas:

Y1+ Y2 + Y3+ Y4+ Y5+ Y6+ Y7 + Y8+ Y9+ Y10 + Y11 = 4

El total de llamadas de las ciudades no debe de exceder de la Oficina central de ventas

(en miles):

• Si una de la oficinas centrales está en San Antonio, cuyas llamas necesarias es

2000:

3X1 + 6X2 + 3X3 + 4X4 + 2X5 + 7X6 + 5X7 + 9X8 + 5X9 + 4X10 <= 2;

• Si una de la oficinas centrales está en Phoenix, cuyas llamas necesarias es 3000: 2X1 + 6X11 + 3X12 + 4X13 + 2X14 + 7X15 + 5X16 + 9X17 + 5X18 + 4X19 <= 3;

• Si una de la oficinas centrales está en Loa Ángeles, cuyas llamas necesarias es

6000:

2X2 + 3X11 + 3X20 + 4X21 + 2X22 + 7X23 + 5X24 + 9X25 + 5X26 + 4X27 <= 6;

• Si una de la oficinas centrales está en Seattle, cuyas llamas necesarias es 3000:

2X3 + 3X12 + 6X20 + 4X28 + 2X29 + 7X30 + 5X31 + 9X32 + 5X33 + 4X34 <= 3;

• Si una de la oficinas centrales está en Detroit, cuyas llamas necesarias es 4000:

2X4 + 3X13 + 6X21 + 3X28 + 2X35 + 7X36 + 5X37 + 9X38 + 5X39 + 4X40 <= 4;

• Si una de la oficinas centrales está en Minneapolis, cuyas llamas necesarias es

2000:

2X5 + 3X14 + 6X22 + 3X29 + 4X35 + 7X41 + 5X42 + 9X43 + 5X44 + 4X45 <= 2;

• Si una de la oficinas centrales está en Chicago, cuyas llamas necesarias es 7000:

2X6 + 3X15 + 6X23 + 3X30 + 4X36 + 2X41 + 5X46 + 9X47 + 5X48 + 4X49 <= 7;

5

• Si una de la oficinas centrales está en Atlanta, cuyas llamas necesarias es 5000: 2X7 + 3X16 + 6X24 + 3X31 + 4X37 + 2X42 + 7X46 + 9X50 + 5X51 + 4X52 <= 5;

• Si una de la oficinas centrales está en Nueva York, cuyas llamas necesarias es 9000:2X8 + 3X17 + 6X25 + 3X32 + 4X38 + 2X43 + 7X47 + 5X50 + 5X53 + 4X54 <= 9;

• Si una de la oficinas centrales está en Boston, cuyas llamas necesarias es 5000:2X9 + 3X10 + 6X26 + 3X33 + 4X39 + 2X44 + 7X48 + 5X51 + 9X53 + 4X55 <= 5;

• Si una de la oficinas centrales está en Filadelfia, cuyas llamas necesarias es 4000:2X10+ 3X11 + 6X27 + 3X34 + 4X40 + 2X45 + 7X49 + 5X52 + 9X54 + 5X55 <= 4;

Resuelto en LINGO:

Probla N° 31 del CAP. 9 del Libro de WINSTON;!Xj = la ruta que debe realizar de una ciudad a otra

Xj= 1 Si se hace la ruta 0 Si no se realiza (j = 1,2,3 ... 55)

Yi = 1 si la Oficina central de ventas está en la ciudad i 0 si no está (j = 1,2,3 ... 11);

SETS:CIUDAD/C1..C11/:Llamadas,Y;Rutas(CIUDAD,CIUDAD):Distancia,X;ENDSETS

DATA:Llamadas=2,3,6,3,4,2,7,5,9,5,4;Distancia= 0 602 1376 1780 1262 1140 1060 935 1848 2000 1668

602 0 851 1193 1321 1026 1127 1290 2065 2201 1891 1376 851 0 971 2088 1727 1914 2140 2870 2995 2702 1780 1193 971 0 1834 1432 1734 2178 2620 2707 2486 1262 1321 2088 1834 0 403 205 655 801 912 654 1140 1026 1727 1432 403 0 328 876 1200 1304 1057 1060 1127 1914 1734 205 328 0 564 957 1082 794 935 1290 2140 2178 655 876 564 0 940 1096 765 1848 2065 2870 2620 801 1200 957 940 0 156 180 2000 2201 2995 2707 912 1304 1082 1096 156 0 333 1668 1891 2702 2486 654 1057 794 765 180 333 0;

ENDDATA!LA FUNCIÓN OBJETIVO;MIN=@SUM(CIUDAD(i):Y(i)*@SUM(Rutas(i,j):Distancia(i,j)*X(i,j)));

!LAS RESTRICIOPNES ENCUNATO AL NUMERO DE OFINAS CENTRALES;@SUM(CIUDAD:Y)=4;

!LAS RESTRICIOPNES ENCUNATO AL NUMERO DE LLAMADAS NECESARIAS;

@FOR(CIUDAD(i):@SUM(Rutas(i,j):Llamadas(i)*X(i,j))<=Llamadas(i));

5

!X e Y SON VARIABLES BINARIAS;@FOR(CIUDAD:@BIN(Y););@FOR(RUTAS:@BIN(Y););END

Problema 31. Una pipa de Sunco Oil tiene 5 compartimientos, con una capacidad de 2700, 2800,

1100, 1800 y 3400 galones de combustible respectivamente. La compañía debe surtir 3 tipos de gasolina (súper, regular y sin plomo) a un cliente. En la tabla se dan las demandas, la multa por galón que falta y el faltante máximo permisible. Cada compartimiento puede llevar solo un tipo de gasolina. Se desea minimizar los costos por faltante de gasolina.

TIPO DE GASOLINA

DEMANDA COSTO POR GALON

FALTANTE

MAXIMA ESCASEZ

PERMITIDASUPER 2900 10 500REGULAR 4000 8 500SIN PLOMO 4900 6 500

SOLUCION:

VARIABLES:

W(i) = Galones de gasolina faltante del tipo i para satisfacer la demanda iX(i,j) = Galones de gasolina del tipo i destinados al compartimiento jY(i,j) = 1 Si el compartimiento j lleva gasolina del tipo i

0 en caso contrario i = 1(súper), 2(regular), 3(sin plomo) j = 1,2,3,4,5

FUNCION OBJETIVO:

MIN Z = 10 W( 1) + 8 W( 2) + 6 W( 3)

RESTRICCIONES:

o RESTRICCION 1: Máxima escasez permitida de la gasolina del tipo i:

W( 1) <= 500W( 2) <= 500W( 3) <= 500

o RESTRICCION 2: Obligaciones con la demanda, donde X es la gasolina destinada a un compartimiento y W es la gasolina faltante para satisfacer la demanda.

X(1,1) + X(1,2) + X(1,3) + X(1,4) + X(1,5) + W(1) = 2900

5

X(2,1) + X(2,2) + X(2,3) + X(2,4) + X(2,5) + W(2) = 4000

X(3,1) + X(3,2) + X(3,3) + X(3,4) + X(3,5) + W(3) = 4900o RESTRICCION 3: Capacidad de los compartimientos, si X(i,j)>0 entonces

Y(i,j) = 1.X( 1, 1) <= 2700 Y( 1, 1)X( 1, 2) <= 2800 Y( 1, 2)X( 1, 3) <= 1100 Y( 1, 3)X( 1, 4) <= 1800 Y( 1, 4)X( 1, 5) <= 3400 Y( 1, 5)X( 2, 1) <= 2700 Y( 2, 1)X( 2, 2) <= 2800 Y( 2, 2)X( 2, 3) <= 1100 Y( 2, 3)X( 2, 4) <= 1800 Y( 2, 4)X( 2, 5) <= 3400 Y( 2, 5)X( 3, 1) <= 2700 Y( 3, 1)X( 3, 2) <= 2800 Y( 3, 2)X( 3, 3) <= 1100 Y( 3, 3)X( 3, 4) <= 1800 Y( 3, 4)X( 3, 5) <= 3400 Y( 3, 5)

o RESTRICCION 4: Cada compartimiento puede llevar solo un tipo de gasolina:

Y( 1, 1) + Y( 2, 1) + Y( 3, 1) = 1Y( 1, 2) + Y( 2, 2) + Y( 3, 2) = 1Y( 1, 3) + Y( 2, 3) + Y( 3, 3) = 1Y( 1, 4) + Y( 2, 4) + Y( 3, 4) = 1Y( 1, 5) + Y( 2, 5) + Y( 3, 5) = 1


5

sets:!PROB 31 CAP 9.2 DEL WINSTON;!x:gasolina;!w:gasolina faltante;!y:1 si el compartimiento j lleva la gasolina tipo i o en caso contrario;!cf : costo por galon faltante;!me : máxima escasez permitida;

tipo/1..3/:cf,me,dem,a,w;compartimiento/1..5/:cap;matriz(tipo,compartimiento):x,y;endsets

data:cf=10,8,6;me=500,500,500;dem=2900,4000,4900;cap=2700,2800,1100,1800,3400;enddata

min=@sum(tipo:w*cf);

!RESTRICCION 1;@for(tipo(i):w<=me(i));!RESTRICCION 2;@for(tipo(i):w(i)+@sum(compartimiento(j):x(i,j))=dem(i));!RESTRICCION 3;@for(matriz(i,j):x(i,j)<=cap(j)*y(i,j));!RESTRICCION 4;@for(compartimiento(j):@sum(tipo(i):y(i,j))=1);!VARIABLE Y ES BINARIA;@for(matriz:@bin(y));

SOLUCION EN LINGO:

El mínimo costo que se podrá pagar es 2 600 dólares. La gasolina del tipo 1 (super) 2800 galones van al compartimiento 2, la gasolina del tipo 2 (regular) 2700 galones van al compartimiento 1, la gasolina del tipo 2 1100 galones van al compartimiento 3, la gasolina del tipo 3 (sin plomo) 1500 galones van al compartimiento 4, la gasolina del tipo 3 3400 galones van al compartimiento 5. La variable w son los galones de gasolina tipo i faltantes. Para que se cumpla la demanda faltan 100 galones del tipo súper, y 200 galones del tipo regular.

Global optimal solution found at step: 558 Objective value: 2600.000

5

Branch count: 32

Variable Value Reduced Cost CF( 1) 10.00000 0.0000000 CF( 2) 8.000000 0.0000000 CF( 3) 6.000000 0.0000000 ME( 1) 500.0000 0.0000000 ME( 2) 500.0000 0.0000000 ME( 3) 500.0000 0.0000000 DEM( 1) 2900.000 0.0000000 DEM( 2) 4000.000 0.0000000 DEM( 3) 4900.000 0.0000000 A( 1) 0.0000000 0.0000000 A( 2) 0.0000000 0.0000000 A( 3) 0.0000000 0.0000000 W( 1) 100.0000 0.0000000 W( 2) 200.0000 0.0000000 W( 3) 0.0000000 6.000000 CAP( 1) 2700.000 0.0000000 CAP( 2) 2800.000 0.0000000 CAP( 3) 1100.000 0.0000000 CAP( 4) 1800.000 0.0000000 CAP( 5) 3400.000 0.0000000 X( 1, 1) 0.0000000 0.0000000 X( 1, 2) 2800.000 0.0000000 X( 1, 3) 0.0000000 0.0000000 X( 1, 4) 0.0000000 0.0000000 X( 1, 5) 0.0000000 0.0000000 X( 2, 1) 2700.000 0.0000000 X( 2, 2) 0.0000000 0.0000000 X( 2, 3) 1100.000 0.0000000 X( 2, 4) 0.0000000 0.0000000 X( 2, 5) 0.0000000 0.0000000 X( 3, 1) 0.0000000 0.0000000 X( 3, 2) 0.0000000 0.0000000 X( 3, 3) 0.0000000 0.0000000 X( 3, 4) 1500.000 0.0000000 X( 3, 5) 3400.000 0.0000000 Y( 1, 1) 0.0000000 -27000.00 Y( 1, 2) 1.000000 -28000.00 Y( 1, 3) 0.0000000 -11000.00 Y( 1, 4) 0.0000000 -18000.00 Y( 1, 5) 0.0000000 -34000.00 Y( 2, 1) 1.000000 -21600.00 Y( 2, 2) 0.0000000 -22400.00 Y( 2, 3) 1.000000 -8800.000 Y( 2, 4) 0.0000000 -14400.00 Y( 2, 5) 0.0000000 -27200.00 Y( 3, 1) 0.0000000 0.0000000 Y( 3, 2) 0.0000000 0.0000000

6

Y( 3, 3) 0.0000000 0.0000000 Y( 3, 4) 1.000000 0.0000000 Y( 3, 5) 1.000000 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 2600.000 1.000000 2 400.0000 0.0000000 3 300.0000 0.0000000 4 500.0000 0.0000000 5 0.0000000 -10.00000 6 0.0000000 -8.000000 7 0.0000000 0.0000000 8 0.0000000 10.00000 9 0.0000000 10.00000 10 0.0000000 10.00000 11 0.0000000 10.00000 12 0.0000000 10.00000 13 0.0000000 8.000000 14 0.0000000 8.000000 15 0.0000000 8.000000 16 0.0000000 8.000000 17 0.0000000 8.000000 18 0.0000000 0.0000000 19 0.0000000 0.0000000 20 0.0000000 0.0000000 21 300.0000 0.0000000 22 0.0000000 0.0000000 23 0.0000000 0.0000000 24 0.0000000 0.0000000 25 0.0000000 0.0000000 26 0.0000000 0.0000000 27 0.0000000 0.0000000

Problema 33:

6

Al tratar un tumor en el cerebro mediante radiaciones, los médicos quieren la cantidad máxima de radiación posible para bombardear el tejido en donde se localiza el tumor. Pero la restricción es que hay una cantidad máxima de radiación que el tejido normal puede tolerar sin sufrir daño. Por lo tanto los médicos deben decidir cómo dirigir la radiación de tal manera que sea máxima la radiación que llegue al tumor sujeta a la restricción de no dañar el tejido sano. Como un ejemplo simple de esta situación, suponga que se pueden dirigir seis tipos de haces de radiación (los haces difieren en dirección e intensidad) a un tumor. La región en donde se localiza el tumor se dividió en seis regiones: tres regiones contiene tumores y tres están sanas. La cantidad de radiación por cada tipo de haz se muestra en la tabla.

Normal Tumor Haz1 2 3 1 2 316 12 8 20 12 6 112 10 6 18 15 8 29 8 13 13 10 17 34 12 12 6 18 16 49 4 11 13 5 14 58 7 7 10 10 10 6

Si cada región de tejido tolera a lo más 40 unidades de radiación, entonces ¿qué haces se deberían usar para maximizar la cantidad total de radiación recibida por el tumor?

Solución:

El PE apropiado es:

La función objetivo es maximizar la cantidad total de radiación recibida por el tumor.

654321 525668706974 xxxxxxMaxZ +++++=

Sujeto a:

Restricción para región normal 1: 4089491216 654321 ≤+++++ xxxxxx



Restricción para región tumor 1: 4010136131820 654321 ≤+++++ xxxxxx



En Lingo:

SETS:HAZ/1..6/:TIPO;REGION/1..6/:;RADIACION(HAZ,REGION):CANTIDAD;

ENDSETS

6

Si el haz de radiación de tipo i (i=1, 2…6) es usado

Si no sucede así

=0

1ix

DATA: CANTIDAD = 16 12 8 20 12 6

12 10 6 18 15 8 9 8 13 13 10 17 4 12 12 6 18 16 9 4 11 13 5 14 8 7 7 10 10 10;

ENDDATA

MAX=@SUM(RADIACION(I,J):CANTIDAD(I,J)*TIPO(I)); ! RESTRICCIONES;

@FOR(REGION(J):@SUM(HAZ(I):CANTIDAD(I,J)*TIPO(I))<=40); ! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;

@FOR(HAZ: @BIN(TIPO));

END

Solución en Lingo:


Variable Value Reduced Cost TIPO( 1) 1.000000 -74.00000 TIPO( 2) 0.0000000 -69.00000 TIPO( 3) 1.000000 -70.00000 TIPO( 4) 1.000000 -68.00000 TIPO( 5) 0.0000000 -56.00000 TIPO( 6) 0.0000000 -52.00000 CANTIDAD( 1, 1) 16.00000 0.0000000 CANTIDAD( 1, 2) 12.00000 0.0000000 CANTIDAD( 1, 3) 8.000000 0.0000000 CANTIDAD( 1, 4) 20.00000 0.0000000 CANTIDAD( 1, 5) 12.00000 0.0000000 CANTIDAD( 1, 6) 6.000000 0.0000000 CANTIDAD( 2, 1) 12.00000 0.0000000 CANTIDAD( 2, 2) 10.00000 0.0000000 CANTIDAD( 2, 3) 6.000000 0.0000000 CANTIDAD( 2, 4) 18.00000 0.0000000 CANTIDAD( 2, 5) 15.00000 0.0000000 CANTIDAD( 2, 6) 8.000000 0.0000000 CANTIDAD( 3, 1) 9.000000 0.0000000 CANTIDAD( 3, 2) 8.000000 0.0000000 CANTIDAD( 3, 3) 13.00000 0.0000000 CANTIDAD( 3, 4) 13.00000 0.0000000 CANTIDAD( 3, 5) 10.00000 0.0000000 CANTIDAD( 3, 6) 17.00000 0.0000000

6

CANTIDAD( 4, 1) 4.000000 0.0000000 CANTIDAD( 4, 2) 12.00000 0.0000000 CANTIDAD( 4, 3) 12.00000 0.0000000 CANTIDAD( 4, 4) 6.000000 0.0000000 CANTIDAD( 4, 5) 18.00000 0.0000000 CANTIDAD( 4, 6) 16.00000 0.0000000 CANTIDAD( 5, 1) 9.000000 0.0000000 CANTIDAD( 5, 2) 4.000000 0.0000000 CANTIDAD( 5, 3) 11.00000 0.0000000 CANTIDAD( 5, 4) 13.00000 0.0000000 CANTIDAD( 5, 5) 5.000000 0.0000000 CANTIDAD( 5, 6) 14.00000 0.0000000 CANTIDAD( 6, 1) 8.000000 0.0000000 CANTIDAD( 6, 2) 7.000000 0.0000000 CANTIDAD( 6, 3) 7.000000 0.0000000 CANTIDAD( 6, 4) 10.00000 0.0000000 CANTIDAD( 6, 5) 10.00000 0.0000000 CANTIDAD( 6, 6) 10.00000 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 212.0000 1.000000 2 11.00000 0.0000000 3 8.000000 0.0000000 4 7.000000 0.0000000 5 1.000000 0.0000000 6 0.0000000 0.0000000 7 1.000000 0.0000000

En conclusión los haces que se deberían emplear para maximizar la radiación en el tumor son los de tipo 1, 3 y 4

Problema 34:

El servicio de bomberos de Smalltown tiene en la actualidad siete equipos con escaleras ordinarias y siete cajas de alarma. Los dos equipos más cercanos con escalera a cada caja de alarma se dan en la tabla 3. Los padres de la ciudad desean maximizar el número de equipos con escalera ordinaria que se puedan reemplazar por equipos con escaleras extensibles. Las consideraciones políticas establecen infortunadamente que es posible reemplazar un equipo ordinario solo si, después del reemplazo por lo menos uno de los equipos más cercanos a cada caja de alarma todavía es un equipo ordinario.

• Formule un PE que se pueda usar para maximizar la cantidad de equipos convencionales que es posible reemplazar por equipos con escaleras extensibles.

sol :

Xij = escalera j que esta cercana a la caja i que va a ser cambiada

Xij {1 si se cambia el equipo ordinario por el extensible 0 si no sucede así

Maz = X12+ X13+ X23+ X24+ X31+ X35+ X42+ X46+ X53+ X56 + X64 +X67+X75+ X77

s.a :

6

X12+ X13>= 1 X23+ X24>= 1

X31+ X35>= 1 X42+ X46>= 1 X53+ X56>= 1 X64 +X67>= 1

X75+ X77>= 1

X12 =X42 X13= X23= X53 X24= X64 X35= X75 X46 = X56 X67= X77

Xij= 0 o 1(i =j= 1, 2, 3, 4, 5, 6,7)

Alumno: Sánchez Carquin NathalyCodigo : 03170129

PROBLEMA 35:

Cuando usted solicita números telefónicos 800 a AT&T para telemercadeo, AT&T utiliza un modelo de Solver para indicar a usted dónde debe ubicar su centro de llamadas a fin de minimiza sus costos de operación sobre un horizonte de 10 años. Con el objeto de ilustrar el modelo, suponga que usted está considerando 7 ubicaciones para centros de llamadas: Boston, Nueva York, Charlotte, Dallas, Chicago, L.A y Omaha. Ya conocemos el costro promedio (en dólares) en que se incurre si una llamada de telemercadeo es hecha desde cualquiera de estas ciudades a cualquier región del país. También sabemos los salarios por hora que debemos pagar a los trabajadores en cada ciudad (tabla 120)Suponga que una llamada promedio requiere 4 minutos. Hacemos llamadas 250 días al año, y el número promedio de llamadas por día a cada región del país, se proporciona en la tabla 121.El costo de la construcción de un centro de llamadas en cada localidad posible, está en la tabla 122.Cada centro de llamadas puede efectuar al menos 5000 llamadas por día. Con esta información ¿cómo se puede minimizar el costo de contado (a 10% por año) de echar a andar la operación de telemercadeo durante 10 años? Suponga que todos los salarios y los costos de las llamadas se pagan al final de cada año.

Tabla 120

Costo de Nueva Atlánti Grandes Montañas Salario

6

llamada($/min)

Inglaterra

co Medio

Sureste Soroeste Lagos Planicies Rocosas Pacífico x hora($)

Boston 1.2 1.4 1.1 1.3 2 2.2 2.8 2.2 14Nueva York 1.3 1 1.3 1.2 1.8 1.9 2.5 2.8 16

Charlotte 1.5 1.4 0.9 1.5 2.1 2.3 2.6 3.3 11Dallas 2 1.8 1.2 1 1.7 2.2 1.8 2.7 12

Chicago 2.1 1.9 2.3 1.9 0.9 1.3 1.2 2.2 13Los Angeles 2.5 2.1 1.9 2.2 1.7 1.5 1.4 1 18

Omaha 2.2 2.1 2 2.6 1.4 0.6 0.9 1.5 10

6

Región Llamadas diariasNueva Inglaterra 1000Atlántico Medio 2000

Sureste 2000Suroeste 2000

Grandes Lagos 3000Planicies 1000

Montañas Rocosas 2000Pacífico 4000

Ciudad Costo de Construcción(millones de dolares)

Bostón 2.7Nuvea Yokr 3

Charlotte 2.1Dallas 2.1

Chicago 2.4Los Angeles 3.6

Omaha 2.1

Tabla 121 Tabla 122

SOLUCION:

Para poder minimizar los costos, primero hallaremos los costos anuales en $ para las llamadas, para lo cual multiplicaremos por el promedio de duración de la llamada (4), el número promedio de llamadas al día (tabla 121) y el número de días que se realizan llamadas por año (250). Con lo que obtenemos la Tabla 1:

Costo de llamada

( millones de $/ año)

Nueva Inglaterra

Atlántico

MedioSureste Suroeste

Grandes Lagos Planicies

Montañas Rocosas Pacífico TOTAL

Boston 1.2 2.8 2.2 5.2 6 2.2 5.6 8.8 34Nueva York 1.3 2 2.6 4.4 5.4 1.9 5.0 11.2 33.8

Charlotte 1.5 2.8 1.8 3.8 6.3 2.3 5.2 13.2 36.9Dallas 2 3.6 2.4 2 5.1 2.2 3.6 10.8 31.7

Chicago 2.1 3.8 4.6 3.0 2.7 1.3 2.4 8.8 28.7Los Angeles 2.5 4.2 3.8 2.4 5.1 1.5 2.8 4 26.3

Omaha 2.2 4.2 4 2.6 4.2 0.6 1.8 6 25.6

Y para el Salario anual de los trabajadores, consideraremos que la central debe trabajar los 365 días del año, las 24 horas del día. Con lo que obtenemos la Tabla 2:

CiudadSalario Anual

(Millones de $/Año)Boston 0.12096

Nueva York 0.14016Charlotte 0.09636

Dallas 0.10512Chicago 0.11388

Los Angeles 0.15768Omaha 0.08760

Sean las Variables:

Xi : 1, Si se opta como centro de llamadas por la ciudad i, 0 En caso contrario

i = 1 (Boston), 2 (Nueva York), 3 (Charlotte), 4 (Dallas), 5 (Chicago), 6 (L.A) , 7 (Omaha)

Función Objetivo:

Min = Xi*( Costo de llamadas(i) + Salario Anual(i) ) + 0.1* Costo de Construcción(i)

6

Restricciones:

Como la demanda total de llamadas, a las distintas regiones, es de 17 000 y cada centro hará al menos 5000, poniéndonos en el peor de los casos tendríamos que cada centro solo haría las 5000 llamadas, así tendríamos que se necesitará por lo menos:17000/5000 = 3.4 = 4 centros

Para satisfacer la demanda:

Suma( Xi ) >= 4

El programa en Lingo es:

!CLL = Costo de la llamada;!SA = Sueldo Anual;!CC = Costo de Construcción;SETS:CENTROS/1..7/:X,CLL,SA,CC;ENDSETS

DATA:CLL= 34,

33.8,36.9,31.7,28.7,26.3,25.6;

SA= 0.12096,0.14016,0.09636,0.10512,0.11388,0.15768,0.08760;

CC= 2.7,3,2.1,2.1,2.4,3.6,2.1;

ENDDATA

MIN = @SUM(CENTROS(i):X(i)*CLL(i)) + @SUM(CENTROS(i):X(i)*SA(i))+@SUM(CENTROS(i):X(i)*CC(i)*0.1);

@FOR(CENTROS(i):@SUM(CENTROS(j):X(j))>=4);@FOR(CENTROS(i):@bin(X));

6

SOLUCION EN LINGO:

El costo mínimo de poner los centros de llamadas y satisfacer la demanda es de 113.7843 millones de dólares, y los locales deberán estar ubicados en: Dallas, Los Angeles, Chicago y Omaha,


Variable Value Reduced Cost X( 1) 0.0000000 34.39096 X( 2) 0.0000000 34.24016 X( 3) 0.0000000 37.20636 X( 4) 1.000000 32.01512 X( 5) 1.000000 29.05388 X( 6) 1.000000 26.81768 X( 7) 1.000000 25.89760 CLL( 1) 34.00000 0.0000000 CLL( 2) 33.80000 0.0000000 CLL( 3) 36.90000 0.0000000 CLL( 4) 31.70000 0.0000000 CLL( 5) 28.70000 0.0000000 CLL( 6) 26.30000 0.0000000 CLL( 7) 25.60000 0.0000000 SA( 1) 0.1209600 0.0000000 SA( 2) 0.1401600 0.0000000 SA( 3) 0.9636000E-01 0.0000000 SA( 4) 0.1051200 0.0000000 SA( 5) 0.1138800 0.0000000 SA( 6) 0.1576800 0.0000000 SA( 7) 0.8760000E-01 0.0000000 CC( 1) 2.700000 0.0000000 CC( 2) 3.000000 0.0000000 CC( 3) 2.100000 0.0000000 CC( 4) 2.100000 0.0000000 CC( 5) 2.400000 0.0000000 CC( 6) 3.600000 0.0000000 CC( 7) 2.100000 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 113.7843 1.000000 2 0.0000000 0.0000000 3 0.0000000 0.0000000 4 0.0000000 0.0000000 5 0.0000000 0.0000000 6 0.0000000 0.0000000 7 0.0000000 0.0000000 8 0.0000000 0.0000000

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PROBLEMA 36 :

La pregunta siguiente se relaciona con el ejemplo del presupuesto de capital de Star Oil de la sección 3.6 los resultados de LINGO para este problema se muestran en la figura 16.

a. Encuentre e interprete el precio sombra de cada restricción.

b. Si el VPN de la inversión 1 fuera 5 millones de dólares ¿cambiaria la solución óptima del problema?

c. Si el VPN de la inversión 2 y el de la inversión 4 disminuyera en 25% ¿cambiaria la solución optima del problema? (Para este inciso se requiere conocer la regla del 100%.)

d. Suponga que el presupuesto del capital de Star Oil se modificara a 50 millones de dólares en el tiempo 1. ¿Seria star mas rica? (Para este inciso se requiere conocer la regla del 100%.)

e. Suponga que esta disponible (inversión 6). Dicha inversión tiene un VPN de 10 millones de dólares y requiere una salida de efectivo de 5 millones de dólares en el tiempo 0 y 10millones de dólares en el tiempo 1 ¿Debería Star Oil invertir en la inversión 6?

Se define como:

Xi = fracción de la inversión i comprada por Star Oil ( i = 1, 2, 3, 4, 5)

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SOLUCIÓN ÓPTIMA : 57.44902 millones de dólares

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SOLUCIÓN

a. Encuentre e interprete el precio sombra de cada restricción.

Para ello necesitamos la solución dual del problema:

Se define que:

Y1 = Disponibilidad de dinero en el tiempo 0Y2 = Disponibilidad de dinero en el tiempo 1Y3 = Restricción de la inversión 1Y4 = Restricción de la inversión 2Y5 = Restricción de la inversión 3Y6 = Restricción de la inversión 4Y7 = Restricción de la inversión 5

Solución dual en LINDO

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Se observa que los precios sombra y su interpretación son:

S1 = 0.190418 (Si aumentamos en 1 millón de dólares la disponibilidad en el tiempo 1, el ingreso aumentará en 0.190418 millones de dólares)

S2 = 0.984644 (Si aumentamos en 1 millón de dólares la disponibilidad en el tiempo 1, el ingreso aumentará en 0.984644 millones de dólares)

S3 = 7.951474 (Si aumentamos en 1 millón de dólares la inversión 1, el ingreso aumentará en 7.951474 millones de dólares)

S4 = 0.000000 (Si aumentamos en 1 millón de dólares la inversión 2, el ingreso no sufrirá ningún aumento)



S7 = 0.000000 (Si aumentamos en 1 millón de dólares la inversión 5, el ingreso no sufrirá ningún aumento)

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b. Si el VPN de la inversión 1 fuera 5 millones de dólares ¿cambiaria la solución óptima del problema?

Como se puede observar la solución óptima cambia a un valor menor que es de

49.49754 millones de dólares.

c. Si el VPN de la inversión 2 y el de la inversión 4 disminuyera en 25% ¿cambiaria la solución optima del problema? (Para este inciso se requiere conocer la regla del 100%.)

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Como se puede observar la solución óptima cambia a un valor menor que es de 53.14558 millones de dólares.

d. Suponga que el presupuesto del capital de Star Oil se modificara a 50 millones de dólares en el tiempo 1. ¿Seria Star más rica? (Para este inciso se requiere conocer la regla del 100%.)

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Como se puede observar la solución óptima cambia a un valor mayor que es de 70.18182 millones de dólares. Es decir Star Oil será más rica.

e. Suponga que esta disponible (inversión 6). Dicha inversión tiene un VPN de 10 millones de dólares y requiere una salida de efectivo de 5 millones de dólares en el tiempo 0 y 10 millones de dólares en el tiempo 1 ¿Debería Star Oil invertir en la inversión 6?

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Como se puede observar la solución óptima no cambia, y observamos que la inversión 6 no se realiza y se obtiene un ahorro en gastos de 0.798526 millones de dólares.

Por lo tanto Star Oil no debería hacer una inversión 6.

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Programacion lineal entera invope

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