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Por:

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Programación Lineal

Introducción:

Entre los avances científicos más importantes de la mitad del siglo XX es la Programación Lineal, por su impacto desde 1950 ha sido extraordinario por sus aplicaciones. Especialmente en el calculo científico que se lleva a cabo por medio de las computadoras.

Un modelo de P. L. proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima, (o una estrategia óptima o un plan óptimo) escogida de un gran número de decisiones posibles y/o alternativas.

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Programación Lineal

Origen

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.

Posteriormente el matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

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Si no se le toma en cuenta al matemático Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1776 se interesó por problemas de este género, se debe enfatizar que en el año 1939 para encontrar nuevos estudios relacionados con los métodos de la actual programación lineal.

En este año, el matemático ruso Leonodas Vitalyevich Kantarovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida llamada actualmente programación lineal .

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En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y Kantarovitch, razón por la cual se suele conocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantarovitch.Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen alimenticio optimal.En estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal.

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Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las modelos de computación y los ordenadores, instrumentos que harían posible la resolución y simplificación de los problemas que se estaban originando.

En 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formarían el grupo denominado SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).

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Una de las primeras aplicaciones de los estudios del grupo SCOOP fue el puente aéreo de Berlin. Luego se continuó con una serie de aplicaciones de tipo preferentemente militar.Hacia 1950 se constituyen, fundamentalmente en Estados Unidos, distintos grupos de estudio para ir desarrollando las diferentes ramificaciones de la programación lineal. Cabe citar, entre otros, Rand Corporation, con Dantzig, Orchard-Hays, Ford, Fulkerson y Gale, el departamento de Matemáticas de la Universidad de Princenton, con Tucker y Kuhn, así como la Escuela Graduada de Administración Industrial, dependiente del Carnegie Institute of Technology , con Charnes y Cooper.

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Respecto al método del algoritmo simplex, que se estudiara mas adelante, se puede enfatizar que su estudio comenzó en el año 1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau of Standards SEAC COMPUTER, ayudándose de varios modelos de ordenador de la firma IBM.Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático norteamericano de origen húngaro Janos von Neuman (1903-1957), quien en 1928 publicó: “La Teoría de Juegos”. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de David Hilbert en Gotinga y, desde 1930, catedrático de la Universidad de Princenton de Estados Unidos, hace que otros investigadores se interesaran en el desarrollo de esta disciplina.

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En 1858 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto: el cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú. En este problema había 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan óptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 días del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los costos previstos.

Se ha estimado, de una manera general, que si un país subdesarrollado utilizase el modelo de la programación lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentaría entre un 10 y un 15% en tan sólo un año.

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Programación Lineal

La programación lineal es uno de los primeros modelos matemáticos de la investigación de operaciones el cual es usado para encontrar un valor extremo de una función lineal dada y compuesta de varias variables; cuando estas deben ser no negativas y ellas deben satisfacer ciertas restricciones las cuales se presentan en la forma de ecuaciones o inecuaciones lineales.

El problema mas simple de programación lineal generalmente contiene un total de 2 a 3 variables.

Definición:

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Objetivo:

Es optimizar la utilización de los recursos disponibles.

Construir modelos de programación lineal para problemas propios de la industria, en este caso minero-metalúrgica.

Discutir las propiedades de las soluciones optimas en modelos de programación lineal, etc.

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¿Qué es Programación?

Programación es el planeamiento generalmente de actividades económicas con propósitos de optimización.

Por ejemplo, para maximizar ganancias o minimizar costos.

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Modelo y uso de interpretación geométrica.

El método simplex.

Modelo dual y precio optimo.

Análisis de pos-optimalidad y P. L. bajo incertidumbre.Pr

ogra

mac

ión

Line

al

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Características de la programación lineal.

Las características principales de la programación lineal entre otras son las siguientes:

Es un modelo de la investigación de operaciones usada para maximizar y/o minimizar una función objetivo cualquiera, sujeta a ciertas restricciones.

Las variables que intervienen tanto en la función objetivo como en las restricciones son lineales o de primer grado; además dichas variables deben ser continuas.

La programación lineal generalmente es usada para optimizar la distribución de recursos disponibles.

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El valor optimo obtenido usando la programación lineal es único, no siendo necesario utilizar las condiciones de segundo grado que complican los cálculos.

Para solucionar los problemas aplicando la programación lineal existen algoritmos genéricos que simplifican dicha solución.

En la actualidad, existen varios softwares para solucionar problemas de cualquier tipo aplicando programación lineal; los cuales representan una gran ayuda técnico-económica, etc., etc.

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Otras características de los problemas de P. L. son:

Proporcionalidad: En un modelo de P. L la función objetivo y cada restricción de las variables de decisión tienen que ser lineales. Es decir el indicador de eficiencia (utilidad o costo) en la función objetivo y la cantidad de cada recurso usado tienen que ser proporcionales, al valor de cada variable de decisión considerada individualmente.

Aditividad: En un modelo de P. L es necesario que cada variable sea “aditiva” respecto a la utilidad (o costo) y a la cantidad de recursos usados.

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Divisibilidad: para muchos de los problemas propios de los negocios es muy frecuente el caso de que las variables de decisión puedan tener significado físico solamente si tienen valores enteros. Por lo tanto, otra limitación de la P. L es que para obtener una solución optima los niveles fraccionarios de las variables de decisión, tienen que ser descontados.

Optimalidad: Es un problema de P. L una solución de máxima utilidad o mínimo costo siempre ocurre en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles.

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Planteamiento general del problema de programación lineal

El problema general de programación lineal puede ser planteado, como sigue:

MinMax

n

j

xjcjZ1

)(

0,

......,2,1

.....,2,11

xjy

nj

mi

am

i xjij

Sujeto a:

= bi≤

≥

Donde:

aij, cj y bj son constantes.

xj, son variables continuas

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En otras palabras, se tiene:

Función objetivo.

n

j

xjcjZOF1

).(, (Maximización o minimización).

Restricciones funcionales

nj

mi

am

j xjij

......,2,1

.....,2,11

= bi≤

≥

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Condiciones de no negatividad.

Se debe mencionar que para algunas situaciones especiales se elimina las condiciones de no negatividad para algunas variables de decisión.

En otras palabras, se cumple que:

xj = irrestricta en signo para algunos valores de j

Si se considera el problema con tres variables y tres restricciones; la maximización de Z se puede expresar matemáticamente mediante la siguiente expresión:

nnXCXCXCZMax .......2211

xj ≥ 0 j = 1, 2, …., n

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Sujeto a:

A1 1 x1 + a1 2 x2 + ………+ a1 n ≤ b1

A2 1 x1 + a2 2 x2 + ………+ a2 n ≤ b2

A3 1 x1 + a3 2 x2 + ………+ a3 n ≤ b3

.

.

.

Am 1 x1 + am 2 x 2 + ………+ am n ≤ bm

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La condición de no negatividad, será:

x1 ≥ 0; x2 ≥0, …….., xn ≥0

El problema de maximización también puede ser expresado de la siguiente manera:

xcccccZMax n ,.......,,,)( 321

nx

xxx

.

.3

2

1

mxnmatrizA

columnavectorx

filavectorc

columnavectorbi

Donde:

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Las restricciones pueden expresarse matricialmente de la siguiente manera:

amnamam

naaa

naaa

......

.

.

......

......

21

22212

12111

mx

xx

.

.2

1

mb

bb

.

.2

1

bxA ≤

≥≥

≤

=

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La condición de no negatividad puede también expresarse matricialmente de la siguiente manera:

Por otro lado, el problema de programación lineal puede también plantearse de la siguiente manera:

0

00.00

.

.2

1

x

x

xx

m

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Actividad

Recurso

Uso del recurso/unidad Cantidad del recurso disponible

1 2 3 ……….n

123....m

a11 a12 a13 …….. a1 na21 a22 a23 …….. a2 na31 a32 a33 …….. a3n

am1 am2 am3 …….. amn

b1

b2

b3

.

.

.

.Bm

∆z/unidadnivel

c1 c2 c3 ……... cn

X1 x2 x3 …….. xn

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Donde:

xj = Nivel de la variable j (variable de decisión)

(j = 1, 2, …., n)

cj = incremento en Z que resultaría debido a cada unidad de incremento en xj.

(j = 1, 2, …., n) coeficiente de beneficio de la j-enesima variable

z = medida global de la efectividad. Función objetivo, funcional o función preferencial (maximizar o minimizar ganancias o costos)

bi = Cantidad de recursos disponibles en la i-esima restricción unidad de recurso, i = 1, 2 …., m

aij = cantidad de recurso i consumida por cada unidad de la actividad j.

Coeficiente de la j-esima variable de decision en i-esima restriccion

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Resumiendo se tiene que en forma vectorial el planteamiento de un problema de programación lineal seria como sigue:

Zopt = C x } función objetivo

Sujeto a:

A x B } Restricción

X ≥o } Condiciòn de no negatividad

≤≥

=

Donde:

X = (x1, x2, …., xn)T = Vector columna con n componentes.

Se le denomina vector de actividad; y sus componentes son variables de decisión.

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C = (c1, c2, …., cn) = vector fila con n componentes.

Se le denomina vector de precios o costos unitarios (coeficiente beneficio)

B = (b1, b2, …., bm) T = Vector columna con m componentes.

Se le denomina vector de disponibilidad de recursos.

0 = (0, 0, …., 0) T = vector columna de n ceros.

mnmm aaa

naaanaaa

A

......

........

21

22221

11211

Matriz de m filas y n columnas. Se le denomina matriz de coeficientes.

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aij = Representa la cantidad de recursos j que se necesita por unidad de la actividad i.

i = 1 …. m

j = 1 …. n

En forma esquemática la programación lineal puede ser representada como se muestra en el siguiente diagrama:

x x

x x

Programación lineal Modelo

Variable xj

Sistema real

Representación matemática f(x)

funciones linealesSistema real “supuesto” o “simulado”

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Métodos de solución de los problemas de programación lineal.

La aplicación del modelo de P. L para resolver cualquier problema, se puede efectuar usando los siguientes métodos:

•Grafico

•Algebraico

•Del algoritmo simplex

•Del algoritmo del tablero simplex.

Cada uno de estos métodos tienen sus ventajas, desventajas y/o limitaciones, por lo tanto, cada uno de ellos serán analizados, evaluados y discutidos a través de varios ejemplos prácticos aplicables a cualquier actividad económica en general.

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El método grafico de solución de los problemas de programación lineal esta restringido solamente a 2 ó 3 variables y por lo tanto, sus limitaciones son obvias.

El método de solución será mostrado a través de un problema sencillo que se presenta con frecuencia en la industria minera, cuyo enunciado es el siguiente:

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Problema de aplicación Nº 1.

En una operación minera subterránea que explota los minerales de plomo (Pb) y Zinc (Zn), las estadísticas de producción son las siguientes:

Labores mineras

Zn (%)

Pb (%)

Producción planificada (Tm/día)

Costo ($) (Hr/hombre/Tm)

Tajeo 1Tajeo 2

48

64

4060

46

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Se pide:

i. Usando el método grafico, calcular la producción que debe extraerse de cada uno de los tajeos, de tal manera de cumplir con los requerimientos de esta, a un costo mínimo por hora/hombre.

ii. Discutir los resultados

Los requerimientos de producción son los siguientes:

i) 80 Tm de mineral por día

ii) El contenido de mineral en promedio debe ser: No menor de 6.5% de Zn, y no menor de 4.5% de Pb.

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Solución.Sea x1 el tonelaje explotado por día del tajeo 1.

Sea x2 el tonelaje explotado por día del tajeo 2.

En este caso la función objetivo será planteada de la siguiente manera:

21hom/6hom/4)( xTm

breHrsxTm

breHrsZMin

Sujeto a las siguientes restricciones:

i) La capacidad de producción del:

Tajeo 1 …….. x1 ≤ 40 Tm/dia

ii) La capacidad de producción del:

Tajeo 2 …….. X2 ≤ 60 Tm/dia

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iii. La producción requerida es: x1 + x2 = 80 Tm/día.

iv. Contenido mínimo de Zn: 0.04x1 + 0.08x2 ≥0.065 (x1 + x2)

v. Contenido mínimo de Pb: 0.06x1 + 0.04x2 ≥0.045 (x1 + x2)

Luego el planeamiento matemático para resolver este problema de programación lineal mediante el método grafico será el siguiente:

21 64 xxZMin Sujeto a:

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x1 ≤ 40 ….. (1)

x2 ≤ 60 ….. (2)

x1 + x2 ≤ 80 ….. (3)

-2.5x1 + 1.5x2 ≥ 000 ….. (4)

1.5x1 - 0.5x2 ≥ 000 ….. (5)

y

obviamente: x1, x2 ≥ 0 ….. (6)Por lo tanto, la solución grafica estará contenida en el primer cuadrante (esta prácticamente es una condición general para este tipo de problemas, desde que ellos tratan acerca de tonelajes, dólares, recursos, etc., etc. en los cuales valores negativos no son aceptables.

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La solución grafica para este problema se muestra en el diagrama conceptual siguiente:

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En el cual se puede observar lo siguiente

Las coordenadas (x1, x2) de un punto satisfaceran todas las restricciones si y solamente si; este punto esta contenido en el área ABC; esto hablando en términos del álgebra de espacios vectoriales.

El área ABC incluye todos los puntos interiores o al costado del triangulo ABC. Se debe notar que el área es convexa y que la solución optima es un punto extremo de esta área convexa.

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Se puede observar también que, para:

x1 = 0, x2 = 0 z = 0

x1 = 30, x2 = 50 z = 420

x1 = 20, x2 = 60 z = 440

La solución optima se puede apreciar que es:

x1 = 30

x2 = 50

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Se debe mencionar también que la mayoría de los problemas que son necesarios resolver en las diversas organizaciones industriales constan de 2 ò 3 variables por lo tanto, se debe trabajar con poliedros convexos en lugar de polígonos convexos; y en estos casos ya el método grafico no es aplicable; entonces, es necesario buscar otros métodos de solución para este tipo de problemas.

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Terminología usada en la solución de problemas de programación lineal.

Solución factible: Es una solución que satisface todas las restricciones aplicables al sistema en estudio.

Solución básica factible: Es una solución factible de tantas soluciones variables como ecuaciones tiene el sistema en estudio.

Solución Optima: Es una solución básica factible que tiene el valor mas favorable de la función objetivo. (El mayor o el menor, dependiendo si se trata de maximización o de minimización)

El objetivo de la P. L es encontrar la solución factible que sea la optima.

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Generalmente, un problema de P.L. tendrá una solución optima. Sin embargo, también es posible tener soluciones optimas múltiples (Rectas que representan a las restricciones paralelas al funcional).

La posibilidad de que un problema no tenga soluciones optimas ocurre cuando:

a) Si no tiene soluciones factiblesb) Si las restricciones no evitan el crecimiento de la F. O.,

indefinidamente en la dirección favorable z.

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Problema de aplicación Nº 2.Se tiene el siguiente problema de programación lineal.

Max Z = 3x1 + 2x2

Subject to: X1 + x2 ≤ 20 → (1)

X1 = 15 → (2)

X1 + 3x2 ≤ 45 → (3)

-3X1 + 5x2 ≤ 60 → (4)Se pide:

• Solucionar el problema de P. L, usando el método grafico.

• Discutir los resultados

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una compañía minera subterránea, ubicada a 4500 MOSL produce dos tipos de concentrados.

La mezcla proviene del mineral que se explota de 4 labores subterráneas (tajeos).

La disponibilidad del tonelaje de mineral proviene de cada labor minera y el beneficio económico $/Tm. Se muestra en la tabla I

Problema de aplicación Nº 3.

Mining stopes Tipos de concentrados Disponibilidad (Tm/month)I (TM) II (TM)

ABCD

1221

3121

15,00010,00012,00010,000

Utility (US$/Tm) 4 3

Tabla I

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Se pide:i. Calcular el tonelaje de concentrado de cada tipos de

mineral que debe producirse, para maximizar la rentabilidad de dicha empresa minera

ii. Discutir los resultados

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El presente método de solución será mostrado a través del siguiente ejemplo:

21 34 xxZMax

1x1 + 3x2 ≤ 15000 ….. (A)

2x1 + 1X2 ≤ 10000 ….. (B)

2x1 + 2X2 ≤ 12000 ….. (C)

1x1 + 1X2 ≤ 10000 ….. (D)

x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

Sujeto a:

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En primer lugar se agregan las variables de holgura para transformar las inecuaciones en ecuaciones y se tiene lo siguiente:

1x1 + 3x2 + x3 =15000 (A)

2x1 + 1x2 + x4 = 10000 (B)

2x1 + 2x2 + x5 = 12000 (C)

1x1 + 1x2 + x6 = 10000 (D)

Max. Z = 4x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6

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Como hay cuatro ecuaciones (m) y seis incógnitas (n) → se debe suponer que el problema tendrá n – m = 2 variables iguales a cero. En este caso se tiene:

Es decir, hay que resolver 15 veces el sistema de ecuaciones asignando el valor cero a un par de variables en cada solución o iteración respectiva.

n 6

m 2 = = 15 combinaciones posibles.

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Solución básica factible: Se elige x1 = 0 x2 = 0 y se obtiene la 1era. Solución básica factible.

x1 = 0

x2 = 0 Z = 0

x3 = 15000

x4 = 10000

x5 = 12000

x6 = 10000

Es decir esta solución es no producir nada y las variables de holgura x3, x4, x5, x6; solo reportan disponibilidad.

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Como se esta maximizando, se debe introducir en la solución, aquella variable que reporte mayor beneficio, cj es mayor.

En este caso el cj de la función objetivo de mayor beneficio es c1 = 4 que corresponde a x1.

¿Qué variable saldría de la solución básica factible?

¿Cuál de las variables no nulas se convertirían o se le deben asignar el valor cero para obtener la siguiente solución?

Para ello se expresa el conjunto de variables no nulas del sistema de ecuaciones (1) en función de x1 (la variable que ingresa).

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x2 = 0

x1 + x3 = 15000 --- x3 = 15,000 – x1 → x1 = 15000

2x1 + x4 = 10000 (2) --- x4 = 10,000 – 2x1 →

2x1 + x5 = 12000 --- x5 = 12,000 – 2x1 → x1 = 6000

x1 + x6 = 10000 --- x6 = 12,000 – x1 → x1 = 10000

x1 = 5000

Al igualar x3, x4, x5, x6 = 0 se obtendrá varios valores de x1 y se elige el menor porque si se toma alguno de los otros, cualquiera de las ecuaciones del sistema (2) tomaría un valor negativo, contradiciendo las condiciones de no negatividad.

53

alesxx

Re05000

2

1

Se elige → x1 = 5000 y el sistema será:

x3 = 15000 - 5000 = 10000

x4 = 10000 - 2 x 5000 = 0 z = 20000

x5 = 12000 – 2 x 5000 = 2000

x6 = 10000 – 5000 = 5000

54

Búsqueda de la mejor solución.

Como x2 = 0 y x4 = 0 se debe introducir una nueva variable a la solución, Entre x2 y x4.

De la ecuación (1) se busca aquellas que contengan a x2 y x4; es decir (B):

2x1 + 1x2 + x4 = 10000

→ x1 = 5000 - ½x2 - ½x4

55

Reemplazando este valor de x1 en el funcional Z se obtiene:

Zmax = 4x1 + 3x2

Zmax = 20000 + x2 – 2x4

Se introduce x2

Como se maximiza, se ve que la incorporación de x2 lo beneficia, mientras que x4 lo perjudica.

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Obtención de la tercera solución.

Como x2 ingresa al conjunto solución, el sistema (1).

Se despejan las variables para ponerlas en función de:

x2 (x4 = 0 ….)

De A) x1 + 3x2 + x3 = 15000 x3 = 15000 – x1 – 3x2

x3 = 15000 – (5000 – ½x2) -3x2

x3 = 10000 – 5/2x2 → ()

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De B) 2x1 + x2 + x4 = 10000

x1 = 5000 – ½x2 → ()

De C) 2x1 + 2x2 + x3 = 12000x5 = 12000 – 2 (5000- ½x2) – 2x2

x5 = 2000 – x2 → ()

De D) x1 + x2 + x6 = 10000x6 = 10000 – (5000- ½x2) – x2

x6= 5000 – ½x2 → (w)

58

De: () x3 = 0 cuando x2 = 4000

() x1 = 0 cuando x2 = 10000

() x5 = 0 cuando x2 = 2000

(w) x6 = 0 cuando x2 = 10000

(se elige el valor menor para evitar valores negativos)

La tercera solución quedaría:x1 = 4000

x2 = 2000

x3 = 5000

x4 = 0

x5 = 0

x6 = 4000

(4) Z = 22,000

Se ha mejorado la solución

¿será la optima?

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Veamos si se puede introducir x4 ò x5 que valen cero:

En el sistema (1) se buscan aquellas soluciones que contengan x4 y x5 ò x4 y x5 en forma independiente.

(B) 2x1 + x2 x4 = 10000

(C) 2x1 + 2x2 + x5 = 12000

x1 = 5000 – ½x2 – ½x4

x1 = 6000 – x2 – ½x5

Igualando a ambas:

5000 – ½x2 – ½x4 = 6000 – x2 – ½x5

x2 = 2000 + x4 – x5

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Reemplazando x2, se tiene lo siguiente:

Z = 20000 + (2000 + x4 – x5) 2x4

Z = 22000 – x4 – x5

La introducción de x4 ò x5 no mejora al funcional, la solución obtenida en ) es la optima.

Como se puede apreciar este método algebraico es tedioso y consume mucho tiempo para solucionar problemas de P. L que se presentan en todas y cada de las organizaciones industriales; por lo que los diferentes investigadores propusieron métodos matemáticos mas directos para dar solución a este tipo de problemas y se planteo el método y el algoritmo simplex.

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Conceptos fundamentales del algoritmo simplex.

Se expondrán los conceptos básicos y las definiciones del álgebra lineal del espacio n-dimensional que son necesarias para la solución de problemas de P. L usando el algoritmo simplex.

62

Adicione las variables de holgura a todas las desigualdades.

Encontrar una solución básica factible

¿puede encontrar una solución básica factible “mejor” (una que

aporte una utilidad mas alta)

Resuelva para la “mejor” solución

básica factible

La solución básica factible es la

optima

Stop.

Si No

Paso 1

Paso 4Paso 3

Paso 2

Paso 0

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1.El método simplex encuentra una solución optima (o una solución básica optima factible).

2.El método simplex es un método de cambio de bases. Una variable entra a la base, la variable básica entrante, y una variable sale de la base, la variable básica saliente.

3.El método de cambio de base implica el reemplazo de un sistema de restricciones-ecuaciones por un sistema equivalente de restricciones-ecuaciones.

Aspectos generales sobre el método simplex.

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4. En un sistema de restricciones-ecuaciones, una ecuación puede ser reemplazada por una ecuación equivalente aplicando las operaciones siguientes:

O1: Reemplazar una ecuación por si misma, tantas veces una constante diferente de cero.

O2: Reemplazar una ecuación por si misma, sumada a tantas veces una constante diferente de cero otra ecuación restricción.

5. El método simplex requiere que la función objetivo sea expresada de tal forma que cada variable básica, tenga como coeficiente 0.

6. El método simplex requiere que cada variable básica aparezca en una y solamente una ecuación-restricción.

65

Lo mas importante de un ser humano es reclamar su propia y vital vocación. “La

vocación actúa como una ley divina de la que no hay escapatoria”, pero muy pocos se

atreven a luchar por su sueño, además de que en nuestro sistema educativo, se nos

enseña a ser conformistas y dar gusto a los demás, aun cuando tengamos que renunciar

a nuestro propio llamado.

Dr. Carlos AgredaProfesor