INVESTIGACION DE INVESTIGACION DE OPERACIONESOPERACIONES

Programación LinealProgramación Lineal

Objetivos del CapítuloObjetivos del Capítulo

Fijar los requerimientos para establecer un Fijar los requerimientos para establecer un modelo de programación lineal.modelo de programación lineal.

Representación gráfica de un modelo de Representación gráfica de un modelo de programación lineal.programación lineal.

Ventajas del modelo de programación lineal:Ventajas del modelo de programación lineal:* Obtención de una solución óptima única.* Obtención de una solución óptima única.

* Obtención de soluciones alternativas* Obtención de soluciones alternativas

* Modelos no acotados.* Modelos no acotados.

* Modelo no factibles.* Modelo no factibles.

..

Conceptos de análisis de sensibilidad:Conceptos de análisis de sensibilidad:* Reducción de costos.* Reducción de costos.

* Rango de optimalidad.* Rango de optimalidad.

* Precios sombra.* Precios sombra.

* Rango de factibilidad.* Rango de factibilidad.

* Holgura complementaria.* Holgura complementaria.

* Agregar restricciones/variables.* Agregar restricciones/variables.

Obtención de una solución por métodos Obtención de una solución por métodos compu-tacionales:compu-tacionales:* WINQSB* WINQSB

* EXCEL* EXCEL

* LINDO* LINDO

2.1 Introducción a la 2.1 Introducción a la Programación LinealProgramación Lineal

Un modelo de programación lineal busca Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.sujeta a un conjunto de restricciones lineales.

Un modelo de programación lineal esta Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente:compuesto de lo siguiente:* Un conjunto de variables de decisión* Un conjunto de variables de decisión

* Una función objetivo* Una función objetivo

* Un conjunto de restricciones* Un conjunto de restricciones

La importancia de la programación lineal:La importancia de la programación lineal:

* Ciertos problemas se describen facilmente a través de * Ciertos problemas se describen facilmente a través de la la

programación lineal.programación lineal.

* Muchos problemas pueden aproximarse a modelos * Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.lineales.

* La salida generada por el programa que resuelve el * La salida generada por el programa que resuelve el modelo de modelo de

programación lineal entrega información útil para programación lineal entrega información útil para responder responder

nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.

2.2 El problema de la industria 2.2 El problema de la industria de de juguetes “Galaxia”.juguetes “Galaxia”.

Galaxia produce dos tipos de juguetes:Galaxia produce dos tipos de juguetes:* Space Ray* Space Ray

* Zapper* Zapper

Los recursos están limitados a:Los recursos están limitados a:

* 1200 libras de plástico especial.* 1200 libras de plástico especial.

* 40 horas de producción semanalmente.* 40 horas de producción semanalmente.

Requerimientos de Marketing.Requerimientos de Marketing.

* La producción total no puede exceder de 800 docenas.* La producción total no puede exceder de 800 docenas.

* El número de docenas de Space Rays no puede * El número de docenas de Space Rays no puede exceder al exceder al

número de docenas de Zappers por más de 450.número de docenas de Zappers por más de 450.

Requerimientos Tecnológicos.Requerimientos Tecnológicos.

* Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos * Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de de

producción por docena.producción por docena.

* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de * Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción producción

por docena.por docena.

Plan común de producción para:Plan común de producción para:

* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores * Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores

ganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidad ganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidad

por docena).por docena).

* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers, * Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers,

porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por

docena).docena).

El plan común de producción consiste en:El plan común de producción consiste en:

Space Rays = 550 docenasSpace Rays = 550 docenas

Zappers = 100 docenasZappers = 100 docenas

Utilidad = $4900 por semanaUtilidad = $4900 por semana

El gerente siempre El gerente siempre buscará un esquema buscará un esquema de producción que de producción que

incrementre las incrementre las ganancias de su ganancias de su

compañíacompañía

EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROVEE UNA SOLUCIÓN INTELIGENTE PARA ESTE

PROBLEMA

SoluciónSolución Variables de decisiónVariables de decisión

* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por * X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por

semana).semana).

* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por * X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por

semana).semana).

Función objetivoFunción objetivo

* Maximizar la ganancia semanal.* Maximizar la ganancia semanal.

Modelo de Programación LinealModelo de Programación Lineal

Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Sujeto a:Sujeto a:

2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)

3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)

X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)

X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)

XXj j >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)>= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

2.3 Conjunto de soluciones 2.3 Conjunto de soluciones factibles para el modelo lineal.factibles para el modelo lineal.

El conjunto de puntos que satisface todas las El conjunto de puntos que satisface todas las

restricciones del modelo es llamado:restricciones del modelo es llamado:

REGION FACTIBLE

USANDO UN GRAFICO SE USANDO UN GRAFICO SE PUEDEN REPRESENTAR PUEDEN REPRESENTAR

TODAS LAS TODAS LAS RESTRICCIONES, LA RESTRICCIONES, LA FUNCION OBJETIVO Y FUNCION OBJETIVO Y LOS TRES TIPOS DE LOS TRES TIPOS DE

PUNTOS DE PUNTOS DE FACTIBILIDAD.FACTIBILIDAD.

1200

600

The Plastic constraint

Factible

Restricción del plástico: 2X1+X2<=1200

X2

No Factible

Horas deProducción3X1+4X2<=2400

Restricción del total de producción: X1+X2<=800

600

800

Restricción del exceso de producción:X1-X2<=450

• Tipos de puntos de factibilidadPunto Inferior

Punto MedioPunto Extremo

X1

2.4 Resolución gráfica para 2.4 Resolución gráfica para encontrar la solución óptima.encontrar la solución óptima.

Recalcular la región factible

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

comenzar con una ganancia dada de = $2,000...

Utilid. = $ 000 2,

Entonces aumente la ganancia...

3,4,

...y continúe hasta que salga de la región factible

Ganancia =$5040

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

Se toma un valor cercano al punto óptimo

FeasibleregionRegiónFactible

Región no factible

Resumen de la solución óptimaResumen de la solución óptima

Space Rays = 480 docenasSpace Rays = 480 docenas

Zappers = 240 docenasZappers = 240 docenas

Ganancia = $5040Ganancia = $5040

* Esta solución utiliza todas las materias primas * Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y (plástico) y

todas las horas de producción.todas las horas de producción.

* La producción total son 720 docenas (no 800).* La producción total son 720 docenas (no 800).

* La producción de Space Rays excede a la de Zappers * La producción de Space Rays excede a la de Zappers por solopor solo

240 docenas y no por 450.240 docenas y no por 450.

Soluciones óptimas y puntos extremos.Soluciones óptimas y puntos extremos.

* Si un problema de programación lineal tiene una solución * Si un problema de programación lineal tiene una solución

óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.

Múltiples soluciones óptimas.Múltiples soluciones óptimas.

* Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la * Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la

función objetivo es una recta paralela a uno de los lados función objetivo es una recta paralela a uno de los lados

de la región factible.de la región factible.

* Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es * Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es

también una solución óptima.también una solución óptima.

Solución mediante el método SimplexSolución mediante el método Simplex

Partamos de la base que el problema a resolver es el Partamos de la base que el problema a resolver es el siguiente:siguiente:

Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Sujeto a:Sujeto a:

2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico

3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producciónX1 + X2 <= 800 (Limite producción X1 + X2 <= 800 (Limite producción

totaltotal

X1 - X2 <= 450 (Producción en excesoX1 - X2 <= 450 (Producción en exceso

XXj j >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)>= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

Para poder utilizar el método simplex se deben cumplir Para poder utilizar el método simplex se deben cumplir las siguientes restricciones:las siguientes restricciones:

Restricciones del AlgoritmoRestricciones del Algoritmo

a) Solo se puede utilizar para maximizar la función a) Solo se puede utilizar para maximizar la función objetivo.objetivo.

Para minimizar se debe maximizar (-z).Para minimizar se debe maximizar (-z).

b) Solo se puede aplicar a restricciones de igualdad.b) Solo se puede aplicar a restricciones de igualdad.

2x1 + X2 2x1 + X2 ++ S1 S1 =1200 ;S1 = Var. de =1200 ;S1 = Var. de holgura holgura

<= 3X1 + 4X2 <= 3X1 + 4X2 ++ S2S2 = 2400 ;S2 = Var de = 2400 ;S2 = Var de holguraholgura

X1 + X2 X1 + X2 ++ S3S3 = 800 ;S3 = Var de = 800 ;S3 = Var de holguraholgura

(caso ficticio)(caso ficticio)

>= 2X1 + x2 >= 100>= 2X1 + x2 >= 100

2X1 + X2 2X1 + X2 -- S4S4 = 100 = 100 ;S4 = Var de exceso;S4 = Var de exceso

c) Todas las variables deben ser mayores que cero.c) Todas las variables deben ser mayores que cero.

x1 - x2 +x1 - x2 + S4 S4 + + a1 a1 = 450= 450 a1= Var artificiala1= Var artificial

Por el hecho de haber agregado una variable Por el hecho de haber agregado una variable artificial se debe agregar a la función objetivo a1 pero artificial se debe agregar a la función objetivo a1 pero con un valor muy grande y negativo representado por -con un valor muy grande y negativo representado por -M.M.

Max 8x1 + 5x2 Max 8x1 + 5x2 -- Ma1Ma1

2.5 Análisis de sensibilidad para 2.5 Análisis de sensibilidad para la solución óptima.la solución óptima.

¿Es sensible la solución óptima a cambios en los ¿Es sensible la solución óptima a cambios en los parámetros de entrada?parámetros de entrada?

Posibles razones para responder la pregunta Posibles razones para responder la pregunta anterior:anterior:

* Los valores de los parámetros usados fueron los mejores * Los valores de los parámetros usados fueron los mejores

estimados.estimados.

* Medio ambiente por ser dinámico puede producir * Medio ambiente por ser dinámico puede producir cambios.cambios.

* El análisis del “qué pasa si” puede proveer información * El análisis del “qué pasa si” puede proveer información

económica y operacional.económica y operacional.

2.62.6 Análisis de sensibilidad de Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función los coeficientes de la función

objetivoobjetivo

Rango de optimalidadRango de optimalidad– La solución óptima permanecerá inalterable La solución óptima permanecerá inalterable

mientras:mientras: Un coeficiente de la función objetivo se encuentre Un coeficiente de la función objetivo se encuentre

dentro del rango de optimalidad.dentro del rango de optimalidad. No hay cambios en ningún otro parámetro.No hay cambios en ningún otro parámetro.

– El valor de la función objetivo cambiará si el El valor de la función objetivo cambiará si el coeficientecoeficiente

multiplica una variable cuyo valor es distinto de cero.multiplica una variable cuyo valor es distinto de cero.

Los efectos del cambios en un coeficiente de la Los efectos del cambios en un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptimafunción objetivo, sobre la solución óptima

600

800

1200 X2

X1

Max 8x1 + 5x2

Max 4x1 + 5x2Max 3.75x1 + 5x2 Max 2x1 + 5x2

400 600 800

Los efectos del cambio de un coeficiente de la Los efectos del cambio de un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptimafunción objetivo, sobre la solución óptima

600

800

1200

400 600 800

X2

X1Max8x1 + 5x2

Max 3.75x1 + 5x2

Max8x1 + 5x2

Max 3.75 x1 + 5x2M

ax 10 x1 + 5x23.75

10

Rango de optimalidad

Cambios MúltìplesCambios Múltìples

El rango de optimalidad es válido cuando un único El rango de optimalidad es válido cuando un único coeficiente de la función objetivo cambia.coeficiente de la función objetivo cambia.

Cuando cambia más de una variable se utiliza la regla Cuando cambia más de una variable se utiliza la regla del 100%.del 100%.

Regla del 100%Regla del 100%

Para cada aumento (disminución) en un coeficiente de Para cada aumento (disminución) en un coeficiente de la función objetivo calcular (y expresar como un la función objetivo calcular (y expresar como un porcentaje) la relación de cambio del coeficiente al porcentaje) la relación de cambio del coeficiente al máximo aumento posible (disminución) determinada máximo aumento posible (disminución) determinada por los límites del rango de optimalidad.por los límites del rango de optimalidad.

Sumar todos los cambios de porcentaje. Si el total es Sumar todos los cambios de porcentaje. Si el total es menor que 100%, la solución óptima no cambiará. Si menor que 100%, la solución óptima no cambiará. Si este total es mayor que 100%, la solución óptima este total es mayor que 100%, la solución óptima puede cambiar.puede cambiar.

Reducción de costosReducción de costosLa reducción de costos de una variable a su cota inferior La reducción de costos de una variable a su cota inferior (comúnmente cero) implica que:(comúnmente cero) implica que:

– Los coeficientes de la función objetivo deben cambiar Los coeficientes de la función objetivo deben cambiar antes que la variable pueda tomar un valor sobre la cota antes que la variable pueda tomar un valor sobre la cota inferior.inferior.

– Con lo anterior la cantidad de ganancia óptima cambiará Con lo anterior la cantidad de ganancia óptima cambiará según las variables aumentadas desde la cota inferior.según las variables aumentadas desde la cota inferior.

Holgura complementariaHolgura complementaria

– Existe holgura en la solución óptima, cuando cada Existe holgura en la solución óptima, cuando cada variable está en su cota inferior o el costo reducido es 0. variable está en su cota inferior o el costo reducido es 0.

2.72.7 Análisis de Sensibilidad Análisis de Sensibilidad del del

coeficiente del lado derechocoeficiente del lado derecho

Cualquier cambio en el lado derecho (bi) de Cualquier cambio en el lado derecho (bi) de una restricción activa cambiará la solución una restricción activa cambiará la solución óptima.óptima.

Cualquier cambio en el lado derecho de una Cualquier cambio en el lado derecho de una restricción no activa que sea menor que la restricción no activa que sea menor que la holgura o o el exceso, no produce ningún holgura o o el exceso, no produce ningún cambio en la solución óptima.cambio en la solución óptima.

Para el análisis de sensibilidad de la Para el análisis de sensibilidad de la validez de los coeficiente del lado derecho validez de los coeficiente del lado derecho

nos interesa responder las siguientes nos interesa responder las siguientes preguntas :preguntas :

¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto ¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por ejemplo, la ganancia) si el coeficiente del lado derecho ejemplo, la ganancia) si el coeficiente del lado derecho de una restricción cambia en una unidad?de una restricción cambia en una unidad?

¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir ¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para que la solución siga siendo válida?para que la solución siga siendo válida?

1200

600

X2

Restricción materiales (plásticos)

FeasibleX1

600

800

Restricción del tiempo de producción

Ganancia máxima= 5040

2x1 + 1x2 <=1200

Nueva restricción materiales (plásticos)2x1 + 1x2 <=1350 Combinación de restricciones en la producción

Puntos extremos

Interpretación correcta del precio Interpretación correcta del precio sombrasombra

Los costos amortizados: El precio sombra, es el valor Los costos amortizados: El precio sombra, es el valor por una unidad extra del recurso, ya que el costo del por una unidad extra del recurso, ya que el costo del recurso no es incluido en el cálculo de los coeficientes recurso no es incluido en el cálculo de los coeficientes de la función objetivo.de la función objetivo.

Los costos incluídos: El precio sombra es el valor Los costos incluídos: El precio sombra es el valor superior por unidad del recurso, el costo del recurso se superior por unidad del recurso, el costo del recurso se incluye en el cálculo del coeficiente de la función incluye en el cálculo del coeficiente de la función objetivo.objetivo.

El rango de factibilidadEl rango de factibilidad

El conjunto de los coeficientes del lado El conjunto de los coeficientes del lado derecho entregan el rango para que el mismo derecho entregan el rango para que el mismo conjunto de restricciones determine el punto conjunto de restricciones determine el punto óptimo.óptimo.

Dentro del rango de factibilidad, los precios Dentro del rango de factibilidad, los precios sombras permanecen constante; sin sombras permanecen constante; sin embargo, la solución óptima cambiará.embargo, la solución óptima cambiará.

2.8 Otros cambios para 2.8 Otros cambios para optimizar la función objetivooptimizar la función objetivo

La incorporación de una restricción.La incorporación de una restricción.

La eliminación de una restricción.La eliminación de una restricción.

La incorporación de un variable.La incorporación de un variable.

La eliminación de un variable.La eliminación de un variable.

Cambio en el lado izquierdo de los Cambio en el lado izquierdo de los coeficientes.coeficientes.

2.92.9 Modelo sin solución Modelo sin solución óptimaóptima

No factible: Ocurre cuando en el modelo no No factible: Ocurre cuando en el modelo no hay ningún punto de factible.hay ningún punto de factible.

No acotado: Ocurre cuando el objetivo puede No acotado: Ocurre cuando el objetivo puede crecer infinitamente (objetivo a maximizar).crecer infinitamente (objetivo a maximizar).

InfactibilidadInfactibilidad

Ningún punto se encuentra, simultáneamente, sobre la línea la línea y

1

2

3 1

2 3

Solución No AcotadaSolución No Acotada

La región factible

Maximizar

La función objetivo

2.10 Dieta Marina2.10 Dieta Marina

Un problema de minimización del costo Un problema de minimización del costo de la dieta:de la dieta:

Mezcle dos porciones de lo productos: Mezcle dos porciones de lo productos:

Texfoods, Calration.Texfoods, Calration. Minimice el costo total de la mezcla. Minimice el costo total de la mezcla. Mantenga los requerimientos mínimosMantenga los requerimientos mínimos

de Vitamina A, Vitamina D, y hierro.de Vitamina A, Vitamina D, y hierro.

Variables de decisión:Variables de decisión:x1 (X2) - - El cantidad de Texfoods (Calration) se x1 (X2) - - El cantidad de Texfoods (Calration) se

usó en cada porción (cada 2 onzas)usó en cada porción (cada 2 onzas).. El modeloEl modelo

minimizar 0.60X1 + 0.50X2minimizar 0.60X1 + 0.50X2

sujeto asujeto a

20X1 + 50X2 100 20X1 + 50X2 100

25X1 + 25X2 100 25X1 + 25X2 100 Vitamina DVitamina D

50X1 + 10X2 100 50X1 + 10X2 100 hierrohierro X1, X2 0 X1, X2 0

Costo por 2 oz.

% Vitamina A por 2 oz.

% requerido

La solución gráficaLa solución gráfica

5

4

2

2 44 5

Región factibleRegión factible

Restricción de vitamina D

Restricción de vitamina A

Restricción de hierro

Resumen de la solución óptimaResumen de la solución óptima

Producto Texfood = repartir 1.5 (= 3 onzas)Producto Texfood = repartir 1.5 (= 3 onzas) Producto Calration = repartir 2.5 (= 5 onzas)Producto Calration = repartir 2.5 (= 5 onzas) Costo =$ 2.15 por porción servidar.Costo =$ 2.15 por porción servidar. El requisito mínimo para la Vitamina D y el El requisito mínimo para la Vitamina D y el

hierro no se encuentren en superávit.hierro no se encuentren en superávit. La mezcla provee 155% del requerimiento La mezcla provee 155% del requerimiento

para Vitamina A.para Vitamina A.

2.11 Solución para problemas 2.11 Solución para problemas lineales con muchas variables de lineales con muchas variables de decisión usando el computadordecisión usando el computador Los paquetes de programas lineales resuelven Los paquetes de programas lineales resuelven

grandes modelos lineales.grandes modelos lineales. La mayoría de los software usan la técnica La mayoría de los software usan la técnica

algebraica llamada algoritmo Simplex.algebraica llamada algoritmo Simplex. Los paquetes incluyen:Los paquetes incluyen: El criterio de la función objetivo (Max o Min).El criterio de la función objetivo (Max o Min). El tipo de cada restricción: .El tipo de cada restricción: . Los coeficientes reales para el problema.Los coeficientes reales para el problema.

, ,

La solución generada por un La solución generada por un software de programación lineal software de programación lineal

incluye:incluye:

Los valores óptimos de la función objetivo.Los valores óptimos de la función objetivo. Los valores óptimos de las variables de decisión.Los valores óptimos de las variables de decisión. La minimización del costo para los coeficientes de la La minimización del costo para los coeficientes de la

función objetivo.función objetivo. Los rangos de optimización para los coeficientes de Los rangos de optimización para los coeficientes de

la función objetivo.la función objetivo. La cantidad de holgura o exceso sobre cada La cantidad de holgura o exceso sobre cada

restricción.restricción. Los precios sombra (o dual) para las restricciones.Los precios sombra (o dual) para las restricciones. Los rangos de factibilidad para el coeficiente del Los rangos de factibilidad para el coeficiente del

lado derecho.lado derecho.

WINQSB datos de entrada WINQSB datos de entrada para el problema de las para el problema de las industrias galaxiaindustrias galaxia

Las variables y los nombres de las restricciones pueden ser cambiados aquí. Las variables son

restringidas a >=0 Ningún límite superior

Click pararesolver