PROGRAMACION LINEALMETODO SIMPLEX

Se llama programacin lineal al conjunto de tcnicas matemticas que pretenden resolver la situacin siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una funcin objetivo, funcin lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.

PROBLEMAUna fbrica debe producir mesas y sillas. Se conoce que para hacer una mesa se consumen los siguientes insumos: 8 Kg. de Materia Prima por unidad; 2 Hs. Hombre por unidad; 6 Hs. Mquina por unidad La utilidad es de $ 3.- por unidad. Los insumos para las sillas son: 4 Kg. de Materia Prima por unidad;6 Hs. Hombre por unidad; 5 Hs. Mquina por unidad La utilidad es de $ 4.- por unidad.La fbrica dispone nicamente de 160 Kg. de Materia Prima por semana, 60 Hs. Hombre por semana y 150 Hs. Mquina por semana. Qu mezcla de productos debera producir el fabricante para maximizar su utilidad?

IDENTIFICACION DE VARIABLESSe denominan VARIABLES REALES

RESOLUCION ALGEBRAICA

RESOLUCION GRAFICAX21020304010203040X2

RESOLUCION GRAFICA10203040X240102030Solucin Factible en el VrticeSolucion FactibleX10Z= MaxX2=-3/4X1Para X1=18 y X2=4Z= $70 MaxSolucin Optima

METODO SIMPLEX

METODO SIMPLEXPrimer Paso: Convertir inecuaciones en ecuacionesSolucion AumentadaDonde:Variables de Holgura

METODO SIMPLEX3212132100043....llllll++++====xxZMqHsdeExcedenteHHsdeExcedenteMPKgdeExcedente

DEFINICIONES SIMPLEXSolucin Bsica Factible: SFV AumentadaVariables Bsicas: Tienen valores distintos de 0Variables No Bsicas: Tienen valores iguales a 0

TABLA SIMPLEXCj= Coeficientes en el Funcional o FO (Z)X= Variables Basicas que integran la SBFB= Valores de la SBFC= Valores de las variables que integran la SBF en Za= B/ Columna Pivote 000-460CjZ--31005215000106600001481600

aX2X1BXC00043Cj

TABLA SIMPLEXIngreso de variables: En maximizacin entra la de > coeficiente negativoSalida de Variables:Sale la de < valor de a (B/ Columna Pivote) 30000-460CjZ--310052150010010660040001481600

aX2X1BXC00043Cj

CALCULO DE COEFICIENTES EN LA NUEVA TABLA30000-460CjZ--310052150010010660X2440001481600

aX2X1BXC00043CjColumna Pivote: Todos 0 menos el pivote

CALCULO DE COEFICIENTES EN LA NUEVA TABLA30000060CjZ--310002150010010660X2440001081600aX2X1BXC00043CjColumna Pivote: Todos 0 menos el pivoteFila Pivote: Vieja fila pivote / pivote

CALCULO DE COEFICIENTES EN LA NUEVA TABLA000060CjZ--310001/3150001/60110X24001081600aX2X1BXC00043CjColumna Pivote: Todos 0 menos el pivoteFila Pivote: Vieja fila pivote / pivoteResto de los valores: Valor anterior (Producto de la diagonal / Pivote)

02/30013/340CjZ--5/31-5/6001/3100001/60110X240-2/31020/31200aX2X1BXC00043CjEj. 1: 30000-460CjZ--31001500100066004000181600

aX2X1BXC00043Cj8-2 x 4_______6= 20/342Ej. 2: 0_______5 x 16-= -5/615Sigue habiendo un valor negativo en Z-Cj, por lo tanto no es la Solucion Optima

2302/3013/340CjZ--5/31-5/60010003001/60110X24180-2/31020/31200aX2X1BXC00043Cj01/3Segunda Iteracion

00.50.25070CjZ-01-0.4-0.65022000.2-0.0514X240-0.10.150118X13aX2X1BXC00043Cj00No existen valores < 0 en Z-Cj, por lo tanto llegamos a la solucin ptimaTercera TablaSolucion Optima:X1 = 18 UnidadesX2 = 4 UnidadesUtilidad = $ 70Sobran 22 Hs. Maquina

Precio SombraCosto de OportunidadCosto de Oportunidad:Representa la disminucion neta de Z si introduzco una unidad mas de Xn.Tambien puede interpretarse como la cantidad en que la utilidad de Xn deberia incrementarse para poder ingresar a la solucion

Precio SombraCosto de OportunidadPrecio Sombra:Representa el valor marginal de una unidad adicional del recurso saturado

Adaptacin a otras formas del modeloEn un laboratorio de productos qumicos se producen dos tipos de compuestos, A y B, en un determinado sistema de mezclado, el cual requiere el llenado de un total combinado de 10 barriles.La disponibilidad de materia prima limita la produccin del compuesto B a 6 barriles.Por otro lado se sabe que cada barril de A lleva como ingrediente 4 litros de un aceite especial, y cada barril de B lleva 2 litros del mismo aceite. La existencia disponible de este aceite es de 36 litros.Por ltimo, se estima una utilidad de $ 7000 por cada barril de A y $ 2000 por cada barril de B.Se desea determinar la mezcla ptima a producir con el fin de maximizar la utilidad

Planteo de InecuacionesBARRILES= Volumen de producin requeridaBARRILES= Lmite de produccion de BLITROS= Aceite disponibleMaximizar

X2X1610180Produccion requeridaX2=-X1+10Produccion maxima de BX2

X2X1610180Soluciones FactiblesFuncion ObjetivoX2=-7/2X1+Z82Solucion OptimaResolucin Grfica

Planteo de InecuacionesBARRILES= Volumen de producin requeridaBARRILES= Lmite de produccion de BLITROS= Aceite disponible

Planteo de Ecuaciones

000M0-M-2000-M-7000-10MCjZ-910000236001000106010001-101110-M100000111100aX2X1BXC00-M0020007000CjTabla Simplex Inicial4

0180.25M+175000M0-0.5M+1500-m+63000CjZ-0.2500000.59X1700060100010602-0.2501-1001-M2-0.2500010.5010aX2X1BXC00-M0020007000CjTabla Simplex Inicial10.5

025000M-300030000060000CjZ-0.50-11008X170000.51-2200040-0.502-2002X2200000-1110000aX2X1BXC00-M0020007000CjTabla Simplex Inicial11

Anlisis FinalXi = 8 barriles a producir de AX2 = 2 barriles a producir de BZ = $ 60000 = no hay sobrante de produccin = no hay faltante de produccin. Precio sombra: $3000/ unidad adicional de capacidad de produccin. =4 barriles de b no producidos por debajo del lmite mximo de produccin. =0 Se utiliza todo el aceite disponible. Valor marginal $ 2500/litro adicional.

MinimizacinUna empresa dedicada a la producci de cosmeticos a lanzado una nueva lnea de productos.El gerente de Marketing debe determinar el nmero ptimo de anuncios en cada medio seleccionado a los efectos de minimizar el costo de llegar como mnimo a 15 millones de clientes potenciales, de los cuales 12 millones deberan tener necesariamente ingresos suporiores a $100.000 por ao.Se cuenta con la siguiente informacin:

MEDIOCosto por avisoALCANCEIng.> $ 100.000Rev. Gente1510.5Radio Del Plata2541Canal 131010.5

Planteo de InecuacionesSolucin AmpliadaFuncionalPenetracin de mercadoImpos. de Ingresos

Identificacin de Variables Cantidad de anuncios en Radio del Plata

Excedente de penetracin de mercado por sobre el mnimo requeridoX1= Cantidad de anuncios en revista Gente

X3= X2 =

Cantidad de anuncios en Canal 13Excedente de penetracin con ingreso superior a $100.000 / ao por sobre el mnimo fijado

aCBXCj00-M-M1.5M-105M-251.5M-1527MCjZ- 1210-100.510.512M3.75010-11115MX3X2X1MM001025154Solucin Bsica Inicial

1aCBXCj0-1.25M+6.25-M0.25M-6.250.25M-3.7500.25M-8.758.25M+93.75CjZ- 331-0.25-10.250.2500.258.25M1500.250-0.250.253.75X225X3X2X1MM00102515Primera Iteracin0.25

40aCBXCj0-1.5M+10-M0.5M-10-M+15-54.5M+150CjZ- 91-0.5-10-104.5M---010-1115X310X3X2X1MM00102515Segunda Iteracin10.5

1020aCBXCj-M

-20-5-5240CjZ- 2-1-20-209020-20124X310X3X2X1MM00102515Tercera Iteracin1-M+20

Solucion OptimaX1=0Z= $ 240 Costo MnimoNo se anuncia en Gente. Costo de oportunidad = $5/anuncioX2=0No se anuncia en Del Plata. Costo de oportunidad = $5/anuncioX3=24Cantidad de anuncios en Canal 13La campaa publicitaria llegara a 9 millones de clientes potenciales mas de lo impuesto como mnimoLa imposicin respecto al ingreso se satisface exactamente con el mnimo requerido.Precio sombra=$20/ millon de clientes

ANALISIS DE SENSIBILIDADAnlisis de variacin de coeficientes en Z de las variables BsicasDado:Determinar: dentro de que lmites puede variar el beneficio unitario de X1 sin que se modifique la solucin ptima del problema?

Anlisis de variacin de coeficientes en Z de las variables Bsicas