Programacion Lineal

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UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO

UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL

ASIGNATURA: INVESTIGACION OPERATIVA I.

TEMA: PROGRAMACION LINEAL.

AUTOR: ANDREINA VARGAS SANTILLANA.

SEMESTRE:VI

CICLO ACADMICO: 2013-II

AREQUIPA PER

2014

RESUMEN

La mayora de situaciones que afrontan las personas y organizaciones implican explcitamente o implcitamente tomar decisiones. En algunos casos, los procesos para la toma de dichas decisiones resultan simples, mientras que en otros casos involucran gran cantidad de aspectos que deben considerarse aumentando as la dificultad y complejidad en la toma de decisiones. La investigacin de operaciones es una disciplina que aplica mtodos analticos para contribuir en los procesos de toma de decisiones, la cual ha encontrado cabida en diversos campos del pensamiento humano generando un amplio campo de conocimiento. Este curso constituye la primera aproximacin a la investigacin de operaciones, en la que se espera introducir al estudiante en esta fascinante rea del conocimiento y crear en el las inquietudes para profundizar en su estudio de modo que adquiera herramientas que pueda aplicar al verse enfrentado a procesos de toma de decisiones.

INDICE

INTRODUCCION3Historia de laprogramacinlineal5PROGRAMACION LINEAL.7Caracterizacin de la PLE.9METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL.10TIPOS DE SOLUCIONES...14Aplicaciones...18EJEMPLOS22Bibliografa.38

INTRODUCCION

Mucha gente sita eldesarrollode laprogramacinlineal entre los avances cientficos ms importantes de la mitad del siglo XX, y debemos estar de acuerdo con esta afirmacin si tenemos en cuenta que su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. Se han escrito decenas delibrosdetextosobre lamateriay los artculos publicados que describen aplicaciones importantes se cuentan ahora por cientos. De hecho, una proporcin importante de todo elclculocientfico que se lleva a cabo encomputadorasse dedica al uso de la programacin lineal y atcnicasntimamente relacionadas. (Esta proporcin se estim en un 25%, en un estudio de la IBM).Unmodelodeprogramacin linealproporciona unmtodoeficiente para determinar una decisin ptima, (o unaestrategiaptima o unplanptimo) escogida de un gran nmero de decisiones posibles.En todos losproblemasde Programacin Lineal, elobjetivoes la maximacin o minimizacin de alguna cantidad.

Historia de laprogramacinlineal

El problema de la resolucin de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a JosephFourier, despus de quien nace elmtodode eliminacin de Fourier-Motzkin. La programacin lineal se plantea como unmodelomatemtico desarrollado durantela Segunda Guerra Mundialpara planificar losgastosy los retornos, a fin de reducir loscostosal ejrcito y aumentar las prdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchasindustriaslo usaron en suplanificacindiaria.Los fundadores de la tcnica son George Dantzig, quien public el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarroll lateorade la dualidad en el mismo ao, y Leonid Kantorvich, un matemtico ruso, que utilizatcnicassimilares en laeconomaantes de Dantzig y gan el premio Nobel eneconomaen 1975. En 1979, otro matemtico ruso, Leonid Khachiyan, dise el llamado Algoritmo del elipsoide, a travs del cual demostr que el problema de laprogramacin lineales resoluble de manera eficiente, es decir, entiempopolinomial.2 Ms tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo mtodo del punto interior para resolverproblemasde programacin lineal, lo que constituira un enorme avance en losprincipiostericos y prcticos en el rea.El ejemplo original de Dantzig de la bsqueda de la mejor asignacin de 70 personas a 70 puestos detrabajoes un ejemplo de lautilidadde la programacin lineal. Lapotenciadecomputacinnecesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignacin es inmensa (factorial de 70, 70!); el nmero de posibles configuraciones excede al nmero de partculas enel universo. Sin embargo, toma slo un momento encontrar la solucin ptima mediante elplanteamiento del problemacomo una programacin lineal y la aplicacin del algoritmo simplex. La teora de la programacin lineal reduce drsticamente el nmero de posiblessolucionesptimas que deben ser revisadas.

PROGRAMACION LINEAL

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo, Lagrange, que tanto haban contribuido al desarrollo del clculo infinitesimal, se ocuparon de obtener mximos y mnimos condicionados de determinadas funciones.Posteriormente el matemtico francs Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los mtodos de lo que actualmente llamamos programacin lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y Kantarovitch, razn por la cual se suele conocer con el nombre deproblema de Koopmans-Kantarovitch.Tres aos ms tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de rgimen alimenticio optimal.Mucha gente sita el desarrollo de la programacin lineal entre los avances cientficos ms importantes de la mitad del siglo XX, y debemos estar de acuerdo con esta afirmacin si tenemos en cuenta que su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. Se han escrito decenas de libros de texto sobre la materia y los artculos publicados que describen aplicaciones importantes se cuentan ahora por cientos. De hecho, una proporcin importante de todo el clculo cientfico que se lleva a cabo en computadoras se dedica al uso de la programacin lineal y a tcnicas ntimamente relacionadas. (Esta proporcin se estim en un 25%, en un estudio de la IBM).Un modelo de programacin lineal proporciona un mtodo eficiente para determinar una decisin ptima, (o una estrategia ptima o un plan ptimo) escogida de un gran nmero de decisiones posibles.

Un problema de Programacin Linealconsiste en optimizar (maximizar o minimizar) la funcin:z = F ( x1, x2, ... ,xn) = c1x1+ c2x2+ ... + cnxnsujeto a:a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn=ba21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn=b2. . .am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn=bmx1, x2, . . . , xn0A la funcin z = F ( x1, x2, ... ,xn) = c1x1+ c2x2+ ... + cnxn se le denominafuncin objetivoo funcin criterio.Los coeficientes c1, c2, ... , cnson nmeros reales y se llamancoeficientes de beneficio o coeficientes de costo. Son datos de entrada del problema.x1, x2, ... , xnson lasvariables de decisin(o niveles de actividad) que deben determinarse.Las desigualdades ai1x1+ ai2x2+ . . . + ainxnbi, con i = 1, ... , m se llamanrestricciones.Los coeficientes aij, con i = 1, ... , m y j = 1, ... , n son tambin nmeros reales conocidos y se les denominacoeficientes tecnolgicos.El vector del lado derecho, es decir los trminos bi, con i = 1, ... , m, se llamavector de disponibilidadeso requerimientos y son tambin datos conocidos del problema.Las restricciones xj0 con j = 1, ... , n se llamanrestricciones de no negatividad.Al conjunto de valores de (x1, x2, ... ,xn) que satisfacen simultneamente todas las restricciones se le denominaregin factible. Cualquier punto dentro de la regin factible representa un posible programa de accin.Lasolucin ptimaes el punto de la regin factible que hace mxima o mnima la funcin objetivo.

Caracterizacin de la PLE

La programacin lineal tambin conocida como optimizacin lineal, es la maximizacin o minimizacin de una funcin lineal sobre un poliedro convexo definido por un conjunto de restricciones lineales no negativas. La teora de la programacin lineal cae dentro de la teora de la optimizacin convexa y es tambin considerada como parte importante de la investigacin deoperaciones.La programacin lineal entera (PLE) es el conjunto deproblemasde programacin lineal para los cuales todas o parte de susvariablespertenecen a los nmeros enteros.Un problema de PLE puede describirse de la siguiente forma:Optimizar una funcinobjetivoz=c.xBajo las restricciones Ax = = b, x = 0Donde:x -Vector con variables enterasc -Vector de coeficientes de la funcin objetivoA -Matrizde coeficientes de las restriccionesb -Vector de trminos independientesLosmodelosde programacin lineal entera pudieran clasificarse en tresgrupos:Entero completamente. Todas las variables de decisin son enteras.Mixto. Algunas de las variables son enteras, las otras no.Binario. Las variables solo tomanlos valores0 1.

METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL

Existen tres mtodos de solucin de problemas de programacin lineal:Mtodo grfico o de las rectas de nivel. Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la funcin objetivo toma el mismo valor.Mtodo analtico o de los vrtices. El siguiente resultado, denominado teorema fundamental de la programacin lineal,nos permite conocer otro mtodo de solucionar un programa con dos variables:En un programa lineal con dos variables, si existe una solucin nica que optimice la funcin objetivo, sta se encuentra en un punto extremo (vrtice) de la regin factible acotada, nunca en el interior de dicha regin. Si la funcin objetivo toma el mismo valor ptimo en dos vrtices, tambin toma idntico valor en los puntos del segmento que determinan.En el caso de que la regin factible no es acotada, la funcin lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor ptimo concreto, pero, si lo hace, ste se encuentra en uno de los vrtices de la reginEsquema prctico.Los problemas de programacin lineal pueden presentarse en la forma estndar, dando la funcin objetivo y las restricciones, o bien plantearlos mediante un enunciado.

Mtodos de solucin

Pudiera pensarse que los mtodos de obtencin desolucionesa problemas de programacin lineal entera pudieran ser menos difciles que los de programacin lineal generales, pero resulta lo contrario. Losalgoritmosque