PROGRAMACIÓNLINEAL

Profesor: Juan Salvador Sánchez

La programación lineal da respuesta a situaciones en

las que se exige maximizar o minimizar funciones que

se encuentran sujetas a determinadas limitaciones,

que llamaremos restricciones.

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la

industria, la economía, la estrategia militar, etc.

DEFINICIÓN

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la

industria, la economía, la estrategia militar, etc.

FUNCIÓN OBJETIVO

En esencia la programación lineal consiste en

optimizar (maximizar o minimizar) una función

objetivo, que es una función lineal de varias

variables:

f(x,y) = ax + by.

La función objetivo está sujeta a una serie

de restricciones, expresadas por

inecuaciones lineales:

RESTRICCIONES

1 1 1

2 2 2

n n n

a x b y c

a x b y c

a x b y c

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

SOLUCIÓN FACTIBLE

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

SOLUCIÓN ÓPTIMA

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).

VALOR DEL PROGRAMA LINEAL

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

1. Elegir las incógnitas.2. Escribir la función objetivo en función de los datos del

problema.3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando

gráficamente las restricciones.5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de

soluciones factibles (si son pocos).6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los

vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).

PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Unos grandes almacenes encargan un trabajo a un fabricante de

pantalones y chaquetas deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de

algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m

de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5

m de algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.

¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el

fabricante a los almacenes para que estos consigan una beneficio

máxima?

EJEMPLO

1. Elección de las incógnitas.

Sean:

X: número de pantalones

Y: número de chaquetas

2. Función Objetivo:

, 50 40f x y x y

Material Pantalones ChaquetasDisponible

Algodón 1 1,5 750

Poliéster 2 1 1000

Para dar a conocer las restricciones vamos a ayudarnos de la siguiente tabla:

3. Restricciones

Luego se tiene:

1,5 750

2 1000

x y

x y

2 3 1500

2 1000

x y

x y

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

0

0

x

y

4. Ahora hallamos el conjunto de soluciones factibles:

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: x + 1.5y ≤ 750, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

• 0 + 1.5· 0 ≤ 750• 0 ≤ 750 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la

desigualdad.• De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.• 2 · 0 + 0 ≤ 1 000

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

Conjunto de soluciones factibles

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Estas son las soluciones a los sistemas:

• Si x = 0 entonces 2x + 3y = 1500; luego y = 500 (0, 500)• Si y = 0 entonces 2x + y = 1000; luego x = 500 (500, 0)• Si x = 375; y = 250 entonces 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

• f(x, y) = 50x + 40y

• f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20 000 €

• f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25 000 €

• f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28 750 € Máximo

Por lo tanto la solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250

chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

6. Calculando el valor de la función objetivo

Solución múltiple

La solución no siempre es única, también podemos

encontrarnos con una solución múltiple.

Por ejemplo:

Si la función objetivo del ejercicio anterior hubiese

sido: f(x,y)= 20x + 30y

Entonces tenemos:

• f(0,500) = 20 · 0 + 30 · 500 = 15 000 € Máximo

• f(500, 0) = 20 · 500 + 30 · 0 = 10 000 €

• f(375, 250) = 20 · 375 + 30 · 250 = 15 000

€ Máximo

En este caso todos los pares, con soluciones enteras, del segmento trazado en negro serían máximos.

Luego f(300, 300)= 20 · 300 + 30 · 300 = 15 000 € Máximo

PROBLEMAS

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

1

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

2

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

3

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

4

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

5

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

6

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

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Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

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