UNIDAD EDUCATIVA

''JULIO MORENO ESPINOSA''

MANUAL MATEMATICO

INTEGRANTES

GENESSIS INTRIAGO #21

LICENCIADO:

CARLOS LOPEZ

CURSO:

1º''G''

TEMA:

PROGRAMACION LINEAL

MAXIMA GANANCIA DE UNA

PASTELERIA

Contenido 1. INTRODUCCION .............................................................................. 3

2. PROGRAMACION LINEAL ............................................................... 4

2.1. HISTORIA ................................................................................... 4

2.2. CONCEPTO ............................................................................. 4

3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................... 5

4. INGREDIENTES DE LOS DOS TIPOS DE PASTELES ........................ 7

4.1. PASTEL TIPO A (CHOCOLATE SENCILLO) ................................ 7

4.2. PASTEL TIPO B (CHOCO FLAN) ............................................. 7

5. PREPARACIÓN DE LOS PASTELES .................................................. 7

5.1. PASTEL TIPO A .......................................................................... 7

5.2. PASTEL TIPO B ........................................................................ 8

¿SABIAS QUE?

Un par ordenado es solución

de un sistema de

inecuaciones en X e Y si la

desigualdad es verdadera,

cuando al reemplazar las

coordenadas del punto en

todas las desigualdades,

satisface el sistema.

1. INTRODUCCION ¿Qué significa para ti restricción?

2x+3y≥-3

2x-y-9≤0

2x-5y-5≥0

En muchas aplicaciones de la industria y los negocios las soluciones que se necesitan están

definidas sobre numerables, tanto finitos como infinitos. Si se desea conocer el número

sandalias a producir para optimizar costos, la solución esperada es un numero entero, en

ningún caso un numero entero, en ningún caso un numero decimal. Cuando se busca el

número de viajes que un camión debe realizar para

cubrir la distribución de gaseosas en una ciudad,

jamás se aceptará como respuesta un valor de 6,32 o

de 6,47; o se toma el valor de 6, o se aproxima al

siguiente entero 7. Cuando se trabaja en

matemáticas discretas, las funciones dejan de ser

definidas sobre conjuntos continuos como los reales,

lo cual trae algunas consecuencias. Por ejemplo, el

grafico de la recta deja de ser una línea continua que

cruza el plano cartesiano, y pasa ser una sucesión de

puntos. En las matemáticas continuas, si dos rectas

en el plano no son paralelas, siempre se cortan en algún

punto; pero en las matemáticas discretas, estas dos rectas

no siempre tendrán la coincidencia de encontrarse en el

mismo punto. Por ello en programación lineal, la región de

soluciones factibles, no es una aérea continua, muy al

contrario, es una región salpicada de puntos. Y la función

objetivo va ''saltando'' de punto en punto cuando se busca

la mejor solución. Cuando un problema de programación

lineal requiere de una solución discreta, la función objetivo no podría ser evaluada para

valores como 6,32 o 6,47. Será sobre 6 o sobre 7.

La región factible o conjunto factible de un

sistema de inecuaciones lineales puede

estar acotada o no acotada.

Las restricciones del

problema son

inecuaciones lineales

La función objetivo también es de

tipo lineal F(x, y)=2x+5y

2. PROGRAMACION LINEAL

2.1. HISTORIA

El puente aéreo de Berlín. En 1946 comienza el largo periodo de

la 'guerra fría' entre la antigua Unión Soviética (URSS) y las

potencias aliadas (principalmente Inglaterra y Estados

Unidos).Uno de los episodios más llamativos de ese conflicto fue

cuando la URSS bloqueo las comunicaciones terrestres entre las

zonas alemanas en poder de los aliados con la ciudad de Berlín,

bloqueando esta ciudad. Dadas las circunstancias, los aliados

organizaron un gigantesco puente aéreo para abastecer la

ciudad. En la planificación de los suministros se utilizó la

programación lineal.

2.2. CONCEPTO

La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de

inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de

tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

En un problema de programación lineal de dos

variables X e Y, se trata de optimizar es decir

hacer máxima o mínima, según los casos una

función llamada función objetivo, que tiene la

forma F(x, y)=Ax+By, sujeta a una serie de

restricciones dadas mediante un sistema de

inecuaciones lineales tipo:

a₁x+b₁y≤c₁

a₂x+b₂y≤c₂

: : :

aᵤx+bᵤy≤cᵤ

Los puntos de la región factible

se denominan soluciones. De

todas las soluciones factibles,

aquellas que hacen óptima

(máxima o mínima) la función

objetivo, se denominan

soluciones óptimas.

Tipos de soluciones de un problema de

programación lineal

Solución única: se localiza en un vértice

o en un punto extremo de la región

factible.

Infinitas soluciones: o soluciones

múltiples.

Ausencia de solución: o solución no

acotada, cuando la función objetivo no

tiene valores extremos.

Solución no factible: cuando no existe

región factible por falta de puntos

comunes en el sistema de inecuaciones.

Solución degenerada: si en un solo

punto coinciden tres o más de las rectas

que limitan la región factible.

3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Una pastelería realiza 16 pasteles diarios, unos de tipo A son chocolate-sencillo y otros de tipo

B son de choco flan. Para ello se dispone de 100 huevos, 2000 gramos de azúcar, 10000

gramos de chocolate de postre, 1900 gramos de mantequilla, 10000 gramos de leche. Para la

fabricación del primer pastel se necesita 4 huevos, 20 gramos de azúcar, 200 gramos de

chocolate de postre, 60 gramos de mantequilla, 245 gramos de leche. Para la fabricación del

segundo pastel se necesitan 8 huevos, 200 gramos de azúcar, 125 gramos de chocolate postre,

60 gramos de mantequilla, 4 422 gramos de leche. Teniendo los ingredientes de los 2 pasteles

A y B constantemente la pastelería realiza 10 del tipo A y 6 del tipo B.

Lo que necesitamos saber es cuantos pasteles de cada tipo debemos realizar para obtener una

ganancia mayor o igual de $500 si el de chocolate sencillo cuesta $25 y el de choco flan cuesta

$30.

TIPO A X 4X 20X 200X 60X 245X

TIPO B Y 8Y 200Y 125Y 60Y 4422Y

≥100 ≥2000 ≥10000 ≥1900 ≥10000

F(x, y)=25x+30y ÷5 5x+6y

4x+8y≥100 ÷4 x+2y≥25

20x+200y≥2000 ÷20 x+20y≥100

200x+125y≥10000 ÷25 8x+5y≥400

60x+60y≥1900 ÷20 3x+3y≥95

245x+4422y≥10000

x+2y=25

x=0; 2y=25

y=25÷2

y=12,5

p (0; 12,5)

y=0; x=25

X+20y=100

X=0; y=100÷20

Y=5 p (0,5)

Y=0; x=100

P (100,0)

8x+5y=400

X=0; y=400÷5

Y=80

P (0,80)

Y=0; x=400÷8

X=50

P (50,0)

3x+3y=95

X=0: y=95÷3

Y=31.6

P (0; 31.6)

Y=0; x=95÷3

X=31.6

P (31.6; 0)

P (25,0)

Grafica

La máxima ganancia es de 660, que se encuentra en el punto D (60,60).

La mínima ganancia es de 500, la que comúnmente se obtiene se encuentra en el punto

C (100,0).

245x+4422y=10000

X=0; y=10000÷4422

Y=2.26

P (0; 2,26)

Y=0; x=10000÷245

X=40,82

P (40,82; 0)

4. INGREDIENTES DE LOS DOS TIPOS DE PASTELES

4.1. PASTEL TIPO A (CHOCOLATE SENCILLO) 4 huevos

1 taza de leche

3 cucharadas de mantequilla

4.2. PASTEL TIPO B (CHOCO FLAN)

1 taza de azúcar granulada

8 yemas de huevos

1 lata (14 onzas) de leche condesada azucarada

1 lata (12 onzas) de leche evaporada

1 paquete (18 a 25 onzas) de mezcla para pastel.

5. PREPARACIÓN DE LOS PASTELES

5.1. PASTEL TIPO A

Instrucciones de preparación

Precalienta el horno a 350⁰F

(180⁰C). Para cocinas a gas:

posición 5. Engrase y

enharine un molde de 24cm

de diámetro x6cm de alto.

Mezclar

Vierta el contenido de la bolsa en un

recipiente hondo. Agregue 3 huevos, 1

taza de leche, 3 cucharadas de

mantequilla o margarina. Bata a

velocidad media, con batidora

eléctrica, durante 5 minutos hasta

obtener una mezcla cremosa.

Vierte la mezcla en el molde.

Hornee durante 45-50 minutos o

hasta que presionando

suavemente el centro, vuelva

inmediatamente a su lugar.

ENFRIAR

Deje reposar la preparación

durante 10 minutos y luego

desmolde cuidadosamente. Una

vez fría, rellene o cúbrala con un

baño de la deliciosa crema

Chantilly Royal.

5.2. PASTEL TIPO B

PREPARACION: En primer lugar prepararemos el caramelo líquido. Y es tan sencillo como echar azúcar y agua en una sartén. Y dejar que se vaya haciendo a fuego medio. Estará listo cuando empiece a dorarse, tened mucho cuidado que no se os queme, pues sino amargará. Echamos el caramelo en el fondo del molde, previamente rociado con un spray especial para desmoldar (o con mantequilla y harina). Derretimos la mantequilla en el microondas. La echamos en un bol grande y añadimos el chocolate troceado. Batimos con unas varillas hasta que el chocolate esté totalmente derretido, si es necesario volveremos a meterlo unos segundos en el microondas. En otro bol cascamos los huevos. Echamos el azúcar y batimos con unas varillas hasta que blanqueen. Vertemos esta mezcla sobre la mezcla anterior. Mezclamos con una espátula hasta integrar todos los ingredientes. Incorporamos la harina, el cacao en polvo y una pizca de sal. Mezclamos con unas varillas a velocidad baja, no queremos darle aire a la masa. Echamos la mezcla en el molde, en este caso el brownie irá al fondo. Ahora vamos a preparar el flan. Cascamos los huevos en un bol e incorporamos el azúcar.

Batimos hasta que blanqueen. Añadimos la leche y mezclamos. Vertemos la mezcla en nuestro molde, sobre el brownie, frenando la caída con la espátula. La capa de flan se queda arriba. Ya veréis como acaban ambas mezclas. Introducimos el molde al baño maría, con el horno precalentado a 190ºC, opción arriba-abajo. Es importante que el agua esté bien caliente. El baño debe llegar hasta más o menos la mitad del molde, así

que si falta agua, añadiremos hasta llegar por la mitad. Tiempo: 1 hora y 15 minutos aproximadamente. A media cocción, si vemos que se está dorando por arriba, podemos tapar con papel de aluminio. Pinchamos y comprobamos que el palillo sale sólo manchado, pero no está líquido, recordad que el brownie es un bizcocho más bien húmedo, así que este punto es el perfecto, húmedo pero no líquido. Dejamos reposar hasta que se enfríe totalmente. Retiramos el molde y las capas deberán haber invertido su orden, con un corte perfecto.