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EL MÉTODO SIMPLEXALGEBRAICO:

MINIMIZACION

M. En C. Eduardo Bustos Farías

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EJEMPLO 1

Uso de variables artificiales

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Minimizar Z= 30X1 + 10X2SUJETO A:2X1 +4X2 <= 80X1 + X2 = 258X1 + 6X2 >=120X1, X2 >=0

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Multiplicamos por -1 a Z

Maximizar Z= -30X1 - 10X2SUJETO A:2X1 +4X2 <= 80X1 + X2 = 258X1 + 6X2 >=120X1, X2 >=0

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AÑADIMOS UNA VARIABLE DE HOLGURA Y RESTAMOS UNA DE EXCEDENTE PARA IGUALAR

Maximizar Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2SUJETO A:2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 = 258X1 + 6X2 +0S1- 1S2 =120X1, X2, S1, S2 >= 0

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AGREGAMOS LAS VARIABLES ARTIFICIALES

Maximizar Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2- MA1- MA2SUJETO A:2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 258X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120X1, X2, S1, S2, A1, A2 > = 0, M valor muy grande

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Llenado de la tabla 1 del simplex

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Maximizar Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2- MA1- MA2SUJETO A:2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 258X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120

Cjn VAR DE SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT.

SOLUCIÓN

0 S1 2 4 1 0 0 0 80

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Maximizar Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2- MA1- MA2SUJETO A:2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 258X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120

Cjn VAR DE SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT.

SOLUCIÓN

0 S1 2 4 1 0 0 0 80

-M A1 1 1 0 0 1 0 25

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Maximizar Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2- MA1- MA2SUJETO A:2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 258X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120

Cjn VAR DE SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT.

SOLUCIÓN

0 S1 2 4 1 0 0 0 80

-M A1 1 1 0 0 1 0 25

-M A2 8 6 0 -1 0 1 120

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Maximizar Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2- MA1- MA2SUJETO A:2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 258X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120

Cjn VAR DE SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT.

SOLUCIÓN

0 S1 2 4 1 0 0 0 80

-M A1 1 1 0 0 1 0 25

-M A2 8 6 0 -1 0 1 120

Zj -9M -7M

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Maximizar Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2- MA1- MA2SUJETO A:2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 258X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120

Cjn VAR DE SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT.

SOLUCIÓN

0 S1 2 4 1 0 0 0 80

-M A1 1 1 0 0 1 0 25

-M A2 8 6 0 -1 0 1 120

Zj -9M -7M 0 M

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Maximizar Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2- MA1- MA2SUJETO A:2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 258X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120

Cjn VAR DE SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT.

SOLUCIÓN

0 S1 2 4 1 0 0 0 80

-M A1 1 1 0 0 1 0 25

-M A2 8 6 0 -1 0 1 120

Zj -9M -7M 0 M -M -M -145M

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Maximizar Z= -30X1 - 10X2 + OS1 + 0S2- MA1- MA2SUJETO A:2X1 +4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 258X1 + 6X2 +0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120

Cjn VAR DE SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT.

SOLUCIÓN

0 S1 2 4 1 0 0 0 80

-M A1 1 1 0 0 1 0 25

-M A2 8 6 0 -1 0 1 120

Zj -9M -7M 0 M -M -M -145M

CJ-Zj -30+9M -10+7M 0 -M -1+M -1+M

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TABLA 1 (resumen)Cjn VAR DE

SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT. SOLUCIÓN

0 S1 2 4 1 0 0 0 80

-M A1 1 1 0 0 1 0 25

-M A2 8 6 0 -1 0 1 120

Zj -9M -7M 0 M -M -M -145M

CJ-Zj -30+9M -10+7M 0 -M -1+M -1+M

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TABLA 1: variable que entra y variable que sale de la base

Cjn VAR DE SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT.

SOLUCIÓN

0 S1 2 4 1 0 0 0 80

-M A1 1 1 0 0 1 0 25

-M A2 8 6 0 -1 0 1 120

Zj -9M -7M 0 M -M -M -145M

CJ-Zj -30+9M -10+7M 0 -M -1+M -1+M

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Cjn VAR DE SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT.

SOLUCIÓN

0 S1 2 4 1 0 0 0 80

-M A1 1 1 0 0 1 0 25

-M A2 8 6 0 -1 0 1 120

Zj -9M -7M 0 M -M -M -145M

CJ-Zj -30+9M -10+7M 0 -M -1+M -1+M

Cjn VAR DE SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT.

SOLUCIÓN

0 S1 0 5/2 1 -1/4 0 -1/4 50-M A1 0 1/4 0 1/8 1 -1/8 10-30 X1 1 3/4 0 -1/8 0 1/8 15

Zj -30 -45/2-M/4

0 15/4-M/8 -M 15/4-M/8 -450-10M

CJ-Zj -9M -25/2-29M/4 0 -15/4+7/8M -2M 15/4+7M/8

Le cambioEl signo alCj-zj y selo sumoA Zj

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TABLA 2

Cjn VAR DE SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT.

SOLUCIÓN

0 S1 0 5/2 1 -1/4 0 -1/4 50

-M A1 0 1/4 0 1/8 1 -1/8 10

-30 X1 1 3/4 0 -1/8 0 1/8 15

Zj -30 -45/2-M/4

0 15/4-M/8 -M 15/4-M/8 -450-10M

CJ-Zj -9M 25/2+M/4 0 -15/4-

17/8M -M 15/4-M/8

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TABLA 2Cjn VAR DE

SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 A1 A2 CANT. SOLUCIÓN

0 S1 0 5/2 1 -1/4 0 -1/4 50

-M A1 0 1/4 0 1/8 1 -1/8 10

-30 X1 1 3/4 0 -1/8 0 1/8 15

Zj -30 -45/2-M/4

0 15/4-M/8 -M 15/4-M/8 -450-10M

CJ-Zj -9M 25/2+M/4 0 -15/4-

17/8M -M 15/4-M/8

50/2.5=20

10/.25=40

15/.75=20

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Solución

X1=10X2=15S1=0S2=50Z=$450 (la expresamos con signo positivo)Las variables artificiales al no quedar en la base

valen cero.

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PROBLEMAS

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X 103 X 103 X 103 X 103

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SOLUCIÓN

Xi= valor proporcional que indica la medida en que se financia el proyecto durante los 3 años (en miles de unidades monetarias)

i= 1,2,3Donde Xi= 1 (significa que si se financia el proyecto)Xi=0 (significa que no se financia el proyecto)

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SOLUCIÓN

Max Z= 100x1+90x2+75x3+80x4Sujeto a:6x1+2x2+9x3+5x4 <=50 (año 1)14x1+8x2+19x3+2x4 <= 24 (año 2)5x1+14x2+18x3+9x4 <= 30 (año 3)X1+X2+X3+X4<=1 (para garantizar que cada

proyecto no sobrepase el 100% del mismo)Xi >= 0, i= 1,2,3,4

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Problema de la dieta• En un centro de nutrición se desea obtener la dieta de coste mínimo con unos

determinados requisitos vitamínicos para un grupo de niños que van a asistir a campamentos de verano.

• El especialista estima que el contenido de vitamina A es de al menos 32 unidades, de vitamina B un máximo de 25, un máximo de 30 de C, y, a lo sumo, 14 de vitamina D.

• La tabla nos da el número de unidades de las distintas vitaminas por unidad de alimento consumido para seis alimentos elegidos, denominados 1, 2, 3, 4, 5, 6, así como su costo por unidad

Se desea construir un modelo de programación lineal para conocer la cantidad de cada alimento que hay que preparar y que satisfaga los requisitos propuestos con costo mínimo

• Se desea construir un modelo de programación lineal para conocer la cantidad de cada alimento que hay que preparar y que satisfaga los requisitos propuestos con costo mínimo

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27

SOLUCIÓN

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Definimos las variables de decisión

• Xi, que representan la cantidad de alimento i = 1, …, 6, que se utiliza para la dieta en un período de tiempo dado.

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Las restricciones

• Son consecuencia de los requisitos vitamínicos exigidos a la dieta, que son:

26>= X1 + X2 + 3X4 + 2X5 + X6 <= 32 (vitamina A)X1 + 2X2 + X3 + X4 + X5 >= 25 (vitamina B)X2 + 2X3 + 2X5 + 2X6 >= 30 (vitamina C)X1 + X4 + X6 <= 14 (vitamina D)Con Xi>= 0 para i = 1,…, 6.

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La función objetivo

• Representa el coste total de la dieta, que es:C = 10X1 + 14X2 + 12X3 + 18X4 + 20X5 + 16X6

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Por tanto, el programa lineal consiste en determinar (X1, X2, X3, X4, X5, X6) ∈ ℜ6 tal que:

Min C = 10X1 + 14X2 + 12X3 + 18X4 + 20X5 + 16X6.s.a.X1 + X2 + 3X4 + 2X5 + X6 <= 32X1 + X2 + 3X4 + 2X5 + X6 >= 26X1 + 2X2 + X3 + X4 + X5 >= 25X2 + 2X3 + 2X5 + 2X6 >= 30X1 + X4 + X6 <= 14Con Xi>= 0 para i = 1,…, 6.

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PROBLEMA DEL ASERRADERO

• Esta unidad recibió solamente tablas de importación de 50 cm de ancho.

• Se reciben solicitudes locales de 300 tablas de 28 cm de ancho, 500 tablas de 20 cm de ancho, 200 tablas de 16cm ¿Cuantas tablas deberán utilizarse y en que forma deberán cortarse para lograr un mínimo de desperdicio de madera y satisfacer las solicitudes planteadas?

• Dado que las tablas son de importación, es necesario utilizarlas al máximo, y por lo tanto la minimización de los desperdicios se corresponde con este requisito económico.

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SOLUCIÓN

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La construcción del modelo

• En esta situación particular no se especifican coeficientes de la función objetivo ni de las restricciones;

• por tanto no podemos definir la variable de decisión a partir de ellos;

• sino por el contrario, solamente podremos definir los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones una vez que conozcamos la definición de las variables.

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• En el aserradero se dispone de tablas de 50 cmsde ancho solamente:

• luego si se pudieran 2 tablas de 25 cms se cortarían en dos partes iguales la tabla, no habría desperdicio alguno y se satisfaría la solicitud.

• Pero en este caso se piden tablas de 28, 20 y 16 cms respectivamente, y por tanto, habrádesperdicios, los cuales deben ser minimizados.

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Busquemos las combinaciones racionales posibles dadas las magnitudes:

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La definición de las variables de decisión seria:

x1 – tablas de 50 cm a cortar según la combinación #1x2 – tablas de 50 cm a cortar según la combinación #2x3 – tablas de 50 cm a cortar según la combinación #3x4 – tablas de 50 cm a cortar según la combinación #4x5 – tablas de 50 cm a cortar según la combinación #5

En un período de tiempo dado.

Condición de no negatividadxj ≥ 0 j = 1...5

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RestriccionesLas tres restricciones de este problema son de demanda. Como que se plantea satisfacción, se representaran mediante

ecuaciones. Analicemos la primera de ellas. Se requieren exactamente 300 tablas de 28 cms; por lo tanto,

el “b1” será igual a 300 tablas de 28 cms.En esta restricción solamente aparecerán aquellas variables,

en cuya definición se hayan incluido tablas de 28 cms, o sea la x1 y la x2.

Dimensionalmente esta restricción se representa de esta forma:

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• En la tabla de las combinaciones se aprecia por columna que, tanto la combinación 1 como la 2, producen una tabla de 28 cms por una tabla de 50 cm.

• Por lo tanto, al ser la relación de uno a uno, se plantea el coeficiente unitario, pero en este caso las dimensiones de las variables de decisión no coinciden con las del “ b “, según se pudo apreciar del análisis dimensional.

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Y en este caso la dimensión de las variables si serian la misma que la del bi; y el coeficiente unitario de las variables respondería a esta circunstancia.

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La función objetivo:

• Al definir las combinaciones, se calcularon los desperdicios de tablas de 50 cms que implicaba cada uno de ellas; es decir, los coeficientes de la ultima columna de la tabla de combinaciones expresan centímetros de desperdicio por tabla de 50 cm.

• Respecto a las combinaciones. Por tanto, la función objetiva seriaMin z = X1+x2+x3+x4+x5

MG Auto Company• Tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. • Sus centros de distribución principales están ubicados en Denver y Miami. • Las capacidades de las tres plantas durante el trimestre próximo son de 1000, 1500 y

1200 automóviles. • Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2300 y 1400

vehículos. • El costo del transporte de un automóvil por tren es aproximadamente de 3 centavos por

milla. • El diagrama de la distancia recorrida entre las plantas y los centros de distribución es el

siguiente:

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Plantear el modelo de programación lineal asociado.

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SOLUCIÓN

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• Mediante el uso de códigos numéricos para representar las plantas y centros de distribución, hacemos que xij represente el número de automóviles transportados de la fuente i al destino j, en un trimestre.

• Como la oferta total ( = 1000 + 1500 + 1200 = 3700) es igual a la demanda total ( = 2300 + 1400 = 3700), el modelo de transporte resultante estáequilibrado.

• Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.

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Y enteros