INVESTIGACION DE INVESTIGACION DE OPERACIONESOPERACIONES

Programación LinealProgramación Lineal

Objetivos del CapítuloObjetivos del Capítulo

✔ Fijar los requerimientos para establecer un modelo Fijar los requerimientos para establecer un modelo de programación lineal.de programación lineal.

✔ Representación gráfica de un modelo de Representación gráfica de un modelo de programación lineal.programación lineal.

✔ Ventajas del modelo de programación lineal:Ventajas del modelo de programación lineal:* Obtención de una solución óptima única.* Obtención de una solución óptima única.

* Obtención de soluciones alternativas* Obtención de soluciones alternativas

* Modelos no acotados.* Modelos no acotados.* Modelo no factibles.* Modelo no factibles.

..

✔ Conceptos de análisis de sensibilidad:Conceptos de análisis de sensibilidad:* Reducción de costos.* Reducción de costos.* Rango de optimalidad.* Rango de optimalidad.* Precios sombra.* Precios sombra.* Rango de factibilidad.* Rango de factibilidad.* Holgura complementaria.* Holgura complementaria.* Agregar restricciones/variables.* Agregar restricciones/variables.

✔ Obtención de una solución por métodos compu-Obtención de una solución por métodos compu-tacionales:tacionales:* WINQSB* WINQSB

* EXCEL* EXCEL

* LINDO* LINDO

2.1 Introducción a la Programación 2.1 Introducción a la Programación LinealLineal

✔ Un modelo de programación lineal busca maximizar o Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.restricciones lineales.

✔ Un modelo de programación lineal esta compuesto Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente:de lo siguiente:* Un conjunto de variables de decisión* Un conjunto de variables de decisión* Una función objetivo* Una función objetivo

* Un conjunto de restricciones* Un conjunto de restricciones

✔ La importancia de la programación lineal:La importancia de la programación lineal:

* Ciertos problemas se describen facilmente a través de la * Ciertos problemas se describen facilmente a través de la

programación lineal.programación lineal.

* Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.* Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.

* La salida generada por el programa que resuelve el modelo de * La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación lineal entrega información útil para responder programación lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.

2.2 El problema de la industria de 2.2 El problema de la industria de juguetes “Galaxia”.juguetes “Galaxia”.

✔ Galaxia produce dos tipos de juguetes:Galaxia produce dos tipos de juguetes:* Space Ray* Space Ray* Zapper* Zapper

✔ Los recursos están limitados a:Los recursos están limitados a:

* 1200 libras de plástico especial.* 1200 libras de plástico especial.

* 40 horas de producción semanalmente.* 40 horas de producción semanalmente.

✔ Requerimientos de Marketing.Requerimientos de Marketing.

* La producción total no puede exceder de 800 docenas.* La producción total no puede exceder de 800 docenas.* El número de docenas de Space Rays no puede exceder al * El número de docenas de Space Rays no puede exceder al número de docenas de Zappers por más de 450.número de docenas de Zappers por más de 450.

✔ Requerimientos Tecnológicos.Requerimientos Tecnológicos.

* Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de * Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de producción por docena.producción por docena.* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción * Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción

por docena.por docena.

✔ Plan común de producción para:Plan común de producción para:

* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores * Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores

ganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidad ganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidad por docena).por docena).

* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers, * Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers, porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por docena).docena).

✔ El plan común de producción consiste en:El plan común de producción consiste en:Space Rays = 550 docenasSpace Rays = 550 docenas

Zappers = 100 docenasZappers = 100 docenas

Utilidad = $4900 por semanaUtilidad = $4900 por semana

El gerente siempre buscará un esquema de

producción que incrementre las ganancias de su

compañía

EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROVEE UNA SOLUCIÓN INTELIGENTE PARA ESTE

PROBLEMA

SoluciónSolución✔ Variables de decisiónVariables de decisión

* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por * X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por

semana).semana).

* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por * X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por

semana).semana).

✔ Función objetivoFunción objetivo

* Maximizar la ganancia semanal.* Maximizar la ganancia semanal.

✔ Modelo de Programación LinealModelo de Programación Lineal

Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Sujeto a:Sujeto a:

2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción) X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)X1 + X2 <= 800 (Limite producción total) X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)

XXj j >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)>= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

2.3 Conjunto de soluciones factibles 2.3 Conjunto de soluciones factibles para el modelo lineal.para el modelo lineal.

✔ El conjunto de puntos que satisface todas las El conjunto de puntos que satisface todas las

restricciones del modelo es llamado:restricciones del modelo es llamado:

REGION FACTIBLE

USANDO UN GRAFICO SE USANDO UN GRAFICO SE PUEDEN REPRESENTAR PUEDEN REPRESENTAR

TODAS LAS TODAS LAS RESTRICCIONES, LA RESTRICCIONES, LA

FUNCION OBJETIVO Y LOS FUNCION OBJETIVO Y LOS TRES TIPOS DE PUNTOS TRES TIPOS DE PUNTOS

DE FACTIBILIDAD.DE FACTIBILIDAD.

1200

600

The Plastic constraint

Factible

Restricción del plástico: 2X1+X2<=1200

X2

No Factible

Horas deProducción3X1+4X2<=2400

Restricción del total de producción: X1+X2<=800

600

800

Restricción del exceso de producción:X1-X2<=450

• Tipos de puntos de factibilidadPunto Inferior

Punto MedioPunto Extremo

X1

2.4 Resolución gráfica para encontrar 2.4 Resolución gráfica para encontrar la solución óptima.la solución óptima.

Recalcular la región factible

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

comenzar con una ganancia dada de = $2,000...

Utilid. = $ 000 2,

Entonces aumente la ganancia...

3,4,

...y continúe hasta que salga de la región factible

Ganancia =$5040

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

Se toma un valor cercano al punto óptimo

FeasibleregionRegiónFactible

Región no factible

✔ Resumen de la solución óptimaResumen de la solución óptima

Space Rays = 480 docenasSpace Rays = 480 docenas

Zappers = 240 docenasZappers = 240 docenasGanancia = $5040Ganancia = $5040

* Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y * Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y

todas las horas de producción.todas las horas de producción. * La producción total son 720 docenas (no 800).* La producción total son 720 docenas (no 800).

* La producción de Space Rays excede a la de Zappers por solo* La producción de Space Rays excede a la de Zappers por solo 240 docenas y no por 450.240 docenas y no por 450.

✔ Soluciones óptimas y puntos extremos.Soluciones óptimas y puntos extremos.

* Si un problema de programación lineal tiene una solución * Si un problema de programación lineal tiene una solución

óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.

✔ Múltiples soluciones óptimas.Múltiples soluciones óptimas.

* Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la * Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la función objetivo es una recta paralela a uno de los lados función objetivo es una recta paralela a uno de los lados

de la región factible.de la región factible.* Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es * Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es también una solución óptima.también una solución óptima.

✔ Solución mediante el método SimplexSolución mediante el método Simplex

Partamos de la base que el problema a resolver es el siguiente:Partamos de la base que el problema a resolver es el siguiente:

Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Sujeto a:Sujeto a:2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producciónX1 + X2 <= 800 (Limite producción totalX1 + X2 <= 800 (Limite producción totalX1 - X2 <= 450 (Producción en excesoX1 - X2 <= 450 (Producción en excesoXXj j >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)>= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

Para poder utilizar el método simplex se deben cumplir las Para poder utilizar el método simplex se deben cumplir las siguientes restricciones:siguientes restricciones:

✔ Restricciones del AlgoritmoRestricciones del Algoritmo

a) Solo se puede utilizar para maximizar la función objetivo.a) Solo se puede utilizar para maximizar la función objetivo. Para minimizar se debe maximizar (-z).Para minimizar se debe maximizar (-z).b) Solo se puede aplicar a restricciones de igualdad.b) Solo se puede aplicar a restricciones de igualdad.

2x1 + X2 2x1 + X2 ++ S1 S1 =1200 ;S1 = Var. de holgura =1200 ;S1 = Var. de holgura <= 3X1 + 4X2 <= 3X1 + 4X2 ++ S2S2 = 2400 ;S2 = Var de holgura = 2400 ;S2 = Var de holgura X1 + X2 X1 + X2 ++ S3S3 = 800 ;S3 = Var de holgura = 800 ;S3 = Var de holgura

(caso ficticio)(caso ficticio)>= 2X1 + x2 >= 100>= 2X1 + x2 >= 100 2X1 + X2 2X1 + X2 -- S4S4 = 100 = 100 ;S4 = Var de exceso;S4 = Var de exceso

c) Todas las variables deben ser mayores que cero.c) Todas las variables deben ser mayores que cero.

x1 - x2 +x1 - x2 + S4 S4 + + a1 a1 = 450= 450 a1= Var artificiala1= Var artificial

Por el hecho de haber agregado una variable artificial se Por el hecho de haber agregado una variable artificial se debe agregar a la función objetivo a1 pero con un valor muy debe agregar a la función objetivo a1 pero con un valor muy grande y negativo representado por -M.grande y negativo representado por -M.

Max 8x1 + 5x2 Max 8x1 + 5x2 -- Ma1Ma1

2.5 Análisis de sensibilidad para la 2.5 Análisis de sensibilidad para la solución óptima.solución óptima.

✔ ¿Es sensible la solución óptima a cambios en los ¿Es sensible la solución óptima a cambios en los parámetros de entrada?parámetros de entrada?

✔ Posibles razones para responder la pregunta anterior:Posibles razones para responder la pregunta anterior:

* Los valores de los parámetros usados fueron los mejores * Los valores de los parámetros usados fueron los mejores

estimados.estimados.* Medio ambiente por ser dinámico puede producir cambios.* Medio ambiente por ser dinámico puede producir cambios.* El análisis del “qué pasa si” puede proveer información * El análisis del “qué pasa si” puede proveer información

económica y operacional.económica y operacional.

2.62.6 Análisis de sensibilidad de los Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función objetivocoeficientes de la función objetivo

■ Rango de optimalidadRango de optimalidad– La solución óptima permanecerá inalterable mientras:La solución óptima permanecerá inalterable mientras:

■ Un coeficiente de la función objetivo se encuentre dentro Un coeficiente de la función objetivo se encuentre dentro del rango de optimalidad.del rango de optimalidad.

■ No hay cambios en ningún otro parámetro.No hay cambios en ningún otro parámetro.

– El valor de la función objetivo cambiará si el coeficienteEl valor de la función objetivo cambiará si el coeficiente

multiplica una variable cuyo valor es distinto de cero.multiplica una variable cuyo valor es distinto de cero.

✔✔ Los efectos del cambios en un coeficiente de la Los efectos del cambios en un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptimafunción objetivo, sobre la solución óptima

600

800

1200 X2

X1

Max 8x1 + 5x2

Max 4x1 + 5x2Max 3.75x1 + 5x2 Max 2x1 + 5x2

400 600 800

✔✔ Los efectos del cambio de un coeficiente de la Los efectos del cambio de un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptimafunción objetivo, sobre la solución óptima

600

800

1200

400 600 800

X2

X1Max8x1 + 5x2

Max 3.75x1 + 5x2

Max8x1 + 5x2

Max 3.75 x1 + 5x2M

ax 10 x1 + 5x23.75

10

Rango de optimalidad

✔✔ Cambios MúltìplesCambios Múltìples

■ El rango de optimalidad es válido cuando un único coeficiente El rango de optimalidad es válido cuando un único coeficiente de la función objetivo cambia.de la función objetivo cambia.

■ Cuando cambia más de una variable se utiliza la regla del Cuando cambia más de una variable se utiliza la regla del 100%.100%.

✔✔ Regla del 100%Regla del 100%

■ Para cada aumento (disminución) en un coeficiente de la Para cada aumento (disminución) en un coeficiente de la función objetivo calcular (y expresar como un porcentaje) la función objetivo calcular (y expresar como un porcentaje) la relación de cambio del coeficiente al máximo aumento posible relación de cambio del coeficiente al máximo aumento posible (disminución) determinada por los límites del rango de (disminución) determinada por los límites del rango de optimalidad.optimalidad.

■ Sumar todos los cambios de porcentaje. Si el total es menor Sumar todos los cambios de porcentaje. Si el total es menor que 100%, la solución óptima no cambiará. Si este total es que 100%, la solución óptima no cambiará. Si este total es mayor que 100%, la solución óptima puede cambiar.mayor que 100%, la solución óptima puede cambiar.

✔✔ Reducción de costosReducción de costosLa reducción de costos de una variable a su cota inferior La reducción de costos de una variable a su cota inferior (comúnmente cero) implica que:(comúnmente cero) implica que:

– Los coeficientes de la función objetivo deben cambiar antes Los coeficientes de la función objetivo deben cambiar antes que la variable pueda tomar un valor sobre la cota inferior.que la variable pueda tomar un valor sobre la cota inferior.

– Con lo anterior la cantidad de ganancia óptima cambiará Con lo anterior la cantidad de ganancia óptima cambiará según las variables aumentadas desde la cota inferior.según las variables aumentadas desde la cota inferior.

✔✔ Holgura complementariaHolgura complementaria

– Existe holgura en la solución óptima, cuando cada variable Existe holgura en la solución óptima, cuando cada variable está en su cota inferior o el costo reducido es 0. está en su cota inferior o el costo reducido es 0.

2.72.7 Análisis de Sensibilidad del Análisis de Sensibilidad del coeficiente del lado derechocoeficiente del lado derecho

■ Cualquier cambio en el lado derecho (bi) de una Cualquier cambio en el lado derecho (bi) de una restricción activa cambiará la solución óptima.restricción activa cambiará la solución óptima.

■ Cualquier cambio en el lado derecho de una Cualquier cambio en el lado derecho de una restricción no activa que sea menor que la holgura o restricción no activa que sea menor que la holgura o o el exceso, no produce ningún cambio en la solución o el exceso, no produce ningún cambio en la solución óptima.óptima.

✔✔ Para el análisis de sensibilidad de la validez de Para el análisis de sensibilidad de la validez de los coeficiente del lado derecho nos interesa los coeficiente del lado derecho nos interesa

responder las siguientes preguntas :responder las siguientes preguntas :■ ¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto ¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto

cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por ejemplo, la cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por ejemplo, la ganancia) si el coeficiente del lado derecho de una restricción ganancia) si el coeficiente del lado derecho de una restricción cambia en una unidad?cambia en una unidad?

■ ¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para ¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para que la solución siga siendo válida?que la solución siga siendo válida?

1200

600

X2

Restricción materiales (plásticos)

FeasibleX1

600

800

Restricción del tiempo de producción

Ganancia máxima= 5040

2x1 + 1x2 <=1200

Nueva restricción materiales (plásticos)2x1 + 1x2 <=1350 Combinación de restricciones en la producción

Puntos extremos

✔✔ Interpretación correcta del precio Interpretación correcta del precio sombrasombra

■ Los costos amortizados: El precio sombra, es el valor por una Los costos amortizados: El precio sombra, es el valor por una unidad extra del recurso, ya que el costo del recurso no es unidad extra del recurso, ya que el costo del recurso no es incluido en el cálculo de los coeficientes de la función objetivo.incluido en el cálculo de los coeficientes de la función objetivo.

■ Los costos incluídos: El precio sombra es el valor superior por Los costos incluídos: El precio sombra es el valor superior por unidad del recurso, el costo del recurso se incluye en el cálculo unidad del recurso, el costo del recurso se incluye en el cálculo del coeficiente de la función objetivo.del coeficiente de la función objetivo.

✔✔ El rango de factibilidadEl rango de factibilidad

■ El conjunto de los coeficientes del lado derecho El conjunto de los coeficientes del lado derecho entregan el rango para que el mismo conjunto de entregan el rango para que el mismo conjunto de restricciones determine el punto óptimo.restricciones determine el punto óptimo.

■ Dentro del rango de factibilidad, los precios sombras Dentro del rango de factibilidad, los precios sombras permanecen constante; sin embargo, la solución permanecen constante; sin embargo, la solución óptima cambiará.óptima cambiará.

2.8 Otros cambios para 2.8 Otros cambios para optimizar la función objetivooptimizar la función objetivo

✔✔ La incorporación de una restricción.La incorporación de una restricción.✔✔ La eliminación de una restricción.La eliminación de una restricción.✔✔ La incorporación de un variable.La incorporación de un variable.✔✔ La eliminación de un variable.La eliminación de un variable.✔✔ Cambio en el lado izquierdo de los coeficientes.Cambio en el lado izquierdo de los coeficientes.

2.92.9 Modelo sin solución óptimaModelo sin solución óptima

■ No factible: Ocurre cuando en el modelo no hay No factible: Ocurre cuando en el modelo no hay ningún punto de factible.ningún punto de factible.

■ No acotado: Ocurre cuando el objetivo puede crecer No acotado: Ocurre cuando el objetivo puede crecer infinitamente (objetivo a maximizar).infinitamente (objetivo a maximizar).

InfactibilidadInfactibilidad

Ningún punto se encuentra, simultáneamente, sobre la línea la línea y

1

2

3 1

2 3

Solución No AcotadaSolución No Acotada

La región factible

Maximizar

La función objetivo

∞

2.10 Dieta Marina2.10 Dieta Marina

■ Un problema de minimización del costo Un problema de minimización del costo de la dieta:de la dieta:

■ Mezcle dos porciones de lo productos: Mezcle dos porciones de lo productos:

Texfoods, Calration.Texfoods, Calration.■ Minimice el costo total de la mezcla. Minimice el costo total de la mezcla. ■ Mantenga los requerimientos mínimosMantenga los requerimientos mínimos

de Vitamina A, Vitamina D, y hierro.de Vitamina A, Vitamina D, y hierro.

Variables de decisión:Variables de decisión:x1 (X2) - - El cantidad de Texfoods (Calration) se usó en x1 (X2) - - El cantidad de Texfoods (Calration) se usó en

cada porción (cada 2 onzas)cada porción (cada 2 onzas)..■ El modeloEl modelo

minimizar 0.60X1 + 0.50X2minimizar 0.60X1 + 0.50X2sujeto asujeto a

20X1 + 50X2 100 20X1 + 50X2 100 25X1 + 25X2 100 25X1 + 25X2 100

Vitamina DVitamina D 50X1 + 10X2 100 hierro50X1 + 10X2 100 hierro

X1, X2 0 X1, X2 0

≥

Costo por 2 oz.

≥

≥≥

% Vitamina A por 2 oz.

% requerido

La solución gráfica

5

4

2

2 44 5

Región factibleRegión factible

Restricción de vitamina D

Restricción de vitamina A

Restricción de hierro

✔✔Resumen de la solución óptimaResumen de la solución óptima

■ Producto Texfood = repartir 1.5 (= 3 onzas)Producto Texfood = repartir 1.5 (= 3 onzas)■ Producto Calration = repartir 2.5 (= 5 onzas)Producto Calration = repartir 2.5 (= 5 onzas)■ Costo =$ 2.15 por porción servidar.Costo =$ 2.15 por porción servidar.■ El requisito mínimo para la Vitamina D y el hierro no El requisito mínimo para la Vitamina D y el hierro no

se encuentren en superávit.se encuentren en superávit.■ La mezcla provee 155% del requerimiento para La mezcla provee 155% del requerimiento para

Vitamina A.Vitamina A.

2.11 Solución para problemas 2.11 Solución para problemas lineales con muchas variables de lineales con muchas variables de decisión usando el computadordecisión usando el computador

■ Los paquetes de programas lineales resuelven Los paquetes de programas lineales resuelven grandes modelos lineales.grandes modelos lineales.

■ La mayoría de los software usan la técnica algebraica La mayoría de los software usan la técnica algebraica llamada algoritmo Simplex.llamada algoritmo Simplex.

■ Los paquetes incluyen:Los paquetes incluyen:■ El criterio de la función objetivo (Max o Min).El criterio de la función objetivo (Max o Min).■ El tipo de cada restricción: .El tipo de cada restricción: .■ Los coeficientes reales para el problema.Los coeficientes reales para el problema.

≤ = ≥, ,

✔✔La solución generada por un software La solución generada por un software de programación lineal incluye:de programación lineal incluye:

■ Los valores óptimos de la función objetivo.Los valores óptimos de la función objetivo.■ Los valores óptimos de las variables de decisión.Los valores óptimos de las variables de decisión.■ La minimización del costo para los coeficientes de la La minimización del costo para los coeficientes de la

función objetivo.función objetivo.■ Los rangos de optimización para los coeficientes de la Los rangos de optimización para los coeficientes de la

función objetivo.función objetivo.■ La cantidad de holgura o exceso sobre cada La cantidad de holgura o exceso sobre cada

restricción.restricción.■ Los precios sombra (o dual) para las restricciones.Los precios sombra (o dual) para las restricciones.■ Los rangos de factibilidad para el coeficiente del lado Los rangos de factibilidad para el coeficiente del lado

derecho.derecho.

WINQSB datos de entrada WINQSB datos de entrada para el problema de las para el problema de las industrias galaxiaindustrias galaxia

Las variables y los nombres de las restricciones pueden ser cambiados aquí. Las variables son

restringidas a >=0 Ningún límite superior

Click pararesolver