1. Un agricultor dispone de 150 acres de tierra fértil para los cultivos A y B. El costo de A es de $40 el acre, mientras que el cultivo de B cuesta $60 el acre. El agricultor tiene un máximo de $7400 disponibles para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20 horas de trabajo y cada acre del cultivo B, 25. El agricultor dispone de un máximo de 3300 horas de trabajo. Si espera lograr una ganancia de $150 por acre del cultivo A y $200 por acre del cultivo B, ¿cuántos acres de cada cultivo debe plantar para maximizar su ganancia? El modelo asociado es:

1 2

1 2

1 2

1 2

max. 150 200

s.a .40 60 7400

20 25 3300

0, 0

z x x

x x

x x

x x

 

donde 1x es el número de acres del cultivo A y 2x es el número de acres del cultivo B. Identifique el paso que se ha desarrollado en el problema anterior: 

a)      Formulación del modelo matemáticob)      Solución del modelo matemáticoc)       Aplicación del modelo como solución del problema original

 Solución La respuesta correcta es: a) ya que se tiene el modelo matemático que representa el problema. Recomendaciones         Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

 

2. La compañía financiera Madison tiene un total de $20 millones asignados a préstamos para adquisición de casas y automóviles. En promedio, la tasa anual de recuperación para las casas es del 10% y del 12% para los autos. La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios tiene que ser mayor o igual a 4 veces la cantidad total de préstamos para autos. ¿Cuál es la cantidad total de los préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el monto de recuperación? Por lo tanto la solución del modelo asociado obtenida por el método gráfico es: 16 millones en préstamos hipotecarios y 4 millones en préstamos para automóviles. Identifique el paso que se ha desarrollado en el problema anterior: 

a)      Formulación del modelo matemáticob)      Solución del modelo matemáticoc)       Aplicación del modelo como solución del problema original

 Solución La respuesta correcta es: b) ya que se tiene la solución de modelo matemático. Recomendaciones          Justifique al alumno la respuesta correcta ampliamente.  3. Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han vendido dos modelos, de manera que se limitará a producir éstos. Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7 horas del tiempo disponible, mientras el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $120 y $80, respectivamente. ¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta? El modelo asociado es:

1 2

1 2

1 2

1 2

max. 120 80

s.a . 2 6

7 8 28

0, 0

z x x

x x

x x

x x

 

donde 1x es el número de biombos del modelo I y 2x es el número de biombos del modelo II. Identifique el paso que se ha desarrollado en el problema anterior: 

a)      Formulación del modelo matemáticob)      Solución del modelo matemáticoc)       Aplicación del modelo como solución del problema original

 Solución La respuesta correcta es: a) ya que se tiene el modelo matemático que representa el problema. Recomendaciones          Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

4. Una compañía tiene una división que produce dos modelos de braseros, el A y el B. Para producir cada modelo A se necesitan 3 onzas de hierro forjado y 6 minutos de trabajo, mientras que para cada modelo B, 4 onzas de hierro forjado y 3 minutos de trabajo. La ganancia por cada modelo A es $2 y $1.50 por cada B. Si se dispone de 1000 onzas de hierro forjado y 20 horas de trabajo para la producción diaria de braseros, ¿cuántas piezas de cada modelo debe producir la división para maximizar las ganancias de la compañía? Por lo tanto la solución del modelo asociado obtenida por el método gráfico es: 120 modelos de A y 160 modelos de B. Identifique el paso que se ha desarrollado en el problema anterior: 

a) Formulación del modelo matemáticob)      Solución del modelo matemáticoc)       Aplicación del modelo como solución del problema original

 SoluciónLa respuesta correcta es: b) ya que se tiene la solución de modelo matemático. Recomendaciones         Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.  5. La compañía financiera Madison tiene un total de $20 millones asignados a préstamos para adquisición de casas y automóviles. En promedio, la tasa anual de recuperación para los primeros es del 10% y del 12% para los segundos. La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios tiene que ser mayor o igual a 4 veces la cantidad total de préstamos para autos. ¿Cuál es la cantidad total de los préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el monto de recuperación? Por lo tanto la solución del modelo asociado por método gráfico es: 16 millones en préstamos hipotecarios y 4 millones en préstamos para automóviles, como los resultados cumplen con las condiciones del problema entonces la solución es factible. Identifique el paso que se ha desarrollado en el problema anterior: 

a) Formulación del modelo matemáticob)      Solución del modelo matemáticoc)       Aplicación del modelo como solución del problema original

 SoluciónLa respuesta correcta es: c) ya que se está comprobando que la solución obtenida cumple con las condiciones del problema. Recomendaciones          Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta. 

6. Seleccione el método que se utiliza para obtener el máximo y el mínimo del siguiente modelo matemático:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

4 3

s.a . 3 5 20

3 16

2 1

0, 0

z x x

x x

x x

x x

x x

 a)      Método Gráfico o Método Simplexb)      Método de Máximo Descenso o Método de Dirección Conjugadac)       Método de Multiplicadores de Lagrange o Método de Penalización

 Solución La respuesta correcta es: a) ya que se trata de un modelo de dos variables que se puede resolver por el Método Gráfico o por el Simplex. Recomendaciones          Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.  7. Seleccione el método que se utiliza para encontrar el máximo de la siguiente función:

1 2 1 2

2 21 2

( , )

s.a . 1

f x x x x

x x

a) Método Gráfico o Método Simplexb) Método de Máximo Descenso o Método de Dirección Conjugadac) Método de Multiplicadores de Lagrange o Método de Penalización

 SoluciónLa respuesta correcta es: c) ya que se trata de un modelo no lineal con restricciones, por lo que se puede resolver por medio de Multiplicadores de Lagrange. Recomendaciones          Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta. 

 8. Seleccione el método que se utiliza para encontrar el máximo de la siguiente función:

2 21 2 1 2 1 2( , )f x x x x x x

a) Método Gráfico o Método Simplexb) Método de Máximo Descenso o Método de Dirección Conjugadac) Método de Multiplicadores de Lagrange o Método de Penalización 

 SoluciónLa respuesta correcta es: b) ya que se trata de un modelo no lineal sin restricciones, por lo que se puede resolver por medio del Método de Máximo Descenso o de Penalización. Recomendaciones          Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

9. Seleccione el método que se utiliza para encontrar la solución del siguiente modelo

matemático:

1 2

1 2

1 2

1 2

max. 150 200

s.a. 40 60 7400

20 25 3300

0 0

z x x

x x

x x

x ,x

 a) Método Gráfico o Método Simplexb) Método de Máximo Descenso o Método de Dirección Conjugadac) Método de Multiplicadores de Lagrange o Método de Penalización

 Solución La respuesta correcta es: a) ya que se trata de un modelo de dos variables se puede resolver por el Método Gráfico o por el Simplex. Recomendaciones          Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.  10. Seleccione el método que se utiliza para encontrar la solución de la siguiente función: 

1 2 1 2 3

2 2 21 2 3

( , )

s.a . 1

f x x x x x

x x x

 

a) Método Gráfico o Método Simplexb) Método de Máximo Descenso o Método de Dirección Conjugadac) Método de Multiplicadores de Lagrange o Método de Penalización

 Solución La respuesta correcta es: c) ya que se trata de un modelo no lineal con restricciones, por lo que se puede resolver por medio de multiplicadores de Lagrange. Recomendaciones          Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

 

Unidad 2. Construcción de modelos matemáticos enInvestigación de operaciones.

 

Objetivo general Objetivos específicos

El alumno:

Obtendrá la construcción de modelos matemáticos reales de programación lineal, redes y línea de espera, aplicados a la investigación de operaciones, distinguiendo los pasos que comprende la metodología de la investigación de operaciones.

         Distinguirá los pasos que comprende la metodología de la investigación de operaciones.

         Identificará los métodos que se utilizan para resolver modelos matemáticos de investigación de operaciones con la toma de decisiones.

         Comprenderá el concepto de modelo y su clasificación.

         Construirá modelos matemáticos de problemas reales aplicados a la investigación de operaciones.

         Distinguirá entre modelos de programación lineal, modelos de redes y modelos de línea de espera. 

 Ejercicios con nivel de dificultad:1. Clasifique el siguiente modelo:

Encontrar la solución de:

1 2

1 2

1 2

2

1

min. 2 10

s.a. 5 2 40

2 20

3

0

z x x

x x

x x

x

x

a)      Modelo icónico

b)      Modelo analógico

c)       Modelo matemático

 

Solución

 

La respuesta correcta es: c) ya que se está representando un problema por medio de un modelo matemático.

 

Recomendaciones

 

         Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

 

2. Considere el siguiente diagrama de dos cargas eléctricas:

q1 q2

Clasifique el modelo:

a)      Modelo icónico

b)      Modelo analógico

c)       Modelo matemático

 

Solución

 La respuesta correcta es: a) ya que es una representación a escala de la realidad.

 Recomendaciones

 

         Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

 

 

3. Clasifique el siguiente modelo:

 Encontrar la solución de la siguiente función:

1 2 1 2 3

2 2 21 2 3

( , )

s.a. 1

f x x x x x

x x x

a)      Modelo icónico

b)      Modelo analógico

c)       Modelo matemático

 

Solución

La respuesta correcta es: c) ya que se está representando un problema por medio de un modelo matemático.

 

Recomendaciones

         Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

 

 

4. Construya el modelo matemático asociado al siguiente problema.

Un agricultor dispone de 150 acres de tierra fértil para los cultivos A y B. El costo de A es de $40 el acre, mientras que el cultivo de B cuesta $60 el acre. El agricultor tiene un máximo de $7400 disponibles para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20 horas de trabajo y cada acre del cultivo B, 25. El agricultor dispone de un máximo de 3300 horas de trabajo. Si espera lograr una ganancia de $150 por acre de cultivo A y $200 por acre del cultivo B, determine el modelo matemático para el número de acres de cada cultivo que debe plantar para maximizar su ganancia.

 Solución 

Primero identificamos las variables del problema, que son:

1x = número de acres del cultivo A

2x = número de acres del cultivo B

 

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto a cantidad disponible en costo y horas.

 

Para el costo de cultivo de acres tenemos que:

1 240 60 7400x x

Mientras para el tiempo de cultivo tenemos que: 

1 220 25 3300x x

 

Considerando que no se pueden cultivar un número de acres negativos, tenemos que:

1 0x  y  2 0x

 

Además como el objetivo del problema es maximizar la ganancia, la función objetivo es:

1 2150 200x x

 

Por lo tanto el modelo asociado es:

1 2

1 2

1 2

1 2

max. 150 200

s.a. 40 60 7400

20 25 3300

0 0

z x x

x x

x x

x ,x

 

Recomendaciones

 

         Es importante considerar cada uno de los datos proporcionados por el problema.

         Indique al alumno cómo puede identificar los datos para formar las restricciones y la función objetivo.

 

 

5. Construya el modelo matemático asociado al siguiente problema.

Una compañía elabora los productos A y B, en dos máquinas I y II. Se ha determinado que la compañía logrará una ganancia de $3 por cada unidad del producto A y de $4 de cada unidad B. Para producir una unidad A se necesitan 6 minutos en la máquina I y 5 minutos en la máquina II; mientras que para producir una unidad de B se necesitan 4 minutos en la máquina I y 6 minutos en la máquina II. Hay 5 horas de máquinas disponibles en la máquina I y 3 horas disponibles en la máquina II en cada turno. Determine el modelo matemático para el número de unidades de cada producto que se deben fabricar en cada turno para maximizar la ganancia de la compañía.

 

Solución

 Primero identificamos las variables del problema, que son:

  1x = número de productos elaborados por la máquina A

2x = número de productos elaborados por la máquina B

 

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto al tiempo disponible en cada máquina, expresando todo en minutos.

 

Para la máquina I tenemos que:

1 26 4 300x x

 

Mientras para la máquina II tenemos que:

1 25 6 180x x

 

Considerando que no se pueden producir un número de productos negativos, tenemos que 

considerar que:

1 0x  y  2 0x

 

Además como el objetivo del problema es maximizar la ganancia la función objetivo es: 

1 23 4x x

Por lo tanto el modelo asociado es:

1 2

1 2

1 2

1 2

max. 3 4

s.a. 6 4 300

5 6 180

0 0

z x x

x x

x x

x ,x

 

Recomendaciones

 

         Es importante hacer notar a los alumnos que las restricciones del modelo deben estar expresadas en las mismas unidades.

         Indique al alumno cómo puede identificar los datos para formar las restricciones y la función objetivo.

  

6. Construya el modelo matemático asociado al siguiente problema.

 La compañía financiera Madison tiene un total de $20 millones asignados a préstamos para adquisición de casas y automóviles. En promedio, la tasa anual de recuperación para las casas es del 10% y del 12% para los autos. La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios tiene que ser mayor o igual a 4 veces la cantidad total de préstamos para autos. Determine el modelo matemático para la cantidad total de los préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el monto de recuperación. Solución

 

Primero identificamos las variables del problema, que son:

1x = cantidad de millones asignados para adquisición de casas

2x = cantidad de millones asignados para adquisición de automóviles

 

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto a la cantidad disponible para adquisiciones y a la cantidad asignada a cada préstamo.

 

Para el monto total tenemos que: 

1 2 20x x

 

Mientras para la cantidad total de préstamos hipotecarios y para automóviles tenemos que:

1 24x x

 

Considerando que no se puede prestar cantidades negativas, tenemos que considerar que: 

1 0x  y  2 0x

 

Además como el objetivo del problema es maximizar el monto de recuperación la función objetivo 

es:

1 20.10 0.12x x

 

Por lo tanto el modelo asociado es:

1 2

1 2

1 2

1 2

max. 0 10 0 12

s.a. 20

4

0 0

z . x . x

x x

x x

x ,x

 

Recomendaciones

          Indique al alumno cómo puede identificar los datos para formar las restricciones y la función 

objetivo.

7. Un excursionista tiene una mochila con capacidad de cinco pies cúbicos y necesita decidir cuáles son los artículos más valiosos que debe llevar a una excursión. Hay tres artículos entre los cuales debe elegir. Sus volúmenes son dos, tres y cuatro pies cúbicos y el excursionista calcula sus valores asociados, en una escala de 0 a 100, como 30, 50 y 70, respectivamente. Encuentre una solución óptima.

Identifique qué tipo de problema se tiene:

a)      Programación lineal

b)      Modelo de redes

c)       Modelo de líneas de espera

Solución

 

La respuesta correcta es: b) ya que éste se puede representar por medio de un grafo.

 

Recomendaciones

 

         Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

 

 

8. Un entrenador de natación está intentando organizar el mejor equipo de relevos femeninos para los 200 metros. Tiene cuatro mujeres en el equipo: Lina, Diana, Karla y Ana. Lina sólo nada el estilo libre, por lo que no hay problema respecto a esa parte del equipo. Cada una de las otras tres chicas pueden nadar en cualquiera de los tres estilos: mariposa, dorso y pecho. Entonces el problema aquí es decidir en qué estilo debe nadar cada una de ellas. Los tiempos de cada una de las nadadoras en cada uno de los estilos se muestran en la tabla.

 

Identifique qué tipo de problema se tiene:

 a)      Programación lineal

b)      Modelo de redes

c)       Modelo de líneas de espera

 

Solución

 

La respuesta correcta es: a) ya que se trata de un problema de asignación.

 

Recomendaciones

 

         Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

 

 

9. Ana y Jaime son dos empleados de un restaurante de comida rápida, participan en el siguiente juego mientras esperan que lleguen los clientes: Jaime pagará a Ana 2 pesos si el próximo cliente no llega dentro de 1 minuto; de otra forma, Ana pagará a Jaime 2 pesos. Determine el pago promedio de Jaime en un periodo de 8 horas. El tiempo entre llegadas es exponencial con media de 1.5 minutos.

 

Identifique qué tipo de problema se tiene:

 a)      Programación lineal

b)      Modelo de redes

c)       Modelo de líneas de espera

 

Solución

 

La respuesta correcta es: c) ya que involucra la teoría de probabilidades.

 

Recomendaciones

 

         Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

10. Cada mañana, el refrigerador de un pequeño taller se surte con dos cajas (24 latas por caja) de refresco para el uso de los 10 empleados del taller. Los trabajadores pueden mitigar su sed en cualquier momento durante la jornada de 8 horas (8:00 a.m. a 4:00 p.m.), y se sabe que cada empleado consume aproximadamente 2 latas al día, pero el proceso es totalmente aleatorio (distribución de Poisson). ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado no encuentre una bebida al mediodía (al inicio de la hora del almuerzo)?

Identifique qué tipo de problema se tiene:

a)      Programación lineal

b)      Modelo de redes

c)       Modelo de líneas de espera

Solución La respuesta correcta es: c) ya que involucra la teoría de probabilidades.

 Recomendaciones

 

         Justifique al alumno la respuesta correcta ampliamente.

  

11. Cuatro fábricas se dedican a la producción de cuatro tipos de juguetes. La siguiente tabla enumera los juguetes que cada fábrica puede producir:

 

FábricaMezcla de producción

de juguetes

1 1, 2, 3

2 2, 3

3 1, 4

4 3, 4

 

Todos los juguetes requieren la misma mano de obra y el mismo material por unidad. Las capacidades diarias de las cuatro fábricas son 250, 180, 300 y 100 juguetes, respectivamente. Las demandas diarias para los cuatro juguetes son 200, 150, 350 y 100 unidades, respectivamente. Determine el programa de producción de las fábricas que podrán satisfacer mejor las demandas de los cuatro juguetes.

 Identifique qué tipo de problema se tiene:

 a) Programación lineal

b)      Modelo de redes

c)       Modelo de líneas de espera

 Solución

 La respuesta correcta es: b) ya que éste se puede representar por medio de un grafo.

 Recomendaciones

 

         Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

 

12. Una compañía de autos tiene tres plantas en Puebla, Zacatecas y Chihuahua y dos centros de distribución en Monterrey y el D.F. Las capacidades de las tres plantas durante el próximo trimestre son de 1000, 1500 y 1200 automóviles. La demanda trimestral en los dos centros de distribución es de 2300 y 1400 automóviles. En la siguiente tabla se proporciona las millas entre las plantas y los centros de distribución:

 

 Monterrey

D.F.

Puebla 1 000 2 690

Zacatecas 1 250 1 350

Chihuahua 1 275 850

 La compañía de camiones encargada del transporte de los automóviles cobra 10 centavos por milla por automóvil. Determine el plan de distribución óptima para la compañía.

 Identifique qué tipo de problema se tiene:

 a) Programación lineal

b)      Modelo de redes

c)       Modelo de líneas de espera

 Solución

 La respuesta correcta es: a) ya que se trata de un problema de transporte.

 Recomendaciones

 

         Justifique ampliamente al alumno la respuesta correcta.

 

 1. Construya el modelo matemático asociado al siguiente problema.

Un granjero posee 200 cerdos que consumen 90 kgs de comida especial todos los días. El alimento se prepara con una mezcla de maíz y harina de soya en las siguientes proporciones:

 

Kilogramos por kilogramo de alimento 

Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/kg)

Maíz 0.01 0.09 0.02 0.20

Harina de soya 0.02 0.60 0.06 0.60

 

Los requerimientos diarios de alimento de los cerdos son:

(i)                  Cuando menos 1% de calcio.

(ii)                Por lo menos 30% de proteína.

(iii)              Mínimo 5% de fibra.

 

Determine el modelo matemático para la mezcla de alimentos con el mínimo costo por día.

Solución

 Primero identificamos las variables del problema, que son:

1x = kilogramos de maíz presentes en la mezcla

2x = kilogramos de soya presentes en la mezcla

 

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto a la composición de la mezcla y los requerimientos diarios de alimento.

 

Para el calcio tenemos que:

1 2 1 20 01 0 02 0 01. x . x . x x

 

Mientras que para la proteína tenemos:

1 2 1 20 09 0 60 0 03. x . x . x x

 

Y para la fibra: 

1 2 1 20 02 0 06 0 05. x . x . x x

 

Para el consumo total tenemos: 

1 2 90x x

 

Y considerando que no se puede tener cantidades negativas, se debe considerar que: 

1 0x  y  2 0x

 

Además, como el objetivo del problema es minimizar el costo por día, la función objetivo es:

1 20 20 0 60. x . x

 

Por lo tanto el modelo asociado es:

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

min. 0.20 0.60

s.a. 0.01 0.02 0.01( )

0.09 0.06 0.03( )

0.02 0.06 0.05( )

90

0, 0

z x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x

 

Recomendaciones 

         Indique al alumno cómo puede identificar los datos para formar las restricciones y la función objetivo.

         Indique al alumno que los porcentajes de calcio, proteína y soya son sobre el total de la mezcla.

 

 

2. Construya el modelo matemático asociado al siguiente problema.

 Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar el modelo matemático para las cantidades de los distintos tipos de alimento que debe dar a cada animal para cumplir ciertos requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos: 

Ingrediente nutricional kg de maíz kg de grasas kg de alfalfa Requerimiento mínimo diario

Carbohidratos 90 20 40 200

Proteínas 30 80 60 160

Vitaminas 10 20 60 150

Costo $42 $36 $30   

Solución

 

Primero identificamos las variables del problema, que son:

1x = kilogramos de maíz utilizados en la mezcla

2x = kilogramos de grasa utilizados en la mezcla

3x = kilogramos de alfalfa utilizados en la mezcla

 

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto a las cantidades utilizadas y los requerimientos diarios.

 

Para el maíz tenemos que: 

1 2 390 20 40 200x x x

 

Mientras que para la grasa tenemos:

1 2 330 80 60 160x x x

 

Y para la alfalfa:

1 2 310 20 60 150x x x

 

Considerando que no se pueden utilizar cantidades negativas, tenemos que considerar que: 

1 0x ,  2 0x  y  3 0x

 

Además, como el objetivo del problema es minimizar el costo, la función objetivo es: 

1 2 342 36 30x x x

 

Por lo tanto el modelo asociado es:

  1 2 3min. 42 36 30z x x x

s.a . 90 20 40 2001 2 330 80 60 1601 2 310 20 60 1501 2 3

0, 0, 01 2 3

x x x

x x x

x x x

x x x

 

Recomendaciones

 

         Indique al alumno cómo puede identificar los datos para formar las restricciones y la función objetivo.

         Indique al alumno la diferencia entre el problema anterior y el presente.

. Una empresa tiene 100 millones de pesos para invertir, con las posibilidades siguientes: 

Instrumento Tasa Máximo permitidoBonos federales 8% 5 000 000Casa de bolsa 6% 7 000 000Mercado de dinero 12% 20 000 000Moneda extranjera 9% 4 000 000

 

Por compromisos con el gobierno, la empresa debe asignar a sus inversiones en casa de bolsa a lo más el 85% de lo que asigne a los bonos federales; además debe invertir en dichos bonos el 7% de sus inversiones totales. Se desea determinar el modelo matemático para las cantidades que debe invertir en cada instrumento para maximizar los intereses totales recibidos por las inversiones. Solución Primero identificamos las variables del problema, que son:

1x = cantidad en millones a invertir en bonos federales

2x = cantidad en millones a invertir en casa de bolsa

3x = cantidad en millones a invertir en mercado de dinero

4x = cantidad en millones a invertir en moneda extranjera 

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto a los porcentajes de inversión y las cantidades máximas de inversión. 

Para las inversiones en casa de bolsa y bonos federales tenemos:

2 10.85x x

Mientras para los bonos y el resto de las inversiones tenemos:

1 2 3 40.93 0.07( )x x x x  Para la inversión total tenemos:

1 2 3 4 100x x x x  

Y considerando que no se puede tener inversiones negativas, tenemos que considerar que:

1 0x , 2 0x , 3 0x y 4 0x  Además, como el objetivo del problema es maximizar los intereses totales, la función objetivo es:

1 2 3 40.08 0.06 0.12 0.09x x x x  Por lo tanto el modelo asociado es:

1 2 3 4

1 2

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

0.08 0.06 0.12 0.09

0.85 0

0.93 0.07 0.07 0.07 0

100

5, 7, 20, 4

0, 0, 0, 0

max.

s.a.

z x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

 Recomendaciones          Indique al alumno cómo puede identificar los datos para formar las restricciones y la función

objetivo.         Indique al alumno que debe tener cuidado en los porcentajes de inversión.

 

1. Un banco está asignando un máximo de 200,000 dólares para préstamos personales y de automóviles durante el próximo mes. El banco cobra 14% de intereses por préstamos personales y 12% por préstamos para automóviles. Ambos tipos de préstamos se liquidan al final de un año. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los préstamos personales y el 2% de los préstamos para automóviles nunca se liquidan. Por lo común, el banco asigna cuando menos el doble de los préstamos personales que los préstamos para automóviles. Determine el modelo matemático para la asignación de fondos para los dos tipos de préstamos.

 

Solución

 

Primero identificamos las variables del problema, que son:

1x  cantidad en miles de dólares asignados para préstamos personales

2x  cantidad en miles de dólares asignados para préstamos de automóviles

 

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto a los porcentajes de cobro y pérdida.

 

Para la relación entre la asignación de préstamos personales y de automóviles tenemos: 

212 xx

 

Para la inversión total tenemos: 

20021 xx

 

Y considerando que no se pueden tener asignaciones negativas, tenemos que: 

1 20 0x x y

 

Además, como el objetivo del problema es maximizar la tasa de recuperación, la función objetivo es:

1 2 1 20.14 0.12 0.03 0.02x x x x

Por lo tanto el modelo asociado es:

1 2

1 2

1 2

1 2

max. 0.11 0.1

s.a. 200

2

0, 0

z x x

x x

x x

x x

 

Recomendaciones

 

         Indique al alumno cómo puede identificar los datos para formar las restricciones y la función objetivo.

         Indique al alumno que debe tener cuidado en los porcentajes de asignación.

 

 

2. Para fabricar dos productos, P1 y  P2 deben sufrir ciertas operaciones en tres máquinas M1, M2 y M3, sucesivamente, pero en un orden indiferente. Los tiempos unitarios (en minutos) de ejecución están dados en la siguiente tabla:

  M1 M2 M3

P1 11 7 6

P2 9 12 16

 

Supondremos que las máquinas no tienen tiempos muertos al esperar un producto que se esté procesando en otra máquina, lo cual puede suceder ya que el orden de las operaciones es indiferente.

Las horas disponibles de cada máquina para una actividad de un mes son: 9900 min. para la máquina M1; 8400 min. para la maquina M2 y 9600 min. para la máquina M3. El producto P1 da una ganancia unitaria de $900 y el producto P2 una ganancia unitaria de $1000.

Determine el modelo matemático para el número de productos P1 y P2 que se deben fabricar mensualmente para tener una ganancia total máxima.

 

Solución

 

Primero identificamos las variables del problema, que son:

1x  número de unidades del producto P1

2x  número de unidades del producto P2

 

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto a los minutos disponibles de cada máquina.

 

Para la máquina M1 tenemos: 

1 211 9 9900x x ,

para la máquina M2 tenemos: 

1 27 12 8400x x

y para la máquina M3 tenemos:

9600166 21 xx

 

Considerando que no se pueden tener cantidades de productos negativas tenemos que:

.00 21 xyx

 

Además, como el objetivo del problema es maximizar la utilidad, la función objetivo es:

21 1000900 xx .

Por lo tanto el modelo asociado es:

 

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max. 900 1000

s.a. 11 9 9900

7 12 8400

6 16 9600

0, 0

z x x

x x

x x

x x

x x

 

Recomendaciones

 

         Indique al alumno cómo puede identificar los datos para formar las restricciones y la función objetivo.

 

 

3. Supóngase que se acaba de recibir una herencia de $100,000 de un tío y su deseo es invertir este dinero para maximizar el rendimiento sobre la inversión. Se decide invertir tanto en acciones como en bonos. Para estar seguros, se piensa que las acciones deben ser no más del 25% y por lo menos el 10% del total a invertir; existe un bono que resulta en particular interesante y se quiere invertir en él por lo menos $40 000. Se estima que la tasa anual de rendimiento en bonos es del 8% y en acciones el 10%. Determine el modelo matemático para las cantidades que debe invertir en acciones y en bonos.

 

Solución

 

Primero identificamos las variables del problema, que son:

1x  cantidad a invertir en acciones

2x  cantidad a invertir en bonos

 

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto a la cantidad a invertir y la tasa anual de rendimiento.

 

Para el total a invertir tenemos:

1 2 100000x x

 

Mientras que para la inversión en acciones tenemos: 

1 1 2(0.25) ( )x x x  y  1 1 2(0.1) ( )x x x

 

Y para la inversión en bonos: 

2 40000x

 

Considerando que no se pueden tener cantidades negativas de inversión tenemos que:

1 0x  y  2 0x

 

Además, como el objetivo del problema es maximizar la inversión, la función objetivo es: 

1 20.10 0.08x x

 

Por lo tanto el modelo asociado es:

1 2

1 2

1 1 2

2 1 2

2

1 2

max. 0.10 0.08

s.a. 100000

(0.25)( )

(0.10)( )

40000

0, 0

z x x

x x

x x x

x x x

x

x x

Recomendaciones

 

         Indique al alumno cómo puede identificar los datos para formar las restricciones y la función objetivo.

         Indique al alumno que el total a invertir no necesariamente es total del dinero.

 

 

4. Una nutrióloga del Centro Médico debe preparar una dieta especial para ciertos pacientes. Ella ha decidido que las comidas deben contener un mínimo de 400 mg de calcio, 10 mg de hierro y 40 mg de vitamina C, también dispuso que las comidas se elaboren con los alimentos A y B. Cada onza del alimento A contiene 30 mg de calcio, 1 mg de hierro, 2 mg de vitamina C y 2 mg de colesterol. Cada onza del alimento B contiene 25 mg de calcio, 0.5 mg de hierro, 5 mg de vitamina C y 5 mg de colesterol. Determine el modelo matemático para la cantidad de onzas de cada tipo de alimento que deben utilizarse en una comida, de modo que se minimice el contenido de colesterol y se cubran los requerimientos mínimos de calcio, hierro y vitamina C.

Solución

 

Primero identificamos las variables del problema, que son:

1x  cantidad de onzas del alimento A

2x  cantidad de onzas del alimento B

 

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los datos proporcionados respecto a la cantidad mínima de nutrientes y colesterol.

 

Para el contenido de calcio tenemos:

1 230 25 400x x

 

Para el hierro tenemos:

1 20.5 10x x

 

Y para la vitamina C: 

1 22 5 40x x

 

Considerando que no se pueden tener cantidades negativas tenemos que:

1 0x  y  2 0x

 

Además, como el objetivo del problema es minimizar el contenido de colesterol la función objetivo 

es:

21 52 xx

 

Por lo tanto el modelo asociado es:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min. 2 5

s.a. 30 25 400

0.5 10

2 5 40

0, 0

z x x

x x

x x

x x

x x

 

Recomendaciones 

         Indique al alumno cómo puede identificar los datos para formar las restricciones y la función objetivo.

 

5. Una industria desea obtener un tipo particular de aleación. Las especificaciones técnicas de este material requieren que tenga 35% de hierro y 65% de aluminio. Para hacer la aleación se necesita mezclar dos aleaciones 1 y 2; cada una con distintas proporciones de hierro y aluminio, y también con distintos precios, como se muestra en la siguiente tabla:

 

Aleación 1 2

Porcentaje de hierro por kg 10 80

Porcentaje de aluminio por kg 90 20

Precio por kg $5 $7

 

Determine el modelo matemático para obtener una nueva aleación que cumpla con los requerimientos técnicos en cuanto a porcentajes de hierro y aluminio, y que además se obtenga a costo mínimo.

 

Solución

 

Primero identificamos las variables del problema, que son:

1x  cantidad en kg de la aleación 1

2x  cantidad en kg de la aleación 2

 

Ahora formulemos las restricciones del problema de acuerdo con los porcentajes proporcionados para la nueva aleación.

 

Para el contenido de hierro tenemos:

1 2 1 20.10 0.80 0.35( )x x x x

Y para el aluminio tenemos:

)(65.020.090.0 2121 xxxx

 

Considerando que no se pueden tener cantidades negativas tenemos que:

1 0x  y  2 0x

 

Además, como el objetivo del problema es minimizar el costo, la función objetivo es:

21 75 xx

 

Por lo tanto el modelo asociado es:

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

min. 5 7

s.a. 0.10 0.80 0.35( )

0.90 0.20 0.65( )

0, 0

z x x

x x x x

x x x x

x x

 

Recomendaciones

 

         Indique al alumno cómo puede identificar los datos para formar las restricciones y la función objetivo.

 

 

Unidad 4. Solución gráfica de problemas de P. L. 

Objetivo general Objetivos específicos

El alumno:

Obtendrá la región factible y la solución grafica de este tipo de modelos. 

         Obtendrá la región de soluciones factibles de modelos de P.L. de dos dimensiones.

         Resolverá problemas de maximización de P.L. utilizando el método gráfico.

         Resolverá problemas de minimización de P.L. utilizando el método gráfico.

         Obtendrá la solución gráfica de modelos de P.L. con propiedades especiales.

         Realizará el análisis de sensibilidad de los modelos de P.L.

 

 

 1. Encuentre la región factible del siguiente modelo de P.L.:

 

1 2

1 2

1 2

1

2

1 2

max. 40 30

s.a. 800

2 1000

400

700

0, 0

z x x

x x

x x

x

x

x x

 Solución Graficamos cada una de las desigualdades y después interceptamos las regiones obtenidas de éstas; el resultado es la siguiente región factible: 

1 2

1 2

1

2

800 (1)

2 1000 (2)

400 (3)

700 (4)

x x

x x

x

x

 Observemos que la región factible es acotada. Recomendaciones          Indique al alumno que para graficar cada una de las desigualdades debe tomar la igualdad.         Indique al alumno que debe tener cuidado al interceptar cada una de las regiones obtenidas de

las desigualdades del problema.  2. Encuentre la región factible del siguiente modelo de P. L.: 

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min. 2 5

s.a. 30 25 400

0.5 10

2 5 40

0, 0

z x x

x x

x x

x x

x x

 Solución Graficamos cada una de las desigualdades y después interceptamos las regiones obtenidas de éstas; el resultado es la siguiente región factible: 

1 2

1 2

1 2

30 25 400 1

0.5 10 2

2 5 40 3

x x

x x

x x

Observemos que la región factible es no acotada. Recomendaciones

          Indique al alumno que para graficar cada una de las desigualdades debe tomar la igualdad.         Indique al alumno que debe tener cuidado al interceptar cada una de las regiones obtenidas de

las desigualdades del problema.  3. Encuentre la solución óptima del siguiente modelo de P.L.: 

1 2

1 2

1 2

1

2

1 2

max. 40 30

s.a. 800

2 1000

400

700

0, 0

z x x

x x

x x

x

x

x x

Solución Primero procedemos a encontrar la región factible: 

1 2

1 2

1

2

800 (1)

2 1000 (2)

400 (3)

700 (4)

x x

x x

x

x

 Como se puede observar la región factible es acotada, por lo tanto el máximo existe. 

Ahora graficamos la función objetivo 21 3040 xxz con un valor arbitrario de z . En este caso

elegimos 3000z .

Como se tiene un problema de maximización debemos desplazar la función objetivo hacia arriba hasta tocar el último vértice de la región factible, como se indica en la gráfica: 

Entonces, como se puede observar, el punto óptimo se encuentra en la intersección de las

restricciones 80021 xx y 10002 21 xx . Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos como

punto óptimo 2001 x y 6002 x con un valor de 26000)600(30)200(40 z . Recomendaciones          Indique al alumno cómo ir dando valores a z.  4. Encuentre la solución óptima del siguiente modelo de P.L.: 

1 2

1 2

1 2

2

1 2

max. 2 5

s.a. 2 16

2 3 24

6

0, 0

z x x

x x

x x

x

x x

 Solución Primero procedemos a encontrar la región factible: 

1 2

1 2

2

2 16 (1)

2 3 24 (2)

6 (3)

x x

x x

x

 Como se puede observar es una región acotada, por lo tanto el máximo existe. 

Graficamos la función 1 22 5z x x con un valor arbitrario de z . En este caso elegimos 10z : 

Como se tiene un problema de maximización debemos seguir desplazando la función objetivo hacia arriba hasta tocar el último vértice de la región factible, como se indica en la gráfica: 

 Entonces, como se puede observar, el punto óptimo se encuentra en la intersección de las

restricciones 2432 21 xx y 62 x . Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos como punto

óptimo 31 x y 62 x con un valor de 36)6(5)3(2 z . Recomendaciones          Indique al alumno cómo ir dando valores a z.  5. Encuentre la solución óptima del siguiente modelo de P.L.: 

1 2

1 2

1 2

1 2

2

1

max. 3 4

s.a. 5 4 145

2 50

2 25

5

0

z x x

x x

x x

x x

x

x

 Solución Primero procedemos a encontrar la región factible: 

1 2

1 2

1 2

2

5 4 145 (1)

2 50 (2)

2 25 (3)

5 (4)

x x

x x

x x

x

 

 Como se puede observar es una región acotada, por lo tanto el máximo existe.

Graficamos la función 21 43 xxz con un valor arbitrario de z . En este caso elegimos 40z : 

 Como se tiene un problema de maximización debemos seguir desplazando la función objetivo hacia arriba hasta tocar el último vértice de la región factible, como se indica en la gráfica: 

 Entonces, como se puede observar, el punto óptimo se encuentra en la intersección de las

restricciones 14545 21 xx y 502 21 xx . Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos como

punto óptimo 151 x y 5.172 x con un valor de 115)5.17(4)15(3 z . Recomendaciones          Indique al alumno cómo ir dando valores a z.  6. Encuentre la solución óptima del siguiente modelo de P.L.: 

1 2

1 2

1 2

1 2

2

1

max. 35 30

s.a. 3 4 90

2 4 80

3 2 50

0

0

z x x

x x

x x

x x

x

x

Solución Primero procedemos a encontrar la región factible: 

1 2

1 2

1 2

3 4 90 (1)

2 4 80 (2)

3 2 50 (3)

x x

x x

x x

 

 Como se puede observar es una región no acotada, por lo tanto el máximo no existe. Graficamos la

función objetivo 21 3035 xxz con un valor arbitrario de z ; en este caso elegimos 900z : 

 Como se tiene un problema de maximización debemos seguir desplazando la función objetivo hacia arriba hasta tocar el último vértice de la región factible; como esta región es no acotada esto nunca sucede, por lo tanto el problema no tiene solución. Recomendaciones          Indique al alumno cómo ir dando valores a z.  

7. Encuentre la solución óptima del siguiente modelo de P.L.: 

1 2

1 2

1 2

2

1

min. 2 10

s.a. 5 2 40

2 20

3

0

z x x

x x

x x

x

x

Solución 

Primero procedemos a encontrar la región factible: 

1 2

1 2

2

5 2 40 (1)

2 20 (2)

3 (3)

x x

x x

x

 Como se puede observar es una región no acotada, por lo tanto el mínimo existe. 

Graficamos la función 21 102 xxz con un valor arbitrario de z . En este caso elegimos 40z :

 

Como se tiene un problema de minimización y una región factible no acotada debemos seguir desplazando la función objetivo hacia arriba hasta tocar el primer vértice de la región factible, como se indica en la gráfica: 

Entonces, como se puede observar, el punto óptimo se encuentra en la intersección de las

restricciones 202 21 xx y 32 x . Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos como punto

óptimo 141 x y 32 x con un valor de 2(14) 10(3) 58z . Recomendaciones          Indique al alumno cómo ir dando valores a z.  8. Encuentre la solución óptima del siguiente modelo de P.L.:

1 2

1 2

1 2

1 2

1

2

min. 5 3

s.a. 48

3 60

9 5 320

10

0

z x x

x x

x x

x x

x

x

 

Solución 

Primero procedemos a encontrar la región factible: 

 

1 2

1 2

1 2

1

48 (1)

3 60 (2)

9 5 320 (3)

10 (4)

x x

x x

x x

x

Como se puede observar, es una región acotada, por lo tanto el mínimo existe. 

Graficamos la función 21 35 xxz con un valor arbitrario de z . En este caso elegimos 30z :

Como se tiene un problema de minimización y una región factible acotada debemos seguir desplazando la función objetivo hacia arriba hasta tocar el primer vértice de la región factible, como se indica en la gráfica: 

 Entonces, como se puede observar, el punto óptimo se encuentra en la intersección de las

restricciones 1 23 60x x y 2 3x . Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos como punto

óptimo 1 10x y 2

50

3x

con un valor de

505(10) 3( ) 100

3z

. Recomendaciones          Indique al alumno cómo ir dando valores a z.  9. Encuentre la solución óptima del siguiente modelo de P.L.: 

1 2

1 2

1 2

1

2

min. 10 4

s.a. 2 20

2 17

4

6

z x x

x x

x x

x

x

 Solución Primero procedemos a encontrar la región factible: 

1 2

1 2

1

2

2 20 (1)

2 17 (2)

4 (3)

6 (4)

x x

x x

x

x

 

Como se puede observar, es una región no acotada, por lo tanto el mínimo existe. 

Graficamos la función 21 410 xxz con un valor arbitrario de z . En este caso elegimos 8z :

 Como se tiene un problema de minimización y una región factible no acotada debemos seguir desplazando la función objetivo hacia arriba hasta tocar el primer vértice de la región factible, como se indica en la gráfica: 

 Entonces, como se puede observar, el punto óptimo se encuentra en la intersección de las

restricciones 172 21 xx y 41 x . Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos como punto

óptimo 41 x y 92 x con un valor de 76)9(4)4(10 z . Recomendaciones          Indique al alumno cómo ir dando valores a z.  10. Encuentre la solución óptima del siguiente modelo de P.L.: 

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min. 2 5

s.a. 30 25 400

0.5 10

2 5 40

0, 0

z x x

x x

x x

x x

x x

Solución Primero procedemos a encontrar la región factible: 

34052

2105.0

14002530

21

21

21

xx

xx

xx

 Como se puede observar, es una región no acotada, por lo tanto el mínimo existe. 

Graficamos la función 21 52 xxz con un valor arbitrario de z . En este caso elegimos 25z :

 Como se tiene un problema de minimización y una región factible no acotada debemos seguir desplazando la función objetivo hacia arriba hasta tocar el primer vértice de la región factible, como se indica en la gráfica: Entonces, como se puede observar, el punto óptimo se encuentra en la intersección de las

restricciones 4002530 21 xx y 4052 21 xx . Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos

como punto óptimo 101 x y 42 x con un valor de 40)4(5)10(2 z . 

Observe que este problema tiene una infinidad de soluciones ya que la función objetivo coincide con la restricción 3. Recomendaciones          Indique al alumno que la región factible es la que se obtuvo en el problema 10.         Indique al alumno cómo ir dando valores a z.  11. Encuentre la solución óptima del siguiente modelo de P.L.:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max. 5 10

s.a. 3 9 9

2 3 12

4 3 8

0, 0

z x x

x x

x x

x x

x x

 Solución Primero procedemos a encontrar la región factible: 

1 2

1 2

1 2

3 9 9 (1)

2 3 12 (2)

4 3 8 (3)

x x

x x

x x

Como las regiones sombreadas no se intersectan, no existe región factible, por lo tanto el problema no tiene solución. Recomendaciones          Explique al alumno, en caso de ser necesario, con más detalle por qué no existe región factible.  

12. Realice el análisis de sensibilidad sobre la primera restricción para el siguiente modelo de

P.L.:

1 2

1 2

1 2

1

2

1 2

max. 40 30

s.a. 800

2 1000

400

700

0, 0

z x x

x x

x x

x

x

x x

Solución Primero procedemos a encontrar la solución del modelo de P.L. como en los problemas anteriores; es decir, obtenemos la región factible graficando un valor arbitrario de z y desplazándolo hasta tocar el último punto de la región factible: 

 

Se observa que en el punto cuya intersección se da entre las restricciones 1 2 800x x y

1 22 1000x x , se encuentra el punto óptimo, cuyas coordenadas son 1 200x y 2 600x con un

valor de 26000.z  

Para el análisis de sensibilidad de la primera restricción, la región factible se ve modificada, entonces

debemos obtener los puntos donde se mantiene la intersección de las restricciones 1 2x x a y

1 22 1000x x , donde a representa los posibles valores que puede tomar el lado derecho de la primera restricción; por lo tanto estos puntos son (150,700) y (400,200). Ahora, sustituyendo en la

restricción 1 2x x a estos puntos, obtenemos que 600,850a que es el valor mínimo y máximo

que puede tomar el lado derecho de la primera restricción del modelo. Recomendaciones          Indique al alumno que la solución se obtuvo en el problema 11.

         Indique al alumno cómo realizar el análisis de sensibilidad sobre la restricción 1 22 1000x x

  

13. Realice el análisis de sensibilidad sobre el coeficiente 1x de la función objetivo para el siguiente modelo de P.L.:

1 2

1 2

1 2

1

2

min. 10 4

s.a. 2 20

2 17

4

6

z x x

x x

x x

x

x

Solución Primero procedemos a encontrar la solución del modelo de P.L. como en los problemas anteriores; es decir, obtenemos la región factible graficando un valor arbitrario de z y desplazándolo hasta tocar el último punto de la región factible: 

 

Se observa que en el punto cuya intersección se da entre las restricciones 1 22 17x x y 1 4x , se

encuentra el punto óptimo, cuyas coordenadas son 1 4x y 2 9x con un valor de 76z . Para el análisis de sensibilidad del primer coeficiente de la función objetivo, debemos garantizar que el valor de la pendiente de la función objetivo se debe encontrar entre las pendientes de las

restricciones 1 22 17x x y 1 4x ; entonces calculamos las pendientes de estas restricciones y de

la función objetivo 1 24z ax x , donde a representa los posibles valores que puede tomar el primer

coeficiente de la función objetivo, obteniendo 2 2m , 3m y 4za

m

. Ahora igualamos las

pendientes de las restricciones con la de la función objetivo obteniendo [8, )a , que es el valor

máximo y mínimo que puede tomar el coeficiente de 1x . Recomendaciones          Indique al alumno que la solución se obtuvo en el problema 16.         Indique al alumno cómo realizar el análisis de sensibilidad sobre el segundo coeficiente de la

función objetivo.