Programacion Lineal

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INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL

YCurvas de nivel

Recinto de Puntos factibles

O

x

Prof. ANA COLO HERRERA

Prof. HECTOR PATRITTI

INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEALEjercicios resueltos

PROF. ANA COL HERRERA

PROF. H. PATRITTI

DERECHOS RESERVADOS POR LOS AUTORESEsta publicacin no puede ser reproducida en todo o en parte, ni archivada o trasmitida por ningn medio electrnico , mecnico , de grabacin , de fotocopia , de microfilmacin o enotra forma, sin el previo conocimiento de los autores. Publicacin inscrita en la Biblioteca Nacional el 11 de julio del 2003 en el libro No.29 con el No. 1749 habindose realizado los aportes legales correspondientes segn Art.7. de la le No. 9739 sobre derechos de autor.

Email: anacolo @ adinet.com.uy Telefax: 7120680 Montevideo-Uruguay

hpatritti @ yahoo.com.ar

Introduccin a la Programacin Lineal

INDICE

Prlogo

......................................................................................... pgina

1 3 13 15 17 19 - 27 29 - 35 37 - 55

Introduccin...................................................................................... pgina Captulo 1 Enunciados .................................................................. pgina Captulo 1 Resoluciones .............................................................. pgina

Captulo 2 Enunciados ........................................................... ....... pgina Captulo 2 Resoluciones ............................................................. ... pgina

Ana Col Herrera

Hctor Patritti

PROLOGO

Ana Col Herrera

Hctor Patritti

Introduccin a la Programacin Lineal. Prlogo

AL ESTUDIANTEEsta publicacin tiene por objetivo poner a tu disposicin un conjunto de ejercicios , con su correspondiente resolucin , introductorios al tema de Programacin Lineal. En modo alguno pretende sustituir los ejercicios que el docente que dicta el curso de matemtica en la orientacin que has elegido te proponga. Nuestra intencin es agregar a ellos un material adicional que esperamos te resulte til durante el desarrollo del curso como tambin eventualmente en la preparacin del examen correspondiente. Hemos dividido la publicacin en 2 captulos y una Introduccin. En sta , bsicamente, desarrollamos con algn detalle la resolucin de un ejercicio tipo a fin de que refresques aquellos conocimientos adquiridos en el curso y que debers aplicar directamente. En el Captulo (1) te proponemos ejercicios sobre resolucin de inecuaciones

lineales en dos variables y de sistemas de inecuaciones lineales en dos variables. En el Captulo (2) los primeros ocho ejercicios se refieren a la maximizacin y/o minimizacin de funciones lineales de dos variables, mientras que del ejercicio nueve en adelante te proponemos situaciones problemticas genuinas. Si logras convencerte que con los conocimientos adquiridos en este primer curso de Matemtica de los Bachilleratos Tecnolgicos ests capacitado para resolver ejercicios introductorios sobre Programacin Lineal habrs dado un paso adelante, pero si adems de ello eres capaz de resolverlos, enhorabuena.

LOS AUTORES.

Ana Col Herrera

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Hctor Patritti

INTRODUCCION

Ana Col Herrera

Hctor Patritti

Introduccin a la Programacin Lineal Introduccin

La Programacin Lineal es una tcnica matemtica utilizada para dar solucin a problemas que se plantean muy comnmente en diversas disciplinas como Economa , Ingeniera , Sociologa , Biologa , etc. En esencia trata de maximizar y/o minimizar una funcin lineal de dos o ms variables teniendo en cuenta que las mismas deben cumplir determinadas exigencias derivadas de la escasez de recursos disponibles en la realidad. El problema de asignar convenientemente recursos escasos es un problema conocido desde la antigedad , especialmente en el mundo de la economa , aunque una solucin matemtica al mismo es relativamente reciente. Fue en la dcada de los aos 40 del siglo XX que a travs del trabajo de equipos formados por matemticos, economistas y fsicos, entre los cuales merece especial destaque George B. Dantzing , se sentaron las bases para la resolucin de problemas de Programacin Lineal y No Lineal. Entendemos que nada mejor para comprender la esencia del tema que plantearte un ejercicio, que iremos desarrollando para que recuerdes los conocimientos matemticos necesarios para su resolucin y puedas entonces dedicarte a los ejercicios que te proponemos en esta publicacin.

Ejercicio No. 0Una tapicera est dedicada al tapizado de dos tipos de sillones a los que denominaremos tipo (A) y tipo (B). Cada unidad del silln tipo (A) necesita 10 metros de tela de tapicera y 12 horas de trabajo , mientras cada unidad de los del tipo (B) necesita 15 metros de tela y 16 horas de trabajo. La tapicera dispone semanalmente de 300 m de tela y 336 horas de trabajo. Los sillones del tipo (A) dan a la empresa una utilidad de $ 1500 , y los del tipo (B) una utilidad de $ 2100. Suponiendo que todos los sillones tapizados se venden y que no existe escasez de otros elementos como hilo, clavos , tachuelas ,etc, se desea saber cuntos sillones de cada tipo deben tapizarse para que la empresa obtenga mxima ganancia

Ana Col Herrera

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Hctor Patritti

Introduccin a la Programacin Lineal Introduccin

En todo problema de Programacin Lineal encontraremos una tarea que debe realizarse con la mxima efectividad , que en nuestro caso ser lograr que la ganancia de la empresa expresada en $/semana sea mxima. Esa ganancia , que llamaremos G, deberemos expresarla como funcin lineal de dos variables. A tales efectos llamaremos: x al nmero de unidades de sillones tapizados por semana , tipo (A) y al nmero de unidades de sillones tapizados por semana , tipo (B) Como las utilidades de la venta son 1500 y 2100 pesos por unidad respectivamente, la funcin G ser tal que: G(x,y) = 1500 x + 2100 y ( $ / sem.)

La escasez de recursos, en nuestro caso los metros de tela de que dispone por semana la tapicera (300 m ) y las horas de trabajo posibles por semana (336 horas), imponen limitaciones a nuestras variables, limitaciones a las que denominaremos restricciones y que se traducen matemticamente por inecuaciones lineales. En efecto: Si cada silln del tipo (A) necesita 10m de tela y cada silln del tipo (B) necesita 15m de tela, deber cumplirse 10 x + 15 y 300 (1)

Por otra parte si cada silln del tipo (A) insume 12 horas de trabajo para su tapizado y cada silln del tipo (B) insume 16 horas deber cumplirse: 12 x + 16 y 336 x0 (2) y0

El propio significado fsico de las variables impone adems que: (3) (4)

En resumen el modelo matemtico adoptado para resolver el ejercicio propuesto consiste en maximizar la funcin G tal que G(x,y) = 1500x + 2100y debiendo las variables cumplir con las restricciones: 10 x + 15 y 300 12 x + 16 y 336 x0 y0 (1) (2) (3) (4)

Ana Col Herrera

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Hctor Patritti

Introduccin a la Programacin Lineal Introduccin

Tratando de encontrarle solucin al ejercicio podras pensar , teniendo en cuenta que los sillones del tipo (B) dan mayor ganancia, en tapizar slo ese tipo de sillones. En ese caso tendramos x = 0 y deberamos hallar el mximo valor de y que cumpla las restricciones dadas , lo que nos dara y = 300 / 15 = 20 ya que si tomramos y = 336 / 12 = 21 se incumplira la restriccin (1). La ganancia de la empresa sera entonces: G(0; 20) =2100 . 20 = 42000 $ / sem. Sin embargo podras pensar que, siendo menor el tiempo de tapizado de los sillones tipo (A) , lo conveniente sera dedicarse slo a ese tipo de sillones pues la cantidad de ellos sera mayor. En estas condiciones tendramos entonces: y = 0 y deberamos hallar el valor

mximo de x lo que nos conducira a x = 336 /12 = 28. La ganancia sera entonces : G(28; 0) = 1500 . 28 = 42000 $ / sem. El resultado estara indicando que en el problema propuesto y desde el punto de vista de la ganancia de la empresa sera indiferente una u otra de las soluciones. Nos surge sin embargo la duda de si no existir la posibilidad de tapizar ambos tipos de sillones logrando con ello una ganancia superior a 42000 $ / sem. Una vez resuelto el problema matemticamente , segn veremos a continuacin , obtendremos la solucin correcta. Los problemas de Programacin Lineal en dos variables que tratamos en esta publicacin admiten una resolucin grfica sencilla . Tratemos de llevarla adelante paso a paso. Lo primero que debes recordar es la resolucin grfica de inecuaciones lineales en dos variables que has visto en el curso. Tomemos la restriccin nmero (1) de nuestro ejercicio. 10 x + 15 y 300 Resolver la inecuacin significa hallar el conjunto de parejas (x,y) que verifiquen la doble condicin: 10x +15y = 300 10x + 15 y < 300 Consideremos un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal (XOY). Las infinitas parejas (x , y) que cumplen la primera condicin son coordenadas de los infinitos puntos de la recta de ecuacin 10x + 15y = 300. Ana Col Herrera 5 Hctor Patritti

Introduccin a la Programacin Lineal Introduccin

Debemos ahora encontrar las infinitas parejas que verifican la segunda condicin. La recta anterior divide al plano en dos semiplanos y desde el punto de vista grfico uno de ellos es la solucin de la inecuacin 10x + 15y < 300 . Queda por determinar cul de los dos es la solucin. Para ello basta que tomemos un punto arbitrario del plano no perteneciente a la recta que hemos considerado y verifiquemos si sus coordenadas verifican o no la inecuacin. Si la verifican , el semiplano al cual pertenece el punto ser el buscado, en caso de que no verifiquen el semiplano buscado ser el opuesto. Si nuestra recta no pasa por el origen de coordenadas el punto ms sencillo para efectuar el tanteo es justamente el (0,0). Tendremo