ProgramaciÃ³n lineal resoluciÃ³n de problemas en hoja de cÃ¡lcul

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Programación LinealResolución de Problemas en

Hoja de Cálculo


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Ethel Mokotoff Departamento de Fundamentos de Economía

Universidad de Alcalá

Programación LinealResolución de Problemas en

Hoja de Cálculo

SEPTEM EDICIONESOviedo, 2004


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Título: Programación Lineal: Resolución de Problemas en Hoja de Cálculo

1ª Edición, octubre 2004

Este libro no podrá ser reproducido, ni total ni parcialmente, sin el previo permiso escrito del editor. Todos los derechos reservados.

© Ethel Mokotoff

© Septem Ediciones, S. L.Cimadevilla 15, esc. A 1ºC 33003-OviedoTfno. 985 20 85 12 Fax. 985 20 85 13e-mail: [email protected]

www.septemediciones.com

Colección: septem universitas Diseño Cubierta e interior: M&R Studio Año: 2004Depósito Legal: SE-0_____/2004Impresión: Publidisa ISBN: 84-95687-43-7

Impreso en España-Printed in Spain

ISBN Versión Digital: 1-4135-9752-1

mailto:[email protected]://www.septemediciones.com/http://www.septemediciones.com/mailto:[email protected]


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Índice

Capítulo 1. Marco Teórico ......................................................................................71. Introducción ......................................................................................................7

Capítulo 2. Programación matemática ................................................................91. Introducción ......................................................................................................92. Formulación de un programa matemático ........................................................93. Ejemplo ...........................................................................................................114. Óptimos locales y óptimo global ....................................................................135. Programas matemáticos convexos ................................................................ 14

Capítulo 3. Programación lineal ......................................................................... 191. Introducción ....................................................................................................192. Modelos lineales ............................................................................................193. Programas lineales.........................................................................................21

4. Formulación de un programa lineal ................................................................. 225. Valor dual de una restricción .......................................................................... 24

Capítulo 4. Formulaciones más importantes .....................................................271. Introducción ....................................................................................................272. Ejemplo del problema de la planificación de la producción............................. 273. Ejemplo del problema de la dieta ...................................................................284. Ejemplo del problema del transporte .............................................................. 29

Capítulo 5. Resolución de problemas en ordenador utilizando What’s Best ... 31

1. Introducción ....................................................................................................312. Descripción del problema ...............................................................................323. Introducción de datos en la hoja de cálculo.................................................... 334. Resolución del problema ................................................................................415. Variantes al problema planteado .................................................................... 436. Resultados duales ..........................................................................................46

Capítulo 6. Solución de problemas ....................................................................571. Introducción ....................................................................................................572. Ejemplo del problema de la planificación de la producción............................. 573. Ejemplo del problema de la dieta ...................................................................594. Ejemplo del problema del transporte .............................................................. 60


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Capítulo 7. Aplicaciones Económicas.................................................................631. Matriz input-output de Leontieff ...................................................................... 632. Subasta de sobre cerrado ..............................................................................683. Juegos de suma cero .....................................................................................72

Capítulo 8. Aplicaciones Financieras ................................................................. 771. Planificación de inversiones............................................................................772. Modelo de Markowitz .....................................................................................81

Capítulo 9. Problemas de planificación ............................................................. 871. Asignación de turnos ......................................................................................872. Asignación de máquinas ................................................................................933. Planificación de proyectos .............................................................................97

Capítulo 10. Problemas Propuestos .................................................................. 101

Referencias..........................................................................................................107


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Capítulo 1. Marco Teórico

1. IntroducciónCuando nos encontramos ante un problema que queremos resolver, lo primero que

debemos hacer es plantear un modelo adecuado al problema, esto significa tra-

ducir la expresión verbal del mismo a una expresión matemática a la cual podamosaplicar algún método de resolución.

La complejidad de un modelo depende de las expresiones matemáticas que

presente. Si nuestro problema busca hacer el uso más eficiente de unos recursos

disponibles, normalmente tratará de maximizar o minimizar una función de una o

más variables, sujetas a restricciones. A estos problemas se los llama problemas

de optimización. Dentro de la teoría de la optimización hay gran variedad de

problemas, entre los que se encuentran los problemas de programación mate-

mática, de los cuales nos ocuparemos. La teoría de juegos es también parte de la

teoría de la optimización, y se diferencia de la programación matemática en que en

la primera hay varios decisores, en cambio en la programación matemática existe un

único decisor. Además, la variable tiempo no interviene como variable esencial en

los problemas de programación matemática, lo cual los diferencia de los problemas

de optimización dinámica.La finalidad de este trabajo es la de poner al alcance de un estudiante universita-

rio el manejo de una herramienta informática de optimización, que le permita resol-

ver problemas de la actividad empresarial, en los cuales, el mejor aprovechamiento

de recursos limitados es siempre un objetivo. Para tal fin se reseña brevemente, en

los primeros capítulos, la teoría que constituye el marco de estos problemas.

En el Capítulo 2 se describen, de forma muy general, los problemas de progra-

mación matemática , su formulación y las propiedades que deben verificarse para


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Ethel Mokotoff 8

que sea posible encontrar una solución óptima.

Un gran número de situaciones reales pueden expresarse por medio de modelos

de programación lineal . Esta gran aplicabilidad, y las eficientes técnicas de reso-

lución que aparecieron a mediados del siglo XX, han hecho de este área de laoptimización una herramienta de gran utilidad en el terreno de la Economía y Em-

presa. El Capítulo 3 está dedicado a revisar someramente los fundamentos teóricos

de la programación lineal.

De entre los innumerables casos de la vida real que pueden modelizarse con

programación lineal , hemos escogido los más tradicionales para describir su for-

mulación, y así se presentan en el Capítulo 4. Estos mismos problemas se resuelven

con What’s Best en el Capítulo 6, luego de haber descrito en el Capítulo 5 las

características fundamentales y el modo de operar de este optimizador .

La elección del What’s Best , entre las diversas herramientas informáticas de

optimización que se comercializan en la actualidad, se ha basado simplemente en el

hecho de que responde a una buena combinación de dos elementos que nos intere-

san, su poder de resolución, junto a un manejo simple, sobre todo para el usuario

familiarizado con Hojas de Cálculo.Los últimos capítulos están destinados a resolver problemas más reales. En el

Capítulo 7 se plantean y resuelven ejemplos de Aplicaciones Económicas, en el

Capítulo 8 de Aplicaciones Financieras y en el 9 de Planificación.

Al final del libro se proponen 10 aplicaciones más que se dejan sin resolver para

motivar al lector a realizar su planteamiento y solución. Estos son sólo algunos ejem-

plos que surgen de los modelos clásicos. Podrían plantearse muchos otros mode-los. Esperamos que con estos elementos básicos, el lector se sienta animado a

formular programas lineales, para intentar resolver los problemas de decisión que

puedan surgirle en su vida profesional.


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Capítulo 2. Programación matemática

1. IntroducciónDebido a la estructura del modelo general de la programación matemática, una

gran variedad de problemas reales puede ser representada como problemas de

programación matemática.Gran parte de las aplicaciones se refieren a la administración y uso eficiente de

recursos para mejorar la productividad. Estas aplicaciones incluyen problemas

operativos como la distribución y planificación de la producción, selección de car-

teras, localización de plantas, análisis y planificación de inversiones, diseño de redes

de comunicación o transporte, diseño de circuitos eléctricos, diseño de sistemas de

producción automática, etc.

En este Capítulo se describe, de forma muy general, la teoría de la programa-

ción matemática , con la única intención de crear el marco necesario para saber

enfrentarse a problemas que responden a estas características. Pero esta descrip-

ción carece absolutamente de demostraciones. Presentamos, primero, la formula-

ción general de los problemas de programación matemática con un ejemplo. Se

explica luego la diferencia entre óptimos locales y óptimo global. Finalmente se

enuncian las propiedades que debe reunir un programa para que sea posible encon-trar una solución óptima.

2. Formulación de un programa matemáticoLos problemas de programación matemática pueden definirse como el cálculo del

óptimo de una función, en la cual las variables que intervienen están sujetas a

unas condiciones. En algunos casos, como cuando se trata de beneficios, optimizar

significará maximizar, y en otros, por ejemplo si se miden gastos, optimizar seráminimizar. Las condiciones establecen un subconjunto de posibles valores de las


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Ethel Mokotoff 10

variables, como ser mayores o iguales que cero, menores que una cantidad límite, o

que una combinación lineal de ellas no pueda sobrepasar un límite o deba superar

un nivel mínimo, etc. A estas condiciones se las denomina restricciones.

La formulación general de un problema de programación matemática es:Optimizar f( x )

sujeto a:g( x )dh( x )ei( x )=f xS

donde:

x =(x1 , x

2 ,..., x

q )T es el vector columna de las variables de decisión, x q

g=(g1, g

2,..., g

m)T es el vector columna de las funciones de restricciones de tipo

(es un campo vectorial)

h=(h1, h

2,..., h

n)T es el vector columna de las funciones de restricciones de tipo

(es un campo vectorial)

i=(i1, i2,..., i p)T es el vector columna de las funciones de restricciones de tipo =(es un campo vectorial)

d=(d1, d

2,..., d

m)T es el vector columna del segundo miembro de restricciones de

tipo

e=(e1, e

2,..., e

n)T es el vector columna del segundo miembro de restricciones de

tipo

f =(f 1, f 2,..., f p)T es el vector columna del segundo miembro de restricciones detipo =

S es un determinado subconjunto de E q

En esta formulación optimizar puede significar minimizar o maximizar .

El vector x es el vector de las variables de decisión del problema, cuyos valo-

res podemos elegir. Solucionar el problema será encontrar los valores de estas

variables, de manera que se alcance un valor óptimo de f( x ), sin incumplir las res-

tricciones impuestas.


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Programación Lineal: Resolución de Problemas en Hoja de Cálculo 11

La función f( x ) es la función objetivo del problema. Es una función escalar que

indica el valor de la medida de interés del problema para cada valor del vector x .

Las g( x ), h( x ) y i( x ), son funciones vectoriales de m, n y p componentes, res-

pectivamente, que restringen los valores de las componentes del vector x , es de-cir, hacen que x no pueda ser cualquier vector de q componentes que optimice la

función objetivo, sino que debe respetar las condiciones que estas restricciones

imponen a sus componentes.

S representa a las restricciones impuestas sobre el conjunto de variables, pero

que no son relaciones matemáticas entre las variables, sino que tienen que ver con la

naturaleza de las mismas. Esta idea se aclarará con los siguientes ejemplos:

Con S es posible especificar que las variables sólo puedan tomar valores no

negativos. Por ejemplo, si se trata de cantidades a producir, no tiene sentido

hablar de producir cantidades menores que cero.

S puede significar que todas o algunas de las variables representan relaciones

lógicas, es decir, que sólo pueden tomar los valores sí/no. Este es el caso de un

área muy importante de la programación matemática que es la optimización

combinatoria. Consideremos, por ejemplo, que se trata de decidir si construir

o no una nueva planta.

S puede ser el conjunto de los números naturales, es decir, que las variables

sólo puedan tomar valores enteros no negativos, en este caso se habla de

optimización entera. Sea por ejemplo la determinación del número de vivien-

das a construir. No es posible edificar la vivienda a medias, es necesario que el

número de unidades a construir sea siempre un valor discreto, y los redondeos,en muchos casos, pueden conducir a grandes errores.

Se llama solución factible a todo vector x que cumple las restricciones.

3. EjemploUna empresa automotriz fabrica dos modelos de automóvil diferentes, cada uno

con un precio diferente, en sus tres plantas. Cada modelo tiene un precio uniforme,

pero diferente coste según en cual de las plantas haya sido fabricado. Además,


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cada planta tiene un límite en su capacidad de producción.

Se deben establecer las cantidades a producir de cada modelo en cada planta,

de manera de maximizar los beneficios totales. Se conoce del mercado el número

máximo de unidades de cada modelo que pueden ser vendidas.COSTES UNITARIOS DE FABRICACIÓN

Las variables de decisión están representadas por qij

, donde i indica de qué

modelo de automóvil se trata (i= 1, 2) y j la planta en la cual se fabrica ( j= 1, 2, 3).

La función de beneficios a maximizar es el resultado de restar los costes de

producción a los ingresos obtenidos por la venta de los productos fabricados.

La cantidad total de unidades del modelo i que se fabrican queda indicada por

3

1 j

ijq

Los ingresos por venta de los productos quedan determinados por

3

12

3

11

3

1

2

1

000.500.1000.300.1 j

j

j

j

j

ij

i

i qqq p

Los costes de producción se calculan como

2

1

3

1i jijij qc

Así resulta la siguiente formulación del problema:

3

1 j2j

3

1 j1j 1.500.0001.300.000 qq Max

Plantas Norte Oeste Sur Precios DemandaMod A 700.000 800.000 1.200.000 1.300.000 1.504Mod B 900.000 1.200.000 1.050.000 1.500.000 486Capacidad 500 100 200

232221

131211

qq

q

qqq


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s.a

Restricciones de Capacidad

q11

+q21

500

q12

+q22 100

q13

+q23

200

Restricciones de Demanda

q11

+q12

+q13

1504

q21

+q22

+q23

486

Restricciones de No Negatividad

qij

0, i= 1, 2 y j= 1, 2, 3

4. Óptimos locales y óptimo globalEn un modelo de programación matemática se busca la mejor solución. Pero

puede ocurrir que existan varias soluciones que sean óptimos locales, es decir,soluciones que son la mejor solución en una zona del conjunto de soluciones, pero

entre la totalidad de las soluciones posibles, puede haber alguna que la mejore.

El óptimo global es la mejor de todas las soluciones factibles. En algunos pro-

blemas pueden encontrarse óptimos locales, pero no siempre es fácil encontrar el

óptimo global . Es por esta razón (la existencia de más de un óptimo local ), que la

solución que un mismo optimizador pueda encontrar, depende de la solución ini-cial, ya que busca en las proximidades de la solución inicial, y, en cuanto encuentra

el primer óptimo local , se para y da el resultado. Si se busca mejorar la solución,

puede ser conveniente optimizar varias veces con diferentes soluciones iniciales.

Es evidente que, cuando formulamos un programa matemático, lo que desea-

mos calcular son sus óptimos globales. Los óptimos locales pueden ser de muy

poca utilidad y conducirnos a adoptar decisiones muy poco apropiadas para el

problema que se trata de resolver. Por otro lado, tanto la teoría, como las herra-


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mientas actuales de optimización, no permiten, en algunos problemas, encontrar

más que óptimos locales.

Encontrar condiciones de optimalidad global , o algoritmos que encuentren

óptimos globales, es posible sólo cuando el programa matemático es convexo,es decir, que la función objetivo debe ser convexa, y las restricciones deben

presentar tales características que hagan que el conjunto de soluciones factibles

sea convexo. De este modo se garantiza que cualquier óptimo local sea óptimo

global . Es por esto que la convexidad de los programas matemáticos es tan

importante y merece nuestra atención.

5. Programas matemáticos convexosUn conjunto de puntos es un conjunto convexo, si todos los puntos del seg-

mento de recta que une cualquier par de puntos del conjunto, también perte-

necen a dicho conjunto. El conjunto de la Figura A es, según la definición anterior,

un conjunto convexo, mientras el de la Figura B es cóncavo.

FIGURA A CONJUNTO CONVEXO FIGURA B CONJUNTO CÓNCAVO

Los conjuntos encerrados dentro de los contornos de las figuras anteriores sonde dos dimensiones, si generalizamos este concepto a conjuntos n-dimensionales,

es necesario recurrir a una definición más formal, como la siguiente:

Un conjunto S n es convexo si

x 1, x 2 S

, 0 1,

x1 x2

x1 x2


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los puntos x = x 2 + (1-) x

1 pertenecen a S.

Para las funciones también es posible analizar su convexidad o concavidad .

Como en el caso de conjuntos, es posible realizar un análisis gráfico en dos

dimensiones, aunque sólo cuando se trata de funciones de una variable:Una función es convexa si todo segmento que una cualquier par de puntos de

su gráfica, nunca se sitúa por debajo de la misma. Si la cuerda siempre está por

encima de la gráfica de la función, entonces la función es estrictamente convexa.

Esta distinción entre convexidad y convexidad estricta es necesaria debido a

que una función puede ser cóncava y convexa a la vez. Sea el caso de una función

lineal, el segmento que une dos de sus puntos, no está por debajo ni por encima dela gráfica de la función, por lo tanto la función es cóncava y convexa, pero no es

estrictamente convexa.

FIGURA A FUNCIÓN ESTRICTAMENTE CONVEXA FIGURA B FUNCIÓN CONVEXA

Estas definiciones pueden formalizarse para hacerlas extensibles a funciones de

más de una variable:

Una función f( x ), definida en un conjunto convexo S de n , es una función

convexa si

x 1 , x 2 S

, 0 1

se verifica:

f( x2 + (1-) x

1) f( x

2) + (1-)f( x

1)

La función es estrictamente convexa si se verifica la expresión anterior con

desigualdad estricta cuando 0


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En la expresión principal de la definición, el miembro de la izquierda es el valor

de la función en un punto intermedio entre x 1 y x

2, mientras que el miembro de la

derecha es el valor de la ordenada, en el mismo punto, de la recta que une los

puntos f( x 1) y f( x 2).

f(x1)

f(x2)

f(x2+(1-)x1)

x1 x2x2+(1-)x1

f(x2)+(1-)f(x1)

f(x)

x

Debido a que, si una función no es convexa es cóncava, entonces, según el

gráfico (dibujado para el caso S ), una función es cóncava si la recta que une

un par de puntos cualesquiera de su gráfica, nunca está por encima de la gráfica

de la función, y es estrictamente cóncava si la recta que une un par de puntoscualesquiera de su gráfica siempre está por debajo de la gráfica de la función.

A partir de estas definiciones, es importante observar, que las funciones linea-

les son convexas y cóncavas, pero no son ni estrictamente convexas ni estric-

tamente cóncavas.

• Un programa matemático de minimización es convexo si su función objeti-

vo es convexa y el conjunto de soluciones factibles determinado por lasrestricciones es un conjunto convexo.

• Un programa matemático de maximización es convexo si su función obje-

tivo es cóncava y el conjunto de soluciones factibles determinado por las

restricciones es un conjunto convexo.

Para asegurar la convexidad del conjunto de soluciones factibles B={ x /

g( x )b, h( x )c, i( x )=d} es suficiente, aunque no necesario, que se verifiquen lassiguientes condiciones:


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1. Las funciones g( x ) que definen restricciones del tipo g( x )b deben ser fun-

ciones convexas.

2. Las funciones h( x ) que definen restricciones del tipo h( x )b deben ser fun-

ciones cóncavas.

3. Las funciones i( x ) que definen restricciones del tipo i( x )=b deben ser funcio-

nes lineales.

Recordemos la razón que nos motivó a repasar las nociones de convexidad:

Si un programa matemático es convexo, todo óptimo local (mínimo omáximo) es óptimo global.


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Capítulo 3. Programación lineal

1. IntroducciónEste capítulo está dedicado a la rama de la programación matemática que más

se ha desarrollado. A fines de los años cuarenta George B. Dantzig desarrolla el

algoritmo simplex, que resuelve problemas de programación lineal aprove-chando la especial estructura de estos programas, y constituyendo el método más

poderoso de resolución de los mismos. A partir de entonces no han cesado de

extenderse las aplicaciones de la programación lineal en la Economía e Indus-

tria, dado que un gran número de situaciones reales pueden ser representadas me-

diante modelos de programación lineal .

En el apartado siguiente describimos las características de un modelo lineal ,

así como el modo de generar el modelo matemático a partir de la expresión verbal

de un problema real. Se caracterizan, luego, los programas lineales, enunciando

sus propiedades fundamentales, que hacen que siempre sea posible resolverlos. En

el cuarto apartado se presenta la formulación estándar de un programa lineal ,

y se explica cómo un problema de programación lineal cualquiera, puede ser expre-

sado con la formulación estándar . Por último se hace referencia a la importancia

de los resultados duales de un programa lineal .

2. Modelos lineales

Expresiones lineales

Si todos los términos de una expresión matemática son de primer orden, la ex-

presión es lineal. Esto significa que no contiene variables elevadas al cuadrado,

cubo, ni a ningún exponente distinto de uno, tampoco puede aparecer una variable

en el denominador de algún término, o estar multiplicada por otra variable. En las


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expresiones matemáticas lineales existe proporcionalidad: para cada incremento o

disminución unitaria del valor de una variable, el resultado de la expresión aumenta

o disminuye en una cantidad fija, que es el coeficiente de esa variable en la expre-

sión.Ecuaciones lineales son las que representan a las relaciones lineales, su forma

básica es la ecuación de una recta:

y=m x +b

donde m y b son constantes.

Ejemplo

Supongamos que alguien compra naranjas a 200 unidades monetarias (en ade-

lante, u.m.) el kilogramo. La expresión utilizada para representar la función de cos-

tes C, en términos de la cantidad de naranjas comprada N, expresada en kilogra-

mos es:

C=200 x N.

Lógicamente, un gráfico para la función de costes C es una línea recta, con

pendiente 200 y ordenada al origen 0:

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 10 20 30 40Naranjas compradas

Coste

Las expresiones lineales pueden tener una o varias variables. Si, por ejemplo,

también se compran manzanas, M, a 250 u.m. el kilogramo, y plátanos, P, a 300

u.m. el kilogramo, la función de costes es

C= 200 x N+ 250 x M+ 300 x Pesta expresión de costes es también lineal. Las variables N, M, P, aparecen con


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exponente 1 y multiplicadas por un factor fijo. Pero su representación gráfica no es

posible, pues tiene 4 dimensiones.

Expresiones no-lineales

Por definición, toda expresión que no sea lineal será no-lineal. Las expresionesno-lineales incluyen relaciones en las cuales las variables están elevadas al cuadra-

do, al cubo, potencias distintas de uno, o están multiplicadas o divididas entre ellas.

Si todas las expresiones matemáticas presentes en un modelo sonlineales, el modelo es lineal.

Siempre que sea posible, un problema debe formularse con expresiones linea-

les. Si, por ejemplo tenemos que reflejar la relación x/ y 10

entre dos variables x e y, ambas mayores que cero, será mejor presentar esa rela-

ción como

x 10 y

3. Programas lineales

Un programa lineal es un programa matemático en el cual, tanto la función

objetivo, como todas las restricciones impuestas sobre las variables de decisión,

son funciones lineales de dichas variables.

Las variables de decisión pueden ser continuas o discretas, en el primer caso se

trata de un programa lineal continuo, mientras que si todas o algunas de las varia-

bles son discretas estamos ante un programa lineal entero o mixto. Este último

tipo de programas constituye en sí mismo una importante rama de las Matemáticas

que excede a las ambiciones de esta exposición, por lo cual, nos centraremos en el

estudio de programas lineales continuos.

Al estudiar la convexidad de funciones hemos hecho hincapié en que toda fun-

ción lineal es convexa, por lo tanto, si la función objetivo es lineal será convexa.

Además, si todas las restricciones son funciones lineales, quedan garantizadas

las condiciones suficientes de convexidad del conjunto de soluciones facti-

bles de un programa matemático, enunciadas al estudiar la convexidad de pro-

gramas matemáticos.


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Estamos en condiciones de afirmar que:

Todo programa lineal, definido sobre variables continuas, es convexo, por lo tanto, cualquier óptimo que se encuentre es óptimo global y constituye

la mejor solución al problema.Los modelos con expresiones no lineales son mucho más difíciles de resolver que los

modelos lineales. A diferencia de los modelos lineales, en un modelo no lineal puede

que sea extremadamente difícil encontrar el óptimo, aunque éste exista. También pue-

de ocurrir que se crea haber alcanzado el óptimo y exista una mejor solución.

4. Formulación de un programa lineal

Un programa lineal continuo puede ser formulado de diversas maneras, pero para su procesamiento de cómputo, es convertido a una forma estándar . Los programas de

ordenador actuales aceptan presentaciones flexibles y cómodas para el usuario, aun-

que luego, internamente, convierten el problema a la formulación estándar . Presen-

tamos, a continuación, la expresión escalar de la formulación de un programa lineal

)...( 22111

nn

n

i

ii xc xc xc Min xc Min

s. a

a11

x1+ a

12 x

2+... a

1j x

j+...+ a

1n x

n = b

1

a21

x1+ a

22 x

2+... a

2j x

j+...+ a

2n x

n = b

2

..................................................

ai1 x

1+ a

i2 x

2+... a

ij x

j+...+ a

in x

n = b

i

.................................................

am1

x1+ a

m2 x

2+... a

mj x

j+...+ a

mn x

n = b

m

x1 0, x

2 0,... x

n 0

En forma matricial la expresión resulta más compacta:

Min c x

A x = b

x 0 ,


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donde

c=(c1 , c

2 ,..., c

n) es el vector fila de los coeficientes de las variables en la función

objetivo

x =( x1 , x

2 ,..., x

n)T es el vector columna de las variables de decisión

b=(b1 , b

2 ,..., b

m)T es el vector columna del segundo miembro de las m restricciones

Amxn

= [aij] es la matriz de los coeficientes de las restricciones

Cualquier programa lineal, aunque no tenga, exactamente, esta formulación, puede

traducirse a la forma estándar , mediante las siguientes transformaciones:

• Conversión de desigualdades a igualdades

ii

n

j

jiji

n

j

jij b xab xa

11

i 0

ii

n

j

jiji

n

j

jij b xab xa

11

i 0

• Sustitución de cada variable libre por dos variables restringidas a no negatividad

xi libre

es sustituida por

xi= h

i- p

i

hi 0

pi 0

• Sustitución del objetivo de maximización por minimización

Max( c x )

es equivalente a

Min(-c x )La popularidad de la programación lineal se debe, en parte, al gran número de


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problemas reales que pueden modelizarse como programas lineales, y, por otro

lado, a la sorprendente rapidez y eficacia con que se resuelven con el método simplex.

Por la finalidad de este trabajo, no tiene sentido profundizar en los métodos de

resolución, pues se encargará de ello un ordenador, pero sí conviene hacer unainterpretación de resultados.

Hay garantías de que, si existe una solución, esta será encontrada. Pero no siem-

pre se puede resolver un programa lineal, porque no todos los problemas lineales

tienen solución. Pueden ocurrir que:

• el óptimo sea ilimitado (el valor de la función objetivo tiende a infinito negativo), o

• las restricciones hayan hecho que el conjunto de soluciones factibles esté vacío.En los casos en los cuales el programa lineal tiene solución óptima, además de

la solución óptima, el simplex brinda información acerca de resultados duales,

que son de gran utilidad como se explica a continuación.

5. Valor dual de una restricciónEn general, el valor dual de una restricción es la tasa de variación del valor de

la función objetivo con respecto a variaciones en el valor del término indepen-

diente (miembro de la derecha) de la restricción, siempre que el resto de la

información del problema no varíe (ceteris paribus) y dentro de cierto interva-

lo de variación del término independiente. Se lo suele llamar precio sombra o

coste reducido y permite analizar el efecto de pequeñas perturbaciones.

Como ejemplo, supongamos el problema de maximizar ingresos por ventas,

sujeto a unas restricciones de capacidad productiva. Si la capacidad productivaestá saturada (esto quiere decir que se aprovecha hasta el máximo sin dejar capa-

cidad ociosa), si pudiéramos producir una unidad más, nuestros ingresos aumenta-

rían. La cantidad que aumenta el valor de la función objetivo, por unidad de incre-

mento de capacidad productiva, está medida por el valor dual de esta restricción de

capacidad productiva. La idea intuitiva es que si una restricción está impidiendo a la

función objetivo seguir mejorando, el precio sombra indica cuánto mejoraría el

valor de la función objetivo, en el hipotético caso de que la restricción en cuestión se


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relajara en una unidad, permitiendo al valor de la función objetivo mejorar. El nombre

de precio sombra se debe a que indica hasta cuánto puede pagarse por una unidad

adicional del recurso en cuestión, sin que ello represente una reducción de los beneficios.

Se dice que una restricción está saturada cuando actúa efectivamente como restric-ción. Siguiendo con nuestro ejemplo, si en la solución óptima se utiliza la totalidad de la

capacidad productiva, la restricción está saturada, y ampliar la capacidad productiva

permitiría mejorar los ingresos. Pero si queda capacidad productiva sin utilizar, esa res-

tricción no está activa, no representa una verdadera limitación a nuestro problema, y

aunque ampliáramos la capacidad productiva, la solución óptima sería la misma. El pre-

cio sombra es nulo en este caso.

Si se trata de restricciones de menor o igual,relajarla significa aumentar el valor del

término independiente, por ejemplo ampliar la capacidad productiva. Mientras que, en

restricciones de mayor o igual, sea por ejemplo el caso de estar obligados a satisfacer

una demanda (como en el problema de la dieta que se presenta en el siguiente capítulo),

relajar la restricción significa reducir el valor del término independiente.

Con las definiciones anteriores, estamos en condiciones de afirmar que los valores

duales iguales a cero deben interpretarse, en general, como restricciones no saturadas;en cambio valores duales distintos de cero miden la mejora en el valor de la función

objetivo que se produciría si relajáramos la restricción en una unidad.

La utilidad de la información dual es muy grande, pero no debe olvidarse que los

valores duales son válidos siempre que se cumplan los siguientes supuestos:

• El resto de los datos del problema se mantiene invariable, es decir, que no pueden

analizarse los efectos en el valor de la función objetivo de más de una variaciónsimultáneamente.

• El valor del término independiente de la restricción en cuestión varía dentro de un

intervalo de validez. No pueden extenderse los resultados duales a variaciones de

magnitud arbitrariamente grande, debido a que más allá de sus límites de estabilidad,

el valor dual cambia.


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Capítulo 4. Formulaciones más importantes

1. IntroducciónLa programación lineal permite resolver problemas de diversa naturaleza, como

son los problemas de producción, planificación financiera, asignación de personal,

inventarios, control, etc. En este capítulo presentamos tres casos de interés desde el punto de vista de la Economía y la Empresa, con su respectiva modelización ma-

temática y formulación como problema de programación lineal.

Estos mismos problemas serán resueltos con What’s Best en los capítulos si-

guientes, después de haber introducido el manejo de esta herramienta informática.

2. Ejemplo del problema de la planificación de la producción

Una fábrica produce seis bienes distintos a partir de seis materias primas. Cada pro-

ducto requiere una diferente combinación de materias primas (restricciones tecnológi-

cas) y de él se obtiene un beneficio. Se debe encontrar la cantidad a producir de cada

bien que maximice los beneficios totales, con el stock actual de materias primas.

En la formulación se representa mediante x1 , x

2 ,..., x

6 a las cantidades a produ-

cir de cada uno de los productos 1, 2,..., 6, respectivamente.

Producto 1 2 3 4 5 6 ExistenciasBeneficio (u.m) 3.000 4.500 2.400 2.600 2.400 3.000

Acero 1 4 0 4 2 0 800Madera 4 5 3 0 1 0 1.160Plástico 0 3 8 0 1 0 1.780Caucho 2 0 1 2 1 5 1.050Vidrio 2 4 2 2 2 4 1.360Pintura 1 4 1 4 3 4 1.240


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Ethel Mokotoff 28

Formulación del problema

Max 3.000 x1+ 4.500 x

2+ 2.400 x

3+ 2.600 x

4+ 2.400 x

5+ 3.000 x

6

s.a x

1+4 x

2+4 x

4+2 x

5 800

4 x1 +5 x2 +3 x3 + x5 1.1603 x

2+8 x

3+ x

5 1.780

2 x1

+ x3

+2 x4

+ x5

+5 x6

1.0502 x

1+4 x

2+2 x

3+2 x

4+2 x

5+4 x

6 1.360

x1

+4 x2

+ x3

+4 x4

+3 x5

+4 x6

1.240

xi 0, 1 i 6

3. Ejemplo del problema de la dietaConsiste en determinar una dieta alimenticia de la forma menos costosa, satisfacien-

do unas exigencias mínimas de nutrición. Se dispone de cuatro alimentos, cada uno

con su coste, y se desea conocer en qué proporción deben participar estos alimen-

tos en la dieta.

Los menús que se preparen con estos alimentos deben contener una cantidad

mínima de vitaminas, que se encuentran, en ciertas proporciones dentro de cada

alimento.COMPOSICIÓN NUTRITIVA DE CADA ALIMENTO

Las variables x1 , x

2 , x

3 y x

4 representan las cantidades de alimento 1, 2, 3 y 4

presentes en la dieta, respectivamente.


Min 100(35 x1+ 50 x

2+ 80 x

3+ 95 x

4 )

s.a2,2 x

1 + 3,4 x

2 + 7,2 x

3 + 1,5 x

4 2,4

1,4 x1 + 1,1 x2 + 0,8 x4 0,72,3 x

1 + 5,6 x

2 + 11,1 x

3 + 1,3 x

4 5,0

Alimento 1 2 3 4 Mínimo RequeridoVitamina A 2,2 3,4 7,2 1,5 2,4Vitamina B 1,4 1,1 0,0 0,8 0,7Vitamina C 2,3 5,6 11,1 1,3 5,0Vitamina D 12,0 11,9 41,8 52,1 21,0Coste 35 50 80 95


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12,0 x1 + 11,9 x

2 + 41,8 x

3 + 52,1 x

4 21,0

x1 + x

2 + x

3 + x

4= 1

xi 0, 1 i 4

4. Ejemplo del problema del transporteUna empresa fabrica un producto en sus tres plantas situadas en distintas ciudades. El

producto se consume en cuatro mercados distintos. Cada planta tiene una capacidad

máxima de producción, y cada mercado tiene una demanda que debe ser satisfecha.

Encontrar las cantidades a producir en cada planta, de manera que se satisfagan las

demandas de todos los mercados, minimizando los costes de transporte. Se conocen

los costes de transporte desde cada planta a cada centro de consumo.

COSTES DE TRANSPORTE DE CADA PLANTA A CADA MERCADO


Min

3

1

4

1i jijij xc

s.a

31 ,4

1

iq x j

iij

41 ,

3

1 jd xi jij

xij 0, 1 i 3 y 1 j 4

En esta expresión simplificada

cij es el coste de transporte, desde cada planta i, hasta cada mercado j

xij es la cantidad a transportar, desde cada planta i, hasta cada mercado j (estas

son las variables de decisión)q

i es la capacidad productiva de la planta i

Mercados 1 2 3 4 Capacidad productivaPlanta A 5,00 7,00 0,00 0,00 70Planta B 9,60 5,50 7,00 7,50 110Planta C 0,00 7,50 7,15 4,00 135Demanda 30 57 41 51


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Ethel Mokotoff 30

d j

es la demanda del mercado j

Para el lector menos familiarizado con esta notación, presentamos a continua-

ción la misma formulación en forma extensiva.

Min 5 x11+7 x12+9,6 x21+5,5 x22+7 x23+7,5 x24+7,5 x32+7,15 x33+4 x34 x

11+ x

12+ x

13+ x

14 70

x21

+ x22

+ x23

+ x24

110 X

31+ x

32+ x

33+ x

34 135

x11

+ x21

+ x31

30 x

12+ x

22+ x

32 57

x13

+ x23

+ x33

41 x

14+ x

24+ x

34 51

xij 0, 1 i 3 y 1 j 4


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Capítulo 5. Resolución de problemas en ordenador utilizando What’s Best

1. IntroducciónLa elección del What’s Best, entre las diversas herramientas informáticas de

optimización que se comercializan en la actualidad se ha basado, simplemente, en elhecho de que responde a una buena combinación de dos elementos que nos intere-

san: poder de resolución, y manejo simple, sobre todo para el usuario acostumbra-

do a utilizar hojas de cálculo. Aunque hoy en día la herramienta Solver , que puede

incluirse como complemento de Excel, es suficientemente potente, no presenta las

ventajas didácticas del What’s Best .

What’s Best (a partir de aquí lo llamaremos WB) permite al usuario construir y

resolver modelos de optimización lineales, no lineales y enteros desde una hoja de cálcu-

lo, por lo que puede considerarse como una extensión de Excel o de Lotus 1-2-3. Una

vez instalado el software, WB se convierte en un nuevo comando del menú de Excel, y

seleccionándolo, se despliega el menú de WB, ofreciendo sus posibilidades (la versión

4.0 presenta la posibilidad de tener los comandos como un conjunto de botones).

Con WB los modelos pueden haber sido creados en formato libre utilizando las

ecuaciones de la hoja de cálculo. No es necesario que el problema esté expresadoen formato estándar , lo cual ahorra mucho trabajo y evita posibles errores.

Este programa ofrece resultados duales con sus respectivos rangos de validez.

Esta información adicional es de gran utilidad y permite realizar interesantes análisis

de sensibilidad.

En este capítulo introducimos el WB mediante el desarrollo de un sencillo ejemplo en

Excel. Se explica como expresar y resolver problemas en WB , paso a paso, para queel lector pueda definir el problema en una hoja de cálculo y resolverlo.


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Ethel Mokotoff 32

Se han usado las convenciones de Excel para indicar rangos de celdas (:), fun-

ciones, y referencias a celdas (=). Si se está trabajando en Lotus 1-2-3 las conven-

ciones serían “..”, “@”, y “+”, respectivamente.

2. Descripción del problemaUna empresa construye dos modelos de ordenador, uno estándar y otro de lujo. El

estándar tiene un beneficio de 30.000 u.m. por unidad, y el de lujo 50.000 u.m. por

unidad. Como se muestra en la tabla de requerimientos, los dos modelos son construi-

dos a partir de tres componentes: equipo estándar, equipo de lujo, y disqueteras.

= ORDENADOR ESTÁNDAR

Equipo estándar + 1 disquetera

= ORDENADOR DE LUJO

Equipo de lujo + 2 disquetera


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REQUERIMIENT OS DE COMPONENTES PARA CADA MODELO DE PRODUCTO

¿Qué combinación de modelos estándares y de lujo maximizará los beneficios

de la empresa, contando con las actuales existencias de componentes?


Nos encontramos ante un problema de programación lineal cuya formulación es:

Max 30.000 x1+ 50.000 x

2

s.a

x1

60 (equipos estándares)

x2 50 (equipos de lujo)

x1

+2 x2 120 (disqueteras)

x1 0, x

2 0,

donde:

x1: es la cantidad de ordenadores estándares a producir y

x2: es la cantidad de ordenadores de lujo a producir.

3. Introducción de datos en la hoja de cálculoPodemos comenzar volcando la información del problema en una hoja de cálculo

(restricciones tecnológicas, niveles de existencias y beneficio por unidad). No es

necesario ajustarse a ninguna formulación estándar. La información puede presen-

tarse en la hoja cálculo de cualquier forma. Una posibilidad es la que se presenta a

continuación en la siguiente figura.

Modelo: Estándar De Lujo ExistenciasEquipo Estándar 1 0 60Equipo de Lujo 0 1 50

Disqueteras 1 2 120


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Ethel Mokotoff 34

Con los comandos de WB se establece cuales son las celdas en las que aparecerán

los valores óptimos de las variables. Según la distribución de datos que presentamos, los

valores de las cantidades a producir de ordenadores estándares y de lujo podrían ir en

las celdas C5 y D5, respectivamente. A estas celdas se les puede asignar cualquier

número (incluido el cero), pero deben ser rellenadas con algún número. Para indicar que

C5 y D5 son las celdas de las variables de decisión, es decir, las celdas ajustables, se

seleccionan las celdas C5 y D5 y se elige la opción Adjustable del comando WB:

Aparece entonces una ventana de diálogo como la que a continuación se pre-

senta:

A B C D E F G H

1 PLAN DE PRODUCCION DE ORDENADORES

2

3 PRODUCTO ESTANDAR DE LUJO

4

5 CANTIDAD A PRODUCIR 0 0

6

7

8 BENEFICIO UNITARIO 30000 u.m. 50000 u.m.

9

10

11 RESTRICCIONES TECNOLOGICAS

12

13 MODELOS: ESTANDAR DE LUJO EXISTENCIAS

14 COMPONENTES:

15 EQUIPOS ESTANDAR 1 0 60

16 EQUIPOS DE LUJO 0 1 50

17 DISQUETERA 1 2 120


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En la caja de texto de la ventana de diálogo debe aparecer «$C$5: $D$5», que

es el rango de las celdas asignadas a las variables de decisión. Seleccionando la

opción Adjust en esta ventana de diálogo se indica al sistema que estas serán las

celdas ajustables. Si la información de la ventana está completa y correcta se

acepta con OK . La hoja de cálculo presentará el aspecto siguiente:

CELDAS AJUSTABLES

El objetivo es maximizar la función de beneficios,

Max 30.000 x1+ 50.000 x

2.

Entonces, habrá que escribir esta ecuación que calcula los beneficios en la hoja de

cálculo. Como x1 y x

2 fueron asignadas a las celdas C5 y D5 respectivamente, y los

beneficios unitarios están en las celdas C8 y D8, la fórmula que debemos introducir es

«=C5*C8+ D5*D8». Merece la pena observar que esta expresión es el producto de

los vectores formados por los rangos C5:D5 y C8:D8, y puede calcularse mediante la

funciónsumaproducto de Excel, resultando «=sumaproducto(C5:D5;C8:D8)». Esta

función es muy útil, especialmente si tratamos con rangos de gran dimensión. La

fórmula puede colocarse en la celda G6 y arriba, en G4, puede escribirse un rótulo

que la identifique, por ejemplo «Beneficios».

A B C D E F G H1 PLAN DE PRODUCCION DE ORDENADORES23 PRODUCTO ESTANDAR DE LUJO45 CANTIDAD A PRODUCIR 0 0678 BENEFICIO UNITARIO 30000 u.m. 50000 u.m.9


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Ethel Mokotoff 36

Para indicarle a WB que en G6 está la función objetivo debemos seleccionar G6

y luego elegir la opción Best del comando WB:

Aparece entonces la ventana de diálogo de Best. Si en la caja de texto de la

ventana de diálogo no está indicada la celda de la función objetivo, debemos intro-

ducirla. Se selecciona la opción Maximize y , a continuación, se acepta con OK .

A esta altura la hoja de cálculo debe presentar este aspecto:

CELDA FUNCIÓN OBJETIVO

G6= +C5*C8+D5*D8

A B C D E F G H1 PLAN DE PRODUCCION DE ORDENADORES23 PRODUCTO ESTANDAR DE LUJO BENEFICIOS45 CANTIDAD A PRODUCIR 0 0 - u.m. 678 BENEFICIO UNITARIO 30.000 u.m. 50.000 u.m.


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Las restricciones para este problema las imponen las existencias de los compo-

nentes. El uso total de cada uno de los componentes debe ser menor, o a lo sumo

igual, que sus existencias.

x1 60 equipos estándares x

2 50 equipos de lujo

x1

+2 x2 120 disqueteras

Por tanto, debemos introducir en la hoja de cálculo las fórmulas que calculen el

uso total de cada componente, que resulta ser igual a la suma, para cada modelo de

ordenador, de los productos de cantidades producidas por consumo del compo-

nente en cuestión. Para los equipos estándares, la cantidad producida de ordena-dores estándares x

1, estará indicada en la celda C5; la cantidad requerida de equi-

pos estándares por unidad de ordenadores estándares, está indicada en la celda

C15. Entonces, el producto de las cantidades de las celdas C5 por C15 es la

cantidad de equipos estándares consumidos en la producción de ordenadores

estándares. En general, podríamos establecer C5*C15+D5*D15 como cantidad

de equipos estándares consumidos. En este caso particular el segundo término es

cero porque en la producción de equipos de lujo no se emplean equipos estándares(D15=0). Guardamos esta fórmula, «C5*C15+D5*D15», en la celda E15.

La cantidad consumida de equipos estándares debe ser menor o a lo sumo igual

que las existencias de los mismos, cantidad que figuran en G15, resultando “E15

G15”. Para indicarle a WB que esta es una restricción del problema, se sitúa el

cursor en F15, y se elige la opción Constraints del comando WB,


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Ethel Mokotoff 38

Aparece entonces una ventana de diálogo como esta:

Seleccionamos la opción Less Than para indicar que el tipo de restricción es

«menor o igual». Además, en la caja de texto correspondiente a Left Hand Side

debe indicarse la celda E15 que representa el miembro izquierdo de la restricción,

y en la caja de texto rotulada con Right Hand Side debe especificarse la celda

G15 que es la que tiene la información del miembro derecho de la restricción. Por

último aceptamos con OK .

La hoja de cálculo debe presentar el siguiente aspecto:

GENERACIÓN AUTOMÁTICA DE UNA RESTRICCIÓN

WB escribe en la celda F15 la fórmula WB(E15,»», G15) correspondiente a la

restricción de menor o igual de los equipos estándares.

A B C D E F G H1 PLAN DE PRODUCCION DE ORDENADORES23 PRODUCTO ESTANDAR DE LUJO4 BENEFICIOS5 CANTIDAD A PRODUCIR 0 06 - u.m. 78 BENEFICIO UNITARIO 30000 u.m. 50000 u.m.9

10

11 RESTRICCIONES TECNOLOGICAS1213 MODELOS: ESTANDAR: DE LUJO: UNIDADES EXISTENCIAS14 COMPONENTES: CONSUMIDAS15 EQUIPOS ESTANDAR 1 0 0


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Para establecer las restricciones de equipos de lujo y disqueteras, puede repe-

tirse el procedimiento que acabamos de describir para equipos estándares a las

restricciones de equipos de lujo y disqueteras, o pueden directamente copiarse los

rangos E15:F15 en E16:F17 con los procedimientos de Copiar y Pegar de Excel.Para copiar correctamente las fórmulas de E15 en E16 y E17, es necesario que

en la fórmula escrita en E15, la fila 5 se haya fijado mediante el signo $ en la expre-

sión de unidades a producir de ordenadores estándares, «C$5», y para los de lujo

«D$5». Es decir, que la fórmula de E15 debe ser igual a «C$5*C15+D$5*D15».

Las celdas F16 y F17, que se rellenaron en el procedimiento anterior, también

podrían haberse llenado junto con la F15 si antes de invocarConstraints se hubie-

ran seleccionado las tres celdas. Entonces aparecería E15:E17 en Left Hand Side

y G15:G17 en Right Hand Side, dentro de la ventana de diálogo de Constraints,

tal como se muestra en la figura:

Una vez que la hoja esté completa presentará el siguiente aspecto, ver la si-

guiente figura:


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Ethel Mokotoff 40

HOJA DE CÁLCULO ANTES DE OPTIMIZAR

Este modelo está preparado para ser resuelto.

Los tres elementos básicos de la programación lineal son la definición de las

variables, de la función objetivo, y de las restricciones.

1. La determinación de las celdas ajustables (C5:D5, en el ejemploanterior) indica al sistema que en esas celdas puede haber cualquier

valor factible que optimice el problema planteado. Son las variables de

decisión del problema.

2. Definir la celda con la función objetivo es indicarle al sistema cual es el objetivo de la optimización. En el problema planteado se persigue

maximizar los beneficios, que se calculan con la expresión 30.000 x1+

50.000 x2 (función guardada en la celda G6). Esto significa que el sistema

debe encontrar los valores de las celdas ajustables que hagan máximo el

valor de esta función.

3. Especificar las restricciones es establecer las limitaciones a los valoresde las variables de decisión del problema. Por lo general, son las

limitaciones de los recursos con que se cuenta para alcanzar un objetivo

las que determinan el conjunto factible de soluciones. En nuestro

problema, las limitaciones las imponen las existencias de componentes,

que hacen que no sea posible producir un número ilimitado de ordenadores,

debido a que las cantidades utilizadas de cada componente no pueden

superar a sus existencias. (En el ejemplo las restricciones se guardan en

el rango E15:G17).

A B C D E F G H1 PLAN DE PRODUCCION DE ORDENADORES23 PRODUCTO ESTANDAR DE LUJO4 BENEFICIOS

5 CANTIDAD A PRODUCIR 0 0 Celdas Ajustables6 -u.m.78 BENEFICIO POR UNIDAD 30000 u.m. 50000 u.m.9 Función Objetivo

10 Restricciones11 REQUERIMIENTOS DE COMPONENTES1213 MODELOS: ESTANDAR DE LUJO UNIDADES EXISTENCIAS14 COMPONENTES: CONSUMIDAS

15 EQUIPOS ESTANDAR 1 0 0


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4. Resolución del problemaLa tarea del WB para el presente problema puede resumirse de la siguiente forma:

Encontrar los valores de cantidades a producir (C5:D5) de ambos bienes,

de forma que maximicen el beneficio (G6), sin permitir que lascantidades de recursos empleados (E15:E17) superen las existencias(G15:G17).

Si pretendemos resolver este problema sin ayuda de algún método de progra-

mación lineal, parece razonable esperar que, dado que los ordenadores de lujo

aportan un beneficio bastante mayor que los estándares, fabricar la mayor cantidad

posible de ordenadores de lujo maximice los beneficios. Entonces, como la pro-

ducción de ordenadores de lujo está limitada por la cantidad de equipos de lujo enexistencias, se producirán 50 ordenadores de lujo empleando 100 disqueteras. Por

lo cual, la cantidad a producir de ordenadores estándares queda limitada por las

disqueteras remanentes que son 20, esto supone que se producen 20 ordenadores

estándares. Entonces, los beneficios totales resultan ser:

20 x 30.000 u.m. + 50 x 50.000 u.m. = 3.100.000 u.m.

Pero estos beneficios no son máximos. Si bien esta es una buena solución al

problema es posible mejorarla y, por lo tanto, no es óptima.

Para que WB optimice el problema planteado es necesario invocar la opción

Solve del menú WB.

En ese momento el sistema permite modificar el nombre de los ficheros en los

cuales se guardarán los datos relativos al modelo resuelto que por defecto son:

«WBTO.XLS» para la hoja de cálculo; «WBFR.XLS» para la solución y

«WBERR.PRN» para los posibles mensajes de error.


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Ethel Mokotoff 42

Cuando reaparece la hoja de cálculo, en las celdas ajustables figuran los valores

de las variables de decisión que hacen óptima la función objetivo, y en la celda de

función objetivo el valor óptimo de la misma.Para el problema que se utiliza de ejemplo, la solución después de optimizar

(Solve) es

HOJA DE CÁLCULO DESPUÉS DE LA OPTIMIZACIÓN

La solución que da WB es producir 60 unidades de ordenadoresestándares (C5) y 30 unidades de ordenadores de lujo (D5), con esteplan de producción se obtiene un beneficio de 3.300.000 u.m. (G6).Este beneficio es el mejor posible dadas las existencias decomponentes (G15:G17) y la tecnología actual (C15:D17).

A B C D E F G H1 PLAN DE PRODUCCIONDE ORDENADORES

2

3 PRODUCTO ESTANDAR D E LUJO

4 BENEFICIOS5 CANTIDAD A PRODUCI R 60 30

6 - u.m

7

8 BENEFICIOUNITARIO 30000 u.m. 50000 u.m.

9

10

11 REQUERIMIENTOSDE COMPONENTES

12

13 MODELOS: ESTANDAR D E LUJO UNIDADES EXISTENCIAS

14 COMPONENTES: CONSUMIDAS

15 EQUIPOSES TANDA R 1 0 60 #### 60

16 EQUIPOSD E LUJO 0 1 30 #### 5017 DISQUETERA 1 2 120 #### 120


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5. Variantes al problema planteadoSuele ser conveniente explorar el problema desde varios ángulos antes de decidir

cual es la mejor decisión a tomar. En el problema planteado podrían contemplarse

otras condiciones que pueden encontrarse en la vida real y no están reflejadas en el

modelo matemático utilizado.

Pensemos por ejemplo, en los componentes que no se utilizan en este plan de

producción. En el caso de equipos estándares y disqueteras se aprovechan todas

las existencias pero sobran 20 equipos de lujo. Si pueden usarse en el próximo

ejercicio y no hay inconvenientes en cuanto a mantenerlas en depósito hasta enton-

ces, el problema parece bien planteado. Pero, si por el contrario, los equipos de

lujo no pueden emplearse en ejercicios futuros por problemas de obsolescencia, o porque no pueden guardarse en almacén y, en cambio, los equipos estándares po-

drán usarse en un futuro, o son mucho menos valiosos, en este caso, puede que lo

que nos interese sea maximizar el empleo de equipos de lujo, es decir, maximizar la

celda E16.

Podríamos hacer la prueba de indicarle a WB que la función objetivo a maximizar

no es la de los beneficios, sino las unidades consumidas de equipos de lujo (E16).Se elige entonces la opción Best del comando WB. En la caja de texto de la

ventana Best aparecerá la celda $G$6, en donde se guarda la función objetivo

anterior (función de beneficios). Para indicarle al sistema la nueva función objetivo,

o bien se introduce con el teclado la ubicación de la nueva función objetivo (E16),

o moviendo las flechas del teclado desplazamos el cursor hasta la casilla indicada.

Una vez que en la caja de texto aparece E16, se acepta con OK . Si a continuación

indicamos a WB que optimice, mediante el comando Solve, la hoja de cálculoterminará mostrando los resultados que se presentan a continuación en la tabla:


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Ethel Mokotoff 44

FUNCIÓN OBJETIVO: MAXIMIZAR UNIDADES CONSUMIDAS DE EQUIPOS DE LUJO (E16)

Si bien se maximiza el consumo de equipos de lujo, es decir, se consumen las 50unidades que existen, la función de beneficios es menor que en el caso anterior. Discuti-

remos este resultado.

Al cambiar el objetivo de maximizar beneficios a maximizar unidades consumidas de

equipos de lujo, no hay razón para fabricar ordenadores estándares y, el resultado de no

producir ningún ordenador estándar, si bien responde al modelo matemático planteado,

no responde a los objetivos reales que la empresa persigue. Una forma más idónea de

traducir al modelo la idea de utilizar todos los equipos de lujo es, manteniendo como

función objetivo a la función de beneficios, cambiar la restricción de los equipos de lujo

de menor o igual, a una estricta igualdad. Hacemos esto con la hoja de cálculo original

(G6 es, nuevamente, la celda de la función objetivo), invocando la opciónConstraints

del menú de WB, y cambiando la restricción de F16 de «menor o igual» por «igual».

Habiendo seleccionado previamente la celda correspondiente, no es necesario introdu-

cir la referencia en la caja de texto. Si no había sido seleccionada, habrá que editar lacaja de texto.

A B C D E F G H1 PLAN DE PRODUCCIONDE ORDENADORES23 PRODUCTO ESTANDAR DE LUJO4 BENEFICIOS

5 CANTIDAD A PR OD UC IR 0 506 - u.m. 78 BENEFICIOUNITARIO 30000 u.m. 50000 u.m.9

1011 REQUERIMIENTOSDE COMPONENTES1213 MODELOS: ESTANDAR DE LUJO UNIDADES EXISTENCIAS14 COMPONENTES: CONSUMIDAS15 EQUIPOSESTANDAR 1 0 0


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El resultado que presenta la hoja de cálculo después de optimizar con estas

variantes debe ser:

UNIDADES CONSUMIDAS DE EQUIPOS DE LUJO = EXISTENCIAS DE EQUIPOS DE LUJO

RESTRICCIÓN DE ‘‘=’’ EN F16

Con esta solución se fabrican todos los ordenadores de lujo necesarios para

consumir la totalidad de equipos de lujo pero la función objetivo sigue siendo la demaximizar beneficios. Por lo tanto se producirán tantos ordenadores estándares

como las restricciones permitan, es decir, se empleará el resto de disqueteras y los

equipos estándares necesarios para construir los ordenadores estándares que las

disqueteras permitan. Los beneficios siguen siendo menores que los obtenidos ini-

cialmente (3.100.000 frente a 3.300.000), pero ahora se emplean todos los equi-

pos de lujo existentes.

Otra modificación puede plantearse si la empresa se encuentra con una restric-

ción financiera que le obliga a asegurarse unos beneficios de al menos 3.200.000

u.m., pero también se quieren maximizar el uso de equipos de lujo. Este nuevo

modelo se obtiene introduciendo la restricción de beneficios y volviendo a colocar

empleo de equipos de lujo como objetivo a maximizar. La nueva restricción puede

introducirse en la hoja de cálculo de dos maneras diferentes: editando la fórmula

“=WB(G6,”>=“,3200000)”, o escribiendo 3.200.000 u.m. en la celda I6 e indi-cando a WB la presencia de una restricción de mayor o igual en H6 mediante la

A B C D E F G1 PLAN DE PRODUCCION DE ORDENADORES23 PRODUCTO ESTANDAR DE LUJO4 BENEFICIOS5 CANTIDAD A PRODUCIR 20 506 3.100.000 u.m. 78 BENEFICIO UNITARIO 30.000 u.m 50.000 u.m.9

1011 REQUERIMIENTOS DE COMPONENTES1213 MODELOS: ESTANDAR DE LUJO UNIDADE EXISTENCIAS14 COMPONENTES: CONSUMIDAS15 EQUIPOS ESTANDAR 1 0 20


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Ethel Mokotoff 46

opción Constraints del comando WB.

FUNCIÓN OBJETIVO : MAXIMIZAR UNIDADES CONSUMIDAS DE EQUIPOS DE LUJO, CONRESTRICCIÓN DE CONSEGUIR UNOS BENEFICIOS 3.200.000 PESETAS

Los resultados obtenidos para el modelo actual permiten cubrir las necesidades

financieras de obtener las 3.200.000 u.m. de beneficio con la producción de 40 uni-

dades de cada modelo de ordenador. Si comparamos este resultado con la solución

obtenida cuando se buscaba maximizar el consumo de equipos de lujo, pero sin res-

tricciones financieras, observamos que se produce una caída en la función objetivo de

10 unidades de consumo de equipos de lujo, es decir, dada la restricción financiera, la

empresa se ve obligada a dejar de utilizar diez unidades de equipos de lujo.

6. Resultados dualesLas variantes al problema que acabamos de analizar en el apartado anterior son

sólo algunos ejemplos de los posibles análisis de resultados que, de un modo muy

sencillo, permiten adaptar el modelo a problemas de decisión de la vida real.Pero la herramienta más importante de análisis de sensibilidad que tiene la pro-

gramación lineal es el análisis dual. WB lo brinda por medio del comando Dual del

A B C D E F G H I1 PLAN DE PRODUCCION DE ORDENADORES23 PRODUCTO ESTANDAR DE LUJO4 BENEFICIOS5 CANTIDAD A PRODUCIR 40 406 3.200.000 u.m. =>= 3.200.000 u.m. 78 BENEFICIO UNITARIO 30.000 u.m. 50.000 u.m. 9

1011 REQUERIMIENTOS DE COMPONENTES1213 MODELOS: ESTANDAR DE LUJO UNIDADES EXISTENCIAS14 COMPONENTES: CONSUMIDAS15 EQUIPOS ESTANDAR 1 0 40


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menú WB.

Recordando el concepto de valor dual de una restricción, decimos que es la

cantidad que varía el valor en el óptimo de la función objetivo cuando el término

independiente de la restricción (miembro de la derecha) varía en una unidad, siempre que los demás datos del problema se mantengan idénticos (lo que en Economía

se denomina ceteris paribus). WB provee el valor dual de las restricciones y los

límites superior e inferior de variaciones que puede sufrir el término de la dere-

cha de la restricción, sin que el valor dual encontrado cambie.

Valores duales de las restricciones

Cuando se selecciona la opción Dual aparece la ventana de información dual:En la caja de texto superior deberá indicarse la celda, o rango de celdas, en las

cuales se encuentran las fórmulas de las restricciones cuyo valor dual se desea cono-

cer. Siguiendo con nuestro ejemplo (volviendo al modelo original), en las celdas F15,

F16 y F17 están las fórmulas de las tres restricciones, por lo que se debería editar la

caja de texto superior con ‘‘F15:F17’’, o indicar el rango con el ratón.

En la otra caja de texto, la inferior, debe indicarse el rango en que WB escribirálos valores duales. Es importante tener presente que, si en la primera caja de texto

se indica un rango de m celdas, el sistema necesitará m celdas para escribir los

resultados duales, entonces el rango de la segunda caja deberá ser también m.

En nuestra hoja de cálculo, colocamos los valores duales a la derecha de la

columna de existencias, es decir, en la columna H, las filas las hacemos coincidir con

las filas de las restricciones. Entonces, en la caja de texto inferior colocamos

‘‘H15:H17’’ (en esta caja de texto figura, por defecto, el rango de celdas que hu- bieran estado seleccionadas antes de invocar el comando Dual del menú WB).


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Ethel Mokotoff 48

Cuando la ventana Dual esté completa, con la opción Dual Value selecciona-

da, se acepta con OK. Así se cierra la ventana, pero no se calculan los resultados

duales hasta que no se active la orden Solve. Podríamos editar la celda H14 de la

hoja de cálculo con una etiqueta para los valores duales. Invocamos Solve paraobtener los resultados duales. Después de resolver, en nuestra hoja de cálculo,

deberá aparecer la siguiente información:

La interpretación de estos resultados es la siguiente:

El valor dual de la restricción de equipos estándares es 5.000. Esto

significa que, por cada equipo estándar que se pueda agregar a las existencias,

los beneficios mejorarían en 5.000 u.m.. Si a la empresa un equipo estándar lecuesta más de 5.000 u.m. no mejora sus beneficios aumentando las existencias de

este recurso, pero si le cuesta menos de 5.000 u.m. puede mejorar los beneficios.

Supongamos que se compran dos equipos estándares más. Como la restricción

de disqueteras está saturada, para fabricar dos ordenadores estándares más, ha-

brá que dejar de fabricar un ordenador de lujo. Por el valor dual de equipos

estándares, al relajar la restricción en dos unidades ( es decir contar con 62 equipos estándares, en lugar de 60), la función objetivo aumenta 2 x 5.000 u.m. =10.000

u.m.. Verifiquemos este resultado:

• Se fabrican dos ordenadores estándares más, cada uno tiene un beneficio

de 30.000 u.m.

2 x 30.000 = 60.000 aumento de beneficios

• Se fabrica un ordenador de lujo menos, el cual tiene un beneficio de 50.000u.m.

A B C D E F G H

10

11 REQUERIMIENTOS DE COMPONENTES

12

13 MODELOS: ESTANDAR DE LUJO UNIDADES EXISTENCI VALOR

14 COMPONENTES: CONSUMIDAS DUAL15 EQUIPOS ESTANDAR 1 0 60 =


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1 x 50.000 = 50.000 disminución de beneficios

Los beneficios aumentan en

60.000 u.m. - 50.000 u.m. = 10.000 u.m.

como consecuencia de la compra de dos equipos estándares más, verifican-

do el resultado que adelantaba el valor dual.

El valor dual de la restricción de equipos de lujo es cero. Esto significa

que aunque la empresa agregue equipos de lujo a sus existencias, los beneficios

no mejorarían, por muy baratos que los compre. Este resultado se debe a que,

para el problema planteado, los beneficios son máximos produciendo sólo trein-

ta ordenadores de lujo ya que cada uno consume dos disqueteras. Por lo cual,

dada la restricción de disqueteras, por cada ordenador de lujo que se fabrica se

dejan de fabricar dos estándares, y el beneficio unitario de los primeros no es el

doble que el de los segundos. Así pues, compensará producir todos los ordena-

dores estándares que sea posible.

El valor dual de la restricción de disqueteras es 25.000. Esto significa

que por cada disquetera que se agregue a las existencias, los beneficios mejora-rán en 25.000 u.m.. Es importante observar que la interpretación debe hacerse

sin variar el resto de los valores del problema. Así, como la restricción de equi-

pos estándares está saturada, una disquetera más formará parte de un nuevo

ordenador de lujo. El resultado de 25.000 u.m. responde a que el beneficio de

los ordenadores de lujo es 50.000 u.m., pero con una disquetera se construiría

medio ordenador de lujo. Si se añaden dos disqueteras, se construirá un orde-

nador de lujo más, incrementando la función de beneficios en 50.000 u.m..

Límite inferior y superior de validez

WB permite conocer tanto el valor dual como su rango de validez. El valor dual

de una restricción indica la cantidad en que varía el valor de la función objetivo si el

término independiente de la restricción varía en una unidad. Pero este valor dual

puede no ser el mismo a medida que añadimos unidades al término independiente y

entonces WB nos informa de cuales son los límites de variación del término

independiente para los cuales ese valor dual calculado no varía. Esta infor-


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Ethel Mokotoff 50

mación es la que se obtiene con las opciones Upper Range y Lower Range.

En nuestra hoja de cálculo situamos, a la derecha del valor dual de cada restric-

ción, el límite inferior y a continuación el superior del término independiente, indi-

cando el rango de validez del valor dual.

Para que WB provea el límite inferior de validez del valor dual, en la ventana Dual

debemos indicar el rango de celdas donde se encuentran las fórmulas de las restriccio-

nes, ‘‘F15:F17’’, y el rango de celdas donde se escribirá el límite inferior del término

independiente de cada restricción, ‘‘I15:I17’’. Seleccionamos la opciónLower Range

y aceptamos conOK . La hoja de cálculo no se actualizará hasta no invocarSolve. Pero

antes de hacerlo prepararemos la hoja para obtener también los límites superiores. Serepite el procedimiento anterior, pero esta vez seleccionamos la opción Upper Range.

La caja de texto superior debe contener la referencia de las celdas con las fórmu-

las de las restricciones, y la inferior, el rango de celdas donde se escribirá el límite

superior de las restricciones, que es ‘‘J15:J17’’. Aceptamos con OK . En la hoja de

cálculo podemos poner etiquetas a las columnas en donde aparecerá el rango de

validez de los valores duales. Ahora que hemos introducido toda la información, invo-camos Solve.


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Una vez resuelto el problema, en la hoja de cálculo aparece la siguiente informa-

ción:

Veamos que significa el rango de variación de una restricción. El valor dual es

válido para los datos actuales, es decir, si las existencias de equipos estándares

aumentan de 60 a 61 unidades, entonces la función objetivo aumenta 5.000 u.m. y

si disminuye de 60 a 59, la función objetivo disminuirá 5.000 u.m.. Este análisis

puede extenderse, de manera que, si las existencias de equipos estándares aumen-

tan en 10 unidades, la función objetivo aumentará 50.000 u.m.. Pero esto no es asíindefinidamente. Habrá un momento en que aunque agreguemos equipos estándares

la función objetivo dejará de aumentar porque se habrán consumido todas las

disqueteras. Este límite dentro del cual el análisis del valor dual es válido, es el que

indica el rango de variación.

En la primera restricción el límite superior es 60. Esto quiere decir que el valor

dual de 5.000 u.m. es válido para unidades adicionales de equipos estándares hasta

haber añadido 60 equipos estándares, es decir, hasta que el término independientede la restricción sea 120. A partir de 120 el valor dual de 5.000 u.m. dejará de ser

válido.

Comprobemos en la hoja de cálculo que ocurre con los valores duales si añadi-

mos 59 equipos estándares adicionales:

8 E F G H I J K9

10

11

12

13 UNIDADES EXISTENCIAS VALOR RANGO DE VARIACION

14 CONSUMIDAS DUAL DISMINUCION AUMENTO

15 60 =


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Ethel Mokotoff 52

Los beneficios aumentan en 59 x 5.000 u.m. = 295.000 u.m., como podía ser previsto con el valor dual. Como 59 unidades no sobrepasan el límite superior de

validez del valor dual, este no cambia y sigue siendo 5.000 u.m..

Observemos que ocurre si añadimos una unidad más de equipos estándares, es

decir, si contamos con 120 equipos.

En este caso, con 120 equipos estándares, los beneficios han aumentado 5.000

u.m. con respecto a los beneficios correspondientes a 119 equipos estándares,

pero el valor dual es cero. Esto significa que si seguimos añadiendo equipos

estándares, los beneficios no mejoran. Sólo podríamos mejorar los beneficios aña-

diendo disqueteras, ya que la restricción de disqueteras es la única con valor dualdistinto de cero.

A B E F G H I J K1 PLAN DE PRODUCCION DE ORDENADORES23 PRODUCTO4 BENEFICIOS5 CANTIDAD A PRODUCIR6 3.595.000 u.m.

78 BENEFICIO UNITARIO9

10111213 UNIDADES EXISTENCIAS VALOR RANGO DE VARIACION14 COMPONENTES: CONSUMIDAS DUAL DISMINUCION AUMENTO

15 EQUIPOS ESTANDAR 119 =


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Volvamos a la situación original de 60 unidades de equipos estándares para

analizar el límite inferior de la restricción:

Observemos que al disminuir en una unidad el término independiente de la res-

tricción, la función objetivo deberá disminuir en 5.000 u.m., este razonamiento es

válido hasta haber disminuido 40 unidades, es decir hasta tener 20 equipos

estándares. Si fijamos las existencias en 20 unidades, el valor dual de esta restric-

ción sigue siendo 5.000 u.m., pero su rango inferior de variación es ahora 0.

Comprobamos que los beneficios disminuyeron en 40 x 5.000 u.m. = 200.000u.m., con respecto al problema original, en el cual, con 60 equipos estándares,

obteníamos 3.300.000 u.m. de beneficio. Pero para 20 equipos estándares el ran-

go inferior de variación del valor dual 5.000 ahora es cero, porque el valor dual de

5.000, en el problema original, tiene un límite inferior de 40, es decir, que si a los 60

equipos iniciales, les quitamos más de 40 equipos, el valor dual deja de ser 5.000 y

pasa a ser 30.000, que son los beneficios que se pierden por dejar de fabricar unordenador estándar mientras sobran disqueteras para hacerlo.

11

12

13 UNIDADES EXISTENCIAS VALOR RANGO DE VARIACION

14 CONSUMIDAS DUAL DISMINUCION AUMENTO

15 60 =


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Ethel Mokotoff 54

Volviendo al problema original, el valor dual de la restricción de equipos de lujo

igual a cero implica que, aunque añadiéramos equipos de lujo, los beneficios no

mejorarían porque las disqueteras disponibles se emplean para fabricar el mayor

número posible de ordenadores estándar. Lo comprobamos con la hoja de cálculosiguiente, en la cual, supusimos tener 1.000 equipos de lujo:

Los beneficios no cambian, como era de esperar por el valor dual de la restric-ción de equipos de lujo.

En cambio si aumentamos las existencias de disqueteras, los beneficios tiene que

cambiar a juzgar por el valor dual. Consideramos ahora 160 disqueteras de exis-

tencias.

A B E F G H I J

1 PLAN DE PRODUCCION DE ORDENADORES2

3 PRODUCTO4 BENEFICIOS5 CANTIDAD A PRODUCIR6 3.300.000 u.m. 7

8 BENEFICIO UNITARIO

910

11

12

13 UNIDADES EXISTENCIAS VALOR RANGO DE VARIACION14 COMPONENTES: CONSUMIDAS DUAL DISMINUCIO AUMENTO15 EQUIPOS ESTANDAR 60 =


55/109


Efectivamente, podemos comprobar que los beneficios mejoran en 40 x 25.000

u.m. = 1.000.000 u.m. con respecto al problema original. Pero si siguiéramos aña-

diendo disqueteras los beneficios no mejorarían, como puede observarse por el

cero en el límite superior de variación del valor dual. Esto es debido a que las otrasdos restricciones están también saturadas, entonces, si agregamos disqueteras, no

hay equipos con los cuales montar más ordenadores y esas disqueteras no pueden

emplearse. Lo comprobamos considerando una disquetera más, es decir, 161

disqueteras:

En este caso los beneficios no mejoran porque siguen fabricándose el mismo nú-

mero de ordenadores estándares y de lujo, aunque sí cambian los valores duales de

las tres restricciones. Es importante notar cómo, al haber excedente de disqueteras,

los precios sombra de los equipos aumentan. Ahora con un equipo estándar más

podrían obtenerse 30.000 u.m. más de beneficio. Con respecto a la restricción de

equipos de lujo el análisis es más complicado. Si bien el valor dual (variación en el

valor de la función objetivo provocada por una variación unitaria en el término de laderecha de la restricción) es 50.000, su rango superior de variación es de 0,5 unida-

des, porque hacen falta dos disqueteras para montar un ordenador de lujo.

Este tipo de análisis de sensibilidad es muy sencillo de realizar y puede resultar

de gran utilidad a la hora de tomar decisiones.

Valor dual de variables de decisión

Otra información de interés es el valor dual de las variables de decisión. Tienesentido cuando en la solución óptima alguna variable vale cero, es decir no partici-

A B C D E F G H I J1 PLAN DE PRODUCCION DE ORDENADORES23 PRODUCTO ESTÁNDAR DE LUJO

4 BENEFICIO

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