Programacao Linear
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Tema I - Geometria no Plano e no Espaço II Subtema: Programação L inear
Ano Lectivo: 2010–2011 11.º Ano
PROBLEMA 1
Companhia “Terra Pura”
A Companhia “Terra Pura” utiliza restos de papel e restos de tecido para fazer dois tipos diferentes, A
e B, de papel reciclado.
Um fardo de papel reciclado do tipo A é feito com 40kg de restos de tecido e 50kg de restos de
papel enquanto que o do tipo B é feito com 10kg de restos de tecido e 100kg de restos de papel.
A Companhia dispõe de 110kg de restos de tecido e 400kg de restos de papel.
A manufactura de um fardo do papel do tipo A produz um lucro de 375 euros enquanto que o do
tipo B conduz a um lucro de 187,5 euros.
Que quantidade de papel de cada tipo se deve produzir de modo a maximizar o lucro?
PROBLEMA 2
A fábrica “Aperitosa”
A fábrica “Aperitosa” dispõe de 400kg de milho e 20kg de sal para fazer dois tipos de aperitivos.
Uma caixa de “Salmilho” é feita com 200g de milho e 50g de sal e uma caixa de “Sómilho” é feita
com 250g de puro milho. O lucro obtido em cada caixa de “Salmilho” é de 0,10 euros e em cada
caixa de “Sómilho” é de 0,075 euros.
Qual a quantidade de cada aperitivo que se pode fazer de modo a obter o máximo de lucro sem
exceder as quantidades disponíveis?
PROBLEMA 3
Sumos Maranga e Manguja
Uma empresa quer comercializar dois novos tipos de sumos. Um litro de sumo “Maranga” será feito
a partir de 3/4l de sumo puro de manga e 1/4l de sumo puro de maracujá e um litro de sumo
“Mangujá” será feito a partir de 1/2l de sumo puro de manga e 1/2l de sumo puro de maracujá.
Sabendo que estão disponíveis 55l de sumo puro de manga e 22l de sumo puro de maracujá e que
o lucro previsto por litro de “Maranga” é de 0,6 euros e de “Mangujá” é 0,8 euros, quantos litros
de sumo de cada tipo deve ser feito para obter o máximo de lucro?
PROBLEMA 4
O criador de porcos
Um criador de porcos pretende determinar as quantidades de cada tipo de ração que devem ser
dadas diariamente a cada animal de forma a conseguir uma certa qualidade nutritiva a um custo
mínimo.
Os dados relativos ao custo de cada tipo de ração, às quantidades mínimas diárias de ingredientes
nutritivos básicos a fornecer a cada animal e às quantidades existentes em cada tipo de ração (g/kg)
constam do seguinte quadro:
Dados técnico – económicos
Ração
Ingredientes nutritivos Granulado Farinha Quantidade mínima
requerida
Glícidos
Vitaminas
Proteínas
20 50
50 10
30 30
200
150
210
Custo (euros/Kg) 1,5 0,75
PROBLEMA 5
O Windsurf
Dois amigos fabricam pranchas de windsurf de dois tipos: de ondas e de regata. Para concluir uma
prancha de ondas são necessárias 2 horas para o fabrico e 1 hora para acabamentos, enquanto que
para uma prancha de regata são gastas 1 hora no fabrico e 2 horas nos acabamentos.
Semanalmente os dois amigos podem dedicar 40horas ao fabrico das pranchas e 50 horas ao
acabamento. O lucro obtido com a venda de uma prancha de ondas é de 100 euros e com a venda
de uma prancha de regata é de 60 euros.
Quantas pranchas de cada tipo se devem fazer por semana para maximizar os seus lucros?
PROBLEMA 6
A Fábrica de Cerâmica
O pai do António tem uma fábrica de cerâmica que produz jarras e pratos. Cada jarra demora 3
horas na linha de fabrico e 1 hora na de acabamentos. Cada prato demora 2 horas na linha de
fabrico e 2 horas na linha de acabamentos A fábrica dispõe de, no máximo, 480 horas por dia para o
fabrico e, no máximo, 300 horas por dia para os acabamentos.
O lucro na produção de uma jarra é de 30 euros e de um prato é de 50 euros. Quantos objectos de
cada tipo deve produzir, por dia, o pai do António, de modo a obter o lucro máximo? Qual o valor do
lucro?
PROBLEMA 7
A Docemania
A Docemania tem em armazém 130 kg de bombons de cereja coberta de chocolate e 170 kg de
bombons de chocolate de recheio de baunilha e decide vender estes produtos sob a forma de 2
misturas embaladas convenientemente:
!numa das misturas, juntar-se-ão bombons das duas qualidades em partes iguais e
pretende vender-se este produto a 7.5 euros o quilo;
!na outra mistura, juntar-se-ão um terço de bombons cereja com dois terços de bombons
de baunilha e pôr-se-á este produto à venda a 6 euros o quilo.
Quantos quilos de cada mistura deverão a Docemania pôr à venda de modo a obter o lucro máximo?
Qual o total facturado?
PROBLEMA 8
Desportos radicais
O João com o dinheiro que juntou no aniversário, pretende inscrever-se num curso de desportos
radicais. O curso é composto por sessões de rappel e de mergulho. Cada hora de rappel custa
15 euros e cada hora de mergulho 30 euros. Os cursos têm a duração de 25 a 35 horas. Sabendo
que o João quer gastar o mínimo possível, quantas horas de cada modalidade deve escolher?
Como deverá fazer a sua escolha se, em cada curso, tiver de frequentar pelos menos 10 horas de
cada actividade?
PROBLEMA 9
A Oficina de Cerâmica
Uma pequena fábrica de artesanato produz vasos e potes. Cada vaso demora 2 horas a moldar e 4
horas a pintar. Cada pote demora 3 horas a moldar e 2 horas a pintar. Na fábrica há 2 oleiros e 3
pintores e todos eles trabalham 40 horas por semana.
1) Escreve um sistema de inequações que traduza as condições do problema para o
número de objectos a produzir numa semana de trabalho.
2) Representa graficamente as condições da alínea anterior, e obtém o polígono de
soluções. Indica três soluções para o número de objectos de cada tipo a ser produzido
numa semana.
3) Cada pote dá um lucro de 100 euros e cada vaso um lucro de 150 euros. Qual é o
número de objectos de cada tipo que deve ser fabricado semanalmente de modo a
maximizar o lucro?
4) Se cada pote der um lucro de 100 euros e cada vaso um lucro de 200 euros, o número
de objectos que deve ser fabricado semanalmente é o mesmo? Porquê?
PROBLEMA 10
O intermediário
Um intermediário de bugigangas compra bonecos de peluche e bolas de futebol no Norte para
vender em pequenas lojas da região de Lisboa.
Cada saco de bonecos de peluche custa 50 euros e cada saco de bolas 30 euros.
O comerciante dispõe de 600 euros par investir e tem espaço na carrinha para apenas 14 sacos.
Quantos sacos deve comprar de cada tipo para obter o lucro máximo, sabendo que ganha, em cada
saco, 20% do preço de custo?
PROBLEMA 11
Viagem de Finalistas
Para angariarem fundos para a viagem de finalistas, os alunos de uma turma do 11º ano,
conseguiram a oferta de 20 calções e 60 bonés e decidiram fazer com eles dois tipos de lotes:
LOTE A: 1 par de calções e 1 boné.
LOTE B: I par de calções e 5 bonés
Cada lote do tipo A vai ser vendido a 40 euros e cada um do tipo B a 60 euros.
1) Qual deverá ser o número de lotes de cada tipo que se deve fazer de modo a maximizar o
lucro?
2) E se os lotes fossem vendidos ao preço único de 40 euros como se deveria proceder para
obter o lucro máximo? E se o lote do tipo A fosse vendido a 50 euros e do tipo B a 20?