PROGRAM LINIER – METODE SIMPLEKS REVISI (MSR)KELOMPOK 4

1. AZMAH AULIYA ACHMY ZAD

2. ERVICA BADIATU ZAHRA

3. EVA NADZIA

4. FAHMI SHIHHATUL AQDAH

5. KURNIA FAJARWATI

6. MAULUDIN HAFIZ AL-HADI

Metode Simpleks yang Direvisi

Metode Simpleks yang Direvisi adalah penyederhanaan dari metode simpleks baku. Metode ini dikembangkan oleh Dantzig dan Oschard-Hays pada tahun 1953. Sentral perhatian dalam metode ini adalah perhitungan terhadap konstanta yang diperlukan saja.

Bentuk Standar Matriks

Maksimumkan atau minimumkan: Z = c’x

Batasan: (A,I)x = b

Contoh:

Maksimumkan: Z = 3+ 2

Batasan:

+ 2 ≤ 6

2 + ≤ 8

- + ≤ 1

≤ 2

, ≥ 0

=

Lanjutan ...

Penyelesaian

1. ubah bentuk persamaan!

Maksimumkan:Z = 3 + 2 + 0 – 0 + 0 + 0

Batasan:

+ 2 + = 6

2 + + = 8

- + + = 1

+ = 2

2. interpretasi dalam bentuk standar matriks!

𝐴𝑅=[1 −3 −2 0 0 0 00 1 2 1 0 0 00 200−10

1 01100

1 0 0001001]

Bentuk tabel MSR

VB d1 d2 dm xRB XkZ d01 d02 d0m Z Zk-ckxB1 d11 d12 d1m xB1 ᵝik.. .. .. .. .. .... .. .. .. .. ..xBm dm1 dm2 dmm xBm ᵝmk

Kelebihan MSR

MSR melakukan perhitungan terhadap konstanta yang dibutuhkan saja.

Tabel MSR lebih sederhana/simple.

Dapat menggunakan matriks/vektor.

Lebih cepat mendapatkan nilai optimal dari suatu fungsi tujuan.

Tahapan MSR (kasus memaksimumkan Z tanpa variabel artifisial)

1. Tulis dalam bentuk matriks!2. Buatlah tabel awal dan masukkan entri tabel, sisakan 1 kolom terakhir!3. Carilah xk untuk menjadi variabel dasar 4. Carilah elemen pivot ᵝik dalam kolom terakhir tabel melalui cara yang lazim dari analisis simpleks baku5. Gunakan persamaan transformasi yang umumnya digunakan dalam analisis simpleks baku untuk memperoleh semua masukan (entri) dalam tabel baru, kecuali kolom terakhir.6. Ulangi langkah 3 sampai 5 sampai memperoleh Zj-cj > 0 untuk semua j.

𝑍 𝑗−𝑐 𝑗=∑𝑠=1

𝑚

𝑑0 𝑠.𝑎𝑠𝑗−𝑐 𝑗=∑𝑠=0

𝑚

𝑑0𝑠 .𝑎𝑠𝑗

Contoh :

Selesaikan masalah berikut dengan MSR!!

Maksimumkan Z = 8X1 + 6X2

Batasan :

4X1 + 2X2 ≤ 60

2X1 + 4X2 ≤ 48

X1, X2 ≥ 0

Solusi dengan MSR

Masukan variabel penambah (slack variable) X3 dan X4.

Fungsi tujuan :

Z – 8X1 – 6X2 + 0X3 + 0X4 = 0

Batasan :

4X1 + 2X2 + X3+ 0X4 = 60

2X1 + 4X2 + 0X3+ X4 = 48

X1, X2, X3, X4 ≥ 0Sehingga diperoleh matriks sbb:

Buat tabel awal (iterasi 0)

VB

Z 0 0 0 ?

1 0 60 ?

0 1 48 ?

VB

Z 0 0 0 -8

1 0 60 4*

0 1 48 2

Variabel non-basis = = = 0 Variabel basis : = 60 dan = 48

Tabel 2 (iterasi 1)

VB

Z 2 0 120 ?

0 15 ?

- 1 18 ???

Mencari k dan entri

= (1, 2, 0) = (-2, 2)

karena k = 2. tabel 2 dilengkapi dengan cara menyelipkan dan mengevaluasi

𝛽2=𝐵−1 .𝑎2=[ 14 0

−121 ] [24 ]=[ 123 ]

VB

Z 2 0 120 -2

0 15

- 1 18 3*

Variabel non-basis = = = 0Variabel basis : = dan = 3

Tabel 3 (iterasi 2)

VB

Z 132 ?

- 12 ?

- 6 ?

Cari lagi yuk!!

= (1, ) = ( )

≥ 0

Ini berarti terbukti kita telah memperoleh nilai optimal yaitu Z = 132 yang tercapai oleh ( ) = (12, 6)

Tahapan MSR (kasus meminimumkan Z dengan variabel artifisial)

1. Tulis dalam bentuk matriks!2. Buatlah tabel awal dan masukkan entri tabel, sisakan 1 kolom terakhir!3. Carilah xk untuk menjadi variabel dasar 4. Carilah elemen pivot ᵝik dalam kolom terakhir tabel melalui cara yang lazim dari analisis simpleks baku5. Gunakan persamaan transformasi yang umumnya digunakan dalam analisis simpleks baku untuk memperoleh semua masukan (entri) dalam tabel baru, kecuali kolom terakhir.6. Ulangi langkah 3 sampai 5 sampai memperoleh Zj-cj < 0 untuk semua j.

Contoh

Selesaikan masalah berikut dengan MSR!!Minimumkan Z = 2X1 + 7X2 Batasan :

5X1 + X2 ≥ 10 X1 + 4X2 ≥ 4 X1, X2 ≥ 0

Penyelesaian dengan MSR

Masukan variabel surplus X3 dan X4, kemudian tambahkan variabel artifisial X5 dan X6

5X1 + X2 – X3 + X5 = 0

X1 + 4X2 – X4 + X6 = 0

Ubahlah masalah menjadi memaksimumkan

Maksimumkan Z = -2X1 - 7X2 dimana Z = -Z

=

Sajikan dalam bentuk matriks!

=

Variabel dasar awal yaitu Z, ,

[10 01

0−1

0−1

0000

1001

] =

=

FASE 1PAKSAKAN Z = 0

Tabel 1 (Iterasi 0)

VB d1 d2 xSB XkZ 0 0 ? ?-1 -1 ? ?x5 1 0 ? ?x6 0 1 ? ?

Mencari

= = =

VB d1 d2 xSB XkZ 0 0 0 ?-1 -1 -14 ?x5 1 0 10 ?x6 0 1 4 ?

Mencari dan entrinya

= (-1, -1)

= (-6, -5, 1, 1)

k = 1

=

VB d1 d2 xSB X1Z 0 0 0 2-1 -1 -14 -6x5 1 0 10 5*x6 0 1 4 1

Tabel 2 (Iterasi 1)

VB d1 d2 xSB XkZ - 0 -4 ?-1 -2 ?x1 0 2 ?x6 - 1 2 ?

Mencari dan entrinya

= ( -, -

k = 2

=

=

VB d1 d2 xSB X2Z - 0 -4-1 -2x1 0 2x6 - 1 2 *

Tabel 3 (Iterasi 2)

VB d1 d2 xSBZ - -40 0 0x1 -x2 -

= 0 fase 1 selesaiLanjutkan Fase 2!