Progetto di un telaio piano in c.a.: Progetto delle travi di fondazione. Corso di Tecnica delle...

Progetto di un telaio piano in c.a.: Progetto delle travi di fondazione.

Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08

a cura di Enzo MartinelliBozza del 21/05/2008

Travi di Fondazione



Assunzioni di progetto

Per le combinazioni 2 e 3 i valori di calcolo delle sollecitazioni si ricavano assumendo gli sforzi normali desunti dall’analisi ed i corrispondenti momenti resistenti amplificati per Rd.

)k(Ed,iN

)k(Ed,iRd

)k(Ed,i NMM

Combinazione 2 Combinazione 3

L

G

ei

3

1i

)k(Ed,i

3

1i

)k(Ed,i

)k(Ed,i

3

1i

)k(Ed,i

)k(Ed

N

eNMe

6L

e )k(Ed

L

e61

BL

N )k(Ed,i

3

1i

)k(Ed,i

)k(Ed,t

6L

e )k(Ed

Be2L

3

N2

)k(Ed,i

3

1i

)k(Ed,i

)k(Ed,t

I momenti si intendono positivi se anti-orari sulla trave di fondazione

Progetto e Verifica delle armature



Considerazioni Preliminari

Avendo progettato la sezione trasversale, è possibile passare a valutarne le caratteristiche della sollecitazione considerando anche la sua rigidezza flessionale EI nell’ambito della teoria delle travi elastiche su suolo elastico alla Winkler.

GyG

EIp

w4w 4IV

EIBk

4 04

B




Schema di Calcolo)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

fcls)k(

gt)k(

g)k(

d Agg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

[1] [2] [3] [4]

Ad ogni nodo sono associate due componenti libere di spostamento:- traslazione verticale w;- rotazione j.

T5544332211 wwwww s

T5544332211 MVMVMVMVMVF

T5,05,04,04,03,03,02,02,01,01,00 MVMVMVMVMVF




Schema di Calcolo)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

[1] [2] [3] [4]

Nello spirito del metodo degli spostamenti è possibile costruire una matrice di rigidezza che colleghi le azioni applicate agli spostamenti prodotti:

0FFKs

Pro

gett

o e

Veri

fica d

elle

arm

atu

reCorso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08

Bozza del 21/05/2008

Sch

em

a d

i C

alc

olo

K

1 2 3 4 5




Matrice di rigidezza del generico elemento e.

s = jjii ,w,,w f = jjii MTMT ,,,

xαx

xαx

xαx

xαx ceAseAceAseAxw 4321

xxx

xxx

xxx

xxx cseAcseAcseAcseAxwI

4321

0wwi

0Iwi

lww j

lw Ij

s = G a

llαl

llαl

llαl

llαl

lαl

lαl

lαl

lαl

csαecsαecsαecsαe

cesecese

αααα

1010

a = G-1 s

a cura di Enzo Martinelli




Matrice di rigidezza del generico elemento e.

s = jjii ,w,,w f = jjii MTMT ,,,

f=

lx

lx

x

x

II

III

0II

0III

w

w

w

w

EI H= 2αEI

lαl

lαl

lαl

lαl

llαl

llαl

llαl

llαl

s2e c2e s2e c2e

cs2αα- cs2αα- cs2αα- cs2αα

0 2- 0 2

2α 2α 2α 2α

f = H a =(H G-1) s = K s

xαx2

xαx2

xαx2

xαx2 seA2αceAαseA2αceA2αxw 4321

II

xxαx3

xxαx3

xxαx3

xxαx3 cseA2αcseA2αcseA2αcseA2αxw 4321

III

(e)





Azioni di Incastro perfetto sul generico elemento

0s

lp

lp

0p

0p

k

1

w -

w

w -

w

I

I

I1

1

0I1

01

lx

lx

x

x

f0 = H a0 =H G-1 (-s0) = -K s0

f = K s - K s0 = K s + f0

(e)

(e)(e) (e)(e) (e)

Per l’elemento generico vale la seguente relazione tra forze nodali e spostamenti nodali:




Espressioni sintetiche della matrice di rigidezza locale

32

23

35

24

231

246

35

24

32

23

246

231

)e(

22

22

2

2

22

2

2

K

l2a senl2a senhζbk1 0

l2a senl2a senhζbkψ2 0

l2a cosl2a coshζbkψ3 0

la senla senhζbkψ4 0

lcosalsenhala senlcoshaζbkψ5 0

lcosalsenhalsenalcoshaζbk2ψ6 0

2lcos2alcosh2a

1ζ

E’ possibile definire una matrice di rigidezza locale per ogni elemento in funzione di:- uguale per tutti;- l dipendente dai singoli elementi.





Assemblaggio: elemento 1)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

K

32

23

35

24

231

246

35

24

32

23

246

231

)1(

22

22

2

2

22

2

2

K

l=L0





Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

0F

l=L0

0s

0

q

0

q

k1

w -

w

w -

w

lx

lx

x

x

I1

1

0

I1

01


T5,05,04,04,03,03,02,02,01,01,00 MVMVMVMVMVF




Vettore delle forze nodali applicate)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

T5544332211 MVMVMVMVMVF

T)k(6,Ed

)k(6,Ed

)k(5,Ed

)k(5,Ed

)k(4,Ed

)k(4,Ed

)k( 00MNMNMN00F

I momenti si intendono positivi se anti-orari sulla trave di fondazione a cura di Enzo Martinelli




Assemblaggio)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0





Soluzione


01 FFKs

Soluzione del sistema globale

Estrazione delle componenti di spostamenti locale e calcolo delle costanti di integrazione:

)e(0

)e(1)e()e(0

)e()e(def ssGaaa

xαx

xαx

xαx

xαx ceAseAceAseAxw 4321

xxx

xxx

xxx

xxx cseAcseAcseAcseAxwI

4321

xαx2

xαx2

xαx2

xαx2 seA2αceAαseA2αceA2αxw 4321

II

xxαx3

xxαx3

xxαx3

xxαx3 cseA2αcseA2αcseA2αcseA2αxw 4321

III

Esempio Numerico


)k(Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

L0 L1 L2 L0

As=12.56 cm2

60

30

60

30

60

30

As=15.70 cm2 As=15.70 cm2

Combinazione 2kN 64.216N )2(

Ed,4

)2(Ed,4cd

)2(4,c Nfyb8.0

mm 64.7933.113008.0

216640y )2(

4,c

s

sds E

f00218.0

3064.790035.0

'

kNm 49.323303003911256264.794.030033.1164.793008.0

'd2h

fA2y4.02h

fyb8.0NMM sds)2(

4,ccd)2(

4,c)2(

Ed,4Rd)2(

Ed,4

kN 21.714N )2(Ed,5 kN 10.524N )2(

Ed,6

kNm 00.471M )2(Ed,5 kNm 23.382M )2(

Ed,6

Esempio Numerico


)k(Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

L0=100 L1=460 L2=590 L0=100

GyG

100

50

30

70

25

Caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione e della trave

cm 92.413025210050

15302525010050yG

423

23

G cm 56926281592.413025123025

292.4150100501210050

I

MPa 18.2708510f

22000E3.0

ckcm

Nmm 105419.1105.69218.27085IEEI 1510Gcm

q

m/kN 25.1600.250.250.3021.000.500.1qq tgd,t 2

m0 mm/N 0.14140001.0Bkk

1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106

9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106

1.8501 107 9.25097 106 1.8508 107 9.25213 106

9.25097 106 3.0837 106 9.25213 106 6.16773 106





Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

K

l=L0=1.0 m k=1.4x104 kN/m2

EI=1.542x106 kNm2 =0.2182 m-1




Assemblaggio: elemento 1

K

0F

1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106 0 0 0 0 0 0

9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106 0 0 0 0 0 0

1.8501 107 9.25097 106 1.8508 107 9.25213 106 0 0 0 0 0 0

9.25097 106 3.0837 106 9.25213 106 6.16773 106 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8.12491.354148.1249

1.35414000000

213917. 452638. 181898. 428129.

452638. 1.35367 106 428129. 660744.181898. 428129. 213917. 452638.

428129. 660744. 452638. 1.35367 106





Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

K

l=L1=4.6 m k=1.4x10-8 kN/m2

EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1





K

0F

1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106 0 0 0 0 0 0

9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106 0 0 0 0 0 0

1.8501 107 9.25097 106 1.87219 107 8.7995 106 181898. 428129. 0 0 0 0

9.25097 106 3.0837 106 8.7995 106 7.5214 106 428129. 660744. 0 0 0 00 0 181898. 428129. 213917. 452638. 0 0 0 00 0 428129. 660744. 452638. 1.35367 106 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8.12491.35414

45.290627.0937

37.165728.4478

0000

120446. 290894. 79763.8 251063.

290894. 1.07224 106 251063. 502626.79763.8 251063. 120446. 290894.

251063. 502626. 290894. 1.07224 106





Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

K

l=L2=5.9 m k=1.4x10-8 kN/m2

EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1





K

0F

1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106 0 0 0 0 0 0

9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106 0 0 0 0 0 0

1.8501 107 9.25097 106 1.87219 107 8.7995 106 181898. 428129. 0 0 0 0

9.25097 106 3.0837 106 8.7995 106 7.5214 106 428129. 660744. 0 0 0 00 0 181898. 428129. 334363. 161744. 79763.8 251063. 0 0

0 0 428129. 660744. 161744. 2.42591 106 251063. 502626. 0 00 0 0 0 79763.8 251063. 120446. 290894. 0 0

0 0 0 0 251063. 502626. 290894. 1.07224 106 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8.12491.35414

45.290627.0937

84.386317.7845

47.220646.2323

00

1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106

9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106

1.8501 107 9.25097 106 1.8508 107 9.25213 106

9.25097 106 3.0837 106 9.25213 106 6.16773 106





Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

K

l=L0=1.0 m k=1.4x10-8 kN/m2

EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1





K

0F

1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106 0 0 0 0 0 0

9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106 0 0 0 0 0 0

1.8501 107 9.25097 106 1.87219 107 8.7995 106 181898. 428129. 0 0 0 0

9.25097 106 3.0837 106 8.7995 106 7.5214 106 428129. 660744. 0 0 0 00 0 181898. 428129. 334363. 161744. 79763.8 251063. 0 00 0 428129. 660744. 161744. 2.42591 106 251063. 502626. 0 0

0 0 0 0 79763.8 251063. 1.86284 107 8.96124 106 1.8501 107 9.25097 106

0 0 0 0 251063. 502626. 8.96124 106 7.23997 106 9.25097 106 3.0837 106

0 0 0 0 0 0 1.8501 107 9.25097 106 1.8508 107 9.25213 106

0 0 0 0 0 0 9.25097 106 3.0837 106 9.25213 106 6.16773 106

8.12491.35414

45.290627.0937

84.386317.7845

55.345544.87818.1249

1.35414




Vettore delle forze nodali)k(

Ed,iN

)k(Ed,iM )k(

dg

1 2 3 4 5

L0 L1 L2 L0

0, 0, N4Ed, M4Ed, N5Ed, M5Ed, N6Ed, M6Ed, 0, 0F

F

01 FFKs

0.00 0.00 216.64 -323.49 714.21 -471.00 524.10 -382.23 0.00 0.00




Diagramma degli spostamenti

-6 -4 -2 2 4 6

-0.0175

-0.015

-0.0125

-0.01

-0.0075

-0.005

-0.0025

Trave elastica

Trave rigida




Diagramma del Taglio

-6 -4 -2 2 4 6

-400

-200

200

Trave elastica

Trave rigida

-6 -4 -2 2 4 6

-600

-400

-200

200

400

600




Diagramma del Momento Flettente

Trave elastica

Trave rigida

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