Progetto di ricerca TECNICHE SOFTCOMPUTING (RETI NEURALI ED ALGORITMI GENETICI) PER LANALISI DEI...

Progetto di ricerca

TECNICHE SOFTCOMPUTING (RETI NEURALI ED

ALGORITMI GENETICI) PER L’ANALISI DEI SISTEMI

COMPLESSI APPLICATI ALLA FINANZA MODERNA

Copyright Prof. Maurizio Fanni 2

LA DINAMIZZAZIONE DEI MERCATI FINANZIARI E L’INTRODUZIONE DI

ASPETTI ”RELATIVISTICI”

1) INCIPIT (dove si espongono le ragioni della ricerca)

• ECONOFISICA: evoluzione di comparti della scienza economica grazie al trasferimento in questa di concetti e categorie della Fisica

• Il fenomeno abbraccia in modo particolare la finanza dell’impresa ed i mercati dei capitali


• Si tratta di far evolvere la Finanza costruendo modelli dinamici, vale a dire caratterizzati dal fattore tempo ( nel senso di J.R. Hicks e cioè databili) e velocità

• Altri concetti introducibili sono quelli di - Forza- Massa- Sistemi inerziali- Sistemi gravitazionali

• E’ sempre maggiore lo stuolo degli economisti che accoglie nei propri modelli le categorie della Fisica.Nel contempo gli studiosi di Fisica si interessano di Economia e Finanza.


• La finanza dell’impresa e dei mercati dei capitali costituisce il più ricercato territorio ai fini dello studio delle differenze e delle analogie tra Fisica ed Economia in quanto ivi:

a) il campo d’intervento è “globale” (come nella Fisica)


b) vi è la necessità di eseguire previsioni e predizioni (pronostici); e l’impiego della statistica e del calcolo delle probabilità è in continua crescita

c) si dispone di classi di valori che si muovono temporalmente (serie storiche)

d) i modelli intertemporali e multiperiodali al momento costruiti dagli studiosi di Finanza appaiono troppo ardui e “complicati” in quanto si appoggiano su sistemi e ambienti statici


e) l’Economia e la Finanza risentono in modo forte del fenomeno della complessità: l’impresa, il sistema economico ed i mercati finanziari possono essere letti secondo un approccio “non riduzionista”, ovvero “olistico” (integrale, e caratterizzato da principi che orientano sulla stabilità e l’instabilità)


2) PRIMA SCENA E PUNTO D’ATTACCO(DOVE SI DICE CHE IL CAPM E’ CAPACE DI DAR VITA A SISTEMI DI RIFERIMENTO)

• Seppure la descrizione dei mercati finanziari compiuta del CAPM (sia versione Sharpe con matrice varianze/covarianze, sia versione con modelli fattoriali) venga considerata insufficiente, essa è tuttora insostituibile, in quanto consente di conoscere i tassi richiesti di rendimento di ciascun titolo, coerenti per il rischio


• Inoltre per ogni operatore si prefigura un “intervallo” di opportunità d’investimento, corrispondente al divario tra la classe massima di rischio accettabile dell’investitore e quella del titolo privo di rischio:

• Se il profilo di rischio-rendimento è individuato

da : allora l’intervallo di appartenenza è dato da

JJ R~

;

fD R; JJ R~

;


• Se il profilo di rischio-rendimento è individuato da : allora l’intervallo di opportunità è dato da

così via

fD R;

ZZ R~

;

ZZ R~

;


• Si potrà dissentire sulla natura della funzione di utilità (ad esempio sull’idea che questa, pur essendo quadratica,cresca a tasso decrescente, in ragione dei valori di mercato investiti) ma nonpotrà negarsi l’esistenza di un ragionamento fondato sul legame utilità/rischio - rendimento per ciascun investitore


• Orbene, il punto d’attacco di questa discussione è che il CAPM può essere usato quale risk mapping method del mercato dei capitali

• Senza voler in alcun modo escludere che altri sistemi interpretativi possano svolgere lo stesso ruolo (o che altri metodi possano generare la SML in forme diverse) tenteremo di collocare all’interno del CAPM:


a) il tempo fisico (giorni, mesi, anni, ecc)

b) la distanza percorsa: quantità di euro capitalizzata con rendimenti unitari, dato il tasso di rendimento coerente per unità di tempo fisico (giorni, mesi, anni, ecc)


• Il territorio del CAPM, per il fatto di generare per ogni titolo il trade-off rischio-rendimento, viene assunto quale produttore della fondamentale informazione per l’investitore (che raccorda, su un mercato efficiente, il rischio ed il rendimento): il P/E


3) SECONDA SCENA (DOVE SI DICE CHE CONVIENE INIZIARE DA UN SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE E SI DISCUTE DELLA VELOCITA’)

• Che cosa significa accogliere quale strumento di analisi il P/E per ciascun titolo?

Ricordiamo che P/E 0

0

00

0~~SPE

P

CX

S


A. Facciamo dapprima riferimento ad uno

Zero-Growth model

(in questo caso )

Consideriamo tre titoli D, J e Z

JRSPE

P~1

~0

0

D J Z

100 100 100

5

(certo)

8

(incerto)

10

(incerto +)


con

D) si investe 20.0 per avere 1 certo

J) si investe 12.5 per avere 1 incerto

Z) si investe 10.0 per avere 1 incerto +

0.20

05.0

1/ EP

0.10

10.0

1/ EP

5.12

08.0

1/ EP


Relativamente al P/E in CAPM vanno evidenziati due aspetti

a) se la ricchezza investita è conservata e ciò accade qualunque sia la misura del rischio (non si forma VAN).

Nell’analisi uniperiodale si ha:• per D

• per J

• per Z

JJ RR~

10005.1

105

10008.1

108

10010.1

110


b) se ogni euro ricevuto in perpetuo riproduce il capitale investito.

Nell’analisi come perpetuità si ha:

• per D 5 € ottenuti P/E= 20.0

5 x 20.0=100

• per J 8 € ottenuti P/E= 12.5

8 x 12.5=100

• per Z 10 € ottenuti P/E= 10.0

10 x 10.0=100

JJ RR~


• Nonostante la capacità di conservazione della ricchezza dei tre titoli:

• da un lato ciascuno di loro è portatore deiBasic Points di conservazione del valore

(per D=1.05; per J=1.08; per Z=1.10)

• dall’altro ogni singolo euro garantito ha un valore diverso:

per D 1 € perpetuo costa e vale 20.00

per J 1 € perpetuo costa e vale 12.50

per Z 1 € perpetuo costa e vale 10.00

e ancora i prezzi sono diversi perché diverso è il rischio


B. P/E in condizioni di sviluppo più reale (Growth Model di Sharpe)

Supponiamo di conoscere i tassi di sviluppo dei rendimenti (utili netti attesi per azione)per i diversi periodi

……………….

e così via

101 1~~

gEE

2102 11~~

ggEE


Posto allora il payout ratio come segue

dove è il dividendo e l’utile netto atteso per azione al tempo t, può scriversi (P = prezzo per azione)

……….. =

..…….... =

t

tt

E

Dp ~

tD

22

11

~1

~1 JJ R

D

R

DP

222

111

~1

~

~1

~

JJ R

Ep

R

Ep

tE~


Sostituendo nella precedente può scriversi

……e così via

Dividendo entrambi i membri per si ottiene il P/E di Sharpe

.......~

1

11~

~1

1~

22102

1101

JJ R

ggEp

R

gEpP

0E

.......~

1

11

~1

1

2212

111

JJ R

ggp

R

gp

E

P

……e così via


Questa versione del P/E è importante in quanto mostra che esso dipende:

a) dal tasso atteso di payout: cresce se questo cresce

b) dal tasso atteso di sviluppo del rendimento: cresce se questo cresce

c) dal tasso richiesto di rendimento:cresce per valori di questo via via più bassi


CAMMINO FINANZIARIO E VELOCITA’

A. Analisi della velocità nel caso in cui P/E sia costruito secondo la:

1° e 3° Proposizione di M e M (sviluppo):

soluzione suggerita come ipotesi di lavoro• Si tragga dalla Fisica la relazione

DISTANZA = DISTANZA GIA’ PERCORSA + VELOCITA’ x TEMPO

tvss 0


PRIMA FASE:

Si costruisce il dispositivo di M e M (1° Prop.)per il caso di unitario sulla base di diverse ipotesi.

Una strada consiste nell’imporre il vincolo di non degenerazione del capitale (di Fanni) secondo cui al più .Scegliendo proprio tale condizione risulta, dati ed essendo

FCF~

0s

UNJJ VD

fck R,,

k

cUN

JV

1


k

c

k

cc

k

cs

2

0

111

0c

UNJc

cUNJf

JV

VRR

11~con

e per

EPsk

/1

0

senza sviluppo


SECONDA FASE:

Si costruisce il dispositivo di M e M (3° Prop.)

per il caso di sviluppo con

proporzionale al tempo e ponendo parimenti

UNVD

tv

1~

0 gFCF


B C DA

Esempio:

Si ha: t

ggtv

k

cc

k

c

11

…………..

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 …………..

S0

S

10 gin cui

UNJc

cUNJf

JVt

VRtR

11~e con

t = 0

ORIGINE DEGLI ASSI


essendo

Se poniamo

allora

k

cUNJ

gV

1

0c

tgtv k /


B Analisi della velocità in casi essenziali e semplificati (senza imposte e per solo moto)

Identifichiamo i seguenti casi privilegiati:

Titolo all equity: distanza finanziaria

Titolo levered: distanza finanziaria

Titolo privo di rischio: distanza finanziaria

tgs k /

t

R

dRgs

J

f~

1

tdgs


Velocità limite

1. Titolo all equity: distanza finanziaria

2. Titolo levered: distanza finanziaria

3. Titolo privo di rischio: distanza finanziaria

tsk

1

tR

sJ

~1

tR

sf

1


APPENDICE n.1

Va segnalato che l’imposizione della condizione di non degenerazione in caso di imposte per cui

conduce a mantenere costante il rapporto di leverage per qualunque situazione (come suggerito da M e M)

UNJJ VD

UNJJ VD


• stabilizza in presenza d’imposta il rapporto di leverage sul valore

come deve accadere per beneficiare del risparmio fiscale nella misura massima fisiologica

• assicura che il titolo permanga, in qualunque futura posizione, all’interno della classe di rischio originariamente riconosciuto

(e cioè se l’investimento avviene con caratteri unlevered;

derivato da , se l’investimento avviene con caratteri levered).

c1

kJR

~

k


In particolare il parametro si comporta come una costante di scala di M e M per il all’interno di una data classe di rischio per lo stesso titolo con o senza sviluppo

gFCF

~


I LIMITI DELLA SOLUZIONE SUGGERITA

Nonostante la sua coerenza intrinseca la soluzione proposta è da utilizzare solo quale prima approssimazione (non potendo al momento fare

ricorso al P/E di Sharpe).

L’impiego del P/E nella versione di Sharpe potrà avvenire in seguito grazie a più consoni processi di analisi, capaci di ricomprendere forze di accelerazione, gravitazione e strumenti predittivi appropriati


L’impiego del P/E nella versione, per brevità, proposta è immediatamente utilizzabile in quanto:

• la predizione si riduce all’applicazione di un metodo iterativo assai semplice

• il moto dei titoli che si viene a prefigurare è definibile, seguendo gli assiomi della Fisica, come “rettilineo uniforme”


In sostanza, nell’ ambiente CAPM, in cui il rischio è stato diversificato, ed emerge l’esigenza di raccordare il modello secondo diversi stadi temporali, la connessione tra il periodo attuale ed i successivi poggia sull’identificazione di un moto rettilineo uniforme, tracciato da ciascun titolo nel tempo, secondo la legge:

Vale, insomma, in questo caso almeno, un principio analogo a quello d’inerzia che può così enunciarsi:

tgs k /


“ Nello spazio finanziario e sotto le condizioni descritte un titolo mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, finchè una forza esterna non modifichi tale stato”La forza esterna può essere rappresentata da sotto o sopra valutazione generata dal sistema impresa o da fenomeni speculativi (trattasi in ogni caso di variazione di valore rispetto allo schema predittivo coerente con il rischio).


APPENDICE n.2 Origine delle formule essenziali NEL CASO CON IMPOSTE

(consideriamo il titolo J della classe k)Avvertenza: la mappatura del sistema ai fini della misurazione della velocità dei titoli deve farsi in modo tale da rispettare le condizioni di trade-off rischio rendimento di tutti i titoli ed applicando una scala che renda possibile i confronti dei valori assoluti.

Al riguardo si è scelto di utilizzare

e 1~

FCF 1~

0 gFCF


Ecco allora le formule (caso con imposte e debito pari al valore unlevered):

(1)

kc

ckc

kc

ckc

tgg

tFCFFCF

s

11~

1~

1

0s v

UNJ

ckUN

J

ck

V

g

V

FCF 1;

~1

(2)


(3)

(4)

Debito al tempo tCapitale al tempo t

UNJ

UNJ

ck

VtV

gtFCF

1

~

tVVS

tVVD

VD

VD

tVV

CtCR

V

CR

V

CR

UNJcUNJct

UNJUNJt

UNJ

UNJ

UNJUNJtfUNJ

fUNJf

)(;;

tDtS


(5)

(6)

(7)

UNJc

cUNJf

JV

VRFCFR

1~

~

UNJc

cUNJf

JV

VRgR

1~

tVV

tVVRgtFCFR

UNJ

UNJc

cUNJ

UNJf

j

1~

~

Esempi di calcolo delle distanze finanziarie


A) senza debito e senza imposte

tg

VPkk

JJ

1


VJ=PJ del titolo Formula: esempio

Parametri utilizzati:• RF=0,1075• t=5 anni• g1=0,30 g2=0.45 g3=0.60

Risultato:

la velocità cresce al crescere di g


v1=2,7907 v2=4,1860 v3=5,5814

0 1 2 3 4 55

10

15

20

25

30

35

40

tempo (in anni)

leg

ge

ora

ria

di V

j=P

j


B) con debiti e senza imposte

tR

gdR

R

dRd

tR

gdRg

R

dRP

tg

V

f

f

f

fJ

J

f

J

fJ

kkJ

~~1

1


VJ del titolo Formula: esempio 1

Parametri utilizzati:• RF = 0,1075• t = 5 anni• g1 = 0,30 g2 = 0.45 g3 = 0.60• rapporto di leverage = 0,5

classe di rischio 0.0850


v1=3,5294 v2=5,2941 v3=7,0588

0 1 2 3 4 510

15

20

25

30

35

40

45

50

tempo (in anni)

leg

ge

ora

ria

di V

j=P

j


VJ del titolo Formula: esempio 2

Parametri utilizzati:• RF = 0,1075• t = 5 anni• g1 = 0,30 g2 = 0.45 g3 = 0.60• rapporto di leverage = 1

classe di rischio 0.0738


v1=4,0678 v2=6,1017 v3=8,1356

0 1 2 3 4 510

15

20

25

30

35

40

45

50

55

tempo (in anni)

leg

ge

ora

ria

di V

j=P

j


PJ del titolo Formula: esempio

Parametri utilizzati:• RF = 0,1075• t = 5 anni• g1 = 0,30 g2 = 0.45 g3 = 0.60• Debito1 = 0.5 • Debito2 = 0.8

Risultati: maggiore è il debito e minore è la velocità di PJ


v11=2,7349 v21=4,1023 v31=5,4698 v12=2,7014 v22=4,0521 v32=5,4028

0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

tempo (in anni)

leg

ge

ora

ria

di P

j

0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

tempo (in anni)

leg

ge

ora

ria

di P

j


dJ del titolo Formula: esempio

Parametri utilizzati:• RF = 0,1075• t1 = 3 t2 = 6 t3 = 9 (anni)• g1 = 0,30 g2 = 0.45 g3 = 0.60• Debito1 = 0.3 • Debito2 = 0.5• Debito3 = 0.6


v11=0,090 v21=0,135 v31=0,180 v12=0,150 v22=0,225 v32=0,300 v12=0,180 v22=0,270 v32=0,360

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

tempo (in anni)

leg

ge

ora

ria

di d

j

Velocità del titolo privo di rischio nel mercato in movimento (trasformazioni di Lorentz)


Borsa di Milano:

il broker G investe nel titolo J

Questo dal 1/1/2003 in 3 mesi si è mosso alla velocità

di 1,5 euro al mese

distanza finanziaria percorsa

il gestore P investe in MIBTEL

Questo dal 1/1/2003 in 3 mesi si è mosso alla velocità

di 1 euro al mese


35,1 s

31s

6,1c


il gestore F investe in Fondo Alto Bilanciato

Questo dal 1/1/2003 in 3 mesi si è mosso alla velocità di 1 euro al mese


P osserva G:

F osserva G:

32,1 s

5,0v

3,0v


Distanze e tempi del mercato in movimento

Gestore P: distanza finanziaria di J: 5,66 tempo impiegato da J: 4,56

Gestore F: distanza finanziaria di J: 5,12 tempo impiegato da J: 3,87


Principio di separazione

Gestore P: 20,79 - 32,04 = -11,25

Gestore F: 15 – 26,25 = - 11,25

che assicura che entrambi i gestori stanno utilizzando correttamente il valore finanziario del tempo corrispondente ad una velocità mensile del titolo privo di rischio pari a 6,1c

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