PROGETTO DI FILTRI A RISPOSTA IMPULSIVA FINITA...

E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 1

PROGETTO DI FILTRIA RISPOSTA IMPULSIVA FINITA

(FIR)[Cap. 6]


Considerazioni generali sul progetto di filtri numericiSpecifiche di progetto

_______________________________________________________________________

L’obiettivo è di progettare una funzione di trasferimento H(z) di un sistema LTI realizzabile (FIR o IIR) la cui risposta in frequenza H(F) approssimi (con criterio opportuno) la desiderata (ideale) Hd (F).

In genere Hd(F) non può essere realizzata esattamente. Occorre stabilire delle tolleranze accettabili della

approssimazione → Specifiche di progetto

)()()( FXFHFY d=)(FX)(FHd

• Operazione di filtraggio di un segnale


Esempio: passa-basso

12δ

2δ

21 FF1 F2

1

21 FF0

1

F0

ideale)( FH d

progettareda )( FH

Il filtro ideale non è realizzabile (discontinuità):• si impone una banda di transizione F1÷F2 • si impongono una deviazione max in banda passante

e una deviazione max in banda attenuata• nessun vincolo nella banda di transizione (salvo ovvie anomalie)

2δ1δ


PROGETTO DI FILTRI FIR(Finite Impulse Response)

[ ]nx [ ] [ ] [ ]∑−

=

−=1

0

N

k

knxkhny[ ]nh

Proprietà e caratteristiche principali- Filtri FIR sono fra i più usati- Possono avere una risposta in fase

esattamente lineare (assenza di distorsione di fase e di gruppo)

Progettare h[n] che abbia una realizzabile risposta in frequenza H(F)


- Sempre stabili

- Strutture più facili da realizzare

- Minore sensibilità nei confronti di una realizzazione con aritmetica a precisione finita

- Possono richiedere un numero di operazioni anche elevato


FUNZIONE DI TRASFERIMENTO e

RISPOSTA IN FREQUENZA

[ ] [ ] [ ]∑−

=

−=1

0

N

k

knxkhny

Funzione di trasferimento

[ ]∑−

=

−=1

0

)(N

n

nznhzH solo zeri (escludendo l’origine)


Risposta in frequenza

[ ] ,)(1

0

2∑−

=

−=N

n

nFjenhFH π

cffF = frequenza normalizzata

)()( FjeFA ϕ=

,)(FA

,)(Fϕ

risposta di ampiezza

risposta di fase


da cui si ottengono:

,2

)()(F

FFπ

ϕ−=Δ

,)(21)(

dFFdF ϕ

πτ −=

ritardo di fase (campioni)

ritardo di gruppo(campioni)


Fase lineare

aFF −=)(ϕ

cost 2

)()( ====Δ απ

τ aFF


A. (tipo 1 e 2)

h[n] = h[N - 1 – n], risposta simmetrica

Condizione per la fase lineare (FIR reali)[Cap. 3.9]

0 1 2 3 4 5 6 n

N=7 (dispari)

0 1 2 3 4 5 n

N=6 (pari)


[ ]

[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=

∑

∑

−

=

−−

−

=

−−

12

0

212

23

0

212

212cos2

212cos2

21

)( N

n

NFj

N

n

NFj

NnFnhe

NnFnhNhe

FH

π

π

π

π

)(Fje ϕ A_(F)

Ndispari

Npari


la fase è esattamente lineare e vale)(Fϕ

212)( −

−=NFF πϕ


212

)_()(−

−=

NFjeFAFH

π

)_(FA funzione reale

Es.:

Passa basso Passa altoPassa banda Multi-banda

⎧⎨⎪

⎩⎪


Ritardo

21)()( −

==ΔNFF τ intero (N dispari)

intero + 1/2 (N pari)

N dispari

Uscita (ritardata) generata in corrispondenza di istanti di campionamento dell’ingresso (stesso pettine di campionamento)

N pariUscita (ritardata) generata in corrispondenza di istanti di campionamento traslati di T/2 rispetto all’ingresso (pettine di campionamento traslato di T/2 )


B. (tipo 3 e 4)

h[n] = - h[N - 1 – n], risposta antisimmetrica

0 1 2 3 4 5 6 n

0 1 2 3 4 5 n

N=7 (dispari)

N=6 (pari)


[ ]

[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

=

∑

∑

−

=

−−

−

=

−−

12

0

212

21

0

212

2122

2122

)( N

n

NFj

N

n

NFj

NnFsennhje

NnFsennhje

FH

π

π

π

π

)(Fje ϕ A_(F)

Ndispari

Npari


la fase vale)(Fϕ

212

2)( −

−−=NFF ππϕ

lineare a meno del fattore costante -π/2 ( fase lineare generalizzata)


212

)_()(−

−=

NFjeFAjFH

π

)_(FA reale

Es.:derivatori

⎩⎨⎧

−==

FFAcFFAsgn)_(

)(_

tr. Hilbert


Ritardo

Come nel caso precedente è uguale a

21−N campioni

In più è introdotta una rotazione di fase di 90° [ a seconda del segno di A_(F) ] per ogni componente spettrale.

±


Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)

• FIR fase lineare


METODI DI PROGETTODI FILTRI FIR


METODI DI PROGETTO FILTRI FIRTre metodi base fondamentali

[altri nei Cap. 6.6 e 6.9]

Metodo delle finestre Vantaggi- Semplicità- A(F) 0.5 alla frequenza di taglio nominaleSvantaggi- Funzione nota analiticamente ed integrabile- Deviazioni uguali in banda passante e attenuata- Deviazioni massime non costanti- N più grande per confrontabili risposte in

frequenza

≅


Metodo del campionamento in frequenza

Vantaggi- Applicabile a qualunque risposta in

frequenza- Disponibilità di programmi di progetto

Svantaggi- Controllo difficile delle deviazioni- Oscillazione della deviazione non costante- N più grande per confrontabili risposte in

frequenza


Criterio di Chebychev (minmax o equiripple)

Vantaggi- Criterio ottimo- N più piccolo per confrontabili risposte

in frequenza- Disponibilità di programmi di progetto

Svantaggi- Relativa flessibilità rispetto alla risposta

in frequenza desiderata- Progettazione più onerosa dal punto di

vista dei tempi di calcolo


METODO DELLE FINESTRE[Cap. 6.4 e 6.5]

Data una desiderata Hd (F) : per esempio

+∞<<∞− n

1

-F1F1 F

passa basso ideale

[ ] ∫−

=2/1

2/1

2)( dFeFHnh nFjdd

π

21

21

−


- il troncamento fra dà luogo al fenomeno delle oscillazioni di Gibbs

10 −≤≤ Nn


- finestre w[n] per ridurre le oscillazioni (problema analogo al caso delle stime spettrali)

[ ] [ ] [ ],nwnhnh d= 10 −≤≤ Nn

Una delle più usate (buon compromesso prestazioni /complessità)

[ ] ,1

2cos46.054.0−

−=N

nnw π

(Hamming)

10 −≤≤ Nn


Rettangolare

[ ] 1=nw

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤≤−

−−

−≤≤

−=1

21,

122

210,

12

NnNN

n

NnN

n

nw

Bartlett

Esempi di finestre 10 −≤≤ Nn


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

12cos1

21

Nnnw π

Hanning

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

12cos46.054.0N

nnw π

Hamming

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

14cos08.0

12cos5.042.0

Nn

Nnnw ππ

Blackman


Kaiser

[ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎭⎬⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

21

21

21

0

22

0

NwI

NnNwI

nw

α

α

( )=•0I

=αw

funzione di Bessel modificata di ordine zeroparametro di controllo per la larghezza del lobo principale e per l’ampiezza dei lobi laterali.Valori tipici: 9

214 <

−<

Nwα


Alcuni esempi (fase lineare)

21−

=Nα

1. Passa banda generalizzato

απFjd eFH 2)( −= 21 FFF <<

A_(F)

F1 F2 F21

1

-F1-F2


[ ] ( ) ( )[ ]{ −−−

= απαπ

nFsenn

nhd 221

[ ] 0,)(2 12 =−−= αnFFnhd ( N dispari)

( )[ ] } 0,2 1 ≠−− ααπ nnFsen


2. Derivatore generalizzato

απFjd eFjFH 2)( −=

A_(F)

F1 F2 F21

1

-F2 -F1

Caso particolare per derivatore a larga banda: F1 = 0 , F2 = 0.5


[ ] [ ]−

⎩⎨⎧

−−−−

ααππαππ

π nnFFnFF )(2cos2)(2cos2

21 1122

2

[ ] [ ] 0,)(

)(2)(22

12 ≠−⎭⎬⎫

−−−− α

ααπαπ n

nnFsennFsen

[ ] 0 ,0 =−= αnnhd ( N dispari)

[ ]=nhd


3. Trasformatore di Hilbert generalizzato

,sgn)( 2 απFjd eFjFH −−= 21 FFF <<

A_(F)

F1 F2

F21

1

-F2 -F1

Caso particolare per trasf. Hilbert a larga banda: F1 = 0 , F2 = 0.5


[ ] ( ){ ( )[ ]−−−

= απαπ

nFn

nhd 12cos1

( )[ ] } 0,2cos 2 ≠−− ααπ nnF

[ ] 0,0 =−= αnnhd ( N dispari)


ESEMPI

Progetto di filtro passa basso (N=41, banda passante 0-0.25)Risposte in ampiezza (lineare e in dB) dei filtri progettati col metodo delle finestre confrontate con la risposta ideale desiderata.

Passa Basso - Hamming

Risposta impulsiva del filtro progettato con la finestra diHamming.Notare i campioni nulli a passi dispari dal campionecentrale, tipici di un filtro “half-band”.


Passa Banda - Hamming Progetto di filtro passa banda (N=51, F1=0.20, F2=0.30)Risposte in ampiezza (lineare e in dB) dei filtri progettati col metodo delle finestre confrontate con la risposta ideale desiderata.

Risposta impulsiva del filtro progettatocon la finestra di Hamming.


METODO DEL CAMPIONAMENTO IN FREQUENZA

[Cap. 6.7]

Si campiona la risposta in frequenza desiderata in N punti equispaziati

[ ] )(FHkH d=NkF =

10 −≤≤ Nk


Si calcolano

[ ] [ ] }{ ,kHIDFTnh N= 10 −≤≤ Nn

che implica un errore

NkF ≠

[ ] )(1

1)(

0)()()(

1

0 22

2

FHee

kHN

eFE

FHFHFE

d

N

k FjkN

j

NFj

d

−−

−=

≠−=

∑−

= −

−

ππ

π


Per ridurre E(F)

Fsi fanno variare i campioni nella banda di transizione, fino a minimizzare una norma prescelta di E(F). Generalmente due o tre campioni nella banda di transizione sono sufficienti. Soluzione mediante tecniche di programmazione lineare.Osservazione: applicabile a qualunque

risposta in frequenza

0 1/2 1


CRITERIO DI CHEBYCHEV[Cap. 6.8]

Con questo metodo si vuole minimizzare l’errore massimo della risposta in ampiezza ovvero avere uguali deviazioni massime rispetto alla risposta in ampiezza desiderata (minmax, equiripple).Le deviazioni massime possono essere diverse in banda passante e in banda attenuata.


Si parte dalle specifiche (es. passa-basso)

1δ

Kδ /12 δ=

deviazione max in banda passante

deviazione max in banda attenuatacon K costante definita

12δ

2δ

21 FF1 F2

1


2121 δδFFN

cinque parametri interdipendenti(es. passa-basso)

per filtri di tipo diverso (es. multibanda) iparametri interdipendenti sono N , gli estremidelle bande e le deviazioni


Algoritmo (Programma) di Parks - McClellan(solo FIR a fase lineare)

Ingressi UsciteTipo di filtro (1=multibanda 2=derivatore 3=Hilbert)

Numero, Estremi, Valori nominali delle bande (passanti e attenuate)Peso relativo K

(rapporto della deviazione in banda passante e in banda attenuata)

h[n]

21 , δδ(equiripple, minmax)

• N


Stima della lunghezza N per FIR a fase lineare[Cap. 6.3]

Una delle più semplici: stima di N per passa-basso (errore entro 10%)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≅21

1012 10

1log132

δδFFN

Proprietà generaleN è inversamente proporzionale alla larghezza della banda di transizione normalizzata F2 - F1

Diverse formule empiriche


N è meno sensibile a variazioni di 21 δδ e

N non dipende da F1 e da F2 singolarmente, ma solo dalla b. di transizione ΔF=(F2 - F1)

[ con ottima approssimazione]

La stima di N si può estendere ragionevolmente anche a filtri di tipo diverso dal passa-basso

Passa Basso - Parks-McClellan


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-100

-80

-60

-40

-20

0

Ris

post

adi

mpi

ezza

(dB

)

F freq. normalizzata

Parks-McClellan

Filtro PASSA BASSO

Risposta di ampiezza e impulsivadi un filtro passa-basso equiripple

N=41F1=0.2 fine banda passante F2 =0.3 inizio banda attenuata K =1 peso relativo


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Ris

post

adi

Api

ezza

(dB

)


Parks-McClellan

Filtro PASSA BANDA

Passa Banda - Parks-McClellan

Risposta di ampiezza e impulsiva di un filtro passa-banda equirippleN=51F1= 0.15 fine I banda attenuata F2= 0.20 inizio banda passante F3 =0.30 fine banda passante F4 =0.35 inizio II banda attenuata


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-25

-20

-15

-10

-5

0

Ris

post

adi

Ampi

ezza

(dB

)


Trasformatore di Hilbert

Trasformatore di Hilbert - Parks-McClellan

Risposta di ampiezza e impulsiva di un trasformatore di Hilbert equirippleN=31F1= 0.05 inizio banda trasformatoreF2= 0.45 fine banda trasformatore

00.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45R

ispo

sta

di A

mpi

ezza


Parks-McClellan

Derivatore


Risposta di ampiezza e impulsiva di un derivatore equirippleN=20F1= 0.05 inizio banda derivatoreF2 =0.45 fine banda derivatore

Derivatore - Parks-McClellan


Confronto FIR – Metodi Chebychev e finestre

Confronto di progetti per un filtro passa-basso- FIR progettato col metodo a finestre - FIR progettato col metodo di Parks-McClellan

(equiripple)N=60, F1 = 0.20 fine banda passante , F2 = 0.30 inizio banda attenuata

Confronto di progetti per un filtro passa-alto- FIR progettato col metodo a finestre - FIR progettato col metodo di Parks-McClellan

(equiripple)N=61, F1 = 0.20 fine banda attenuata , F2 = 0.30 inizio banda passante


Confronto di progetti per un filtro passa-banda- FIR progettato col metodo a finestre - FIR progettato col metodo di Parks-McClellan

(equiripple)N=120, 0-0.15 prima banda attenuata, 0.2-0.3 banda passante, 0.35-0.5 seconda banda attenuata

Confronto di progetti per un filtro elimina-banda- FIR progettato col metodo a finestre - FIR progettato col metodo di Parks-McClellan(equiripple)N=121, 0-0.15 prima banda passante, 0.2-0.3 banda attenuata, 0.35-0.5 seconda banda passante


Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)

• FIR-finestre• FIR-equi• FIR-confronto


STRUTTURE REALIZZATIVE[Cap. 4]

Rappresentano la struttura realizzativa dell’algoritmo di filtraggio.

Non necessariamente coincide con la struttura realizzativa circuitale.


Struttura Diretta

z-1 z-1 z-1x[n]

h[0] h[1] h[2] h[N-2] h[N-1]

y[n]

[ ] [ ] [ ]∑−

=

−=1

0

N

kknxkhny[ ] ,)(

1

0∑−

=

−=N

n

nznhzH


Teorema di trasposizione

La funzione di trasferimento del sistema non cambia applicando le regole di trasposizione ad una struttura realizzativa.


- un’operazione di moltiplicazione per una sequenza g[n] si trasforma in una moltiplicazione per g[-n]

- L’operazione di sottocampionamento si trasforma in operazione di incremento della frequenza di campionamento dello stesso fattore e viceversa

- punti di diramazione diventano punti di somma e viceversa

Regole di trasposizione

- scambiare ingresso e uscita

- invertire il senso del flusso dei segnali


Operazioni di trasposizione fra strutture realizzative

INGRESSO USCITA

M M

X

g[n] g[-n]X


Struttura Trasposta

ComplessitàEntrambe richiedono:

N moltiplicazioni N - 1 somme

z-1

x[n]

h[0]h[N-2]h[N-1]

y[n]z-1 z-1

h[N-3]


FIR a fase lineare:

z-1

z-1 z-1

x[n]

h[0] h[1]

y[n]

z-1

z-1 z-1

N dispari

h[N-1 ]2

h[N-3 ]2


z-1

z-1 z-1

x[n]

h[0] h[1]

y[n]

z-1

z-1 z-1

N pari

h[N-1]2

h[N-2]2

z-1


Complessità

Moltiplicazioni :

Somme :

( N dispari)

( N pari)

21+N

2N

1−N


FIR a campionamento in frequenza

In alternativa alle strutture precedentiRicordiamo:

[ ]∑−

= −

−

−

−=

1

02

11

1)(N

k kN

j

N

ez

kHNzzH π


Nz −−1

111

−− z

Nπj

ez2

11

1−−

)(NNπj

ez12

11

1−−−

x[n]

[ ]N

H 0

[ ]N

H 1

[ ]NNH 1−

y[n]


- Un FIR più N IIR del 1° ordine (complessi)

- Struttura conveniente quando pochi H[k] 0 (filtri a banda stretta)

- I filtri IIR hanno poli sul cerchio unitario: per evitare problemi di instabilità si spostano leggermente all’interno

≠

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