Keywords: armatura trasverale, confinamento, duttilità, edifici in c.a., presso-flessione

ABSTRACT

In designing RC membratures subjected to flexure and axial load a crucial point is the amount of transverse

reinforcement to be applied to critical regions of columns. It allows to achieve the required section ductility

coherently with the assumed global ductility. This approach is adopted by recent seismic codes which provide

design equations linking the transverse reinforcement amount to the ductility curvature of critical regions and to the

axial load ratio of a column. In line with this approach parametric analyses on fiber sections reinforced by simple

hoops under flexure and axial load have been performed. Confinement effects have been computed with the

analytical model proposed by Braga, Gigliotti and Laterza (2006). Starting from the obtained results design

equation of transverse reinforcement amount has been proposed. By applying the used methodology design

equations referring to different arrangements of transverse reinforcement may be proposed in future works.

1 INTRODUZIONE

Le recenti normative sismiche internazionali (le neozelandesi NZS 3101, l’Eurocodice 8, le norme italiane NTC-08) esplicitano l’approccio prestazionale nella progettazione antisimica delle strutture. Al fine di realizzare strutture economicamente convenienti, esse accettano il danneggiamento degli elementi strutturali primari impiegando regole e dettagli costruttivi atti a favorire i meccanismi duttili inibendo la formazione di quelli fragili. In tal modo le escursioni in campo plastico di una struttura possono verificarsi senza repentine perdite di resistenza nei riguardi delle azioni laterali e garantendo la portanza dei carichi verticali.

Il dimensionamento dell’armatura trasversale in funzione della capacità dissipativa richiesta rappresenta senza dubbio un punto cruciale per tale strategia di progettazione. Coerentemente con la capacità dissipativa globale fissata le recenti normative antisismiche forniscono equazioni prestazionali che legano la duttilità di curvatura richiesta alla percentuale del carico assiale ed al quantitativo di armatura trasversale da disporsi

all’interno delle zone critiche degli elementi presso-inflessi in c.a.. E’ noto, infatti, che l’armatura trasversale consente di raggiungere elevate curvature in campo plastico in quanto: esercita un’azione di confinamento sul nucleo di calcestruzzo compresso aumentandone sia la resistenza sia la duttilità; ed esclude l’instabilità prematura delle armature longitudinali, riducendone la snellezza.

Nella presente memoria viene presentata una prima formulazione dell’equazione prestazionale che lega la duttilità di curvatura richiesta al quantitativo dell’armatura trasversale portando in conto gli effetti del confinamento con il modello analitico BGL (Braga et al. 2006, Braga et al. 2009a). L’equazione è stata ricavata a partire da regressioni effettuate sui risultati di analisi monotoniche momento-curvatura eseguite su sezioni quadrate a fibre al variare di differenti parametri quali: l’armatura trasversale e longitudinale, la percentuale del carico assiale, la resistenza del calcestruzzo e dell’acciaio. La tipologia di sezione impiegata può considerarsi rappresentativa di colonne esistenti in c.a. realizzate in Italia secondo il D.M. 09/01/1996 in assenza di dettagli costruttivi. In tal modo,

Progettazione dell’armatura trasversale in funzione della duttilità di

curvature richiesta: prima formulazione di base

Franco Braga, Rosario Gigliotti

DiSG - Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Università “Sapienza”, Via Eudossiana 18,

00184 Roma.

Michelangelo Laterza, Michele D’Amato DiSGG Dipartimento di Strutture, Geotecnica, Geologia applicata all’Ingegneria, Università degli Studi

della Basilicata, viale dell’Ateneo Lucano, 85100 Potenza.

analogamente a quanto accade per le strutture di nuova progettazione, sarà possibile stabilire la duttilità di curvatura disponibile delle sezioni critiche in funzione del quantitativo dell’armatura trasversale presente.

2 DUTTILITÀ DI CURVATURA

RICHIESTA

Le principali normative internazionali

esplicitano la duttilità di curvatura richiesta in

funzione del fattore di struttura assunto per

l’edificio in progettazione.

Le normative antisismiche neozelandesi (NZS

3101), ad esempio, definiscono due differenti

tipologie di sistemi resistenti in c.a. per le azioni

sismiche: strutture duttili (ductile structures) e

strutture a limitata duttilità (structures of limited

ductility). Alle prime viene conferita una

maggiore capacità dissipativa (fattore di struttura

q=6) nei riguardi dell’azioni laterali rispetto alle

seconde (q=3). I quantitativi di armatura

trasversale sono forniti da equazioni prestazionali

che dipendono dalla classe di duttilità. La duttilità

di curvatura uy è stata assunta pari a 20 e 10

rispettivamente per le strutture duttili e quelle a

limitata duttilità.

L’Eurocodice 8 (EC8), invece, individua tre

classi di duttilità strutturale: bassa (low ductility,

DCL), media (medium ductility, DCM) ed alta

(high ductility, DCH).

La progettazione in bassa duttilità viene

eseguita in assenza di dettagli costruttivi

conferendo alla struttura una scarsa capacità

dissipativa. Tale classe strutturale viene

raccomandata solo in zone con bassa sismicità e

per essa può adottarsi un fattore di struttura

globale q pari a 1.5.

Le classi DCM e DCH, invece, si ottengono in

accordo a specifiche regole di progettazione tese

a conferire alla struttura un’adeguata capacità

dissipativa nei riguardi delle azioni sismiche di

progetto escludendo la formazione di meccanismi

fragili. Con riferimento alle strutture regolari

intelaiate, il fattore di struttura assume il valore di

q=5,85 e q=3,9, rispettivamente per edifici

progettati in DCH ed in DCM.

La duttilità di curvatura richiesta alle sezioni

delle zone critiche può calcolarsi mediante la

relazione:

Figura 1. Duttilità di curvatura al variare del periodo fondamentale T1 a) fino a 1 sec; b) fino a 4 sec

1

1 1

2 1

1 2 1

c

c c

q T T

q T T T T

(1)

dove q è il fattore di struttura (duttilità globale)

assunto; T1 è il periodo fondamentale della

struttura entrambi riferiti al piano verticale di

inflessione in esame; e Tc è il periodo dello

spettro della componente orizzontale a cui

corrisponde la fine del tratto con pseudo

accelerazione costante. La duttilità di curvatura è

definita come il rapporto tra la curvatura

corrispondente all’85% della resistenza a

flessione e la curvatura di prima plasticizzazione

(corrispondente allo snervamento dell’acciaio

teso o al raggiungimento della deformazione di

compressione del 2‰ nella fibra di calcestruzzo

più esterna). Non è specificato, tuttavia, se la

duttilità richiesta calcolabile con l’eq. (1) si

riferisca alle sezioni critiche delle travi o dei

pilastri.

In figura 1 viene riportata la duttilità di

curvatura richiesta ottenuta con l’eq. (1) ed

amplificata del coefficiente 1,5. I grafici ottenuti

mostrano che la duttilità di curvatura richiesta,

fissata la categoria di sottosuolo e la classe di

duttilità, varia notevolmente nell’intervallo più

usuale di T1 per le costruzioni intelaiate. Per

strutture molto rigide, inoltre, la duttilità richiesta

può raggiungere, per sottosuolo di categoria D,

valore poco inferiore a 100, all’incirca 6 volte la

duttilità di curvatura richiesta per T1>TC.

In figura 2, invece, è riportato il rapporto per

ciascuna categoria di sottosuolo tra la duttilità di

curvatura richiesta per DCH e DCM al variare di

T1. Si noti come tale rapporto rimanga al variare

del periodo di poco superiore a 1,5, rapporto

quest’ultimo tra i due fattori di struttura assunti

per le due classi di duttilità DCH e DCM.

Le Norme Tecniche per le Costruzioni italiane

(NTC-08) individuano due classi di duttilità al

variare della capacità dissipativa globale: Classe

di Duttilità Alta (CD”A”) e Classe di Duttilità

Bassa (CD”B”) e corrispondono, rispettivamente,

alle classi DCH e DCM dell’EC8. La duttilità di

curvatura richiesta alle sezioni critiche si calcola

con l’eq. (1) e deve amplificarsi almeno di un

coefficiente pari a 1,5. L’approccio progettuale

adottato, dunque, è analogo a quanto riportato

nell’EC8.

In figura 3 è riportato un confronto tra la

duttilità di curvatura richiesta nelle zone critiche

per la classe di duttilità alta (figura 3a) e bassa

(figura 3b). Al fine di semplificare i confronti, la

duttilità di curvatura richiesta secondo le NTC-08

è stata calcolata assumendo lo stesso valore TC

riportato nell’EC8.

I confronti effettuati mostrano che la richiesta

di duttilità di curvatura calcolata con l’EC8 e le

NTC-08 coincidono con quanto fornito dalla NZS

3101 solo nel caso di bassa duttilità per periodi

maggiori di 0,5 sec.

Figura 2. Rapporto tra la duttilità di curvatura richiesta per DCH e DCM secondo l’EC8

Figura 3. Confronti tra la duttilità di curvatura richiesta alle zone critiche a) per strutture con alta duttilità; b) strutture con bassa duttilità

L’approccio progettuale adottato dalle

normative esaminate evidenzia l’importanza nella

progettazione antisismica delle strutture di una

corretta valutazione della duttilità di curvatura

delle sezioni critiche in c.a.. Pertanto, essa deve

valutarsi a partire da modelli analitici capaci di

descrivere l’effettivo comportamento non lineare

delle sezioni portando in conto gli effetti del

confinamento e gli scorrimenti delle barre

longitudinali.

3 EQUAZIONE DI PROGETTO

DELL’ARMATURA TRASVERSALE:

FORMULAZIONE DI BASE

Nel presente paragrafo viene illustrata la

procedura utilizzata per ricavare una prima

formulazione dell’equazione di progetto

dell’armatura trasversale per sezioni presso-

inflesse in c.a. portando in conto gli effetti del

confinamento con il modello BGL (Braga et. al

2006, Braga et al. 2009a).

La procedura impiegata è del tutto

generalizzabile per qualsiasi tipologia di sezione

e configurazione di armatura trasversale. Di

seguito si riportano i principali risultati relativi ad

una sezione quadrata in cui l’armatura trasversale

è costituita da una staffa semplice in assenza di

legature multiple. Come già anticipato, tale

tipologia può intendersi come rappresentativa di

strutture esistenti in c.a. realizzate in accordo al

D.M. 09/01/1996 in assenza di dettagli

costruttivi.

L’equazione di progetto per l’armatura

trasversale è stata ricavata a partire dai risultati

ottenuti con simulazioni numeriche al variare dei

seguenti parametri (tabella 1): percentuale di carico assiale =P/f’cAg.

Sono stati considerati quattro valori del carico assiale: 0,2; 0,4; 0,6 e 0,8;

resistenza cilindrica del provino di calcestruzzo non confinato f’c. Le analisi sono state effettuate con riferimento a tre diversi valori di f’c: 30 MPa, 40 MPa e 50 MPa;

percentuale geometrica t dell’armatura trasversale definita come:

. . . .

. .t

Vol armat trasv di conf

Vol cls conf (2)

con valori appartenenti all’intervallo 0,005-0,035 (con incrementi di 0,005);

percentuale geometrica dell’armatura longitudinale s data dal rapporto:

. . .

. .s

Areatot armat long

Arealorda sez trasv (3)

variabile nell’intervallo 0,005-0,03 (con incrementi di 0,005);

resistenza a snervamento dell’acciaio longitudinale e trasversale pari fy= 400 MPa;

rapporto c/h (copriferro/altezza della sezione) pari a 0,06.

Le analisi momento-curvatura sono state effettuate con il programma open source OpenSees (http://opensees.berkeley.edu/) su una sezione a fibre soggetta a presso-flessione retta.

Tabella 1. Intervalli dei parametri nelle analisi effettuate

Parametro Intervallo considerato Incremento

=P/f’cAg 0,2-0,8 0,2

f’c (MPa) 30, 40, 50 -

t 0,005-0,035 0,005

s 0,005-0,03 0,005

L 500 mm

c/h 0,06

u/y 5-20 5

fy (MPa) 400 -

Figura 4. Definizione della sezione a fibre e modelli analitici di materiale utilizzati

In ciascuna analisi effettuata è stato applicato

dapprima un carico assiale costante e

successivamente una curvatura crescente fino al

raggiungimento del valore ultimo corrispondente

alla rottura della sezione.

Gli effetti del confinamento sono stati portati

in conto assegnando al nucleo del calcestruzzo

confinato il legame analitico BGL (Braga et al.

2006), attualmente disponibile nelle librerie di

OpenSees (Braga et al. 2009a), mentre al

copriferro è stato assegnato il legame di

calcestruzzo non confinato. Nelle simulazioni

effettuate all’acciaio dell’armatura longitudinale è

stato assegnato un legame elastico-perfettamente

plastico in perfetta aderenza.

La deformazione a compressione del

calcestruzzo confinato corrispondente alla rottura

a trazione della prima staffa è stata valutata caso

per caso per via numerica mediante l’approccio

energetico proposto da Mander et al. (1998) e

modificato da Braga et al. (1999).

I criteri adottati per il calcolo della resistenza

della sezione e della duttilità di curvatura

disponibile della sezione sono analoghi a quelli

adottati nello studio pubblicato da Watson et al.

(1994). Tale studio è stato utilizzato per la

formulazione delle equazioni di progetto

dell’armatura trasversale riportate nelle norme

neozelandesi NZS 3101.

3.1 Definizione della curvatura di primo

snervamento e della curvatura ultima

La duttilità di curvatura disponibile per

ciascuna sezione in c.a. analizzata è stata

calcolata con riferimento al legame bilineare-

associato al legame momento-curvatura M-

ottenuto dall’analisi (figura 5).

Dapprima è stato individuato il punto di primo

snervamento (’y, M’i) della sezione. Tale punto è

associato al raggiungimento della prima delle due

seguenti condizioni: a) la fibra più esterna del

calcestruzzo (del copriferro) raggiunge la

defomazione dello 0,002 a compressione; b) la

fibra dell’armatura longitudinale tesa d’acciaio

più sollecitata raggiunge la resistenza a

snervamento fy. Il duplice criterio per la

definizione del punto di primo snervamento è

preferibile al criterio convenzionale del solo

snervamento dell’armatura tesa in quanto, per

carichi assiali elevati, tale condizione potrebbe

non verificarsi.

La resistenza del diagramma bilineare è stata

posta pari al picco di resistenza Mi a flessione

della sezione mentre il punto di snervamento è

stato ricavato con una proporzione:

'

'

y

y i

y

MM

(4)

La curvatura ultima u è stata definita, per

ciascuna analisi effettuata, in corrispondenza al

raggiungimento della prima delle seguenti

condizioni: momento resistente della sezione pari a

0,8Mi, dove Mi rappresenta il momento resistente di picco della sezione;

raggiungimento la deformazione ultima dell’acciaio, posta pari al 7,5%;

rottura a trazione della prima staffa. L’instabilità delle barre longitudinali è stata

trascurata in quanto in tutte le analisi effettuate il

passo staffe è minore di 6db, dove db è il diametro

minimo delle barre longitudinali.

3.2 Formulazione di base dell’equazione di

progetto dell’armatura trasversale

Nella figura 6 e figura 7 si riportano i primi

risultati ottenuti con le analisi effettuate al variare

delle grandezze indicate nella tabella 1.

Figura 5. Definizione del diagramma bilineare associato della sezione

In ciascun diagramma viene rappresentato al

variare della percentuale del carico assiale la

percentuale meccanica di armatura trasversale

(sm) richiesta nei casi analizzati al variare della

duttilità di curvatura assunta. Inoltre, viene

riportata la retta di regressione al 95-esimo

percentile ottenuta con il metodo dei minimi

quadrati.

I primi risultati ottenuti confermano che, a

parità di carico assiale, la duttilità di curvatura

disponibile cresce al crescere del quantitativo di

armatura trasversale impiegato. Inoltre, per una

data duttilità di curvatura, l’armatura trasversale

da impiegare è tanto maggiore quanto maggiore è

il carico assiale agente. Si noti come le analisi

eseguite mostrino che per elevate percentuali di

carico assiale (maggiore di 0.6) la duttilità di

curvatura disponibile non raggiunge mai il valore

20. Vale la pena ricordare che, ad esempio, le

norme italiane NTC-08 e l’EC8 limitano al 55%

per CD”A”/DCH ed al 65% CD”B”/DCM la

percentuale massima del carico assiale di progetto

per i pilastri di edifici con strutture a telaio.

Alla luce dei risultati ottenuti la relazione tra il

rapporto volumetrico di armatura trasversale sm

e la percentuale di carico assiale P/f’cAg può

rappresentarsi con buona approssimazione

mediante una legge di tipo lineare:

's

c g

Pm A B

f A

(5)

dove m è dato dal rapporto fy/0,85f’c; A e B

sono due coefficienti funzione della percentuale

meccanica dell’armatura longitudinale tm e della

duttilità di curvatura u/y.

Sulla base dei primi risultati ottenuti, per il

coefficiente A (figura 8 e 9) e B (figura 10)

vengono proposte le seguenti relazioni:

tA m (6)

0,003 0,0042u

y

B

(7)

dove

2

0,0028 0,0753 0,3373u u

y y

(6’)

2

0,001 0,0376 0,4378u u

y y

(6’’)

Figura 6. Rette di regressione di sm per a) tm = 0,1; b) tm = 0,2; c) tm = 0,3; e d) tm = 0,4 ottenute per una duttilità di curvatura u/y=5

Figura 7. Rette di regressione di sm per a) tm = 0,1; b) tm = 0,2; c) tm = 0,3; e d) tm = 0,4 ottenute per una duttilità di curvatura u/y=20

Figura 8. Rette di regressione del coefficiente A per i diversi livelli di duttilità di curvatura considerati

Figura 9. Determinazione dei coefficienti e di A [eq. (6)]

Figura 10. Determinazione del coefficiente B dell’eq. (5) (valore medio per ciascun livello di duttilità u/y considerato)

L’eq. (5) rappresenta una prima formulazione

dell’equazione di progetto dell’armatura

trasversale per sezioni quadrate con staffa

semplice portando in conto l’effetto del

confinamento con il modello analitico BGL. Essa

può riscriversi nella forma:

'

'0,425sh c

y c g

A f PA B

bs f f A

(7)

dove Ash è l’area trasversale complessiva di

confinamento (pari a 2Ah dove Ah è l’area della

staffa impiegata); s è il passo e b è la distanza tra

i bracci dell’armatura trasversale (riferiti all’asse

baricentrico della staffa).

4 CONFRONTI

In figura 11 e 13 si riportano i confronti tra il

diametro armatura trasversale richiesto dall’EC8

e delle NZS3101 con quanto invece ricavato con

l’equazione di progetto proposta per tre differenti

valori della duttilità di curvatura: 10, 16 e 20. Per

poter meglio comparare gli effetti delle

prescrizioni di norma, nei confronti effettuati, non

si è tenuto conto della percentuale meccanica

minima di armatura trasversale richiesta nelle

zone critiche dall’EC8. In figura 12 e 14, invece, i

risultati vengono confrontati con riferimento alle

classi di duttilità alta e bassa stabilite dalle

normative analizzate. La sezione in esame è

quadrata di lato 500 mm, con un passo di

armatura trasversale pari a 50 mm e 100 mm, ed è

rinforzata complessivamente con 820 distribuiti

uniformemente lungo il perimetro del nucleo

confinato della sezione. La percentuale di carico

assiale investigata è compresa tra 0,1 e 0,8. Il

valore 0,1 rappresenta il limite al di sopra del

quale l’elemento strutturale è classificato come

colonna secondo l’EC8. Il limite 0,8, invece, è un

valore ben al di sopra del limite consentito tanto

per l’EC8 quanto per le NTC-08 nelle zone

critiche dei pilastri. Come precedentemente

ricordato tale limite è pari al 55% ed al 65% del

carico di rottura per strutture intelaiate progettate,

rispettivamente, in alta e bassa duttilità.

I confronti effettuati mostrano che,

relativamente ai casi esaminati, l’EC8 fornisce

quantitativi di armatura trasversale maggiori

rispetto alle altre relazioni esaminate e che tali

differenze crescono al crescere sia del passo

staffe sia della duttilità di curvatura richiesta.

Figura 11. Confronti tra i diversi diametri di armatura trasversale ottenuti con riferimento ad un passo staffa s=50 mm ed a tre differenti livelli di duttilità di curvatura: a) 10, b) 16 e c) 20.

Figura 12. Confronto tra il diametro di armatura richiesto dall’EC8 e dalle NZS3101 con quanto ottenuto con l’equazione di progetto proposta per l’alta e la bassa classe di duttilità (passo staffa s=50 mm)

Figura 13. Confronti tra i diversi diametri di armatura trasversale ottenuti con riferimento ad un passo staffa s=100 mm ed a tre differenti livelli di duttilità di curvatura: a) 10, b) 16 e c) 20.

Figura 14. Confronto tra il diametro di armatura richiesto dall’EC8 e dalle NZS3101 con quanto ottenuto con l’equazione di progetto proposta per l’alta e la bassa classe di duttilità (passo staffa s=100 mm)

5 CONCLUSIONI

Nella presente memoria è stata proposta una

prima formulazione dell’equazione di progetto

per le sezioni in c.a. con riferimento alla tipologia

di sezioni quadrate con staffa semplice portando

in conto gli effetti del confinamento con il

modello analitico BGL (Braga et al. 2006).

Le analisi effettuate potranno estendersi anche

al caso di sezioni con legature multiple e/o

rettangolari in presso-flessione deviata. Inoltre,

potranno eseguirsi anche analisi cicliche

momento-curvatura che consentiranno di valutare

l’influenza del degrado sulla risposta ciclica della

sezione.

Il lavoro presentato rappresenta un primo

contributo alla valutazione della duttilità

disponibile delle sezioni di edifici esistenti in c.a..

Esso dovrà completarsi effettuando analisi

parametriche rimuovendo l’ipotesi di perfetta

aderenza tra le barre longitudinali ed il

calcestruzzo (Braga et al. 2009b) con l’aggiunta

di eventuali rinforzi esterni per la progettazione

dell’intervento locale.

A partire dal presente lavoro, infine, potrà

formularsi un approccio progettuale unitario delle

sezioni in c.a. che porti opportunamente in conto

gli effetti del confinamento e degli scorrimenti

nelle zone critiche degli elementi presso-inflessi.

Noto il quantitativo di armatura trasversale

richiesto, potranno impiegarsi nei diversi stati

limite gli stress-blocks del calcestruzzo confinato

(Braga et al. 2007) per il calcolo della resistenza

della sezione, ricavando in modo più accurato le

sollecitazioni di progetto derivanti dalla gerarchia

delle resistenze.

RINGRAZIAMENTI

Si ringrazia lo studente Michele Vito

Casamassima per le analisi eseguite con

OpenSees durante la propria tesi di laurea.

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