Prof.ssa A. Sia

EQUAZIONI E DISEQUAZIONIEQUAZIONI E DISEQUAZIONI

CON I VALORI ASSOLUTICON I VALORI ASSOLUTI

Prof.ssa A. Sia

Data una qualsiasi espressione algebrica A(x) il suo valore assoluto che si indica con |A(x)| dipende dal segno di A(x):segno di A(x):

A(x) se A(x)>=0|A(x)|=

- A(x) se A(x) <0

Infatti se consideriamo A(x)= x otteniamo che: x se x>=0|x| =

-x se x<0

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cosa succede se dobbiamo risolvere delle equazioni in cui una o più espressioni contenenti l’incognita compaiono in valore assoluto?

Per risolvere queste equazioni è necessario studiare prima di tutto il segno di ciascuna espressione in cui compare il valore assoluto i valori che si possono attribuire all’incognita restano divisi in intervalli, in base al valore assoluto, e l’equazione data assume “forma diversa” nei suddetti intervalli!!

Prof.ssa A. Sia

Esempio equazione con valore assoluto:studiamo l’espressione con il v.a. |x-1|=4-2xQuando |x-1|>=0 ossia x>=1 il valore assoluto vale x-1quando |x-1|<0 ossia x<1 il valore assoluto vale -x+1quindi |x-1| assume valori diversi nei due intervalli 1

-x+1 x-1e di conseguenza anche l’equazione assume “forme diverse” in ciascuno di questi intervalli:Quando x>=1 l’equazione diventax - 1 = 4 - 2xquando x<1 l’equazione diventa- x + 1 = 4 - 2x

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Perciò risolvere l’equazione con il valore assoluto |x-1|=4-2xvuol dire risolvere due sistemi, contenenti le “forme diverse” dell’equazione negli intervalli determinati dal v.a.

e la soluzione finale si ottiene unendo le soluzioni dei due sistemi

xx

x

241

1

xx

x

241

1

Prof.ssa A. Sia

E se i valori assoluti nell’equazione sono due oppure più di due?Niente paura.. il ragionamento da seguire non cambia!! Si studiano i singoli v.a., si ricavano le “forme diverse” di equazioni e si ricavano i sistemi da risolvere!! Occhio, però, i sistemi da risolvere aumentano! L’unione di tutte le soluzioni dei sistemi determinerà la soluzione finale!

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032 xxEsempio:Esempio:

Studiamo il primo valore assoluto: |x| >=0 ; Studiamo il primo valore assoluto: |x| >=0 ; x>0x>0

Studiamo il secondo v.a. |x+3|>0 x>-3Studiamo il secondo v.a. |x+3|>0 x>-3

Costruiamo il grafico per determinare gli Costruiamo il grafico per determinare gli intervalliintervalli

-3 0-3 0 |x||x|

|x+3||x+3|

0)3(2

3

xx

x

0)3(2

03

xx

x

0)3(2

0

xx

x

Adesso dobbiamo risolvere i tre sistemi la Adesso dobbiamo risolvere i tre sistemi la soluzione è: S= S1 U S2 U S3soluzione è: S= S1 U S2 U S3

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cosa succede se dobbiamo risolvere delle disequazioni in cui una o più espressioni contenenti l’incognita compaiono in valore assoluto?

Per risolvere queste disequazioni è necessario studiare prima di tutto il segno di ciascuna espressione in cui compare il valore assoluto i valori che si possono attribuire all’incognita restano divisi in intervalli, in base al valore assoluto, e l’equazione data assume “forma diversa” nei suddetti intervalli

Prof.ssa A. Sia

Esempio disequazione con valore assoluto:studiamo l’espressione con il v.a. |x-1|>4-2xQuando |x-1|>=0 ossia x>=1 il valore assoluto vale x-1quando |x-1|<0 ossia x<1 il valore assoluto vale -x+1quindi |x-1| assume valori diversi nei due intervalli 1

-x+1 x-1e di conseguenza anche l’equazione assume “forme diverse” in ciascuno di questi intervalli:Quando x>=1 l’equazione diventax - 1 > 4 - 2xquando x<1 l’equazione diventa- x + 1 > 4 - 2x

Prof.ssa A. Sia

Perciò risolvere l’equazione con il valore assoluto |x-1|>4-2xvuol dire risolvere due sistemi, contenenti le “forme diverse” dell’equazione negli intervalli determinati dal v.a.

e la soluzione finale si ottiene unendo le soluzioni dei due sistemi

xx

x

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1

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x

241

1

Prof.ssa A. Sia

e se i valori assoluti nella disequazione e se i valori assoluti nella disequazione sono due oppure più di due?sono due oppure più di due?Niente paura.. il ragionamento da Niente paura.. il ragionamento da seguire non cambia!! Si studiano i seguire non cambia!! Si studiano i singoli v.a., si ricavano le “forme singoli v.a., si ricavano le “forme diverse” di equazioni e si ricavano i diverse” di equazioni e si ricavano i sistemi da risolvere!! sistemi da risolvere!! Occhio, però, i sistemi da risolvere Occhio, però, i sistemi da risolvere aumentano! L’unione di tutte le aumentano! L’unione di tutte le soluzioni dei sistemi determinerà la soluzioni dei sistemi determinerà la soluzione finale!soluzione finale!

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032 xxEsempio:Esempio:

Studiamo il primo valore assoluto: |x| >=0 ; Studiamo il primo valore assoluto: |x| >=0 ; x>0x>0

Studiamo il secondo v.a. |x+3|>0 x>-3Studiamo il secondo v.a. |x+3|>0 x>-3

Costruiamo il grafico per determinare gli Costruiamo il grafico per determinare gli intervalliintervalli

-3 0-3 0 |x||x|

|x+3||x+3|

0)3(2

3

xx

x

0)3(2

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xx

x

0)3(2

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xx

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Adesso dobbiamo risolvere i tre sistemi la Adesso dobbiamo risolvere i tre sistemi la soluzione è: S= S1 U S2 U S3soluzione è: S= S1 U S2 U S3