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Integral Dupla
Aula 06 – Cálculo Vetorial
Professor: Éwerton Veríssimo
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Integral Dupla
• Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.
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Calculando Integrais Duplas
Exemplo 01: Calcular a integral dupla
Exemplo 02: Calcular a integral dupla
3
0
2
0
²4 dydxy
0
1
1
1
1 dxdyyx
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Calculando Integrais Duplas
Exemplo 03: Calcular a integral dupla
Exemplo 04: Calcular a integral dupla
3
0
0
2
2² dydxxyyx
0 0
x
xsenydydx
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Calculando Integrais Duplas
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Calculando Integrais Duplas
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Integral Dupla
• Definição
Considere uma função
z=f(x,y) definida em uma
região fechada e limitada R
do plano xy.
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Interpretação Geométrica
Traçando retas paralelas a x e y, subdivimos o domínio em
pequenos retângulos, que se considerados apenas
aqueles que estão totalmente contidos na região, teremos
a Soma de Riemann sobre R:
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Interpretação Geométrica
Se o limite existe, a integral dupla da função f(x,y)
sobre a região R será representada por:
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Interpretação Geométrica
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Interpretação Geométrica
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Integral Dupla - Propriedades
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Teorema de FubiniSe f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral
dupla é igual a integral iterada.
a b
x
y
c
d
b
a
d
c
d
c
b
aR
dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(
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Integral Dupla
• Integração em Regiões Não-Retangulares
b
a
xg
xg
dxdyyxfV
)(2
)(1
]),([
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Integral Dupla
• Integração em Regiões Não-Retangulares
d
c
yh
yh
dydxyxfV
)(2
)(1
]),([
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Exemplos
Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas
y = 2x2 e y = 1 + x2.
D
dA)y2x(
dxdyyxx
x
1
1
1
2
2
2 )2(
dxyxyxy
xy
2
2
1
2
1
1
2
dxxxxxx
1
1
43222 42)1()1(
dxxxxx
1
1
234 123
1
1232
453
345
x
xxxx
15
32
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ExemplosCalcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1
e pela parábola y2 = 2x + 6.
D
xydA
212
212
4 1
2 3
124
23
42 2 21 1
2 22
54
3 212 2
46 34 21
2
2
2
( 1) ( 3)
4 2 84
2 4 3624 3
y
yD
x y
x y
xydA xy dx dy
xy dy
y y y dy
yy y y dy
y yy y
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Integral Dupla - Aplicações
• Cálculo de Área
Considere f(x,y)=1, a integral dupla sobre uma região R se
resume a área de uma região plana fechada e limitada,
sendo denotada por:
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Integral Dupla - Aplicações
• Cálculo de Volume
Para f (x, y) 0, a integral
nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo
gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e
lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.
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Exercício
1. Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x² e y=x+2.
2. Esboçe e determine a área da região R representada pela integral
6
0
2
3²
y
y
dxdy
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Exercício
3. Encontre o volume do sólido retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=1 e y=1-z.
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Integral Dupla – Mudança de Variável
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Integral Dupla – Mudança de Variável
• Coordenadas Polares
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Integral Dupla – Mudança de Variável
• Coordenadas Polares
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Integral Dupla – Coordenadas Polares
• Converter Integrais Cartesianas para Integrais Polares
R G
rdrdrsenrfdxdyyxf ),cos(),(
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Exercício
4. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente. Então calcule a integral polar.
a.
b.
c.
d.
1
1
²1
0
x
dydx
1
1
²1
²1
x
x
dydx
2
0
²4
0
²²
y
dxdyyx
1
1
²1
²1
²²
y
y
dydxyx
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Integral Tripla
Aula 07 – Cálculo Integral
Professor: Éwerton Veríssimo
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Integral Tripla - Definição
w = f(x,y,z)
Variável dependente
Variáveis independentes
- Domínio em R3
- Imagem em R4 (hiper-espaço)
Características
de f(x,y,z)
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Integral Tripla - Definição
Particionando uma região paralepipedal
que contém D em pequenos
paralelepípedos. Numeramos os pequenos
paralelépípedos de 1 até n em alguma
ordem. Escolhendo um ponto em cada um
deles, formamos a soma:
n
k
kkkkn vzyxfS1
).,,(
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Integral Tripla - Definição
Tomando o limite quando n tende ao um número
infinitamente grande e positivo, tem-se a integral tripla:
D
nnT dzdydxzyxfSI ..).,,(lim
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Propriedades
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Integral Tripla - Volume
DdVV
Se F é uma função constante cujo valor é 1, então a
Soma de Riemman se reduz a:
n
k
kn vS1
D
nnT dzdydxzyxfSI ..).,,(lim
À medida em que as dimensões dos paralelepípedos se
aproximam de 0, tornam-se mais numerosos os
paralelepípedos no sólido. Dessa forma, o volume de D
pode ser expresso como a integral tripla.
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Integral Tripla – Cálculo deVolume
DdVV
1
0
2
0
1
0
..
y
dydxdzV1
z = 1 - y
y
x
z
2
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Exercício
1. Resolva as integrais triplas.
a.
b. 3
0
²9
0
²9
0
x x
dydxdz
1
0
1
0
1
0
²)²²( dydxdzzyx
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Exercício
2. Determine o volume do tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano que passa pelos pontos (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).
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Integral Tripla – Mudança de Variáveis
• Coordenadas Cilíndricas
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Integral Tripla – Mudança de Variáveis • Converter Integrais Cartesianas para Integrais
Cilíndricas
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Integral Tripla – Mudança de Variáveis• Coordenadas Esféricas
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Integral Tripla – Mudança de Variáveis
• Converter Integrais Cartesianas para Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas.
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Integral Tripla – Mudança de Variáveis
• Determinante Jacobiano
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Integral Tripla – Mudança de Variáveis
• Jacobiano – Coordenadas Cilindricas
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Integral Tripla – Mudança de Variáveis
• Jacobiano – Coordenadas Esféricas
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Exercício
3. Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas.
a.
b.
2
0
1
0
²2
rdrddz
r
r
2
0
1
0
21
21
²² rdrddzzsenr
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Exercício
4. Calcule as integrais em coordenadas esféricas.
a.
b.
2
0
4
0
2
0
²cos dddpsen
2
0
0 2
4
3 2
dpddsen
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Exercício
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Campos Vetoriais e Integral de Linha
Aula 08 – Cálculo Vetorial
Professor: Éwerton Veríssimo
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Campo Vetorial
• Representação no Plano:
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Campo Vetorial
• Representação no Espaço
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Campo Vetorial
• Quando observamos um escoamento de água e dizemos que cada partícula possui uma velocidade, estamos definindo um campo vetorial.
Exemplos : Campo de Velocidade, Campo Gravitacional, Campo Elétrico, Campo Magnético.
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Campo Escalar - Exemplo
• Mapa de Temperatura
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Campo Vetorial - Exemplos
• Velocidade dos Ventos
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Campo Vetorial - Exemplos
• Velocidade dos Ventos
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Operador Nabla
• O operador ∇(nabla) é um operador vetorial diferencial, o qual é definido como:
• Este operador não tem significado físico nem geométrico.
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Operador Nabla
• É muito útil na definição de três grandezas que aparecem nas aplicações práticas e conhecidas por gradiente, divergência e rotacional.
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Gradiente
• Aplicado sobre uma campo escalar f, define umcampo vetorial chamado de Gradiente de f, .
• Por exemplo, o gradiente do potencial elétrico éo campo elétrico.
• No cálculo vetorial, o gradiente é a alteração novalor de uma quantidade por unidade de espaço.
f
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Gradiente
• O gradiente da função f, ∇f, ou grad f, é um vetor definido por:
• O ∇f é um vetor que dá como resultado a máxima variação da função escalar e a direção em que esta máxima variação acontece.
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Divergente
• O produto escalar do operador nabla com uma função vetorial V, define um escalar chamado de Divergente de V, V
Ou Ainda:
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Divergente
• Dessa forma a função V (x,y,z) = V1i + V2j + V3kdeve ser definida e derivável em todos ospontos (x, y, z) numa da região do espaço (istoé, V define um campo vetorial derivável).
• A divergência de um campo vetorial, dá como resultado o fluxo líquido (fluxo que sai – fluxo que entra) por unidade de volume.
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Rotacional
• Se V (x,y,z) = V1i + V2j + V3k é um campo vetorial derivável, o rotacional de V, ∇xV, é definido por:
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Rotacional
• O rotacional de um campo vetorial é, também, um campo vetorial, ou seja a cada ponto do espaço onde definimos o rotacional será dado por um vetor.
• O rotacional de um campo vetorial dá como resultado um vetor cujos componentes x, y e z dão a circulação desse campo vetorial por unidade de área respectivamente nos planos normais a esses componentes.
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Exercício
1. Dado o campo vetorial , calcule :
jeixyxf xy42),(
fdiv
a.
b.
c.
jxixsenyxf cos2²),(
kzyjxyziyxyxf 222 32),(
f
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Exercício
2. Encontrar o rotacional do campo vetorial dado.
a.
b.
yzxzyzxzyxf
3,,42),,(
²²,²,),,( zyxzyxf
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Integral de Linha
• Generalização simples da integral definida na qual os limites do intervalo [a,b] são substituídos por uma curva ou caminho entre esses limites e a função integrada é um campo escalar ou vetorial definido e limitado a essa curva.
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Integral de Linha
• Interpretação Geométrica
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Integral de Linha
• Interpretação Geométrica
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Integral de Linha de CampoEscalar
• Considere f uma função definida sobre uma curva lisa C no plano, onde:
• Caso exista o limite, a integral de linha de f sobre a curva C será:
);(txx );(tyy bta
C
kkkn
dsyxfsyxfiml ),().,(
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Integral de Linha
• Aditividade
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Integral de Linha de Campo Escalar
• Cálculo de uma Integral de Linha
– Passo 1: Encontre uma parametrização para curva.
– Passo 2: Calcule a integral como:
,)()()()( ktzjtyitxtr
b
aC
dtdt
dz
dt
dy
dt
dxtztytxfdszyxf
222
))(),(),((),,(
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Exercício
3. Calcule , onde C é o segmento de reta x=t, y=1-t, z=0, de (0,1,0) a (1,0,0).
4. Calcule ao longo da curva
r(t)=2ti+tj+(2-2t)k, .
C
dsyx )(
C
dszyxy )(
10 t
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Integral de Linha de CamposVetoriais
• Trabalho realizado por um campo de forças ao Longo de uma curva
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Integral de Linha de CamposVetoriais
• Trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva
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Circulação e Escoamento
• Integrais de escoamento e circulação para campos de velocidade.
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Fluxo através de uma curvaplana
Definição: Seja C uma curva lisa e fechada no domínio de
um campo vetorial contínuo F=M(x,y)i+N(x,y)j no plano e
se n for o versor normal exterior de C, o fluxo de f através
de C é:
CC
NdxMdyndsF.Fluxo de F através de C =
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Exercício
5. Encontre o trabalho realizado por F=3yi+2xj+4zk sobre o segmento de reta C: r(t)=ti+tj+tk, .
6. Encontre o escoamento do campo de velocidade F=(x+y)i-(x²+y²)j ao longo do segmento de reta de (1,0) até (-1,0).
7. Determine a circulação e o fluxo do campo F=xi+yj ao redor e através da circunferência r(t)=(cost)i+(sent)j,
10 t
20 t
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Campo Conservativo e Função Potencial
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Independência do Caminho
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Campo Conservativo
• Teste de verificação de um campo conservativo
Seja F=Mi+Nj+Pk um campo vetorial cujas componentes
tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas.
Então, F é conservativo se e somente se:
,z
N
y
P
,
x
P
z
M
y
M
x
N
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Teorema de Green e Teorema da Divergência
Aula 09 – Cálculo Vetorial
Professor: Éwerton Veríssimo
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Teorema de Green - Introdução
• Estabelece uma relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva C fechada, e uma integral dupla sobre a região D.
• O teorema de green é uma ferramenta muito útil no cálculo de áreas de figuras planas fechadas.
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Teorema de Green – Fluxo Divergência ou forma normal
O fluxo exterior de um campo F=Mi+Nj através de
uma curva fechada simples C é igual a integral
dupla de divF sobre a região R limitada por C.
RCC
dxdyy
N
x
MNdxMdydsnF.
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Teorema de Green: circulação-rotacional ou forma tangencial
A circulação no sentido anti-horário de um campo
F=Mi+Nj em torno de uma curva fechada simples
C no plano é igual a integral dupla de (rotF).k
sobre a região R limitada por C
RCC
dxdyy
M
x
NNdyMdxdsTF.
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Teorema de Green – Cálculo deÁrea
• Cálculo de Área
Se uma curva fechada simples C no plano e a região R
que ela engloba satisfazem as hipóteses do teorema
de Green, a área de R é dada por:
C
ydxxdyA2
1
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Exercício
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Exercício
3. Encontre a circulação no sentido anti-horário e o fluxo exterior do campo F=xyi+y²j ao redor e através da fronteira da região limitada pelas curvas y=x² e y=x no primeiro quadrante.
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Teorema da Divergência
O fluxo de um campo vetorial F através de uma
superfície S fechada e orientada, no sentido do
campo n de versores normais exteriores da
superfície, é igual a integral de sobre a região
limitada D limitada pela superfície:F.
S D
FdVndF ..
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Exercício
4. Encontre o fluxo de F=xyi+yzj+xzk para fora através da superfície do cubo cortado do primeiro octante pelos planos x=1, y=1, z=1.