UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Por:

apa1674@hotmail.com

INTRODUCCIÓN

Un modelo matemático, es una traducción de la realidad de un sistema

natural, en términos matemático.

Una vez planteado el problema natural mediante un modelo matemático,

podemos aplicar el álgebra, el cálculo y otras herramientas

matemáticas para resolver el problema y posteriormente analizar el

comportamiento del sistema que se estudia. Esto lo plantearemos en el

siguiente diagrama:

Fenómeno natural

Modelo matemático

Solución del modelo

Predicciones

cualitativas y

cuantitativas del

sistema

Análisis del

comportamiento del

sistema

Un procedimiento adecuado en la resolución de un problema natural

debe estar sustentado en el entendimiento y modelado del

problema.

Luego resulta indispensable la correcta formulación del problema

natural y las condiciones complementarias que señalaremos

posteriormente.

En este trabajo pretendemos establecer las condiciones necesarias para

que un problema natural esté planteado correctamente.

Un problema de contorno está estructurado por el modelo

matemático que rige el fenómeno natural, las condiciones iniciales y las

condiciones de frontera o de borde.

Problema de contorno

Modelo matemático

Condiciones

iniciales

Condiciones

de frontera

Partiremos del supuesto de que «todo fenómeno no autónomo, debe

caracterizarse mediante funciones que dependan en forma

continua de los valores iniciales.»

De lo contrario, el fenómeno no se puede considerar bien determinado por

las condiciones iniciales.

Si la solución de un problema matemático cumple con el supuesto

anterior, entonces diremos que «el problema es estable.»

Diremos que un problema matemático está correctamente planteado si:

Existe la solución del problema.

La solución del problema es única.

La solución del problema es estable.

Si el modelo matemático son sistemas de ecuaciones diferenciales

ordinarias, entonces la existencia y unicidad quedan resueltas

satisfactoriamente mediante el uso del Teorema de Picard – Lindelöf.

Primero nos plantearemos el Problema de Cauchy (PC), que establece

lo siguiente: Dado el problema de valor inicial

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑦 𝑥0 = 𝑦0

PC 𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝒟𝑓

Una función diferenciable 𝜙 ∃ → (PC) si:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝜙 𝑥 .

𝜙 𝑥0 = 𝑦0.

Teorema: Sea 𝑓: → ℝ𝑛, ⊆ ℝ × ℝ𝑛

i) 𝑓 continua.

ii) 𝑓 localmente Lipschitziana respecto a 𝑥. Entonces, dado

𝑥0, 𝑦0 ∈ podemos encontrar un cerrado

𝐼𝛼 = 𝑥0 − 𝛼, 𝑥0 + 𝛼 ⊂ ℝ donde existe solución única de (PC)

Este teorema garantiza la existencia y unicidad local de la solución de una

ecuación diferencial ordinaria dentro del intervalo 𝐼𝛼 .

Es importante señalar que la condición (i) de continuidad de 𝑓 únicamente

asegura la existencia de soluciones.

Para garantizar la unicidad de las soluciones, es necesaria la condición de

que 𝑓 sea Lipschitziana.

Es importante señalar que para las ecuaciones diferenciales parciales, el

problema de existencia y unicidad no ha sido resuelto completamente,

aunque el Teorema de Cauchy – Kovalevskaya establece que una ecuación

diferencial parcial (EDP) analítica en la función incógnita y sus derivadas,

tiene una solución analítica única.

Más adelante, presentaremos ejemplos de EDP cuya solución existe y es

única pero su comportamiento o propiedades son inaceptables, es decir,

que el problema es inestable.

La solución 𝑢(𝑥, 𝑡) de una EDP es estable si:

∃ 𝛿 휀, 𝑡0 > 0: 𝑢1 𝑥, 𝑡 − 𝑢2 𝑥, 𝑡 < 휀

siempre que:

𝑖) 𝜑1 𝑥 − 𝜑2(𝑥) < 𝛿

𝑖𝑖) Ψ1 𝑥 − Ψ2 < 𝛿 ∀ 𝑡 ∈ [0, 𝑡0]

∀ 휀 > 0

Esto quiere decir que para cualquier intervalo de tiempo [0, 𝑡0] y

cualquier grado de exactitud , existe un 𝛿(휀, 𝑡0) tal que dos soluciones

cualesquiera de una EDP 𝑢1(𝑥, 𝑡) y 𝑢2(𝑥, 𝑡) se diferenciarán durante el

intervalo de tiempo en menos que , siempre que los valores iniciales

𝑢1 𝑥, 0 = 𝜑1(𝑥)

𝜕𝑢1

𝜕𝑡 𝑡=0

= Ψ1(𝑥)

𝑢2 𝑥, 0 = 𝜑2(𝑥)

𝜕𝑢2

𝜕𝑡 𝑡=0

= Ψ2(𝑥)

se diferencian en menos que .

Con el propósito de dilucidar cuándo un problema está o no

correctamente planteado, veremos ejemplos de casos muy conocidos.

(Pc)

Ejemplo 01: Demuestre que el problema de contorno dado está

correctamente planteado.

Solución:

La solución del problema de contorno viene dada por la fórmula de

D’Alambert

𝑢 𝑥, 𝑡 =1

2𝜑 𝑥 + 𝑐𝑡 + 𝜑(𝑥 − 𝑐𝑡) +

1

2𝑐 Ψ 𝜉 𝑑𝜉

𝑥+𝑐𝑡

𝑥−𝑐𝑡

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 − 𝑐2𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 = 0; 𝑢 𝑥, 0 = 𝜑(𝑥); 𝜕𝑢

𝜕𝑡 𝑡=0

= Ψ(𝑥) (Pc)

Mediante las transformaciones 𝑣 = 𝑥 + 𝑐𝑡, 𝑧 = 𝑥 − 𝑐𝑡 la función 𝑢 se

transforma en una función de 𝑣 y 𝑧, es decir, 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑢 𝑣, 𝑧 . Luego

aplicando la regla de la cadena se tiene que

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝜕𝑢

𝜕𝑣∙𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑧∙𝜕𝑧

𝜕𝑥=

𝜕𝑢

𝜕𝑣+

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 =𝜕

𝜕𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑣+

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕𝑣

𝜕𝑥+

𝜕

𝜕𝑧

𝜕𝑢

𝜕𝑣+

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 =𝜕2𝑢

𝜕𝑣2 + 2𝜕2𝑢

𝜕𝑣𝜕𝑧+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2 (1)

De igual manera

𝜕𝑢

𝜕𝑡=

𝜕𝑢

𝜕𝑣∙𝜕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑢

𝜕𝑧∙𝜕𝑧

𝜕𝑡

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑐

𝜕𝑢

𝜕𝑣−

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 = 𝑐𝜕

𝜕𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑣−

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑧

𝜕𝑢

𝜕𝑣−

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕𝑧

𝜕𝑡

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 𝑐2

𝜕2𝑢

𝜕𝑣2− 2

𝜕2𝑢

𝜕𝑣𝜕𝑧+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2 (2)

Sustituyendo (1) y (2) en la EDP de (Pc), se tiene:

𝜕2𝑢

𝜕𝑣𝜕𝑧= 0

Integrando parcialmente respecto a 𝑧 se tiene

𝜕𝑢

𝜕𝑣= ℎ(𝑣) de donde

𝑢 𝑣, 𝑧 = ℎ 𝑣 𝜕𝑣 + 𝑓2(𝑧)= 𝑓1 𝑣 + 𝑓2 𝑧

𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑓1 𝑥 + 𝑐𝑡 + 𝑓2(𝑥 − 𝑐𝑡)

𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑓1 𝑥 + 𝑐𝑡 + 𝑓2(𝑥 − 𝑐𝑡) (3)

Por consiguiente

de donde

Determinemos las funciones 𝑓1 y 𝑓2 tales que se cumplan las condiciones

iniciales:

𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 = 𝜑 𝑥 (𝟒𝒂)

𝜕𝑢

𝜕𝑡 𝑡=0

= 𝑐 𝑓1′ 𝑥 − 𝑐 𝑓2

′ 𝑥 = Ψ 𝑥 (𝟒𝒃)

Integrando (4b) se tiene

𝑓1 𝑥 − 𝑓2 𝑥 =1

𝑐 Ψ 𝜉 𝑑𝜉 + 𝐾

𝑥

𝑥0

Luego obtenemos el sistema

𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 = 𝜑(𝑥)

𝑓1 𝑥 − 𝑓2 𝑥 =1

2𝑐 Ψ 𝜉 𝑑𝜉 + 𝐾

𝑥

𝑥0

𝑓1 𝑥 =1

2𝜑 𝑥 +

1

2𝑐 Ψ 𝜉 𝑑𝜉 +

𝐾

2

𝑥

𝑥0

Podemos comprobar con relativa facilidad que la fórmula de D’Alambert

satisface el problema de contorno bajo la hipótesis de que ∈ 𝑐2 −∞, +∞

y Ψ ∈ 𝑐′(−∞, +∞).

𝑓2 𝑥 =1

2𝜑 𝑥 −

1

2𝑐 Ψ 𝜉 𝑑𝜉 −

𝐾

2

𝑥

𝑥0

Sustituyendo en (3) se tiene

𝑢 𝑥, 𝑡 =1

2𝜑 𝑥 + 𝑐𝑡 +

1

2𝑐 Ψ 𝜉 𝑑𝜉 +

𝐾

2+

𝑥+𝑐𝑡

𝑥0

1

2𝜑 𝑥 − 𝑐𝑡 −

1

2𝑐 Ψ 𝜉 𝑑𝜉 −

𝐾

2

𝑥−𝑐𝑡

𝑥0

𝑢 𝑥, 𝑡 =𝜑 𝑥 + 𝑐𝑡 + 𝜑 𝑥 − 𝑐𝑡

2+

1

2𝑐 Ψ 𝜉 𝑑𝜉

𝑥+𝑐𝑡

𝑥0

− Ψ 𝜉 𝑑𝜉

𝑥−𝑐𝑡

𝑥0

𝑢 𝑥, 𝑡 =𝜑 𝑥 + 𝑐𝑡 + 𝜑 𝑥 − 𝑐𝑡

2+

1

2𝑐 Ψ 𝜉 𝑑𝜉

𝑥+𝑐𝑡

𝑥−𝑐𝑡

Podemos demostrar la unicidad de la solución, teniendo presente que si

existiera una segunda solución del problema ésta sería exactamente la

fórmula de D’Alambert.

Analicemos ahora la estabilidad de la solución, es decir, investiguemos si

la solución varía en forma continua conforme las condiciones iniciales

varían en forma continua. En efecto, sean 𝑢1(𝑥, 𝑡) y 𝑢2(𝑥, 𝑡)tales que

Entonces

𝑢1 𝑥, 𝑡 − 𝑢2(𝑥, 𝑡) ≤1

2φ1 𝑥 + 𝑐𝑡 − φ2 𝑥 + 𝑐𝑡 +

+1

2φ1 𝑥 − 𝑐𝑡 − φ2 𝑥 − 𝑐𝑡 +

1

2𝑐 Ψ1 𝜉 − Ψ2 𝜉 𝑑𝜉

𝑥+𝑐𝑡

𝑥−𝑐𝑡

de donde se obtiene que

𝑢1 𝑥, 𝑡 − 𝑢2(𝑥, 𝑡) ≤𝛿

2+

𝛿

2+

1

2𝑐(2δ𝑐𝑡0)

≤ 𝛿 + 𝛿𝑡0

≤ 𝛿(1 + 𝑡0)

𝑢1 𝑥, 𝑡 ∃ (𝑃𝑐) 𝑢2 𝑥, 𝑡 ∃ (𝑃𝑐)

Luego

𝑢1 𝑥, 𝑡 − 𝑢2(𝑥, 𝑡) ≤ 휀 siempre que 𝛿 =휀

1 + 𝑡0

En consecuencia, el problema de contorno (Pc) está planteado

correctamente.

Ejemplo 02: Demuestre que el problema de contorno dado está formulado

incorrectamente.

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑦2 = 0; 𝑢1 𝑥, 0 = 𝜑1 𝑥 = 0;

𝜕𝑢1

𝜕𝑦 𝑦=0

= Ψ1 = 0;

Solución:

𝑢2 𝑥, 0 = 𝜑2 𝑥 =sin 𝑛𝑥

𝑛; 𝑛 ∈ ℤ

𝜕𝑢2

𝜕𝑦 𝑦=0

= Ψ2 = 0; (Pc)

Podemos demostrar que:

𝑢1 𝑥, 𝑡 ≡ 0 ∃ (𝑃𝑐); 𝑢2 𝑥, 𝑡 =sin 𝑛𝑥 ∙ (𝑐ℎ𝑛𝑦)

𝑛 ∃ (𝑃𝑐)

𝑢1 𝑥, 𝑡 − 𝑢2(𝑥, 𝑡) = 0 −sin 𝑛𝑥 ∙ (𝑐ℎ𝑛𝑦)

𝑛

0 −sin 𝑛𝑥 ∙ (𝑐ℎ𝑛𝑦)

𝑛 𝑛→∞∞ 𝑦 fijo

mientras que

Ψ1 − Ψ2 = 0 −sin 𝑛𝑥

𝑛 𝑛→∞0

Luego la situación no varía en forma continua conforme a las

condiciones iniciales. En consecuencia, el problema de contorno está

mal propuesto.

Estos problemas mal definidos, no son en general satisfactorios para

aplicaciones física.

Muchas gracias…