Prof.dr Dragan Milutinović • Industrijski roboti • Predavanja

Prof.dr Dragan Milutinovi Industrijski roboti Predavanja

Strana 1.

1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA INDUSTRIJSKE ROBOTE ............................................. 5 ROBOTI I ROBOTIKA ..................................................................................................................... 5 FUNKCIONALNA STRUKTURA, KLASIFIKACIJA I TEHNIKE KARAKTERISTIKE INDUSTRIJSKIH ROBOTA.................................................................................................................................................. 6 1.2.1 Funkcionalna struktura industrijskog robota ...................................................................... 6 1.2.1.1 Mehaniki sistem .............................................................................................................. 6 1.2.1.2 End efektori ....................................................................................................................... 7 1.2.1.3 Upravljaki sistem ............................................................................................................ 7 1.2.1.4 Pogonski sistem ................................................................................................................ 7 1.2.1.5 Merni sistem...................................................................................................................... 7 1.2.1.6 Senzorski sistem................................................................................................................ 7 1.2.2 Klasifikacija robota .............................................................................................................. 7 1.2.3 Tehnike karakteristike IR .................................................................................................... 8 1.3 MEHANIKA (KINEMATIKA) STRUKTURA IR .............................................................................. 8 1.3.1 Osnovni pojmovi iz teorije mehanizama .............................................................................. 8 1.3.2 Kinematiki parovi i podela ................................................................................................. 8 1.3.3 Kinematiki lanci................................................................................................................ 10 1.3.4 Tipovi struktura industrijskih robota ................................................................................. 10 1.3.4.1 Dekartova (Kartezijanska) konfiguracija ........................................................................ 13 1.3.4.2 Polarno-cilindrina konfiguracija ................................................................................... 13 1.3.4.3 Sferna konfiguracija ........................................................................................................ 14 1.3.4.4 Horizontalna zglobna konfiguracija (SCARA) ............................................................... 14 1.3.4.5 Vertikalna zglobna konfiguracija .................................................................................... 14 1.3.5 Zavrni mehanizam zglobovi ake ................................................................................... 14 1.3.6 Mogunosti kretanja robota, broj stepeni slobode, redundantnost i singularitet .............. 15 2. PROSTORNI OPISI I TRANSFORMACIJE ............................................................................ 17 2.1 POZICIJA I ORIJENTACIJA KRUTOG TELA ..................................................................................... 17 2.2 TRANSFORMACIJA KOORDINATA ................................................................................................ 18 2.2.1 Rotacione matrice .............................................................................................................. 18 2.2.2 Rotacije oko koordinatnih osa ................................................................................................ 19 2.2.2.1 Rotacija oko z ose za ugao .......................................................................................... 19 2.2.2.2 Rotacija oko x ose za ugao .......................................................................................... 20 2.2.2.3 Rotacija oko y ose za ugao .......................................................................................... 20 2.2.3 Kompozitna matrica rotacije .............................................................................................. 22 2.2.4 Izvoenje rotacionih matrica pomou Ojlerovih uglova.................................................... 22 2.2.5 Homogene transformacije koordinatni sistemi (frame-ovi) ............................................ 25 2.2.5.1 Transformacija translacija ............................................................................................... 26 2.2.5.2 Transformacija rotacije ................................................................................................... 26 2.2.6 Kompozitna matrica transformacije................................................................................... 27 2.2.7 Inverzna matrica transformacije ........................................................................................ 30 2.2.8 Transformaciona jednaina ............................................................................................... 31 2.2.8.1 Preslikavanje kroz vie frame-ova jednom transformacijom.......................................... 31 2.2.8.2 Odreivanje nepoznatog frame-a .................................................................................... 31 3. KINEMATIKA MANIPULATORA............................................................................................ 33 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 UNUTRANJE I SPOLJANJE KOORDINATE ................................................................................... 33 KINEMATIKE JEDNAINE .......................................................................................................... 34 DENAVIT HARTEMBERGOVI KINEMATIKI PARAMETRI, SPECIFIKACIJA A MATRICA ................ 35 ALGORITAM PRIDRUIVANJA KOORDINATNIH SISTEMA SEGMENTIMA ........................................ 37 DIREKTNI KINEMATIKI PROBLEM ............................................................................................. 38 INVERZNI KINEMATIKI PROBLEM .............................................................................................. 40 1.1 1.2


Strana 2.

3.6.1 Reivost ............................................................................................................................... 40 3.6.2 Postojanje reenja .............................................................................................................. 41 3.6.3 Vieznanost (viestrukost) reenja .................................................................................... 41 3.7 METODE REAVANJA.................................................................................................................. 42 3.8 HEURISTIKI (PAULOV) METOD ................................................................................................. 42 3.9 KINEMATIKO DEDUKOVANJE I PIEPER-OVO REENJE ZA 3 OSE KOJE SE SEKU ........................... 43 3.10 VEZA IZMEU SPOLJANJIH I UNUTRANJIH BRZINA I UBRZANJA. JAKOBIJAN MATRICA ............ 44 4. DINAMIKA ROBOTA.................................................................................................................. 48 5. POGONSKI SISTEMI ROBOTA ................................................................................................ 49 5.1 PNEUMATSKI POGON .................................................................................................................. 49 5.2 HIDRAULIKI POGON .................................................................................................................. 50 5.3 ELEKTROMOTORI ....................................................................................................................... 51 5.3.1 Motori jednosmerne struje (DC) ........................................................................................ 51 5.4 MERNI SISTEMI ........................................................................................................................... 52 5.4.1 Merni sistemi poloaja (puta)............................................................................................. 52 5.4.1.1 Potenciometri .................................................................................................................. 53 5.4.1.2 Rizolveri .......................................................................................................................... 53 5.4.1.3 Enkoderi .......................................................................................................................... 53 5.4.2 Merni sistemi brzine ........................................................................................................... 54 5.5 PRENOSNICI................................................................................................................................ 54 5.5.1 Harmonic drive................................................................................................................... 55 5.5.2 Ciklo drive reduktori .......................................................................................................... 56 6. UPRAVLJANJE ROBOTIMA..................................................................................................... 57 6.1 UPRAVLJANJE JEDNIM ZGLOBOM (OSOM) ROBOTA ..................................................................... 57 6.1.1 Otvoreni sistem ................................................................................................................... 58 6.1.2 Zatvoreni sistem ................................................................................................................. 58 6.2 REZOLUCIJA, TANOST I PONOVLJIVOST..................................................................................... 59 6.3 TIPOVI UPRAVLJANJA ................................................................................................................. 60 6.3.1 PTP upravljanje.................................................................................................................. 60 6.3.2 Kontinualno upravljanje -CP ............................................................................................. 61 7. SENZORI U ROBOTICI .............................................................................................................. 63 7.1 KLASIFIKACIJA SENZORA ........................................................................................................... 63 7.1.1 Unutranji senzori .............................................................................................................. 63 7.1.1.1 Senzori sila i momenata .................................................................................................. 63 7.1.1.1.1 Merne trake (strain gange) ......................................................................................... 64 7.1.1.1.2 estokomponentni senzori sila i momenata u korenu ake ........................................ 65 7.1.1.1.3 RCC Remote Centre Compliance ........................................................................... 66 7.1.2 Spoljanji senzori ............................................................................................................... 67 7.1.2.1 Senzori dodira (taktilni senzori) ...................................................................................... 68 7.1.2.2 Senzori bliskosti (proximity) .......................................................................................... 69 7.1.2.2.1 Induktivni senzori bliskosti ........................................................................................ 69 7.1.2.2.2 Optiki senzori bliskosti ............................................................................................ 70 7.1.2.2.3 Senzori rastojanja (Range finders,range detectors).................................................... 70 8. ZAVRNI UREAJI (END-EFEKTORI) .................................................................................. 73 8.1 HVATAI .................................................................................................................................... 73 8.1.1 Mehaniki hvatai .............................................................................................................. 73 8.1.1.1 Mehaniki hvatai sa 2 prsta ........................................................................................... 75 8.1.2 Proraun sile stezanja (hvatanja) ..................................................................................... 76


Strana 3.

8.1.3 Vakuumski, magnetni i adhezioni hvatai .......................................................................... 77 8.1.3.1 Vakuumski hvatai.......................................................................................................... 77 8.1.3.2 Magnetni hvatai ............................................................................................................. 78 8.1.3.3 Adhezioni hvatai ........................................................................................................... 79 8.1.4 Univerzalni i prilagodljivi hvatai ..................................................................................... 79 8.2 ALATI ........................................................................................................................................ 79 8.3 VEZA IZMEU ROBOTA I END-EFEKTORA.................................................................................... 80 9. PROGRAMIRANJE ROBOTA ................................................................................................... 81 9.1 METODE PROGRAMIRANJA OBUAVANJEM ................................................................................ 82 9.1.1 Obuavanje pomou ureaja ............................................................................................. 82 9.1.2 Obuavanje voenjem ........................................................................................................ 83 9.2 PROGRAMSKI JEZICI ZA ROBOTE ................................................................................................. 83 9.2.1 Klasifikacija jezika za robote ............................................................................................. 84 9.2.1.1 Jezici prve generacije ...................................................................................................... 84 9.2.1.2 Jezici druge generacije .................................................................................................... 84 9.2.1.3 Budue generacije jezika ................................................................................................ 85 9.2.2 Struktura jezika .................................................................................................................. 85 9.2.3 Operativni sistemi .............................................................................................................. 85 9.2.4 Elementi jezika i funkcije.................................................................................................... 86 9.2.4.1 Tipovi podataka .............................................................................................................. 86 9.2.4.2 Komande kretanja ........................................................................................................... 86 9.2.4.3 Komande senzora i ee ..................................................................................................... 86 9.2.4.4 Sraunavanje i operacije ................................................................................................. 87 9.2.4.5 Upravljanje programom i potprogramom ....................................................................... 87 10. PRIMENA ROBOTA ................................................................................................................ 88 10.1 LAYOUT-I ELIJA SA ROBOTOM .................................................................................................. 88 10.1.1 elije sa mainama rasporeenim oko robota ................................................................... 89 10.1.2 Linijske elije...................................................................................................................... 89 10.1.3 elije sa mobilnim robotom ............................................................................................... 90 10.2 OSNOVNI PROBLEMI U PROJEKTOVANJU ELIJA SA ROBOTOM .................................................... 90 10.2.1 Interferenca ........................................................................................................................ 90 10.2.2 Promena opreme u eliji .................................................................................................... 90 10.2.3 Pozicioniranje i orjentacija delova u eliji ........................................................................ 90 10.2.4 Identifikacija delova u eliji ............................................................................................... 90 10.2.5 Zatita robota ..................................................................................................................... 90 10.2.6 Bezbednost .......................................................................................................................... 91 10.2.7 Napajanje ........................................................................................................................... 91 10.2.8 Upravljanje elijom ............................................................................................................ 91 10.3 ANALIZA CIKLUSNOG VREMENA ROBOTA................................................................................... 91 10.4 MANIPULACIJA (TRANSFER MATERIJALA) .................................................................................. 92 10.5 OPSLUIVANJE MAINA.............................................................................................................. 93 10.6 PROCESNE OPERACIJE ................................................................................................................ 94 10.6.1 Takasto zavarivanje .......................................................................................................... 94 10.6.2 Elektroluno zavarivanje.................................................................................................... 95 10.6.3 Bojenje (ili prevlaenje) ..................................................................................................... 96 10.6.4 Obrada robotima ................................................................................................................ 97 10.6.4.1 Obrada rezanjem .......................................................................................................... 97 10.6.5 Robotizovana montaa ....................................................................................................... 99 10.6.5.1 Dovoenje delova pri montai ..................................................................................... 99 10.6.5.2 Operacije montae ..................................................................................................... 100 10.6.5.3 Konfiguracije robotizovanih sistema sa montau ...................................................... 101


Strana 4.

10.6.5.4 Karakteristike robota za montau .............................................................................. 102 11. SISTEMI PREPOZNAVANJA VIZUELNI SISTEMI ..................................................... 103 11.1 FORMIRANJE SLIKE................................................................................................................... 103 11.1.1 Geometrijski model nastanka slike ................................................................................... 103 11.1.2 Digitalna slika .................................................................................................................. 105 11.1.3 Metode osvetljenja ............................................................................................................ 106 11.2 PROCESIRANJE I ANALIZA SLIKE ............................................................................................... 107 11.2.1 Segmentacija..................................................................................................................... 107 11.2.2 Izdvajanje karakteristika iz binarne slike ......................................................................... 107 11.3 OBLICI, MODELI I POREENJE PREPOZNAVANJE ..................................................................... 108 11.4 PRIMENA SISTEMA PREPOZNAVANJA ........................................................................................ 109 12. PROJEKTOVANJE ROBOTA .............................................................................................. 110 ORGANIZACIJA PROCESA PROJEKTOVANJA ............................................................................... 110 ISPITIVANJE ROBOTA ........................................................................................................ 111 METODOLOGIJA UVOENJA ROBOTA (PROJEKAT)..................................................................... 111 TEHNO-EKONOMSKA ANALIZA OPRAVDANOSTI UVOENJA ROBOTA ........................................ 112 12.1 12.2 12.3 12.4 13.

DODATAK A ............................................................................................................................ 114


Strana 5.

1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA INDUSTRIJSKE ROBOTE1.1 Roboti i robotika

Robotika ima svoje poetke u naunoj fantastici. Re ROBOT vodi poreklo od eke rei ROBOTA to znai prisilan rad. Ova re se prvi put pojavljuje u nauno-fantastinoj drami ekog autora Karela apeka Rosumovi roboti, objavljenoj 1920 godine. Kada se neupuenima spomene robot, obino se pomisli na ovekolike kreacije kao to su R2D2 ili C3P0 (roboti iz filmskog serijala STAR WARS). oveanstvo se nalazi na pragu druge industrijske revolucije usled ekspanzije znanja i tehnologija, a pogotovu u oblasti proizvodnje. U OXFORD reniku re robot se tumai kao: ovekoliki automat, poosluan i inteligentan ali bezlina maina. U WEBSTER reniku to je: Automatizovan ureaj koji obavlja funkcije koje su obino namenjene oveku. Danas se roboti primenjuju u mnogim oblastima industrije da zamene oveka tekim, opasnim i monotonim poslovima, za rad u nepristupanim sredinama, medicinskim potrebama, vojnim potrebama i u sektoru usluga (banke, domainstva itd.) Personalni kompjuteri ==> personalni roboti PCPR Robotika je multidiscliplinarna i interdisciplinarna nauka i tehnologija koja se bavi istraivanjem, razvojem, projektovanjem i primenom robota. To je nova oblast koja obuhvata primenjene ininjerske nauke (mainstvo, proizvodno mainstvo, elektrotehnika, elektronika), kompjuterske nauke kao i matematiku i mehaniku. Za nas su od posebnog znaaja industrijski roboti koji predstavljaju okosnicu fleksibilne automatizacije. Njihova primena u industriji ima za cilj podizanje produktivnosti, podizanje i odravanja konstantnog nivoa kvaliteta proizvoda, poveavanje fleksibilnosti i humanizaciju rada. Prvi komercijalni robot se pojavio ezdesetih godina. Prva definicija industrijskih robota: RIA(Robotic Institute of America) definicija: Industrijski robot je reprogamabilni viefunkcionalni mannipulator projektovan da pomera materijal, delove, alate i specijalne ureaje kroz razliito programirana kretanja za izvravanje razliitih zadataka. ISO(International Stanardising Organisation) definicija: Industrijski robot je automatski upravljana vienamenska manipulaciona maina sa vie stepeni slobode, koja moe biti fiksirana ili pokretna, a koristi se za razliite zadatke u industriji. U ovim i drugim definicijama koje su manje ili vie tane figuriu dve kljune rei: PROGRAMABILNOST, tj. mogunost da se programirana kretanja i pomone funkcije mogu menjati bez fizikih intervencija. FLEKSIBILNOST, tj. mogunost primene za razliite zadatke sa ili bez fizikih intervencija. U ovim definicijama nedostaje trea kljuna re, a to je INTELIGENCIJA a o kojoj e biti rei kasnije.


Strana 6.

1.2

Funkcionalna struktura, klasifikacija i tehnike karakteristike industrijskih robota

Industrijski robot se kao sloen sistem sastoji iz velikog broja meusobno povezanih interaktivnih sistema. Poi emo od funkcionalne strukture, odnosno osnovnih podsistema i funkcija koje oni izvravaju. Analizom varijanti funkcionisanja i realizacija ovih podsistema stvorie se uslovi za klasifikaciju i okvir ukupne problematike ovog predmeta. 1.2.1 Funkcionalna struktura industrijskog robota Tipian primer strukture jednog savremenog industrijskog robota je prikazan na slici (moe se rei da bi ovo odgovaralo anatomiji robota):

Vidimo da se robot sastoji iz est osnovnih podsistema koji izvravanjem svojih funkcija izvravaju ukupnu funkciju robota. 1.2.1.1 Mehaniki sistem Naziva se jo i mehanika struktura, mehanizam robota ili manipulator. Ovaj sistem ima osnovnu funkciju uspostavljanja prostornih odnosa izmeu end efektora (alata ili hvataa) i radnog objekta. Manipulator se sastoji iz segmenata povezanih obrtnim ili translatornim zglobovima koji su osnaeni pogonskim sistemima. U optem sluaju potrebno je 6 stepeni slobode kretanja da bi se telo slobodno pozicioniralo u prostoru (u ovom sluaju - end efektor).Prva tri stepena slobode su osnovna(minimalna) konfiguracija (ruka) i nazivaju se STEPENI SLOBODE ili OSE POZICIONIRANJA. Druga tri stepena slobode su ose orijentisanja i izvode ih zglobovi ake.Manipulator je obino fiksiran za podlogu ali moe imati i dodatne (mobilne) ose ili robokolica (AGV). Moe se napomenuti da je korienje rei MANIPULATOR za jednostavne robote POGRENO!!!


Strana 7.

1.2.1.2 End efektori Nazivaju se jo i zavrni ureaji ili radni organi.Oni mogu biti alati ili hvatai koji imaju zadatak hvatanja i dranja objekata (hvatai) ili imaju ulogu obavljanja procesa (alati)kao to su zavarivanje, bojenje, obrada, itd. 1.2.1.3 Upravljaki sistem Ovaj sistem omoguava memorisanje, odvijanje toka programa, vezu sa perifernim ureajima, upravljanje i nadgledanje izavravanja pojedinih funkcija. Na dananjem nivou razvoja, upravljaki sistemi su gotovo uvek zasnovani na primeni raunara.Upravljanje pogonskim sistemima je gotovo uvek servo-sistemsko izuzev u sluaju pneumatskog pogona.Po nainu kretanja, upravljanje moe biti: taka po taka, ili upravljanje po koturi. 1.2.1.4 Pogonski sistem Ovaj sistem ima funkciju pretvaranja i prenosa energije do pojedinih osa. To su elektrini, pneumatski ili hidraulini motori sa ili bez prenosnika. 1.2.1.5 Merni sistem Ovaj sistem predstavljaju unutranji senzori koji omoguavaju merenje poloaja i brzine pojedinih osa (potenciometri, enkoderi, rizolveri, taho-generatori, itd.) 1.2.1.6 Senzorski sistem Ovaj sistem omoguava obuhvatanje uticaja okoline, merenje fizikih veliina i prepoznavanje oblika i poloaja). 1.2.2 Klasifikacija robota Klasifikacija je mogua po vie kriterijuma: po nameni; stepenu univerzalnosti; kinematikim, geometrijskim i energetskim parametrima; po metodama upravljanja.

Za poetak emo se zadrati na klasifikaciji po metodama upravljanja i po nameni, dok se ostali naini klasifikacije sami nameu tokom izuavanja IR. Prema JARA klasifikaciji (Japanese Robot Association) po tipu upravljanja roboti se svrstavaju u 5 klasa: 1. runi manipulacioni ureaji: su ureaji sa nekoliko stepeni slobode kojima upravlja ovek; 2. sekvencijalni roboti: manipulacioni ureaji sa fiksnim ili promenljivim sekvencijalnim upravljanjem (teko se programiraju); 3. ponavljajui (play back) roboti: operator izvrava zadatak vodei robot koji memorie trajektorije koje se kasnije ponavljaju; 4. NU roboti: programiraju se tekstualnim jezicima slino kao NUMA; 5. adaptivni roboti: korienjem senzorske informacije i vetake inteligencije (AI) ovi roboti razumeju zadatak i okolinu i donose odluku u realnom vremenu. Druga klasifikacija deli IR na generacije: I generacija (programski roboti) - do 4. iz prethodne klasifikacije; II generacija (adaptivni roboti) - 5. iz prethodne klasifikacije; III generacija (inteligentni roboti) - 5. i dalje iz prethodne klasifikacije.


Strana 8.

Za razliku od raunara, generacije robota ne smenjuju jedna drugu iz razloga postojanja razliitih nivoa zadataka u industriji. Prema nameni, IR se grubo mogu klasifikovati na sledei nain:INDUSTRIJSKI ROBOTI

manipulacija

obavljanje procesa

manipulacija i obavljanje proc.

specijalni zadaci merenje i kontrola ...

opsluivanje maina paletizacija/ depaletizacija

zavarivanje rezanje bojenje seenje laserom ...

montaa ...

1.2.3 Tehnike karakteristike IR U optem sluaju, tehnike karakteristike predstavljaju skup tehnikih parametara koji definie tehniku funkciju maine, u ovom sluaju IR. Osnovne tehnike karakteristike robota su: broj stepeni slobode radni prostor nosivost tanost pozicioniranja ponavljajua tanost pozicioniranja rezolucija brzina 1.3 Mehanika (kinematika) struktura IR

Odnosno mehanizam robota ili manipulatora ima zadatak uspostavljanja prostornih odnosa izmeu end effector-a (hvataa ili alata) i objekata manipulacije, odnosno radnih predmeta. 1.3.1 Osnovni pojmovi iz teorije mehanizama

Mehanizmi ine osnovu svih maina, s tim to se kod mehanizama jedna vrsta kretanja pretvara u drugu, a kod maine se jedna vrsta energije pretvara u drugu. 1.3.2 Kinematiki parovi i podela Svaki mehanizam se sastoji iz pokretnih lanova (segmenata) i nepokretnih lanova (postolja). Kinematiki par obrazuju dva lana ija su kretanja u uzajamnoj vezi. U zavisnosti od naina vezivanja i realizacije ovih veza, mogue je izvriti klasifikaciju kinematikih parova po vie osnova.


Strana 9.

rang klase

broj SS

VRSTE REALIZACIJA

I

5

II

4

III

3

IV

2

V

1


Strana 10.

Iz kinematike krutog tela poznato je da kruto telo u optem sluaju ima 6 stepeni slobode (3 translacije + 3 rotacije). Prema broju stepeni slobode, kinematike parove delimo na klase, pri emu rang klase predstavlja broj ponitenih kretanja usled nametnute veze, odnosno dopunu broja stepeni slobode do 6. Prema vrsti kretanja parovi mogu biti obrtni, translatorni, oscilatorni, zavojni itd. Prema nainu ostvarivanja kretanja, tj. prema poloaju segmenata parovi se dele na vie i nie. Kod niih parova, dodir se vri po povrinama i lanovi mogu zameniti svoja mesta (reverzibilni su). Kod viih parova, dodir je po taki ili po liniji i lanovi ne mogu zameniti svoja mesta (I, II - vii parovi). Pored parova ija su kretanja nezavisna, postoje parovi sa zavisnim kretanjima (npr. zavojni par). Za primenu u robotici su najinteresantniji parovi 5-te klase koji omoguuju jednu translaciju ili jednu rotaciju i nazivaju se translatornim zglobovima ili osama. 1.3.3 Kinematiki lanci Niz krutih tela ili segmenata spojenih kinematikim parovima obrazuju kinematiki lanac. Oni mogu biti prosti i sloeni, a i jedni i drugi otvoreni i zatvoreni. Kod prostih lanaca, segmenti su vezani sa najvie 2 lana. Kod sloenih, segmenti su vezani sa vie od 2 lana. Kod otvorenih lanaca postoje segmenti koji su vezani samo sa jednim lanom, dok su kod zatvorenih svi vezani sa najmanje 2 lana. 1.3.4

Prost otvoren

Slozen otvoren

Prost zatvoren

Tipovi struktura industrijskih robota

U optem sluaju, robot ostvaruje: globalna, lokalna i regionalna kretanja. Globalna se odnose na kretanja ije su dimenzije vee od dimenzija robota i ostvaruju se dodatnim - mobilnim osama ili automatski voenim robo-kolicima (AGV). Lokalna i regionalna kretanja izvrava manipulator robota, pri emu obezbeuje poziciju i orijentaciju end effector-a. Podsetimo se joe jednom osnovnih celina mehanike strukture uz uvoenje osnovnih simbola uglavnom oslanjajui se na VDI preporuke (VDI je skraenica na nemakom za Drutvo nemakih inenjera).

Zavrni mehanizam ose orjentacije, zglobovi ake (wrist) Ruka, osnovna ili minimalna konfiguracija, ose pozicioniranja Zavrni organi, end efektori, radni organi (Tip) Vrh robota

TCP (Tool Center Point) Mobilne dodatne ose (robokolica)


Strana 11.

Znacenje Tranzistori teleskopski prolazni dodatne ose obrtni koaksijalni arnirni Razdvojene ose Granice fizickog mesta spajanja End effector-iZglobovi sa vie stepena slobode se mogu modelirati uz pomo vie zglobova sa po jednim stepenom slobode izmeu kojih su segmenti nultih duina. Vidimo da, u optem sluaju, mehanizam robota ili manipulatora predstavlja aktivni prostorni mehanizam, odnosno sloeni kinematiki lanac sa osnaenim i upravljanim zglobovima i iji lanovi mogu biti promenljive duine. Za razliku od drugih mehanizama, mehanizam robota karakterie i to da bitno menja raspored, pa i veliinu i masu. U naoptijem sluaju, menja i svoju strukturu od otvorenog do zatvorenog kinematskog lanca. U kinematikom opisu manipulatora razlikujemo: ruku (osnovna konfiguracija) i zavrni mehanizam, koji ine zglobovi ake za koje se vezuje endefektor.

Podela na ruku i zavrni mehanizam ima smisla samo ematski, jer se oni vrlo retko mehaniki mogu razdvojiti, iz razloga to su motori za pokretanje zavrnog mehanizma smeteni blie osnovi, da ne bi optereivali robota. Obino kaemo da ruka vri pozicioniranje. Meutim, ruka vri pozicioniranje take K (na slici), dok zavrni mehanizam ima uticaja i na poziciju take T (vrha). O ovome e kasnije biti detaljno reeno. Oblik radnog prostora, odnosno kinematiku strukturu, ili kinematiku konfiguraciju ruke odreuju broj i tip zglobova, kao i njihovi meusobni odnosi (poloaji). Kombinujui tri zgloba koji mogu biti R ili T (rotacioni ili translacioni), moe se napraviti veliki broj varijanti od kojih izdvajamo pet, danas najeih u primeni. Na slici vidimo ove konfiguracije sa njihovim kinematikim emama i oblicima radnog prostora.

zglobovi (ose)


Strana 12.

Naz. Dekartova (kartezijanska) konfiguracija

PET TIPOVA ROBOTA KOJI SU DANAS NAJEE U PRIMENI Raspored osa osnovne konfig. Kinematika ema Radni prostor

TTT

Polarno cilindrina konfiguracija

RTT Sferna konfiguracija

RRT Horizontalna zglobna (laktasta) SCARA

RRT (TRR) Vertikalna zglobna (laktasta) antropomorfna

RRR


Strana 13.

Radni prostor, na koji odluujui uticaj ima ruka (osnovna konfiguracija), je jedna od tehniki najznaajnijih konfiguracija industrijskih robota. Odstupanje od idealnog radnog prostorauslovljeno je interferencom elemenata (segmenata) i konanim kretanjima u zglobu. Na oblik i dimenzije radnog prostora se moe uticati promenom proporcija i dimenzija segmenata uvoenjem izdanaka (offset-a) i slino. Konane dimenzije i konana kretanja u zglobovima uslovljavaju i pojavu upljina, tj. mrtvih zona u radnom prostoru. Na slici su predstavljene konfiguracije sa osnaenim zglobovima. Naravno, mogue su najrazliitije realizacije. Na primer, vertikalna zglobna konfiguracija moe biti izvedena u obliku zglobnog etvorougla, kako je to prikazano na slici. U ovom sluaju vidimo da nisu svi zglobovi osnaeni, konstrukcija je krua, omoguava veu nosivost i brzine, ali je skuplja i sloenija za izradu (sadri vie elemenata).

Slika: Primer vertikalne zglobne konfiguracija izvedene u obliku zglobnog etvorougla

1.3.4.1 Dekartova (Kartezijanska) konfiguracija Povoljna je za velike robote, velike nosivosti, koji se izvode kao portalni (gantry) roboti. Moe se postii velika krutost konstrukcije, jednostavno je upravljanje (kao kod CNC maina alatki), nema singulariteta, nije potrebna transformacija koordinata (ose su dekuplovane), rezolucija je konstantna, ponovljivost je reda veliine kao i kod maina alatki. Ova konfiguracija moe biti povoljna i za male modularne pneumatske robote. Nedostaci: veoma mala fleksibilnost, teka i skupa izrada (linearno je uvek komplikovanije i skuplje od obrtnog), manje su brzine nego kod robota sa obrtnom osnovom. 1.3.4.2 Polarno-cilindrina konfiguracija Rezolucija nije konstantna, ve zavisi od poluprenika r (v. sliku).r

1 = const.Slika: Polarno-cilindrina konfiguracija

r const.


Strana 14.

Kao i kod drugih robota sa obrtnom osnovom teko je postii dobru dinamiku stabilnost. Momenti su promenljivi jer zavise, ne samo od teine obratka, ve i od poloaja. Momenti inercije su takoe promenljivi, odnosno funkcija su poloaja. Ova konfiguracija je fleksibilnija od prethodnih. 1.3.4.3 Sferna konfiguracija Odlike ove konfiguracije su: niska i promenljiva rezolucija, mali momenti inercije, bolja fleksibilnost od prethodne dve. 1.3.4.4 Horizontalna zglobna konfiguracija (SCARA)1 Ima sve tri ose paralelne, pri emu prve dve obezbeuju poziciju u ravni, a trea vri pozicioniranje upravno na tu ravan. nema gravitacionh sila i momenata, motori mogu biti nepokretni i smeteni u osnovi robota, to omoguava postizanje velikih brzina. Ima veliku krutost u vertikalnom pravcu i veliku popustljivost u horizontalnoj ravni, to je ini veoma pogodnom za montau (operacije insertovanja umetanja). To je danas jedna od najee korienih konfiguracija robota. 1.3.4.5 Vertikalna zglobna konfiguracija Ima izuzetno veliku fleksibilnost i vrlo je pogodna za robote malih i srednjih dimenzija. Ima sve nedostatke kao i prethodne, ali u odnosu na Dekartovu za iste dimenzije radnog prostora ima mnogo manje dimenzije, a time i cenu. 1.3.5 Zavrni mehanizam zglobovi ake Ima zadatak orijentacije end-efektora (EE). U optem sluaju potrebno je da zavrni mehanizam ima tri stepena slobode (SS), ali u zavisnosti od zadatka (primene) moe imati 1, 2, ili 3 stepena slobode, kao to je prikazano sledeom slikom.1 SSEE

2 SS

EE

EE

3 SS

EE

Slika: Mogu broj tepeni slobode (SS) zavrnog mehanizma (end-efektora)

1

SCARA = Selective Compliance Assembly Robot Arm


Strana 15.

Veoma je vano da se ose end-efektora sa tri stepena slobode seku u istoj taki. Ovo omoguava razdvajanje pozicioniranja od orijentacije i reavanje inverznog kinematikog problema problema u eksplicitnom obliku, o emu e kasnije biti rei. 1.3.6 Mogunosti kretanja robota, broj stepeni slobode, redundantnost2 i singularitet Ako manipulator posmatramo kao prost kinematiki lanac sa zglobovima V klase, tada on kao kinematiki sistem ima onoliko stepeni pokretljivosti koliko ima zglobova. Endefektor, kao slobodno kruto telo u prostoru, je jednoznano odreen sa 6 stepeni slobode. Meutim, kako je endefektor vezan kinematikim lancem za podlogu, to on moe imati manje ili jednako 6 stepeni slobode. Ukoliko robot ima vie od 6 stepeni slobode, tada je on redundantan (u ovom kursu ih neemo izuavati). Redundantnost je ponekad znaajna zbog mogunost ulaska robota u nepristupane zone, kao, na primer, pri takastom zavarivanju karoserije automobila. Sledi objanjenje pojedinih pojmova: Pozicioniranje end-efektora znai dovoenje hvataa ili alata u tano odreenu poziciju u prostoru (taka T na slici); Potpuna orijentacija end-efektora podrazumeva njegov tano definisan ugaoni poloaj u prostoru. Zasad emo to tumaiti na sledei nain: potrebno je da se osa end-efektora poklopi sa zadatom pravom u prostoru i da je mogua rotacija oko te prave; Delimina orijentacija predstavlja poklapanje ose end-efektora sa zadatom pravom u prostoru. Rotacija end-efektora oko te prave u ovom sluaju nema znaaja (osnosimetrini alati, na primer burgija). Iz ovih razloga najvie robota danas postoji sa 5 stepeni slobode. Ukoliko robot imavie stepeni slobode nego to zahteva zadatak, tada je on redundantan u odnosu na taj zadatak, pa se viak stepeni slobode moe blokirati prema nekom kriterijumu optimalnosti. Radni prostor robota se moe podeliti na dostizivi i radni prostor vetine. Dostizivi radni prostor je onaj koga vrh end-efektora moe dostii. Radni prostor vetine je deo dostizivog radnog prostora koji end-efektor moe dostii u proizvoljnoj orijentaciji. Singulariteti su konfiguracije ili poloaji manipulatora u kojima on gubi jedan ili vie stepeni slobode. Njihova identifikacija je vana iz sledeih razloga: U singularnim poloajima end-efektora njegovim konanim brzinama bi odgovarale beskonano velike brzine u pojedinim zglobovima; Konanim silama i momentima end-efektora bi odgovarale beskonano velike sile i momenti u pojedinim zglobovima; U singularnim poloajima ne postoji jednoznano reenje inverznog kinematikog problema; U singularnim poloajima odreeni pravci kretanja su nedostizivi. Singulariteti se obino javljaju na granicama radnog prostora, mada ponekad postoje i u samom radnom prostoru. Korisno je razdvojiti singularitete ruke od singulariteta end-efektora.

2

redundantnost = suvinost


Strana 16.

Sledi nekoliko primera singularnih poloaja (v. sliku). U prvom primeru kada je 2 = 0, tada je du pravca a1 nemogue ostvariti ni silu, ni kretanje. U drugom primeru, kada je a1 = a2 i 2 = 180o, tada se za svako 1 kretanje ostvaruje samo u jednoj taki O, koja je singularna i predstavlja radni prostor vetine. U treem primeru vrh miruje za a1 = a2, a u etvrtom za d4/dt = d6/dt. Manipulator je u singularnom poloaju redundantan i ako u proizvoljnom poloaju to nije bio.1 O EE 2 a2

a1 a2

2

Pr. 2

a1 1

2 = 0

a2

2

a1

Pr. 1EE

1

5

Pr. 3 Pr. 46

4Slika: Primeri singulariteta


Strana 17.

2. PROSTORNI OPISI I TRANSFORMACIJERobotska manipulacija po definiciji obuhvata pomeranje objekata i alata u prostoru. Izuavanje manipulacije obuhvata definisanje prostornih odnosa izmeu objekata i objekata i manipulatora. Logino je najpre poznavati pozicije i orjentacije objekata i manipulatora, odnosno endefektora i svakog elementa ponaosob. Za definisanje i manipulaciju matematikim entitetima za opis pozicije i orjentacije potrebno je definisati koordinatne sisteme i konvencije za njihov opis, odnosno . Slian problem je razmatran u kompjuterskoj grafici i Solid Model Systems o emu e biti rei kasnije. 2.1 Pozicija i orijentacija krutog tela

Pozicija svake take krutog tela odreena je poznavanjem pozicije i orjentacije krutog tela. Pretpostavljajui da robot ima est stepeni slobode tada se njegov endefektor moe proizvoljno pozicionirati i orjentisati u ogranienom prostoru.

zA

{B} yB

jBA

POB

kA jA iA xB

iB

kB

zB yA

xA

Pretpostavljajui da smo za vrh endefektora (TCP) na poznat nain vezali koordinatni sistem xB yB zB koga emo oznaiti ureenom trojkom M{B}, tada bi pozicija endefektora bila odreena vektorom poloaja koordinatnog poetka sistema {B} u referentnom sistemu {A}. Orijentacija koordinatnog sistema {B} je odreena pravcima njegovih osa, odnosno ortova u odnosu na sistem {A} ili pomou Ojlerovih uglova. Komponente ili projekcije ortova osa sistema {B} u odnosu na referentni sistem {A} predstavljaju kosinuse njihovih pravaca. Matrica rotacije ili matrica orjentacije koja opisuje orjentaciju koordinatnog sistema {B} u odnosu na koordinatni sistem {A} u oznaci se izvodi na sledei nain (po konvenciji): A RBA B

R=

[

A

i B jB

A

A

i Ai B i A jB i A k B cos(i A , i B ) cos(i A , jB ) cos(i A , k B ) k B = jAi B jA jB jA k B = cos( jA , i B ) cos( jA , jB ) cos( jA , k B ) i Ai B i A jB i A k B cos(k A , i B ) cos(k A , jB ) cos(k A , k B )

]


Strana 18.

Napomena: u pitanju su ortonormalne matrice (vektori ortogonalni i jedinini), pa je njihova inverzna matrica isto to i transponovana, to e rei:A B

R

1

=

A B

R

T

=

B A

R

dovoljno je poznavati i dva jedinina vektora jer se trei moe dobiti njihovim vektorskim proizvodo; u robotici se uvodi pojam frame-a kao koordinatni sistem koji je definisan u odnosu na neki drugi. Ovakav frame odnosno koordinatni sistem moe biti opisan u odnosu na neki referentni sa etiri vektora kao:

{B} = {A R , A POB } B

Intuitivno nas navodi na pomisao da se frame moe izraziti i matricom 4x4 o emu e biti rei. 2.2 Transformacija koordinata

{B} zB {A} zAA

P=AP +ARBP OB B

B

P yB

P

A

POBA

P

xB

yA

xA

2.2.1 Rotacione matrice Rotaciona matrica moe biti predstavljena i kao transformaciona matrica koja preslikava koordinate take, odnosno vektora poloaja iz jednog koordinatnog sistema u drugi. Neka je za pokretni koordinatni sistem na poznat nain vezano kruto telo i neka se koordinatni poeci pokretnog i nepokretnog koordinatnog sistema poklapaju.

Prof.dr Dragan Milutinovi Industrijski roboti Predavanja z1 z0O

Strana 19.

P P=1P y1

k1 i1 x1 i0

k0 j0

j1 y0px1 P = py1 p z1 p x 0 P = p y 0 p z0

1

0

x0

p xo = i o 0 p = i o 1 p = i o i 1 p x 1 + i o j1 p y1 + i o k 1 p z1 p yo = jo 0 p = jo 1 p = jo i1 p x 1 + jo j1 p y1 + jo k 1 p z1 p zo = k o 0 p = k o 1 p = k o i 1 p x 1 + k o j1 p y1 + k o k 1 p z1

0

p i 0 j1 i 0 k 1 i 0 i1 P = j 0 i 1 j 0 j1 j 0 k 1 = p p k 0 i 1 k 0 j1 k 0 k 1 0 1

0 1 y1 = 1 R p z1 x1

R

0 1

R

1

=0R 1

T

1 =0R

1 p = 0 R 0 p 12.2.2 Rotacije oko koordinatnih osa Veoma je vano znati matrice koje predstavljaju rotacije pokretnog koordinatnog sistema oko osa nepokretnog koordinatnog sistema (osnovne rotacione matrice). 2.2.2.1 Rotacija oko z ose za ugao k0= k1

j0 j1 i1

yo

i0

Rx0

z ,

cos = sin 0

- sin cos 0

0 0 1


Strana 20.

2.2.2.2 Rotacija oko x ose za ugao i0= i1

R

z ,

0 1 0 cos = 0 sin

- sin cos 0

2.2.2.3 Rotacija oko y ose za ugao j0= j1

R z ,

cos = 0 - sin

0 sin 1 0 0 cos

R()-1=R()T=R(-) Primer 1: Koordinatni sistem Ox1y1z1 zarotiran je oko z0 ose nepokretnog koordinatnog sistema za ugao =60. U zarotiranom koordinatnom sistemu data je taka P definisana vektorom poloaja:1

4 P = 3 2

Nai koordinate te take, odnosno komponente ili projekcije njenog vektora poloaja u nepokretnom koordinatnom sistemu.


Strana 21.

Reenje:

1 - 3 0 2 2 4 0.598 cos 60 - sin60 0 4 sin60 cos60 0 3 = 3 1 0 3 = 4.964 0 0 1 1 P = 1 R P = R z , P = 2 2 2 2 0 0 1 2 0 0 1

Naravno, mogue je i obrnuto, odnosno ako se znaju koordinate take u nepokretnom moemo odrediti njene koordinate u pokretnom koordinatnom sistemu1

P = R

1 z ,

0 P = R

T z ,

0 P

Napomena: do sada smo videli dva znaenja matrice rotacije, odnosno orjentacije: da predstavlja projekcije ortova osa pokretnog koordinatnog sistema na nepokretni (tj. znai ili predstavlja matricu orijentacije) predstavlja transformacionu matricu koja preslikava koordinate take iz jednog koordinatnog sistema u drugi. Postoji i tree znaenje, tj. moe da poslui kao transformacioni operator, odnosno da transformie taku u jednom koordinatnom sistemu. Primer 2: U koordinatnom sistemu Oxyz data je taka definisana vektorom poloaja1

4 P = 3 2

Zarotirati ovu taku za 60 oko z ose i odrediti njen vektor poloaja.- 0.866 0.5 0 . 866 P = 0.5 0 0 0 4 - 0.598 0 3 = 4.964 1 2 2

q = R z ,

z

q

p y x


Strana 22.

2.2.3 Kompozitna matrica rotacije Osnovne rotacione matrice se mogu mnoiti redosledom rotacija oko nepokretnog koordinatnog sistema. Kako za matrino mnoenje ne vai zakon komutacije to je redosled mnoenja veoma vaan. Npr. Ako bi trebalo pokretni koordinatni sistem zarotirati oko x0 nepokretnog za ugao , pa zatim oko y0 nepokretnog za ugao , pa zatim oko y0 nepokretnog za ugao bilo bi:R = R3 z

o

,

R

2 y

0

,

R

1 x

0

,

c = s 0

- s c 0

0 c 0 0 0 - s

0 1 0

s 1 0 0 c 0

0 c s

- s = c 0

c=cos s=sin

Ako okrenemo redosled:

R

1

= R1

x

0

,

R

y

o

,

R

z

0

,

R

R

Pored rotacija oko osa nepokretnog koordinatnog sistema (takozvane apsolutne transformacije) mogue su i rotacije pokretnog koordinatnog sistema oko svojih tekuih osa (takozvane relativne transformacije): 2 3 z0,z1 R = Rz0 , R y0 , Rx0 , = R11 , R y0 , Rx1 , zz1 z1

Pravila:y 1 y0,y1

- ako se rotacije izvode oko osa nepokretnog koordinatnog sistema tada se matrice mnoe (pakuju)s desna na levo tj. s leve strane - ako se rotacije izvodeoko tekuih (trenutnih)osa pokretnog koordinatnog sistema tada se matrice mnoe (pakuju) s leva na desno.

x0,x1

x 1

x1

2.2.4 Izvoenje rotacionih matrica pomou Ojlerovih uglova

z z1n R = n n x y z

o o o

x y z

a a ay

x

z

y1 a o y n

x

x1


Strana 23.

Ovaj nain definisanja orijentacije jednog koordinatnog sistma u odnosu na drugi zahteva 9 elemenata (lanova) koji meusobno nisu nezavisni. Postoje i drugi naini za definisanje orijentacije kao to su osa i ugao rotacije oko nje ili kao, to je poznato iz kinematike krutog tela, orijentacija se moe definisati i pomou Ojlerovih uglova. Postoji vie naina da se pomou tri ugla definie orijentacija jednog koordinatnog sostema u odnosu na drugi (po 12 konvencija u odnosu na ose pokretnog i ose nepokretnog koordinatnog sistema). Mi emo razmotriti najee korieni nain u robotici, vazduhoplovstvu i nautici. Ovaj nain definisanja orijentacije polazi od rotacija oko osa fiksnog koordinatnog sistema.z1 z

valjanje(roll)

Propinjanje (pitch) Skretanje (yaw) x

y1 y

x1

Ovaj nain definisanja orijentacije nazivamo RPY, a redosled rotacija je sledei: 1. rotacija oko ose x za ugao 2. rotacija oko ose y za ugao 3. rotacija oko ose z za ugao

R , ,

c - s 0 c 0 s 1 0 0 = R R R = s c 0 0 1 0 0 c - s = 0 0 1 - s 0 c 0 s c c c c s s - s c c s c + s s = s c s s s + c c s s c - c s s c s c c 3 z, 2 y, 1 x ,


Strana 24.

z1 z1

z z1

z1

y1 y1 y1 y1 y

x x1 x 1

x1 x1

Istu ovu orijentaciju bismo dobili ako rotiramo pokretni koordinatni sistem oko njegovih tekuih osa na sledei nain: 1. rotacijom oko ose z za ugao 2. rotacijom oko ose y1 za ugao 3. rotacijom oko ose x1 za ugao (Slika je data na sledeoj strani).

R

, ,

=

[RPY

n ]= n n

x y z

o o o

x y z

a a a

x y z

sadri sin i cos ovih uglova

dato kao matrica brojeva


Strana 25.

z1 z1 z1

z,z1

R , , = R 1 1 , R 2 , , R 3 , , , z y x1 1

y1

y1, y1 y1 y

x x1 x1 x1, x1

Ako imamo sluaj da nam je data matrica kao matrica brojeva (dakle data orijentacija), moemo odrediti uglove , , , izjednaavanjem lanova ove matrice sa matricom RPY dobijajui devet trigonometrijskih jednaina sa tri nepoznate (o ovome e detaljno kasnije biti govora). 2.2.5 Homogene transformacije koordinatni sistemi (frame-ovi)

Uvoenje homogenih koordinata nam omoguava da matrinim mnoenjem obuhvatimo i translaciju, odnosno da jednom matricom predstavimo transformaciju koja ukljuuje i translaciju i rotaciju. Na ovaj nain moemo potpuno da predstavimo poloaj i orijentaciju jednog proizvoljno postavljenog koordinatnog sistema u odnosu na drugi i da izvrimo preslikavanje koordinata taaka iz jednog koordinatnog sistema u drugi (do sada smo razmatrali sluaj kada su im se koordinatni poeci poklapali). Neka je vektor poloaja take P=ai+bj+ck. Ovaj vektor izraen u homogenim koordinatama glasi:

x y P= z w

gde

su : x =

a b c ; y = ; z = w w w

w vektor razmere (dodatna etvrta koordinata)

U robotici emo uzimati da je w=1


Strana 26.

2.2.5.1 Transformacija translacija Moe biti predstavljena matricom 4x4 sa sledeim znaenjima: 1. Predstavlja transliran koordinatni sistem u odnosu na neki referentni;z z1 y1

T tran

x1

c y a

1 0 0 a 0 1 0 b = 0 - -0- - 1 - -c 0 0 0 1

Intuitivno naziremo matricu rotacije, tj. da se x1 projektuje na x, y1 na y, z1 na z dok su a,b i c koordinate poetka x1y1z1

x

b

2. Preslikava koordinate iz jednog koordinatnog sistema u drugi;z0

z11

P y1

P z1 x1

y1

0

P = T tran 1 P = 1 0 0 a x1 a b y 0 1 0 b 1 = c 0 0 1 c z1 0 0 0 1 1 + x1 + y1 + z1 1

0

P

x1 c a y0

=

x0

b

3. Slui kao transformacioni operator da translira taku u istom koordinatnom sistemu. 2.2.5.2 Transformacija rotacije Do sada smo razmotrili matrice rotacije R3x3 kada su im se koordinatni sistemi poklapali. U homogenim koordinatama one se proiruju na matrice 4x4 na sledei nain:

Trot

R 3x3 = 0 0 0

0 0 = 0 1

n x ox a x 0 n y oy a y 0 n z oz a z 0 0 0 0 1


Strana 27.

Sada osnovne transformacije rotacije oko koordinatnih osa postaju:

1 0 Trot(x,) = 0 0

0 0 c - s 0 s c 1 0 0 1 0

c 0 Trot( y,) = - s 0

0 s 0 1 0 0 0 c 0 0 0 1

c -s s c Trot(z,) = 0 0 0 0

0 1 0 0 1 1 0 1

Takoe i matrica RPY postaje: 0 RPY 0 = 0 - - - - - - - - - 0 0 0 1 Napomena: sva pravila i znaenja koja su vaila za R3x3 vae i za homogene rotacione matrice 4x4.

T , ,

2.2.6 Kompozitna matrica transformacije Uvoenjem homogenih koordinata sada moemo pokazati da se transformacije translacije i rotacije mogu kombinovati, odnosno mnoiti redosledom njihovog izvravanja (zbog nekomutativnosti matrinog mnoenja).Primer: rotirati pokretni koordinatni sistem oko z ose nepokretnog koordinatnog sistema za ugao , a zatim ga translirati du x ose nepokretnog koordinatnog sistema za px, du y ose nepokretnog koordinatnog sistema za py i du z ose nepokretnog koordinatnog sistema za pz.

T = Ttran ( p x , p y , p z ) Trot ( z , )

2

1

1 0 0 p x c - s 0 0 c - s 0 p x 0 1 0 p s c 0 0 s c 0 p y y = = 0 0 1 pz 0 0 1 0 0 0 1 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Napomena: ako idemo s desna na levo, tada transformacije vrimo u odnosu na ose nepokretnog koordinatnog sistema; ako idemo s leva na desno, tada transformacije vrimo oko tekuih osa pokretnog koordinatnog sistema i dobijamo isti rezultat; ako okrenemo redosled transformacija imaemo:

T = Trot ( z , ) T tran ( p x , p y , p z ) T


Strana 28.

Objanjenje:z1 z0 Ovako dobijen koordinatni sistem transliramo

z1

y1

y 1 x1 y0 x 1

x0 z

z1 Ovako dobijen koordinatni sistem samo zarotiramo oko ose z1

x1

y 1

x

y

Ako zamenimo redosled transformacija imali bismo:

z1 z z1

x 1 x1 x y

y 1 y1


Strana 29.

Moemo zakljuiti da opta homogena matrica (krutih transformacija) ima oblik:Vektor koordinatnog poetka

n x ox a x n o a y y y T= n z oz a z 0 0 0

px P3x1 py R3x3 = pz 1 0 0 0 1

Matrica orijentacije

Znaenje: 1. predstavlja poloaj i orijentaciju jednog koordinatnog sistema u odnosu na drugi;z0 a 0 p n 1 o

y0 x0

2.

preslikava koordinate iz jednog koordinatnog sistema u drugi

z0 a 00 1

1 p p

0

p=T1p

p n

o

y0 x0

3.

predstavlja transformacioni operator

Primer: koordinatni sistem 1 zarotiran je oko z ose referentnog koordinatnog sistema za ugao =60, a zatim zatim transliran du osa referentnog koordinatnog sistema za 5 jedinica du x ose, 10 jedinica du y ose i 7 jedinica du z ose. U pokretnom koordinatnom sistemu taka P je zadata vektorom poloaja 1P=[ 4 3 2 1 ]T. Nai koordinate te take u pokretnom koordinatnom sistemu.


Strana 30.

0 1

T = Ttran ( 5 ,10 , 7 ) Trot ( z , 60 )

1 0 = 0 0

0 0 0 0

0 5 0,5 1 7 0,866 1 10 0 0 1 0

- 0,866 0,5 0 0

0 0 1 0

- 0,866 0 0,5 0,866 0,5 0 = 0 0 0 0 1 0

0 5 0 10 1 7 0 1

- 0,866 0,5 0,866 0,5 0 P= 0 0 0 0

0 5 4 4,402 0 10 3 14,964 = 9 1 7 2 0 1 1 1

2.2.7 Inverzna matrica transformacije Neka je data opta homogena transformacija ili, naprimer frame 1 definisan u odnosu na frame 0 kao:

n x ox a x n o a y y y Trot = n z oz a z 0 0 0

0 0 0R = 1 0 1 0 0 0

px py pz 1

Tada bi njena inverzna matrica bila:

- n T p 0 T - oT p 0 1 0 1R 1T = 1T = T -a p 0 0 0 1 Primer: Koristei matricu transformacije iz prethodnog primera taku 0Pi (4,402; 14,964; 9,1) dati u nepokretnom koordinatnom sistemu zarotirati u taku sa vektorom poloaja 1P u pokretnom koordinatnom sistemu.

0,5 - 0,866 0,866 0,5 0 T= 1 0 0 0 0

0 5 0 10 1 7 0 1

0,5 0,866 0 -11.16 - 0,866 0,5 0 0.67 1 T =0T 1 = 0 1 0 0 1 -7 0 0 1 0 0,5 - 0,866 0,866 0,5 1 P= 0 0 0 0

1

P=1T0 P 0

5 n P = [ 0.5 0.866 0 ] 10 = 2.5 8.66 = 11.16 7 oT P = 0.67T

a T P = 7

0 - 11.16 4.402 4 0 0.67 14.964 3 = 1 -7 9 2 0 1 1 1


Strana 31.

2.2.8 Transformaciona jednaina 2.2.8.1 Preslikavanje kroz vie frame-ova jednom transformacijom

2 12

P p

01

p

0

p

Strelica vektora koordinatnog poetka ukazuje (govori) u odnosu na koji frame je definisan dati frame.1 0

P = 12T 2 P P = 01T 1 P = 01T 12 T 2 P = 02T 2 P

gde je 02T = 01T1 T i predstavlja potpuno definisan koordinatni frame 2 u odnosu na 0. 2 2.2.8.2 Odreivanje nepoznatog frame-a

{U}

{D} {A}

{B} {C}


Strana 32.

Oigledno je da se do frame-a moe doi na dva naina:U D U D A T =U T D T A

T = T T TC D B C U B

=

moemo izjednaiti

=

U A

A B T D T = C T C T U T D B

to predstavlja transformacionu jednainu u kojoj moe figurisati jedna nepoznata. Neka je, na primer, nepoznat frame CBT. On se iz ove jednaine moe dobiti mnoenjem inverznom matricom transformacije T-1 odgovarajuih matrica T (T-1T=E) ili pomou grafa.B C

T = U T 1 U T A TC T 1 B A D D

C D

TA D

T

?

B C

T

GRAFU A U B

T

T

Primer: Neka je dat frame BGT, odnosno neka je dat frame BST, odnosno pozicija stola u odnosu na bazu SDT, odnosno poloaj objekta u odnosu na sto. Potrebno je odrediti frame GOT odnosno poloaj objekta u odnosu na endefektor kako bi robot mogao da ode i uzme objekat.

{O} {G} {S}

B G

TG T = BSTS T O O T = B T 1 BS TS T G O

G O


Strana 33.

3. KINEMATIKA MANIPULATORABavi se izuavanjem problema odreivanja poloaja, odnosno orijentacije endefektora preko unutranjih i spoljanjih koordinata, brzina i ubrzanja vrha i segmenata.3.1 Unutranje i spoljanje koordinate

Rekli smo da se manipulator moe modelirati kao prost otvoren kinematiki lanac koji se sastoji od nekoliko segmenata povezanih R i/ili T zglobovima. Prvi segment se vezuje za nepokretan lan (postolje), dok se za poslednji vezuje endefektor. Dakle, imamo n pokretnih segmenata i n zglobova sa jednim stepenom slobode. Sloeni kinematiki lanci se mogu svesti na prethodni sluaj.Takoe i zglobovi sa vie stepeni slobode se mogu modelirati sa vie zglobova sa po jednim stepenom slobode i segmentima nultih duina izmeu njih.5 z0 d3 2 z2 s1 1 z1 s0 y0 x0 x6 s3 s2 z3 P z4 4 s 4 z5 s5 z6 6 s6 a n z6 y6 o

a, o, n jedinini vektori koordinatnog sistema endefektora

Unutranje ili generisane koordinate: qi(t), i=1,., n(6), definiu relativna pomeranja segmenata, odnosno zglobova. To su uglovi ili duine. To su neprekidne, dva puta diferencijabilne, vremenske funkcije u opsezima q i min q i q i max koji su odreeni mehanikim ogranienjima. qi(t)=i kada su zglobovi rotacioni qi(t)=ai kada su zglobovi translatorni Ove skalarne veliine mogu biti organizovane u vektorskom obliku tako da moemo uspostaviti vektor unutranjh koordinata: q1 ( t ) i = 1,2,...... ..n(6) q= q n (t) Promenom unutranjih koordinata menjaju se pozicija i orijentacija endefektora.


Strana 34.

Broj sztepeni slobode (n) je obino 4-6, dok sluajeve kada je n>6 (redundantni roboti) neemo razmatrati. Vektor spoljanjih koordinata koji definie poziciju i orijentaciju endefektora, odnosno opisuje zadatak, ima m koordinata. U optem sluaju to su 6 koordinata: x = [x y z ] T Kao to smo rekli, ako je m

Prof.dr Dragan Milutinović • Industrijski roboti • Predavanja

Documents

Transcript of Prof.dr Dragan Milutinović • Industrijski roboti • Predavanja