Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Introdução aos Conjuntos Difusos INCERTEZA:...
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Transcript of Profa. Silvia Modesto Nassar [email protected] Introdução aos Conjuntos Difusos INCERTEZA:...
Profa. Silvia Modesto [email protected]
Introdução aos Conjuntos Difusos
• INCERTEZA: aleatoriedade x imprecisão
• CONJUNTOS CLÁSSICOS: caracterização
• CONJUNTOS DIFUSOS: caracterização
Profa. Silvia Modesto [email protected]
Conjuntos Clássicos: caracterização
DEFINIÇÃO: elemento, propriedade e função característica.• CONCEITOS: cardinalidade, complemento, união e intersecção.• PROPRIEDADES DE OPERAÇÕES: involução,
comutatividade, associatividade, distributividade, idempotência, absorção, identidade.
• LEIS: contradição, meio excluído, Morgan• OUTRAS PROPRIEDADES: conjuntos disjuntos, partição.
Profa. Silvia Modesto [email protected]
Conjuntos Difusos: caracterização
• CONJUNTO: Difuso/Nebuloso/Fuzzy• FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA• NOTAÇÃO DE UM CONJUNTO DIFUSO• PROPRIEDADES: α-cut, suporte, núcleo, altura, convexidade• OPERAÇÕES-PADRÃO: complemento, união (t-conorma),
intersecção (t-norma)• TIPOS DE CONJUNTOS DIFUSOS: ordinário e intervalo-
valorado.
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TIPOS DE INCERTEZA
E R R O IR R E L E VÂ N C IA
IG N O R Â N C I A
D I S T O R Ç Ã O I N C O M P L E T UD E
I N C E R T E Z A AUS Ê N C IA
A L E A T O R I E D A D E A M BIGU ID A D EVAG UE Z A /IM P REC IS Ã O
R E D E SBA YES IA N A S
F UZ Z Y
Fig u ra 1 . Ta x in o m ia da I g n o râ n cia ( ad ap tad o d e Br ac a ren s e , 1 9 9 9 * )
* Um en fo q u e s eg u n d o a teo r ia d o s c o n ju n to s d if u s o s p ara a m e ta- an á lis e ,T es e , P P G E P /UF S C ,1 9 9 9 , p ag s 1 7 e 1 8 .
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INCERTEZA: aleatoriedade x imprecisão(vagueza)
• Incerteza: “o elemento x é membro do conjunto A” aleatoriedade : probabilidade de ocorrer o conjunto A
a proposição ou é V (certamente x pertence ao conjunto A) ou é F (certamente x não pertence ao conjunto A)distinção precisa, não ambígua, entre ser membro ou não do conjunto A
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Incerteza:aleatoriedade x imprecisão
• Incerteza: “o elemento x é membro do conjunto A” imprecisão : grau de pertinência ao conjunto fuzzy A
esta proposição NÃO necessariamente é V ou Fpode ser Verdadeira somente com algum grau, o grau em que x é membro de AA é um conjunto fuzzy se seus limites não são precisos. Assim, a pertinência a um conjunto fuzzy não é uma afirmação ou negação, mas uma intensidade de pertinência.
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Conjuntos: Clássicos x Difusos
• Conjuntos difusos: limites imprecisos grau de pertinência expressam a transição
gradual de pertencer a não pertencer
representam conceitos vagos expressos em linguagem natural
• Conjuntos Clássicos: limites precisos pertence ou não pertence a transição de pertencer a
não pertencer é brusca
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Conjunto A: { homem careca }
• Abordagem fuzzy: GRAU DE PERTINÊNCIA
ao conjunto A: [0;1]
• Abordagem Clássica: PROBABILIDADE de ocorrência
do conjunto A: [0;1]
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Conjuntos Clássicos ou Crisp: definições
• Definição de um conjunto crisp A: lista de seus membros: A={a1, a2, ...., an} propriedade P satisfeita pelos seus membros: A={x|P(x)} função característica A , declara que elementos do
conjunto universal X são membros de A:
A (x) = 1 para x A 0 para x A
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Conjuntos Crisp:conceitos
• Cardinalidade de A: |A| é igual ao número de elementos de um conjunto finito A
• Complemento relativo de A em relação ao conjunto B: B-A
B-A={x| xB e xA}
• Complemento absoluto de A em relação ao conjunto universal X: A
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Conjuntos Crisp:conceitos
• União: A B AB={x| xA OU xB}
• Intersecção: A B AB={x| xA E xB}
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Conjuntos Crisp: propriedades de operações
• Involução: (Ac)c = A
• *Comutatividade: AB = BA ; AB = BA
• *Associatividade: (AB)C = A(BC) A(BC) = (AB)C
• Distributividade: A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB) (AC)
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Conjuntos Crisp: propriedades de operações
• *Idempotência: AA = A ; AA = A
• *Absorção: A(AB)=A ; A(AB)=A
• Identidade: A=A ; AX=A
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Conjuntos Clássicos: lattice
Um sistema A = (, f1,f2,...,fn) onde o elemento é um conjunto e os outros elementos são operações definidas neste conjunto então A é denominada uma estrutura algébrica.
• Uma estrutura algébrica é uma lattice se atende às seguintes propriedades: Idempotência Comutatividade Associatividade Absorção
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Conjuntos Crisp: leis
• Lei da Contradição: AAc =
• Lei do Meio Excluído: AAc = X
• Leis de Morgan: (AB)c = Ac Bc
(AB)c = Ac Bc
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Conjuntos Crisp: propriedades
• Conjuntos disjuntos: AB =
• Partição: (A) = {Ai | iI , Ai A}
AiAj= e Ai =A
A1 A2 A3 A4A
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Conjuntos Difusos (Fuzzy): função de pertinência
• Seja A um conjunto fuzzy e X um conjunto universal crisp então a função de pertinência dos elementos de X ao conjunto A é denotada por:
A : X [0;1]
A : X [0;1]
números difusos variáveis difusas
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Números Fuzzy: exemplos de função de pertinência
2
1
2
1
2
1
2
1
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Variável Fuzzy: exemplo de função de pertinência
Altura(cm)a1 a2
Baixo Médio Alto
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
1
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x
Conjuntos Difusos: notação
• Seja A um conjunto difuso e ai o grau de pertinência do elemento xi de X ao conjunto A
• Sejam xi’s os elementos suporte de A• Notação:
A = a1/x1 + a2/x2 + ... + an/xn
A = ai/xi ou A = A(x)/x
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Conjuntos Difusos: conceitos básicos
- cut• suporte• core ou núcleo• altura:
normal subnormal
• conjunto difuso convexo
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Conjuntos Difusos: conceitos básicos
- cut e strong - cut :
Dado um conjunto fuzzy A definido em X e um número [0; 1] um conjunto - cut é um conjunto crisp definido por
A = { x| A(x) }
+ A = { x| A(x) } strong - cut
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Conjuntos Difusos: propriedades -cut e strong -cut
Dado um conjunto fuzzy A definido em X e o par 1 e 2 [0; 1] tal que 1 2 então:
1 A 2 A e 1+ A 2+ A
(1 A 2 A) = 2 A e (1+ A 2+ A) = 2+ A
(1 A 2 A) = 1 A e (1+ A 2+ A) = 1+ A
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Conjuntos Difusos: conceitos básicos
• Suporte de A
• Núcleo de A
São conjuntos crisp que contém todos os elementos de X para 0+A e 1A.
1
núcleo
suporte Notação:S(A) ou supp(A)
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Conjuntos Difusos: conceitos básicos
• Altura de A:
normal: se h(A) = 1 subnormal: se h(A) 1
heig
ht
h(A)
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Conjuntos Difusos: operações padrão
• Cardinalidade escalar: | A |
“sigma count”
|A| = A(x)
xX
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Conjuntos Difusos: operações padrão
• Complemento: A(x) A(x) = 1 - A(x)
pontos de equilíbrio: são os elementos de X onde A (x) = A(x)
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Conjuntos Difusos: operações-padrão
Sejam dois conjuntos difusos A e B:
• União : t-conormas ( AB ) x = max[ A(x), B(x)]
• Intersecção: t-normas( AB ) x = min[ A(x), B(x)]
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Convexidade: conjunto crisp
• Seja A um conjunto em Rn . A é um conjunto convexo IFF
para todos os pares de pontos r e s de A para todo numero real [0;1] o ponto t definido por t = r + (1-) s também está em A
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Convexidade: conjunto difuso
• conjunto difuso convexo: -cut
1
0.8
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Conjuntos Difusos: tipos
• Ordinário: grau de pertinência a cada elemento de X pode ser associado um particular
número real pode ser especificada uma função de pertinência
A: X [0;1]
• Intervalo-valorado: intervalo de grau de pertinência
A: X [0;1]
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Conjuntos Difusos: intervalo-valorado
a1 2
A = { aproximadamente 2 }
1