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Prof. Rafael mesquita
Adpt. por Prof. Guilherme Amorim
Aula 6 – Método das Secantes e Critérios de Parada2014.1 - 22/04/2014
Cálculo Numérico
Aula passada?
Método Iterativo Linear Convergência1. e ´ forem contínuas em
Método de Newton-Raphson Construir uma função de iteração , tal 𝝋
que ′( )=0𝝋 𝜀
Método das Secantes
Possível problema no método de newton
Overflow! Caso a primeira derivada da função em
estudo se aproxime de zero Como alternativa à derivada da
função, podemos utilizar o quociente
Método das Secantes
Assim, teremos a seguinte função de iteração:
O que nos leva ao seguinte processo iterativo
*Note que são necessárias duas aproximações para se iniciar o método...
Método das Secantes
Interpretação geométrica
𝑥𝑖 𝑥𝑖−1𝛼
𝑥𝑥𝑖+1
A partir de duas aproximações e , o ponto é obtido como sendo a abcissa do ponto de intersecção do eixo x e da reta secante que passa pelos pontos e
Método das Secantes
Interpretação geométrica
𝑥𝑖 𝑥𝑖−1𝛼
𝑥𝑥𝑖+1
Método das Secantes
Interpretação geométrica
𝑥𝑖 𝑥𝑖−1𝛼
𝑥𝑥𝑖+1
Método das Secantes
Interpretação geométrica
𝑥𝑖 𝑥𝑖−1𝛼
𝑥𝑥𝑖+1
Método das Secantes
Interpretação geométrica
𝑥𝑖 𝑥𝑖−1𝛼
𝑥𝑥𝑖+1
𝒇 (𝒙 𝒊−𝟏 )𝒙𝒊−𝟏−𝒙 𝒊+𝟏
=𝒇 (𝒙 𝒊)
𝒙 𝒊− 𝒙𝒊+𝟏
𝒙 𝒊 𝒇 (𝒙 𝒊−𝟏 )−𝒙 𝒊+𝟏 𝒇 ( 𝒙𝒊−𝟏 )=𝒙 𝒊−𝟏 𝒇 (𝒙 𝒊 )−𝒙 𝒊+𝟏 𝒇 (𝒙 𝒊)
𝒙 𝒊+𝟏( 𝒇 (𝒙 𝒊 )− 𝒇 (𝒙 𝒊−𝟏 ))=𝒙 𝒊−𝟏 𝒇 (𝒙 𝒊 )−𝒙 𝒊 𝒇 (𝒙 𝒊−𝟏)
𝒙 𝒊+𝟏=𝒙 𝒊−𝟏 𝒇 (𝒙 𝒊 )−𝒙 𝒊 𝒇 (𝒙𝒊−𝟏)
𝒇 (𝒙 𝒊 )− 𝒇 (𝒙 𝒊−𝟏 )
Pergunta
Qual a diferença entre o método das cordas e o método das secantes?
Notar que...
Apesar da máquina (função de iteração) geradora da sequência {xi} ser igual à função iteração do método das cordas, o método das secantes é outro método, pois, por não ser um método de quebra, não há escolhas para os valores de xi-1 nem para xi. Estes serão sempre os dois últimos termos da sequência {xi}.
Exemplo
Determinar a raiz positiva da equação abaixo pelo método das secantes com erro relativo inferior a 0,01.
Exemplo
Assumimos que a solução está perto de 1,4. Logo, consideramos x0=1,4 e x1=1,5. f(x0)=-0,052; f(x1)=0,010. Logo, x2=1,432.
Erro relativo: |x2-x1/x2|=0,047. Calculamos o próximo valor.
f(x2)=0,002 x3=1,431.
Erro relativo: |x3-x2/x3|=0,0007. OK. Logo, a raiz é 1,431.
Critérios de Parada
Número de iterações Erro absoluto Valor da imagem
Critérios de Parada
Número de iterações Após terem sido realizadas as iterações
previstas, o processo será interrompido Não visa qualidade da aproximação Objetivo: garantir a não entrada em
looping, caso uma condição de parada mais sofisticada não seja satisfeita
Critérios de Parada
Erro absoluto Ideal:
Estabelecer parada quando , para um dado conveniente
Ou seja, a execução seria interrompida quando a distância entre a raíz aproximada calculada na iteração “i+1” e a raíz exata fosse menor que
Possível alternativa: parar quando Espera-se que a sequência seja tal que Mesmo que , não existe a garantia de que
Critérios de Parada
Valor da imagem Buscamos um valor de para que Podemos verificar quão próximo está de
zero Critério de parada:
Critérios de Parada
Podemos ainda utilizar a combinação entre diferentes critérios de parada...
“Vale dizer que mesmo com todo esse cuidado ainda podemos ter surpresas, pois se em um caso específico a convergência for extremamente lenta e o valor da função na vizinhança da raiz em estudo se aproximar bastante de zero, o processo pode ser interrompido sem que efetivamente tenha-se um valor aceitável para a raiz procurada.”
Exemplo
Dada , aplique o método da secante considerando as aproximações iniciais e . Execute iterações até que ou até que . Considere uma máquina F(10,6,-9,9)
Exemplo
Teste
Teste
Exemplo
Teste
Teste
Exemplo
Teste
Teste
Critério de parada atingido! Raiz aproximada:
Exemplo 2
Partindo de [1,7; 1,8]
xi-1=1,8 xi=1,7
Exemplo 2
Exemplo 2.. Na prática
Como poderíamos implementar o método das secantes no Excel?
Comparação entre os métodos
Comparação entre os métodos Critérios analisados
Garantia de convergência Rapidez de convergência
Baseado no numero de iterações Não necessariamente isso implica em um
menor tempo, visto que o tempo gasto em uma iteração pode variar de método para método...
Esforço computacional
Comparação entre os métodos Garantia de convergência
Bisseção e Posição Falsa Convergência garantida, desde que:
função seja contínua em I, f´(x) mantenha sinal em I f(a).f(b)<0
Métodos de ponto fixo Convergência garantida, desde que (além das
condições anteriores): sejam contínuas em I,
Condições mais restritivas de convergência Porém, uma vez que atendidas, os métodos são mais
rápidos que os anteriores
Comparação entre os métodos Esforço computacional
Medido em função Do número de operações efetuadas a cada iteração Da complexidade dessas operações Do número de decisões lógicas Do número de avaliações de função a cada iteração Do número total de iterações
Comparação entre os métodos Esforço computacional
Difícil tirar conclusões gerais sobre a eficiência computacional dos métodos estudados
Ex: O método da bisseção é o que efetua cálculos
mais simples por iteração Já o método de Newton requer cálculos mais
elaborados Cálculo da função e de sua derivada, a cada
iteração... No entanto, o número de iterações executadas
pelo método da bisseção pode ser muito maior que o número de iterações executadas pelo método de Newton
Comparação entre os métodos
Escolha do método deve ser realizada em função de algumas considerações....
Ex:
Considerando que um método ideal é aquele que seja mais rápido, que a convergência esteja assegurada e que os cálculos por iteração sejam simples Método de Newton é uma boa opção, desde que
1. Seja fácil verificar condições de convergência2. Cálculo de f´(x) não seja muito elaborado
Caso seja custoso avaliar f´(x) seria mais apropriado utilizar o método das secantes (converge mais rapidamente que os demais)
Caso seja difícil avaliar as condições de convergência, poderíamos utilizar um dos métodos de quebra....
Comparação entre os métodos Critério de parada também deve ser
levado em conta na escolha de um método...
Caso o objetivo seja reduzir o intervalo que contém a raiz, por exemplo... Não é aconselhável utilizar os métodos de
ponto fixo Trabalham exclusivamente com aproximações
da raiz
Comparação entre os métodos Conclusões Escolha do método está diretamente
relacionada com A equação que se quer resolver
Comportamento da função na região da raíz Dificuldades com o cálculo de f´(x) Critério de parada Necessidades de cada aplicação
Referências
[1] Silva, Zanoni; Santos, José Dias. Métodos Numéricos, 3ª Edição. Universitária, Recife, 2010.
[2] Ruggiero, Márcia; Lopes, Vera. Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª Edição. Pearson. São Paulo, 1996. Comparação entre os métodos!