Prof. Paolo Mengucci Ottica ondulatoria · Si parla di diffrazione quando le onde che si...

Paolo Mengucci Fisica 2 (Meccanica A/L) 1

Ottica ondulatoria

Facoltà di Ingegneria

Fisica 2C.L. (Ing. Meccanica A/L)

A.A. 2010/2011

Prof. Paolo Mengucci


Principio di Huygens-Fresnel-KirchoffOgni punto del fronte d’onda è sorgente di onde sferiche secondarie aventi la stessa frequenza dell’onda primaria. Ad istanti successivi il fronte d’onda risulta essere la sovrapposizione delle onde secondarie considerate con la propria ampiezza e la propria fase.

21cos)( += ϑϑk

Fattore geometrico o fattore di obliquità di Kirchoff


Interferenza e diffrazione delle onde elettromagnetiche

I fenomeni d’interferenza e diffrazione avvengono quando una o più onde si sovrappongono.

Si parla di interferenza quando le onde che si sovrappongono sono generate da singole sorgenti puntiformi.

Si parla di diffrazione quando le onde che si sovrappongono sono generate da sorgenti continue estese.

Dal punto di vista quantitativo questi fenomeni possono essere spiegati dal principio di sovrapposizione.

Una qualunque combinazione lineare di soluzioni dell’equazione d’onda è ancora

soluzione della stessa equazione.


Interferenza


InterferenzaS1 e S2 sono sorgenti puntiformi che emettono onde sferiche.

Le onde emesse percorrono cammini geometrici r1 e r2 diversi.

Sullo schremo C posto a grande distanza dalle sorgenti (D»d) le onde incidenti nel punto P possono essere approssimate a onde piane.


Nel punto P dello schermo le due onde si sovrappongono e l’onda risultante è la somma delle singole onde componenti.

( )( )

( ) ( )

Z

EE

Z

E

Z

E

Z

EI

EEEEEEEEE

trkcosEE

trkcosEE

EEE

2122

21

2

2122

212121

2

2222022

1111011

2

221

rr

rrrrrrrr

rrrr

rrrr

rrr

⋅++==

⋅++=+⋅+=

ϕ+ω−⋅=

ϕ+ω−⋅=

+=

Interferenza


( )( )

122

2122

21

2

2222022

1111011

2

IIII 1

Z

EE

Z

E

Z

E

Z

EI

trkcosEE

trkcosEE

++=

⋅++==

ϕ+ω−⋅=

ϕ+ω−⋅=

rr

rrrr

rrrr

Termine d’interferenza

Nel fenomeno dell’interferenza l’intensità risultante è diversa dalla somma delle intensità delle singole onde.

L’interferenza produce una ridistribuzione dell’intensità sullo schermo.

Z

EE2I

Z

EI

Z

EI

2112

22

2

21

1

rr⋅

=

=

=

Interferenza

Paolo Mengucci 8

InterferenzaCondizioni necessarie

( )( )

( )[ ] ( )[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]tsinrksintcosrkcos

tsinrksintcosrkcosEE

ZI

bsinasinbcosacosbacos

trkcostrkcosEEZZ

EEI

trkcosEE

trkcosEE

22222222

11111111020112

22221111020121

12

2222022

1111011

2

22

ωϕ+⋅+ωϕ+⋅

ωϕ+⋅+ωϕ+⋅⋅=

+=−

ω−ϕ+⋅ω−ϕ+⋅⋅=⋅

=

ϕ+ω−⋅=

ϕ+ω−⋅=

rrrr

rrrrrr

rrrrrrrr

rrrr

rrrr

Fisica 2 (Meccanica A/L)


( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]tsinrksintcosrkcos

tsinrksintcosrkcosEE

ZI

22222222

11111111020112

2ωϕ+⋅+ωϕ+⋅

ωϕ+⋅+ωϕ+⋅⋅= rrrr

rrrrr

Se ω1≠ω2 ⇒ I12=0 sempre

Se E01⊥E02 ⇒ I12=0 sempre

L’interferenza si verifica se e solo se:1. le onde hanno stessa frequenza2. le onde non sono polarizzate ortogonalmente



Il termine d’interferenza assume il suo valore massimo per onde di uguale frequenza, uguale ampiezza e polarizzate linearmente nella stessa direzione.

Se le onde si propagano nello stesso mezzo:

( )( )2202

1101

trkcosEE

trkcosEE

ϕ+ω−=

ϕ+ω−=222

111

212

rkrk

rkrk

kkk

=⋅

=⋅λπ

===

rr

rr

rr

Interferenza


[ ] [ ]

[ ][ ])tsin()krsin()tcos()krcos(

)tsin()krsin()tcos()krcos(E

ZI

Z

t)kr(cost)kr(cosE

ZEE

I

IZ

EII

ωϕ++ωϕ+

ωϕ++ωϕ+=

ω−ϕ+ω−ϕ+==

===

2222

11112012

22112021

12

0

20

21

2

22

2

[ ])krsin()krsin()krcos()krcos(ZE

I 22112211

20

12 ϕ+ϕ++ϕ+ϕ+=

[ ])()rr(kcosI2I 1212012 ϕ−ϕ+−=

Interferenza


iniziale fase di differenza

ottico cammino di differenza

12

12

012

rrr

)rkcos(I2I

ϕ−ϕ=ϕΔ

−=Δ

ϕΔ+Δ=

Se Δφ dipende dal tempo ⇒ I12=0 sempre

Affinché si abbia interferenza Δφ deve essere nullo o costante (onde coerenti).



Esperimento di Young (1801) – bassa coerenza spaziale

Interferenza


Nell’esperimento di Young, sullo schermo finale si osserva la comparsa di frange chiare e scure alternate.

L’intensità risultante dalla sovrapposizione delle onde generate dalle due sorgenti S1 e S2 è diversa dalla semplice somma delle intensità delle singole onde.

Il fenomeno dell’interferenza si verifica solo se sono soddisfatte ben determinate condizioni.

Condizioni necessarie per l’interferenza1. le onde devono avere la stessa frequenza;

2. le onde devono avere una differenza di fase costante o nulla (onde coerenti);

3. le onde non devono essere polarizzate ortogonalmente.

Interferenza


Esperimento di Young

Le sorgenti S1 e S2emettono due onde che hanno:

1. stessa frequenza;

2. stessa fase;

3. stessa polarizzazione.

Le due onde interferiscono.

Quando arrivano sullo schermo hanno fasi diverse perché hanno percorso cammini ottici diversi.

=

=

=

interferenza costruttiva (frangia chiara)

interferenza distruttiva (frangia scura)

sovrapposizione incoerente

Interferenza


θ=−

≈≈⇒>>

θ=−=Δ

Δ=

sindrr

rrrdD

sindrrr

)rkcos(II

12

21

12

012 2

Nell’esperimento di Young Δφ=0 (onde coerenti).

Interferenza


)sind(krk

)cos1(I2)rkcos(I2III 0000

θ=Δ=δ

δ+=Δ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ=2

cosI4I 20

2cos1

2cos

δ+±=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

1221 IIII ++=

Interferenza


θ=δ

=β

β=

sin2d

k2

cosI4I 20

Massimi d’interferenza

λ=θ

π=θ

λπ

=π=θ

msind

m2

sind2

,....3,2,1mm2sinkd

λ=θ msind

Minimi d’interferenza

( )

( )

( )2

1m2sind

21m2

2sind2

,...2,1,0m2

1m22sinkd

λ+=θ

π+=

θλπ

=π

+=θ

2)1m2(sindλ

+=θ


β= 20 cosI4I

dmsinλ

=θd2

)1m2(sinλ

+=θ

Massimi d’interferenza Minimi d’interferenza

Interferenza


Esperimento di Young – bassa coerenza spaziale

( )2

1m2sindmin

msindmax2sinkd

cosI4I 20

λ+=θ

λ=θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ

=

Interferenza


Le onde non si propagano sempre in linea retta.

Quando incontrano un ostacolo sul proprio cammino, le onde tendono ad oltrepassarlo modificando ampiezza e fase dei fronti d’onda.

In queste condizioni si dice che l’onda viene diffratta dall’ostacolo e si parla di fenomeno di diffrazione.

Il fenomeno della diffrazione avviene con onde di qualunque natura (acustiche, elastiche, elettromagnetiche, di materia, ecc.).

La diffrazione è più evidente quando la lunghezza d’onda λ dell’onda incidente sull’ostacolo è confrontabile con le dimensioni dell’ostacolo stesso.

λ«a

λ<a

λ≈a

Diffrazione


La perturbazione dei fronti d’onda della radiazione incidente è maggiore quando la lunghezza d’onda della radiazione è confrontabile con le dimensioni dell’ostacolo.

Per il principio di Huygens, ogni punto della fenditura di larghezza d diventa sorgente di onde secondarie aventi stessa ampiezza e fase dell’onda incidente.

Diffrazione


Diffrazione


Diffrazione di Fraunhofer da singola fenditura

Si consideri una fenditura rettilinea di larghezza d confrontabile con la lunghezza d’onda λ della radiazione incidente.

Ogni punto della fenditura emette onde secondarie.

Le onde emesse alla distanza x hanno sfasamento s=xsinθ quando attraversano la linea N.

L’onda risultante è data dai contributi delle diverse sorgenti.

( )

θ=

ω−= ∫

sinxs

dxtkscosaEd

0

Diffrazione da singola fenditura


( ) ( )

zionenormalizza di costante asinxs

dxtsinkxcosadxtkscosaEd

0

d

0

≡θ=

ω−θ=ω−= ∫∫

θ= sinkxyL’integrale si risolve per sostituzione, ponendo:

dy)tycos(da

dy)tycos(sinka

E

sinkdsinkdy

)tycos(aE

00

sinkd

0

∫∫

∫

δδ

θ

ω−δ

=ω−θ

=

θ=δθ

ω−=



[ ]

[ ]

[ ])tsin()tsin(da

E

)tsin()tsin(da

E

)tysin(da

dy)tycos(da

E

0

0

ω+ω−δδ

=

ω−−ω−δδ

=

ω−δ

=

=ω−δ

=

δ

δ∫



[ ])tsin()tsin(da

E ω+ω−δδ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+2

bacos

2ba

sin2bsinasin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

δ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−ω−δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω+ω−δ

δ=

2t2

cos2

sinda2

E

2tt

cos2

ttsin2

daE



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

==2

t2cos

sinZda

Z

EI 2

2222

θ=δ

=α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

=

sin2d

k2

2t2

cossin

daE

222 sinZ2da

I ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

=



Z2da

I22

0 =

2

0sin

II ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

=

222 sinZ2da

I ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

=



Z2da

I

sin2d

k2

sinII

22

0

2

0

=

θ=δ

=α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

=Massimi e minimi d’intensità

0sincossin

2IddI

0ddI

20 =α

α−αααα

=α

=α

0sincos0sin

=α−αα=αMinimi d’intensità

Massimi d’intensità



Minimi di diffrazione

...2,,0sin2d

k

...2,,00sin

π±π±=θ

π±π±=α⇒=α

....,3,2,1mmsind =λ=θ

Massimi di diffrazione

α=αtg



Z2da

I

sind

sin2d

k2

sinII

22

0

2

0

=

θλ

π=θ=δ

=α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

=

Casi limitei) λ≪d ⇒ α≫0

L’intensità decresce rapidamente al variare dell’angolo θ. Lo schermo è illuminato solo nella parte centrale (ottica geometrica).

ii) λ≫d ⇒ α→0 ⇒ (sinα/α)→1 ⇒ I→I0L’intensità è uguale a I0 per qualunque valore dell’angolo θ. Lo schermo è illuminato uniformemente.



Diffrazione da foro circolareLa trattazione formale della diffrazione da un foro di diametro d risulta molto più complessa rispetto al caso della singola fenditura.

La figura di diffrazione ha simmetria circolare ed è formata da un massimo centrale circondato da massimi secondari a intensità decrescente.

La posizione del primo minimo e la semilarghezza angolare del massimo centrale possono essere calcolati dalla distribuzione d’intensità.

Il disco centrale prende il nome di disco di Airy.

centrale massimo del angolare larghezzasemid

minimo primod

λθ

λθ

22.1

22.1sin

=Δ

=


Immagine di una sorgente puntiforme

L’immagine di un oggetto puntiforme, realizzata illuminando l’oggetto con una certa radiazione ed utilizzando un sistema ottico centrato, corrisponde, sullo schermo, alla sua figura di diffrazione.


Le due sorgenti sono risolte Le due sorgenti non sono risolte

Il potere risolutivo è la distanza minima tra due sorgenti puntiformi alla quale esse vengono viste come distinte.

Il potere risolutivo degli strumenti ottici è limitato dalla diffrazione.

Potere risolutivo degli strumenti ottici


Due punti sono visti come distinti se posti almeno ad una distanza tale che il primo minimo

dell’immagine di diffrazione dell’uno coincide con il massimo centrale della figura di diffrazione

dell’altro.

Criterio di Rayleigh


Siano date due fenditure di larghezza d poste alla distanza D l’una dall’altra.

In un punto P posto a grande distanze dalle fenditure l’onda risultante è la sovrapposizione delle onde provenienti dalle due fenditure.

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω−θ+ω−θ= ∫∫

+dD

D

d

0

dxtsinkxcosdxtsinkxcosaE

Il parametro a rappresenta una costante di normalizzazione.

Gli integrali si risolvono come già visto nel caso di fenditura singola.

Diffrazione da doppia fenditura


[ ] [ ]{ }2

1)tysin()tysin(

daE 0

δδ

δ ω−+ω−δ

=

12

1

sin)dD(ksinkD

sinkdsinkxy

δ+δ=θ+=δ

θ=δθ=δθ=

[ ] [ ]{ })tsin()tsin()tsin()tsin(da

E 12 ω−δ−ω−δ+ω+ω−δδ

=

Fenditura A

A

B

Fenditura B



112

12

1

2

t22

cos2

sin2B

2t2

cos2

sin2A

δ+δ=δ+δ

δ−δ=δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

δ+δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ=

)tsin()tsin(B)tsin()tsin(A

)BA(da

E

12 ω−δ−ω−δ=ω+ω−δ=

+δ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

2ba

cos2

basin2bsinasin

2ba

cos2

basin2bsinasin



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

δ+δ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ=+ t

22

cost2

cos2

sin2BA 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+2

bacos

2ba

cos2bcosacos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

δ+δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

δ+δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ=+

t2

cos2

cos2

sin4

2cost

2cos2

2sin2BA

11

11

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

δ+δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

δ= t

2cos

2cos

2sin4

daE 11



θ=δ

=β

θ=δ

=α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

δ+δβ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

=

sin2D

k2

sin2d

k2

t2

coscossin

da2E

1

1

β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

== 22222

cossin

Z2da

4Z

EI



Z2da

I

sincosI4I

22

0

22

0

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

β=

Interferenza da due sorgenti puntiformi




L’intensità risultante è una figura d’interferenza da due sorgenti distanti D, modulata dalla figura di diffrazione di una singola fenditura di larghezza d.

22

0sin

cosI4I ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

β=

θ=δ

=β

θ=δ

=α

sin2D

k2

sin2d

k21

Per θ=0 → I=4I0




( )diff. minmsind

interf. min2

1n2sinD

interf.max nsinD

λ=θ

λ+=θ

λ=θ

22

0sin

cosI4I ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

β=

Massimi e minimi d’intensità


Esperimento di Young

Bassa coerenza spaziale

Elevata coerenza spaziale


Reticolo di diffrazione

Il reticolo di diffrazione è un dispositivo ottico costituito da molte fenditure sottili parallele.

Sia N il numero di fenditure, d la larghezza di ciascuna, D la distanza tra due fenditure successive e b la larghezza totale del reticolo (D=b/N).

Si calcola l’intensità risultante come nei casi precedenti considerando lo sfasamento tra le onde emesse dalle varie fenditure.

( )

Nb

ntaEN

λθπ

ω

sin

2cos1

0

=Δ

Δ−=∑−


Reticolo di diffrazione

θλπ

λθπδ

δδ

sin

sin2sin

sinsin2

2

2

22

D

d

NKdI

=Δ

=

ΔΔ

=

K è una costante di normalizzazione dipendente dall’intensità dell’onda incidente.

L’intensità risultante corrisponde ad una figura d’interferenza a N sorgenti modulata dalla figura di diffrazione da singola fenditura.

min.nNDprincipalimax.mD

λθλθ

==

sinsin


Reticolo di diffrazioneFissate le caratteristiche geometriche del reticolo, la posizione angolare dei massimi principali dipende dalla lunghezza d’onda λ della radiazione incidente.

In effetti, i reticoli di diffrazione vengono utilizzati proprio per eseguire misure accurate di lunghezza d’onda.

reticolo del risolutivo poterenNd

R

angolare edispersionD

ndd

==

=

λλ

θλθ

cos

Il potere risolutivo del reticolo determina il minimo valore di dλ che il reticolo consente di apprezzare. Esso dipende da n (ordine del massimo) e dal numero totale di fenditure N del reticolo stesso.


Mediante un reticolo di diffrazione è possibile analizzare la composizione spettrale della radiazione emessa da una qualsiasi sorgente.

Questa tecnica sperimentale, detta spettroscopia, permette di ricavare informazioni quantitative sulla composizione chimica della materia che sta emettendo la radiazione.

L’emissione di luce da parte della materia è legata alle transizioni elettroniche degli atomi.

Ogni spettro di emissione o di assorbimento costituisce una sorta di “impronta digitale” dell’atomo.


Bibliografia

C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Liguori Editore.

D. Halliday, R. Resnick. J. Walker, Fondamenti di Fisica, Elettrologia, Magnetismo, Ottica, VI Edizione, Casa Editrice Ambrosiana.

E. Hecht, A. Zajac, Optics, Addison-Wesley.

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