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A análise de variância de uma
classificação (One-Way ANOVA) verifica
se as médias de “k” amostras independentes
(tratamentos) diferem entre si.
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Um segundo tipo de análise de variância,
denominado de ANOVA de Dupla
Classificação (Two-Way ANOVA) testa se
existe diferença entre duas variáveis
categóricas.
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Neste caso, a segunda variável categórica é
denominada de “Bloco”. Assim é possível testar
se existe diferença simultânea entre os
tratamentos (médias das amostras independentes)
e se simultaneamente estas diferenças podem ser
debitadas a segunda variável ou blocos.
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Esta ANOVA é de blocos completos, isto é,
cada bloco inclui todos os tratamentos e sem
repetição, isto é, cada bloco apresenta apenas
uma parcela com cada tratamento. Este desenho
pode incluir combinações mais complexas, como
blocos incompletos ou repetição dos tratamentos.
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Seja Yij a variável dependente, neste caso o
índice “i” indica o tramento e o índice “j” o
bloco. Por exemplo, a variável Yij pode
representar a “Renda de Pessoas” pertencentes
a “k” categorias profissionais (tratamentos) em
“l” empresas diferentes (blocos).
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Vamos admitir o seguinte modelo
linear:
Yij = µ + αi + βj + uij, com:
0k
1ii =α
=
∑ e 0l
1ji =β
=
∑
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Neste modelo µ é a média geral, αi
representa o efeito dos tratamentos e βj o
efeito dos blocos.
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As hipóteses feitas sobre uij para o
modelo anterior continuam válidas aqui.
Isto é, os termos erro são variáveis aleatórias
independentes com distribuição normal de
média “zero” e desvio padrão “σ2”.
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Sejam m, ai e bj as estimativas de µ,
dos αi e dos βj respectivamente. Então o
modelo amostral será:
Yij = m + ai + bj + eij
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Dados os valores observados Yij, as
estimativas dos parâmetros µ, αi e βj podem ser
determinadas através do Método dos Mínimos
Quadrados. Para isto deve-se minimizar a soma
dos quadrados dos resíduos, isto é:
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Derivando e igualando a zero, tem-se:
∑ ∑ -∑ ∑
k
i
l
j
2k
i
l
j
2ij )b-am-Y(ER.Q.SQ jiij===
0)1)(b-am-Y(2m
Q k
1i
l
1jjiij
i
=∑== =
∑ --
∂
∂
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ek,...,2,1i
0)1)(b-am-Y(2a
Q l
1jjiij
i
=
===
∑ --
∂
∂
l,...,2,1j
0)1)(b-am-Y(2b
Q k
1ijiij
j
=
===
∑ --
∂
∂
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Fazendo n = k.l,
e
k)..., 2, 1, (i YAl
1jiji ==
=
∑
∑∑l
1jj
k
1ii
k
1i
l
1jij BA YG
=== =
=∑=∑=
l) ..., 2, 1, (j YBk
1iijj ==
=
∑
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Obtém-se, o seguinte sistema de equações:
k)..., 2, 1, (i ballmAl
1jjii =++=
=
∑
∑∑l
1jj
k
1ii bkalnmG
==
++=
l) ..., 2, 1, (j bk akmB j
k
1iij =++=
=
∑
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Este sistema tem l + k + 1 equações, com o
mesmo número de incógnitas. Destas equações
apenas k + l – 1 são Linearmente
Independentes. Para resolver este sistema
utilizam-se as restrições sobre ai e bj.
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Tem-se, então:
0k
1ii =α
=
∑ e 0l
1jj =β
=
∑
m = G/n
ai = (Ai/l ) – (G/n) = (Ai/l ) – m
bj = (Bj/k ) – (G/n) = (Bj/k ) – m
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Substituindo, estes resultados na
expressão dos Mínimos Quadrados, tem-se:
∑ ∑ -
k
i
l
j
2
)n
G
k
B-
l
AY(R.Q.S
jiij +=
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Por definição, a soma dos quadrados
total, a soma dos quadrados dos
tratamentos e a soma dos quadrados dos
blocos são dadas por:
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∑ ∑ -
k
i
l
j
2)mY(Total.Q.S ij=
∑ -∑
k
i
2k
i
2i )m
l
A(lal.Trat.Q.S i==
∑ -∑
k
i
2l
j
2j )m
k
B(kbkcosBlo.Q.S
j==
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Deve-se notar que todas as somas de
quadrados são somas de nnnn ==== klklklkl parcelas, onde cada
parcela é um quadrado. Assim para obter a soma
de quadrados total, somamos os quadrados dos
desvios dos nnnn ==== klklklkl valores observados em relação as
respectivas estimativas, dadas por mmmm ++++ aaaaiiii ++++ bbbbjjjj....
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Para obter a soma de quadrados de tratamentos
multiplicamos por “l’” as somas dos quadrados das
“k” diferenças de médias estimadas de tratamentos,
dadas por Ai/l, em relação a média “m”, ou seja,
multiplicamos por “l “ a soma dos quadrados das
estimativas dos “k” efeitos de tratamentos.
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Finalmente, para se obter a soma dos quadrados
de blocos multiplicamos por “k” as somas dos
quadrados das “l” diferenças de médias estimadas
de blocos, dadas por Bj/k, em relação a média “m”,
ou seja, multiplicamos por “k” as somas dos
quadrados das estimativas dos “n” efeitos de blocos.
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Pode-se mostrar através de
manipulação algébrica que:
∑ ∑
∑ ∑ -
k
1i
l
1j
22
k
1i
l
1j
2
n
GY
)mY(Total.Q.S
ij
ij
= =
= =
−=
==
![Page 25: Prof. Lorí Viali, Dr. . ufrgs.br/~viali/ viali@mat.ufrgsviali/estatistica/mat2282/material/laminas/Anova... · Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042622/5f9279ca2c37014a555ef06c/html5/thumbnails/25.jpg)
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e:
n
GA
l
1
)ml
A(lal.Trat.Q.S
2k
1i
2
k
1i
2k
1i
2i
i
i
−=
===
=
==
∑
∑ -∑
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E também:
n
GB
k
1
)mk
B(kbkcosBlo.Q.S
2l
1j
2
l
1j
2l
1j
2j
j
j
−=
===
=
==
∑
∑ -∑
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Finalmente:
n
GB
k
1A
l
1Y
)n
G
k
B-
l
AY(R.Q.S
2l
1j
2k
1i
2k
1i
l
1j
2
k
i
l
j
2
jiij
jiij
+−−=
=+=
=== =
∑∑∑ ∑
∑ ∑ -
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Resumindo, tem-se então:
SSSS....QQQQ....RRRR ==== SSSS....QQQQ....TotalTotalTotalTotal ---- SSSS....QQQQ....TratTratTratTrat.... ---- SSSS....QQQQ....BlocosBlocosBlocosBlocos
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Bloco
Tratamentos Total do
Bloco1 2 3
1 12 17 21 50505050
2 14 19 23 56565656
3 15 18 19 52525252
4 18 19 18 55555555
5 16 21 22 59595959
6 13 20 19 52525252
Total Trat. 88888888 114114114114 122122122122 324324324324
Dados
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Tem-se:
k = 3; l = 6; n = k.l = 3.6 = 18
G = 324 G2/n = 5832
ΣAi = ΣBi = ΣYij = 324
ΣAi2 = 35624; ΣBi
2 = 17550
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Então:
158n
GY Total.Q.S
k
1i
l
1j
22
ij =−== =
∑ ∑
33,105n
GA
l
1 .Trat.Q.S
2k
1i
2i =−=
=
∑
18n
GB
k
1 cosBlo.Q.S
2l
1j
2j =−=
=
∑
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Portanto:
SSSS....QQQQ....RRRR ==== 158158158158 ---- 105105105105,,,,33333333 ---- 18181818 ==== 34343434,,,,67676767
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O modelo para a análise de variância de dupla
classificação é dado por: Yij = µ + αi + βj + uij,
Considerando µ, αi e βj como valores fixos e
lembrando que Uij são variáveis aleatórias
independentes com média zero e variância σ2, vem:
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σ+β+α+µ= 22j
2i
22 )Y(E ij
Então:
σ+∑ β+∑α+µ=∑ ∑=== =
2l
1j
2j
k
1i
2i
2k
1i
l
1j
2nkln)Y(E ij
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Como: ∑==
l
1jiji YA
De acordo com o modelo dado e as suas
restrições, tem-se:
Segue, então:
∑+α+µ==
l
1jijii U)(lA
)U(U)(l2)(lAl
1jiji
2l
1jiji
222i ∑+∑α+µ+α+µ=
==
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Mas os termos erros são variáveis com
média zero, assim: σ+α+µ= l)(l)A(E 2222i i
De forma semelhante, tem-se:
σ+β+µ= k)(k)B(E 2222j j
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E, também: σ+µ= nn)G(E 2222
Então:
σ−+∑ β+∑α===
2l
1j
2j
k
1i
2i )1n(kl)Total.Q.S(E
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Para os tratamentos, tem-se:
σ−µ+σ+∑ α+µ==
222k
1i
2 nk)(l.)Trat.Q.S(E i
0k
1ii =∑α
=
Lembrando que tem-se:
σ−+∑α==
2k
1i
2 )1k(l.)Trat.Q.S(E i
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Para os blocos, obtemos:
σ−+∑ β==
2l
1j
2j )1l(kcos)Blo.Q.S(E
Mas:
SSSS....QQQQ....RRRR ==== SSSS....QQQQ....TotalTotalTotalTotal ---- SSSS....QQQQ....TratTratTratTrat.... ---- SSSS....QQQQ....BlocosBlocosBlocosBlocos
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Então:
E(S.Q.R ) = E(S.Q.Total) - E(S.Q.Trat.) - E(S.Q.Blocos)
Substituindo, segue:
σ=
=σ+−−=
2
2
1)-1)(l-(k
)1lkn(.)sRe.Q.S(E
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Como os Uij são variáveis aleatórias
independentes de média “zero” e variância
constante e igual a σ2, tem-se:
S.Q.Res.)/σ2 apresenta uma distribuição
Qui-Quadrado com (k -1)(l - 1) graus de
liberdade;
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Supondo H0 verdadeira, isto é, que as
médias dos tratamentos são iguais, isto é, os
tratamentos não têm efeitos, ou ainda:
H0: α1 = α2 = ... = αk = 0, tem-se que:
(S.Q.Trat.)/ σ2 tem uma distribuição Qui-
Quadrado com “k - 1” graus de liberade.
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Supondo que as médias dos blocos são todas
iguais entre si, ou que o efeito dos blocos é nulo,
ou ainda que: H0: β1 = β2 = ... = βk = 0, tem-se:
(S.Q.Blocos)/σ2 tem uma distribuição Qui-
Quadrado com “l - 1” graus de liberdade.
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Tomando agora os quadrados médios, isto é,
a soma dos quadrados divididos pelos
respectivos graus de liberdade, pode-se obter a
expectância dos quadrados médios. A tabela
seguinte resume este e outros resultados
relevantes obtidos.
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O modelo para a análise de variância de dupla
classificação é dado por: Yij = µ + αi + βj + uij,
Considerando µ, αi e βj como valores fixos e
lembrando que Uij são VA independentes com
média zero e variância σ2, tem-se:
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Objetivos
A Análise de variância (ANOVA) É
utilizada para mostrar os efeitos principais de
variáveis categóricas independentes
(denominadas de fatores) sobre uma variável
quantitativa dependente.
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Causa da Variação
Graus de Liberdade
Soma dos Quadrados
Esp. do Quad. Médio
Tratamentos k - 1
Blocos l - 1
Resíduo (k -1)(l - 1) σ2
Total kn - 1
nn
1 GA
2k
1i
2i -∑
=
nk
1 GB
2l
1j
2j -∑
=
n
GY
2k
1i
l
1j
2ij -∑ ∑
= =
σα
2
k
1i
2i
1kl +
−
=
∑
σ
β2
l
1j
2j
1lk +
−
=
∑
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TesteConforme já visto, na análise de variância com
uma classificação, o quociente:
F = (Q.M.Trat.)/(Q.M.Res.)
pode ser utilizado para testar a hipótese:
H0: α1 = α2 = ... = αk = 0,
Este resultado apresenta uma distribuição F
com “k - 1” e “(k - 1)(l - 1)” graus de liberdade.
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Teste
De forma semelhante o quociente:
F = (Q.M.Blocos.)/(Q.M.Res.)
pode ser utilizado para testar a hipótese:
H0: β1 = β2 = ... = βk = 0,
Este resultado apresenta uma distribuição F
com “l - 1” e “(k - 1)(l - 1)” graus de liberdade.