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Prof. Lorí Viali, Dr.

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Seja X uma variável aleatória com

conjunto de valores X(S). Se o conjunto

de valores for infinito não enumerável

então a variável é dita contínua.


É a função que associa a cada

x ∈∈∈∈ X(S) um número f(x) que deve

satisfazer as seguintes propriedades:

f(x) ≥ 0

1dx).x(f =∫


A coleção dos pares

(x, f(x)) é denominada de distribuição

de probabilidade da VAC X.


Seja X uma VAC. Determine o

valor de “c” para que f(x) seja uma

função densidade de probabilidade (fdp).

c. c.

x se x.c)x(f

≤≤−

=0

112

22


Para determinar o valor de “c”,

devemos igualar a área total a um, isto é,

devemos fazer:

1 f(x)dx 11-∫ =

1 dx xc.11-

2∫ =


Tem-se:

2

31

3

2=⇒==

=

−=

=

∫ =∫ =

cc

31-

31c

3xc

dx xc dx xc.

333 1

1-

1

1-

11-

211-

2


0,0

0,5

1,0

1,5

-1,5 -1,3 -1,0 -0,8 -0,5 -0,2 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5

2

)x(f x3 2=

1X-1 ≤≤Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

∫∫∫∫====<<<<<<<<b

adx)x(f)bXa(P

a bx

y

bXa <<<<<<<<


Isto é, a probabilidade de que X

assuma valores entre os números “a” e

“b” é a área sob o gráfico de f(x) entre

os pontos x = a e x = b.

∫∫∫∫====<<<<<<<<b

adx)x(f)bXa(P


0dx)x(f)aX(P aa

=== ∫

)bXa(P)bXa(P

)bXa(P)bXa(P

≤≤=≤<=

=<≤=<<

Se X é uma VAC, então:

33


Seja X uma VAC. Determine a

probabilidade de X assumir valores no

intervalo [-0,5; 0,5].

c. c. 0

1 x 1 se 2x3

)x(f

2

≤≤−

=


A probabilidade solicitada é dada por:

%,](-0,5)(0,5)[2

1

3

x2

3 dx x

2

3

dx 2x3

),X,(P

33

0,5

05-

0,50,5-

2

0,50,5-

2

3

5012

5050

=−=

=

∫ ==

=∫=<<−


(a) Expectância, valor esperado

(b) Variância

∫==µ dx)x(xf)X(E

( )

)X(E)X(Edx)x(fx

dx)x(xfdx)x(fx

dx)x(f)x()X(V

2222

22

22

−=µ−∫=

=∫−∫=

=∫ µ−==σ


(iii) Desvio Padrão

(iv) O Coeficiente de Variação

γ = σ/µ

)X(E)X(Edx)x(fx

dx)x(f)x(

2222

2

−=µ−∫=

=∫ µ−=σ


(c) Assimetria

γ1 = [µ3 – 3µ1µ2 + 2µ13]/σ3

(d) Curtose

γ2 = E[(X - µ)4]/σ4 – 3 =

= [µ4 – 4µ1µ3 + 6µ12µ2 – 3µ1

4]/σ4 - 3


Se X é um VAC então o k-ésimo

momento de X é dado por:

e o k-ésimo momento central de X é

obtido por:

∫==µ dx)x(fx )X(E kkk

∫ µ−==µ dx)x(f)x( )X(E kk'k

44


Considerando que o momento de

ordem “k” de X é E(Xk) = µk, pode-se

expressar a expectância e as demais

medidas em função desse resultado.

Tem-se, então:


Calcular o valor esperado, a

variabilidade da variável X =

“número de caras” no lançamento de

quatro moedas honestas.


Determinar a expectância e o desvio

padrão da variável X dada por:

c. c. 0

1 x 1 se 2x3

)x(f

2

≤≤−

=


041

41

2

3

41-

41

2

3

4

x2

3dx

2x3

dx.2x3

.x

x.f(x)dx )X(Eµ

1

1-

44 1

1-

4 1

1-

11-

311-

2

11-

=

−=

−=

=

=∫=∫=

∫ ===


60,05

3

5

1

5

1

2

3

2

3

2

3

dx 2

3 dx

2

3.)(E

)(E

51-

51

5x

xxxX

)X(EX

551

1-

51

1-

11-

411-

222

22

==

+=

===

===

−=σ

−

∫∫


O desvio padrão de X será, então:

77,0060,0

)(E )X(EX22

=−=

=−=σ

55


É a função F(x) definida por:

∫=≤= ∞−x du)u(f)xX(P)x(F

A F(x) é a integral da f(x) até

um ponto genérico “x”.


Considerando a função abaixo como

a fdp de uma VAC X, determinar F(x).

c. c. 0

1 x 1 se 2x3

)x(f

2

≤≤−

=


A F(x) é uma função definida em

todo o intervalo real da seguinte forma:

1 x se

x se duu

1- x se 0

)x(F x

>

≤≤−∫

<

=−

1

112

31

2


Vamos determinar o valor da

integral em “u”:

2

1

2

1

2

3

du2

3 du

2

3)x(F

x]u[3u

uu

33 x

1

3 x

1

x1

2x2

+===

===

−

−

−∞−

∫∫


Assim a Função de Distribuição

Acumulada (FDA) é:

1 x se

x se x

1- x se 0

)x(F3

>

≤≤−+

<

=

1

112

1


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

2

1)x(F x3 +

=

66


O uso da FDA é bastante prático no

cálculo das probabilidades, pois não é

necessário integrar, já que ela é um

função que fornece a Integral.


Usando a FDA, teremos sempre

três casos possíveis:

)(F)(F)X(P

)x(F1)xX(P

)x(F)xX(P

xxxx 1221 −=<<

−=>

=≤


Observação:

Se X é uma VAC então o momento

de ordem “k” é dado por:

E(Xk) =∫xkf(x)dx



Uniforme

Exponencial

Normal

t (Student)

χ2 (Qui-Quadrado)

F (Fisher/Snedecor)


77


c.c. 0

b x a se ab

1)x(f

≤≤

−=

Uma VAC X é uniforme no intervalo

[a; b] se assume todos os valores com

igual probabilidade. Isto é, se f(x) for:


Seja X uma VAC com distribuição

uniforme no intervalo [2; 6], isto é,

X ~ U(2; 6). Então a fdp é dada por:

c. c.

x se 4

1

2-6

1

)x(f

≤≤=

=

0

62


0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 2 4 6 8 10

Fdp da U(2; 6)


A função F(x) é dada por:

b > x se 1

b x a se ab

ax

a < x se 0

)x(F

≤≤−

−=


Seja X uma uniforme no intervalo

[2; 6], então a FDA de X é dada por:

6 > x se

6 x 2 se x

2 < x se

)x(F

≤≤−

=

1

4

2

0


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

88

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22

22

1 222

ba

)ab(

)ab).(ab(

)ab(abx

ab

dxab

xdx)x(f.x)X(E

b

a

ba

+=

−

+−=

=−

−=

−=

=∫−

=∫=∞+

∞−


σ2 = V(X) = E(X2) – E(X)2

)ab(3ab

3x

ab

1

dxab

xdx)x(f.x)X(E

33b

a

ba

222

3

−

−=

−=

=∫−

=∫= ∞+∞−


A variância será então:

12

4

2

3

23

2

2233

233

22

)ab(

abba)ab(

ab

ba

)ab(ab

)X(E)X(E)X(V 2

−=

=−+

−−

−=

=

+−

−

−=

=−==σ


γ1 = 0

γ2 = -6/5


99


<

≥λ=

λ−

0t0

0te.)t(f

t.

Uma variável aleatória T tem

uma distribuição exponencial se sua

fdp for do tipo:


O tempo de trabalho sem falhas de

um equipamento (em horas) é dado pela

função, abaixo. Determinar a

probabilidade de que o equipamento não

falhe durante as primeiras 50 horas.

c. c.

t se 0,01)t(f

e-0,01t

≥

=0

0


A probabilidade solicitada é dada pela integral da função no intervalo T < 50, isto é:

%35,391

.01,0 dt 0,01.

dt 0,01)50T(P

e

0,01e

e

e

0,5-

0,01t- 50

0

500

0,01t-

500

-0,01t

=−=

===

==<

−∫

∫


0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

E(2,0)

E(1,0)

E(0,5)


A função F(t) é dada por:

0 t se -1

0 < t se 0)t(F

e t-

≥=

λ

Obs.: Tente determinar!Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

O tempo de trabalho sem falha

de um equipamento (em horas) é

uma exponencial de parâmetro

λ = 0,01. Determine a probabilidade

de ele funcionar sem falhas por pelo

menos 50 horas.

1010


A FDA para esta fdp é dada por:

-1)t(F e t01,0-=

A probabilidade solicitada é dada por:

%35,39 -1

-1)50(F)50T(P

e

e0,5-

50.01,0-

==

===≤


0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

E(2,0)

E(1,0)

E(0,5)

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λ=

=+=

=λ==

λ−−

∫−

∫∫

λ−λ−

∞

∞ λ−λ− ∞

∞ λ−+∞

∞−

1

dt

dt.tdt)t(f.t)T(E

eet

e]et[

e

tt

0

0tt

0

0t

Foi utilizado integração por partes


σ2 = V(T) = E(T2) – E(T)2

λ∫ λ

∫−

∫∫

=λλ

=λ

=

=+=

=λ==

∞ λ−

∞ λ−λ− ∞

∞ λ−+∞

∞−

20t

0tt2

0

0t222

21.

2dt

2

dt

dt.dt)t(f.)(E

et

te2]et[

ettT


A variância será então:

λ=

λ−

λ=

λ−

λ=

=−==σ

222

2

2

222

11212

)T(E)T(E)T(V

1111


Seja T uma VAC com

distribuição exponencial de

parâmetro λ. Determinar o valor

mediano da distribuição.


Conforme visto a mediana é o

valor que divide a distribuição de

forma que:

P(T < me) = P(T > me) = 50%.


λ=

λ=

=λ−⇒=

=−⇒=−

==<

−=<=

λ−

λ−λ−

λ−

ln(2)ln(0,5)- me Assim

)5,0ln(me 5,0e

5,0e15,0e1

)me(F)meTP( :Então

.e1)tTP(F(t) se-Tem

me

meme

t


γ1 = 2

γ2 = 6

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