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©Prof. Lineu MialaretAula 9 - 1/28Matemática Discreta 1

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

10 Semestre de 2013

Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret

Aula 9: Quantificadores, Predicados e Validade (1)


Introdução

Fbfs proposicionais tem uma possibilidade limitada de expressão.A expressão “Para todo x, x>0” pode ser considerada uma

proposição verdadeira sobre os inteiros positivos (ela tem valor lógico verdadeiro).

Porém ela não pode ser simbolizada adequadamente usando-se apenas letras, parênteses e conectivos lógicos.

Para se representar expressões desse tipo são incorporados dois novos conceitos: Quantificador.Predicado.


Quantificadores e Predicados (1)

Quantificadores representam frases do tipo “para todo”, “para cada”, “qualquer que seja”, “para qualquer” ou “para algum”, que dizem quantos objetos têm ou possuem uma determinada propriedade (ou atendem uma dada condição) em um dado conjunto de objetos, denominado Universo de Discurso (UoD) ou Conjunto Universo.O Quantificador Universal é simbolizado por (que se lê:

“para todo” ou “para cada”, etc.) A sentença “Para todo x, x>0”, fica representada por

(x)(x>0) ou x(x>0).O quantificador atua sobre a expressão dentro do segundo

parênteses.



Exemplo:Considere A ={a,b,c,d} o conjunto universo e uma

propriedade p(x) qualquer.

Dizer que (x A)p(x) (ou opcionalmente (x)p(x) ou xp(x) é verdade equivale a dizer que

p(a) ^ p(b) ^ p(c) ^ p(d) é verdade.

Outro Exemplo:Considere A ={3,5,7,11,12} e p(x) é a propriedade “x é

primo”.

Dizer que (x A)p(x) é verdade equivale dizer que 3 é primo ^ 5 é primo ^ 7 é primo ^ 11 é primo é verdade.



Outro Exemplo:Seja o conjunto universo de x:

“vaga de estacionamento do IF de Caraguatatuba” e

Seja p(x) o predicado:

“está cheia”.

Logo a quantificação universal de p(x), (x)p(x), é uma proposição (possui um valor lógico).

Todas as vagas de estacionamento do IF de Caraguatatuba estão cheias.

Toda vaga de estacionamento do IF de Caraguatatuba está cheia.

Para cada vaga de estacionamento do IF de Caraguatatuba, o espaço de estacionamento está cheio.



Outro Exemplo:

Seja a proposição (n N)(n + 5 > 3)

Seu valor lógico é verdadeiro.

Seja a proposição (n N)(n + 5 > 7)

Seu valor lógico é falso.

Um outro exemplo:

Seja a proposição (x F), onde F é o conjunto de todas as flores e a propriedade p(x) é que x é amarelo.

Qual é o valor lógico de (x)p(x)?



A frase “x>0” descreve uma propriedade (uma condição) da variável x, a de ser positiva. Uma propriedade é chamada de predicado.

A notação P(x) é usada para representar alguma propriedade ou predicado, não explicitada, que a variável x possa ter.

Dessa forma, a expressão anterior “Para todo x, x>0” assume a seguinte forma geral:

(x)P(x) ou (x)p(x).

Ou sem o parêntesis,

xP(x) ou xp(x).



O valor lógico da expressão (x)(x>0) depende do domínio dos objetos sobre os quais se está referindo, ou seja, a coleção de objetos das quais pode-se escolher x.

Essa coleção ou domínio é chamada de Conjunto Universo (ou UoD).Exemplo:

Se o conjunto universo for o conjunto dos inteiros positivos, a expressão (x)(x>0) tem valor lógico verdadeiro.

Se o conjunto universo for o conjunto de todos os inteiros, a expressão tem valor lógico falso.



O Quantificador Existencial é simbolizado por , o qual se lê: “existe”, “existe algum”, “há pelo menos um” ou “para algum”:

Dessa forma, a expressão (x)(x>0) é lida como:Existe um x tal que x é maior que zero.

O valor lógico da expressão (x)(x>0) depende do domínio (conjunto universo) dos objetos envolvidos (que está-se referenciando).

Exemplo:Se o domínio (conjunto universo) contiver um número

inteiro positivo, a expressão tem valor lógico verdadeiro.

Caso contrário, a expressão terá valor falso.



Exemplo:Considere A ={a,b,c,d} e uma sentença p(x) qualquer.

Dizer que (x A)p(x) é verdade equivale a dizer que

p(a) ∨ p(b) ∨ p(c) ∨ p(d) é verdade.

Exemplo:Considere A ={3,4,5,7} e p(x) é a propriedade “x é par”.

Dizer que (x A)p(x) é verdade equivale a dizer que

3 é par ∨ 4 é par ∨ 5 é par ∨ 7 é par é verdade.



Exemplo:Seja o conjunto universo de x:

“vaga de estacionamento do IF de Caraguatatuba”

p(x) o predicado:

“está ocupada”.

Logo a quantificação existencial de P(x), (x)P(x), é uma proposição (possui um valor lógico).

Alguma vaga de estacionamento do IF de Caraguatatuba está ocupada.

Existe uma vaga de estacionamento do IF de Caraguatatuba que está ocupada.

Pelo menos uma vaga de estacionamento do IF de Caraguatatuba está ocupada.



Exemplo:

Seja a proposição (n N)(n + 4 < 8)

Seu valor lógico é verdadeiro.

Seja a proposição (n N)(n + 5 < 3)

Seu valor lógico é falso.



Exercício1 - Forneça uma interpretação para a qual (x)p(x) tem valor lógico falso.



Exercício1 - Forneça uma interpretação para a qual (x)p(x) tem valor lógico falso.

Resposta:O conjunto universo é o conjunto de todos os peixes; e p(x)

é a propriedade que x pesa mais de um quilo e meio.



Exercício 2 – Será possível encontrar uma interpretação na qual, ao mesmo tempo, (x)p(x) tem valor lógico verdadeiro e (x)p(x) tem valor lógico falso?



Exercício 2 – Será possível encontrar uma interpretação na qual, ao mesmo tempo, (x)p(x) tem valor lógico verdadeiro e (x)p(x) tem valor lógico falso?

Resposta:Não, se todos os objetos no conjunto universo satisfazem a

propriedade p(x), então (como o conjunto universo deve conter no mínimo um objeto) existe um objeto no conjunto universo com a propriedade p(x).



Exercício 3 – Será possível encontrar uma interpretação na qual, ao mesmo tempo, (x)p(x) tem valor lógico falso e (x)p(x) tem valor lógico verdadeiro?



Exercício 3 – Será possível encontrar uma interpretação na qual, ao mesmo tempo, (x)p(x) tem valor lógico falso e (x)p(x) tem valor lógico verdadeiro?

Resposta:Seja o conjunto universo constituído do conjunto de todas

as pessoas que vivem em Caraguatatuba; seja p(x) a propriedade que x é do sexo masculino. Observe que nem todo mundo que vive em Caraguatatuba é do sexo masculino, mas existe alguém que é.



Os predicados vistos até agora envolvem apenas uma variável.São denominados de predicados unários.

Eles podem ser binários, ternários, etc.

Exemplo:

(x)(y)Q(x,y)

A expressão (x)(y)Q(x,y) é lida como “para todo x existe um y tal que Q(x,y)”.Se o conjunto universo é o dos números inteiros e Q(x,y) é

a propriedade x<y, a expressão é verdadeira.

Seja a expressão (y)(x) Q(x,y)

Qual é seu valor lógico?



Em expressões do tipo (x)P(x) ou (x)P(x), a variável x é chamada de variável muda ou aparente, ou seja, o valor da expressão permanece o mesmo, em uma dada interpretação, se as expressões forem escritas como (y)P(y) ou (z)P(z).

Exemplo:(x)(x é mortal) e (Fulano)(Fulano é mortal).

(x) (x foi à Lua) e (Fulano) (Fulano foi à Lua).



Pode-se ter constantes (a,b,c,1,2,...) nas expressões (qualquer que seja o número de variáveis envolvidas), como um objeto específico do domínio.Exemplo: seja a expressão (x)Q(x,a)

Ela é falsa

– no caso em que o domínio (ou conjunto universo) é o conjunto dos números inteiros,

– e o predicado Q(x,y) é a propriedade x<y e a constante a tem o valor de 7.



Definição - uma Interpretação para uma expressão lógica envolvendo predicados consiste em:Uma coleção de objetos, chamada de conjunto universo ou

domínio da interpretação, incluindo pelo menos um objeto.

A especificação de uma propriedade dos objetos do domínio para cada predicado da expressão.

A atribuição de um objeto particular no conjunto universo para cada símbolo constante na expressão.

Expressões podem ser construídas combinando-se predicados com qualificadores, parênteses, e conectivos lógicos.Devem obedecer regras de sintaxe.

Fbfs com predicados e quantificadores são fbfs predicadas.



Exemplo de uma fbf não predicada:P(x)(x) ^ (y).

Exemplos de fbfs predicadas:P(x) ∨ Q(y).

(x)(P(x) → Q(x)).

(x)S(x) (∨ y)T(y).



Escopo:Os símbolos de agrupamento (parênteses e opcionalmente

os colchetes) identificam o escopo de um quantificador, a parte da fbf predicada à qual o quantificador se aplica.

Em (x)(P(x) → Q(x)), o escopo do quantificador x é P(x) → Q(x).

Em (x)S(x) (∨ y)T(y), o escopo de (x) é S(x) e o escopo de (y) é T(y).

Na expressão (y)(x)(R(y,b,t) (z)P(z,a)) tem-se os seguintes quantificadores e seus respectivos escopos - (y): (x)(R(y,b,t) → (z) P(z,a)).

(x): (R(y,b,t) → (z) P(z,a)).

(z): P(z,a).



Variável Livre:Se alguma variável ocorre numa fbf predicada onde ela

não faz parte de um quantificador e nem está no escopo de um quantificador envolvendo a variável, ela é denominada de variável livre.

Se há um quantificador que incide sobre a variável, diz-se que ela é uma variável aparente ou muda.

Exemplo:Na expressão (x)(Q(x,y) → (x)R(x,y))

A variável y é uma variável livre (pois a sua primeira ocorrência não é como variável de quantificador e nem está no escopo de um quantificador envolvendo y.)



Outro Exemplo:Na expressão (x)(3x – 1 = 14)

A variável x é uma variável aparente ou muda, pois ela faz parte de um quantificador.



Exercício 4 – Encontrar o valor lógico da fbf predicada abaixo, (x)(A(x) (∧ y)(B(x,y) → C(y))Com a seguinte interpretação:

O conjunto universo é o conjunto dos inteiros A(x) significa x>0 B(x,y) significa x>y C(y) significa y ≤ 0



Exercício 4 – Encontrar o valor lógico da fbf predicada abaixo, (x)(A(x) (∧ y)(B(x,y) → C(y))Com a seguinte interpretação:

O conjunto universo é o conjunto dos inteiros A(x) significa x>0 B(x,y) significa x>y C(y) significa y ≤ 0

Resposta:Seja x = 1; então x é positivo, e qualquer número inteiro

menor do que x é ≤ 0, de modo que o valor lógico da expressão é verdadeiro.

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