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Funções logarítmicas

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Funções logarítmicas

De modo geral, se a é uma constante real (a > 0

e a ≠ 1), chamamos de função logaritmo de base

a a função definida por:

y = f(x) = loga x

É claro que x > 0.

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Exemplos

y = log5 x → é a função logaritmo de base 5

y = log x → é a função logaritmo de base 10

y = log1/2 x → é a função logaritmo de base 1/2

O gráfico de uma função logarítmica é uma curva chamada de curva logarítmica.

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x

y

0

–1

1

2

1 2 4

–2

Traçar o gráfico da função logaritmo de base 2,

definida por y = f(x) = log2 x.

Exemplos

24

12

01

–11/2

–21/4

y = log2 xx

D = R+* e Im = R

→ função é crescente

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x

y

0

–1

1

2

1 2 4

–2

Traçar o gráfico da função logaritmo de base

1/2, definida por y = f(x) = log1/2 x.

Exemplos

–24

–12

01

11/2

21/4

y = log1/2 xx

D = R+* e Im = R

→ função é decrescente

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Funções logaritmos - Resumo

Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função

logaritmo y = loga x (a > 0 e a ≠ 1):

O domínio é os Reais positivos (x > 0);

O conjunto imagem é os Reais;

Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1.

Ela é decrescente em todo o seu domínio para 0 < a < 1.

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Veja os gráficos abaixo

x

y

01

D = R+* e Im = R

y = log2 x

y = log1/2 x

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Propriedades dafunção logaritmo

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Propriedades operatórias

A função logaritmo y = loga x é sempre crescente ou

sempre decrescente. Isso significa que logaritmos numa mesma base só são iguais para logaritmandos iguais.

loga m = loga n ⇔ m = n

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Exemplos

log3 x = log3 5 ⇔ x = 5

log (3x – 1) = log 2x ⇔ 3x – 1 = 2x ⇒ x = 1

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Observação

A propriedade que acabamos de demonstrar pode ser interpretada no sentido inverso. Se dois números são iguais, então seus logaritmos numa mesma base são iguais.

m = n ⇒ loga m = loga n

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Exemplos

Resolver a equação exponencial 4x = 3x+1, a partir dos valores log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.

4x = 3x+1 ⇒ log 4x = log 3x+1

⇒ x.log 4 = (x + 1).log 3

⇒ x.(2.log 2) = (x + 1).log 3

⇒ x.(2.0,301) = (x + 1).0,477

⇒ 0,602.x = 0,477.x + 0,477

⇒ 0,125.x = 0,477 ⇒ x = 3,816

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loga m > longa n ⇔ m > n

Propriedades operatórias

A função logaritmo y = loga x é crescente em

todo o seu domínio, se a > 1.

Mesmo sentido

Quanto maior o valor de x maior é o valor de loga x.

x

y

0

loga n

loga m

n m

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loga m < loga n ⇔ m > n

Propriedades operatórias

A função logaritmo y = loga x é decrescente em

todo o seu domínio, se 0 < a < 1.

Quanto maior o valor de x menor é o valor de loga x.

Sentidos contrários

x

y

0

loga n

n m

loga m

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Exemplos

log x < log 3 ⇒ x < 3

log2/5 (x – 3) < log2/5 4 ⇒ x – 3 > 4

base > 1, sinal mantido

0 < a < 1, sinal invertido

⇒ x > 7

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Equações e inequações logarítmicas

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Equações e inequações logarítmicas

Em certas equações e inequações que envolvem logaritmo, a variável aparece no logaritmando.

A resolução de uma equação e uma inequação logarítmica se baseia nas propriedades abaixo.

loga m = loga n ⇔ m = nP1.

P2. loga m > loga n ⇔ m > n

P3. loga m < loga n ⇔ m > n

(a > 1)

(0 < a < 1)

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Exemplos

Resolver a equação 2 log2 x = 1 + log2 (x + 12).

Condição de existênciax > 0

x + 12 > 0⇒ x > 0

2 log2 x = log2 2 + log2 (x + 12)

⇒ log2 x2 = log2 2(x + 12) ⇒ log2 x2 = log2 (2x + 24)

⇒ x2 = 2x + 24 ⇒ x2 – 2x – 24 = 0

⇒ x’ = –4 ou x” = 6 S = {6}.

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5 – x > 0

Exemplos

Resolver a inequação log (x – 1) ≥ log (5 – x).

Condição de existênciax – 1 > 0

⇒x > 1

x < 5

1 < x < 5 (1)

log (x – 1) ≥ log (5 – x) ⇒ x – 1 ≥ 5 – x

⇒ 2x ≥ 6 ⇒ x ≥ 3 (2)

Fazendo a interseção das condições, (1) e (2), temos

S = 3 ≤ x < 5.

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Exemplos

Obter o domínio da função definida por

y =1

√log1/3 x + 2

O radicando deve ser maior que zero, logo

log1/3 x + 2 > 0 ⇒ log1/3 x > –2

⇒ log1/3 x > log1/3 9 ⇒ x < 9

S = {0 < x < 9}.

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Aplicando logaritmosem problemas de crescimento e decrescimento

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Aplicação dos logaritmos

As funções exponenciais aparecem nas

situações em que uma variável cresce ou

decresce com o tempo, segundo uma taxa fixa.

Nesses casos, os logaritmos são muito úteis

quando se pretende descobrir o tempo

necessário para que aquela variável atinja

determinado valor.

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Exemplos

Giovanna aplicou R$ 1 000,00 a juros compostos a uma taxa de 5% ao mês. Após quanto tempo ela obteve R$ 500,00 de juros?

M = C.(1 + i)t ⇒ 1 500 = 1 000.(1,05)t

⇒ 1,05t = 1,5 ⇒ log 1,05t = log 1,5

⇒ t . log 1,05 = log 1,5

⇒ t = log 1,5

log 1,05⇒ t =

0,1761

0,0210⇒ t = 8,39

⇒ t ≈ 9 meses

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Exemplos

Giovanna aplicou R$ 1 000,00 a juros compostos a uma taxa de 5% ao mês. Após quanto tempo ela obteve R$ 500,00 de juros? Dados: log 3 = 0,477,

log 5 = 0,699 e log 7 = 0,845.

Chegamos à equação: t.log 1,05 = log 1,5

⇒ t = log 1,5

log 1,05

log 1,5 =log (15/10) = log 15 – log 10log 1,5 = log 3 + log 5 – log 10log 1,5 = 0,477 + 0,699 – 1 = 0,176

log 1,05 =log (105/100) = log 105 – log 100log 1,05 = log 3 + log 5 + log 7 – log 100 log 1,05 = 0,477 + 0,699 + 0,845 – 2 = 0,021

⇒ t = 8,39= 0,176

0,021

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Exemplos

Um determinado automóvel desvaloriza-se segundo uma taxa composta, equivalente a 5% ao ano. Daqui a quanto tempo ele valerá 80% do que vale hoje?

M = C.(1 + i)t ⇒ 0,8V0 = V0.(0,95)t

⇒ 0,95t = 0,8 ⇒ log 0,95t = log 0,8

⇒ t . log 0,95 = log 0,8

⇒ t = log 0,8

log 0,95⇒ t =

–0,0969

–0,0223⇒ t = 4,35

⇒ t ≈ 4 anos e 4 meses