Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski
description
Transcript of Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski
![Page 1: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/1.jpg)
Prezentacja multimedialna z przedmiotu „Mechanika budowli” kierunek „Budownictwo” specjalność „Technologie energooszczędne w budownictwie” sem.IV
1
Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski
![Page 2: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/2.jpg)
Wykład został przedstawiony na podstawie podręcznika Gustawa
Rakowskiego „Mechanika budowli” Oficyna Wydawnicza
Wyższej Szkoły Ekologii i Zarządzania, Warszawa 2004
![Page 3: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/3.jpg)
1.Przemieszczenia w ustrojach statycznie
wyznaczalnych
![Page 4: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/4.jpg)
Praca sił zewnętrznych
4
j
'j
j
jM iP
i
i
'i
jjiiz MPL
![Page 5: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/5.jpg)
Praca sił wewnętrznych
5
dx
N NT
T
M M
dx
N N
du
dx
M M
d
r
dx
T
T
dx
![Page 6: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/6.jpg)
Praca siły podłużnej N
6
dx
N N
du
NdudLN
dxNdLN
l l
NN dxNdLL
![Page 7: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/7.jpg)
Praca momentu zginającego M
7
dx
M M
d
r
MddLM
kdxdxr
d 1
MkdxdLM
l l
MM MkdxdLL
![Page 8: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/8.jpg)
Praca siły poprzecznej T
8
dx
T
T
dx
dxTdLT
l l
TT dxTdLL
![Page 9: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/9.jpg)
Całkowita praca sił przekrojowych
9
lll
w dxTMkdxdxNL
0l
dxT
![Page 10: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/10.jpg)
ZASADA PRAC WIRTUALNYCH
Praca zewnętrznych sił wirtualnych na odpowiadających im rzeczywistych przemieszczeniach równa się pracy wirtualnych sił przekrojowych spowodowanych wirtualnym obciążeniem na odpowiadających im rzeczywistych odkształceniach
10
dxMkdxNMPll
jj
![Page 11: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/11.jpg)
W układach prętowych
11
EAN
EJMk
Niech obciążenie wirtualne wynosi
1
Zatem:
n
j llii
jj
MdxEJMNdx
EAN
1
1
![Page 12: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/12.jpg)
BELKI
12
n
j lii
j
MdxEJM
1
1
Całkowanie:
F – pole wykresu M
Środek ciężkości M
Rzędna wykresu
Mpod środkiem ciężkości pola F
ηFdxMM
l
![Page 13: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/13.jpg)
13
abF31
a
b4b
abF21
a
b3b
a
b
b83
abF32
a
abF32
2b
2b
![Page 14: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/14.jpg)
Figury złożone
14
2b
3b
3b
b
b
a
f
a
2b
2b
f
![Page 15: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/15.jpg)
Przykład 1.1
15
q
l 4l
?
Momenty rzeczywiste
8
2ql
M
constEJ
![Page 16: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/16.jpg)
Stan obciążeń wirtualnych
16
l 4l
Momenty wirtualne
41_ lM
1
![Page 17: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/17.jpg)
Obliczenie przemieszczenia
17
8
2ql
M
41_ lM
41
21
83211
2 llqlEJ
EJql
96
4
![Page 18: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/18.jpg)
Przykład 1.2
18
2J J
l l
P?
Momenty rzeczywiste
Pl2Pl
2J J
l l
Momenty wirtualne
l1l21
1
Stan wirtualny
![Page 19: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Pl2Pl
l21 l1
EJPl 3
23
EJ2
l1
Pl
EJ
PlllEJ 3
221111 )
312
32(
2121
21 PlPlllEJ
)322
31(
211
21 PlPlllEJ
![Page 20: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/20.jpg)
RAMY
W ramach zwykle można pomijać wpływ sił podłużnych na przemieszczenia punktów konstrukcji. Zatem
20
n
j lii
j
MdxEJM
1
1
![Page 21: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/21.jpg)
21
P
A
B
C
?
ll
43
2l
2l
Przykład 1.3
constEJ
![Page 22: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/22.jpg)
22
P
A
B
C
AH
BH
BV
AV
024
3
lVlHM AAC
04
lPlVlHM AAB
PH A 74
Stan rzeczywisty:
Czyli:
Pl73
Pl73
M
![Page 23: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Stan wirtualny
A
B
C
1 1
H
HV
V041
lHlVM B
0143
2 lHlVMC
Czyli:781 H
M
781
761
![Page 24: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/24.jpg)
24
M
781
761 1 1
711
711
'M "M
Ale:
)(113
1
"'
j
l lj j
MdxMMdxMEJ
jl
MdxM 0'
Pl73
Pl73
M
![Page 25: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/25.jpg)
25
1711
711
"M711
32
21
43
73(11 lPl
EJ
)3223
322232
324233(
49
2
EJ
Pl
EJPl
1965 2
Pl73
Pl73
M
711
32
21
2732
lPl )711
32
21
73
lPl
![Page 26: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/26.jpg)
Przykład 1.4
26
q
l
l
l
constEJ ?u
![Page 27: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/27.jpg)
27
q
Stan rzeczywisty
V
H
H
02
2 lqllHM B
4qlH
4
2ql
4
2ql
MB
A
![Page 28: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/28.jpg)
Stan wirtualny:
28
BV
BH
AH
B
A
1
012 llHM AB
211 AH
M
211 BH
21 l
21 l
![Page 29: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/29.jpg)
29
4
2ql
4
2ql
M M
21 l
21 l
4
2ql
4
2ql
8
2ql
4
2ql
4
2ql
21
83211
2 llqlEJ
u
EJqlu
24
4
![Page 30: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/30.jpg)
KRATOWNICEW kratownicach występują tylko siły podłużne,
które nie zmieniają się na długościach prętów.
Zatem równanie prac wirtualnych ma postać:
30
n
j j
jjj
l
n
j
n
j li EA
lNNdx
EANNdx
EANN
jj111
1
![Page 31: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/31.jpg)
Przykład 1.5
31
?
P
l l l
l
A
2A
Przekroje prętów w pasach
Przekroje prętów w krzyżulcach
Przekroje prętów w słupkach
2A
![Page 32: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/32.jpg)
W tym przypadku wygodniej jest rozpocząć obliczenia od stanu wirtualnego.
32
1 1
1
1
21
21 21
l l l
l
![Page 33: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/33.jpg)
Stan rzeczywisty
33
P
l l l
l
Siły rzeczywiste obliczamy tylko w tych prętach, w których istnieją siły wirtualne2P2P
P2
P
P2
P3
![Page 34: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/34.jpg)
34
1 P2
21 21 2P 2P
1
P
21 P3 1 P2
A
A A
2A2
A
2A
)()1(2221222)3()21()2()1(211 PEAlP
EAlP
EAlP
EAlP
EAl
)28622( PPPPPEAl
EAPl20
![Page 35: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/35.jpg)
Przykład 1.6
35
l l l l
23l
P P
constEA
C
D
A B
?CD
![Page 36: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/36.jpg)
Stan wirtualny jest stanem samozrównoważonym
36
l l l l
23l
C
D
A B
11
![Page 37: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/37.jpg)
37
D1
1C
0211
23
CEC
y NP
331 CEN
E
F
331
331
331
331
l l l l
23l
C
D
A B
P P Stan rzeczywisty
PP
E
F
EFN
EDN
CFN
0023
EFEF NPPN PNlPlN CFCF 3023
23
PNN CFED 3
CEN
023
PNCE
PNCE 332
![Page 38: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/38.jpg)
38
D
C
E
F
331
331
331
331
D
C
E
F
P3
P3
P3
32
EAlPCD )
332)(
331(1
EAPl
CD 32
![Page 39: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/39.jpg)
PRĘTY ZAŁAMANE W PLANIE
3939
Siły przekrojowe
M
sM
T
Podpory i reakcje
Przegubowo-kulista
Przegubowo-walcowa
Utwierdzona
![Page 40: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/40.jpg)
PRĘTY ZAŁAMANE W PLANIEW prętach tych występują momenty
zginające i skręcające. Wpływ obu tych wielkości na przemieszczenia jest porównywalny.
40
)(11
dxGCMMdx
EJMM
jj l
ssn
j li
Gdzie:ss MM , - momenty skręcające
G - moduł KirchhoffaC -charakterystyka przekroju na skręcanie; w
prętach o przekrojach kołowych biegunowy moment bezwładności
![Page 41: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/41.jpg)
Równania równowagiJeśli pręt leży w płaszczyźnie xy a obciążenie jest
prostopadłe do tej płaszczyzny mamy 3 równania równowagi
41
x
y
z 0zP
0xM
0yM
- momenty względem osiyx MM ,
![Page 42: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/42.jpg)
Przykład 1.7
42
q
l
l
l
2l GCEJ 2
?A
B
C
![Page 43: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/43.jpg)
Stan rzeczywisty
43
q
l
l
l
2l
A
B
C
AV
BV
CV
x
y
z 0
232 lqllVM Cy
qlVC 43
043
23
23 lVlqllVM CBx
4243
32
43 qlqlqlVqlV CB
023
qlVVVP CBAz
243
423 qlqlqlqlVA
![Page 44: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/44.jpg)
44
2ql
4ql
4
2ql
2
2ql
Równoległe przesunięcia sił
ql43
Oznaczenia:
Wektor siły
Wektor momentu
![Page 45: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Wykresy momentów rzeczywistych
2
2ql
4
2ql43 2ql
8
2ql
32
2ql
M
2
2ql
4
2ql
sM
![Page 46: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/46.jpg)
46
l
l
l
2l
A
B
C
1
Stan obciążeń wirtualnych
y
x
z
AV
CV
BV
012 llVM Cy
211 CV
023
lVlVM CBx
311
32
CB VV
01 CBAz VVVP
651
311
2111 AV
![Page 47: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Wykresy momentów wirtualnych
M
l651
61 l
31 l
21 l
sM
l651
31 l
Wykresy momentów rzeczywistych
2
2ql
4
2ql43 2ql
8
2ql
32
2ql
M
2
2ql
4
2ql
sM
65
32
22(11
2 llqlEJ
62
183
2 2 llql
621
23232 2 llql
33
224
2 llql )
232
243 2 llql
65
2(1 2 llql
GC )
324
2 llql
GCEJ 2
EJql 4
562,0
decydujące
![Page 48: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/48.jpg)
W układach statycznie wyznaczalnych wpływ temperatury nie wywołuje powstania sił przekrojowych
48
Δt
h
Wpływy pozastatyczne – wpływ temperatury
h
gt
dt
h
t
ttt
htk t
t
współczynnik rozszerzalności termicznejt
![Page 49: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Równanie prac wirtualnych
dxhtMdxtN
l
t
ltii
1
Jeśli na długości pręta przyrost temperatury oraz stałe materiałowe nie zmieniają się, to
Mt
Ntl
t
ltii F
htFtdxM
htdxNt
1
jM
n
j
tjN
n
jtii F
htFt
11
1
W przypadku wielu prętów
Gdzie: jNF - pole wykresu wirtualnej siły podłużnej w pręcie j
- pole wykresu wirtualnego momentu zginającego w pręcie jjMF
![Page 50: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Przykład 1.8 – nierównomierny przyrost temperatury
l
l5,1
t
th
h2?
Stan wirtualny:
1
1
231
231
231 l
M
21
231
221
23
2311
ll
htll
ht tt
htl
htl tt
22
23)
83
89(
minus
minus
![Page 51: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Przykład 1.9 –równomierny przyrost temperatury
l
l l l l l l
?
t
t
t
Stan wirtualny:1
3
2
1211
1N
2N
3N
022
21
3 N2213 N
0321
1 lNl2311 N
0221
2 lNl 12 N
)22211
231(1 llltt
ltt 21
![Page 52: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/52.jpg)
W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje powstania sił przekrojowych
52
Wpływy pozastatyczne – osiadanie podpór
Ponieważ w układach statycznie wyznaczalnych nie powstają siły przekrojowe, zatem nie ma pracy sił przekrojowych.
Przemieszczenia podpór powstają w rzeczywistych obiektach na skutek różnych zdarzeń, zwłaszcza awaryjnych. Po ich zmierzeniu możemy ustalić ich skutki, w tym przypadku na przemieszczenia innych punktów konstrukcji
Czyli praca zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach równa jest zero.
![Page 53: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/53.jpg)
53
01 kk
kiiz RL
i
kR
k
- poszukiwane przemieszczenie
- reakcje podpór od jedynki wirtualnej
- znane (pomierzone) przemieszczenia podpór
Przemieszczenia podpór mogą być zarówno liniowe jak i kątowe
u
v
![Page 54: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Przykład 1.10 – przemieszczenia podpór
C
l23
l l l
l
l0
0
?
![Page 55: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/55.jpg)
55
C
l23
l l l
l
l
Stan wirtualny
1
A
B
D
E
1EV
01 llVM ED
BV
02121 lllVM BpC
1
1
AM
02311 llMM A
lC
lM A 251
l251
025111 00 l
00 25 l
0
0 A
![Page 56: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/56.jpg)
2.Metoda sił
![Page 57: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/57.jpg)
Aksjomat więzówJeżeli układ materialny jest w równowadze,
to odrzucenie dowolnego więzu i zastąpienie go reakcją nie zmienia stanu
równowagi układu
57
P
l l
P
2P
![Page 58: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/58.jpg)
METODY SIŁ
Stopień statycznej niewyznaczalności
58
Stopniem statycznej niewyznaczalności układu prętowego nazywamy liczbę całkowitą, będącą różnicą między liczbą nieznanych wielkości statycznych występujących w układzie a liczbą możliwych do ułożenia równań statyki.
Chociaż można podać ogólny wzór na stopień statycznej niewyznaczalności dowolnych układów, wygodniej jest stosować wzory do
różnych typów układów prętowych
Rozpoczniemy od analizy belek, w których można szczególnie prosto omówić koncepcję
![Page 59: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/59.jpg)
BELKI
59
Pq
Stopień statycznej niewyznaczalności: prn 3
Gdzie: r – liczba reakcji podpór3 – liczba równań równowagip – liczba przegubów rozdzielających pręty
5r 0p
235 n
![Page 60: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Podpora utwierdzona przesuwna
134 n 2136 n
1135 n 2237 n
prn 3
![Page 61: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Gdy n>0 układ jest statycznie niewyznaczalny
Gdy n=0 układ jest statycznie wyznaczalny
Gdy n<0 układ jest geometrycznie zmienny
1133 n
132 n
2335 n
![Page 62: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Warunek geometrycznej niezmienności jest tylko warunkiem koniecznym, ale nie dostatecznym
0n
Należy jeszcze sprawdzić, czy układ taki nie ma żadnych stopni swobody (s- liczba stopni swobody). Czyli musi być s=0
0n 1s
1s1n
2n 1s
2n 2s
![Page 63: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/63.jpg)
Algorytm metody siłNa przykładzie belki pokazanej uprzednio
63
1. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności
Pq
5r 0p
235 n
2. Przyjąć schemat podstawowy statycznie wyznaczalny
Musimy odrzucić n więzów, zastępując je nieznanymi reakcjami, ponumerowanymi nXXX ,..., 21
Ta operacja nie jest obiektywna, zależy od rozwiązującego i silnie wpływa na efektywność rozwiązania
![Page 64: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/64.jpg)
Algorytm metody sił
64
Pq
Warianty układu podstawowego statycznie wyznaczalnego
Pq
1X 2X
Pq
2X1X
Pq
1X2X
q
![Page 65: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/65.jpg)
Algorytm metody sił65
3. Sporządzić wykresy momentów zginających iMod stanów jednostkowych iX w układzie podstawowym
Stan 11 X
11 X
11M
Stan 12 X
12 X
2M
4. Obliczyć przemieszczenia ik w miejscach usuniętych więzów na
na kierunkach wielkości nadliczbowych od jednostkowych wartości iX
11
21
12 221 2 1
2
![Page 66: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/66.jpg)
Algorytm metody sił66
Pq
5. Sporządzić wykres momentów zginających 0M od danego obciążenia w układzie podstawowym
0M
6. Obliczyć przemieszczenia 0i w miejscach usuniętych więzów na na kierunkach wielkości nadliczbowych od obciążenia zewnętrznego
1020
1 2
![Page 67: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/67.jpg)
Algorytm metody sił67
7. Budujemy kanoniczne równania metody sił. Są to przemieszczeniowe równania więzów, z których wynika, że więzy w rzeczywistości nie są odrzucone.
W omawianym przykładzie stwierdzamy, że sumaryczny kąt obrotu w punkcie 1 równy jest zeru, gdyż w tym miejscu jest podpora utwierdzona, natomiast sumaryczne przemieszczenie w punkcie 2 też musi być zerowe, gdyż tam znajduje się środkowa podpora.
11 1X 1012
2021 1X
2X
2X22
0
0
Pq
1 2
ik przyczyna
miejsce
![Page 68: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/68.jpg)
Algorytm metody sił68
8.Rozwiązać układ równań względem niewiadomych
11 1X 1012
2021 1X
2X
2X22
0
021, XX
9.Korzystając z wzoru superpozycyjnego 22110 XMXMMM
sporządzić wykres momentów zginających oraz wykresy pozostałych sił przekrojowych
![Page 69: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/69.jpg)
Obliczanie współczynników układu równań metody sił
69
Współczynniki ik oraz 0i są przemieszczeniami, zatem do ich obliczenia można zastosować twierdzenie o pracy wirtualnej. Jeśli chcemy obliczyć np. czyli przemieszczenie w miejscu i spowodowane działaniem w miejscu k nadliczbowej należy w miejscu i przyłożyć jednostkowe obciążenie wirtualne i sporządzić od niego wykres momentów zginających. Zauważmy że takim obciążeniem będzie stan
i spowodowany nim wykres momentów .
ik1kX
1iX iM
Mamy więc: dxEJMM ki
ik
Podobnie: dxEJMM i
i0
0
![Page 70: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Zauważmy:
1) Każdegdyż - funkcja podcałkowa jest dodatnia o ile istnieje zginanie. Oznacza to, że w układach sprężystych przemieszczenie pod siłą spowodowane działaniem tej siły jest zawsze zgodne ze zwrotem jej działania.
0ii dxEJM i
ii 2)(
2) Zawsze jest kiik
11 X
12 X21
121 2 1
2
W rzeczywistości równe są prace 2112 11
Jest to szczególny przypadek twierdzenia o wzajemności, tzw. Twierdzenie Maxwella. W wyniku tego macierz układu równań metody sił jest macierzą symetryczną
![Page 71: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/71.jpg)
W układach statycznie wyznaczalnych przyrost temperatury nie wywołuje powstania sił przekrojowych
Wpływy pozastatyczneNierównomierny przyrost temperatury
71
Δt
h htk t
t
t współczynnik rozszerzalności termicznejtk - krzywizna
Układ podstawowy jest układem statycznie wyznaczalnym.Zatem:
ijM
n
j
t
ji
n
j
ti F
htdxM
ht
11
0
gdzie: ijMF - pole wykresu momentu na pręcie jiM
![Page 72: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/72.jpg)
Wpływy pozastatyczneRównomierny przyrost temperatury
72
h ttt
t
ijN
n
jt
ji
n
jti FtdxNt
110
gdzie: ijNF - pole wykresu siły na pręcie jiN
![Page 73: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/73.jpg)
W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje powstania sił przekrojowych
Wpływy pozastatyczneOsiadanie podpór
73
Zatem: 00 kk
iki R
gdzie: ikR - reakcja w podporze k wywołana obciążeniem 1iX
Czyli:k
k
iki R 0
![Page 74: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/74.jpg)
W belkach taki schemat podstawowy jest najkorzystniejszy
BELKI
74
Przykład 2.1q
J JJ5,1
l l l
Stopień statycznej niewyznaczalności
235 nSchemat podstawowy
q
1X1X 2X 2X
![Page 75: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/75.jpg)
75
Stan 11 X11 X11 X
J5,1 JJ
11M
Stan 12 X
J5,1 JJ
2M
12 X12 X
1
EJll
EJl
EJ 95
32
211
32
21
32
11
EJll
EJ 32
32
211222
EJll
EJ 61
31
211
12
![Page 76: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/76.jpg)
76
Stan obciążenia zewnętrznego
J5,1 JJ
0M
q
8
2ql
11M
EJqllql
EJ 3621
832
32 32
10 020
Układ równań:EJl
95
1X EJl
61
2X 036
3
EJql
EJl
61
1X EJl
32
02 X
![Page 77: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/77.jpg)
77
95
1X 61
2X 036
2
ql
61
1X 32
02 X
21 4XX 366
141840 2
22qlXX
18937 2
2qlX
22 74
1 qlX 21 74
4 qlX
M
8
2ql 2
741 ql
2
744 ql
![Page 78: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/78.jpg)
78
Siły poprzeczne
q2
744 ql
ql7433
ql7441
2
744 ql 2
741 ql
ql745
2
741 ql
ql741ql
741
ql7441
ql7433
ql745
ql741
T
ql745
![Page 79: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/79.jpg)
79
Obliczenie momentów zginających i naprężeń od obciążenia i nierównomiernego przyrostu temperatury
79
q
l
mkNqml
/204
kNmql 408
4208
22
MPaWM
xq 187
102141040
6
3
cmh 20
3
4
214
2140
cmW
cmJ
x
x
![Page 80: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/80.jpg)
8080
KCt 40400
1510 Kt
GPaE 205
42140cmJ x
cmh 20
kNmhtEJ xt 2,13
102021021401020540103
23
2
865
MPaWM
xt 62
10214102,13
6
3
![Page 81: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/81.jpg)
8181
cmh 22
3
4
278
3060
cmW
cmJ
x
x
Granica plastyczności stali: MPaf y 300
Dopuszczalne naprężenie: MPaf ydop 2107,0
Zatem: MPaMPa dop 21024962187
MPaWM
xq 143
102781040
6
3
MPaWM
xt 62
10278101,17
6
3
kNmhtEJ xt 1,17
102221030601020540103
23
2
865
MPaMPa dop 21020562143
Ale jest:
433,014362)2
332,018762)1
tEW
WtEWM
WtEM
WhJ
tx
xt
x
xt
xx
435,0
23
5,0
5,0
![Page 82: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/82.jpg)
BELKI Przykład 2.2
82
l3l
32l
t
constEJ consth
Stopień statycznej niewyznaczalności 11353 prn
Schemat podstawowy
1X
t
![Page 83: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/83.jpg)
83
Stan 11 X
11 X
t
1
21
1M
132
21
321(1
11l
EJ
21
32
21
321 l
)21
32
21
21 l )
121
361
92(1
EJ
lEJ36
318EJl
3
iM
n
j
t Fht
11
10
htt
)21
321
21
321( ll
htlt
4
11
101
Xhtlt
4
lEJ3
h
tEJ t
43
11 MXM
htEJ t
43
M htEJ t
83
Thl
tEJ t
89
hltEJ t
83
![Page 84: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/84.jpg)
RAMY
84
prn 3Gdzie: r – liczba reakcji podpór
3 – liczba równań równowagip – liczba warunków statyki wynikających z
istnienia przegubów
Wzór na stopień statycznej niewyznaczalności jest identyczny jak w belkach
6r
1p
2136 n 7r
2p
2237 n
![Page 85: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/85.jpg)
85
Jeśli w ramie pojawiają się obwody zamknięte, stopień statycznej niewyznaczalności wzrasta o 3a – gdzie a oznacza liczbę obwodów
zamkniętych
parn )1(3
30)11(33 n 71)12(35 nUkłady podstawowe
![Page 86: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/86.jpg)
86
Przeguby w ramie
2p 3p
1p3p
1p
![Page 87: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/87.jpg)
RAMY Przykład 2.3
87
q
l2
l
l
constEJ
Stopień statycznej niewyznaczalności
20353 prn
Schemat podstawowyq
1X
2X
![Page 88: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/88.jpg)
Stan
88
11 X
11 Xl
l
l
1M
Stan 12 X
12 X2M
l2
l2
![Page 89: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/89.jpg)
89
0M
Stan obciążenia zewnętrznego
EJllllll
EJ
32
113)2
32
23(1
EJllll
EJ
3
122
21221
EJlllllll
EJ 332)2
32
2122222(1 3
22
EJqlllql
EJ 32
222
311 4
210
l
l22ql
2l
2l
23l
1MEJqlllql
EJ 38222
311 4
220
![Page 90: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/90.jpg)
90
Układ równań:
038
3322
03223
4
2
3
1
3
4
2
3
1
3
EJqlX
EJlX
EJl
EJqlX
EJlX
EJl
Po uproszczeniach:
03
83
322
03
223
21
21
qlXX
qlXX
qlX
qlX
9394
2
1
22110 XMXMMM
M
2
98 ql
2
92 ql
2
94 ql
![Page 91: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/91.jpg)
91
Siły poprzeczne
T N
Siły podłużne
ql9
14
ql94
ql31
ql94
ql31
ql31
ql94
![Page 92: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/92.jpg)
92
Przykład 2.4Przesunięcia i obroty podpór
l2
l
l
constEJ
0
0v
0u
![Page 93: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/93.jpg)
Stan
93
11 X
11 XStan 12 X
12 X
l
01
l2
Równania prac wirtualnych
001 0010 vl 010 l
0121 0020 vl 0020 2 vl
Równania metody sił
02340
3
002
3
1
3
002
3
1
3
vlXEJlX
EJl
ulXEJlX
EJl
![Page 94: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/94.jpg)
Obliczenie od przesunięcia poziomego prawej podpory
94
0340
3
2
3
1
3
02
3
1
3
XEJlX
EJl
uXEJlX
EJl
12 403 XX
30213lEJuXX
M
30
2
30
1
1173
11740
lEJuX
lEJuX
20
11740
lEJu
20
11746
lEJu
20
11734
lEJu
![Page 95: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/95.jpg)
Obliczenie momentów zginających i naprężeń od przemieszczenia podpory
95
M
20
11740
lEJu
20
11746
lEJu
20
11734
lEJu
cmu 50
ml 3
GpaE 25
cm20
cm40
45834343
104510104510454500012
3020 mcmcmJ
kNmlEJuM 3,98
91174525246
910451025102
11746
11746 561
20
max
MPa4,18101033,53,98 3
3max
334221
1033,56
10104102 mWx
![Page 96: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/96.jpg)
96
SYMETRIA I ANTYSYMETRIA
Zawsze warto wykorzystać symetrię układu, nawet jak obciążenie nie spełnia warunków symetrii
l
2l
2l
P P
1X
11 X
2X
3X
12 X
13 X
2Pl
0M
1M 2M 3M
1
11
l ll
l
![Page 97: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/97.jpg)
97
00
0
30333322311
20233222211
10133122111
XXXXXXXXX
Pełny układ równań:
2l
2l
P
2l
2l
1X 1X
2X 2X
3X3X
2Pl
0M
1M 2M 3M
2l
2l
l l 1 1
1 1
![Page 98: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/98.jpg)
98
021 dxMM 031 dxMM
Stąd: 01312
Układ równań
00
0
30333322
20233222
10111
XXXX
X
l
2l
2l
P 2P
2P
2P
2P
S A
![Page 99: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/99.jpg)
99
SM 0
Symetria
010 00
30333322
20233222
XXXX
Antysymetria
AM 0
03020 010111 X
2Pl
2Pl
2Pl
2Pl
![Page 100: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/100.jpg)
100
Niewiadome grupowe. W przypadku symetrii konstrukcji oraz symetrii lub antysymetrii obciążenia warto wykorzystać niewiadome w postaci grup
P2 PP P P
S A
S A
PPS
S
4n
1X 1X
2X 2X
000
0
40444433422411
30344333322311
20244233222211
10144133122111
XXXXXXXXXXXXXXXX
P P
A
A
3X 3X
4X4X
![Page 101: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/101.jpg)
101
Symetria
SM 0 1M 2M
AM 0 4M3M
00
20222222
10122111
XXXX
Antysymetria
00
40444343
30344333
XXXX
![Page 102: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/102.jpg)
KRATOWNICE
102
W przypadku kratownic wzór na stopień statycznej niewyznaczalności można przedstawić w wygodniejszej formie
wprn 2
gdzie:
w
pr - liczba reakcji węzłów
- liczba prętów
- liczba węzłów
Wzór ten skonstruowany jest przy założeniu, że w każdym pręcie występuje jedna siła a dla każdego węzła można ułożyć dwa warunki równowagi, gdyż układ sił w węźle jest układem zbieżnym
![Page 103: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/103.jpg)
KRATOWNICE
103
W przypadku kratownic wzory na współczynniki układu równań Metody Sił zmieniają się, gdyż w prętach kratownic występują wyłącznie siły podłużne, stałe na długości prętów.Dlatego też:
p
j j
jkjijik EA
lNN
1
gdzie:p - liczba prętów w kratownicy
kjij NN , - siły w pręcie j odpowiednio od stanów i oraz k
jj Al , - długość i pole przekroju pręta j
E - moduł Younga materiału prętów kratownicy
![Page 104: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/104.jpg)
104
Wyrazy wolne od obciążenia zewnętrznego:
p
j j
jjiji EA
lNN
1
00
gdzie:jN0 - siły w pręcie j od obciążenia zewnętrznego
Wyrazy wolne od równomiernego przyrostu temperatury:
jij
p
jjti lNt
1
0
ijNgdzie: - siła w pręcie j od stanu i
jl - długość pręta j
jt - przyrost temperatury w pręcie j
t - współczynnik rozszerzalności termicznej materiału kratownicy
![Page 105: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/105.jpg)
W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje powstania sił przekrojowych
Wyrazy wolne od osiadania podpór:
105
gdzie:
ikR - reakcja w podporze k wywołana obciążeniem 1iX
kk
iki R 0
k - osiadanie (lub obrót) podpory k
v v
u
![Page 106: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/106.jpg)
106
Przykład 2.5P
l l l
l43
1
2
3
4
56
262104 n
Schemat podstawowy
1
2
3
4
56
P
1X2X 2X
constEA
![Page 107: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/107.jpg)
107
11 XStan
12 XStan
1
2
3
4
5611 X
1
2
3
4
5612 X
1 1 1
12 X
6,0
53cos
6,0
6,0
6,0 6,0
1
1
8,0
8,0
8,08,0
11
43l 4
5l
l
![Page 108: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/108.jpg)
108
Pręt Długość1-2 0 0 1,25l 0 0 01-3 1 0 l l 0 02-3 0 -0,6 0,75 0 0,27l 02-4 0 -0,8 l 0 0,64l 02-5 0 1 1,25l 0 1,25l 03-4 0 1 1,25l 0 1,25l 03-5 1 -0,8 l l 0,64l -0,8l4-5 0 -0,6 0,75l 0 0,27l 04-6 0 0 1,25l 0 0 05-6 1 0 l l 0 0
Suma iloczynów 3l 4,32l -0,8l
1N 2N lNN 11 lNN 22 lNN 21
EAl3
11 EA
l32,422
EAl8,0
12
![Page 109: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/109.jpg)
109
Stan obciążenia zewnętrznego
1
2
3
4
56
P
l l l
l75,0
P67,0 P33,0
4
56
P33,035N
25N
24N2 4
6
P33,056N
45N
24N0233,075,0352 lPlNM
PN 89,035
PNN 89,03513
033,075,0245 lPlNMPN 44,024
033,06,025 PNPyPN 55,025
02456 NNPxPNN 44,02456
033,0 45NPPy
PN 33,045 023 N
![Page 110: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/110.jpg)
110
Pręt Długość1-2 0 0 -1,11P 1,25l 0 01-3 1 0 0,89P l 0,89Pl 02-3 0 -0,6 0 0,75 0 02-4 0 -0,8 -0,44P l 0 0,35Pl2-5 0 1 -0,55P 1,25l 0 -0,69Pl3-4 0 1 0 1,25l 0 03-5 1 -0,8 0,89P l 0,89Pl -0,71Pl4-5 0 -0,6 0,33P 0,75l 0 -0,15Pl4-6 0 0 -0,55P 1,25l 0 05-6 1 0 0,44P l 0,44Pl 0
Suma iloczynów 2,22Pl -1,20Pl
1N 2N lNN 01 lNN 02
EAPl22,2
10 EAPl20,1
20
0N
![Page 111: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/111.jpg)
111
022,28,0321
EAPlX
EAlX
EAl
020,132,48,021
EAPlX
EAlX
EAl
202210122
201210111
XX
gdzie:
2122211
1122
212122211
1212
2122211
2211
Czyli
lEA
lEA
lEA
lEA
lEA
lEA
244,08,032,43
3
065,08,032,43
8,0
351,08,032,43
32,4
222
22112
211
PPPXPPPX
149,020,1244,022,2065,0701,020,1065,022,2351,0
2
1
![Page 112: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/112.jpg)
112
Siły w prętach: 22110 NXNXNN
Pręt1-2 -1,11P 0 0 0 0 -1,11P1-3 0,89P 1 -0,70P 0 0 0,19P2-3 0 0 0 -0,6 -0,09P -0,09P2-4 -0,44P 0 0 -0,8 -0,12P -0,56P2-5 -0,55P 0 0 1 0,15P -0,40P3-4 0 0 0 1 0,15P 0,15P3-5 0,89P 1 -0,70P -0,8 0,12P 0,31P4-5 0,33P 0 0 -0,6 -0,09P 0,24P4-6 -0,55P 0 0 0 0 -0,55P5-6 0,44P 1 -0,70P 0 0 -0,26P
1N 2N0N 11NX22NX N
PX 701.01 PX 149.02
![Page 113: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/113.jpg)
113
1
2
3
4
5
6
P
P11,1
P19,0
P09,0
P56,0
P40,0
P15,0
P31,0
P24,0P55,0
P26,0
P67,0P33,0
P70,0 P70,0
Siły w prętach
![Page 114: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/114.jpg)
114
1
2
3
4
5
6
Przykład 2.6
![Page 115: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/115.jpg)
115
t
t
t t
2l
2l
2l
2l
83l
85l
t43 t
43
4t
4t
Średnia temperatura:
W pasie:
W słupku:
W krzyżulcu:
43
25,05,0 tllt
llttśr
475,01
21
275,0 t
llttśr
425,11
21
225,1 t
llttśr
![Page 116: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/116.jpg)
116
1 63 5
1 1 1
Siły 1N
1 63 5
Przyrost temperatury
t43t
43
ltlt tt 232
43110
Siły 2N
2
3
4
512 X
12 X
6,0 6,0
8,0
8,0
11
Przyrost temperatury2
3
4
5
ltltltlt tttt 2011
43
46,0
45
41
438,020
t75,0
t25,0
t25,0
![Page 117: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/117.jpg)
117
Siły w prętach: 2211 NXNXN
Pręt1-2 0 0 0 0 01-3 1 -0,56 0 0 -0,562-3 0 0 -0,6 0,14 0,142-4 0 0 -0,8 0,19 0,192-5 0 0 1 -0,23 -0,233-4 0 0 1 -0,23 -0,233-5 1 -0,56 -0,8 0,19 -0,374-5 0 0 -0,6 0,14 0,144-6 0 0 0 0 05-6 1 -0,56 0 0 -0,56
1N 2N11NX 22NX N
EAtltltlEAX
EAtltltlEAX
ttt
ttt
232,0)2011244,0
23065,0(
562,0)2011065,0
23351,0(
2
1
tEAt
![Page 118: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/118.jpg)
118
1
2
3
4
5
6
56,0
14,0
19,0
23,0
56,0
tEAt
Siły w prętach
56,0
56,037,0
23,0
14,0
![Page 119: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/119.jpg)
119
Microsoft Equation 3.0
tEAN t56,0
Siły i naprężenia od przyrostu temperatury
1510 Kt
Kt 100
GPaE 205
MPatEAN
t 8,11410205101056,056,0 325
![Page 120: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/120.jpg)
RUSZTY PRZEGUBOWE
120
Rusztem przegubowym nazywamy układ krzyżujących się belek prostych, leżących w jednej płaszczyźnie i obciążonych prostopadle do tej płaszczyzny. Belki łączą się w węzłach, przekazując wzajemnie oddziaływania w postaci tylko sił prostopadłych do płaszczyzny rusztu.
![Page 121: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/121.jpg)
121
Węzły rusztu przegubowego
Siły przekrojowe
MT
Podpory
![Page 122: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/122.jpg)
122
Stopień statycznej niewyznaczalności
pbwrn 2
gdzier - liczba reakcjiw - liczba węzłów
b - liczba belek
p - liczba przegubów
![Page 123: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/123.jpg)
123
Węzły
2w
23226 n
1w
1r
16294 n
![Page 124: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/124.jpg)
124
Przeguby 1p
1w
2p
1w
012214 n
222217 n
![Page 125: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/125.jpg)
125
Przykład 2.7q
ll
l
l
l
23226 n
constEJ
![Page 126: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/126.jpg)
126
q
1X
1X
2X
2X 2
2ql0M
1M
2l
32l
2M
2l
32l
Schemat podstawowy
![Page 127: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/127.jpg)
127
1M
2l
32l
2M
2l
32l
0M
EJllllllllll
EJ
3
11 5433)
32
32
212
32
32
32
21
32
232
21
22(1
EJl 3
22 5433
2
2ql
3l
3l
)]33
132
32(
21
3)
32
31
332(
21
32
332
21
322[1
12lllllllllll
EJ
EJl3
12 5421
EJqlllql
EJ
42
20 245
285
2322
010
![Page 128: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/128.jpg)
128
0245
5433
5421
05421
5433
21
21
qlXX
XX
112 57,12133 XXX
0208,057,1611,0389,0 11 qlXX qlX 365,01
qlX 365,057,12 qlX 573,02
M
205,0 ql
218,0 ql
221,0 ql
226,0 ql
22110 MXMXMM
![Page 129: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/129.jpg)
129
Przykład 2.8
EJ
EJEJ2
l
l
2l
- przesunięcie podpory
12214 nSchemat podstawowy
1X
1Xl
3l
1M
32
![Page 130: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/130.jpg)
130
)33
221
3332
21
23(1
32
221
11llllll
EJlll
EJ
EJl3
11 92
0321 10
32
10
331 32
93
2lEJ
lEJX
M23lEJ
2lEJ
11 MXM
![Page 131: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/131.jpg)
131
Przykład 2.9
l
l
l
l
l
l
ll
P2
constEJ
962912 n
![Page 132: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/132.jpg)
132
Schemat podstawowy
P
P
1X
1X
2X
2X
3X
3X
4X
4X
5X
5X
6X
6X
7X
7X
8X
8X
9X
9X Uwaga: siłę 2P rozdzielić na obie belki
II
I
I
II
II
![Page 133: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/133.jpg)
133
S S
SS
09731 XXXX
05 X
S
S
S S
8642 XXXX
![Page 134: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/134.jpg)
134134
Schemat podstawowy
P
P
2X
2X
2X
2X
2X
2X
2X
2X
I
I
I
I
II
II
![Page 135: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/135.jpg)
135
2M
l
l
l l
l
l
l
l
0M
Pl
EJllllllllll
EJ
3
228)22
32
24
32
228(1
EJPlPlPlllPlll
EJ 1211)
2(
21
232
21 3
20
PlEJ
EJPlX
9611
81211
3
3
2
M
96Pl
85
3711
1137
![Page 136: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/136.jpg)
RUSZTY O WĘZŁACH SZTYWNYCH
136
Elementami rusztów o węzłach sztywnych są pręty załamane w planie.Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny rusztu.
![Page 137: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/137.jpg)
137137
Siły przekrojowe
M
sM
T
Podpory i reakcje
Przegubowo-kulista
Przegubowo-walcowa
Utwierdzona
![Page 138: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/138.jpg)
Stopień statycznej niewyznaczalności
138
parn )1(3
Gdzie: r – liczba reakcji podpór3 – liczba równań równowagia – liczba obwodów zamkniętychp – liczba warunków statyki wynikających z
istnienia przegubów
3r2r
0pa 3r0p
1a
1r 3r 1r
1a
1p
2n 4n3n
![Page 139: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/139.jpg)
Współczynniki układu równań.
139
)(1
dxGCMMdx
EJMM
jj l
sksin
j l
kiik
Gdzie:
sksi MM , - momenty skręcająceG - moduł KirchhoffaC -charakterystyka przekroju na skręcanie; w prętach o
przekrojach kołowych biegunowy moment bezwładności
Wyrazy wolne:
m
rrir
l
ssin
j l j
jtii Rdx
GCMMdx
ht
EJMM
jj1
0
1
00 ))((
Gdzie:sii MM ,
00 , sMM
t
jt
jh
nm
irR
r
- Momenty w stanie 1iX
- Współczynnik rozszerzalności termicznej
-Nierównomierny przyrost temperatury w pręcie j- Wysokość pręta j
- Liczba prętów
- Liczba więzów podporowych
- Reakcja podpory r w stanie
1iX
- Przesunięcie podpory r
- Momenty od obciążenia zewnętrznego
![Page 140: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/140.jpg)
Przykład 2.10
140
l
l
l
2l 2
lA
B
C
PPrzekrój
wd zd
Materiał : stal 3,0
EEEG 385,0)3,01(2)1(2
)(64
44wz ddJ
JddJC wz 2)(32
440
1135 n
Schemat podstawowy
AB
C
P
1X Wektor momentu
![Page 141: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/141.jpg)
141
A
C
11 X
l
2l 2
lB
AV
02
1^ lVM ACC l
VA2
A
C
B
1
1
4
3
C
l2
2
1
l2
1
C
4
A
C
4 1
1SM
l2
^C
1M
1
![Page 142: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/142.jpg)
142142
A
C
l
2l 2
lB
AV
022
^
lVlPM ACCPVA
A
C
B
Pl
C
P
Pl
P2C
A
C
0SM
l
l
P
^CPl
Pl3
Pl3
Pl
Pl3
0MB
Pl
Pl3
P
Pl
![Page 143: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/143.jpg)
143
)121424(1)432
21241
32
21
2133
32
21
233(1
11 llGC
lllEJ
)232(385,02
)3
3221
29(11
EJl
EJl
EJl
EJl 83,59)16,4467,15(11
)12423(1)]2314
32(
2132
2121
32
21
23
32
21
233[1
10 lPllPlGC
lPllPllPllPlEJ
)224(385,02
)5261
29(
22
10
CJ
PlEJPl
EJPl
EJPl 22
10 44,45)77,3367,11(
PlPlX 76,082,5944,45
1
A
C
B
Pl52,0
Pl76,0
Pl24,0
Pl72,0
M
A
C
B
Pl24,0
SM
Pl24,0
Pl04,0
Pl04,0
WPl
WPl
WPl
red 76,060,024,05,0352.03 2222 WPl52,0
WPl
224,0
![Page 144: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/144.jpg)
144
l
2l2
l
83l
Przykład 2.11 Przekrój
b
b2
43
32
12)2( bbbJ
44
4
4
458,0)16052,063,02(
3)052,063,0(
3bb
nnbC
Materiał : żelbet 2,0
EEEG 417,0)2,01(2)1(2
Schemat podstawowy
336 n
1X
1X
2X2X
3X
3X
Oznaczenia:
Wektor siły
Wektor momentu
JJC 687,02
3458,0
![Page 145: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/145.jpg)
145
Plan
11 X 11 X
54cos
53sin
8,08,0
1M 6,01SM
6,0
11
S
S
A
A
12 X
12 X
6,0
2M
8,0
2SM
11S
S
A
A
6,0
8,0
021 dsMM 021 dsMM SS012
![Page 146: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/146.jpg)
146
Plan Siła od nas Siła do nas
13 X
54cos
53sin
13 XSA
3M3SM
S013
l85
l85
l83 l
83
l8
11 l811
2l
2l
A
Wyrazy wolne:
W stanach 21, XX w podporach nie pojawiają się reakcje w postaci sił. Stąd 02010
W stanie 3X
1
w podporze lewej pojawia się reakcja równa jeden. )1(30
![Page 147: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/147.jpg)
147
00 1111 XX
00
30333322
233222
XXXX
EJll
JEl
EJl
GCll
EJ24,5
687,0417,04,0245,28,0
858,02)6,0
856,011(2
22
EJlll
EJGClllll
EJ
222
23 984,1)12815
87(202)6,0
21
85
851
2)
83
811[(2
222)
85
32
21
85
85)
811
31
83
32(
21
83)
83
31
811
32(
21
811[(2
33lll
GClllllllllll
EJ
EJl
JEl
EJl 333
33 410,15687,0417,04
2]2464
125)2411
246(
283)
243
2422(
2811[2
041,15984,1
0984,124,5
32
2
32
lEJXlXl
XlX
lEJX
lEJX
0682,0
0258,0
3
22
![Page 148: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/148.jpg)
148
206
M SMS
341
581
514
1096
A
A
210000lEJ
206
341S
155 155
581
1096
514
581 206
514
341
1096 1096
514 514581
581155
155
Plan
Aksonometria Równowaga węzła
05148,02066,058106,02068,0581341
![Page 149: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/149.jpg)
3.Metoda przemieszczeń
![Page 150: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/150.jpg)
1 2
Układ analizowany
Niewiadomymi metody są wielkości geometryczne
![Page 151: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/151.jpg)
φ1 φ2
1 2
Kąty φ1 , φ2 muszą być takie, by zachodziła równowaga węzłów
151
![Page 152: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/152.jpg)
Konwencja znakówDodatnie zwrotu kątów i momentów zgodnie z ruchem wskazówek zegara
φ φ
M
M
152
![Page 153: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/153.jpg)
153
![Page 154: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/154.jpg)
φ1= 1
1 2
K11
K21
φ2= 1
1 2
K12
K22
154
![Page 155: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/155.jpg)
1 2
K20K10=0
155
![Page 156: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/156.jpg)
Równania równowagi węzłów
K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0
Jest to układ równań algebraicznych liniowych. Niewiadomymi są kąty φ1 i φ2 a współczynniki Kik oznaczają reakcje w narzuconych na węzły więzach
156
![Page 157: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/157.jpg)
Założenia
1.Układy ramowe –siatka prętów ortogonalna2.Małe przemieszczenia3.Obowiązuje prawo Hooke’a4.Siły podłużne nie powodują zmian długości prętów
157
![Page 158: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/158.jpg)
Rodzaje węzłów
φi
φi
i
Węzeł sztywny Węzeł przegubowy
i
φk
φj
158
![Page 159: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/159.jpg)
12 1 2 3
Δ Δ Δ
Niewiadome: φ1 , φ2 Niewiadome: φ1 , φ2 , φ3 , Δ
Stopień geometrycznej niewyznaczalności: n=Σ φi + Σ Δi
Ramy o węzłach sztywnych
159
![Page 160: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/160.jpg)
Ramy z częścią węzłów przegubowych
12
ΔIΔI
ΔI
ΔII ΔII
Niewiadome: φ1 , φ2 , ΔI , ΔII
Cięciwy prętów po odkształceniu
160
![Page 161: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/161.jpg)
Ramy z częścią węzłów przegubowych
1 2 3
4
ΔI
ΔIΔI ΔII
ΔII
Niewiadome: φ1 , φ2 , φ3 , φ4 , ΔI , ΔII161
![Page 162: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/162.jpg)
162
![Page 163: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/163.jpg)
WZORY TRANSFORMACYJNEBelka obustronnie utwierdzona
EJiki k
φi
φk
Ψik
wi wk
Mki
Mik
ikl
163
![Page 164: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/164.jpg)
Momenty przywęzłoweObliczenie metodą sił
i kX1=Mik X2=Mki
wi wk
φi φk
Ψik
Ψik = (wk – wi) ∕
ikl
ikl
164
![Page 165: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/165.jpg)
Obliczenie wyrazów wolnychna podstawie twierdzenia o pracy wirtualnej
X1 = 1
X2 = 1
iki wl
wl
111 10
lww ik
i
10
lww ik
k
20
l1
l1
l1
l1
165
![Page 166: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/166.jpg)
Współczynniki układu równań metody sił
1 M1
1
M2
k
i
EJl
EJl
20
10
2112
2211
6
3
166
![Page 167: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/167.jpg)
k
i
XEJlX
EJl
XEJlX
EJl
21
21
36
63
3261
32
1
kiX
EJl
3221 kil
EJX
3222 ikl
EJX
167
![Page 168: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/168.jpg)
Belka obustronnie utwierdzona
0kiM0
ikM
0
0
322
322
kiikki
ikkiik
MlEJM
MlEJM
168
WZORY TRANSFORMACYJNE
![Page 169: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/169.jpg)
WZORY TRANSFORMACYJNEBelka jednostronnie utwierdzona
EJiki k
φi
Ψik
wi wkMik
ikl
169
![Page 170: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/170.jpg)
Moment przywęzłowyObliczenie metodą sił
i kX1=Mik
wi wk
φi
Ψik
Ψik = (wk – wi) ∕
ikl
ikl
170
![Page 171: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/171.jpg)
Obliczenie momentu
X1 = 1 iki w
lw
l
111 10
lww ik
i
10
i
i
lEJX
EJl
3
3
1
10
11
l1
l1
171
![Page 172: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/172.jpg)
Belka jednostronnie utwierdzona
0ikM
03ikiik M
lEJM
172
WZORY TRANSFORMACYJNE
![Page 173: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/173.jpg)
Momenty wywołane wpływami zewnętrznymi
Schemat 0kiM0
ikM
0ikM 0
kiM
0ikM 0
kiM
0kiM0
ikM
P
0,5 l 0,5 l
q
8Pl
8Pl
12
2ql
12
2ql
t ht
EJ t
ht
EJ t
l
173
![Page 174: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/174.jpg)
Momenty wywołane wpływami zewnętrznymi
Schemat 0ikM
0ikM
0ikM
0ikM
P
0,5 l 0,5 l
q
t
l
163Pl
8
2ql
ht
EJ t
23
174
![Page 175: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/175.jpg)
ALGORYTM METODY PRZEMIESZCZEŃPostępowanie formalne
175
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj
i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych
j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów
n=k+m
2. Ponumerować niewiadome rozpoczynając od kątów obrotuφ1 , φ2 ,….φk , Δk+1 , Δk+2 ,.. Δn
3. Napisać układ równań kanonicznychK11φ1 + K12φ2 + … + K1,k+1 Δk+1 +…+ K1n Δn + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + … + K2,k+1 Δk+1 +…+ K2n Δn + K20 = 0…………………………………Kn1φ1 + Kn2φ2 + … + Kn,k+1 Δk+1 +…+ Knn Δn + Kn0 = 0
![Page 176: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/176.jpg)
ALGORYTM METODY PRZEMIESZCZEŃPostępowanie formalne
176
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
6. Obliczyć reakcje nałożonych więzów Ki0 wywołane przyczynami zewnętrznymi.
7. Reakcje Kij oraz Ki0 wstawić do układu równań kanonicznych i rozwiązać równania ze względu na φi oraz Δj .
![Page 177: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/177.jpg)
ALGORYTM METODY PRZEMIESZCZEŃPostępowanie formalne
177
8. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów transformacyjnych.
9. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.
10.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.
11. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
![Page 178: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/178.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna k=2, m=0, n=2
178
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj
i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych
j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów
n=k+m
q
l l
l
.constEJ
A B
C
![Page 179: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/179.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna Niewiadome: φ1 , φ2
179
q
l l
l
2. Ponumerować niewiadome rozpoczynając od kątów obrotuφ1 , φ2 ,….φk , Δk+1 , Δk+2 ,.. Δn
.constEJ 1 2
A B
C
![Page 180: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/180.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0
180
q
l l
l
.constEJ 1 2
3. Napisać układ równań kanonicznychK11φ1 + K12φ2 + … + K1,k+1 Δk+1 +…+ K1n Δn + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + … + K2,k+1 Δk+1 +…+ K2n Δn + K20 = 0…………………………………Kn1φ1 + Kn2φ2 + … + Kn,k+1 Δk+1 +…+ Knn Δn + Kn0 = 0
A B
C
![Page 181: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/181.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
181
q
l l
l
.constEJ 1 2
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
12
A B
C
![Page 182: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/182.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
182
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
Stan φ1 =1 φ2=0
12
K11
M12K21
A B
C
M1A M2B=0M21
M2C=0
MA1
![Page 183: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/183.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
183
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
lEJ
lEJ
lEJM AAA
4)03012(2)32(2111
lEJ
lEJ
lEJM 4)03012(2)32(2
122112
lEJMMK A
812111
lEJ
lEJ
lEJM 2)03102(2)32(2
211221
0)00(3)(32122
lEJ
lEJM B
0)00(3)(3222
lEJ
lEJM CC
lEJMMMK CB
2222121
![Page 184: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/184.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
184
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
Stan φ2 =1 φ1=0
12
K12 M12
K22
A B
C
M1A=0 M2B
M21
M2C
MA1=0
![Page 185: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/185.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
185
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
lEJ
lEJ
lEJM 2)03102(2)32(2
122112
0)03002(2)32(2111
lEJ
lEJM AAA
lEJMMK A
211212
lEJMMMK CB
10222122
lEJ
lEJ
lEJM 4)03012(2)32(2
121221
lEJ
lEJ
lEJM BB
3)01(3)(3222
lEJ
lEJ
lEJM CC
3)01(3)(3222
![Page 186: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/186.jpg)
186
Ważna uwaga:Zauważmy, że rozwiązywanym przykładzie K21=K12. Nie jest to przypadek. Przypomnijmy znane wcześniej twierdzenie Betti’ego: „Jeśli na ustrój sprężysty działają dwa układy sił, to praca pierwszego na przesunięciach wywołanych przez drugi układ równa się pracy drugiego układu na przesunięciach wywołanych przez układ pierwszy”.
Rozpatrzmy dwa układy statycznie niewyznaczalne. Na żaden nie działa jakakolwiek siła czynna, natomiast w pierwszym układzie podpora i doznaje jednostkowego przesunięcia (lub obrotu), zaś w układzie drugim podobnego przesunięcia (lub obrotu) doznaje podpora k .
![Page 187: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/187.jpg)
Twierdzenie o wzajemności reakcji
187
Układ 1 Układ 2
i i
k k
1Rki 1
Rik
Rik ∙ 1 = Rki ∙ 1
Rik = Rki
![Page 188: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/188.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
188
q
l l
l
.constEJ 1 2
6. Obliczyć reakcje nałożonych więzów Ki0 wywołane przyczynami zewnętrznymi.
12
A B
C
![Page 189: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/189.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
189
l
6. Obliczyć reakcje nałożonych więzów Ki0 wywołane przyczynami zewnętrznymi.
q
12
2ql
12
2ql
12
122
02120
201210
qlMK
qlMK
![Page 190: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/190.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
190
7. Reakcje Kij oraz Ki0 wstawić do układu równań kanonicznych i rozwiązać równania ze względu na φi oraz Δj .
012
102
012
28
2
21
2
21
qllEJ
lEJ
qllEJ
lEJ
EJlql
EJlql
12102
1228
2
21
2
21
EJlql
EJlql
12385
12386
2
2
2
1
![Page 191: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/191.jpg)
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
191
8. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów transformacyjnych.
101238
301238
381220121238
638522 2
222
21
qlqlql
EJlql
lEJM
22
1 191
1238622 ql
EJlql
lEJM A 8
8191
1212385
38622 2
22
12
qlql
EJlql
lEJM
4381
123862 2
2
1 qlEJlql
lEJM A
51238
151238
53
51238
151238
53
22
2
22
2
qlEJlql
lEJM
qlEJlql
lEJM
C
B
gdzie:152
2ql
![Page 192: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/192.jpg)
Wykres momentów zginającychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna
192
9. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.
8
4
5
510
M
8
2ql
2l
152
2ql
![Page 193: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/193.jpg)
Wyznaczanie sił poprzecznychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna
193
10.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.
8
4
12
12
q8 10
74
78
5
55
5
5
5l
![Page 194: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/194.jpg)
Wykres sił poprzecznychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna
194
10.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.
+
-12
5
5
74
78
T
![Page 195: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/195.jpg)
Wyznaczanie sił podłużnychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna
195
11. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
1
A B
C
N1A
12
12
74 78
7874
5
5
25
5
N12 N21 N2C
N2B
1274
12
1
NN A 01P
1221 NN
02P
837
2
2
B
C
NN
l
![Page 196: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/196.jpg)
Wykres sił podłużnychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna
196
11. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
-
-
-
-
74 83
12
7
l
N
![Page 197: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/197.jpg)
Ramy przesuwneSą to ramy, w których co najmniej jeden węzeł doznaje przemieszczeń
197
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj
n=1+1=2
2. Ponumerować niewiadome rozpoczynając od kątów obrotuφ1 , φ2 ,….φk , Δk+1 , Δk+2 ,.. Δn
Niewiadome φ1 , Δ2
1 2
A B
![Page 198: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/198.jpg)
Ramy przesuwneSą to ramy, w których co najmniej jeden węzeł doznaje przemieszczeń
198
3. Napisać układ równań kanonicznych
1 2
A B
K11φ1 + K12Δ2 + K10 = 0K21φ1 + K22Δ2 + K20 = 0
1
2
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
![Page 199: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/199.jpg)
Ramy przesuwneSą to ramy, w których co najmniej jeden węzeł doznaje przemieszczeń
199
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych
1 2
A B
1
2
1
K11K21
A B
11 2 2
1K22
K12
![Page 200: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/200.jpg)
Do wyznaczenia reakcji w podporze 2 potrzebna jest znajomość sił poprzecznych
200
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych
Reakcje w podporze 1 obliczyć można podobnie jak w przykładzie 1. Inaczej jest z reakcjami w podporze 2.
K2i
T1A T2B
![Page 201: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/201.jpg)
To nie jest wygodne. Uprościmy algorytm metody przemieszczeń
201
Siły poprzeczne mogą być oczywiście wyznaczone z równań równowagi odpowiednich belek. I tak w belce obustronnie utwierdzonej mamy:
02 26
ikkikiik
ik TlEJ
lMM
T
Natomiast w belce jednostronnie utwierdzonej:ikki TT
02
3iki
ikik T
lEJ
lM
T
![Page 202: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/202.jpg)
Algorytm uproszczony202
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj
i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych
j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów
n=k+m2. Narysować plan przemieszczeń węzłów. Jako niewiadome przyjąć kąty obrotu węzłów i cięciw prętów.3. Ponumerować niewiadome, osobno numerując kąty obrotu węzłów i niezależne kąty obrotu cięciw prętów φ1 , φ2 ,….φk , ψI , ψII ,.. ψM . Cięciwy prętów numerujemy
liczbami rzymskimi.4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
![Page 203: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/203.jpg)
Algorytm uproszczony203
5. Zwolnić wszystkie więzy i zapisać momenty przywęzłowe wywołane obrotami węzłów i cięciw.6. Obliczyć momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym.7. Napisać równania równowagi węzłów.8. Napisać równania pracy wirtualnej momentów i sił zewnętrznych działających na wirtualne łańcuchy kinematyczne.9. Rozwiązać układ równań metody przemieszczeń.
![Page 204: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/204.jpg)
Algorytm uproszczony204
10. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów transformacyjnych.
11. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.
12.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.
13. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
![Page 205: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/205.jpg)
1 2 3
4
ΔI
ΔI
ΔI ΔIIΔII
Plan przemieszczeń węzłów205
2 niezależne przesuwy. Kąty obrotu cięciw prętów
l
1,5 l l
5 6
I 362514
P
II
II
5,15623
4512
![Page 206: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/206.jpg)
12
3
4
Praca momentów na łańcuchu kinematycznym206
l
1,5 l l
5 6
1 1 1
M14
M41
M25
M36
KI
l1
Ale KI=0 brak podpory I
Pu
036254114 uP1M1M1MMl1K I
0IM - Moment sił zewnętrznych na łańcuchu I
0036254114 IMMMMM
![Page 207: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/207.jpg)
12
3
4
Praca momentów na łańcuchu kinematycznym207
l
1,5 l l
5 611,5
11,5
1
1
1,5l1
KII
M12
M45
M21 M23 M32
03223452112 1,5MMMMM
P
03223452112 11,5MM1M1MM1,5l1K II
00 IIM
![Page 208: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/208.jpg)
Przykład 3.2 Rama przesuwna
208
.constEJ 2l
2l
l43l
1 2
AB
C
P l43
![Page 209: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/209.jpg)
Przykład 3.2 Rama przesuwna k=2 ; m=1 ; n=3
209
2l
2l
l43l
1 2
AB
C
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów; n=k+m
Pl4
3
![Page 210: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/210.jpg)
Przykład 3.2 Rama przesuwna Niewiadome: φ1, φ2 , ψI
210
2l
2l
l43l
1 2
AB
C
2.Narysować plan przemieszczeń węzłów. Jako niewiadome przyjąć kąty obrotu węzłów i cięciw prętów.
l43
II
34
3. Ponumerować niewiadome, osobno numerując kąty obrotu węzłów i niezależne kąty obrotu cięciw prętów φ1, φ2,….φk , ψI , ψII ,..ψM. Cięciwy prętów numerujemy liczbami rzymskimi.
P
![Page 211: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/211.jpg)
Przykład 3.2 Rama przesuwna
211
2l
2l
l43l
1 2
AB
C
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
1 2I
Pl4
3
![Page 212: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/212.jpg)
Przykład 3.2 Rama przesuwna
212
2l
2l
l43l
1 2
AB
C
5. Zwolnić wszystkie więzy i zapisać momenty przywęzłowe wywołane obrotami węzłów i cięciw.
P
0111 322AIA M
lEJM
2112 22 lEJM
1221 22 lEJM
l43
0111 32AIA M
lEJM
IB l
EJM 344
22
22244
33
lEJ
lEJM C
![Page 213: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/213.jpg)
Przykład 3.2 Rama przesuwna
213
6. Obliczyć momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym.
801
PlM A 801
PlM A
7. Napisać równania równowagi węzłów.
08
628 21 Pl
lEJ
I
03
16122 21
Il
EJ
![Page 214: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/214.jpg)
Przykład 3.2 Rama przesuwna
214
2l
1 2
A
B
C
8. Napisać równania pracy wirtualnej momentów i sił zewnętrznych działających na wirtualne łańcuchy kinematyczne.
P
1
34
1
M1A M2B
MA1
023
4211
lPMMM BAA
Ponieważ 01
01 AA MM
029
1723
166 21
lPlEJ
I
![Page 215: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/215.jpg)
Przykład 3.2 Rama przesuwna
215
9. Rozwiązać układ równań metody przemieszczeń. 0
8628 21
PllEJ
I
03
16122 21
Il
EJ
029
1723
166 21
lPlEJ
I
EJlPl
EJlPl
EJlPl
I
03161,0
01328,0
00458,0
2
1
![Page 216: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/216.jpg)
Przykład 3.2 Rama przesuwna
216
10. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów transformacyjnych.
11. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.
0.115Pl0.053PL
0.062Pl
0.045Pl
0.302Pl M
PlMPlMPlMPlMPlMPlM
B
C
A
A
115.0053.0062.0045.0
045.0302.0
2
2
21
12
1
1
0.121Pl
![Page 217: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/217.jpg)
Przykład 3.2 Rama przesuwna
217
12.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.
0.847P
0.153P
0.107P0.071P
0.153P
Równowaga na oś poziomą
P
0.847P
0.153P
T
![Page 218: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/218.jpg)
Przykład 3.2 Rama przesuwna
218
3. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
0.153P
0.107P
0.036P
Równowaga na oś pionową
N 0.107P
0.036P
0.071P
![Page 219: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/219.jpg)
Wpływy pozastatyczneNależą do nich przede wszystkim wpływ temperatury oraz wpływ przemieszczeń podpór
219
1. Nierównomierny przyrost temperatury
Δt
h
Momenty w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane nierównomiernym przyrostem temperatury
zestawione są w tablicy
![Page 220: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/220.jpg)
Przykład 3.3 Nierównomierny przyrost temperatury
220
A 1 2 BΔt
1,5l l l
EJ=const.
22
1221
2112
111
3
22
222
322
33
23
lEJM
lEJM
lEJM
htEJ
lEJ
htEJ
lEJM
B
ttA
![Page 221: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/221.jpg)
Przykład 3.3 Nierównomierny przyrost temperatury
221
072
02
326
21
21
lEJ
htEJ
lEJ t
0322
0222
32
212212
2111
lEJ
lEJMM
lEJ
htEJ
lEJM
ii
t
ii
EJl
htEJ
EJl
htEJ
t
t
7667621
2
1
![Page 222: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/222.jpg)
Przykład 3.3 Nierównomierny przyrost temperatury
222
181872
72
2
21
12
1
B
A
MMMM
htEJt
76
M72β
18β
T
l
lTT
lTT
lTT
BB
AA
1818
901872
485.1
72
22
2112
11
48γ
90γ
18γ
![Page 223: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/223.jpg)
Wpływy pozastatyczneRozwiązanie nie zależy od przyjętego układu geometrycznie wyznaczalnego
223
2. Równomierny przyrost temperatury
Stan zewnętrzny musi być rozważany w układzie geometrycznie wyznaczalnym. Należy w tym układzie sporządzić plan przemieszczeń węzłów.
t tΔ
Δ
![Page 224: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/224.jpg)
Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury
224
l l
l
.constEJ 1 2
A B
C
K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0
tt
01A
02B
![Page 225: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/225.jpg)
Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury
225
tltl
tt
A
220
1
tltl
tt
B
02
tlEJ
lEJMK
tlEJ
lEJMK
tAB
tAA
33
1232
01
0220
01
0110
03102
01228
21
21
tlEJ
lEJ
lEJ
tlEJ
lEJ
lEJ
t
t
05,1
2
1
tt
![Page 226: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/226.jpg)
Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury
226
ltEJ
tlEJ
lEJM t
tAA
9
65,1232 0111
ltEJ
tlEJ
lEJM t
tAA
6
632322 0111
ltEJ
tlEJ
lEJM t
t
6
032222112
ltEJ
tlEJ
lEJM t
t
3
5,102221221
0322
lEJM C
ltEJ
tlEJ
lEJM t
tBB
3
033 0222
![Page 227: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/227.jpg)
Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury
227
9β
6β3β
M
ltEJt
T
l15
l6
l3
![Page 228: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/228.jpg)
Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury
228
l6
l18
l18
NRównowaga
l15 l
3
l6 l
6
l6
l15
![Page 229: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/229.jpg)
Wpływy pozastatyczneRozwiązanie nie zależy od przyjętego układu geometrycznie wyznaczalnego
229
2. Osiadanie podpór
Stan zewnętrzny musi być rozważany w układzie geometrycznie wyznaczalnym. Należy w tym układzie sporządzić plan przemieszczeń węzłów.
![Page 230: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/230.jpg)
Przykład 3.5 Osiadanie podpórPodpory osiadają o ustalone (pomierzone) wielkości
230
.constEJ 2l
2l
l43l
1 2
AB
C
l43
Δ0
2Δ0
![Page 231: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/231.jpg)
Przykład 3.5 Osiadanie podpórPodpory osiadają o ustalone (pomierzone) wielkości
231
.constEJ 2l
2l
l43l
1 2
A
B
C
l43
Δ0
2Δ0
Układ geometrycznie wyznaczalny
01A
012 0
2C
![Page 232: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/232.jpg)
Przykład 3.5 Osiadanie podpórPodpory osiadają o ustalone (pomierzone) wielkości
232
lA00
1
l00
122
ll
EJlEJM CC
002
02
3243
3
llC 38
43
2 0002
0628 012
0121 MM
lEJ
AI
03
16122 02
02121
CI MM
lEJ
09
1723
166 01
0121
AAI MM
lEJ
ll
EJlEJMM AAA
001
01
01
632
ll
EJlEJMM 00
12021
012
1232
![Page 233: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/233.jpg)
Przykład 3.5 Osiadanie podpór
233
018
628 20
21
lEJ
lEJ
I
020
316122 2
021
lEJ
lEJ
I
012
9172
3166 2
021
lEJ
lEJ
I
l0
1 4496,2
l0
2 2968,2
lI04994,0
![Page 234: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/234.jpg)
Przykład 3.5 Osiadanie podpór
234
0111 32AIA M
lEJM
0111 322AIA M
lEJM
2112 22 lEJM
1221 22 lEJM
22244
33
lEJ
lEJM C
IB l
EJM 344
222
02
20
2
20
21
20
12
20
1
20
1
52,6
81,22
29,16
80,6
80,6
90,1
lEJ
M
lEJ
M
lEJ
M
lEJ
M
lEJ
M
lEJ
M
B
C
A
A
![Page 235: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/235.jpg)
Przykład 3.5 Osiadanie podpór
235
1.90β
6.80β
16.29β
22.81β
6.52β
M
8,70γ
23,09γ30,41γ
8,70γ T
23,09 γ7,32 γ
8,70 γ
Nγ=β/l
![Page 236: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/236.jpg)
Symetria i antysymetria
236
![Page 237: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/237.jpg)
Każde obciążenie w konstrukcji symetrycznej można rozłożyć na część symetryczną i antysymetryczną
237
q
Oś symetriikonstrukcji
q/2 q/2q/2 q/2
Oś symetriikonstrukcji
Oś symetriikonstrukcji
S APręt przecięty osią symetrii konstrukcji
![Page 238: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/238.jpg)
238
q/2 q/2
S
q/2
![Page 239: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/239.jpg)
239
q/2 q/2
Oś symetriikonstrukcji
A
q/2
![Page 240: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/240.jpg)
Belka utwierdzona z jednej strony przesuwnie
240
i
φi
l
i
φi
2l
φi
0022
2ikiikiiik M
lEJM
lEJM
Wzór transformacyjny
k
![Page 241: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/241.jpg)
Momenty wywołane wpływami zewnętrznymi
Schemat 0kiM0
ikM
0ikM 0
kiM
0ikM 0
kiM
0kiM0
ikM
P
0,5 l 0,5 l
q
l
241
83PL
8Pl
3
2ql 6
2ql
l
P
2Pl
2Pl
2Pl
Δt – jak w belce obustronnie utwierdzonej
![Page 242: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/242.jpg)
Przykład 3.6242
J=const
1,5l
l l l
t
![Page 243: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/243.jpg)
Przykład 3.6243
l l/2
t/21,5l
l l/2
t/21,5l
![Page 244: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/244.jpg)
Przykład 3.6244
l l/2
t/2
1 2 C
A B
1,5l
Układ geometrycznie wyznaczalny
l l/2
t/2
1 2
A B
1,5l
012
tltl
tt
43
25,10
12
![Page 245: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/245.jpg)
Przykład 3.6245
22
22
0211221
0122112
11
2
23
3
22
22
23
3
lEJM
lEJM
MlEJM
MlEJM
lEJM
SC
SB
SS
SS
SA
4
3632 012
021
012
tlEJ
lEJMM tSS
ltEJ
MM tSS
290
210
12
02982
02926
21
21
t
t
t
t
t
t
t
t
44184427
2
1
![Page 246: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/246.jpg)
Przykład 3.6246
ltEJ
M
M
M
MltEJ
M
t
SC
SB
S
S
tSA
22
18
18
36
27
272227
2
2
21
12
1
27 27
36 36
18 18
18
MS
![Page 247: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/247.jpg)
Przykład 3.6247
l l/2
t/21,5l
Układ geometrycznie wyznaczalny
l l/2
t/2
1 2
A B
1,5l
012
tltl
tt
43
25,10
12
Plan przemieszczeń węzłówψ ψ
Ψ=2Δ/3l
![Page 248: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/248.jpg)
Przykład 3.6248
22
22
0212121
0122112
11
23
23
3
)2(2
)2(2
23
3
lEJM
lEJM
MlEJM
MlEJM
lEJM
SC
SB
AA
AA
AA
4
3632 012
021
012
tlEJ
lEJMM tAA
ltEJ
MM tAA
290
210
12
0422
0292122
029226
21
21
21
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
127124
1210
2
1
![Page 249: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/249.jpg)
Przykład 3.6249
MA
tlEJt
lEJM
tl
EJtl
EJM
tlEJt
lEJM
tl
EJttlEJM
tl
EJtl
EJM
ttSC
ttSB
ttA
tttA
ttAA
28123
2742
12
23
1254108
122
21254420
122
27102
12
2
2
21
12
1
3
4
4
tl
EJt
2
3
![Page 250: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/250.jpg)
Przykład 3.6250
7
69
26
2916
62
3
38
ltEJ t
22
M
![Page 251: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/251.jpg)
251
P
Oś symetriikonstrukcji
P/2 P/2 P/2 P/2
Oś symetriikonstrukcji
Oś symetriikonstrukcji
AS
Pręt leżący na osi symetrii konstrukcji
![Page 252: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/252.jpg)
252
P/2 P/2
Oś symetriikonstrukcji
P/2 J=∞
S
![Page 253: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/253.jpg)
253
A
Oś symetriikonstrukcji
P/2 P/2P/2
J1=J∕2
![Page 254: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/254.jpg)
Przykład 3.7A co ze stanem symetrycznym?
254
2P
J J
J J
2J
P
J J
J
l
l l
l
l
A B
1 2
![Page 255: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/255.jpg)
Przykład 3.7255
000
82281
2821
121
PlMMMMMMM
A
A
32
322
22
22
3
22
22
2121
2112
11
lEJM
lEJM
lEJM
lEJM
lEJM
B
B
A
Pl
156306820327
21
21
21
EJPl
EJPlEJPl
44313443
441
2
1
![Page 256: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/256.jpg)
Przykład 3.7256
22
1044113232
7̀44113234
7441342
5441324
5441133
2
2
21
12
1
Pl
PlM
PlM
PlM
PlM
PlM
B
B
A
5β7β
7β5β14β
20β
M
![Page 257: Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022102619/56816554550346895dd7d16e/html5/thumbnails/257.jpg)
Koniec prezentacji multimedialnej z przedmiotu
„Mechanika budowli” kierunek „Budownictwo” specjalność „Technologie energooszczędne w budownictwie” sem.IV
257
Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski