Prof. Dr. Armando Cirilo de Souza Curso : Física / UEMS-DF

Movimento de um objeto pode ser Movimento de um objeto pode ser caracterizado em função de um caracterizado em função de um determinado referencial considerado.determinado referencial considerado.

O movimento é, unicamente, retilíneo. A O movimento é, unicamente, retilíneo. A direção pode ser vertical, horizontal ou direção pode ser vertical, horizontal ou inclinada.inclinada.

Pontos materiais (ou partículas) Pontos materiais (ou partículas) corpos corpos com apenas movimento de translação.com apenas movimento de translação.

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Capítulo – 2 / Movimento RetilíneoCapítulo – 2 / Movimento Retilíneo

Posição e DeslocamentoPosição e Deslocamento

Posição de uma partícula num eixo é a Posição de uma partícula num eixo é a sua localização em relação à origem.sua localização em relação à origem.

Posição pode ser positiva ou negativa em Posição pode ser positiva ou negativa em relação a origem.relação a origem.

Deslocamento Deslocamento x de uma partícula x de uma partícula variação de sua posiçãovariação de sua posição

Deslocamento Deslocamento grandeza vetorial grandeza vetorial


Posição e DeslocamentoPosição e Deslocamento

Obs: O carro move ao longo do eixo x. O movimento é translacional, logo Obs: O carro move ao longo do eixo x. O movimento é translacional, logo podemos considerar o carro como uma partícula.podemos considerar o carro como uma partícula.


Gráfico: Posição em função Gráfico: Posição em função do Tempo.do Tempo.

Deslocamento da partícula


(2.1)

VelocidadeVelocidadeVelocidade Média Velocidade Média variação do deslocamento num intervalo de variação do deslocamento num intervalo de tempotempoO sinal algébrico da velocidade média O sinal algébrico da velocidade média sentido do movimento sentido do movimento


Velocidade Escalar Média Velocidade Escalar Média deslocamento total percorrido no intervalo de deslocamento total percorrido no intervalo de tempotempo

(2.2)

(2.3)

Exemplo 2.1Exemplo 2.1

Um motorista dirige um veículo numa rodovia retilínea a 70 km/h. Após Um motorista dirige um veículo numa rodovia retilínea a 70 km/h. Após rodar 8,0 km, o veículo pára por falta de gasolina. O motorista rodar 8,0 km, o veículo pára por falta de gasolina. O motorista caminha 2,0 km adiante, até o posto de abastecimento mais próximo, caminha 2,0 km adiante, até o posto de abastecimento mais próximo, em 27 min (=0,450 h). Qual a velocidade média do motorista desde o em 27 min (=0,450 h). Qual a velocidade média do motorista desde o instante da partida do veículo até chegar ao posto? Obtenha a instante da partida do veículo até chegar ao posto? Obtenha a resposta numérica e graficamente.resposta numérica e graficamente.

hkmh

km

t

xV

hhht

hhkm

km

V

xt

/18564,0

10

: temosdosubstituin ,Finalmente

.564,0450,0114,0

:é origem dapartir a total tempoo Logo,

114,0/70

0,8


Exemplo 2.2Exemplo 2.2

Admitamos que o motorista tenha levado 35 min para Admitamos que o motorista tenha levado 35 min para carregar o combustível do posto ao carro. Qual a velocidade carregar o combustível do posto ao carro. Qual a velocidade média do motorista, do instante em que iniciou a viagem média do motorista, do instante em que iniciou a viagem até chegar ao carro com o combustível?até chegar ao carro com o combustível?

Obs: A origem é o ponto xObs: A origem é o ponto x11=0. O ponto de término é x=0. O ponto de término é x22=8,0 =8,0

km. Então, km. Então, x é 8,0 km. Logo o tempo total é:x é 8,0 km. Logo o tempo total é:

hkmh

km

t

xV

Logo

hhhhthkm

kmt

/0,715,1

0,8

,

15,1583,0450,0114,0

min35min27/70

0,8

Exemplo 2-3Exemplo 2-3

No exemplo 2.2, qual é a velocidade escalar No exemplo 2.2, qual é a velocidade escalar média do motorista?média do motorista?

hkmh

kmV /10

15,1

12

Velocidade Velocidade

Velocidade Instantânea Velocidade Instantânea velocidade média num instante velocidade média num instante qualquer, quando qualquer, quando t tende a zero. t tende a zero.

Na forma diferencial é a taxa de variação da posição x, da Na forma diferencial é a taxa de variação da posição x, da partícula, com o tempo, em um determinado instante.partícula, com o tempo, em um determinado instante.


ou

Velocidade Escalar Velocidade Escalar na velocidade sem qualquer indicação de direção e na velocidade sem qualquer indicação de direção e sentido.sentido.

t

x

v

(2.5)

(2.6)

(2.4)

Velocidade InstantâneaVelocidade Instantânea


Gráfico da posição em função de tempo, sendo o eixo de coordenada x variandocom o tempo de acordo com a equação: x = -4t + 2t2

Aceleração MédiaAceleração Médiaaceleração média aceleração média variação da velocidade em função do variação da velocidade em função do tempo.tempo.

Quando o movimento da partícula considerada é Quando o movimento da partícula considerada é unidimensional, a direção da aceleração pode ser positiva unidimensional, a direção da aceleração pode ser positiva ou negativa.ou negativa.

Aceleração Instantânea Aceleração Instantânea na derivada da velocidade em na derivada da velocidade em função do tempo.função do tempo.


(2.7)

(2.8) (2.9)

Aceleração MédiaAceleração Média


GráficosGráficos

a) Gráfico da velocidade em função do tempo para um a) Gráfico da velocidade em função do tempo para um movimento qualquer (v x t) .movimento qualquer (v x t) .b) Gráfico da aceleração em função do tempo para o b) Gráfico da aceleração em função do tempo para o mesmo movimento. A aceleração marcada em cada valor mesmo movimento. A aceleração marcada em cada valor de t, equivale a tangente que passa nos pontos do gráfico de t, equivale a tangente que passa nos pontos do gráfico de v x t.de v x t.


Relação gráfica entre x, v, a em Relação gráfica entre x, v, a em função do tempofunção do tempo

a) gráfico da posição em a) gráfico da posição em função do tempo, mostrando função do tempo, mostrando o movimento de uma o movimento de uma partícula ao longo do eixo x.partícula ao longo do eixo x.

b) gráfico da velocidade em b) gráfico da velocidade em função do tempo, obtido em função do tempo, obtido em cada ponto representado cada ponto representado pelo gráfico a).pelo gráfico a).

c) gráfico da aceleração em c) gráfico da aceleração em função do tempo, obtido em função do tempo, obtido em cada ponto representado cada ponto representado pelo gráfico b). pelo gráfico b).


Diagrama do MovimentoDiagrama do Movimento

a) velocidade constante (a = 0)a) velocidade constante (a = 0)b) aceleração constante na direção da velocidadeb) aceleração constante na direção da velocidadec) aceleração constante na direção oposta a velocidadec) aceleração constante na direção oposta a velocidade



a) Um americano estabeleceu o recorde para a maior velocidade e o a) Um americano estabeleceu o recorde para a maior velocidade e o menor tempo decorrido para um dragster, alcançou a marca de 631,7 menor tempo decorrido para um dragster, alcançou a marca de 631,7 km/h em 3,72 s. Qual foi sua aceleração média?km/h em 3,72 s. Qual foi sua aceleração média?

2/1,47./170072,3

0/7,631smshkm

s

hkm

t

Va

b) Qual foi sua aceleração média quando alcançou a marca de 117 b) Qual foi sua aceleração média quando alcançou a marca de 117 km/h, em 0,04s, num carro-foguete?km/h, em 0,04s, num carro-foguete?

23 /800./109,2004,0

0/117smshkmx

s

hkm

t

Va

Movimento em uma dimensão com Movimento em uma dimensão com aceleração constanteaceleração constante

Quando a aceleração é constante, a aceleração Quando a aceleração é constante, a aceleração média e a aceleração instantânea são iguais, logo média e a aceleração instantânea são iguais, logo a equação (2.7) fica.a equação (2.7) fica.


Considerando vConsiderando vxixi em t = 0 e a v em t = 0 e a vxfxf num instante posterior num instante posterior

qualquer. Podemos reescrever a equação da seguinte qualquer. Podemos reescrever a equação da seguinte forma:forma:

(2.10)

(2.11)


De maneira análoga, podemos reescrever a equação (2.2) (com ligeira De maneira análoga, podemos reescrever a equação (2.2) (com ligeira modificações na notação) como:modificações na notação) como:

txx v0


(2.12)

Logo, para o intervalo t = 0 até t, a velocidade média é:Logo, para o intervalo t = 0 até t, a velocidade média é:

(2.13)

Substituindo vSubstituindo vxfxf da equação (2.11) e aplicando um pouco de álgebra, temos: da equação (2.11) e aplicando um pouco de álgebra, temos:

at2

1vv 0 (2.14)

Finalmente, substituindo a equação (2.14) na equação Finalmente, substituindo a equação (2.14) na equação (2.12), temos:(2.12), temos:


(2.15)


Representação Gráfica das equações para uma partícula se Representação Gráfica das equações para uma partícula se movendo ao longo do eixo x, com aceleração constante.movendo ao longo do eixo x, com aceleração constante.

b) Gráfico da b) Gráfico da aceleração em função aceleração em função do tempo (a x t).do tempo (a x t).


a) Gráfico da a) Gráfico da velocidade em velocidade em função do tempo (V função do tempo (V x t).x t).

c) Gráfico da c) Gráfico da posição em função posição em função do tempo (X x t).do tempo (X x t).

dt

vda

Relacionando as equaçõesRelacionando as equaçõesNa equação 2.11, o deslocamento está ausente, enquanto na equação 2.15 Na equação 2.11, o deslocamento está ausente, enquanto na equação 2.15 é a velocidade final que está ausente. As duas equações podem ser é a velocidade final que está ausente. As duas equações podem ser combinadas de três maneiras diferentes, fornecendo três outras equações, combinadas de três maneiras diferentes, fornecendo três outras equações, cada qual envolvendo uma variável ‘ausente’ diferente. Primeiro caso, cada qual envolvendo uma variável ‘ausente’ diferente. Primeiro caso, podemos isolar t na eq. 2.11 e substituindo na eq. 2.15, temos:podemos isolar t na eq. 2.11 e substituindo na eq. 2.15, temos:

(2.16)

Segundo caso, podemos isolar a aceleração na eq. 2.11 e substituir na eq. 2.15, temos:Segundo caso, podemos isolar a aceleração na eq. 2.11 e substituir na eq. 2.15, temos:

Terceiro caso, podemos isolar a velocidade inicial na eq. 2.11 e substituir na eq. 2.15, Terceiro caso, podemos isolar a velocidade inicial na eq. 2.11 e substituir na eq. 2.15, temos:temos:

-

(2.17)

(2.18)


Gráficos da CinemáticaGráficos da Cinemática



Avistando um carro da polícia, você freia seu carro, Avistando um carro da polícia, você freia seu carro, reduzindo a velocidade de 75 km/h para 45 km/h, reduzindo a velocidade de 75 km/h para 45 km/h, num espaço de 88 m.num espaço de 88 m.

a) Qual é a aceleração, considerando-a constante?a) Qual é a aceleração, considerando-a constante?

224

2222

/6,1/1005,2

088,02

/75/45

2

smhkmxa

km

hkmhkm

xx

vva

o

o


b) Qual é o intervalo de tempo?b) Qual é o intervalo de tempo?

.4,5105,1

/4575

088,022 3 shxhkm

km

vv

xxt

o

o

c) Se continuar diminuindo a velocidade do c) Se continuar diminuindo a velocidade do carro, com a aceleração calculada em a), em carro, com a aceleração calculada em a), em quanto tempo ele parará, a partir dos 75km/h?quanto tempo ele parará, a partir dos 75km/h?

.13107,3

/1005,2

/750 324

shxhkmx

hkm

a

vvt o


d) Que distância seria percorrida no item c)?d) Que distância seria percorrida no item c)?

mkmxx

hxhkmxhxhkmattvxx

o

oo

140137,0

107,3/1005,22

1107,3/75

2

1 232432

Obs: Caso o sinal da aceleração não for considerado, o resultado será Obs: Caso o sinal da aceleração não for considerado, o resultado será considerado incorreto.considerado incorreto.

e) Num outro exemplo, suponha que a velocidade inicial é diferente, e) Num outro exemplo, suponha que a velocidade inicial é diferente, a aceleração é a mesma calculada em a) e o carro consegue parar a aceleração é a mesma calculada em a) e o carro consegue parar após 200m. Qual o tempo total de frenagem?após 200m. Qual o tempo total de frenagem?

ssm

m

a

xxt o 16

/6,1

)200)(2())(2( 2

1

2

2

1


Aceleração de Queda LivreAceleração de Queda LivreAlgumas considerações:Algumas considerações:

a) Direção de deslocamento ao longo do eixo y;a) Direção de deslocamento ao longo do eixo y;b) Eixo y orientado positivamente para cima;b) Eixo y orientado positivamente para cima;c) A aceleração de queda livre está orientada para c) A aceleração de queda livre está orientada para

baixo no eixo y baixo no eixo y sinal negativo (-g); sinal negativo (-g);e) Valor de g próximo a superfície da Terra, é 9,8 e) Valor de g próximo a superfície da Terra, é 9,8

m/sm/s22 (= 32 ft/s (= 32 ft/s22););f) Com essas considerações as equações obtidas f) Com essas considerações as equações obtidas

no movimento translacional considerando no movimento translacional considerando aceleração constante são válidas para a queda aceleração constante são válidas para a queda livre;livre;



Um operário deixa cair uma chave inglesa do Um operário deixa cair uma chave inglesa do alto de um edifício no poço do elevador.alto de um edifício no poço do elevador.a) Onde estava a chave inglesa 1,5 s após a a) Onde estava a chave inglesa 1,5 s após a queda?queda?

.11

)5,1)(/8,9(2

1)5,1)(0()0(0

2

1

22

2

my

ssmsy

gttvyy oo


b) Com que velocidade a chave inglesa está b) Com que velocidade a chave inglesa está caindo em t = 1,5s?caindo em t = 1,5s?

smv

ssmv

gtvv o

/15

)5,1)(/8,9(0 2



Um lançador atira uma bola de beisebol para cima, em Um lançador atira uma bola de beisebol para cima, em linha reta, com uma velocidade inicial de 12 m/s.linha reta, com uma velocidade inicial de 12 m/s.

a) Quanto tempo a bola levou para alcançar a altura a) Quanto tempo a bola levou para alcançar a altura máxima?máxima?

ssm

sm

g

vvt

Obs

o 2,1/8,9

0/12

zero. é ve velocidada máxima altura na :

2


b) Qual a altura máxima?b) Qual a altura máxima?

3,7)/8,9)(2(

)0()/12(

2 2

2222

sm

sm

g

vvy o


c) Em quanto tempo a bola atinge 5m acima do ponto de lançamento?c) Em quanto tempo a bola atinge 5m acima do ponto de lançamento?

ss), s ,(t

my

sst

tt

tsmtsmm

gttvy o

2,1915302

1

máxima. altura aatingir paralevou bola a que tempoo é tempodos

média a que implica isso descida, na outra e subida na uma

vezes,duas 0,5 ponto pelo passa bola a que observe

1,9 te 53,0

: temosequação, essa Resolvendo

00,5129,4

escrever podemos unidades, as omitindo :obs

)/8,9(2

1)/12(0,5

2

1

2

22

2


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