Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · SJBV § A solução de alguns dos problemas...
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SJBV
• Aplicação da Lei de Gauss:
• Linha Infinita de Cargas
• Condutores Coaxiais
• Lei de Gauss na forma Diferencial (ou Pontual)
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Aplicação da Lei de Gauss e Lei de Gauss na Forma Diferencial (Páginas 56 a 70 no livro texto)
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§ A solução de alguns dos problemas de eletrostática que são resolvidos com a Lei de Coulomb, se dá de maneira muito mais simples com a Lei de Gauss na forma Integral.
§ Isto acontece somente em problemas que possuem certas geometrias espaciais.
§ Nestes problemas, é possível escolher uma Superfície Gaussiana que simplifica a integral do lado esquerdo da L.G.
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Lei de Gauss e Simetrias Espaciais
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Lei de Gauss e Simetrias Espaciais
§ Para encontrar a carga total em um dado volume, para uma distribuição de D conhecida, usamos a Lei de Gauss:
escolhemos uma superfície fechada tal que:
1. Nas regiões onde D for normal à superfície:
2. Nas regiões onde D for paralelo à superfície:
Q =!D ⋅d!S
S"∫ ,
!D ⋅d!S
S∫ = DS dSS∫
!D ⋅d!S
S∫ = 0
elem. de área (escalar)
magnitude de D na superf. S
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E de uma linha infinita de cargas
§ Problema: Calcular o campo em um ponto ‘P’ devido a uma linha infinita com densidade uniforme de cargas ‘ρL’.
ρ
ρL P
x
y
z
φ
Q = ρL dz0
L
∫
Q = ρLL
• Podemos usar a Lei de Gauss ( ), mas qual a superfície gaussiana usar?
ψ =Q
• Se usarmos um cilindro de altura L, a carga dentro do cilindro é:
• A densidade linear de cargas não depende de ‘z’.
L
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§ O fluxo que atravessa o topo e a base do cilindro é nulo!
E de uma linha infinita de cargas
ρ
ρL P
x
y
z
φ
§ Como calculamos o fluxo na superfície lateral do cilindro?
L
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§ O fluxo que atravessa o topo e a base do cilindro é nulo!
!D ⋅d!S
S∫ = Dρ aρ( ) ⋅ρφ=0
2π
∫z=0
L
∫ dφ dz aρ
ψ = Dρ2πρL
E de uma linha infinita de cargas
ρ
ρL P
x
y
φ
§ Como calculamos o fluxo na superfície lateral do cilindro?
§ O fluxo na lateral fica:
§ A densidade de fluxo não é função de ‘φ’ ou ‘z’.
ρL
x
y
z
φ
L
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Dρ2πρL = ρLL
!D =
ρL2πρ
aρ
!E = ρL
2πρε0aρ
E de uma linha infinita de cargas
• Agora podemos escrever a Lei de Gauss ( ).ψ =Q
• Isolando D:
• Como podemos calcular E?
ρ
ρL P
x
y
z
φ
L
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• A carga concentrada na superfície é:
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E entre dois condutores coaxiais
Q = ρSρφ=0
2π
∫z=0
L
∫ dφ dz
ρ = a
Q = 2πaLρS
§ Problema: Calcular o campo em um ponto ‘P’ situado entre dois condutores carregados com ρs C/m2, com raios ‘a’e ‘b’ tal que b > a.
• Pergunta: qual superfície gaussiana usar?
• Se usarmos um cilindro de altura L e raio ρ (a < ρ < b) :
ρ
P
x
y
z
φ
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!D ⋅d!S
S∫ = Dρ aρ( ) ⋅ρφ=0
2π
∫z=0
L
∫ dφ dz aρ
ψ = Dρ2πρL
E entre dois condutores coaxiais
§ Como calculamos o fluxo na superfície lateral?
§ O fluxo na superf. lateral do cilindro é:
§ Aqui novamente D não é função de ‘φ’ ou ‘z’.
§ O fluxo que atravessa o topo e a base da superfície gaussiana é nulo!
ρ
P
x
y
z
φ
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!D =
aρSρ
aρ (a < ρ < b)
!E = aρS
ρε0aρ (a < ρ < b) ρ
P
x
y
z
φ
E entre dois condutores coaxiais
• Utilizando a Lei de Gauss e isolando D:
• Como podemos calcular E?
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Lei de Gauss na forma diferencial
§ Teorema de Gauss (ou da Divergência): A integral de superfície do vetor Densidade de Fluxo Elétrico (D) ao longo de uma superfície fechada ‘S’ é igual a integral volumétrica do divergente de D no volume ‘V’ envolvido pela superfície ‘S’.
!D ⋅d!S =
S"∫ ∇ ⋅!Ddv
V∫• Sabemos da Lei de Gauss na forma integral que:
!D ⋅d!S =
S"∫ ρv dvV∫
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O Divergente da Densidade de Fluxo Elétrico D é igual à densidade volumétrica de cargas.
§ Note que D é um campo vetorial definido em uma região do espaço e ρv é um campo escalar definido nesta mesma região.
§ Esta é a forma diferencial (ou Pontual) da Lei de Gauss, em contraste com a forma integral.
∇⋅!D = ρv
Lei de Gauss na forma diferencial
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§ Lembrando que o divergente do vetor D é igual ao fluxo elétrico saindo de um volume infinitesimal Δv por unidade de volume.
∇⋅!D = lim
Δv→0
!D ⋅d!S
S"∫Δv
Lei de Gauss na forma diferencial
§ A interpretação física da lei de Gauss é que uma densidade de carga positiva num ponto é fonte de fluxo elétrico. O fluxo elétrico sai do volume infinitesimal.
§ Uma densidade negativa é sumidouro de fluxo elétrico. O fluxo entra no volume.
§ Carga positiva é fonte de campo elétrico e carga negativa é sumidouro de campo.
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§ Considere a expansão de um gás dentro de um volume quando um embolo é puxado e a pressão sobre o gás é diminuída.
Lei de Gauss na forma diferencial
§ Enquanto o embolo está parado, o fluxo líquido de moléculas saindo do volume é zero. O que entra é igual ao que sai.
§ Se o embolo é puxado, há um fluxo liquido para fora do volume ( divergente positivo), indicando expansão do ar.
§ Se o embolo é empurrado, há um fluxo liquido para dentro (divergente negativo), indicando compressão do ar.
volume fixo
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Operador Divergente
§ Lembrando que o operador divergente é um operador que transforma um campo vetorial em um campo escalar.
§ Coordenadas cartesianas:
§ Coordenadas Cilíndricas:
§ Coordenadas Esféricas:
∇⋅!D =
∂Dx
∂x+∂Dy
∂y+∂Dz
∂z
∇⋅!D =
1ρ
∂ ρDρ( )∂ρ
+1ρ
∂Dφ
∂φ+∂Dz
∂z
∇⋅!D =
1r2∂ r2Dr( )∂r
+1
r.senθ∂ senθ Dθ( )
∂θ+
1r.senθ
∂Dφ
∂φ
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Seja: para r ≤ 0,08m
para r > 0,08m
a) Calcule ρv para r = 0,06m.
b) Calcule ρv para r = 0,1m.
c) Que densidade superficial de carga poderia ser posicionada em r = 0,08m para fazer com que D = 0 para r > 0,08m?
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!D = 5r2ar [mC /m
2 ],
!D = 0,205
r2ar [mC /m
2 ],
Exemplo
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Uma densidade volumétrica de cargas ρv = 60µC/m3 está presente em uma região definida por r ≤ a em coordenadas esféricas. Determine D para r ≤ a e para r ≥ a, onde a = 1mm.
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Exemplo 2