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ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
UNITAU
APOSTILA
MATRIZES
PROF. CARLINHOS
NOME DO ALUNO: Nº TURMA:
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MATRIZES
Uma matriz de ordem m x n é qualquer conjunto de m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Representação Genérica
Cada elemento de uma matriz é localizado por dois índices: aij. O primeiro indica a linha, e o segundo, a coluna.
A matriz A pode ser representada abreviadamente por uma sentença matemática que indica a lei de formação para seus elementos.
A = (aij)mxn | lei de formação.
Ex.: (aij)2x3 | aij = i . j
CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES
Em função dos valores de m e n, classifica-se a matriz A = (aij)mxn em:
Matriz retangular, se m n.
Ex.:
Matriz linha, se m = 1.
Ex.: A1x3 = [1 0 -3]
Matriz coluna, se n =1.
Ex.:
Matriz quadrada, se m = n.
Ex.:
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Ex.: é uma matriz quadrada de ordem 3.
Numa matriz A = (aij)mxn quadrada de ordem n, os elementos aij com i = j constituem a diagonal principal. Os elementos aij com i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.
Ex.:
TIPOS DE MATRIZES
Matriz Nula
É a matriz onde todos os elementos são nulos.
Ex.:
Matriz Oposta
Matriz oposta de uma matriz A = (aij)mxn é a matriz B = (bij)mxn tal que bij = -aij.
Ex.:
Matriz unidade ou matriz identidade
A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz unidade por In.
Exemplo:
=
10
012I
=100
010
001
3I
Matriz tranposta ( A t)
Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At.
Exemplo:
=7
4
1
8
5
2
A a sua transposta é
=
7
8
4
5
1
2tA
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Igualdade de Matrizes
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, as matrizes A e B são ditas iguais.
[ ]mxnijaA = [ ]
mxnijbB =
Produto de um Número Real por uma Matriz
Se é um número real, o produto desse número por uma matriz A = (aij)mxn é uma matriz B = (bij)mxn tal que bij = . aij
Ex.: Sendo
Propriedades do Produto de um Número por uma Matriz
Se A e B são matrizes de mesma ordem e e são números reais, valem as seguintes propriedades:
a) 1A = A
b) . (A + B) = A + B
c) . (b . A) = ( . b) . A
d) ( + b) . A = . A + b . A
e) ( . A)T = . AT
Operações com matrizes
Adição e Subtração: a adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo é efetuada somando-se ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes.
Propriedades da Adição:
Comutativa: A + B = B + A
Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C
Elemento Neutro: A + 0 = A
Elemento Oposto: A + (-A) = 0
Exemplo: Dadas as matrizes
=
−=
−=
16
03
52
10,
43
12CeBA , calcule:
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a)
−=
−+
−=+
91
02
52
10
43
12BA
b)
−−−−
=
−
−−
−=−−
28
11
16
03
51
20
43
12CBA t
Produto de Matrizes
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, o produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. Então:
A matriz produto (A x B)mxn terá número de linhas de A e número de colunas de B.
Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos.
Exemplos:
1) Dadas as matrizes32
232
121
x
A
−= e
2312
41
32
x
B
−−= , calcule A.B:
A.B=32
232
121
x
A
−= .
2312
41
32
x
B
−−= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−−+−−+−+++−+
=1.24.33.22.21.32.2
1.1423.12.11.22.1C
2) Dada as matrizes:
=
12
01A
=
10
12B
Calcule:
a) A.B =
=
++++
=
34
12
1204
0102
10
12.
12
01
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b) B.A =
=
++++
=
12
14
1020
1022
12
01.
10
12
Propriedades do Produto de Matrizes
Sendo A, B, C matrizes, e a um número real, e supondo as operações abaixo possíveis, temos que:
a) A.(B.C) = (A.B).C (ASSOCIATIVA)
b) A.(B+C) = A.B + A.C (DISTRIBUTIVA À DIREITA)
c) (A+B).C = A.C+B.C (DISTRIBUTIVA À ESQUERDA)
d) I É A IDENTIDADE
e) ( A . B) = A . ( B) = . (A . B)
f) (A . B)T = BT . AT
Observações Importantes:
1.ª A multiplicação de matrizes não é comutativa , isto é, existem matrizes A e B tais que AB BA.
2.ª Na multiplicação de matrizes não vale o anulamento do produto, isto é, podemos ter A . B = 0 mesmo com A 0 e B 0.
3.ª Não vale também a simplificação , isto é, podemos ter AB = AC, mesmo com A 0 e B C.
Matriz Inversa
Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se inversível ou não singular se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A-1, denominada inversa de A, tal que:
A . A-1 = A-1 . A = In
Ex.: A matriz é a inversa de pois A . A-1 = A-1 . A = I2 .
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que 22 jiaij +=
Resp.:
181310
1385
1052
2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por ( )
=≠−=
+
jise
jisea
ji
ij,0
,1
Resp.:
−−−
−
011
101
110
3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por
>−≤+
=jiseji
jisejiaij ,
,
Resp.:
2
1
4
3
3
2
1
2
4) Determine x e y, sabendo que
=
−+
16
7
3
32
yx
yx Resp: x = 5 e y = -1
5) Determine a, b, x e y, sabendo que
−=
−−++
70
13
2
2
bayx
bayx
Resp: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5
6) Dada as matrizes
−=
−=z
xBeyA
84
13
560
215
36
420
, calcule x, y e z para que
B = At. Resp: x = 2 , y = 8 e z = 2
7) Dada a matriz
−
−=
210
432
011
A , obtenha a matriz X tal que tAAX += .
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Resp:
−=
450
561
012
A
8) Sendo A = (aij)1x3 tal que jiaij −= 2 e B = (bij)1x3 tal que 1++−= jibij , calcule
A+B. Resp: [ ]222
9) Calcule a matriz X, sabendo que ( ) BAXeBA T =+
−=
−=2
3
0
1
2
5,
3
0
2
4
1
1
.
Resp:
−
−
− 1
0
4
1
2
4
10) Dadas as matrizes
−−
=450
123A e
−−−
=113
024B . Resolva
02 =−+ BAX
Resp:
−−−−
9113
262
11) Efetue:
a)
−⋅
−−
2
3
41
35 Resp:
−11
21
b) [ ]
⋅3
0
2
531 Resp: [17]
c)
−⋅
− 30
12
41
25 Resp:
− 132
110
12) Dada a matriz
−=
100
001
012
A , calcule A2. Resp:
−−
100
012
023
13) Determine a inversa da matriz
=
01
43A . Resp:
−4
3
4
110
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Construa as matrizes:
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a) A= (aij)2x2 tal que aij=(i+j)2 resp: A=
169
94
b) B=(bij)2x3 tal que bij=
≠+=
jiseji
jise
...,
...,2 resp: B =
523
432
2) Quantos elementos possui uma matriz de ordem 4x5. resp: 20
3) Se uma matriz A é do tipo m x n. Qual a ordem de At ? resp: n x m
4) Dadas as matrizes A=
−−
75
34
12
e B=
−−302
414, calcule:
a) 2
1(A+Bt) resp:
−−
52/1
2/32/5
2/33
b) 5At-3(At+2B) rep:
−−−
4610
34220
5) Determine a matriz X, tal que X+A=3B, para A =
10
42 e B =
−20
01
resp: X=
−−50
45
6) Sendo A =
0
3
2
e B=
−
2
0
1
, determine a matrizes X e Y, tal que
−=+−=−BAYX
BAYX 223
resp: X =
− 5/6
5/12
5/11
e Y =
− 5/4
5/3
5/4
7) Calcule os produtos:
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a)
−041
325 .
5
0
1
resp:
−1
10
b)
− 41
10
32
.
− 402
321 resp:
−−−−
1329
402
1844
8) Sendo A=
21
22, calcule A2+4A-5I2 . resp:
98
169
9) Sendo A =
−12
31 e B=
− 74
02, determine a matriz X tal que A.X=B.
resp: X =
−10
32
10) Encontre se existir a inversa da matriz:
a) A =
− 12
21 resp: A-1 =
−5/15/2
5/25/1
b) B=
11
22 resp: ∃
11) (Unesp) Determine os valores de x, y e z na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais 2 × 2: resp: . x = 2, y = 2 e z = 4
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12) (Unesp) Seja A = (aij) a matriz 2 x 2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j. Calcule A2.
resp:
−=
02
202A
13) (Fei) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) estão assim definidas:
≠+==+=
≠===
4 j i se 0, b
4 j i se 1, b e
j i ,0a
j i se 1, a
ij
ij
ij
ij
se
onde, 3 j i, 1 ≤≤ então a matriz A + B é: resp: d
14) (Fei) Dadas as matrizes A e B, a matriz de x de 2a ordem que é solução da equação matricial Ax + B = 0, onde 0 representa a matriz nula de ordem 2 é:
15) (Uel) Considere as matrizes M e M2 representadas a seguir. Conclui-se que o número real a pode ser :
resp: a
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3- e) 2- d) 2 c) 22 b) 32 a) resp: b
16) (Uel) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p x q. Se a matriz A.B é 3 x 5, então é verdade que: resp: b
a) p = 5 e q = 5 b) p = 4 e q = 5 c) p = 3 e q = 5 d) p = 3 e q = 4 e) p = 3 e q = 3
17) (Unirio) Considere as matrizes A, B e C na figura adiante:
resp: d
A adição da transposta de A com o produto de B por C é:
a) impossível de se efetuar, pois não existe o produto de B por C.
b) impossível de se efetuar, pois as matrizes são todas de tipos diferentes.
c) impossível de se efetuar, pois não existe a soma da transposta de A com o produto de B por C.
d) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2x3.
e) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3x2.
18) (Uel) Sobre as sentenças:
I. O produto de matrizes A3x2.B2x1 é uma matriz 3x1.
II. O produto de matrizes A5x4.B5x2 é uma matriz 4x2.
III. O produto de matrizes A2x3.B3x2 é uma matriz quadrada 2x2.
é verdade que:
a) somente I é falsa.
b) somente II é falsa.
c) somente III é falsa.
d) somente I e III são falsas.
e) I, II e III são falsas. resp: b
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19) (Cesgranrio) Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática, português, ciências e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura.
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:
resp: e
20) (Ufrj) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
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Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? resp: Cláudio
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? resp: 2
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática