REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGGICA EXPERIMENTAL LIBERTADORINSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIONCLEO ACADMICO CARABOBOCATEDRA CURRICULO

Grafos y RelacionesINFORNE

Profesor:Lcdo. Ros JuliosIntegrantes:C.I.: 22.225136 Freddy J, Soto BMateria: Matemtica Discreta

Valencia; 24 de Enero del 2015Introduccin

El siguiente trabajo La matemtica discreta es la parte de las matemticas que estudia objetos discretos. Definir el concepto discreto sin entrar en demasiadas formalidades no es sencillo pero podemos apelar a ciertos ejemplos matemticos conocidos y contraponerlo al concepto de continuo que es la idea central del curso de Bases de Matemticas. Lo discreto es lo finito o lo que, si no es finito, presenta el aspecto de los nmeros naturales, objetos bien separados entre s; lo continuo es lo no finito, lo infinitesimalmente prximo, como los nmeros reales, y de ah el concepto de lmite y las ideas que de dicho concepto se derivan. La matemtica discreta surge como una disciplina que unifica diversas reas tradicionales de las Matemticas (combinatoria, aritmtica, grafos,...), como consecuencia de, entre otras cosas, su inters en la informtica y las telecomunicaciones: la informacin se manipula y almacena en los ordenadores en forma discreta (palabras formadas por ceros y unos), se necesita contar objetos (unidades de memorias, unidades de tiempo), se precisa estudiar relaciones entre conjuntos finitos (bsquedas en bases de datos), es necesario analizar procesos que incluyan un nmero finito de pasos (algoritmos). La matemtica discreta proporciona, por otro lado, algunas bases matemticas para otros aspectos de la informtica: estructuras de datos, algortmica, bases de datos, teora de autmatas, sistemas operativos, investigacin operativa. as como ayuda al desarrollo de ciertas capacidades fundamentales para el Educador ya sea en Matemtica y la Informtica: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos conceptos.

CAPITULO 4GRAFOS

Grafos Eurelianos o Camino EurelianosSe entiende que es unciclo eulerianoocircuito eulerianoes aquel camino que recorre todas las aristas de ungrafotan solo una nica vez, siendo condicin necesaria que regrese al vrtice inicial de salida (ciclo = camino en un grafo donde coinciden vrtice inicial o de salida y vrtice final o meta). Una definicin ms formal lo define como: "aquel ciclo que contiene todas las aristas de un grafo solamente una vez". Se debe tener en cuenta queno importa la repeticin de vrtices mientras no se repitan aristas.En la teora de grafos, uncamino eulerianoes un camino que pasa por cada arista una y solo una vez. Un ciclo o circuito euleriano es un camino cerrado que recorre cada arista exactamente una vez. El problema de encontrar dichos caminos fue discutido por primera vez porLeonhard Euler, en el famosoproblema de los puentes de Knigsberg.En relacin con los ciclos eulerianosCarl Hierholzerpublic la primera caracterizacin completa de los grafos eulerianos en1873, probando matemticamente que de hecho los grafos eulerianos son exactamente aquellos grafos que estn conectados con todos y donde cada uno de los vrtices tienen grado par.Grafos etiquetadosDentro de las matemticas, en la disciplina de teora de grafos, un grafo etiquetado es la asignacin de etiquetas, tradicionalmente representada mediante enteros, a las aristas o vrtices, o ambos, de un grafo. Formalmente, dado un grafo G, un vrtice etiquetado es una funcin que hace corresponde vrtices de G a un conjunto de etiquetas. Un grafo con tal funcin definida es llamado grafo de vrtices etiquetados. De la misma manera, una arista etiquetada es una funcin de asignacin de aristas de G tal conjunto de etiquetas. En este caso, G es llamado como grafo de aristas etiquetadas. Cuando las etiquetas de las aristas pertenecen a un conjunto ordenado (i.e., los nmeros reales), sta puede ser llamada como grafo ponderado.Cuando es usado sin calificacin, el trmino grafo etiquetado generalmente se refiere a un grafo con vrtices etiquetados con todas las etiquetas distintas. Tal grafo puede ser equivalentemente etiquetado mediante enteros consecutivos {1, ..., n}, donde n es el nmero de vrtices en el grafo.1 Para muchas aplicaciones, a las aristas y los vrtices le corresponde etiquetas que tienen un significado en el dominio asociado. Por ejemplo, las aristas pueden ser asignadas mediante pesos que representan el coste de atravesar entre los vrtices implicados.En la definicin de arriba se entiende como grafo un grafo simple indirecto finito. Sin embargo, la nocin de etiquetado puede ser aplicada a todas las extensiones y generalizaciones de grafos. Por ejemplo, en teora de autmatas y teora de lenguaje formal es conveniente considerar multigrafos etiquetados, i.e., un par de vrtices puede ser conectado por varias aristas etiquetadas.Arboles Definiciones BsicasHay un tipo especial de grafo, denominado arbol, que se presenta en mltiples aplicaciones. En ciencias de la computacin los rboles son particularmente tiles. Por ejemplo se utilizan para organizar informacin de tal modo que sea posible efectuar eficientemente operaciones que atanan a esa informacin. Para construir algoritmos eficientes para localizar artculos en una lista. Para construir cdigos eficientes para almacenar y transmitir datos. Para modelar procedimientos que son llevados a cabo al utilizar una secuencia de decisiones. Introduzcamos pes el concepto de arbol.Arbol Un arbol es un grafo T = (V, E) a cclico y conexoDado que un arbol no puede tener ciclos, no podra contener ni aristas multiples ni bucles, por lo tanto cualquier arbol debe ser un grafo simple.

Arboles Generadores Un problema importante que est asociado a una red representada por un grafo consiste en obtener un arbol que contenga todos los vrtices del grafo y algunas de sus aristas para asegurar la conectividad, o lo que es lo mismo, un arbol generador del grafo.Arbol Generador Un Arbol generador (spanning tree) de un grafo G es un subgrafo generador de G que adems es un arbol.Arboles de decisin Una aplicacin frecuente del teorema 3.7 es al estudio de los arboles de decisin. Cada vrtice interno de un arbol de decisin representa una decisin, y los posibles resultados de la decisin, se representan por las aristas que conducen al siguiente nivel. El resultado final del proceso est representado por las hojas del arbol. Si el resultado de cada decisin es simplemente que una afirmacin es cierta o es falsa, tenemos un arbol binario. Un rbol de bsqueda binaria

Es un rbol binario T en el cual se asocian ciertos datos con los vrtices. Los datos estn ordenados de modo que, para cada vrtice v en T, cada elemento de dato en el subrbol izquierdo de v sea menor que el elemento de dato en v y cada elemento de dato en el subrbol derecho de v es mayor que el elemento de dato en v.

Los arboles de bsqueda binaria son tiles para localizar datos. Es decir, dado un elemento D, podemos determinar con facilidad si D est en un rbol de bsqueda binaria y, de estar presente, conocer su posicin. Para determinar si un elemento de dato D esta en un rbol de bsqueda binaria, comenzaramos en la raz. Luego compararamos de manera sucesiva D con el elemento de dato del vrtice en cuestin. Si D es igual al elemento de dato del vrtice en cuestin, hemos encontrado a D, por lo cual habremos concluido. Si D es menor que el elemento de dato en el vrtice en cuestin v, nos movemos al hijo izquierdo de v y repetimos el proceso. Si D es mayor que el elemento de dato en el vrtice en cuestin v, nos movemos al hijo derecho de v y repetimos el proceso. Si en algn momento no existe un hijo al cual moverse, podemos concluir que D no est en el rbol.

CAPITULO 5 RELACIONES

1. Producto CartesianoPara empezar se entiende por producto cartesiano que emplea en el mbito de la matemtica, ms precisamente en el campo del lgebra. El producto cartesiano revela una relacin de orden entre dos conjuntos, constituyndose como un tercer conjunto. El producto cartesiano de un conjunto A y de un conjunto B es el conjunto constituido por la totalidad de los pares ordenados que tienen un primer componente en A y un segundo componente en B.Veamos un ejemplo. Si el conjunto A est formado por los elementos 3, 5, 7 y 9, mientras que el conjunto B alberga los elementos m y r, el producto cartesiano de ambos conjuntos es el siguiente:

A x B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r), (9,r), (9,r)}El producto cartesiano, por lo tanto, est formado por todos los pares ordenados que se pueden formar a partir de dos ciertos conjuntos. Cada par ordenado se constituye por dos elementos: el primer elemento pertenece a un conjunto y el segundo elemento, al otro. Si seguimos con nuestro ejemplo, en el par ordenado (3,m), 3 es el primer elemento (corresponde al conjunto A) y m es el segundo elemento (perteneciente al conjunto B).Supongamos que, en una casa, hay tres personas (Carlos, Juan y Antonia) y dos libros (Rayuela y Cien aos de soledad). El producto cartesiano de ambos conjuntos (personas y libros) estar formado por todos los repartos posibles de las obras literarias entre los individuos.P x L = {(Carlos, Rayuela), (Carlos, Cien aos de soledad), (Juan, Rayuela), (Juan, Cien aos de soledad), (Antonia, Rayuela), (Antonia, Cien aos de soledad)}

Dicha informacin puede resultar til para crear un organigrama que especifique cmo se distribuirn los dos libros para que todos tengan la oportunidad de leerlos en algn momento.2. Propiedades de las relaciones (reflexiva, irreflexiva, simtrica, asimtrica, anti simtrica, transitiva)Una relacin R en un conjunto A es reflexiva si (a, a) R para todas las a A, esto es, si a R e para todas las a e A. Una relacin R en un conjunto A es irreflexiva si a R a para toda a A. Por consiguiente, R es reflexiva si cada elemento a e A est relacionado consigo mismo y es irreflexiva si ningn elemento est relacionado consigo mismo. Ejemplo 1: (a) Sea ? = [(a, a)\ a A], de modo que A es la relacin de igualdad en el conjunto A. Entonces A es reflexiva, ya que (a, a) ? para todas las a e A. Relaciones Simtricas y Asimtrica Una relacin R en un conjunto A es simtrica si cuando a R b, entonces b R a. De esto se sigue que R no es simtrica se tiene a y b A con a R b, pero b R a. Una relacin R en un conjunto A es asimtrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simtrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a. Una relacin R en un conjunto A es asimtrica si cuando a R b y b R a, entonces a = b. Otra forma de expresar esta definicin es diciendo que R es anti simtrica si cuando a ? b, se tiene a R b o b R a. De esto se sigue que R no es anti simtrica si se tiene a y b en A. a ? b, y ambas a R b y b R a. Ejemplo Sea A = [a, b, c, d, e} y sea R la relacin simtrica dada por R = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (e, a), (a, e), (c,a), (a,c)} El grafo dirigido de R se muestra en la figura 2(a), mientras que en la figura Relaciones Transitivas Se dice que una relacin R en un conjunto A es transitiva si cuando a R b y b R e, entonces a R c. Se sigue que R no es transitiva si y slo si se puede encontrar elemento a, b y c en A tal que a R b y b R c, pero a R c. Ejemplo: Sea A = Z el conjunto de los enteros y sea R la relacin considerada en el ejemplo 2 Para ver si R es transitiva, se supone que a R b y b R c. Por consiguiente, a < b; b < c. Entonces se sigue que a < c, por lo cual a R c. De aqu que R sea transitiva. Una relacin R en un conjunto A es transitiva si y slo si satisface las siguientes propiedades: Si existe una trayectoria de longitud mayor que 1 del vrtice a al vrtice b, hay una trayectoria de extensin 1 de a a b (esto es, a est relacionada con b). Establecido algebraicamente, R es transitiva si y slo si Rn R para todas las n = 1.

3. Relaciones de OrdenDecimos que una relacin binaria es de orden cuando cumple las propiedades reflexiva, antisimtrica y transitiva. Cuando adems cumple la propiedad conexa, diremos que el conjunto est totalmente ordenado, en caso contrario diremos que el conjunto est parcialmente ordenado.Por medio de una relacin de orden podemos establecer una ordenacin de un conjunto a partir de un criterio. Aunque este criterio no tiene por que ser nico. Puede que existan formas diferentes para ordenar el conjunto.4. Representacin De Las Relaciones De OrdenComo mencionamos en el artculo de ayer, todas las relaciones se pueden representar de dos formas, utilizando el diagrama cartesiano, Cuando representamos una relacin de orden mediante el diagrama cartesiano, obtenemos los puntos de la diagonal que divide al eje en dos, puntos de la forma (a,a) y ningn punto para los valores en los que x