Processos de Poisson

Ricardo Ehlersehlers@icmc.usp.br

Departamento de Matematica Aplicada e EstatısticaUniversidade de Sao Paulo

Capitulo 5 Sheldon Ross

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Distribuicao de Poisson

Definicao

Seja a variavel aleatoria X o numero de ocorrencias por intervalofixo (de tempo ou espaco). Dizemos que X tem distribuicao dePoisson com parametro λ,

X ∼ Poisson(λ), λ > 0,

com funcao de probabilidade,

P(X = k) =λke−λ

k!, λ > 0, k = 0, 1, . . . .

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E (X ) =∞∑

k=0

kλke−λ

k!= λ

Var(X ) =∞∑

k=0

(k − E (X ))2λke−λ

k!= λ

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Probabilidades Poisson com λ ∈ {1, 2, 5, 15}.

x

0.0

0.1

0.2

0.3

0 5 10 15 20 25 30

lambda = 1 lambda = 15

lambda = 2

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.1

0.2

0.3

lambda = 5

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Teorema

Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes tais queX ∼ Poisson(λ) e X ∼ Poisson(ν). Entao

X + Y ∼ Poisson(λ+ ν).

Portanto,

P(X + Y = n) =(λ+ ν)n e−(λ+ν)

n!, n = 0, 1, . . .

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Teorema

Sejam as variaveis aleatorias N ∼ Poisson(λ) eM|N ∼ Binomial(N, p). Entao

M ∼ Poisson(λp).

Portanto,

P(M = k) =(λp)k e−λp

k!, k = 0, 1, . . .

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Distribuicao Exponencial

Frequentemente usada para modelar o tempo entre eventos queocorrem a uma taxa media constante.

Definicao

Se X e uma variavel aleatoria com distribuicao exponencial suafuncao de densidade de probabilidade tem a forma,

f (x) = λe−λx , x > 0, λ > 0.

Notacao: X ∼ Exponencial(λ) ou X ∼ Exp(λ).

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Probabilidades sao facilmente calculadas,

P(a < X < b) =

∫ b

a

λe−λxdx = e−λa − e−λb

E (X ) =

∫

∞

0x λe−λxdx =

1

λ

Var(X ) =

∫

∞

0(x − 1/λ)2 λe−λxdx =

1

λ2=

E (X )

λ

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Densidades exponenciais

0 2 4 6 8

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f(x)

λ = 2

λ = 1

λ = 0.5

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Funcoes de distribuicao exponenciais

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

) λ = 2

λ = 1

λ = 0.5

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Falta de Memoria

Seja X ∼ Exponencial(λ). Entao,

P(X > t + s|X > t) =P(X > t + s,X > t)

P(X > t)=

P(X > t + s)

P(X > t)

=e−λ(t+s)

e−λt= e−λs = P(X > s).

Esta e a unica distribuicao continua com tal propriedade.

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Exemplo. Seja X uma variavel aleatoria que representa o intervalode tempo (em minutos) entre emissoes consecutivas de uma fonteradioativa. Assume-se que X ∼ Exponencial(λ) sendo λ = 0.2.Calcule a probabilidade de haver 1 emissao em um intervalo maiordo que 7 minutos sabendo que ele e maior do que 5 minutos.

Pela propriedade de falta de memoria,

P(X > 7|X > 5) = P(X > 5 + 2|X > 5) = P(X > 2)

= 1− P(X < 2) = e−2λ.

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Sejam X1, . . . ,Xn variaveis aleatorias independentes. Entao,

◮ Se Xi ∼ Gama(αi , λ),

Y =n∑

i=1

Xi ∼ Gama

(

n∑

i=1

αi , λ

)

.

◮ Se Xi ∼ Exponencial(λ),

Y =n∑

i=1

Xi ∼ Gama(n, λ).

Prova por inducao no livro texto.

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Proposicao

Sejam X1, . . . ,Xn variaveis aleatorias independentes tais queXi ∼ Exponencial(λi ), i = 1, . . . , n. Entao,

min{Xi} ∼ Exponencial

(

n∑

i=1

λi

)

.

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Processos de Poisson

Processo de contagem

Um processo estocastico {N(t), t ≥ 0} e um processo de contagemse N(t) representa o total de ocorrencias de um evento ate otempo t.

◮ N(t) ≥ 0.

◮ N(t) assume valores inteiros positivos.

◮ Se s < t entao N(s) ≤ N(t).

◮ Para s < t, N(t)− N(s) e o numero de ocorrencias do eventono intervalo (s, t].

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Um processo de contagem tem incrementos independentes se osnumeros de ocorrencias em intervalos disjuntos sao independentes.

Ou seja,

N(t1)− N(t0),N(t2)− N(t1), . . . ,N(tn)− N(tn−1)

sao variaveis aleatorias independentes para quaisquert0 = 0 < t1 < · · · < tn,

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Um processo de contagem tem incrementos estacionarios se onumero de ocorrencias do evento em qualquer intervalo de tempodepende somente do seu comprimento.

Ou seja, N(s + t)− N(s) tem a mesma distribuicao ∀s.

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Definicao

Um Processo de Poisson com taxa λ > 0 e um processo decontagem {N(t), t ≥ 0} tal que,

◮ os incrementos

N(t1)− N(t0),N(t2)− N(t1), . . . ,N(tn)− N(tn−1)

sao variaveis aleatorias independentes para quaisquert0 = 0 < t1 < · · · < tn,

◮ N(0) = 0.

◮ P(N(t + h)− N(t) = 1) = λh + o(h)

◮ P(N(t + h)− N(t) ≥ 2) = o(h)

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Definicao

Uma funcao f (·) e dita ser o(h) se,

limh→0

f (h)

h= 0.

◮ Se f (·) e o(h) e g(·) e o(h), entao f (·) + g(·) e o(h).

◮ Se f (·) e o(h), entaao g(·) = cf (·) e o(h).

Qualquer combinacao linear finita de funcoes o(h) e o(h).

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Teorema

Seja {N(t), t ≥ 0} com taxa λ. Entao,

N(s + t)− N(s) ∼ Poisson(λt), s ≥ 0, t > 0,

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Propriedades

◮ Em particular, N(t) ∼ Poisson(λt).

◮ E [N(t)] = Var [N(t)] = λt.

◮ Os incrementos sao estacionarios, i.e. a distribuicao deN(s + t)− N(s) so depende da amplitude t.

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Processos de Poisson com taxas 2 e 0.5

Co

nta

ge

ns

0

10

20

30

5 10 15 20

2

5 10 15 20

0.5

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◮ Processos de Poisson sao em geral bons modelos paraocorrencias aleatorias de um evento em tempo continuo.

◮ Alguns exemplos: chegadas de clientes em uma fila, emissaode particulas radiotivas, ocorrencia de uma doenca rara.

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Exemplo. Clientes chegam a uma loja segundo um processo dePoisson com taxa λ = 4 clientes por hora. Sabendo que a loja abreas 9h,

◮ Qual a probabilidade de exatamente 1 cliente ter chegado ateas 9:30?

◮ Qual a probabilidade de chegarem 5 clientes ate as 11:30?

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Exemplo. Defeitos ocorrem em um cabo submarino segundo umprocesso de Poisson com taxa λ = 0.1 por milha.

◮ Qual a probabilidade de nenhum defeito ocorrer nas primeiras2 milhas?

Seja N(t) o numero de defeitos no tempo t.

N(t) ∼ Poisson(λt)

N(2) ∼ Poisson(0.2)

P(N(2) = 0) = e−0.2

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◮ Qual a probabilidade de nenhum defeito ocorrer entre 2 e 3milhas dado que nao ocorreu defeito nas primeiras 2 milhas?

Pede-se P(N(3)− N(2) = 0|N(2) = 0).

Como N(3)− N(2) e N(2)− N(0) sao independentes eN(3)− N(2) ∼ Poisson(0.1),

P(N(3)− N(2) = 0|N(2) = 0) = P(N(3)− N(2) = 0) = e−0.1

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Tempos entre ocorrencias

Seja {N(t), t ≥ 0} um processo de Poisson com taxa λ.

◮ Denota-se por Tn o tempo entre a (n − 1) e n-esimaocorrencia de eventos, sendo T1 o tempo ate a primeiraocorrencia.

◮ A sequencia {Tn, n = 1, 2, . . . } e chamada de sequencia de

tempos entre ocorrencias ou entre chegadas.

Proposicao

T1,T2, . . . sao variaveis aleatorias indenpendentes com distribuicaoExponencial(λ).

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Tempos de Espera

Seja Sn o tempo ate a n-esima ocorrencia (tempo de espera).

Entao,

Sn =n∑

i=1

Ti , n = 1, 2, . . .

e Sn ∼ Gama(n, λ) com funcao de densidade,

f (t) =λn

Γ(n)tn−1e−λt =

(λt)n−1

(n − 1)!λe−λt , t ≥ 0.

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Definicao alternativa

Seja uma sequencia {Tn, n ≥ 1} de variaveis aleatoriasindependentes tais que Tn ∼ Exp(λ), n = 1, 2, . . . . Defina umprocesso de contagem tal que o n-esimo evento deste processoocorre no tempo,

Sn =n∑

i=1

Ti .

Entao {N(t), t ≥ 0} tal que N(t) = max{n : Sn ≤ t} sendo S0 = 0e um processo de Poisson com taxa λ.

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Exemplo. Pessoas imigram para um territorio segundo umprocesso de Poisson com taxa λ = 1 por dia.

◮ Qual o tempo esperado ate que o 10o migrante chegue?

◮ Qual a probabilidade de que o tempo entre as chegadas do10o e do 11o imigrante exceda 2 dias?

Na nossa notacao calcular E (S10) e P(T11 > 2).

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Teorema. Seja {N(t), t ≥ 0} um processo de Poisson com taxa λ.Para 0 < u < t e k = 0, 1, . . . , n,

P(N(u) = k|N(t) = n) =

(

n

k

)

(u

t

)k (

1−u

t

)n−k

,

ou seja N(u)|N(t) = n ∼ Binomial(

n,u

t

)

.

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Seja {N(t), t ≥ 0} um processo de Poisson com taxa λ.

◮ Cada vez que um evento ocorre ele e classificado como tipo Iou tipo II com probabilidades p e 1− p independente dosdemais.

◮ Sejam {N1(t), t ≥ 0} e {N2(t), t ≥ 0} os numeros de eventosdo tipo I e tipo II que ocorrem no intervalo (0, t].

◮ Portanto,N(t) = N1(t) + N2(t).

Proposicao

{N1(t), t ≥ 0} e {N2(t), t ≥ 0} sao processos de Poisson comtaxas λp e λ(1− p). Alem disso, os 2 processos sao independentes.

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Sejam,

Yi =

{

1, ocorre evento tipo I,0, ocorre evento tipo II

sendo P(Yi = 1) = p.

Considere separadamente os processos marcados por 1’s e 0’s,

N1(t) =

N(t)∑

k=1

Yk

N2(t) = N(t)− N1(t)

Note que,

◮ N1(t) tem incrementos independentes,

◮ N1(0) = 0,

◮ N1(t) ∼ Poisson(λpt), pois E (Yk) = p.

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Em resumo,

◮ N1(t) e um processo de Poisson com taxa λp e,

◮ por um argumento analogo N2(t) e um processo de Poissoncom taxa λ(1− p).

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Exemplo. Clientes entram em uma loja de acordo com umprocesso de Poisson com taxa λ = 10 por hora. De formaindependente cada cliente compra alguma coisa com probabilidade0.3 ou sai da loja sem comprar nada com probabilidade 0.7.

Sejam,

◮ N0(t): o numero de pessoas que nao compram nada ate otempo t e,

◮ N1(t): o numero de pessoas que compram algo ate o tempo t,

Entao, N0(t) e N1(t) sao processos de Poisson independentes comtaxas (1− p)λ e pλ.

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A probabilidade de que durante a primeira hora 9 pessoas entremna loja, das quais 3 compram alguma coisa e 6 vao embora semcomprar e

P(N0(1) = 6,N1(1) = 3) = P(N0(1) = 6) P(N1(1) = 3),

sendo que N0(1) ∼ Poisson(7) e N1(1) ∼ Poisson(3).

Portanto,

P(N0(1) = 6,N1(1) = 3) =76e−7

6!

33e−3

3!= 0.0334

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Considere agora variaveis aleatorias discretas Y1,Y2, . . .independentes e cada Yn pode assumir valores 0, 1, 2, . . . comprobabilidades,

P(Yn = k) = pk , k = 0, 1, . . . , sendo

∞∑

k=0

pk = 1.

◮ Cada um dos processos resultantes Nk(t), k = 0, 1, 2, . . . eum processo de Poisson com taxa λpk , e

◮ N0(t),N1(t), . . . , sao processos independentes.

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Exemplo. Considere um sistema no qual equipamentos podem serclassificados em estados {0, 1, . . . , r}. Assume-se que,

◮ Cada equipamento muda de estado segundo uma cadeia deMarkov com probabilidades de transicao Pij , i , j = 0, 1, . . . , r .

◮ Os equipamentos mudam de estado independentemente unsdos outros.

◮ Os numeros de equipamentos inicialmente nos estados{0, 1, . . . , r} sao independentes com distribuicao de Poisson eparametros {λ0, λ1, . . . , λr}.

Qual a distribuicao conjunta dos numeros de equipamentos nosestados {0, 1, . . . , r} em um tempo n.

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Seja Nj(i): o numero de equipamentos inicialmente em i que estaoem j no tempo n.

◮ Cada equipamento inicialmente no estado i estara em j notempo n com probabilidade Pn

ij , o elemento (i , j) da matrizPn.

◮ Portanto, Nj(i) ∼ Poisson(λiPnij ) independentes,

j = 0, 1, . . . , r .

◮ Distribuicao do numero total de equipamentos no estado j notempo n,

r∑

i=0

Nj(i) ∼ Poisson

(

r∑

i=0

λiPnij

)

, j = 0, . . . , r .

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Distribuicao condicional dos tempos de chegada

Seja {N(t), t ≥ 0} com taxa λ.

◮ Sabe-se que exatamente 1 evento ocorreu no intervalo (0, t].

◮ Qual a distribuicao do tempo ate a ocorrencia do evento?

◮ Equivalentemente, deseja-se obter

P(T1 < s|N(t) = 1), s ≤ t.

Pela hipotese de incrementos independentes e estacionarios erazoavel assumir que a distribuicao e uniforme em (0, t].

Pode-se verficar que,

P(T1 < s|N(t) = 1) =s

t, s ≤ t.

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Estatisticas de ordem

Sejam n variaveis aleatorias Y1, . . . ,Yn. Entao Y(1), . . . ,Y(n) saoas estatisticas de ordem se Y(k) e o k-esimo menor valor dentreY1, . . . ,Yn, k = 1, . . . , n.

Se os Yi forem continuas, independentes e identicamentedistribuidas,

f (y1, . . . , yn) = n!n∏

i=1

f (yi ), y1 < y2 < · · · < yn

e a densidade conjunta das estatisticas de ordem.

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Teorema

Dado que N(t) = n, os n tempos de chegada S1, . . . , Sn tem amesma distribuicao que as estatisticas de ordem de n variaveisaleatorias com distribuicao uniforme em (0, t].

Portanto,

f (s1, . . . , sn|N(t) = n) =n!

tn, 0 < s1 < · · · < sn < t.

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Processos de Poisson nao homogeneos

Em situacoes praticas pode ser mais razoavel assumir que a taxade ocorrencia nao e constante e depende do tempo (ou espaco).

Definicao

Um processo de Poisson e nao homogeneo ou nao estacionario comλ = λ(t) (funcao de intensidade), se

◮ os incrementos sao independentes,

◮ N(0) = 0.

◮ P(N(t + h)− N(t) = 1) = λ(t)h + o(h)

◮ P(N(t + h)− N(t) ≥ 2) = o(h)

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Definicao

Funcao valor medio do processo de Poisson nao homogeneo,

m(t) =

∫ t

0λ(u)du.

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Teorema

Seja {N(t), t ≥ 0} um processo de Poisson nao estacionario comintensidade λ(t). Entao,

N(t + s)− N(s) ∼ Poisson(m(t + s)−m(s))

sendo,

m(t + s)−m(s) =

∫ t+s

s

λ(u)du.

Note que os incrementos nao sao mais estacionarios. Ou seja,eventos podem ser mais provaveis de ocorrer em certos periodos detempo.

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Exemplo. A demanda por atendimento em um posto de saudeoccorre segundo um processo de Poisson com taxa,

λ(t) =

2t, 0 ≤ t < 12, 1 ≤ t < 2

4− t, 2 ≤ t < 4

sendo t medido em horas.

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◮ Qual a probabilidade de que 2 atendimentos ocorram nasprimeiras 2 horas?

Seja N(t) o numero de atendimentos no tempo t. Pede-seP(N(2) = 2) sendo N(2) ∼ Poisson(µ),

µ =

∫ 1

02tdt +

∫ 2

12dt.

◮ Qual a probabilidade de que mais 2 atendimentos ocorram nas2 horas seguintes?

Pede-se P(N(4)− N(2) = 2) sendoN(4)− N(2) ∼ Poisson(µ),

µ =

∫ 4

2(4− t)dt.

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Gerando um processos de Poisson nao homogeneos

Seja {N(t), t ≥ 0} um processo de Poisson com taxa λ.

◮ Um evento que ocorre no tempo t e contado comprobabilidade p(t) independente do que ocorreu antes de t.

◮ Seja Nc(t) o numero de eventos contados ate o tempo t.

Entao, o processo de contagem {Nc(t), t ≥ 0} e um processo dePoisson nao homogeneo com funcao de intensidade

λ(t) = λp(t).

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Fazendo uma mudanca deterministica na escala temporal edefinindo um novo processo Y (s) = N(t) com,

s = Λ(t) =

∫ t

0λ(u)du

pode-se mostrar que Y (s) e um processo de Poisson homogeneocom taxa igual a 1.

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Processos de Poisson compostos

Suponha que {N(t), t ≥ 0} e um processo de Poisson com taxa λe cada evento esta associado a uma variavel aleatoria.

Definicao

Um processo estocastico {Z (t), t ≥ 0} e dito ser um processo de

Poisson composto se puder ser representado como,

Z (t) =

N(t)∑

i=1

Yi , t ≥ 0,

sendo Y1,Y2, . . . variaveis aleatorias independentes eindependentes de N(t).

Note que se Yi = 1, i = 1, 2, . . . ,N(t) entao Z (t) = N(t).

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Exemplo. Suponha que onibus chegam a um evento de acordocom um processo de Poisson com taxa λ. Os numeros de pessoasem cada onibus sao independentes e identicamente distribuidos.

Se Z (t) representa o numero total de pessoas que chegam deonibus ao evento e Yi representa o numero de pessoas no onibus i ,entao {Z (t), t ≥ 0} e um processo de Poisson composto,

Z (t) =

N(t)∑

i=1

Yi , t ≥ 0,

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Exemplo. Suponha que clientes saiam de um supermercado deacordo com um processo de Poisson com taxa λ. Sejam{N(t), t ≥ 0} o numero de clientes que saem no tempo t e Yi aquantia gasta pelo cliente i , independentes e independentes deN(t). Entao,

Z (t) =

N(t)∑

i=1

Yi , t ≥ 0,

e um processo de Poisson composto que representa o total gastono tempo t.

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Denotando E (Yi ) = µ e Var(Yi) = σ2, i = 1, 2, . . . ,

E [Z (t)] = E

N(t)∑

i=1

Yi

= E

E

N(t)∑

i=1

Yi

∣

∣

∣

∣

N(t) = n

=∞∑

n=1

E

N(t)∑

i=1

Yi

∣

∣

∣

∣

N(t) = n

P(N(t) = n)

=∞∑

n=1

E (Y1 + · · ·+ Yn)P(N(t) = n)

= µ∞∑

n=1

nP(N(t) = n) = µE [N(t)] = µλt

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Analogamente,

Var [Z (t)] = (µ2 + σ2)λt.

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Exemplo. Suponha que famılias migram para uma certa regiaosegundo um processo de Poisson com taxa igual a 2 famılias porsemana. Cada famılia pode ter 1, 2, 3 ou 4 pessoas comprobabilidades 1/6,1/3,1/3,1/6. Obtenha o valor esperado e avariancia do numero de pessoas que migram para esta regiao numperıodo de 4 semanas e meia.

Sejam Yi o numero de pessoas na familia i e N(t) o numero defamilias que migram para esta regiao ate o tempo t. Entao,

Z (t) =

N(t)∑

i=1

Yi , t ≥ 0,

e um processo de Poisson composto que representa o numero demigrantes no tempo t.

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Temos entao que,

E (Yi ) =4∑

i=1

yP(Y = y) = 5/2 = 2.5

E (Y 2i ) =

4∑

i=1

y2P(Y = y) = 43/6

Var(Yi) = 43/6− (5/2)2 = 11/12

Portanto, como N(t) tem taxa λ = 2,

E [Z (t)] = µλt = 2(5/2)t = 5t

Var [Z (t)] = (µ2 + σ2)λt = 2[(5/2)2 + 11/12]t

Para t = 4.5 semanas o numero medio de migrantes eE [Z (t)] = 22.5 com variancia Var [Z (t)] = 64.5.

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Processos de Cox

Definicao

Um processo de Cox e um processo de Poisson nao homogeneocuja taxa e tambem um processo estocastico {λ(t), t ≥ 0}.

Sejam {N ′(t), t ≥ 0} um processo de Poisson com taxa constanteλ = 1 e o processo N(t) = N ′(Θt) sendo Θ uma variavel aleatoria.

◮ N(t) e um processo de Cox chamado processo de Poissonmisto.

◮ N(t)|Θ e um processo de Poisson com taxa constante λ = Θ.

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Em particular, se Θ for continua com densidade f (θ) a distribuicaomarginal de N(t) e,

P(N(t) = k) =

∫

∞

0P(N(t) = k|θ) f (θ)dθ

=

∫

∞

0

(θt)ke−θt

k!f (θ)dθ.

Equivalentemente,

P(N(t + s)− N(s) = k) =

∫

∞

0

(θt)ke−θt

k!f (θ)dθ.

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◮ Um processo de Poisson misto tem incrementos estacionarios.

◮ Um processo de Poisson misto em geral nao tem incrementosindependentes.

◮ Portanto, um processo de Poisson misto em geral nao e umprocesso de Poisson.

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Exemplo. Considere um processo de Poisson misto com parametroΘ ∼ Exponencial(1). Obtenha a distribuicao marginal de N(t).

P(N(t) = k) =

∫

∞

0

(θt)ke−θt

k!e−θdθ

=tk

k!

∫

∞

0θke−(t+1)θdθ

=tk

k!

Γ(k + 1)

(t + 1)k+1=

(

t

t + 1

)k ( 1

t + 1

)

.

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Portanto,

N(t) ∼ Geometrica(p), p =1

t + 1, t ≥ 0.

Repita o exemplo para Θ ∼ Gama(r , λ).

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Como N(t)|Θ e um processo de Poisson com taxa Θ entao,

E [N(t)|Θ] = Var [N(t)|Θ] = Θt.

Portanto,

Var [N(t)] = E (Θt) + Var(Θt) = tE (Θ) + t2Var(Θ).

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Finalmente obtem-se que,

P(Θ < x |N(t) = k) =P(Θ < x ,N(t) = k)

P(N(t) = k)

sendo,

P(Θ < x ,N(t) = k) =

∫

∞

0P(Θ < x ,N(t) = k|θ)g(θ)dθ

=

∫ x

0P(N(t) = k|Θ = θ)g(θ)dθ.

A funcao de densidade condicional fica,

f (θ|n) = C e−θt θn g(θ),

e a constante C nao depende de θ.

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