Processamento digital de imagens

Agostinho Brito

Departamento de Engenharia da Computação e AutomaçãoUniversidade Federal do Rio Grande do Norte

3 de março de 2016

Transformação e filtragem de imagens no domínio espacial

O objetivo das técnicas de melhoramento é produzir imagems que são maisapropriadas para processamento que a imagem original.

As técnicas não são universais, ou seja, cada uma é capaz de tratar apenas umasituação específica.

Podem ser necessária a utilização de várias técnicas conjuntas para produzir umresultado útil.Os métodos discutidos podem ser elencados em duas categorias:

Métodos no domínio espacial, onde a manipulação dos pixels é realizadadiretamente no plano da imagem; eMétodos no domínio espectral, onde as técnicas de processamento são realizadasem um domínio diferente, utilizando transformadas como a de Fourier, ou atransformada Wavelet.

Em várias situações, o mesmo efeito pode ser obtido pelo processamento nosdomínio espacial e espectral. Entretanto, a escolha por um ou por outro vaidepender das restrições impostas no domínio do problema.

Transformação e filtragem de imagens no domínio espacial

As técnicas de filtragem no domínio espacial podem ser representadas pelaequação

g(x , y) = T[f (x , y)]

A transformação T é um operador em f (x , y), podendo envolver o valor dos tonsde cor associados ponto (x , y), uma vizinhança definida em torno do ponto, bemcomo um conjunto de imagens tomadas de uma cena.

y

x

f(x,y)

Geralmente utiliza-se para as vizinhanças, subimagems quadradas ouretangulares centradas no ponto (x , y). A transformação é geralmente obtidavarrendo a imagem da esquerda para a direita e de cima para baixo, centrando asubimagem em cada ponto (x , y) da imagem original f (x , y) e atribuindo oresultado do processamento a uma imagem de destino g(x , y).

Poucas técnicas operam diretamente sobre os pixels da imagem original.

Transformação de imagens no domínio espacial

Processamento de histograma

A forma mais simples de filtragem é quando a transformação possui vizinhança detamanho igual a 1× 1. Neste caso, a transformação consistirá em uma função demapeamento que converte os tons de cinza da imagem.

A determinação da função de mapeamento é feita através da análise dohistograma da imagem. O histograma é um vetor que armazena as ocorrências decada tom de cinza presentes.

1

10

100

1000

10000

100000

0 50 100 150 200 250 300

A função de mapeamento é da forma s = T(r), onde r e s são os tons de cinzadas imagems f (x , y) e g(x , y) em qualquer ponto (x , y).

Transformação de imagens no domínio espacial

Exemplos de processamento linear de histograma

T

L2L1

Enlargamento

Threshold

Negativo

Histograma

L−1 r

sL−1

L−1 r

sL−1

L−1 r

L−1s

L−1 r

Transformação de imagens no domínio espacial

Exemplos de processamento não linear de histogramaCompressão de faixa dinâmica: s = c log(1 + r)

sem compressão com compressãoFunção gamma para corrigir exibição em dispositivos de exibição: s = crγ

γ = 0.5 γ = 1 γ = 2

Transformação de imagens no domínio espacial

Equalização de histogramasOperação que melhora o contraste, uniformizando o histograma da imagem deforma automática, redistribuindo os níveis de cinza existentes, e mapeando-ospara novos níveis.Embora os picos e vales do histograma sejam mantidos, eles deslocados após aequalização. Este procedimento fará com que o número de intensidades naimagem resultante seja igual ou menor que na imagem original.Como equalizar (em tons de cinza):

1 Calcular histograma: h(rk ), k ∈ [0, L− 1].2 Calcular histograma acumulado: ha(rk ) =

∑h(rj ), j = 0, 1, . . . , k .

3 Normalizar o histograma acumulado na faixa [0, L]: ha(rk ) = ha(rk )/ha(rL)4 Transformar a imagem: s = ha(rk ), k ∈ [0, L− 1]

Transformação de imagens no domínio espacial

Melhoria usando operações aritméticas: médiaConsidere um dispositivo que captura imagens g(x , y) formadas pela adição deruído gaussiano η(x , y) de média zero à imagem original f (x , y), ou seja,g(x , y) = f (x , y) + η(x , y).

É possível mostrar que realizando uma média com K imagens g(x , y) tomadasem instantes diferentes, ou seja,

g(x , y) =1K

K∑i=1

gi(x , y)

o valor esperado para g(x , y), E{g(x , y)}, é igual a f (x , y), e σg(x,y) =1√Kση(x,y).

Logo, quanto mais imagens são tomadas, melhor fica a qualidade da imagem final.

Transformação de imagens no domínio espacial

Melhoria usando operações aritméticas: média (σ = 255)

K=1 K=8 K=16

K=64 K=128 K=256

Transformação de imagens no domínio espacial

Melhoria usando operações aritméticas: subtraçãoRealizada quando à imagem original alguma modificação é adicionada, permitindodestaque de características.

g(x , y) = f (x , y)− h(x , y)

Ex: imagem médica antes (h(x , y)) e após a inserção de contraste radioativo(f (x , y)) no sistema sangüíneo.

Filtragem de imagens no domínio espacial

Convolução e correlaçãoO objetivo da filtragem de imagens é extrair apenas tipos selecionados deinformação.

Para imagens digitais, a filtragem é digital e geralmente é realizada utilizandooperações na vizinhaça dos pixels.

A forma mais comum de filtragem espacial é usando a operação de convolução.Para o caso 1-Dimensional, a convolução é definida como

f (x) ∗ g(x) =

∞∫−∞

f (α)g(x − α)dα

onde α é uma variável de integração.

Para o caso bidimensional

f (x , y) ∗ g(x , y) =

∞∫∫−∞

f (α, β)g(x − α, y − β)dα dβ

Filtragem de imagens no domínio espacial

CorrelaçãoA equação da correlação é bastante semelhante à da convolução. É dada por

f (x , y) ◦ g(x , y) =

∞∫∫−∞

f (α, β)g(x + α, y + β)dα dβ

Na correlação, não há o espelhamento da função g(x , y). Se f (x , y) e g(x , y) sãoidênticas em um região, ocorre uma correspondência de padrão. Este é um dosseus usos principais.

A convolução, por outro lado, possui uma correspondência importante com afiltragem no domínio da freqüência, sendo a ferramenta de filtragem maiscomumente utilizada.

Filtragem de imagens no domínio espacial

Interpretação gráfica da convolução 1-Dimensional

1

1

1/2

1

1/2

-1

1/2

-1

1/2

-1

1/2

1 2

Filtragem de imagens no domínio espacial

Convolução digitalDada pela equação:

f (x , y) ∗ w(x , y) =1

MN

M−1∑m=0

N−1∑n=0

f (m, n)w(x −m, y − n)

onde: M e N são a altura e largura da imagem.

Implementada como:

g(x , y) =

a∑s=−a

b∑t=−b

w(s, t)f (x + s, y + t)

a∑s=−a

b∑t=−b

w(s, t)

Uso de padding: número de elementos em cada função é completado com zerosde modo que cada função fique com P ≥ M + N − 1 elementos.

Isso evita o cálculo incorreto na convolução circular.

Filtragem de imagens no domínio espacial

Filtragem linear com máscarasQuando a vizinhança do pixel assume tamanhos maiores que 1× 1, é possívelrealizar dois tipos de filtragens adicionais: borramento, para suavizar os tons daimagem; e aguçamento, para realce de bordas.

Para cada pixel da imagem f (x , y), é calculado o valor do pixel correspondente naimagem g(x , y), usando uma máscara (ou kernel) wm×n.

g(x , y) =a∑

s=−a

b∑t=−b

w(s, t)f (x + s, y + t), a = (m − 1)/2, b = (n − 1)/2

subimagem sob a máscara

máscara máscara

Filtragem de imagens no domínio espacial

Filtragem linear com máscarasOs efeitos dos filtros espaciais lineares podem observados no perfil dos tons deuma linha da imagem.

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

originalsuavizanteaguçante

Filtragem de imagens no domínio espacial

Filtros suavizantes linearesAdequado para atenuar borrar ou atenuar ruídos.

Exempos de uso são a remoção de pequenos detalhes para extração de objetosgrandes, e a conexão de falhas em linhas ou curvas.

Exemplos de máscaras de borramento:

19×

1 1 11 1 11 1 1

116×

1 2 12 4 21 2 1

Filtragem de imagens no domínio espacial

Exemplos de filtragem suavizante

3× 3 5× 5 7× 7 9× 9

Filtragem de imagens no domínio espacial

Filtro suavizante não-linear: medianaAtribui a g(x , y) o valor da mediana dos tons de cinza situados na vizinhança def (x , y).

Apropriados para remoção de ruído impulsivo (sal e pimenta).

1 6 43 11 53 8 2

1 6 4 3 11 5 3 8 2← ordenação→

1 2 3 3 4 5 6 8 11

original média mediana

Filtragem de imagens no domínio espacial

Filtros aguçantesUtilizados para realçar detalhes finos presentes em uma imagem, ou realçardetalhes borrados por algum processo degradatório.

Criados através de filtros derivativos: aproximação da derivada por diferenças.

∂f∂x

= f (x + 1)− f (x)

∂2f∂x2 = f (x + 1) + f (x − 1)− 2f (x)

original 1a

ordem 2a

ordem

Filtragem de imagens no domínio espacial

Filtros aguçantesFiltros de primeira ordem: arestas mais largas, resposta constante para rampas,utilizada para operações de melhoramento.Filtros de segunda ordem: arestas mais finas, melhor resposta para ruídos, exiberesposta apenas nas transições, mais agressivo.

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 50 100 150 200 250

original1a. ordem2a. ordem

Filtragem de imagens no domínio espacial

Filtros aguçantes de 2a

ordemFiltro isotrópico (invariante à rotação): laplaciano

∇2f =∂2f∂x2 +

∂2f∂y2

Obtenção da máscara espacial

∂2f∂x2 = f (x + 1) + f (x − 1)− 2f (x)

∂2f∂y2 = f (y + 1) + f (y − 1)− 2f (y)

Somando ambas as componentes, monta-se a aproximação para o laplaciano.

∇2f = f (x + 1, y) + f (x − 1, y) + f (x , y + 1) + f (x , y − 1)− 4f (x , y)

Máscaras que implementam o laplaciano

0 1 01 -4 10 1 0

ou0 -1 0-1 4 -10 -1 0

Filtragem de imagens no domínio espacial

Filtros aguçantes de 2a

ordemPara salientar as descontinuidades existentes, soma-se o resultado do laplacianoà imagem original. Utilizando a máscara com coeficiente central positivo, aimagem melhorada será g(x , y) = f (x , y) +∇2f .

f (x , y) ∇2f f (x , y) +∇2f

Filtragem de imagens no domínio espacial

Filtros aguçantes de ênfase em altas frequênciasUsada para manter as características da imagem, realçando as bordas pelo ajustede um parâmetro. Dada uma imagem f (x , y) e seu realce aguçado fa(x , y), o filtrode ênfase, ou high-boost será dado por

g(x , y) = Af (x , y) + fa(x , y)

Este filtro pode ser implementado com uma das seguintes máscaras:

0 -1 0-1 A+4 -10 -1 0

ou-1 -1 -1-1 A+8 -1-1 -1 -1

original A = 1.3 A = 1.7

Filtragem de imagens no domínio espacial

Filtro do gradienteUtilizado para inspeção industrial, em passos de pré-processamento. Menossensíveis a ruídos que filtros de segunda ordem.

Formulação

∇f =[

Gx

Gy

]=

[ ∂f∂x∂f∂y

]Magnitude do vetor gradiente

∇f = mag(∇f)

= [G2x + G2

y ]1/2

=

[(∂f∂y

)2

+

(∂f∂x

)2]2

' |Gx |+ |Gy |

Aproximação com máscaras

z1 z2 z3

z4 z5 z6

z7 z8 z9

∇f ' |(z7 + 2z8 + z9)− (z1 + 2z2 + z3)|+|(z3 + 2z6 + z9)− (z1 + 2z4 + z7)|

Operadores de Sobel

-1 -2 -10 0 01 2 1

-1 0 1-2 0 2-1 0 1

Gx Gy

Filtragem de imagens no domínio espacial

Filtro do gradiente

Original Sobel x Sobel y Gradiente