Process Amen To Digital de Sinais

8/9/2019 Process Amen To Digital de Sinais

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Processamento Digital de Sinais

Prof. Luciano Leonel Mendes

S. Mitra, Digital Signal Processing A computer-based approach, 2nd

edition.


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Captulo 1 Sinais e Processamento de Sinais

Sinal uma funo de uma varivel independente, como

tempo, distncia, temperatura, etc.Exemplos:

- Msica, que representa a variao da presso do ar ao longo

do tempo em um ponto do espao.

- Foto P&B, que representa a variao da intensidade da luz ao

longo de duas coordenadas espaciais.

- Vdeo, que representa a variao de intensidade de luz ao

longo das coordenadas X e Y e tambm ao longo do tempo.

Todo sinal carrega algum tipo de informao e o objetivo doprocessamento do sinal extrair ou modificar a informao

contida no sinal.


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Classificao de Sinais

Classificao quanto ao nmero de fontes

- Sinais escalares so aqueles provenientes de uma nicafonte. Exemplo: sinal de udio mono.

- Sinais vetoriais so aqueles provenientes de duas ou maisfontes. Exemplo: sinal de udio estreo.

Classificao quanto dimenso

- Sinais unidimensionais so aqueles que so funo de umanica varivel independente. Exemplo: sinal de udio.

- Sinais M-dimensionais so aqueles que so funo de Mvariveis independentes. Exemplo: sinal de vdeo P&B.

Classificao quanto a aleatoridades

- Sinais determinsticos so aqueles cujo o valor das amostraspodem ser previstos. So funes matemticas ou tabelasconhecidas a priori.

- Sinais aleatrios so aqueles cujo o valor das amostras nopode ser conhecido previamente.


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5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tempo

Amplitud

e

Sinal contnuoSinal Discreto

Sinal Digital

Classificao de Sinais


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Representao de Sinais

Normalmente os sinais unidimensionais so funes do tempo.

Sua representao matemtica dada por:- f(t) para o caso contnuo.

- f[n] para o caso discreto, onde n um nmero inteiro.

A representao de sinais M-dimensionais feita listado todas

as variveis independentes.

- f(x,y) ; f(x,y,t) para o caso contnuo.

- f[n,m] ; f[n,m,k] para o caso discreto, onde n, m e k sointeiros.

Sinais vetoriais so representados como um conjunto de sinais.

),,(

),,(

),,(

),,(

tyxb

tyxg

tyxr

tyxu

],,[

],,[

],,[

],,[

kmnb

kmng

kmnr

kmnu


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Operaes Bsicas com Sinais

Inicialmente, iremos focar nas operaes bsicas realizadas no

domnio do tempo. As operaes apresentadas a seguir so vlidas para sinais

contnuos. O equivalente para sinais discretos ser

apresentado no Captulo 2.

a) Escalonamento: consiste em multiplicar o sinal por uma

constante.Exemplo: y(t)=a.x(t)

b) Atraso: gera uma rplica deslocada temporalmente do sinaloriginal.

Exemplo: y(t)=x(t-T)Note que se T for negativo, ento o processo consiste em um

avano temporal.


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Operaes Bsicas com Sinais

c) Soma: consiste em somar dois sinais distintos.

Exemplo: w(t)=x(t)+y(t)Esta operao pode ser combinada com o escalonamento para

gerar um sinal que seja a combinao linear de outros sinais.

d) Produto: consiste em obter um novo sinal a partir do produtode dois sinais conhecidos.

Exemplo: w(t)=x(t).y(t)

Dica importante: o restante do captulo 1 traz aplicaes

importantes sobre processamento digital de sinais. A leituradas demais sesses deste captulo recomendada.

1

0

)sin()cos()(N

i

iiii batg


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Captulo 2 Sinais de Tempo Discreto eSistemas no Domnio do Tempo

Sinal de tempo discreto: corresponde a uma seqncia de

amostras tomadas a cada T segundos. A amplitude das

amostras contnua.

Representao no domnio do tempo: as seqncias discretas

so representadas como uma seqncia de nmeros. A

representao matemtica desta seqncia dada por:

A seta indica a amostra que corresponde a n=0. Note que aseqncia somente definida para valores de ninteiros.

]15.0,1.0,20.0,15.0[][nx


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Representao Grfica de Seqncias

A representao grfica de uma seqncia discreta feita

atravs de impulsos localizados em valores de n inteiros, cuja

rea igual amplitude da amostra.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

n

y[n]


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Princpios da Amostragem

Em muitas aplicaes as seqncias discretas so obtidas a

parir de sinais contnuos.

O parmetro T define o espaamento temporal entre as

amostras e chamado de tempo de amostragem.

O inverso deste parmetro denominado de freqncia de

amostragem.

Conforme ser visto no captulo 5, a amostragem de um sinalcontnuo com largura de faixa limitada no introduz distores,

desde que a freqncia de amostragem seja maior do queduas vezes a maior freqncia que compe o sinal.

)()()()(][ nTttxnTxtxnxn

aanTta

TfT

1


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Classificao de Seqncias Discretas

Classificao quanto natureza das amostras.

- Seqncias reais: todas as amostras so reais.- Seqncias complexas: uma ou mais amostras so

complexas.

Seqncias complexas podem ser representadas como a soma

vetorial de duas seqncias reais:

x[n] = xr[n]+jxi[n]

Operaes complexas podem ser realizadas nesta representa-

o. Exemplo: o complexo conjugado de x[n] :

x*[n]= xr[n]-jxi[n]


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Seqncias digitais: so aquelas cujas amplitudes somente

podem assumir um nmero finito de valores. Quantizao o

processo pelo qual uma seqncia discreta torna-se umaseqncia digital. A seqncia digital expressa por x[n].

Classificao quanto ao comprimento

- Seqncias infinitas: so aquelas que possuem um nmeroinfinito de amostras. Elas so sub-classificadas como:

- Seqncias direitas: so aquelas que possuem apenasamostras nulas para n


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Classificao quanto ao comprimento

- Seqncias finitas: so aquelas cujas amplitudes dasamostras somente esto definidas no intervalo [N1,N2], ou seja,

x[n] somente est definida no intervalo N1 n N2. A durao de

uma seqncia finita dada por:

N=N2-N1+1

Seqncias finitas podem ser expressas como sendoseqncias infinitas introduzindo-se zeros no intervalo fora de

[N1,N2]. Esse processo denominado de zero-padding.


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Operaes com Seqncias

b) Adio: considere duas seqncia de mesmo comprimento.

A soma entre essas seqncias dada por:

w2[n]=x[n]+y[n]={x[N1]+y[N1], ... , x[1]+y[1], x[2]+y[2], ... , x[N2]+y[N2]}

O esquemtico para representar esta operao dado por:

c) Escalonamento: sendo uma seqncia x[n], seu escalona-

mento dado por:w3[n]=a.x[n]={a.x[N1], ... , a

.x[1], a.x[2], ... , a.x[N2]}

x[n]

y[n]

w[n]=x[n]+y[n]

a

x[n] w[n]=ax[n]


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d) Deslocamento temporal: seja uma seqncia x[n]. O desloca-

mento temporal desta seqncia dado por:

w4[n]=x[n-N]

Exemplo: x[n]={0.3, 0.4, 0.1, 0.2, 0.5}

a) N=2 w[n]=x[n-2]= {0, 0.3, 0.4, 0.1, 0.2, 0.5}

b) N=-2 w[n]=x[n+2]={0.3, 0.4, 0.1, 0.2, 0.5}

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

n

x[n]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

n

x[n-2]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

n

x[n+2]

Z-1x[n] x[n-1]

Z1x[n] x[n+1]

Atrasador

Adiantador


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e) Inverso temporal: consiste em inverter a seqncia ao longo

do eixo das amostras.

w5[n]=x[-n]

Exemplo: x[n]={0.3, 0.4, 0.1, 0.2, 0.5}

w[n]=x[-n]={0.5, 0.2, 0.1, 0.4, 0.3}

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

n

x[n]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

n

x[-n]


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21


- Exemplo de interpolao com L=4.

- Esquemtico do interpolador

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n

x[n]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n

x[n/4]

Lx[n] xu[n]


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22


- A dizimao por um fator M gera uma nova seqncia onde

M-1 amostras so removidas entre duas amostras que somantidas. Logo,

- A seqncia y[n] possui uma freqncia de amostragem M

vezes menor do que a seqncia.

- Exemplo: dizimao por M=3.

Esquemtico do

dizimador:

][][ nMxny

-4 -2 0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

14

16

18

2020

n

x[n]

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12-1

1

3

5

7

9

11

13

15

17

1920

n

y[n]=x[3n]

Mx[n] xd[n]


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Exerccios Propostos

Desenvolva um algoritmo no Matlab que permita:

a) entrar com duas seqncias de comprimento qualquer.b) definir qual amostra da seqncia corresponde n=0.

c) realizar o produto das duas seqncias.

d) realizar a soma das duas seqncias.

e) traar as seqncias de entrada e os resultados em grficosdistintos.

Seja x[n]={-2, -1, 0, 1, 2} e y[n]=[1 2 3 4 5 6]

Encontre:

a) w1[n]=3x[n]-2y[n] b) w2[n]=x[n]-y[-n]

c) w3[n]=y[n].y[-n] d) w4[n]=2x[n]-x[n-1]+3y[n-4]

e)2

0

5 ][1

1]1[1][

i

inyi

nxinw


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Representao Esquemtica

As operaes com seqncias podem ser representadas na

forma esquemtica.

Exemplo: encontre a expresso para obter y[n] e w[n].

Z-1

Z-1

x[n]

b1

b0

b2

y[n]

Z-1

Z-1

x[n]

b1

b0

b2

w[n]

Z-1

Z-1

a1

a2


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Outras Classificaes para Seqncias

Classificao quanto simetria:

- Seqncia conjugada simtrica: uma seqncia consideradaconjugada simtrica se:

x[n]=x*[-n]

Uma seqncia conjugada simtrica real tambm

denominada de seqncia par.

- Seqncia conjugada anti-simtrica: uma seqncia considerada conjugada anti-simtrica se:

x[n]=-x*[-n]

Uma seqncia conjugada anti-simtrica real tambmdenominada de seqncia mpar. Se x[n] conjugada anti-

simtrica, ento x[0] puramente imaginria.

Logo, se x[n] for mpar, ento x[0]=0.


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Classificao quanto simetria:

- Seqncias reais podem ser representadas pela combinaolinear de suas componentes pares e mpares, definidas como:

- Seqncias finitas entre [0, N-1] podem ser representadas pela sua

componente conjugada simtrica peridica e pela sua componenteconjugada anti-simtrica peridica. Note que estas seqnciasapenas existem para os valores de ndefinidos para x[n].

][][][][][2

1][

][][2

1][

nxnxnxnxnxnx

nxnxnx

odevod

ev

][][][

10,)1(2

1][

10,)1(2

1

][

**

**

nxnxnx

N-nnNxnxnxnxnx

N-nnNxnxnxnxnx

pcapcs

Npca

Npcs

NkkN

modulo


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Classificao quanto energia e potncia

- Definio de energia de uma seqncia:

- Definio de potncia mdia de uma seqncia:

- Sinais potncia: so aqueles que possuem energia infinita,

mas potncia mdia finita.

- Sinais energia: so aqueles que possuem energia mdia finita

e potncia mdia nula.

n

x nx2][

peridicaseqnciapara][1

aperidicaseqnciapara][12

1lim

1

0

2

2

N

n

x

K

KnK

x

nxN

P

nxK

P


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Exerccio: classifique as seqncias abaixo quanto energia e

potncia.

a) x[n] = e-n/5 n={0, 1, 2, 3, ...}

b) x[n] = sen( /4.n) n={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

c) x[n]=1/n n={1, 2, 3, ...}

d) x[n] = tan( /2.n) n={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

e) x[n] = cos( .n) n={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

f) x[n] = (-1)n n={0, 1, 2, 3, ...}


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Classificao quanto limitao da amplitude das amostras

- Seqncias limitadas so aquelas que atendem a seguintecondio:

|x[n]| B< para qualquer n

Classificao quanto somatria.

- Seqncias absolutamente somveis so aquelas que

atendem a seguinte condio:

- Seqncias quadrticas-somveis so aquelas que atendem aseguinte condio:

n

nx |][|

n

nx 2|][|


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Seqncias Fundamentais

Seqncia Impulso Unitrio: esta seqncia til para

caracterizar sistemas de tempo discreto. Sua definio :

Seqncia Degrau Unitrio: esta seqncia definida por

- Note que:

c.c.0

01][

nn

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1

00

01][

n

nnu

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1

]1[][][

][][

nunun

knun

k


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Periodicidade de seqncias senoidais:

- Perodo fundamental: se N.

0=2 r,onde r um inteiro ento asenide discreta ir se repetir a cada N amostras. N o perodo

fundamental da seqncia.

- Se 2 0 for um nmero racional, ento o perodo da

seqncia ser mltiplo de 2 0. O perodo da seqncia serigual 2 k 0, quando est diviso for um nmero inteiro. kdeve ser um inteiro.

- Se 20

for um nmero irracional, ento a seqncia seraperidica.


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Propriedades interessantes de senides discretas:

- A freqncia angular dada em radianos ou radianos/amostra

- Se 1= 2+2 k, ento sen( 1)=sen( 2)

- A maior freqncia que uma seqncia senoidal pode

apresentar . Logo,

cos( n)=cos[(2- ) n]

As freqncias em torno de 2 k so denominadas de

freqncias baixas.As freqncias em torno de (2k+1) so denominadas defreqncias altas.


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Seqncias Exponenciais: so seqncias expressas na forma

onde A e podem ser nmeros reais ou complexos e k umnmero real.

Fazendo-se A=|A|ej e =exp( 0+j 0), ento tem-se:

x[n]=A exp[( 0+j 0)n] = |A| exp(j ) exp[( 0+j 0)n]

x[n]=|A|exp( 0n)cos( 0n+ )+j|A|exp( 0n)sen( 0n+ )

nk

Anx ][

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-4

-2

0

2

4

n

xim

[n]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-4

-2

0

2

4

n

xre

[n]


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Processo de Amostragem

Processo pelo qual uma seqncia discreta formada a partir

de um sinal contnuo.

x[n]= xa(tn)=xa(nT)

Portanto, as amostras somente sero definidas para os

instantes

tn=nT=n/FT=2 n/ T

onde T o tempo entre as amostras, FT a freqncia deamostragem e T= 2 FT a freqncia angular de amostragem.

Amostragem de um sinal senoidal:

xa(t)=cos( 0t+ ), portantox[n]=cos( 0nT+ ) = cos(2 0n/ T+ ) = cos( 0n+ )

onde 0= 2 0/ T= 0 a freqncia angular digital do sinal,dada em radianos ou radianos/amostra.


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Alising

Alising o fenmeno que ocorre quando h ambigidade na

representao por seqncia discreta de dois ou mais sinais

contnuos.

Exemplo no Quadro!

Todos os sinais contnuos das seguintes famlias:

so representados pela mesma seqncia discreta:

Exerccio proposto: prove que a afirmao acima verdadeira.

,...2,1,0paracos)(

e,...2,1,0paracos)(

0

0

ktktx

ktktx

T

T

nnnx T

0

0 2cos)cos(][


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Alising

Exemplo: encontre a seqncia discreta para representar osinal:

sabendo que a freqncia de amostragem de 200Hz.

Recupere o sinal analgico a partir da seqncia discreta.

Refaa o exemplo anterior com uma freqncia de amostragem

igual 1kHz.

Este exemplo deixa claro que para que no ocorra alising necessrio que as freqncias angulares da seqncia digitaldevem estar limitadas na faixa 0 .

Portanto, para que um sinal contnuo seja representado porsuas amostras sem ambigidade necessrio que

FT 2fmax

T 2 max

)660sin(10)500cos(5)340cos(2)300sin(3)60cos(6)( ttttttx


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Sistemas de Tempo Discreto

Sistemas de Tempo Discreto (STD) processam uma seqncia

de entrada para fornecer uma seqncia de sada.

As amostras de sada so processadas segundo o ndice de

tempo de entrada, n, ou seja, a sada sempre seqncial.

Em termos prticos, sistemas discretos sempre operam comseqncias digitais e, por isso, so comumente denominados

de filtros digitais.

Sistema de

TempoDiscreto

x[n] y[n]


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Exemplos de Sistemas de Tempo Discreto: Acumulador.

Para sistemas causais, y[-1] pode ser visto como um valorinicial para o acumulador. Assim, pode-se escrever que:

onde o segundo termo da expresso acima denominado deacumulador causal.

- Exerccio proposto: escreva umcdigo em MATLAB para implementar

o acumulador. O programa deve permitir

a entrada de qualquer seqncia discreta.

]1[][][][][][

1

nynxkxnxkxny

n

k

n

k

n

k k

n

k

n

k

kxykxkxkxny1

0 0

][]1[][][][][

Z-1

x[n] y[n]

y[n-1]


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Exemplos de Sistemas de Tempo Discreto: Mdia Movente.

Este sistema realiza a mdia em uma janela de M amostras.

A mdia movente pode ser utilizada para filtrar sinais de baixa

freqncia que estejam contaminados com rudos de alta

freqncia.

Exerccio proposto: desenvolva um programa

em MATLAB que permita filtrar uma seqncia

qualquer utilizando mdia movente de M amostras.

1

0

][1

][M

k

knxM

ny

Z-1

x[n] y[n]

x[n-1]

Z-1

x[n-M+1]

.

.

.

Z-1

x[n-2]

1/M


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Classificao de Sistemas de Tempo Discreto

Sistema Invariante ao Deslocamento ou Invariantes no Tempo:

- So aqueles em que o instante no qual a seqncia de

entrada aplicada no afeta o resultado da sada.

- Se y[n] a resposta de um sistema ID ou IT uma seqnciax[n], ento a resposta para uma seqncia

x1[n]=x[n-N

0] simplesmente y

1[n]=y[n-N

0]

Sistemas Discretos Lineares e Invariantes no Tempo (LIT): soaqueles que, ao mesmo tempo, so lineares e invariantes notempo.

- A maior parte dos sistemas em discusso neste curso soclassificados como LIT.

- Exerccio proposto: prove que um interpolador no umsistema invariante no tempo.


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Classificao de Sistemas de Tempo Discreto

Sistema Causal: aquele cuja uma amostra de sada somentedepende das amostras passadas e no depende das amostras

futuras. Ou seja, y[n0] somente depende das amostras cujo ndice menor que n0.

Sistema Estvel: aquele que se a entrada for limitada em amplitude,ento a sada tambm ser. Assim, se

|x[n]|


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Caracterizao de Sistemas Discretos

Reposta ao Impulso: um filtro digital LIT pode ser caracterizadopela sua resposta ao impulso, que a seqncia que aparece

na sada do filtro quando a seqncia impulso unitrio aplicada na sua entrada.

- Exemplo: encontre a resposta ao impulso do sistema discretoacumulador e sistema discreto de mdia movente.

Resposta ao Degrau: um filtro LIT pode ser caracterizado pelasua reposta ao degrau unitrio, que a seqncia que aparecena sada do filtro quando o degrau unitrio aplicado naentrada.

- Exerccio proposto: encontre a resposta ao degrau do sistemadiscreto acumulador e sistema discreto de mdia movente.

SistemaDiscreto

[n]h[n]


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50

Caracterizao de Sistemas Discretos

Exerccios propostos:

1) Prove que a convoluo discreta atende as seguintespropriedades:

a) Associao

b) Distribuio

c) Comutao

2) Encontre a seqncia de sada para os seguintes casos:

a) x[n]=[2 4 -1 0 1 -2] e h[n]=[3 2 1]

b) x[n]=exp(-0.1n) para -1


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Interconexes de Sistemas LIT

Conexo em Cascata: ocorre quando a sada de um sistema

conectado na entrada de outro sistema.

- A resposta ao impulso do sistema como um todo dada pela

convoluo entre as respostas ao impulso dos sistemas

individuais.- A conexo em cascata de dois sistemas estveis BIBO resulta

em um sistema estvel BIBO e a conexo em cascata de doissistemas passivos (ou sem-perdas) resulta em um sistema

passivo (sem-perdas).

Sistemas inversos: dois sistemas so ditos inversos se:

h1[n]*h2[n]= [n] Exemplo no quadro: encontre o sistema inverso de um acumulador.

h1[n][n]

h1[n]

h2[n]

h1[n] h

2[n]*


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Conexo Paralela: se dois sistemas recebem a mesma

seqncia de entrada e as sadas destes sistemas so

somadas para se obter uma nica sada, ento estes sistemasesto ligados em conexo paralela.

- Exerccio proposto: prove que dois sistemas estveis em

paralelo resulta tambm em um sistema estvel.- Exerccio proposto: prove que dois sistemas passivos ou sem-

perdas em paralelo pode no resultar em um sistema passivoou sem-perda.

h1[n]

[n]

h2[n]

h2[n]

+

h1[n]

h1[n]+h

2[n]


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Exemplo: encontre a resposta ao impulso do sistema abaixo.

h1[n]

+

h2[n]

h3[n]

]2[]1[][

]1[1.0][][

]2[52.0][2][

3

2

1

nnnh

nnnh

nnnh


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Classificao em termos da Resposta ao Impulso

Um sistema BIBO estvel deve ter resposta ao impulso que

atenda a seguinte condio:

Para que um sistema seja causal, necessrio que a sua

resposta ao impulso seja causal, ou seja:

h[n]=0 para n


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Sistemas LTI com Dimenso Finita

A soluo para a equao diferena para determinar y[n] similar

soluo da equao diferencial de um sistema contnuo, onde a soluo

a soma de um termo particular (yp[n]) e de um termo homogneo (yc[n]).y[n]=yc[n]+yp[n]

Soluo homognea: obtida quando x[n]=0, ou seja

A soluo desta equao pode ser obtida assumindo queyc[n]=

n

Ento, pode-se escrever que

que a equao polinomial caracterstica do sistema discreto, onde n an-sima raz do polinmio, o que significa que a soluo homognea daforma:

onde i so constantes que dependem das condies iniciais.

N

k

k knyd0

0][

N

k

NN

NNNNnkn

k

N

k

k ddddddknyd0

1

1

2

1

10

0

][

n

NN

n

NN

nn

c ny 112211][


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58

Sistemas LTI com Dimenso Finita

Quando a equao polinomial possui razes iguais, yc[n]

assume a forma:

Para determinar a soluo particular, assume-se que yp[n]

possui a mesma forma que x[n].

Exemplo: encontre a soluo completa para um sistemacaracterizado pela seguinte equao diferena:

y[n]+y[n-1]-6y[n-2]=8u[n]

sabendo que y[-2]=-1 e y[-1]=1.

nLNN

nL

nLL

nnnc nnnny 211

11

231211][


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Zero-Input e Zero-State Responses

Outra maneira de obter a soluo para a equao diferena

calcular a Zero-Input response (yzi[n]) e Zero-State response

(yzs[n]).

yzi[n] obtida resolvendo-se a equao polinomial

caracterstica para x[n]=0.

yzs[n] obtida resolvendo-se a equao polinomial

caracterstica para a entrada especfica e fazendo todas ascondies iniciais serem nulas.

Exemplo: utilize o mtodo descrito acima para encontrar a

soluo da equao diferena do exemplo anterior.


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Resposta ao Impulso de Sistemas Causais

A equao diferena pode ser utilizada para calcular a

resposta ao impulso de um sistema causal.

Para isto, basta calcular a soluo homognea, j que x[n]=0

para n>0 e, portanto, yp[n]=0.

As condies iniciais esto restritas h[0]=1, j que o sistema causal, ou seja, h[n]=0 para n0.

Exemplo: encontre a resposta ao impulso do exemploanterior.

N

k

k

N

k

k knxpknyd00


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C S


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Classificao de Sistemas LIT

Classificao quanto ao comprimento da resposta ao impulso

- Resposta ao impulso finita: um sistema cuja resposta ao impulso seja

nula para n>N2 e n< N1, sendo N2>N1 classificado como FIR.

- A sada deste sistema dada por

- Note que a sada formada por uma soma finita de amostras de entrada,

tornando a implementao simples.

- Resposta ao impulso infinita: um sistema cuja resposta ao impulsopossui um nmero infinito de amostras classificado como IIR.

- No caso de um sistema causal, a sada dada por:

- Note que a medida em que naumenta, h um aumento no nmero deamostras de entrada envolvidas no computo da amostra de sada. Se n formuito grande, a implementao pode-se tornar invivel.

2

1

][][][N

Nk

knxkhny

n

k

knhkxny0

][][][

Cl ifi d Si LIT


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Classificao quanto ao processo de clculo da sada:

- Sistemas no recursivos: so aqueles cuja amostra de sadaatual pode ser calculada seqencialmente em funo apenas

da amostra presente e das amostras passadas da entrada.

- Sistemas recursivos: so aqueles cuja amostra de sada

atual pode ser calculada seqencialmente em funo dasamostras de sada passadas, da amostra atual de entrada e

das amostras passadas de entrada.

- Exerccio proposto: mostre que possvel representar um

filtro acumulador tanto na forma recursiva quanto na formano-recursiva.

Cl ifi d Si LIT


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Classificao quanto natureza dos coeficientes:

- Sistema de tempo discreto real: aquele cuja resposta aoimpulso possui todas as amostras reais.

- Sistema de tempo discreto complexo: aquele cuja resposta

ao impulso possui um ou mais amostras complexas.


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C l d Si i


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Correlao de Sinais

Funo de auto-correlao: uma medida de similaridade

entre uma seqncia e sua verso atrasada de lamostras.

- Note que:

a) rxx[0]=Ex

b) rxx[l]=rxx[-l], o que significa que a funo de auto-correlao par.

Exerccio proposto: encontre a funo de auto-correlao ecorrelao cruzada das seguintes seqncias:

a) 3cos(0.1 n)

b) 0.3sen(0.1 n)

,3,2,1,0para][][][ llnxnxlrn

xx

C l d Si i


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Correlao de Sinais

A funo de correlao pode ser expressa na forma de

convoluo. Compare as expresses a seguir:

Claramente, pode-se escrever que

Exerccio proposto: desenvolva no Matlab uma funo que

realize a correlao de duas seqncias quaisquer deentrada utilizando a funo de convoluo. Note que asbases de tempo das seqncias de entrada devem ser

levadas em considerao.

,3,2,1,0para][][][

][][][][

llnynxlr

knykxnynx

n

xy

k

][][][ lylxlrxy


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P i d d d F C l


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Propriedades da Funo Correlao

Correlao e auto-correlao para sinais de potncia.

Correlao e auto-correlao para sinais peridicos

- A periodicidade da funo de correlao igual periodicidade das seqncias envolvidas.

K

Knk

xx

K

Knk

xy

lnxnxK

lr

lnynxKlr

][][12

1lim][

][][12

1lim][

1

0

~~

1

0

~~

][][

1

][

][][1

][

~~

~~

N

nxx

N

nyx

lnxnxNlr

lnynxN

lr

Captulo 3 Sinais Discretos no Domnio da


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pFreqncia

A transformada de Fourier uma representao contnua no

domnio da freqncia de uma seqncia discreta no domnio

do tempo.

Como a DTFT peridica com um perodo de 2 radianos,ento apenas Namostras desta transformada so suficientes

para representar uma seqncia discreta de Npontos,conforme ser mostrado posteriormente. Esta representao

denominada de transformada discreta de Fourier DFT.

Outra maneira de representar seqncias discretas no

domnio da freqncia utilizar uma generalizao da DFT,denominada de transformada z, onde z uma varivel

complexa.


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Transformada de Fourier de Tempo Discreto


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A fase da transformada limitada por - ( ) + .

Caso a fase ultrapasse o valor , a mesma ser representadacomo .

Essa descontinuidade pode ser eliminada utilizando a

unwrapped phase, ou seja, permitindo que a fase assumaqualquer valor.

Neste caso, a fase representada por c( ).

Exerccio: mostre que Xre(ej n) uma funo par enquanto

que Xim(ej n) uma funo mpar.

Exemplo: encontre a DTFT de:

a) x[n]= [n]

b) x[n]= nu[n]



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A fase da transformada limitada por - ( ) + .

Caso a fase ultrapasse o valor , a mesma ser representadacomo .

Essa descontinuidade pode ser eliminada utilizando a

unwrapped phase, ou seja, permitindo que a fase assumaqualquer valor.

Neste caso, a fase representada por c( ). Exerccio: mostre que Xre(e

j n) uma funo par enquanto

que Xim(ej n) uma funo mpar.

Exemplo: encontre a DTFT de:

a) x[n]= [n]

b) x[n]= nu[n]

Prove que X(ej n) peridica a cada 2 radianos.



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As amostras de x[n] podem ser obtidas a partir de X(ej n)

atravs da IDTFT:

Exerccio: prove que a expresso acima verdadeira.

Condio de convergncia: para que a DTFT de umaseqncia possa ser calculada, a mesma deve serconvergente, ou seja, deve possuir energia finita.

Todas as seqncias absolutamente somveis so

convergentes.

Nem todas as seqncias convergentes so absolutamente

somveis.

Veja Exemplo 3.3 da pgina 121.

deeXnxnjj )(

21][


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Algumas seqncias ilimitadas possuem TFTD.


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Propriedades da TFTD


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Linearidade: se y[n]= ax[n]+bg[n], ento

Y(ej )=aX(ej )+bG(ej )

Prova no quadro.

Deslocamento temporal: se y[n]=x[n-no], ento

Y(ej )=e-j noX(ej )

Prova no quadro.

Deslocamento na freqncia: se y[n]=ej onx[n], ento

Y(ej )=X(ej( o )

Prova no quadro.



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Derivao na freqncia: se y[n]=nx[n], ento

Prova no quadro.

Convoluo: se y[n]=x[n]*g[n], ento

Y(ej

)=X(ej

).

G(ej

)Prova: exerccio proposto.

Modulao: se y[n]=x[n]g[n], ento

Prova: exerccio proposto

jj eXd

djeY

deGeXeY jjj21



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Propriedades das seqncias simtricas complexas.

Propriedades das seqncias simtricas reais.


Densidade Espectral de Energia


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Teorema de Parseval ou Teorema da Conservao daEnergia:

Caso interessante: se h[n]=g[n], o que estabelece o Teoremade Parseval?

Densidade espectral de energia de uma seqncia:

Note que

deHeGnhng jj

n

**

21][][


2jj

xx eGeS

deS jxxx21



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Relao entre a densidade espectral de energia a a funode correlao.

Prova no quadro.

Exerccio: encontre a funo densidade espectral de energiada seguinte seqncia:

Proposto: faa um programa em Matlab que compute a TFTDde uma seqncia qualquer.


lj

l

xy

j

xy

lj

l

xxj

xx

elreS

elreS

)(

)(

x n n

u n

Transformada Discreta de Fourier DFT


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A DFT somente definida para seqncias finitas.

Uma seqncia com Npontos completamente

caracterizada por Npontos da TFTD, em freqncias k,onde 0 k N-1, onde k so amostras igualmente espaadasde .

A transformada inversa dada por

Prova no quadro!


X k X ej! jw k=N

N

n

x n ej

X k

NXn

x n WknN

WN

N

x nN

NXk

X k Wkn

N



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Exemplo: encontre a DFT das seguintes seqncias:


x n

n n N

x n

r

n

N

n N



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.


Process Amen To Digital de Sinais

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