Procesos Multivariables

Procesos Multivariables

Prof. Cesar de PradaISA-UVA

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InteracciónControl de procesos multivariables usando

lazos de control simplesRGAEmparejamiento de lazosControl por desacoplo

Prof. Cesar de Prada ISA-UVA 2

Interacción


Estos coches

• ¿Se pueden controlar independientemente?

• ¿Existe interacción entre ellos?

Un ejemplo

Interacción


Unidos por un muelle

Estos coches



Interacción


Barra rígida

Estos coches




Reactor

Reactor

TT

T

CoolantProduct

Interacción entrada / salida entre las variables

Interacción en lazo abierto / No necesariamente igual a la interacción en lazo cerrado

uReactant

AT

ComposiciónTemperatura

Sistemas MIMO (Multi Input Multi Output)


u1

u2

y1

y2

y3

=

)s(U)s(U

)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G

)s(Y)s(Y)s(Y

2

1

3231

2221

1211

3

2

1Interacción

Direcciones de ganancia


Grados de libertad

¿Como determinar el número de variables que se pueden controlar sin error en un proceso?

¿Como formar lazos de control?

v1

Hot Oil

v2

v3

L1

v7

v5 v6

Hot Oil

F1 T1 T3

T2

F2

T4T5

F3 T6

T8

F4

L1

v8

T7

P1F5

F6T9


Grados de libertad

Un requisito básico :

Número de válvulas (actuadores) ≥ número de variables controladas

v1

Hot Oil

v2

v3

L1

v7

v5 v6

Hot Oil

F1 T1 T3

T2

F2

T4T5

F3 T6

T8

F4

L1

v8

T7

P1F5

F6T9

Esta es una condición necesaria para satisfacer los objetivos de control, pero no suficiente!


CONTROLABILIDAD

Se dice que un proceso es controlable, si las variables controladas pueden mantenerse en estado

estacionario en sus valores de consigna, a pesar de las perturbaciones que puedan afectar al proceso.

Matemáticamente, un proceso es controlable si la matriz de ganancia del mismo puede invertirse, esto es, si su determinante K ≠ 0.

DKK

MVMV

KKKK

CVCV

2d

1d

2

1

2221

1211

2

1

+

=

Modelo de un proceso 2x2

Controlabilidad


FA, xA

FS, xAS = 0FM, xAM

SssAs

AAA

ssAs

AAAM

SA

AAAM

SAMSAM

FFFxFF

FFFxx

FFxFx

FFFFFF

∆

+

−+∆

+

−=∆⇒

+=

∆+∆=∆⇒+=

22 )()()1(

En el proceso de mezclado

• Son controlables de forma independiente FM, xAM?

• Existe interacción en el proceso?


FA, xA

FS, xAS = 0FM, xAM

0)()(

)1()(

)( 222 ≠+−

=+−

−+

−=

SA

A

SA

AA

SA

AA

FFF

FFxF

FFxFKDet

Sí, este sistema es controlable!

¿Sería controlable el sistema si xAS es distinto de cero?

∆∆

+

−

+

−=

∆∆

S

A

ssAs

AA

ssAs

AA

AM

M

FF

FFxF

FFFx

xF

22 )()()1(

11

Interacción


G11

G21

G12

G22u2

u1y1

y2

=

=

)s(U)s(U

)s(G)s(G)s(G)s(G

)s(Y)s(Y

2

1

2221

1211

2

1

Lazo abierto

Interacción


G11

G21

G12

G22u2

u1

y1

y2

R1

R2

w1

w2

Control con controladores SISO R

Lazo cerrado


G11

G21

G12

G22u2

u1

y1

y2

R1

R2

w1

w2

)yw(RG)yw(RGuGuGy

)yw(RG)yw(RGuGuGy

2222211121

2221212

2221211111

2121111

−+−==+=

−+−==+=

2222

22211

222

1212

22111

2121

111

1111

wRG1

RG)yw(RG1

RGy

)yw(RG1

RGwRG1

RGy

++−

+=

−+

++

=

Interacción


2121212222111

2121

121212222111

1212122221111

2222

22211

222

1212

111

2121

111

1111

wRGRG)RG1)(RG1(

RGwRGRG)RG1)(RG1(

RGRG)RG1(RGy

)wRG1

RG)yw(RG1

RGw(RG1

RGwRG1

RGy

−+++

−++−+

=

+−−

+−

++

+=

G11

G21

G12

G22u2

u1

y1

y2

R1

R2

w1

w2

2222

22211

222

1212

22111

2121

111

1111

wRG1

RG)yw(RG1

RGy

)yw(RG1

RGwRG1

RGy

++−

+=

−+

++

=

Interacción (Lazo 1)


2121212222111

2121

121212222111

1212122221111 w

RGRG)RG1)(RG1(RGw

RGRG)RG1)(RG1(RGRG)RG1(RGy

−+++

−++−+

=

G11

G21

G12

G22u2

u1

y1

y2

R1

R2

w1

w2

w1 y w2 influyen en y1

Si G12 ó G21 son = 0 no hay cambio de dinámica sobre un sistema SISO u1 --- y1

Si R2 pasa a manual se modifica la dinámica del lazo 1

2222111

2121

111

1111 w

)RG1)(RG1(RGw

)RG1(RGy

+++

+= 1

111

1111 w

)RG1(RGy

+=


Interacción

TT

u1

q T

Condensado

Fv

u2

FT

u2

u1 Tq


Reactor

Reactor

TT

T

RefrigeranteProducto

Interacción entrada salida en ambas variables

Interacción en lazo abierto

uReactante

AT


Reactor

Reactor

TT

T

RefrigeranteProducto

TC

Interacción entrada salida en ambas variables

Interacción en lazo cerrado

uReactante

AT

AC

Interacción

Medir el grado de interacción ¿Se puede funcionar con lazos simples? En caso afirmativo, ¿Cual es el mejor

emparejamiento de variables entrada-salida?


u1

u2

y1

y2

Matriz de ganancias estacionarias


=

2

1

2221

1211

2

1

uu

kkkk

yy

No es una buena medida de interacción:

Depende de las unidades en las que se exprese

No refleja el hecho característico de la interacción multivariable: los cambios en un lazo cuando otros pasan de automático a manual

Matriz de Ganancias Relativas (RGA) Matriz de Bristol


2221

1211

2

1

21

yy

uu

λλλλ

G

u1

u2

y1

y2

λ11

G

u1

u2

y1

y2

λ11 mide el cambio de ganancia entreu1 e y1 en los experimentos:

im;cteyj

i

jk;cteuj

i

j,i

m

k

uy

uy

≠∀=

≠∀=

∂∂

∂∂

=λ

RGA


Deseable1j,i =λ

0j,i =λ

∞=λ j,i

Puede emplearse para hacer una adecuada selección de pares entrada-salida para controlar un sistema MIMO escogiendo la mínima interacción en estado estacionario o a una frecuencia dada

cteyj

i

cteuj

i

j,i

uy

uy

=

=

∂∂

∂∂

=λ

0j,i <λ

2.08.0y8.02.0y

uu

2

1

21

Inestabilidad

RGA


G

u1

u2

y1

y2

λ11

2221212

2121111

ukuk0yukuky

∆+∆==∆∆+∆=∆

21122211

2211

22

21122211

1111

22

21122211

ctey1

1

122

21121111

kkkkkk

kkkkk

k

kkkkk

uy

uk

kkuky

2

−=

−=λ

−=

∆∆

∆−∆=∆

=

21122211

2211

21122211

2112

21122211

2112

21122211

2211

2

1

21

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

yy

u u

−−−

−−

−

Columna


V

L

x1

x2

Muy fuerte interacción con el emparejamiento ( L x1) (V x2)

Inestabilidad asegurada con el emparejamiento ( L x2) (V x1)

−

−9.99,89,89,9

xx

V L

2

1RGA

−−

=35.038.082.099.0

)0(G

%%

%%

RGA


T1)G(G)G()G(RGA −×=Λ=

=×=Λ

−

=

−=

−

−

4.06.06.04.0

)G(G)G(

1.03.02.04.0

G

4321

G

T1

1

La suma de los elementos de una fila o columna de la RGA es 1

Es independiente del escalado de u e y

Para procesos asimétricos, la inversa puede sustituirse por la pseudoinversa Matlab RGA = G.*pinv(G)’


−

−

=×=Λ

=

=

−

04.004.1014.005.091.0

yy

)G(G)G(

u u u 0.08-0.140.260.02-0.35-0.46

pinv(G) uuu

5.040132

yy

2

1T1

321

3

2

1

2

1

y1 debe emparejarse con u1

y2 debe emparejarse con u2

RGA


El unico emparejamiento SISO admisible resulta ser:

y1 ---- u1 y2 ---- u2 y3 ---- u3

con una interacción mayor en el tercer lazo

−−=

40.51.5427.141.10.317.163.45.308.16

G

−−−

−

03.295.008.045.097.041.048.199.050.1

yyy

u u u

3

2

1

321

RGA

Columna de destilación


1

2


Experimento en lazo abierto 1

5055

1s60e648.0

1seKG

s7.21

11

sd11

11

11

+=

+τ=

−−

1s7.84e815.0

1seKG

s4.34

21

sd21

21

21

+=

+τ=

−−

1

2

Prof. Cesar de Prada ISA-UVA 32Prof. Cesar de Prada ISA-UVA 32

Experimento en lazo abierto 2

47.953

1s3.54e894.0

1seKG

s6.21

12

sd12

12

12

+−

=+τ

=−−

1s9.41e236.0

1seKG

s61.6

22

sd22

22

22

+−

=+τ

=−−


Cuidado con los experimentos!

1s8.72e99.0

1seKG

s7.22

11

sd11

11

11

+=

+τ=

−−

Cambio del 2 %

1s65.66e38.0

1seKG

s9.30

21

sd21

21

21

+=

+τ=

−−

En sistemas no –lineales, cambios grandes pueden dar resultados no correctos

5051


Planificar bien el experimento

1s67.66e82.0

1seKG

s36.22

12

sd12

12

12

+−

=+τ

=−−

1s02.57e35.0

1seKG

s5.4

22

sd22

22

22

+−

=+τ

=−−

47.949


RGA

−−

=236.0815.0894.0648.0

K

−

−=

265.0265.1265.1265.0

RGA

−

−=

1.91.81.81.9

RGA

−−

=35.038.082.099.0

K

Wrong gain matrix can indicate wrong pairing of variables


Sintonía: Control de la composición de cabeza con el lazo de impurezas de fondo en manual

IMC tuning λ=50 min. Kp = 2.19, Ti = 70.85 min.


Sintonía: Control de las impurezas del fondo con el lazo de composición de cabeza en manual

IMC tuning λ=35 min. Kp = -5.47, Ti = 45.2 min.

Interacción entre lazos de control

CONTROLProcess 1

INTERACT 12PV1

response toCO2

INTERACT 21PV2

response toCO1

CONTROLProcess 2

PROCESS 11PV1

response toCO1

PROCESS 22PV2

response toCO2

+- ++

+- ++

1y

2y

1setpointy

2setpointy

1u

2u



Cambio del lazo de impurezas de fondode manual a automatico

La dinámica del lazo de composición de cabeza cambia mucho, al igual que la del fondo


Cambio del lazo de composición de cabeza de manual a automático

La dinámica del lazo de impurezas de fondo cambia mucho, al igual que la de la cabeza

Proceso de mezcla


Balance caudal:AT FT

F , x

F1 , x1

F2 , x2

u1

u221 FFF +=

Balance de Composición

2211 x Fx Fx F +=

2ss

221

2111

ss2

21

212

2221

221122112

21

2211121

2121

2211

F)F F(

)xx( FF)F F(

)xx(Fx

F)F F(

)x Fx F(x)F F(F)F F(

)x Fx F(x)F F(x

FFF F Fx Fx Fx

∆+−

−∆+−

=∆

∆+

+−++∆

++−+

=∆

∆+∆=∆++

=

Linearización en un cierto punto estacionario


Proceso de mezcla

∆∆

+−

−+−

=

∆∆

2

1

ss2

21

211

ss2

21

212

FF

11)F F(

)xx( F)F F(

)xx(F

Fx

Matriz de ganancias estacionarias

Eliminando F2 entre ambas ecuaciones

2

211 xx

xx . F F−−

= 21

2

2

21F,F xx

xx

xxxx

11 −

−=

−−

=λ

2211222121112211121112 xFxFxFxFxFxFFxxFxFFxxFxFFxFx +=++−=+−=⇒−=−

21 FFF += 2211 x Fx Fx F +=

Proceso de mezcla(Cont.)


La matriz de ganancias relativas RGA es:

¿Cuál es el mejor emparejamiento entre variables manipuladas y controladas? ¿De qué dependerá la respuesta?

1F 2F

F

x

1F 2F

21

2

xxxx

−−

21

1

xxxx

−−

21

1

xxxx

−−

21

2

xxxx

−−

Proceso de mezcla


Para x = 0.602

F

1F 2F

x

0.67 0.33

0.33 0.67Para x = 0.32

F

1F 2F

x

0.2 0.8

0.8 0.2Suponiendo x1 = 0.8 x2 = 0.2

RGA(jω)


))j(G(RGA ω

La RGA se formuló originalmente sobre la matriz de ganancias estacionarias, frecuencia 0, pero puede evaluarse y dar información útil a cualquier otra frecuencia


Dos enfoques alternativos

MULTILOOP vs Centralizado

L

F

T

A

Multiloop: varios controladores PID independientes

Centralizado

L

FT

A

Controlador

Centralizado

Desacoplo


G

u1 y1

y2

R1

w1

R2

w2u2

D

Encontrar la matriz D, tal que GD se comporte como una matriz diagonal o casi diagonal


Desacoplo en estado estacionario

G

u1 y1

y2G(0)-1

R1

w1

R2

w2u2

Si D = G(0)-1 , entonces G(s) G(0)-1 es diagonal en estado estacionario de modo que, en reposo, no hay interacción. Fácíl de implementar y calcular, G(0)-1 = inversa de la matriz de ganancias estacionarias.

Estructura de control con desacoplo


CONTROLProcess 1

CONTROLProcess 2

DECOUPLER 12PV1

decoupled fromCO2

DECOUPLER 21PV2

decoupled fromCO1

+- ++ ++

+- ++ ++

1feedbacku

2feedbacku

1totalu

2totalu

1y

2y

1setpointy

2setpointy

)(12 sD

)(21 sD

)(11 sG

)(21 sG

)(12 sG

)(22 sG

2decoupleu

1decoupleu

PROCESS 11PV1

response toCO1

INTERACT 21PV2

response toCO1

PROCESS 22PV2

response toCO2

INTERACT 12PV1

response toCO2

2x2 Multivariable Decoupling

Requiere 4 modelos dinámicos– Process 11 (como CO1 impacta en PV1)– Interact 12 (como CO2 impacta en PV1)– Interact 21 (como CO1 impacta en PV2)– Process 22 (como CO2 impacta en PV2)

Estos models deben construirse a partir de datos de planta, validados e incluidos en el diseño del controlador.

El desacople de lazos no es una técnica muy empleada industrialmente porque su empleo requiere un esfuerzo significativo de modelado, sintonía y mantenimiento.



Interacción, reguladores PI

94.595


Desacoplo en estadoestacionario

−−

=

−−

=−

−

37.2888.1049.2303.10

35.038.082.099.0

)0(G1

1

G

u1

y1

y2

R1

w1

R2

w2

u2

−−

37.2888.1049.2303.10


Con matriz de desacoplo en ss

94.595


2.63

Con matriz de desacoplo en ss

Control multivariable


G

u1 y1

y2

w1R

w2 u2

El controlador recibe señales de todas las salidas y simultáneamente calcula todas las señales de control teniendo en cuenta la interacción

Control Predictivo multivariable


ReactorFT

FT

FC

FC

TT AT

MBPC

Temp Conc.

Refrigerante

Producto a tratar

u1u2

DMC, GPC, EPSAC, HITO, PFC,....

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