Procesamiento de Minerales y Materiales I
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Procesamiento de Minerales y Materiales I
KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio
Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica
Lima-Perú
Ciclo: 2007 - I
Actualizado al: May 28, 2007
Overview
Overview
Introducción
Balance de Masa
Corrección de Leyes
Caracterización de laspartículas
Conminución
Trituración
Tamizado Industrial
UNI-FIGMM J. A. Kobashicawa: [email protected] – 2 / 144
Introducción
Balance de Masa
Corrección de Leyes
Caracterización de las partículas
Conminución
Trituración
Tamizado Industrial
Introducción
Overview
Introducción
Procesamiento deminerales
Balance Metalúrgico
¿Por quéprocesar/concentrarminerales?
Balance de Masa
Corrección de Leyes
Caracterización de laspartículas
Conminución
Trituración
Tamizado Industrial
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Procesamiento de minerales
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Introducción
Procesamiento deminerales
Balance Metalúrgico
¿Por quéprocesar/concentrarminerales?
Balance de Masa
Corrección de Leyes
Caracterización de laspartículas
Conminución
Trituración
Tamizado Industrial
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Planta conc.
Concentrado Relave
Mineral no-valiosoMineral valioso
Mineral proveniente de la mina
Figura 1: Esquema del procesamiento de minerales.
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Procesamiento deminerales
Balance Metalúrgico
¿Por quéprocesar/concentrarminerales?
Balance de Masa
Corrección de Leyes
Caracterización de laspartículas
Conminución
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1. Liberar el mineral valioso.
Reducción de tamaños
Clasificación por tamaños
2. Separar el mineral valioso del estéril (concentración).
Flotación.
Gravimetría.
Electrostática.
Magnética.
Escogido selectivo.
Balance Metalúrgico
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Por ejemplo:
Se tiene una planta X la cual extrae Cobre (como calcopirita), y:
procesa 100000 toneladas diarias (i.e. gran minería),
con una ley de cabeza de 1.3%Cu,
reporta una recuperación del 92.5%
y una ley de concentrado de 27.6%.
Contenido metálico El contenido metálico de Cobre (en este caso Cobre
fino) que ingresa a la planta es:
Contenido metálicoAlimento = 100000 · 1.3% = 1300tCu/d
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Recuperación La recuperación se define/calcula según:
Recuperación =Contenido metálico en el Concentrado
Contenido metálico en el Alimento(1)
Por lo que el contenido metálico en el concentrado será:
Contenido metálicoConcentrado = 1300tCu/d · 92.5% = 1202.5tCu/d
Y la ley en el concentrado se define como según como:
Ley en el concentrado =Contenido metálico en el Concentrado
Peso total del Concentrado(2)
Por lo que el peso1 del concentrado será:
Peso total del Concentrado =1202.5tCu/d
27.6%= 4356.9t/d
1En realidad es Flujo, al estar expresado en masa/tiempo
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Radio de Concentración El radio de concentración se calcula según:
Radio de concentración =Flujo alimentado
Flujo del concentrado(3)
100000t/d
4356.9t/d= 22.95
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Porcentaje de Calcopirita en el Concentrado - Aproximado Si asumimosque todo el Cobre esta presente como Calcopirita (caso no-real ) la ley
máxima de Cobre que tendría el concentrado sería la ley de un Concentrado
perfecto (i.e. solo existe el(los) mineral(es) deseado(s)2.)
La ley de Cobre en un Concentrado perfecto de Calcopirita se calcula según:
% Cu - Conc. Perfecto =P.A. Cu
P.M. CuFeS2=
63.546
63.546 + 55.845 + 2 · 32.065
= 34.63%
Tómese en cuenta, que un concentrado de Calcopirita nunca superará la ley
de 34.63% de Cobre.
2se coloca en plural en caso de que el concentrado sea Bulk
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La cantidad de Calcopirita que existe en el concentrado sería:
Peso total de Calcopirita =1202.5tCu/d
34.63%= 3472.8t/d
Por lo que el porcentaje de Calcopirita en el concentrado es:
% de calcopirita en el concentrado =3472.8
4356.9= 79.7%
Tómese en cuenta que este es el porcentaje máximo de calcopirita en el
concentrado debido a que se ha asumido que todo el Cobre está presente solo
como Calcopirita.
Se cumple que:
% de calcopirita en el concentrado =% Cu en concentrado
% Cu en concentrado perfecto
=27.6%
34.63%= 79.7%
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Porcentaje de Distribución Es la fracción que esta presente un elemento
(compuesto) M en un flujo F respecto a la alimentación. La recuperación es
un caso particular, en donde el flujo F es el Concentrado.
La cantidad de Cobre que se va al relave es:
Contenido metálicoRelave = Contenido metálicoAlimento
−Contenido metálicoConcentrado
Contenido metálicoRelave = 1300tCu/d − 1202.5tCu/d = 97.5tCu/d
El porcentaje de distribución de Cobre en el Relave será:
% DistribuciónRelave =Contenido metálico en el Relave
Contenido metálico en el Alimento
% DistribuciónRelave =97.5
1300= 7.5
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En este caso, coincide también que:
% DistribuciónRelave = 100% − % DistribuciónConcentrado
Obsérvese que en este caso:
% DistribuciónConcentrado = % Recuperación de Cobre
La cantidad de relave producido será:
FlujoRelave = FlujoAlimento − FlujoConcentrado
= 100000 − 4356.9 = 95643.1t/d
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La ley del relave será:
LeyRelave =Contenido metálicoRelave
FlujoRelave
LeyRelave =97.5tCu/d
95643.1t/d= 0.102%
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El balance metalúrgico se resume en la Tabla 1:
Tabla 1: Balance Metalúrgico (solo Cobre)Flujos (t/d) Ley Cu (%) Distribución (%) R. C.
Alimento 100000.0 1.300% 100.0%Concentrado 4356.9 27.600% 92.5% 22.95Relave 95643.1 0.102% 7.5%
¿Por qué procesar/concentrar minerales?
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Balance de Masa
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Balance de Masa
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Todo lo que entra es igual a lo que sale (Sólidos y líquidos)
Por ejemplo, se tiene el siguiente circuito de molienda (ver Figura 2), en el cual
se deben de completar los cuadros del diagrama de flujos.
Se procesa a 250t/h un mineral de densidad de 2.65g/cc. El circuito es
cerrado e inverso.
45% Fracción de sólidos al Overflow
Leyenda
Alimento fresco
Agua al sumidero Descarga del molino
Alimento al hidrociclón
Agua al molino
Underflow del hidrociclón Overflow del
hidrociclón
250 2.65 1
75%
0 1
2.65 1
65%
0 1
2.65 1
75%
2.65 1
30%
Sólidos (t/h) Sólidos (g/cc) Sólidos (m3/h)
Líquido (t/h) Líquido (g/cc) Líquido (m3/h)
Pulpa (t/h) Pulpa (g/cc) Pulpa (m3/h)
% de sólidos Dilución
2.65 1
50%
Figura 2: Ejemplo de Balance de masa en un circuito de molienda cerrado e inverso.
Alimentación Fresca
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El flujo de solidos (m3/h) se estima según:
Volúmen Sólidos
(
m3
h
)
=Peso Sólidos
(
th
)
Densidad Sólidos(
tm3
) (4)
Volúmen Sólidos
(
m3
h
)
=250t/h
2.65t/m3= 94.3m3/h (5)
(Nota: 1g/cc = 1t/m3)
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El Porcentaje de Sólidos se define como:
% Sólido =Peso Sólido
Peso Pulpa
=Peso Sólidos
Peso Sólido + Peso Líquido
por lo que el peso de líquido puede calcularse según:
Peso Líquido =
(
1
%S− 1
)
· Peso Sólido
Peso Líquido
(
t
h
)
=
(
1
0.75− 1
)
· 250t
h= 83.3
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El Volúmen del Líquido se estima según:
Volúmen Líquido =Peso Líquido
Densidad Líquido= 83.3m3/h
El Peso de Pulpa se calcula según:
Peso Pulpa = Peso Sólido + Peso Líquido
= 250t/h + 83.3t/h = 333.3t/h
El Volúmen de Pulpa se calcula según:
Volúmen Pulpa = Volúmen Sólido + Volúmen Líquido
= 94.3m3/h + 83.3m3/h = 177.6m3/h
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La Densidad de pulpa se calcula según:
Densidad pulpa =Peso Pulpa
Volúmen Pulpa
=Peso Sólido + Peso Líquido
Volúmen Sólido + Volúmen Líquido
=333.3t/h
177.6m3/h= 1.88t/m3
La Dilución se define como:
Dilución =Peso Líquido
Peso Sólido: 1
=83.3t/h
250t/h: 1 = 0.33 : 1
Otros Flujos
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1. El Peso de Sólidos del Overflow del Hidrociclón es igual al Peso de
Sólidos de la Alimentación Fresca.
2. Estimar la Alimentación al Hidrociclón por la fracción de sólidos que se
reporta en el Overflow
(Peso Alimentación HC · Factor = Peso Overflow HC)
3. Se cumple que:
Peso Alimentación HC = Peso Overflow + Peso Underflow
4. EL peso de sólidos que alimenta al molino es igual al del Underflow del
Hidrociclón
45%Fracción de
sólidos al
Overflow
Leyenda
Alimento fresco
Agua al sumidero Descarga del molino
Alimento al hidrociclón
Agua al molino
Underflow del
hidrociclón Overflow del
hidrociclón
250 2.65 94.3
83.3 1 83.3
333.3 1.88 177.6
75% 0.33
0 --- 0
307.7 1 307.7
307.7 1 307.7
0 ---
305.6 2.65 115.3
164.5 1 164.5
470.1 1.68 279.8
65% 0.54
0 --- 0
62.7 1 62.7
62.7 1 62.7
0 ---305.6 2.65 115.3
101.9 1 101.9
407.4 1.88 217.2
75% 0.33
250 2.65 94.3
583.3 1 583.3
833.3 1.23 677.7
30% 2.33
Sólidos (t/h) Sólidos (g/cc) Sólidos (m3/h)
Líquido (t/h) Líquido (g/cc) Líquido (m3/h)
Pulpa (t/h) Pulpa (g/cc) Pulpa (m3/h)
% de sólidos Dilución
555.6 2.65 209.6
555.6 1 555.6
1111.1 1.45 765.2
50% 1
Figura 3: Balance de masa completo.
Corrección de Leyes
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Introducción
Balance de Masa
Corrección de Leyes
Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange
Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
Errores debido a losFlujos Normalizados
Cálculo de los caudalesnormalizados
Parte II: Corrección delas leyes
Multiplicadores deLagrange
Solución
Corrección de las leyes
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Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange
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Corrección de Leyes
Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange
Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
Errores debido a losFlujos Normalizados
Cálculo de los caudalesnormalizados
Parte II: Corrección delas leyes
Multiplicadores deLagrange
Solución
Corrección de las leyes
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Para poder realizar el balance metalúrgico del circuito mostrado en la Figura 4
cuyas las leyes se presentan en la Tabla 2 se debe de corregir previamente las
leyes para hacerlos “matemáticamente consistentes”. Estas correcciones
deben de ser lo mínimo posible para que sean los más cercanos a los valores
originales.
1 3
2 4
5
Figura 4: Circuito de Flotación Bulk Cu-Mo y Zn. 1: Alimento, 2: Concentrado
Bulk Cu − Pb, 3 Relave Bulk, 4: Concentrado de Zinc, 5: Relave General.
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Balance de Masa
Corrección de Leyes
Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange
Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
Errores debido a losFlujos Normalizados
Cálculo de los caudalesnormalizados
Parte II: Corrección delas leyes
Multiplicadores deLagrange
Solución
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Tabla 2: Leyes de la Planta Concentradora X.Flujo Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)
1 1.880 3.504 61.860 237.808 0.012 5.456 0.023
2 42.280 6.714 1236.089 5319.722 0.060 15.811 0.432
3 0.175 0.241 11.219 24.048 0.007 5.196 0.006
4 2.018 58.285 84.880 242.686 0.054 2.397 0.034
5 0.100 0.138 9.900 20.760 0.002 9.870 0.002
Parte I: Cálculo de los flujos normalizados
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Balance de Masa
Corrección de Leyes
Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange
Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
Errores debido a losFlujos Normalizados
Cálculo de los caudalesnormalizados
Parte II: Corrección delas leyes
Multiplicadores deLagrange
Solución
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Se establece las ecuaciones de balance de masa:
Para los Flujos:
F1 = F2 + F3 (6)
F3 = F4 + F5 (7)
Para el elemento i (Balance por contenido metálico):
L(i)1 · F1 = L
(i)2 · F2 + L
(i)3 · F3 (8)
L(i)3 · F3 = L
(i)4 · F4 + L
(i)5 · F5 (9)
Ecuaciones normalizadas
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Corrección de Leyes
Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange
Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
Errores debido a losFlujos Normalizados
Cálculo de los caudalesnormalizados
Parte II: Corrección delas leyes
Multiplicadores deLagrange
Solución
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Si se normaliza los flujos (dividimos entre F1, es decir, el flujo de alimentación)
obtenemos:
Para los Flujos:
1 = φ2 + φ3 (10)
φ3 = φ4 + φ5 (11)
Para el elemento i (Balance por contenido metálico):
L(i)1 = L
(i)2 · φ2 + L
(i)3 · φ3 (12)
L(i)3 · φ3 = L
(i)4 · φ4 + L
(i)5 · φ5 (13)
donde:
φk =Fk
F1
Errores debido a los Flujos Normalizados
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Corrección de Leyes
Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange
Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
Errores debido a losFlujos Normalizados
Cálculo de los caudalesnormalizados
Parte II: Corrección delas leyes
Multiplicadores deLagrange
Solución
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Los errores son calculados según:
∆Q(i)1 = L
(i)1 −
(
L(i)2 · φ2 + L
(i)3 · φ3
)
(14)
∆Q(i)2 = L
(i)3 · φ3 −
(
L(i)4 · φ4 + L
(i)5 · φ5
)
(15)
Se establece φ3 y φ4 como flujos independientes, entonces de (10) y (11)
obtenemos:
φ2 = 1 − φ3 (16)
φ5 = φ3 − φ4 (17)
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Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange
Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
Errores debido a losFlujos Normalizados
Cálculo de los caudalesnormalizados
Parte II: Corrección delas leyes
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Si se reemplaza (16) y (17) en (14) y (15):
∆Q(i)1 =
(
L(i)1 − L
(i)2
)
+(
L(i)2 − L
(i)3
)
· φ3 (18)
∆Q(i)2 =
(
L(i)3 − L
(i)5
)
· φ3 −(
L(i)4 − L
(i)5
)
· φ4 (19)
Si:Ω
(i)1−2 = L1 − L2 Ω
(i)3−5 = L3 − L5
Ω(i)2−3 = L2 − L3 Ω
(i)4−5 = L4 − L5
Las ecuaciones de error por flujos se pueden calcular según:
∆Q(i)1 = Ω
(i)1−2 + Ω
(i)2−3 · φ3 (20)
∆Q(i)2 = Ω
(i)3−5 · φ3 − Ω
(i)4−5 · φ4 (21)
Cálculo de los caudales normalizados
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Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange
Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
Errores debido a losFlujos Normalizados
Cálculo de los caudalesnormalizados
Parte II: Corrección delas leyes
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Si se deriva parcialmente respecto a los flujos independientes e iguala a cero
f(φi) se obtiene los caudales normalizados que minimizan los valores ∆Q(i)1
y ∆Q(i)2 . Adicionalmente se aplican factores de ponderación (i.e. P (i)) con los
cuales se podría hacer influir un elemento químico más que otro(s) en el
cálculo en cuestión:
f(φi) =k∑
i=1
P (i) · ∆Q(i)2
1 +k∑
i=1
P (i) · ∆Q(i)2
2 (22)
Donde:
k∑
i=1
P (i) · ∆Q(i)2
1 =k∑
i=1
P (i) ·(
Ω(i)1−2 + Ω
(i)2−3 · φ3
)2
k∑
i=1
P (i) · ∆Q(i)2
2 =k∑
i=1
P (i) ·(
Ω(i)3−5 · φ3 − Ω
(i)4−5 · φ4
)2
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Corrección de Leyes
Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange
Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
Errores debido a losFlujos Normalizados
Cálculo de los caudalesnormalizados
Parte II: Corrección delas leyes
Multiplicadores deLagrange
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Derivando con respecto a φ3
∂f(φi)
∂φ3= 0 = 2 ·
k∑
i=1
P (i) ·[(
Ω(i)1−2 + Ω
(i)2−3 · φ3
)
· Ω(i)2−3
]
+2 ·k∑
i=1
P (i) ·[(
Ω(i)3−5 · φ3 − Ω
(i)4−5 · φ4
)
· Ω(i)3−5
]
Simplificando se obtiene:
φ3 ·(
k∑
i=1
P (i) · Ω(i)2
2−3 +
k∑
i=1
P (i) · Ω(i)2
3−5
)
−φ4 ·k∑
i=1
P (i) · Ω(i)3−5Ω
(i)4−5 = −
k∑
i=1
P (i) · Ω(i)1−2 · Ω
(i)2−3
Overview
Introducción
Balance de Masa
Corrección de Leyes
Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange
Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
Errores debido a losFlujos Normalizados
Cálculo de los caudalesnormalizados
Parte II: Corrección delas leyes
Multiplicadores deLagrange
Solución
Corrección de las leyes
Caracterización de laspartículas
Conminución
Trituración
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Derivando con respecto a φ4
∂f(φi)
∂φ4= 0 = 2 ·
k∑
i=1
P (i) ·[(
Ω(i)3−5 · φ3 − Ω
(i)4−5 · φ4
)
·(
−Ω(i)4−5
)]
Simplificando se obtiene:
−φ3 ·k∑
i=1
P (i) · Ω(i)3−5 · Ω
(i)4−5 + φ4 ·
k∑
i=1
P (i) · Ω(i)2
4−5 = 0
[
(
∑ki=1 P (i) · Ω(i)2
2−3 +∑k
i=1 P (i) · Ω(i)23−5
)
−∑k
i=1 P (i) · Ω(i)3−5 · Ω
(i)4−5
−∑k
i=1 P (i) · Ω(i)3−5 · Ω
(i)4−5
∑ki=1 P (i) · Ω(i)2
4−5
]
·[
φ3
φ4
]
=
[
−∑k
i=1 P (i) · Ω(i)1−2 · Ω
(i)2−3
0
]
Los flujos φ2 y φ5 se calculan utilizando (16) y (17) respectivamente.
Parte II: Corrección de las leyes
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Corrección de Leyes
Corrección de Leyes porMultiplicadores deLagrange
Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
Errores debido a losFlujos Normalizados
Cálculo de los caudalesnormalizados
Parte II: Corrección delas leyes
Multiplicadores deLagrange
Solución
Corrección de las leyes
Caracterización de laspartículas
Conminución
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Calculo de los errores para cada elemento i.
∆M(i)1 = L
(i)1 −
(
L(i)2 · φ2 + L
(i)3 · φ3
)
(23)
∆M(i)2 = L
(i)3 · φ3 −
(
L(i)4 · φ4 + L
(i)5 · φ5
)
(24)
Se establece las correcciones como:∆L
(i)1 = L
(i)1 − L
(i)1 ∆L
(i)4 = L
(i)4 − L
(i)4
∆L(i)2 = L
(i)2 − L
(i)2 ∆L
(i)5 = L
(i)5 − L
(i)5
∆L(i)3 = L
(i)3 − L
(i)3
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Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
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Parte II: Corrección delas leyes
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Si se reemplaza en (23) y (24) se obtiene:
∆M(i)1 =
(
∆L(i)1 + L
(i)1
)
−[(
∆L(i)2 + L
(i)2
)
· φ2
+(
∆L(i)3 + L
(i)3
)
· φ3
]
∆M(i)2 =
(
∆L(i)3 + L
(i)3
)
· φ3 −[(
∆L(i)4 + L
(i)4
)
· φ4
+(
∆L(i)5 + L
(i)5
)
· φ5
]
Se debe de cumplir lo siguiente:
0 = L(i)1 −
(
L(i)2 · φ2 + L
(i)3 · φ3
)
(25)
0 = L(i)3 · φ3 −
(
L(i)4 · φ4 + L
(i)5 · φ5
)
(26)
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Parte I: Cálculo de losflujos normalizados
Ecuacionesnormalizadas
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Parte II: Corrección delas leyes
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Por lo tanto, los errores por las leyes serán:
∆M(i)1 = ∆L
(i)1 −
(
∆L(i)2 · φ2 + ∆L
(i)3 · φ3
)
(27)
∆M(i)2 = ∆L
(i)3 · φ3 −
(
∆L(i)4 · φ4 + ∆L
(i)5 · φ5
)
(28)
Multiplicadores de Lagrange
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Ecuacionesnormalizadas
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Parte II: Corrección delas leyes
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Se define la función Lagrangiana como:
L(χ, λ) = f(χ) − (λ1 · g1(χ) + λ2 · g2(χ)) (29)
en donde:
L(χ, λ): Función Lagrangiana.
f(χ): Función objetivo a minimizar.
λ1, λ2: Son los Multiplicadores de Lagrange.
χ: Son las correcciones (i.e. ∆L(i)1 , . . . ).
g1, g2: Son las ecuaciones restrictivas (que deben ser iguales a cero).
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Ecuaciones Restrictivas:
g1(χ) = ∆M(i)1 − ∆L
(i)1 +
(
∆L(i)2 · φ2 + ∆L
(i)3 · φ3
)
(30)
g2(χ) = ∆M(i)2 − ∆L
(i)3 · φ3 +
(
∆L(i)4 · φ4 + ∆L
(i)5 · φ5
)
(31)
La función objetivo se define como:
f(χ) = W(i)1 · ∆L(i)2
1 + W(i)2 · ∆L(i)2
2 + . . . + W(i)5 · ∆L(i)2
5
Los Factores de Ponderación están representados por W (i).
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Si se deriva L(χ, λ) respecto a las correcciones obtiene:
∂L(χ, λ)
∂∆L(i)1
= 0 = 2 ∆L(i)1 · W (i)
1 − λ1 (−1)
∆L(i)1 = −1
2· λ1
W(i)1
(32)
∂L(χ, λ)
∂∆L(i)2
= 0 = 2 ∆L(i)2 · W (i)
2 − λ1 (φ2)
∆L(i)2 = +
1
2· λ1 · φ2
W(i)2
(33)
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∂L(χ, λ)
∂∆L(i)3
= 0 = 2 ∆L(i)3 · W (i)
3 − λ1 (φ3) − λ2 (−φ3)
∆L(i)3 = +
1
2· (λ1 − λ2) · φ3
W(i)3
(34)
∂L(χ, λ)
∂∆L(i)4
= 0 = 2 ∆L(i)4 · W (i)
4 − λ2 (φ4)
∆L(i)4 = +
1
2· λ2 · φ4
W(i)4
(35)
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∂L(χ, λ)
∂∆L(i)5
= 0 = 2 ∆L(i)5 · W (i)
5 − λ2 (φ5)
∆L(i)5 = +
1
2· λ2 · φ5
W(i)5
(36)
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Si se deriva L(χ, λ) respecto a los multiplicadores de Lagrange se obtiene:
∂L(χ, λ)
∂λ1= 0 = ∆M
(i)1 − ∆L
(i)1 +
(
∆L(i)2 · φ2 + ∆L
(i)3 · φ3
)
∂L(χ, λ)
∂λ2= 0 = ∆M
(i)2 − ∆L
(i)3 · φ3 +
(
∆L(i)4 · φ4 + ∆L
(i)5 · φ5
)
Las expresiones resultantes son idénticas a g1 y g2, por lo que si se
reemplazan las correcciones en dichas ecuaciones se obtiene:
0 = ∆M(i)1 −
(
−1
2· λ1
W(i)1
)
+
(
1
2· λ1 · φ2
W(i)2
· φ2 +1
2· (λ1 − λ2) · φ3
W(i)3
· φ3
)
0 = ∆M(i)2 − 1
2· (λ1 − λ2) · φ3
W(i)3
· φ3 +
(
1
2· λ2 · φ4
W(i)4
· φ4 +1
2· λ2 · φ5
W(i)5
· φ5
)
Reordenando, resulta la siguiente ecuación matricial:
1
W(i)1
+φ2
2
W(i)2
+φ2
3
W(i)3
− φ23
W(i)3
− φ23
W(i)3
φ23
W(i)3
+φ2
4
W(i)4
+φ2
5
W(i)5
·[
λ1
λ2
]
= −2 ·[
∆M1
∆M2
]
Solución
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Parte II: Corrección delas leyes
Multiplicadores deLagrange
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Tomando como factores de ponderación a:
Tabla 3: Factores de Ponderación para cada elemento
Factores de Ponderación (P (i))
Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)
10 7 1 0 1 0 0
Estos factores deben de ser mayores o iguales a cero. A mayores valores,
mayor influencia de dicho elemento en el cálculo. Si el factor es cero, dicho
elemento es omitido en el cálculo.
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Ecuacionesnormalizadas
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La ecuación matricial para estimar los caudales normalizados resulta:
[
1518330.00 −142.26−142.26 29326.31
]
·[
φ3
φ4
]
=
[
1455433.750
]
Los flujos normalizados obtenidos son:
φ2 = 0.0414, φ3 = 0.9586, φ4 = 0.0047, φ5 = 0.9539
Los porcentajes de distribución3 se presentan en la Tabla 4.
Tabla 4: Balance Metalúrgico: Porcentajes de DistribuciónCu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)
Alimento 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00
Conc. Cu-Mo 93.16 7.94 82.77 92.67 20.71 12.00 77.81
Relave Bulk 8.92 6.59 17.38 9.69 55.92 91.29 25.01
Conc. Zn 0.50 7.73 0.64 0.47 2.09 0.20 0.69
Relave 5.07 3.76 15.27 8.33 15.90 172.57 8.30
Obsérvese que podría presentarse valores mayores a 100% (i.e. Fe en el Relave).
3Por razones de espacio no se presenta el balance metalúrgico completo.
Corrección de las leyes
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Los errores debido a las leyes son:
Tabla 5: Errores debido a las leyes.Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)
∆M1 -0.039 2.995 -0.098 -5.609 0.003 -0.180 -0.001
∆M2 0.063 -0.172 0.916 2.120 0.005 -4.446 0.004
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Los Factores de Ponderación para las leyes son calculados por:
Para las leyes en porcentaje:
W (i) =100
[Ley(%) · (100 − Ley(%))]2
Para las leyes en (g/t):
W (i) =106
[Ley(%) · (100 − Ley(%))]2
La ecuación matricial para estimar los caudales normalizados resulta:
[
1518330.00 −142.26−142.26 29326.31
]
·[
φ3
φ4
]
=
[
1455433.750
]
Los flujos normalizados obtenidos son:
φ2 = 0.0414, φ3 = 0.9586, φ4 = 0.0047, φ5 = 0.9539
Los errores debido a las leyes son:
Tabla 6: Multiplicadores de Lagrange.
Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)
λ1 -0.00004 -0.00501 -0.00024 0.00001 -0.91298 0.00056 -0.06289
λ2 -0.03388 0.03808 -1.11982 -0.76337 -2.71182 0.00108 -2.06287
Tabla 7: Correcciones de las leyes.
Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)
Alimento 0.006 2.864 0.001 -0.004 0.007 -0.745 0.002
Conc. Cu-Mo -0.046 -0.407 -9.931 107.072 -0.007 0.206 -0.024
Relave Bulk 0.049 -0.119 0.532 1.221 0.004 -0.599 0.003
Conc. Zn -0.031 5.233 -0.004 -2.128 -0.002 0.001 -0.001
Relave -0.016 0.034 -0.425 -0.985 -0.001 4.058 0.000
Tabla 8: Leyes corregidas.
Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)
Alimento 1.874 0.640 61.859 237.812 0.005 6.201 0.021
Conc. Cu-Mo 42.326 7.121 1246.020 5212.650 0.067 15.605 0.456
Relave Bulk 0.126 0.360 10.687 22.827 0.003 5.795 0.003
Conc. Zn 2.049 53.052 84.884 244.814 0.056 2.396 0.035
Relave 0.116 0.104 10.325 21.745 0.003 5.812 0.002
Tabla 9: Porcentajes de Distribución
Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%)
Alimento 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00
Conc. Cu-Mo 93.58 46.06 83.44 90.80 50.98 10.42 88.55
Relave Bulk 6.42 53.94 16.56 9.20 49.02 89.58 11.45
Conc. Zn 0.51 38.52 0.64 0.48 4.78 0.18 0.75
Relave 5.91 15.42 15.92 8.72 44.24 89.40 10.70
Caracterización de las partículas
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Caracterización de laspartículas
Tamaño de partícula
Por ejemplo: Unelipsoide
Análisis Granulométrico
Función de densidad deProbabilidad
Estadísticos
Conversión de AnálisisGranulométricos
Ejemplo
Conminución
Trituración
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Tamaño de partícula
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Tamaño de partícula
Por ejemplo: Unelipsoide
Análisis Granulométrico
Función de densidad deProbabilidad
Estadísticos
Conversión de AnálisisGranulométricos
Ejemplo
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2 cm
1cm
Figura 5: ¿Cual es el tamaño de la partícula? (¿1cm?, ¿2cm?, ¿1.5cm?), . . .
Por ejemplo: Un elipsoide
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Tamaño de partícula
Por ejemplo: Unelipsoide
Análisis Granulométrico
Función de densidad deProbabilidad
Estadísticos
Conversión de AnálisisGranulométricos
Ejemplo
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La ecuación para el elipsoide es:
x2
a2+
x2
b2+
x2
c2= 1 (37)
Para los diámetros: dx = 2.4cm, dy = 2.2cm, dz = 9.4cm (i.e.
a = 1.2cm, b = 1.1cm, c = 4.7cm)
El área superficial es:
ElipsoideArea = 54.69cm2
El volúmen es:
ElipsoideV olumen = 25.99cm3
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Caracterización de laspartículas
Tamaño de partícula
Por ejemplo: Unelipsoide
Análisis Granulométrico
Función de densidad deProbabilidad
Estadísticos
Conversión de AnálisisGranulométricos
Ejemplo
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El diámetro de superficie es el diámetro de una esfera que tiene la misma área
de superficie que la partícula.
dS =
(
Area
π
)1/2
= 54.69cm2
= 4.17cm
El diámetro de volúmen es el diámetro de una esfera que tiene el mismo
volúmen que la partícula.
dV =
(
6 · V olumen
π
)1/3
= 25.99cm2
= 3.67cm
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Caracterización de laspartículas
Tamaño de partícula
Por ejemplo: Unelipsoide
Análisis Granulométrico
Función de densidad deProbabilidad
Estadísticos
Conversión de AnálisisGranulométricos
Ejemplo
Conminución
Trituración
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Por los diámetros se entiende que la partícula no es mayor que 9.4cm ni
menor de 2.2cmEl diámetro promedio geométrico resulta
(2.4 · 2.2 · 9.4)(1/3) cm = 3.68cm
El diámetro promedio aritmético resulta
2.4 + 2.2 + 9.4
3cm = 4.67cm
El diámetro promedio armónico resulta
31
2.4 + 12.2 + 1
9.4
cm = 3.07cm
Análisis Granulométrico
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Tamaño de partícula
Por ejemplo: Unelipsoide
Análisis Granulométrico
Función de densidad deProbabilidad
Estadísticos
Conversión de AnálisisGranulométricos
Ejemplo
Conminución
Trituración
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Mallas
Difracción láser
Procesamiento de imágenes
Elutriación
Microscopía
Sedimentación
Conteo
. . .
Función de densidad de Probabilidad
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Caracterización de laspartículas
Tamaño de partícula
Por ejemplo: Unelipsoide
Análisis Granulométrico
Función de densidad deProbabilidad
Estadísticos
Conversión de AnálisisGranulométricos
Ejemplo
Conminución
Trituración
Tamizado Industrial
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La función de densidad de probabilidad puede expresarse en función de la
fracción acumulada pasante (F ) según:
fi(x) =dFi(x)
dx(38)
Donde:
Tabla 10: Notación del subíndice ii Método
0 Conteo
1 Longitud
2 Area
3 Volúmen
se cumple que:
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Corrección de Leyes
Caracterización de laspartículas
Tamaño de partícula
Por ejemplo: Unelipsoide
Análisis Granulométrico
Función de densidad deProbabilidad
Estadísticos
Conversión de AnálisisGranulométricos
Ejemplo
Conminución
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La fracción acumulada pasante respecto a x es:
∫ x
0fi(x)dx = Fi(x) (39)
La fracción que se encuentra en el intervalo < xMin, xMax >
∫ xMax
xMin
fi(x)dx = pi(xP ) (40)
Donde xP es el tamaño promedio del intervalo en cuestión, el cual puede ser
calculado por:
Media Aritmética xMin+xMax
2
Media Geométrica√
xMin · xMax
Media Armónica 21
x+ 1
x
se cumple que:
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Tamaño de partícula
Por ejemplo: Unelipsoide
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Función de densidad deProbabilidad
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Aproximando 38 se obtiene
fi(xP ) ≃ ∆Fi(x)
∆x=
Fi(xMax) − Fi(xMin)
xMax − xMin=
pi(xP )
xMax − xMin
∫
∞
0fi(x)dx = 1 (100%)
En forma discreta, siendo n el número de intervalos de tamaño.
n∑
i.t.=1
pi(x) = 1 (100%)
Estadísticos
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Tamaño de partícula
Por ejemplo: Unelipsoide
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Función de densidad deProbabilidad
Estadísticos
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Ejemplo
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Media:
µ =
∫
∞
0 x · f(x)dx∫
∞
0 f(x)dx=
∫
∞
0x · f(x)dx
µ =
∑ni.t.=1 xP · pi(xP )∑n
i.t.=1 pi(xP )=
n∑
i.t.=1
xP · pi(xP )
Varianza:
σ2 =
∫
∞
0 (x − µ)2 · f(x)dx∫
∞
0 f(x)dx=
∫
∞
0(x − µ)2 · f(x)dx
σ2 =
∑ni.t.=1 (xP − µ)2 · pi(xP )∑n
i.t.=1 pi(xP )=
n∑
i.t.=1
(xP − µ)2 · pi(xP )
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Tamaño de partícula
Por ejemplo: Unelipsoide
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Desviación Estándar:
σ =√
σ2
Coeficiente de Variación:
C.V. =σ
µ
Conversión de Análisis Granulométricos
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Por ejemplo: Unelipsoide
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Conversión de AnálisisGranulométricos
Ejemplo
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Las ecuaciones generales son:
En forma contínua:
fk(x) =xk−j · fj(x)
∫
∞
0 xk−j · fj(x)dx(41)
En forma discreta:
fk(xP ) =xk−j
P · fj(xP )∑n
i.t.=1 xk−jP · pj(xP )
(42)
Ejemplo
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Por ejemplo: Unelipsoide
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Función de densidad deProbabilidad
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Por ejemplo, se desea convertir las Fracciones en Número a Fracciones en
Peso de la distribución de bolas del molino de Bond (para determinar Work
Index).
La carga es la siguiente:
Tabla 11: Carga de bolas del molino de Bondi.t. φ (pulg) # de Bolas % en Número (p0)
1 1.500 25 8.77
2 1.250 39 13.68
3 1.000 60 21.05
4 0.875 68 23.86
5 0.750 93 32.63
Total 285 100.00
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Estimar la función densidad de probabilidad a partir de las Fracciones en
Número.
f0(xP ) =p0(xP )
xMax − xMin
Donde se Obtiene:
i.t. Diam (pulg) xMax xMin ∆x f0
1 1.500 1.625 1.375 0.250 0.351
2 1.250 1.375 1.125 0.250 0.547
3 1.000 1.125 0.875 0.250 0.842
4 0.875 0.9375 0.8125 0.125 1.909
5 0.750 0.8125 0.6875 0.125 2.611
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Por ejemplo para convertir la función de densidad de probabilidad en Numero
a Area será: j = 0 (número) y k = 2 (área) en (42), con lo que resulta:
f2(xP ) =x2
P · f0(xP )∑n
i.t.=1 x2P · p0(xP )
Por ejemplo, para el primer intervalo de tamaños (bolas de diámetro 1.5′′)
f2(1.5) =1.52 · 0.351
1.52 · 0.0877 + 1.252 · 0.1368 + . . . + 0.752 · 0.3263= 0.799
Para las bolas de 1.25′′
f2(1.25) =1.252 · 0.547
1.52 · 0.0877 + 1.252 · 0.1368 + . . . + 0.752 · 0.3263= 0.866
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Estimar las fracciones en número según:
p2(xP ) = f2(xP ) · (xMax − xMin)
Por lo que para el primer intervalo de tamaños la fracción en área resulta:
p2(1.5) = 0.799 · (1.625 − 1.375) = 0.1998 (19.98%)
Para el segundo intervalo, la fracción resulta:
p2(1.25) = 0.866 · (1.625 − 1.375) = 0.2164 (21.64%)
Resultados
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Tabla 12: Resultado de las conversiones utilizando (42)φ fdp Fracciones
(pulg) f0 f1 f2 f3 p0 p1 p2 p3
1.500 0.351 0.544 0.799 1.105 8.77 13.61 19.98 27.63
1.250 0.547 0.708 0.866 0.998 13.68 17.70 21.64 24.95
1.000 0.842 0.871 0.852 0.786 21.05 21.78 21.31 19.65
0.875 1.909 1.728 1.479 1.194 23.86 21.60 18.49 14.92
0.750 2.611 2.025 1.486 1.028 32.63 25.32 18.58 12.85
Resultados
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Para el caso de bolas, la forma más simple de obtener dichos resultados es
(cálculos solo para el primer intervalo de tamaños):
Por Número
p0(xP ) =#Bolas(xP )
∑ni.t.=1 #Bolas(xP )
p0(1.5) =25
25 + . . . + 93
Por Longitud
p1(xP ) =xP · #Bolas(xP )
∑ni.t.=1 xP · #Bolas(xP )
p1(1.5) =1.5 · 25
1.5 · 25 + . . . + 0.75 · 93= 0.1361 (13.61%)
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Por Area
p2(xP ) =π · x2
P · #Bolas(xP )∑n
i.t.=1 π · x2P · #Bolas(xP )
p2(1.5) =π · 1.52 · 25
π · 1.52 · 25 + . . . + π · 0.752 · 93= 0.1998 (19.98%)
Por Volúmen
p3(xP ) =π6 · x3
P · #Bolas(xP )∑n
i.t.=1π6 x3
P · #Bolas(xP )
p3(1.5) =π6 · 1.53 · 25
π6 · 1.53 · 25 + . . . + π
6 · 0.753 · 93= 0.2763 (27.63%)
Tamaño (µm) Fracciones Acumuladas
i.t. Malla Maximo Minimo Promedio % en Peso Retenidas Pasantes
1 -1/2" +m3/8" 12700 9500 10984 0.03 0.03 99.97
2 -3/8" +m3 9500 6800 8037 0.43 0.46 99.54
3 -m3 +m4 6800 4750 5683 2.03 2.49 97.51
4 -m4 +m6 4750 3400 4019 4.17 6.66 93.34
5 -m6 +m8 3400 2360 2833 6.97 13.63 86.37
6 -m8 +m10 2360 1700 2003 9.59 23.22 76.78
7 -m10 +m14 1700 1180 1416 10.94 34.16 65.84
8 -m14 +m20 1180 850 1001 10.80 44.96 55.04
9 -m20 +m28 850 600 714 9.91 54.87 45.13
10 -m28 +m35 600 425 505 8.42 63.29 36.71
11 -m35 +m48 425 300 357 7.12 70.41 29.59
12 -m48 +m65 300 212 252 6.10 76.51 23.49
13 -m65 +m100 212 150 178 5.23 81.74 18.26
14 -m100 +m150 150 106 126 4.38 86.12 13.88
15 -m150 +m200 106 75 89 3.85 89.97 10.03
16 -m200 +m270 75 53 63 2.91 92.88 7.12
17 -m270 +m400 53 38 45 2.14 95.02 4.98
18 -m400 38 0 19 4.98 100.00 0.00
Conminución
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Molienda
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Energía
Trituración
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Conminución
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Molienda
High Pressure GrindingRolls (HPGR)
Energía
Trituración
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Para liberar el mineral valioso.
Primera etapa de conminución: Voladura.
Trituración
Ultima etapa de conminución: Molienda.
Trituración
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High Pressure GrindingRolls (HPGR)
Energía
Trituración
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Reduce de tamaño las partículas provenientes de la mina (Run of Mine
ore) para que puedan ser molidas.
Fracturamiento de partículas por Compresión o por Impacto.
Superficies del medio (e.g. quijada fija, quijada movil, rodillos, cono, . . . )
son rígidas o con movimiento restringido.
Generalmente en seco.
Varias etapas. Los radios de reducción en cada una varían entre 3 a 6.
Molienda
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Molienda
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Energía
Trituración
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Última etapa de conminución.
Fracturamiento de partículas por Abrasión y por Impacto.
Los medios moledores no estan conectados (i.e caída libre de dichos
medios)
Medios moledores:
Bolas
Barras
Guijarros (Pebbles)
El mismo mineral
Generalmente en húmedo.
High Pressure Grinding Rolls (HPGR)
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Molienda
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Energía
Trituración
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Comprime la cama de partículas.
Produce fracturas internas en las partículas (microcracking).
Radio de reducción mayor que en trituradoras de rodillos
convencionales.
Beneficios posteriores:
Menor consumo energético en molienda.
Mejora en la lixiviación.
Mas eficiente (entre 20 a 50%) que trituradoras convencionales o
molinos .
Energía
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Molienda
High Pressure GrindingRolls (HPGR)
Energía
Trituración
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Una pequeña fracción de la energía se utiliza en fracturar las partículas.
La mayor parte la absorbe la máquina.
Agua reduce la energía requerida en conminución. Así mismo existen
reactivos químicos que se adsorben en el sólido y que disminuyen la
energía requerida.
Teoría de Von Rittinger ( 1867)
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Molienda
High Pressure GrindingRolls (HPGR)
Energía
Trituración
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Energía consumida es proporcional al área de la nueva superficie
producida
Area superficial es inversamente proporcional al diámetro.
E = KR ·(
1
Df− 1
Di
)
Donde:
Di Tamaño inicial de la partícula
Df Tamaño final de la partícula
Teoría de Kick ( 1885)
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High Pressure GrindingRolls (HPGR)
Energía
Trituración
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Trabajo requerido es proporcional a la reducción en volúmen de las
partículas.
E = KK · log R
log 2
Donde:
R Radio de reducción (R = f/p)
f Diámetro de partículas alimentadas.
p Diámetro de partículas del producto.
Teoría de Bond ( 1952)
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Conminución
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Molienda
High Pressure GrindingRolls (HPGR)
Energía
Trituración
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Trabajo requerido es proporcional a la longitud de la fractura producida.
W = 10 · Wi ·(
1√P80
− 1√F80
)
(43)
Donde:
Wi Work Index.
F80 Tamaño X80 del Alimento.
P80 Tamaño X80 del Producto.
Work Index
Expresa la resistencia de un material a la fragmentación.
Trabajo requerido (kW-h/tc) para reducir de tamaño una partícula de
tamaño infinito hasta 80% menor a 100µm.
Ecuación general de Hukki (1975)
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Molienda
High Pressure GrindingRolls (HPGR)
Energía
Trituración
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Plantea una ecuación general.
Kick Partículas mayores a 1cm.
Bond Partículas en molienda con barras y/o bolas.
Rittinger Partículas en molienda fina 10 − 1000µm
Propuesta de Morrell (2004)
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Molienda
High Pressure GrindingRolls (HPGR)
Energía
Trituración
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Basado en la evaluación de Hukki.
Ha sido demostrado que es válido en la mayoría de circuitos modernos
(i.e. 0.1 − 100mm).
W = K · Mi ·(
1
Pf(P80)80
− 1
Ff(F80)80
)
Donde:
Mi Material Index. Relacionado con la propiedad de fractura del mineral.
K Constante para balancear las unidades de la ecuación.
Trituración
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Conminución
Trituración
Modelo de Whiten
Cálculo de losparámetros del modelo
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Modelo de Whiten
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Modelo de Whiten
Cálculo de losparámetros del modelo
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Propuesto por Whiten (1972)
Modelo Estático (existe un modelo dinámico propuesto por Oblad).
Mecanismo de trituración modelado como una combinación de
clasificación y fractura de las partículas minerales.
Aplicable a trituradoras de quijada, giratorias y cónicas (Standard o de
Cabeza Corta -Short Head-).
Opening En esta operación, el material se dirige hacia abajo (zona de
descarga) y parte del material es retenido y la otra parte sale de la
trituradora como producto (mecanismo de Clasificación) (ver la Figura 6).
Nipping En esta operación, el material es comprimido y fragmentado
(mecanismo de Fractura).
Esquema de la trituradora
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Modelo de Whiten
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Alimento (A)
Material en la Trituradora
(T)
Producto (P)
Nipping
Opening
Figura 6: Esquema de la fragmentación en una Trituradora
Nomenclatura
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N : Número de intervalos de tamaños
i : Subíndice para designar un intervalo de tamaños i = 1, 2, · · · , Ni = 1 Corresponde al intervalo de partículas más gruesas
i = N Corresponde al intervalo de partículas más finas
pFi : Fracción en peso del Alimento en el intervalo de tamaños ipi : Fracción en peso del Producto en el intervalo de tamaños iM : Masa retenida en el triturador
bi,j : Función Fractura o fracción de partículas que aparecen en el
intervalo de tamaños i proveniente de la reducción de material
del intervalo de tamaños jmi : Fracción en peso del material en la trituradora correspondiente
al intervalo de tamaños ici : c(di)
Fracción en peso de material en el intervalo de tamaños i que
es retenido para fracturarse en el siguiente ciclo.
W : Masa total del alimento que es aceptado en un ciclo.
Masa del producto descargado
Balance de Masa
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Tabla 13: Descripción de balance de masa en la trituradoraPara el intervalo de tamaños i
Muestra Masa total Masa Fracción en peso
A Alimento W WpFi pF
i
T En la trituradora M Mmi mi
P Producto W Wpii pi
Material en la Trituradora
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La cantidad de masa en el intervalo de tamaños i presente en la trituradora es
la suma del material fresco que ingresa a la trituradora y el material que hasido fracturado, clasificado y retenido , por lo tanto:
WpFi Es el material fresco perteneciente al intervalo de tamaños i que
ingresa a la trituradora.
cjMmjbi,j Es la fracción del material de intervalo de tamaño inicial j que ha
sido clasificado y fracturado al intervalo de tamaños i el cual permanece
en la trituradora.
Mmi = WpFi + c1Mm1bi,1 + c2Mm2bi,2 + · · · + ciMmibi,i
La expresión anterior puede expresarse como:
M
Wmi =
1
1 − cibi,i
pFi +
i−1∑
j=1
cjM
Wmjbi,j
(44)
Producto de la Trituradora
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El producto de la trituradora correspondiente al intervalo de tamaños icorresponderá al material que ha sido clasificado y pasado por latrituradora , por lo tanto, puede establecerse que:
(1 − ci)Mmi Es la fracción del material de intervalo de tamaño i que ha sido
clasificado y descargado de la trituradora. Es decir:
Wpi = (1 − ci)Mmi
La expresión anterior puede expresarse como:
pi = (1 − ci)M
Wmi (45)
Modelo Matemático
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El modelo corresponde a (44) y (45). Para tener un modelo más fácil de
manejar y que represente a todos los intervalos de tamaño se convertirán en
expresiones matriciales (ver Figura 7), por lo tanto:
Los análisis granulométricos son expresados como vectores columna de
tamaño N , la suma de los componentes de cada vector debe de sumar uno
(100%).
pF MW m = pF + b c M
W m
b c MW m
c MW m
p = (I − c) MW mFunción de
Clasificaciónc
Función Fracturab
Figura 7: Diagrama de bloques del modelo de la trituradora
Análisis granulométrico del alimento
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Balance de Masa
Corrección de Leyes
Caracterización de laspartículas
Conminución
Trituración
Modelo de Whiten
Cálculo de losparámetros del modelo
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Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del alimento fresco
a la trituradora.
pF(N×1) =
pF1
pF2
pF3
pF4...
pFN−1
pFN
∑Ni=1 pF
i = 1
Análisis granulométrico del material en la trituradora
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Conminución
Trituración
Modelo de Whiten
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Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del material en la
trituradora.
m(N×1) =
m1
m2
m3
m4...
mN−1
mN
∑Ni=1 mi = 1
Análisis granulométrico del producto
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Conminución
Trituración
Modelo de Whiten
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Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del producto de la
trituradora.
p(N×1) =
p1
p2
p3
p4...
pN−1
pN
∑Ni=1 pi = 1
Matriz de Clasificación
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Caracterización de laspartículas
Conminución
Trituración
Modelo de Whiten
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Los valores ci de la Matriz de Clasificación están entre el rango de 0 (pasa
todo por la trituradora) y 1 (retiene todo en la trituradora)
c(N×N) =
c1 0 0 0 . . . 0 00 c2 0 0 . . . 0 00 0 c3 0 . . . 0 00 0 0 c4 . . . 0 0...
......
.... . .
......
0 0 0 0 . . . cN−1 00 0 0 0 . . . 0 cN
Matriz de la Función Fractura
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Conminución
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Los valores de bi,j están en el rango de 0 a 1 y deben de cumplir que la suma
de los componentes en cada columna sea uno (100%).
b(N×N) =
b1,1 0 0 0 . . . 0 0b2,1 b2,2 0 0 . . . 0 0b3,1 b3,2 b3,3 0 . . . 0 0b4,1 b4,2 b4,3 b4,4 . . . 0 0
......
......
. . ....
...
bN−1,1 bN−1,2 bN−1,3 bN−1,4 . . . bN−1,N−1 0bN,1 bN,2 bN,3 bN,4 . . . bN,N−1 bN,N
N∑
i=1
bi,j = 1 ; ∀j
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Trituración
Modelo de Whiten
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El modelo matricial es derivada de (44) y (45) (recuérdese que son modelos en
Régimen Permanente - Steady State -) y se expresan de la siguiente manera:
M
Wm = pF + b c
M
Wm
M
Wm = (I − b c)−1
pF (46)
p = (I − c)M
Wm (47)
Si se reemplaza (46) en (47) se obtiene el modelo matricial de la trituradora:
p = (I − c) (I − b c)−1pF (48)
Donde I es la matriz Identidad de tamaño (N × N ).
Función Clasificación
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Conminución
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Modelo de Whiten
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La función de Clasificación puede ser simplificada mediante:
ci =
1 −(
d2−dpi
d2−d1
)nSi d1 < dpi < d2
0 Si dpi ≤ d1
1 Si dpi ≥ d2
(49)
Parámetro de Control
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El control de la granulometría del producto de las trituradoras cónicas
(Standard y de Cabeza Corta) se hace variando la abertura de la trituradora
(Closed Side Set - CSS). Para esto se tiene las siguientes relaciones:
d1 = α1 CSS (50)
d2 = α2 CSS + d∗ (51)
Donde los rangos son:
0.5 . α1 . 0.95
1.7 . α2 . 3.5
1 . n . 3
d∗ ∼ 0
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Modelo de Whiten
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Open Side Set (OSS) Abertura máxima de la descarga de la trituradora (ver
Figura 8)
Closed Side Set (CSS) Abertura mínima de la descarga de la trituradora
Throw Es la distancia definida como: Throw = OSS − CSS
CSS OSS
Figura 8: Esquema: Open Side Set (OSS) (Abertura máxima de descarga) y
Closed Side Set (CSS) (Abertura mínima de descarga)
Función Fractura
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Conminución
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La función Acumulativa de Fractura B se puede representar mediante:
B(x, y) =
K(
xy
)n1
+ (1 − K)(
xy
)n2
Para x < y
1 Para x ≥ y(52)
Donde:
x : Tamaño Mínimo de partículas del intervalo iy : Tamaño Promedio de partículas del intervalo j
K , n1, n2 : Parámetros a estimar
Donde los rangos son:
0 ≤ K ≤ 1
n1 = 0.5 Para trituradoras Standard y de Cabeza Corta
n2 =
2.5 Para trituradoras de Cabeza Corta
4.5 Para trituradoras Standard
Matriz de la Función Fractura Acumulada
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Los elementos de la matriz b se calcularán mediante:
bi,j = B(Di−1, dpj) − B(Di, dpj) (53)
bj,j = 1 − B(Dj , dpj) (54)
Se cumple también:
Bi,j = 1 −i∑
k=1
bk,j ; ∀j
Para evitar el cálculo tedioso de los parámetros de la matriz b, es posible determinarlo mediante una
expresión matricial, para esto se define:
Esta matriz se obtiene a partir de (52)
B(N×N) =
B1,1 1 1 1 . . . 1 1B2,1 B2,2 1 1 . . . 1 1B3,1 B3,2 B3,3 1 . . . 1 1B4,1 B4,2 B4,3 B4,4 . . . 1 1
......
......
. . ....
...
BN−1,1 BN−1,2 BN−1,3 BN−1,4 . . . BN−1,N−1 1BN,1 BN,2 BN,3 BN,4 . . . BN,N−1 BN,N
Matriz de Transformación R
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Esta matriz, es una matriz triangular inferior de valores 1.
R(N×N) =
1 0 0 0 . . . 0 01 1 0 0 . . . 0 01 1 1 0 . . . 0 01 1 1 1 . . . 0 0...
......
.... . .
......
1 1 1 1 . . . 1 01 1 1 1 . . . 1 1
Matriz de Transformación Ones
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Esta es una matriz cuyos elementos son 1.
Ones(N×N) =
1 1 1 1 . . . 1 11 1 1 1 . . . 1 11 1 1 1 . . . 1 11 1 1 1 . . . 1 1...
......
.... . .
......
1 1 1 1 . . . 1 11 1 1 1 . . . 1 1
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La relación se expresa de la siguiente manera:
B = Ones − R b
Por lo tanto, la matriz de Fractura b se calculará por la siguiente ecuación:
b = R−1(Ones − B) (55)
Matriz R−1 La matriz R−1 queda resuelta como:
R−1(N×N) =
1 0 0 0 . . . 0 0−1 1 0 0 . . . 0 00 −1 1 0 . . . 0 00 0 −1 1 . . . 0 0...
......
.... . .
......
0 0 0 0 . . . 1 00 0 0 0 . . . −1 1
Cálculo de los parámetros del modelo
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Datos requeridos Para poder calcular los parámetros del Modelo, se deberá
de disponer de:
1. Análisis Granulométrico del Alimento
2. Closed Side Set (CSS)
3. Análisis Granulométrico del Producto referido al CSS.
Cantidad de parámetros a calcular Los parámetros que debemos de
calcular son los referidos a las matrices de Clasificación (c) y de Fractura (b).
Matriz de Clasificación : N
Matriz de Fractura :N(N + 1)
2
Cantidad total de parámetros : N +N(N + 1)
2
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Trituración
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Cálculo utilizando Regresión No Lineal Debido a la gran cantidad de
parámetros, es posible reducirlos si es que se utilizan las ecuaciones (49) y
(52). Es decir, en lugar de calcular N + N(N+1)2 se calcularán solo siete
parámetros, cuatro para la ecuación de Clasificación (α1, α2, d∗y n) y tres
para la función Fractura (K , n1 y n2).
Función a minimizar La Regresión No Lineal consiste básicamente en
minimizar la siguiente función:
C(Θ) =N∑
i=1
(
pDatai − pModelo
i
)2(56)
Vector de parámetros
Θ =[
K n1 n2 α1 α2 n d∗]
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Trituración
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Eficiencia
Ejemplo de Curva dePartición
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Trituración
Tamizado Industrial
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Eficiencia
Ejemplo de Curva dePartición
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Clasificar las partículas por tamaño.
Eficiencia disminuye con la finura del material
Desde ∼ 30cm hasta ∼ 40µm
Seco: Limitado hasta un tamaño de 5mm
Húmedo: Comúnmente hasta 250µm
Tamaños menores de 250µm se pueden aplicar otros métodos (e.g.
Hidrociclones, Stokes, . . . ).
La superficie consta de muchas aberturas u hoyos (normalmente de
dimensiones uniformes).
Eficiencia
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Eficiencia
Ejemplo de Curva dePartición
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No existe un método aceptado universalmente para determinar la
eficiencia.
Consideraciones:
Tomando un tamiz de abertura xZ
Alimentación F (t/h)
Producto grueso Oversize (Coarse) C (t/h) (i.e. material que
queda retenido en el tamiz).
Producto fino Undersize U (t/h) (i.e. material que pasa a través
del tamiz).
f : Fracción mayor a xZ en el Alimento. f = GF (xZ)
c: Fracción mayor a xZ en el Oversize. c = GC(xZ)
u: Fracción mayor a xZ en el Undersize. u = GU (xZ)
G(x) es la Fracción Acumulada Retenida.
Balance de Masa
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Trituración
Tamizado Industrial
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Eficiencia
Ejemplo de Curva dePartición
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General:
F = C + U (57)
Material Grueso (Oversize)
f · F = c · C + u · U (58)
Material Fino (Undersize)
(1 − f) · F = (1 − c) · C + (1 − u) · U (59)
Por lo que:C
F=
f − u
c − u
U
F=
c − f
c − u
Eficiencia
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Conminución
Trituración
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Eficiencia
Ejemplo de Curva dePartición
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Eficiencia de la Fracción Gruesa (i.e. material grueso en el Oversize).
EC =Material Grueso en el Oversize
Material Grueso en el Alimento=
c · Cf · F =
c · (f − u)
f · (c − u)(60)
Eficiencia de la Fracción Fina (i.e. material fino en el Undersize).
EU =Material Fino en el Undersize
Material Fino en el Alimento=
(1 − u) · U(1 − f) · F =
(1 − u) · (c − f)
(1 − f) · (c − u)(61)
Eficiencia Global
E = EC · EU (62)
Tabla 14: Análisis Granulométrico de los productos de una Zaranda (Porcentajes en Peso).
Alimentación=596t/h, Longitud=4.27m, Ancho=2.13m, Abertura de la malla=14.0mm.
Tamaño (mm) Porcentaje en Peso
I.T. Mallas Máximo Mínimo Promedio Alimento Oversize Undersize
1 -3” + 2” 76.20 50.80 62.22 6.30 12.92 0.00
2 -2” + 1 1/2” 50.80 38.10 43.99 16.70 25.75 0.00
3 -1 1/2” + 1” 38.10 25.40 31.11 25.25 32.03 0.00
4 -1” + 3/4” 25.40 19.05 22.00 12.22 15.76 0.27
5 -3/4” + 1/2” 19.05 12.70 15.55 11.03 11.33 5.33
6 -1/2” + 3/8” 12.70 9.53 11.00 3.20 1.01 7.42
7 -3/8” + m4 9.53 4.75 6.73 5.49 0.31 18.84
8 -m4 + m6 4.75 3.35 3.99 2.11 0.02 7.44
9 -m6 + m8 3.35 2.36 2.81 2.01 0.01 7.20
10 -m8 + m10 2.36 1.70 2.00 1.66 0.00 5.90
11 -m10 + m14 1.70 1.18 1.42 1.68 0.00 5.91
12 -m14 1.18 0.00 0.59 12.35 0.86 41.69
Tabla 15: Análisis Granulométrico de los productos de una Zaranda (Porcentajes Acumulados
Retenidos). Alimentación=596t/h, Longitud=4.27m, Ancho=2.13m, Abertura de la malla=14.0mm.
Tamaño (mm) Porcentaje Acumulado Retenido
I.T. Mallas Mínimo Alimento Oversize Undersize
1 <2” 50.80 6.30 12.92 0.00
2 <1 1/2” 38.10 23.00 38.67 0.00
3 <1” 25.40 48.25 70.70 0.00
4 <3/4” 19.05 60.47 86.46 0.27
5 <1/2” 12.70 71.50 97.79 5.60
6 <3/8” 9.53 74.70 98.80 13.02
7 -m4 4.75 80.19 99.11 31.86
8 -m6 3.35 82.30 99.13 39.30
9 -m8 2.36 84.31 99.14 46.50
10 -m10 1.70 85.97 99.14 52.40
11 -m14 1.18 87.65 99.14 58.31
12 0.00 100.00 100.00 100.00
Cálculo de la eficiencia
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Eficiencia
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xZ = 14.0mm, por lo que se obtiene (utilizando interpolación lineal):
f = GF (14.0mm) = 69.24%
c = GC(14.0mm) = 95.47%
u = GU (14.0mm) = 4.51%
Eficiencia de la Fracción Gruesa:
EC =c · (f − u)
f · (c − u)
=0.9547 · (0.6924 − 0.0451)
0.6924 · (0.9547 − 0.0451)
= 0.9812 (98.12%)
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Eficiencia
Ejemplo de Curva dePartición
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Eficiencia de la Fracción Fina:
EU =(1 − u) · (c − f)
(1 − f) · (c − u)
=(1 − 0.0451) · (0.9547 − 0.6924)
(1 − 0.6924) · (0.9547 − 0.0451)
= 0.8952 (89.52%)
Eficiencia Global:
E = EC · EU
= 0.9812 · 0.8952
= 0.8784 (87.84%)
Curva de Eficiencia o Partición
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Eje X : Tamaño promedio (geométrico) del intervalo de tamaños. Escala
logarítmica.
Eje Y : Fracción del alimento que se reporta en el Oversize.
ED(Xp(i)) =Fracción del tamaño Xp(i) en el Oversize
Fracción del tamaño Xp(i) en el Alimento
=fC(Xp(i))
fF (Xp(i))· C
F
Se debe de corregir los análisis granulométricos.
Multiplicadores de Lagrange con Factores de Ponderación.
Fracciones Acumuladas Retenidas (utilizar Pasantes da el mismo
resultado).
Corrección de los Análisis Granulométricos
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El método es similar al desarrollado para corregir las leyes (ecuaciones
análogas).
Método para Zaranda de un solo piso (i.e. una entrada y dos salidas, puede
aplicarse también para hidrociclones, clasificadores helicoidales, . . . ):
1 Obtener los análisis granulométricos.
2 Obtener el caudal normalizado C/F (relación de flujo del Oversize
respecto al Alimento) mediante la siguiente ecuación:
C
F=
B
A
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Donde:
A =N∑
i=1
[
(
G(i)C − G
(i)U
)2]
B =N∑
i=1
[(
G(i)C − G
(i)U
)
·(
G(i)F − G
(i)U
)]
G(i)C Fracción Acumulada Retenida para el intervalo de tamaños i (si se
utilizan Fracciones acumuladas Pasantes arrojan el mismo resultado).
F , C , U Denotan el Flujo de Alimentación, Oversize y Undersize
respectivamente.
N Número total de intervalo de tamaños.
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3 Obtener el caudal normalizado U/F
U
F= 1 − C
F
4 Hallar los errores para cada intervalo de tamaños:
∆M (i) = G(i)F −
(
G(i)C · C
F+ G
(i)U · U
F
)
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5 Hallar los Factores de Ponderación cada intervalo de tamaños:
W(i)F = G
(i)F ·
(
1 − G(i)F
)
W(i)C = G
(i)C ·
(
1 − G(i)C
)
W(i)U = G
(i)U ·
(
1 − G(i)U
)
6 Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños:
λ(i) = −2 · ∆M (i)
W(i)F + W
(i)C ·
(
CF
)2+ W
(i)U ·
(
UF
)2
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7 Hallar las correcciones:
∆G(i)F = −λ(i) ·
W(i)F
2
∆G(i)C = +λ(i) ·
W(i)C
2· C
F
∆G(i)U = +λ(i) ·
W(i)U
2· U
F
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8 Corregir los análisis granulométricos:
G(i)F = G
(i)F − ∆G
(i)F
G(i)C = G
(i)C − ∆G
(i)C
G(i)U = G
(i)U − ∆G
(i)U
Ejemplo de la Corrección de los Análisis Granulométricos
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Corrección de Leyes
Caracterización de laspartículas
Conminución
Trituración
Tamizado Industrial
Tamizado Industrial
Eficiencia
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1 Los análisis granulométricos utilizados son los que se presentan en la
Tabla 15.
2 El caudal normalizado C/F :
A = (0.1292 − 0.0000)2
+ (0.3867 − 0.0000)2
+ . . .
+ (0.9914 − 0.5831)2
+ (1.0000 − 1.0000)2
= 4.4672
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B = (0.1292 − 0.0000) · (0.0630 − 0.0000)
+ (0.3867 − 0.0000) · (0.2300 − 0.0000)
+ . . .
+ (0.9914 − 0.5831) · (0.8765 − 0.5831)
+ (1.0000 − 1.0000) · (1.0000 − 1.0000)
= 3.1517
C
F=
3.1517
4.4672= 0.7055
3 Obtener el caudal normalizado U/F
U
F= 1 − 0.7055 = 0.2945
4 Hallar los errores para cada intervalo de tamaños:
∆M (1) = 0.0630 − (0.1292 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = −0.0282
∆M (2) = 0.2300 − (0.3867 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = −0.0428
... =...
∆M (11) = 0.8765 − (0.9914 · 0.7055 + 0.5831 · 0.2945) = 0.0053
∆M (12) = 1.0000 − (1.0000 · 0.7055 + 1.0000 · 0.2945) = 0.0000
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5 Hallar los Factores de Ponderación cada intervalo de tamaños. Para el
primer intervalo de tamaños:
W(1)F = 0.0630 · (1 − 0.0630) = 0.0590
W(1)C = 0.1292 · (1 − 0.1292) = 0.1125
W(1)U = 0.0000 · (1 − 0.0000) = 0.0000
6 Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños.
Para el primer intervalo de tamaños:
λ(1) = −2 · 0.0630
0.0590 + 0.1125 · (0.7055)2 + 0.0000 · (0.2945)2
= 0.4895
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7 Hallar las correcciones. Para el primer intervalo de tamaños:
∆G(1)F = −0.4895 · 0.0590
2= −0.0144
∆G(1)C = +0.4895 · 0.1125
2· 0.7055 = 0.0194
∆G(1)U = +0.4895 · 0.0000
2· 0.2945 = 0.0000
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8 Corregir los análisis granulométricos. Para el primer intervalo de
tamaños:
G(1)F = 0.0630 − (−0.0144) = 0.0774 (7.74%)
G(1)C = 0.1292 − 0.0194 = 0.1098 (10.98%)
G(1)U = 0.0000 − 0.0000 = 0.0000 (0.00%)
Se puede verificar, evaluando el error
∆M (1) = 0.0774 − (0.1098 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = 0.0000
Tabla 16: Análisis Granulométrico Corregidos de los productos de una Zaranda (Porcentajes Acumula-
dos Retenidos).Tamaño (mm) Porcentaje Acumulado Retenido
I.T. Mallas Mínimo Alimento Oversize Undersize
1 <2” 50.80 7.74 10.98 0.00
2 <1 1/2” 38.10 25.57 36.24 0.00
3 <1” 25.40 49.40 70.02 0.00
4 <3/4” 19.05 60.96 86.29 0.27
5 <1/2” 12.70 70.70 97.85 5.66
6 <3/8” 9.53 73.63 98.85 13.21
7 -m4 4.75 79.42 99.14 32.17
8 -m6 3.35 81.63 99.16 39.62
9 -m8 2.36 83.75 99.17 46.81
10 -m10 1.70 85.48 99.16 52.70
11 -m14 1.18 87.22 99.16 58.60
12 0.00 100.00 100.00 100.00
Tabla 17: Análisis Granulométrico Corregido de los productos de una Zaranda (Porcentajes en Peso).Tamaño (mm) Porcentaje en Peso
I.T. Mallas Máximo Mínimo Promedio Alimento Oversize Undersize
1 -3” + 2” 76.20 50.80 62.22 7.74 10.98 0.00
2 -2” + 1 1/2” 50.80 38.10 43.99 17.83 25.26 0.00
3 -1 1/2” + 1” 38.10 25.40 31.11 23.83 33.78 0.00
4 -1” + 3/4” 25.40 19.05 22.00 11.56 16.27 0.27
5 -3/4” + 1/2” 19.05 12.70 15.55 9.74 11.56 5.39
6 -1/2” + 3/8” 12.70 9.53 11.00 2.93 1.00 7.55
7 -3/8” + m4 9.53 4.75 6.73 5.79 0.29 18.96
8 -m4 + m6 4.75 3.35 3.99 2.21 0.02 7.45
9 -m6 + m8 3.35 2.36 2.81 2.12 0.01 7.19
10 -m8 + m10 2.36 1.70 2.00 1.73 0.00 5.89
11 -m10 + m14 1.70 1.18 1.42 1.74 0.00 5.90
12 -m14 1.18 0.00 0.59 12.78 0.84 41.40
Ejemplo de Curva de Partición
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Para el primer intervalo de tamaños:
ED(62.22) =0.1098
0.0774· 0.7055 = 1.0000 (100.00%)
ED(43.99) =0.2526
0.1783· 0.7055 = 1.0000 (100.00%)
... =...
ED(1.42) =0.0000
0.0174· 0.7055 = 0.0000 (0.00%)
ED(0.59) =0.0084
0.1278· 0.7055 = 0.0461 (4.61%)
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Tabla 18: Data de la Curva Trompi.t. Tamaño promedio (mm) ED
1 62.22 100.00
2 43.99 100.00
3 31.11 100.00
4 22.00 99.32
5 15.55 83.70
6 11.00 24.05
7 6.73 3.57
8 3.99 0.57
9 2.81 0.25
10 2.00 0.00
11 1.42 0.00
12 0.59 4.61
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10−1
100
101
102
0
20
40
60
80
100
RealIdeal
Tamaño de partículas (mm)
ED
Figura 9: Curva de Partición (Tromp). La curva ideal indica que todas las
partículas mayores a la abertura de la malla se presentan en la fracción gruesa
y todas las partículas menores se presentan en la fracción fina.
Modelos empíricos
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Curvas de Partición:
Actual: Eua(dp)
Corregida: Euc(dp) (Elimina el cortocircuito Rf )
Euc(dp) =Eua(dp) − Rf
1 − Rf(63)
Reducida: Eur(dp/d50c) (Similar a la corregida, pero los valores de
tamaño son divididos entre el valor del d50c i.e. la curva cruza por la
coordenada (1, 0.5)).
d50
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Obsérvese que:
Eua(d50) = 0.50
Euc(d50c) = 0.50
Eur(1) = 0.50
Se define el Sharpness Index (SI) como
SI =d25c
d75c; SI ∈ [0, 1] (64)
Donde:
Euc(d25c) = 0.25
Euc(d75c) = 0.75
Modelos de la curva corregida
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Reid-Plitt ó Rosin-Rammler
Euc(dp) = 1 − exp
[
ln(0.50) ·(
dp
d50c
)a]
(65)
Whiten ó Suma Exponencial
Euc(dp) =exp
(
a · dpd50c
)
− 1
exp(
a · dpd50c
)
+ exp (a) − 2(66)
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Distribución Log-Normal
Euc(dp) =
∫ dp
0
1√2 · π · a · x
· exp
−
(
ln(
xd50c
))2
2 · a2
dx (67)
Logística
Euc(dp) =1
1 +(
dpd50c
)
−a (68)
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100
101
102
0
0.2
0.40.50.6
0.8
1
RealCorregida
Tamaño de partículas (mm)
ED
Rf
d50 d50c
Figura 10: Curva de Partición (Tromp) Real y Corregida.
Curvas Anzuelo (fish hook) o tipo Gancho
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Finch
Euc(dp) = 1 − exp
[
ln(0.50) ·(
dp
d50c
)a]
+ Rf ·(
d0 − dp
d0
)
(69)
Whiten ó Suma Exponencial
Euc(dp) = 1 −
(
1 + β · β∗ · dpd50c
)
· (exp (a) − 1)
exp(
a · β∗ · dpd50c
)
+ exp (a) − 2(70)