Problématiques de provisionnement en assurance …...1. Présentation et traitement des données :...
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Problématiques de provisionnement en assurance automobile : quelle méthodologie appliquer sur un périmètre ayant une volumétrie limitée de données ? Mémoire présenté dans le cadre de l’obtention du diplôme d’actuaire
Daphné Le Conte des Floris Encadrants : Jérôme Vignancour, Emilie Beauchet, Christophe Gallois
Objet du mémoire
Contexte
2 2
Définition des « Assurances Affinitaires »
3 axes de positionnement
• Garanties innovantes (smartphones,
produits chiens/chats, voitures de
luxe)
• Segmentation de clientèle spécifique
(associations, comités d’entreprise)
• Canal de distribution nouveau
(digital)
Puissant relai de croissance
• Marché évalué en 2014 à 1Md€ de
volume de primes par le groupe de
travail sur l'assurance affinitaire
formé par la FFSA
• Taux de pénétration en 2014 =
81%.
Objet du mémoire
Contexte
3
Faible historique en marque MGARD (depuis 2008)
Sinistres graves
Périmètre double : marque Axa et une marque blanche, la MGARD
3
Définition des « Assurances Affinitaires »
1. Présentation et traitement des données : Segmentation des données par
marque
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
Démarche de travail
Base de données « As
if »
Sinistres attritionnels Sinistres graves
AXA MGARD
4
Sinistres en assurance
automobile
Détermination du seuil
de sinistres graves
Plan
1. Présentation et traitement des données
1. Création d’une base de données pour notre étude
2. Segmentation des données par marque
3. Etude du seuil de sinistres graves
2. Provisionnement attritionnel
1. Provisionnement déterministe sur le périmètre Axa
2. Apports du provisionnement stochastique
3. Méthodes de ré-échantillonnage sur le périmètre de la MGARD
3. Etude sur les sinistres graves
1. Analyse exploratoire des données
2. Utilisation de la théorie des valeurs extrêmes
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Plan
1. Présentation et traitement des données
1. Création d’une base de données pour notre étude
2. Segmentation des données par marque
3. Etude du seuil de sinistres graves
2. Provisionnement attritionnel
1. Provisionnement déterministe sur le périmètre Axa
2. Apports du provisionnement stochastique
3. Méthodes de ré-échantillonnage sur le périmètre de la MGARD
3. Etude sur les sinistres graves
1. Analyse exploratoire des données
2. Utilisation de la théorie des valeurs extrêmes
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1. Présentation et traitement des données : Création d’une base de données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
Présentation de la base de données
10 années d’historique en marque Axa
5 années d’historique en marque MGARD
Séparation entre sinistres matériels et corporels
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1. Présentation et traitement des données : Création d’une base de données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
La construction d’une base de données « as-if »
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Évolution des indices d’inflation en réparation automobile
(base 100 en 2004)
0.00% 10.00% 20.00% 30.00% 40.00% 50.00%
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
Équivalent horaire du prix des ingrédients de peinture deréparationTaux horaire moyen pondéré de main-d’oeuvre carrosserie
Indice SRA du prix des pièces de rechange
Part de chaque composante dans le prix total de la réparation
automobile
1. Présentation et traitement des données : Création d’une base de données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
La construction d’une base de données « as-if »
Variation annuelle du salaire horaire de base
des ouvriers en France métropolitaine
9
Inflation annuelle des salaires mensuels de
base - Activités pour la santé humaine
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Périmètre matériel Périmètre corporel
1. Présentation et traitement des données : Création d’une base de données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
Construction d’indices d’inflation
10
Périmètre matériel Périmètre corporel
2004 4.6% 4.7%
2005 4.8% 4.4%
2006 4.9% 4.8%
2007 5.6% 3.0%
2008 4.8% 4.4%
2009 4.5% 4.3%
2010 3.6% 2.9%
2011 4.2% 2.6%
2012 3.3% 3.7%
2013 2.2% 2.7%
1. Présentation et traitement des données : Segmentation des données par
marque
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
Pourquoi provisionner séparément les marques Axa et MGARD ?
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1. Présentation et traitement des données : Etude du seuil de sinistres graves
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
Le « facteur de queue »
• Outil de la théorie des valeurs extrême
• Permet d’évaluer le comportement d’une distribution dans ses extrêmes
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1. Présentation et traitement des données : Etude du seuil de sinistres graves
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
Le Hill Plot
Cas d’application : permet d’estimer le seuil u, dans le cas d’une distribution particulière,
la distribution de Fréchet, où > 0.
Estimateur : En notant :
– Xi le montant en euros du sinistre numéro i ;
– k le nombre d’observations supérieures au seuil u.
On a alors :
𝐻𝑖𝑙𝑙 𝑢 = 1
𝑘× ln (
𝑋𝑖
𝑋𝑘)
𝑖<𝑘
Choix du seuil u : dans la zone de stabilité de 𝐻𝑖𝑙𝑙
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1. Présentation et traitement des données : Etude du seuil de sinistres graves
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
Le Hill Plot
Cas d’application : permet d’estimer , dans le cas d’une distribution particulière, la
distribution de Fréchet, où > 0.
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1. Présentation et traitement des données : Etude du seuil de sinistres graves
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
Le Hill Plot
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La « Mean Excess Function », ou « Fonction moyenne des excès »
Définition: Elle correspond à l'espérance du montant de dépassement de seuil : 𝐸[𝑋 −𝑢|𝑋 > 𝑢] en notant 𝑋 le montant de sinistre et 𝑢 le seuil
Estimateur : En notant :
– Xi le montant en euros du sinistre numéro i ;
– k le nombre d’observations supérieures au seuil u.
On a alors :
𝑒𝑛 𝑢 = (𝑋𝑖 − 𝑢)+𝑛
𝑖=1
1𝑋𝑖>𝑢𝑛𝑖=1
où (𝑋𝑖 − 𝑢)+ = (𝑋𝑖 − 𝑢) 1𝑋𝑖>𝑢
Choix du seuil u : On trace le graphe des (u, 𝑒𝑛 𝑢 ), et l’on choisit u tel que , 𝑒𝑛 𝑢 )
devienne linéaire.
1. Présentation et traitement des données : Etude du seuil de sinistres graves
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
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1. Présentation et traitement des données : Etude du seuil de sinistres graves
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
La « Mean Excess Function », ou « Fonction moyenne des excès »
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1. Présentation et traitement des données
1. Création d’une base de données pour notre étude
2. Segmentation des données par marque
3. Etude du seuil de sinistres graves
En résumé nous avons :
• Créé une base « as-if »
• Segmenté nos données selon leurs spécificités
• Séparé les sinistres graves et attritionnels par un seuil de sinistres
graves grâce à l’indice de queue
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
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1. Présentation et traitement des données
1. Création d’une base de données pour notre étude
2. Segmentation des données par marque
3. Etude du seuil de sinistres graves
2. Provisionnement attritionnel
1. Provisionnement déterministe sur le périmètre Axa
2. Apports du provisionnement stochastique
3. Méthodes de ré-échantillonnage sur le périmètre de la MGARD
3. Etude sur les sinistres graves
1. Analyse exploratoire des données
2. Utilisation de la théorie des valeurs extrêmes
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
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1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
Marque Axa Marque MGARD
Univers déterministe
Chain-Ladder
London Chain
Univers stochastique
Modèles linéaires généralisés (GLM)
Bootstrap
Univers stochastique
Modèle de Mack
Calcul de l’erreur standard de prédiction
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Périmètre méthodologique
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel : périmètre Axa
3. Etude sur les sinistres graves
Hypothèse fondamentale du modèle:
Il existe une relation de proportionnalité entre les montants cumulés d’années
de développement consécutives, et le coefficient de proportionnalité entre ces années de
développement est le même pour toutes les années de survenance.
∀ 0 ≤ 𝑖, 𝑘 ≤ 𝑛 − 1, 𝐶𝑖,𝑘+1 = 𝑓𝑘 × 𝐶𝑖,𝑘
∀ 𝑘 ≥ 𝑛 − 𝑖 + 1, 𝑓𝑘 représente le coefficient de proportionnalité et est estimé par :
𝑓𝑘 ≔
𝐶𝑗,𝑘+1𝑛−𝑘𝑗=0
𝐶𝑗,𝑘𝑛−𝑘𝑗=0
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La méthode Chain-Ladder
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel : périmètre Axa
3. Etude sur les sinistres graves
La méthode Chain-Ladder : validation du modèle
Linéarité :
Périmètre matériel Périmètre corporel
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1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel : périmètre Axa
3. Etude sur les sinistres graves
La méthode Chain-Ladder : validation du modèle
Unicité du coefficient de proportionnalité
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1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel : périmètre Axa
3. Etude sur les sinistres graves
La méthode Chain-Ladder : Résultats
Résultats de la méthode Chain-Ladder en €
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1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel : périmètre Axa
3. Etude sur les sinistres graves
Apports de la méthode London Chain
Extension de la méthode Chain-Ladder au cas où les points 𝐶𝑖,𝑗; 𝐶𝑖,𝑗+1 𝑖=0,…𝑛−1 ;𝑗=0,𝑛−𝑖
sont alignés sur une droite ne passant pas par l’origine. La relation fondamentale devient :∀ 0 ≤ 𝑖, 𝑘 ≤ 𝑛 − 1, 𝐶𝑖,𝑘+1 = 𝑓𝑘 × 𝐶𝑖,𝑘 + 𝑎𝑘
Résultats de la méthode London-Chain et comparaison avec les réserves Chain-Ladder
Matériel
Corporel
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1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel : périmètre Axa
3. Etude sur les sinistres graves
• Une transposition du modèle Chain-Ladder à l’univers stochastique
• Permet d’estimer les erreurs moyennes quadratiques de prédiction : •
𝑀𝑆𝐸𝑃 𝐶𝑖,𝑛
𝐹𝑛 = 𝐸 (𝐶 𝑖,𝑛−𝐶𝑖,𝑛)²|𝐹𝑛 = 𝑉𝑎𝑟 𝐶𝑖,𝑛 𝐹𝑛 + 𝐶 𝑖,𝑛 − 𝐸 𝐶𝑖,𝑛 𝐹𝑛2, ∀1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1
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Modèle de Mack
Périmètre matériel Périmètre corporel
Réserve -3 873 -1 623
Intervalle de confiance Normal
Borne inférieure -4 950 -2 499
Borne supérieure -2 796 -747
• Résidus standardisés
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel : périmètre MGARD
3. Etude sur les sinistres graves
Les Modèles Linéaires Généralisés
Un modèle GLM = une distribution (Poisson sur-dispersée, Gamma, Tweedie…)
+ une fonction de lien (log, identité…)
g(E(Y)) = X avec g la fonction de lien, X la composante explicative
et Y la composante à expliquer.
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1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel : périmètre MGARD
3. Etude sur les sinistres graves
Le Bootstrap
1. Application d’un modèle GLM aux variables à expliquer (dans notre étude, il s’agira du triangle d’incréments de charges).
2. Calcul des résidus de Pearson.
3. Tirage avec remise dans le triangle des résidus de Pearson, constituant un nouveau triangle.
4. Calcul de la charge finale prévisible en reconstituant un triangle cumulé grâce au triangle de résidus de Pearson obtenu à l’étape précédente et de la réserve sur ce nouveau triangle.
5. On recommence à l’étape 3. un grand nombre de fois (dans notre cas 10 000) afin d’obtenir une distribution empirique de la charge finale prévisible et de la réserve.
28
29
Le Bootstrap : Choix du modèle
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel : périmètre MGARD
3. Etude sur les sinistres graves
• Utilisation du critère de la quasi-vraisemblance étendue
Périmètre matériel Périmètre corporel
Distribution \ Lien Canonique Identité Log Canonique Identité Log
Poisson 2 783 4 145 2 783 376 575 376
Poisson sur-dispersé 285 21 285 199 18 199
Inverse-Gaussienne 120 114 104 17 16 12
Gamma 192 11 124 129 8 81
30
Le Bootstrap : résultats
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel : périmètre MGARD
3. Etude sur les sinistres graves
Périmètre matériel Périmètre corporel
Réserve 2 685 1 342
Erreur standard de prédiction 166 104
1. Présentation et traitement des données
1. Création d’une base de données pour notre étude
2. Segmentation des données par marque
3. Etude du seuil de sinistres graves
2. Provisionnement attritionnel
1. Provisionnement déterministe sur le périmètre Axa
2. Apports du provisionnement stochastique
3. Méthodes de ré-échantillonnage sur le périmètre de la MGARD
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
En résumé nous avons :
• Appliqué les modèles Chain-Ladder, London Chain et de Mack sur le
périmètre Axa
• Appliqué la méthode du Bootstrap à des résidus de Pearson d’un
modèle GLM sur le périmètre MGARD.
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1. Présentation et traitement des données
1. Création d’une base de données pour notre étude
2. Segmentation des données par marque
3. Etude du seuil de sinistres graves
2. Provisionnement attritionnel
1. Provisionnement déterministe sur le périmètre Axa
2. Apports du provisionnement stochastique
3. Méthodes de ré-échantillonnage sur le périmètre de la MGARD
3. Etude sur les sinistres graves
1. Analyse exploratoire des données
2. Utilisation de la théorie des valeurs extrêmes
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
32
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves : analyse exploratoire des données
Analyse exploratoire des données
Statistiques descriptives des sinistres graves en fonction du seuil
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Seuil de graves à 23k€
Seuil de graves à 45k€
Nombre d’observations 1 279 516
Minimum 23 010 45 001
1er quartile 25 455 59 966
Médiane 35 445 97 200
Moyenne 117 653 248 898
3eme quartile 74 570 181 133
Ecart type 379 023 571 982
Maximum 5 598 789
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves : la théorie des valeurs extrêmes
Introduction à la théorie des valeurs extrêmes
34
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
Approche par blocs Approche par dépassement de seuil
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves : la théorie des valeurs extrêmes
Introduction à la théorie des valeurs extrêmes : approche par blocs
La loi GEV :
Avec : – est le paramètre de forme ; – est le paramètre de position ; – est le paramètre d’échelle.
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1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves : la théorie des valeurs extrêmes
Approche par blocs : application
Niveaux de retour de la loi GEV :
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1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves : la théorie des valeurs extrêmes
Introduction à la théorie des valeurs extrêmes : approche par
dépassement de seuil
La loi GPD:
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1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves : la théorie des valeurs extrêmes
Introduction à la théorie des valeurs extrêmes : approche par
dépassement de seuil
La loi GPD:
Ajustement de la fonction de répartition empirique des montants supérieurs à 23k€ sur la loi GPD
Quantiles de la loi GPD(1,360;23 000;10 029)
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3. Etude sur les sinistres graves
1. Analyse exploratoire des données
2. Utilisation de la théorie des valeurs extrêmes
1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves
En résumé nous avons :
• Mené une analyse exploratoire des données en comparant les données
par marque et par seuil
• Appliqué la théorie des valeurs extrêmes selon deux approches (par
blocs et par dépassement de seuil) et obtenu les quantiles des
distributions GEV et GPD
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1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves : la théorie des valeurs extrêmes
Conclusion
Contexte opérationnel
Etude de la qualité des données et construction d’une base « as-if »
Etude du seuil de sinistres graves : seuil fixé à 23 000€
Provisionnement attritionnel : modèle de Mack en marque Axa, Bootstrap en marque
MGARD
Etude des niveaux de retour pour les sinistres graves de lois GEV et GPD
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1. Présentation et traitement des données
2. Provisionnement attritionnel
3. Etude sur les sinistres graves : la théorie des valeurs extrêmes
Outil créé pour la Direction des Assurances Affinitaires
41
Merci pour votre attention
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Annexes
Convergence du Bootstrap
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Annexes
Les Modèles Linéaires Généralisés : résidus
En notant 𝜇𝑖 = E Yi et 𝑑𝑖 la déviance de la variable i au modèle
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