Probleme rezolvate de Mecanica II (Itul-Haiduc)
Transcript of Probleme rezolvate de Mecanica II (Itul-Haiduc)
1
O bară (d) se roteşte în jurul articulaţiei cindrice O cu viteza unghiulară constată ω . Pe bară se deplasează cursorul M cu viteza constantă u . Să se determine viteza şi acceleraţia absolută a punctului M, precum şi ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sale absolute. ------------------------------------------------- Se identifică mişcarea absolută, relativă şi de transport conform definiţiilor acestora, se întocmeşte schema vitezelor şi acceleraţiilor şi se utilizează legile lor de compunere. a) –pentru viteze:
tra vvv += unde
uv r = , tuxv t ⋅⋅=⋅= ωω .
Rezultă
( )2222 tuuvvv tra ⋅⋅+=+= ω 221 tuva ⋅+⋅= ω .
b) –pentru acceleraţii : ctra aaaa ++=
unde 0=ra deoarece ctv r = ,
tuxa t ⋅⋅=⋅= 22 ωω deoarece ct=ω , uva rc ⋅⋅=⋅⋅= ωω 22 .
Rezultă
( ) ( )22222 2 utuaaa cta ⋅⋅+⋅⋅=+= ωω 224 tuaa ⋅+⋅⋅= ωω .
Pentru a obţine ecuaţiile parametrice ale traiectoriei absolute se înregistrează poziţia punctului în sistemul fix şi se exprimă aceste mărimi ca funcţii de timp:
⋅=⋅=
ϕϕ
sin
cos
1
1
xy
xx.
Deoarece, conform legii de mişcare circulară t⋅=ωϕ ,
rezultă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei absolute în coordonate carteziene:
⋅⋅=⋅⋅=
ttuy
ttux
ωω
sin
cos
1
1 .
Ecuaţia traiectoriei absolute se găseşte prin eliminarea timpului între ecuaţiile parametrice. Obs. În cazul de faţă, o variantă mai elegantă pentru determinarea traiectoriei
absolute constă în utilizarea ecuaţiilor parametrice de mişcare în coordonate polare de forma
==
)()(
t
trr
ϕϕ,
unde:- r-raza polară; -ϕ -unghiul polar. Rezultă
⋅=⋅==ttuxr
ωϕ .
Eliminând timpul între cele două ecuaţii se obţine ecuaţia traiectoriei absolute în coordonate polare
ϕω
⋅= ur ,
sau sub forma ϕ⋅=kr
reprezentând o spirală arhimedică în coordonate polare.
M
(d)
0
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
2
Să se calculeze lucrul mecanic efectuat în timp de o perioadă de o forţă ce variază armonic după legea ( )ϕω +⋅= tFF sin0 ,
asupra unui punct material care are o mişcare definită de legea txx ωsin0 ⋅= .
---------------------------------------------------------------------------------- Se utilizează relaţia de definiţie a lucrului mecanic elementar:
dzFdyFdxFrdFdL zyx ⋅+⋅+⋅=⋅= .
Mişcarea este rectilinie, oscilatorie armonică. În expresia lucrului mecanic elementar, avem deci:
( )ϕω +⋅= tFFx sin0 ; 0=yF ; 0=zF ,
iar dttxdx ⋅⋅⋅= ωω cos0 .
Rezultă ( ) dtttxFdl ⋅⋅+⋅⋅⋅= ωϕωω cossin00
Perioada mişcării oscilatorii armonice este
ωπ⋅= 2T
unde ω reprezintă pulsaţia. Prin urmare, lucrul mecanic finit efectuat de forţa F în timpul unei perioade se obţine prin integrare
( ) ( )∫∫
⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅=ωπ
ωπ
ωϕωωϕωωωϕωω
2
000
2
000 cossincoscoscossincossin dtttttxFdtttxFL
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∫∫
⋅⋅ωπ
ωπ
ωϕωωϕω
2
0
2
2
000 cossincossincos dttdtttxFL
⋅+⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅⋅= ∫
⋅⋅ ω
π
ωπ
ωϕωω
ϕω
2
0
2
02
00 22cos1sinsin
21cos dtttxFL
ωπϕωω
ωϕω ω
πωπ
⋅⋅⋅⋅=
⋅
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅
sin2sin21
21
21sin 00
2
0
2
000 xFttxFL
ϕπ sin00 ⋅⋅⋅= xFL .
Un tub este îndoit în formă de cerc având ecuaţia 222 ayx =+ . În tub se mişcă o bilă sub acţiune aunei forţe având proiecţiile: 2ykFx ⋅= şi yxkFy ⋅⋅= , k fiind o
constantă. Să se determine lucrul mecanic al forţei când bila se deplasează între punctele A(0,a) şi B(a,0). -------------------------------------------------------------- Se utilizează relaţia de definiţie a lucrului mecanic elementar:
dzFdyFdxFrdFdL zyx ⋅+⋅+⋅=⋅= .
Rezultă: dyyxkdxykdyFdxFdL yx ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅= 2
unde 222 xay −=
iar din 022 =⋅⋅+⋅⋅ dyydxx
se obţine dxxdyy ⋅−=⋅ .
Astfel urmează: ( ) dxxkdxakdxxkdxxakdL ⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅−⋅= 22222 2
∫ ∫ ⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅=−
a a
BAakakdxxkdxakL
0 0
3322
322
3
31 akL BA ⋅⋅=−
t(M )
Ox
t(M )
O
A
Br
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
3
O greutate G aşezată pe un resort face ca acesta să se deformeze cu 0d . Care va fi comprimarea maximă a resortului d în cazul în care aceeaşi greutate este lăsată să cadă liber, fără viteză iniţială, de la înălţimea h? Forţa elastică din resort este proporţională cu comprimarea. ---------------------------------------------------------- Se aplică teorema de variaţie a energiei
cinetice sub forma finită între poziţiile (0), (1) şi (2)
1001 −=− LEE CC , 2112 −=− LEE CC
unde 020 == CC EE deoarece sistemul se află în repaus în aceste poziţii. Rezultă astfel:
hGEC ⋅=1 , dFdGE emedC ⋅−⋅=− 1 .
Forţa elastică variază liniar cu deformaţia (factorul de proporţionalitate fiind constanta elastică a arcului k), de la valoarea 0 în poziţia (1) la valoarea maxeF în poziţia (2). Rezultă
dkF
Femed ⋅⋅=+
=21
2
0 max .
Prin urmare,
ddkdGEC ⋅⋅⋅−⋅=−21
1
Constanta elastică k se determină din condiţia precizată în enunţ, conform căreia sub greutatea G arcul se deformează cu 0d :
0dGk= .
Rezultă astfel 2
021 d
dGdGhG ⋅⋅+⋅−=⋅
sau 022 00
2 =⋅⋅−⋅⋅− dhddd . Rădăcinile acestei ecuaţii de gradul doi în d sunt
⋅+±⋅=0
02,1211d
hdd .
Deoarece 1210
>⋅+d
h , soluţia care convine este
⋅++⋅=0
0211d
hdd
Obs. Se constată că pentru 0=h ( adică greutatea este lăsată să cadă brusc chiar de pe capătul arcului), rezultă 02 dd ⋅= .
hd
d
h
d
1
2
0
F
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
4
O bară omogenă de lungime l şi greutate G se poate roti în jurul capătului său O, într-un plan vertical. Bara porneşte din repaus, dintr-o poziţie dată de unghiul α . Să se determine viteza unghiuală ω a barei în momentul în care bara trece prin poziţia verticală. -------------------------------------------------------------------- Se aplică teorema de variaţie a energiei cinetice sub
forma finită: 2112 −=− LEE CC
unde 01 =CE deoarece sistemul pleacă din repaus şi
astfel rezultă 212 −=LEC
unde: 2
22
02 321
21 ωω ⋅⋅⋅=⋅⋅= ∆
lgG
JEC ,
⋅−⋅=− αcos22
21ll
GL .
Egalând cele două expresii se obţine
( )αω cos1232
1 22
−⋅⋅=⋅⋅⋅ lG
lgG
de unde
( )αω cos13
−⋅⋅
=l
g
Să se determine reculul x∆ al unei arme de foc, dacă se neglijează frecările. Se cunosc masa M a armei şi poziţia centrului său de greutate, masa m a glonţuluişi poziţia d a acestuia înainte de a apăsa pe trăgaci, precum şi lungimea l a ţevii armei. ----------------------------------------------- Se aplică teorema de variaţie a impulsului sub forma teoremei mişcării centrului maselor
( ) BAC NNgmgMamM ++⋅+⋅=⋅+ Prin scalarizare pe axa Ox , deoarece toate forţele sunt verticale în acest caz, se obţine
( ) 0=⋅+ CxmM && . Masa sistemului fiind diferită de zero, rezultă că ecuaţia diferenţială scalară de mişcare pe axa Ox este
0=Cx&& .
Prin integrare succesivă rezultă 1CxC =& ,
21 CtCxC +⋅= . Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul
0=t având 0CC xx = şi 0=Cx& ; rezultă 01 =C şi 02 CxC = . Se obţine astfel
legea de mişcare a centrului maselor ctxx CC == 0 .
Dacă centrul maselor rămâne pe loc, problema revine la a calcula poziţia acestuia în cele două stări ale sistemului: - în poziţia iniţială:
mMdmMxC +
⋅+⋅= 0 ;
- în poziţia finală: ( ) ( )
mM
xdlmxMxC +
∆−+⋅+∆−⋅= .
Egalând cele două expresii se obţine mărimea x∆ a reculului:
Mmmlx+
⋅=∆
O
O
12
l/2 c
os
l/2 l
C
C
C
d
C
C
x x
A
B
A
B
xx x
C
C
d
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
5
O roată de rază r, care se roteşte cu viteza unghiulară 0ω constantă în jurul axei Oz perpendiculară pe planul roţii, este apăsată de un sabot de frână cu forţa radială F . După timpul 1t roata se opreşte datorită frecării. Să se determine valoarea coeficientului de frecare µ dintre sabot şi frână şi numărul de rotaţii pe care îl face roata până la oprire. Momentul de inerţie al roţii în raport cu axa de rotaţie este J. ---------------------------------------------------------------------------------------- Se izolează roata şi se aplică teorema de variaţie a energiei cinetice sub formă elementară
extC dLdE = .
unde: 2
21 ω⋅⋅= JEC
ωω dJdEC ⋅⋅= , iar lucrul mecanic elementar este efectuat numai de către forţa de frecare T :
ϕµ drFdLext ⋅⋅⋅−= . Se obţine astfel
ϕµωω drFdJ ⋅⋅⋅−=⋅⋅ dt:
dt
drF
dtdJ
ϕµωω ⋅⋅⋅−=⋅⋅ .
Deoarece εω =dtd iar ω
ϕ=
dt
d, rezultă ecuaţia diferenţială de mişcare a roţii
ActJ
rF==
⋅⋅−==
µϕε && .
Mişcarea este, deci, uniform încetinită. Prin integrare succesivă avem: 1CtA +⋅==ωϕ& ,
21
2
2CtCtA +⋅+⋅=ϕ .
Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul 0=t având 0=ϕ şi 0ωϕ =& ; rezultă 01 ω=C şi 02 =C . Se obţine astfel viteza
unghiulară şi legea de mişcare a roţii 0ωωϕ +⋅== tA& ,
ttA ⋅+⋅= 0
2
2ωϕ
În momentul opririi 1tt = şi 0=ω , deci există relaţia
010 ω+⋅= tA de unde se găseşte
1
0
trF
J
⋅⋅⋅
=ω
µ .
Unghiul la care se opreşte roata după timpul 1tt = este 1ϕϕ =
ntttA
⋅⋅=⋅⋅=⋅+⋅
= πωωϕ 221
2 1010
21
1 .
Din ultima egalitate rezultă numărul de rotaţii al roţii până la oprire
πω
⋅⋅
=4
10 tn
rO
rO
d
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
6
Un disc omogen orizontal, având masa M şi raza R, aflat în repaus, se poate roti fără frecare în jurul axei sale verticale de simetrie. La un moment dat, pe circumferinţa disculuiîncepe să se deplaseze cu cu viteza relativă constantă u un punct material de masă m. Să se determine viteza unghiulară ω a discului. ----------------------------------------------------------- Se aplică teorema momentului cinetic în raport cu axa de rotaţie
∆∆ = MK& . Deoarece toate forţele ce acţionează discul sunt fie paralele cu axa de rotaţie, fie o intersectează, rezultă că
0=∆M . Prin urmare, în raport cu această axă
momentul cinetic se conservă
∆∆ = KK 0 .
Deoarece sistemul pleacă din repaus, momentul cinetic în momentul iniţial este nul
00 =∆K .
În timpul mişcării momentul cinetic este format din punctdisc KKK ∆∆∆ += .
Se consideră pentru viteza unghiulară a discului un sens de rotaţie ca în figură şi rezultă:
ωω ⋅⋅=⋅= ∆∆ 2
2RMJK disc ,
( ) ( )RumRvvmRvmRK trapunct ⋅+⋅⋅=+⋅⋅=⋅⋅=∆ ω ,
02
22
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ωω RmuRmRM .
Se obţine astfel
( )mMRum⋅+⋅
⋅⋅−=2
2ω
Obs. Semnul (-) arată că discul se roteşte în sens contrar celui considerat iniţial, adică în sens orar.
O barcă de lungime l şi masă M se află în repaus având capătul A lipit de debarcader. În mijlocul bărcii se află, tot în repaus, un om cu masa m. Să se determine cu cât se deplasează barca atunci când omul se deplasează în capătul A, dacă se neglijează frecările. --------------------------------------------------- Se aplică teorema de variaţie a
impulsului sub forma teoremei mişcării centrului maselor
( ) NgmgMamM C +⋅+⋅=⋅+ Prin scalarizare pe axa Ox , deoarece toate forţele sunt verticale în acest caz, se obţine
( ) 0=⋅+ CxmM && .
Masa sistemului fiind diferită de zero, rezultă că ecuaţia diferenţială scalară de mişcare pe axa Ox este
0=Cx&& .
Prin integrare succesivă rezultă 1CxC =& ,
21 CtCxC +⋅= . Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la
momentul 0=t având 20lxx CC ==
şi 0=Cx& ; rezultă 01 =C şi 22lC = . Se obţine astfel legea de mişcare a
centrului maselor
ctlxC ==2
.
Dacă centrul maselor rămâne pe loc, problema revine la a calcula poziţia acestuia în starea finală:
2
2 lMm
lxMxm
xC =+
+∆⋅+∆⋅
=
de unde Mm
mlx+
⋅=∆2
.
A B
/2
A B
A B
C
C
C
C
C
C
x
x
x x /2
R
O
C
R
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
7
Un punct material )(mM este lansat din punctul fix O, în aer şi în plan
vertical cu viteza iniţială 0v înclinată sub unghiul α faţă de orizontală.
Considerând rezistenţa aerului proporţională cu viteza vmkRa ⋅⋅−= , să se determine:
a) ecuaţiile parametrice de mişcare; b) ecuaţia carteziană a traiectoriei; c) coordonatele punctului D de înălţime
maximă. ------------------------------------------------------ Forţa de rezistenţă a aerului este tangentă la traiectorie şi are sensul invers vectorului viteză. Se aplică ecuaţia fundamentală a dinamicii mişcării absolute
Ram =⋅ , unde R reprezintă rezultanta forţelor ce acţionează punctul, adică:
gmRam a ⋅+=⋅ , gmvmkam ⋅+⋅⋅−=⋅ .
Deoarece jyixra ⋅+⋅== &&&&&& ;
jyixrv ⋅+⋅== &&& ; jgg ⋅−= ,
prin scalarizarea ecuaţiei fundamentale se obţin ecuaţiile diferenţiale scalare de mişcare:
⋅−⋅⋅−=⋅⋅⋅−=⋅
gmymkymxmkxm
&&&
&&&
sau
−=⋅+=⋅+
gykyxkx&&&
&&& 0 .
care se integrează separat. Ecuaţia caracteristică este 02 =⋅+ λλ k
şi are soluţiile: 01 =λ ; k−=2λ . Soluţiile generale ale ecuaţiilor diferenţiale de mişcare sunt:
⋅−⋅+=
⋅+=
⋅−
⋅−
tk
geCCy
eCCx
tk
tk
43
21
.
Prin derivarea lor în raport cu timpul se obţin componentele vitezei punctului, sub forma generală:
−⋅⋅−=
⋅⋅−=
⋅−
⋅−
k
gekCy
ekCx
tk
tk
4
2
&
&
.
Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale. La momentul 0=t
având
==
00
yx respectiv
⋅=⋅=
αα
sin
cos
0
0
vy
vx&
&, rezultă:
⋅⋅+=⋅+⋅=−=
⋅=−=
2
0043
021
sin1)sin(
cos
k
vkg
kk
gvCC
k
vCC
αα
α
.
Se obţin astfel ecuaţiile parametrice de mişcare ale punctului material:
( )( )
⋅−−⋅⋅⋅+
=
−⋅⋅
=
⋅−
⋅−
tk
ge
k
vkgy
ek
vx
tk
tk
1sin
1cos
2
0
0
α
α
,
respectiv componentele de viteză:
−⋅⋅⋅+
=
⋅⋅=
⋅−
⋅−
k
ge
k
vkgy
evx
tk
tk
αα
sin
cos
0
0
&
&
.
Traiectoria de mişcare se obţine eliminând timpul între ecuaţiile parametrice
αcos1
0 ⋅⋅=− ⋅−
vxke tk
αcos11
0 ⋅⋅−==
⋅⋅−
vxk
ee
tk
tk
αcos1
1
0 ⋅⋅−
=⋅
vxk
e tk
⋅⋅−−=
⋅⋅−
⋅=α
αcos
1ln1ln
cos1
1ln1
0
0
vxk
vxkk
t
⋅⋅−⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅+=
ααα
cos1ln1
cos
sin
002
0
vxk
kk
g
vxk
k
vkgy
⋅⋅−⋅+
⋅⋅⋅
+⋅=αα
αcos
1lncos 0
20 v
xk
k
g
vk
xgtgxy
Timpul necesar deplasării punctului din A în D (punctul de înălţime maximă) se determină din condiţia ca 0=y& .
m,t(M )
O
y D
x D
D
m,t(M )
O
y D
x D
D
FC
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
8
0sin0 =−⋅
⋅⋅+= ⋅−
k
ge
k
vkgy Dtk
D
α&
αsin1
0 ⋅⋅+==
⋅⋅−
vkg
g
ee
D
D
tk
tk
g
vkge Dtk αsin0 ⋅⋅+
=⋅
g
vkg
kt D
αsinln1 0 ⋅⋅+
⋅= .
Cu acest rezultat introdus în ecuaţiile parametrice de mişcare se deduc coordonatele punctului de înălţime maximă:
( )
⋅⋅+−⋅
⋅=
−⋅
⋅=−⋅
⋅=
⋅⋅−
g
vkgk
v
ek
ve
k
vx
D
D
tk
tkD α
αααsin
11cos11
cos1
cos
0
000
;
ααα
ααα
αα
sin
sincos
sin
sincos
sin1
cos
0
00
0
00
0
0
⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅
=⋅⋅+
−⋅⋅+⋅
⋅=
⋅⋅+−⋅
⋅=
vkg
vk
k
v
vkg
gvkg
k
v
vkg
g
k
vxD
ααα
sin
cossin
0
20
⋅⋅+
⋅⋅=
vkg
vxD .
( ) DtkDtk
D tk
g
ek
vkgt
k
ge
k
vkgy
D
D ⋅−
−⋅
⋅⋅+=⋅−−⋅
⋅⋅+=
⋅⋅− 11
sin1
sin2
0
2
0 αα;
g
vkg
kk
g
g
vkgk
vkgy D
αα
α sinln1
sin11
sin 0
02
0 ⋅⋅+⋅⋅−
⋅⋅+−⋅
⋅⋅+= ;
g
vkg
k
g
vkg
gvkg
k
vkgy D
αα
αα sinln
sin
sinsin 0
20
0
2
0 ⋅⋅+⋅−
⋅⋅+−⋅⋅+
⋅⋅⋅+
=
g
vkg
k
g
k
vy D
αα sinln
sin 0
2
0 ⋅⋅+⋅−
⋅=
Obs. Traiectoria prezintă o asimptotă verticală a cărei ecuaţie se deduce făcând ∞→t în ecuaţiile parametrice de mişcare şi rezultă:
k
vxx F
αcos0 ⋅== .
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
9
R
M 0
m,t(M )
Un punct material M de masă m este lansat de pe suprafaţa din figură având raza R cu viteza iniţială orizontală 0v .
Să se determine valoarea vitezei punctului într-o poziţie dată de unghiul ϕ şi unghiul α sub care punctul părăseşte suprafaţa, dacă se neglijează frecarea. ------------------------------------------------- Se izolează punctul şi se proiectează pe axele sistemului intrinsec în care
viteza v şi reacţiunea normală N sunt evidenţiate direct. Traiectoria fiind bine definită, se poate determina viteza ca funcţie de ϕ . Dat fiind că
( )tϕϕ = , rezultă ( )ϕvv= , adică
( )tvv= . Se utilizează ecuaţia fundamentală a dinamicii
Rrm =⋅ && care se proiectează pe axele sistemului ales:
−⋅⋅=⋅
⋅⋅=⋅
NgmR
vm
gmdtdvm
ϕ
ϕ
cos
sin
2 .
Prima ecuaţie se înmulţeşte cu ϕd
ϕϕ dgdtdv ⋅⋅= sin
ϕϕϕ
dgdvdt
d⋅⋅=⋅ sin
unde Rv
dt
d==ϕ
ϕ& .
Rezultă ϕϕ dRgdvv ⋅⋅⋅=⋅ sin
∫∫ ⋅⋅⋅=⋅ ϕϕ dRgdvv sin
CRgv +⋅⋅−= ϕcos2
2
Constanta de integrare C se determină din condiţiile ini ţiale privind pozitia şi
viteza, la momentul 0=t având
==
0
0vv
ϕ . Rezultă Rg
vC ⋅+=
2
20 cu care se
obţine expresia vitezei punctului
( )ϕcos1220 −⋅⋅⋅+= Rgvv .
Condiţia de desprindere este ca reacţiunea normală N să se anuleze, moment la care unghiul ϕ se notează cu α , iar viteza are valoarea
( )αcos12201 −⋅⋅⋅+= Rgvv .
Din a doua ecuaţie, punând condiţia 0=N şi înlocuind αϕ = , rezultă:
( )αα cos12cos 201 −⋅⋅⋅+=⋅⋅= RgvRgv
de unde seobţine unghiul de desprindere α :
Rg
v
⋅⋅+=
332cos
20α .
Obs. 1) Pentru obţinerea vitezei se poate aplica şi teorema energiei cinetice în formă
finită 2112 −=− LEE CC
unde: ( )20
212
21 vvmEE CC −⋅⋅=− ,
( )ϕcos121 −⋅⋅⋅=− RgmL . Egalând cele două expresii rezultă aceeaşi relaţie a vitezei punctului. Pentru a determina unghiul de desprindere α , este necesar să se scrie
ecuaţia diferenţială de mişcare pe direcţia normalei principale în care să fie impusă condiţia 0=N . 2) Se poate utiliza, de asemenea, teorema momentului cinetic OO MK =& ,
unde kRvmK O ⋅⋅⋅−= ,
kdtdvRmK O ⋅⋅⋅−=& ,
iar momentul rezultant este dat de forţa de greutate
kRgmM O ⋅⋅⋅⋅−= ϕsin . Egalând cele două expresii conform teoremei, se ajunge la aceeaşi ecuaţie diferenţială
ϕsin⋅= gdtdv ,
după care se continuă pe calea prezentată anterior.
R
M 0
m,t(M )
R
M 0
m,t(M )
1
2
R
M 0
m,t(M )
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
10
Un punct M de masă m descrie un cerc de rază R cu centrul în 1O , sub acţiunea unei forţe centrale având polul situate pe cerc în punctul O. Cunoscând viteza iniţială Ov a punctului în
poziţia A, diametral opusă polului O, să se determine:
a) expresia forţei centrale în funcţie de raza polară;
b) viteza punctului în funcţie de raza polară.
----------------------------------------------------------------------------------------- Se utilizează ecuaţia lui Binet care rezolvă determinarea, sub formă explicită, a ecuaţiei traiectoriei punctului material aflat în mişcare centrală, în
coordonate polare:
222
2
uCm
Fud
ud
⋅⋅−=+
ϕ,
unde: - u este o notaţie reprezentând
inversul razei polare r
u 1= ;
- ϕ reprezintă unghiul polar; - F reprezintă forţa centrală sub
acţiunea căreia se mişcă; - m reprezintă masa punctului; - C reprezintă constanta ariilor.
a) În cazul de faţă, traiectoria în coordonate polare sub formă explicită ( )ϕrr = poate fi definită, constanta ariilor C se poate determina din condiţiile
iniţiale date în enunţ, masa m constituie dată de intrare şi astfel poate fi calculată forţa centrală F sub acţiunea căreia se mişcă punctul. - ecuaţia polară a traiectoriei:
ϕsin2 ⋅⋅== ROMr , ⇒ ϕsin2
11⋅⋅
==Rr
u .
Urmeză:
ϕ
ϕϕ 2sin
cos
21 ⋅⋅
−=Rd
du,
ϕ
ϕ
ϕ 3
2
2
2
sin
cos1
21 +
⋅⋅
=Rd
ud ;
- constanta ariilor C reprezintă modulul produsului vectorial vr × şi se determină cu relaţia:
000 sinα⋅⋅= vrC
unde condiţiile ini ţiale (în punctual A) la momentul 20πϕ = sunt: Rr ⋅=20 ;
20πα = . Prin urmare,
02 vRC ⋅⋅= . Din ecuaţia lui Binet rezultă forţa centrală:
+⋅⋅⋅−= u
d
uduCmF
2
222
ϕ
5
20
432
r
vRmF
⋅⋅⋅−=
Obs. Semnul (-) arată că forţă centrală este de atracţie. b) În mişcarea centrală, componentele vitezei raportate la un sistem de coordonate polare, sunt:
ϕϕ ddu
Crd
dCrv R ⋅=
⋅== 1& ; uC
rCrv N ⋅=⋅=⋅= 1ϕ& .
Rezultă: 22
202
2
sin21
sin
cos
212
⋅⋅+
⋅
⋅−⋅⋅⋅=+
⋅=
ϕϕ
ϕϕ RR
vRuddu
Cv
2
024
r
vRv
⋅⋅= .
m,t(M )
O1
A
Rm,t(M )
r
O1
A
R
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
11
La ce altitudine trebuie plasat şi ce viteză trebuie să aibă un satelit geostaţionar? Se cunoaşte masa kgM 24106⋅= a Pământului, raza R=6378 km a
Pământului şi constanta 221110672,6 −− ⋅⋅⋅= kgmNk a atracţiei universale. ------------------------------------------------------------------------------------- Un satelit geostaţionar se află pe o orbită circulară, situată în planul ecuatorial al Pământului, la o altitudine h şi are viteza unghiulară ω egală cu viteza unghiulară a Pământului.
Se utilizează ecuaţia fundamentală a dina-micii mişcării absolute
Fam =⋅ , unde m reprezintă masa satelitului ce se mişcă cu acceleraţia a sub acţiunea unei forţe F , considerată a fi forţa de atracţie universală. Aceasta prezintă expresia
( )2hR
MmkF+⋅⋅−= ,
în care: - k – constanta atracţiei universale; - M – masa Pământului; - R – raza Pământului; - h – altitudinea la care este plasat satelitul.
Viteza satelitului va fi ( )hRv S +⋅=ω .
Proiecţia ecuaţiei fundamentale pe direcţia normalei principale a unui sistem intrinsec de coordonate este:
ϑϑ Fam =⋅ sau
( ) 2
2
hR
Mmk
hR
vm S
+⋅⋅=
+⋅ .
Înlocuind expresia lui Sv , rezultă înălţimea h la care trebuie plasat satelitul
RMkh −⋅= 32ω
.
Considerând valorile numerice - R=6378 km, - kgM 24106⋅= ,
- 221110672,6 −− ⋅⋅⋅= kgmNk ,
- [ ][ ]sec360024
2 rad
⋅⋅= πω ,
rezultă
kmh 924.35= , respectiv skmvS 076,3= .
O
S
R
h
ecuator
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
12
Un satelit artificial se mişcă pe o orbită circulară la înălţilea h deasupra Pământului. Să se calculeze viteza şi perioada de revoluţie ale satelitului artificial. -------------------------------------------------------------------------------------- Se utilizează ecuaţia lui Binet care rezolvă determinarea, sub formă explicită, a ecuaţiei traiectoriei punctului material aflat în mişcare centrală, în coordonate polare:
222
2
uCm
Fud
ud
⋅⋅−=+
ϕ,
unde: - u este o notaţie reprezentând
inversul razei polare r
u 1= ;
- ϕ reprezintă unghiul polar; - m reprezintă masa satelitului; - C reprezintă constanta ariilor. - F reprezintă forţa centrală sub acţiunea căreia se mişcă satelitul, considerată a fi forţa de atracţie universală. Aceasta prezintă expresia
( )2hR
MmkF+⋅⋅−= ,
în care: - k – constanta atracţiei universale; - M – masa Pământului; - R – raza Pământului; - h – altitudinea la care este plasat satelitul.
a) În cazul de faţă raza polară r este o mărime constantă, deci
cthRr
u =+
== 11 .
Prin urmare,
0=ϕd
du respectiv 02
2
=ϕd
ud
şi ecuaţia lui Binet devine:
( )22
2
2
1
1
C
Mk
hRCm
hR
Mmk
hR⋅=
+
⋅⋅
+⋅⋅−
−=+
,
de unde ( )hRMkC +⋅⋅= .
Constanta atracţiei universale k se poate determina observând că, la suprafaţa Pământului unde h=0, forţa de atracţie este egală cu greutatea:
gmGF ⋅== , g reprezentând acceleraţia gravitaţională. Prin urmare se poate scrie relaţia:
gmR
Mmk ⋅=⋅⋅2
de unde rezultă
M
gRk
⋅=
2
.
Înlocuind în expresia constantei ariilor C, se obţine ( )hRgRC +⋅⋅= .
În mişcarea centrală, componentele vitezei raportate la un sistem de coordinate polare, sunt:
ϕϕ dduC
rddCrvR ⋅=
⋅== 1
& ; uCr
Crv N ⋅=⋅=⋅= 1ϕ& .
Rezultă:
( )hR
hRgRuCuCudduCv
+⋅+⋅⋅=⋅=+⋅=+
⋅= 10 22
2
ϕ
hR
gRv
+⋅= .
b) Perioada de revoluţie reprezintă timpul necesar pentru a parcurge o circumferinţă. Viteza fiind constantă, perioada va fi:
( )v
hRT
+⋅⋅=
π2;
( )g
hR
RT
32 +
⋅⋅= π .
Obs. Perioada mişcării de revoluţie se poate calcula şi pornind de la definirea constantei ariilor:
( )dt
dhRrC
ϕϕ ⋅+=⋅= 22& .
Rezultă
O
S
r
Rh
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
13
( ) ϕdhRdtC ⋅+=⋅ 2 . Prin integrare obţinem
( ) ∫∫⋅
⋅+=⋅π
ϕ2
0
2
0
dhRdtCT
de unde, ( ) ( )
g
hR
RC
hRT
32222 +
⋅⋅=+⋅
= ππ.
Să se determine poziţiile de echilibru relativ şi corespunzător forţele de legătură, ale unui punct material greu de masă m, care poate aluneca fără frecare pe un cerc de rază R ce se roteşte în jurul diametrului său vertical AB cu viteza unghiulară constantă ω . ----------------------------------------------------------------- În lipsa mişcării relative ( 0=rv şi 0=ra ), ecuaţia
fundamentală a dinamicii mişcării relative
jcjtr FFRam ++=⋅
se transformă în condiţia de repaus relativ 0=+ jtFR
unde: ( ) kgmNiNgmNR ⋅⋅−⋅+⋅⋅−=⋅+= αα cossin ,
iRmamF tjt ⋅⋅⋅⋅=⋅−= αω sin2
Scalarizând condiţia de echilibru relativ se obţin ecuaţiile:
=⋅−⋅=⋅⋅⋅+⋅−
0cos0sinsin 2
gmNRmN
ααωα .
Din a doua ecuaţie se obţine
αcos
gmN
⋅=
care se introduce în prima şi rezultă
0sinsincos
2 =⋅⋅⋅+⋅⋅
− αωαα
Rmgm
( ) 0cossin 2 =−⋅⋅⋅ gR αωα . Pentru 0sin =α rezultă poziţiile
01 =α şi πα =2 ,
iar pentru 0cos2 =−⋅⋅ gR αω ,
R
g
⋅±=
24,3 arccosω
α
cu condiţia ca 12
<⋅R
g
ω, adică
R
g>ω .
Corespunzător acestor poziţii se obţin reacţiunile normale:
gmN ⋅=1 ; gmN ⋅−=2 ;
R
g
gmN
⋅
⋅=
2
4,3
cosω
B
A
R
m(M )
O
B
A
Rr
m(M )
O
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
14
Un punct material greu de masă m se poate mişca între două plane verticale lucii, foarte apropiate, care la rândul lor se rotesc cu viteza unghiulară constantă ω în jurul unei axe verticale situată în planul median al celor două plane. Dacă la momentul iniţial punctul se află în repaus relativ în raport cu planele, la distanţa 0x , să se
determine: a) ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sale
relative; b) ecuaţia carteziană a traiectoriei relative; c) reacţiunea normală a planelor.
-------------------------------------------------------------------------------- În prealabil se izolează punctul şi se întocmeşte schema forţelor date, de
legătură şi inerţiale ce acţionează asupra lui, având în vedere relaţiile de definiţie cunoscute pentru acceleraţia de transport şi acceleraţia Coriolis. Pentru sensul de rotaţie considerat, punctul apasă asupra planului ( )1P . Se utilizează ecuaţia fundamentală a dinamicii mişcării relative
jcjtr FFRam ++=⋅
în care: kzixa r ⋅+⋅= &&&& ,
jNkgmNgmR ⋅+⋅⋅=+⋅= ,
ixmamF tjt ⋅⋅⋅=⋅−= 2ω ,
( ) jxmkzixkmvmamF rcjc ⋅⋅⋅⋅−=⋅+⋅×⋅⋅⋅−=×⋅⋅−=⋅−= &&& ωωω 222 .
Scalarizând această ecuaţie vectorială, se obţin ecuaţiile diferenţiale:
⋅=⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅=⋅
gmzmxmNxmxm
&&
&
&&
ωω
20
2
.
Pentru prima ecuaţie pusă sub forma 02 =⋅− xx ω&&
ecuaţia caracteristică este 022 =−ωλ , de unde ωλ ±=2,1 . Soluţia ecuaţiei
diferenţiale este deci tt eCeCx ⋅−⋅ ⋅+⋅= ωω
21
tt eCeCx ⋅−⋅ ⋅⋅−⋅⋅= ωω ωω 21& . Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul 0=t
având
==
00
xxx
&. Rezultă 2
021
xCC == cu care se obţine legea de mişcare şi
componenta de viteză după axa Ox: tchxx ω⋅= 0 , tshxx ωω ⋅⋅= 0& .
Din a doua ecuaţie diferenţială rezultă reacţiunea normală tshxmN ωω ⋅⋅⋅⋅= 0
22 . Cea de a treia ecuaţie diferenţială, prin integrare,conduce la
3Ctgz +⋅=& ,
43
2
2CtC
tgz +⋅+
⋅= .
Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul 0=t
având
==
00
zz&
. Rezultă 043 ==CC cu care se obţine legea de mişcare după axa
Oz:
2
2tgz
⋅= .
Prin eliminarea timpului între cele două ecuaţii parametrice de mişcare se obţine ecuaţia carteziană a traiectoriei:
⋅⋅⋅=gzchxx 2
0 ω .
x0
m,t(M )
Ox
0
x
r
z
m,t(M )
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
15
Planul înclinat din figura alăturată (pană) se deplasează pe direcţia orizontală cu acceleraţia 0a constantă. Pe planul înclinat se află un punct material de
masă m legat de un resort de constantă elastică k şi lungime 0l în stare
neîntinsă. Cosiderând că punctul se deplasează pe planul înclinat cu frecare, coeficientul frecării de alunecare fiind µ , să se determine:
a) legea de mişcare relativă a punctului pe planul înclinat, presupunând că la momentul iniţial arcul este nedeformat şi viteza relativă faţă de plan este nulă;
b) momentul 1t al primei opriri;
c) coordonata 1x în momentul primei opriri;
d) valoarea minimă a acceleraţiei 0a pentru
care punctul nu coboară după prima oprire. -------------------------------------------------------------
a) Se consideră că punctul, care are faţă de pană o mişcare relativă, în prima fază urcă pe planul înclinat. În prealabil se izolează punctul şi se întocmeşte schema forţelor date, de legătură şi inerţiale ce acţionează asupra lui, având în vedere relaţiile de definiţie cunoscute pentru acceleraţia de transport şi acceleraţia Coriolis. Se utilizează ecuaţia fundamentală
a dinamicii mişcării relative
jcjtr FFRam ++=⋅
în care: ixar ⋅= && ;
( )[ ] ( ) jgmNiNlxkgmTNFgmR e ⋅⋅⋅−+⋅⋅+−+⋅⋅−=+++⋅= αµα cossin 0 ; jamiamamF tjt ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅−= αα sincos 00 ;
0=jcF .
După scalarizare pe axele sistemului considerat, se obţin ecuaţiile diferenţiale scalare de mişcare relativă
( )
⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅+⋅−−⋅−⋅⋅−=⋅
αααµα
sincos0
cossin
0
00
amgmN
amNlxkgmxm &&.
În prima ecuaţie se înlocuieşte valoarea reacţiunii normale din a doua ecuaţie şi
se introduce notaţia mkp= . Se ajunge astfel la forma
( ) ( )αµααµα cossinsincos0022 ⋅+⋅−⋅−⋅+⋅=⋅+ galpxpx&& .
Soluţia acesteia este
( ) ( )αµααµα cossinsincossincos22
0021 ⋅+⋅−⋅−⋅++⋅+⋅=
p
g
p
alptCptCx ,
ptpCptpCx cossin 21 ⋅⋅+⋅⋅−=& . Constantele de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul 0=t
având
==
00
xlx
&. Rezultă ( ) ( )
⋅+⋅−⋅−⋅−= αµααµα cossinsincos
22
01
p
g
p
aC , 02 =C
cu care se obţine legea de mişcare relativă la urcare:
( ) ( ) ( )ptp
g
p
alx cos1cossinsincos
22
00 −⋅
⋅+⋅−⋅−⋅+= αµααµα .
La coborâre sensul forţei de frecare se inversează şi ecuaţia diferenţială de mişcare relativă capătă forma
( ) ( )αµααµα cossinsincos0022 ⋅−⋅−⋅+⋅+⋅=⋅+ galpxpx&&
b) La momentul 1t al primei opriri se anulează viteza relativă, adică 0=x& şi
rezultă 0sin 1 =pt adică
pt π=1 .
c) La acelaşi moment 1t punctul ajunge în poziţia 1x
( ) ( ) ( )
⋅+⋅−⋅−⋅⋅+== αµααµα cossinsincos2
22
0011
p
g
p
altxx .
d) Pentru a afla valoarea minimă a acceleraţiei 0a la care punctul nu coboară
după prima oprire din poziţia 1x , se impune condiţia
0== xar && sau condiţia de repaus relativ în această poziţie:
0=+ jtFR ,
care conduce la ecuaţiile scalare ( )
=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅+⋅+−⋅−⋅⋅−
0sincos
0cossin
0
001
αααµα
amgmN
amNlxkgm
de unde ( ) ( ) 0cossincossin 0001 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+−⋅−⋅⋅− αααµα amamgmlxkgm .
Înlocuind 1x , rezultă
αµααµα
sin3cos
cos3sin0 ⋅⋅−
⋅⋅+⋅= ga .
a0
0(µ)
mg
Fjt
NT0
x-
Fe
a0
mg
Fjt
N
T
Fe
α
0
0x-
O
a =at 0
ar
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
16
Se consideră sistemul din figură, compus din bara omogenă AB de lungime 2l şi masă mM ⋅=3 şi punctele materiale A şi B de mase egale mmm BA == . Sistemul pleacă din repaus din poziţia definită de unghiul α . Se cere:
a) momentul de inerţie mecanic al sistemului în raport cu centrul de masă al acestuia;
b) ecuaţia diferenţială a mişcării sistemului în funcţie de parametrul ϕ ;
c) viteza unghiulară ϕω &= în funcţie de unghiul ϕ ; d) valoarea unghiului ϕ pentru care bara se
desprinde de pe peretele vertical. ------------------------------------------------------------------- a) Se însumează momentele de inerţie pentru cele trei elemente componente
ale sistemului material şi rezultă ( ) ( ) 2
222
2
212
23
12
2lm
lmlmlm
lMJ BAC ⋅⋅+
⋅⋅⋅=⋅+⋅+
⋅⋅=∆
23 lmJ C ⋅⋅=∆ . b) Se izolează sistemul şi se întocmeşte schema forţelor date, şi de legătură ce acţionează asupra lui. Se aleg sistemele de referinţă ca în figură, astfel încât axele Cx şi Cy ale sistemului mobil reprezintă axe principale şi
centrale de inerţie. În aceste condiţii sistemul ecuaţiilor diferenţiale scalare de mişcare plană este:
⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅−=⋅⋅
=⋅⋅
∆ ϕϕϕ cossin
55
5
1
1
lNlNJ
gmNym
Nxm
ABC
BC
AC
&&
&&
&&
.
Conform figurii, se exprimă coordonatele centrului de greutate al barei în funcţie de unghiul de mişcare ϕ şi se derivează succesiv în raport cu timpul:
⋅=⋅=
ϕϕ
cos
sin
1
1
ly
lx
C
C ;
⋅⋅−=⋅⋅=
ϕϕϕϕ
sin
cos
1
1
&&
&&
ly
lx
C
C ;
⋅−⋅−=
⋅−⋅⋅=
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
cossin
sincos2
1
21
&&&&&
&&&&&
lly
llx
C
C .
Cu ajutorul acestor expresii, se exprimă reacţiunile normale în punctele A şi B din primele două ecuaţii diferenţiale de mişcare şi se înlocuiesc în cea de a treia. Astfel se obţine ecuaţia diferenţială a mişcării sistemului în funcţie de parametrul ϕ :
0sin85 =⋅⋅− ϕϕ
l
g&& .
c) Relaţia de mai sus se înmulţeşte cu ϕd şi se integrează:
ϕϕϕϕ
dl
gd
dt
d⋅⋅⋅=⋅ sin
85&
;
ϕϕωω dl
gd ⋅⋅⋅=⋅ sin
85 ;
Cl
g+⋅⋅−= ϕω cos
452 .
Constanta de integrare se determină din condiţiile ini ţiale, la momentul 0=t
având
==
0ωαϕ
. Rezultă αcos45 ⋅⋅=
l
gC , cu care se obţine viteza unghiulară
ϕω &= în funcţie de unghiul ϕ :
( )ϕαω coscos2
5 −⋅⋅=l
g.
d) Condiţia de desprindere este ca 0=AN , de unde rezultă: 01 =Cx&&
adică ϕϕϕϕ sincos 2 ⋅⋅=⋅⋅ &&& ll ,
( ) ϕϕαϕϕ sincoscos45cossin
85 ⋅−⋅=⋅⋅⋅
l
g
l
g,
ϕαϕ coscoscos21 −=⋅ ,
⋅= αϕ cos32arccos .
α
2ϕ
B
A
ϕ
5mg
A
B
C
x C1
yC1
ϕ
O1
NA
NB
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
17
Pentru sistemul de corpuri din figură se cunoaşte: - corpul (1) este articulat cilindric în O, are masa MM ⋅= 41 şi momentul de
inerţie mecanic în raport cu punctul O, 21 10 RMJ O ⋅⋅= ;
- corpul (2) este un disc omogen de rază Rr ⋅=22 şi masă MM =2 , articulat cilindric în C de corpul (3) şi este legat prin intermediul unei transmisii cu fir de corpul (1); - corpul (3) are masa MM =3 şi poate aluneca cu frecare pe o suprafaţă
orizontală, coeficientul frecării de alunecare fiind µ . Considerând corpul (1) acţionat de un cuplu
RgMM O ⋅⋅⋅= 4 , să se
determine acceleraţia corpului (3) şi tensiunile în cele două ramuri ale firului. -------------------------------------------------------------------------- Se izolează corpurile ca în figură, se introduc forţele date şi de legătură
exterioare şi interioare ale sistemului, după care se utilizează teorema mişcării centrului de masă şi teorema momentului cinetic, separat pentru corpul (1), respectiv pentru corpurile (2) şi (3) împreună.
RaM C =⋅ ; OO MK =& . -corpul 1- -corpurile 2-3
⋅−⋅+=⋅⋅⋅−=−+=
RSRSMJ
gMV
HSS
OO 3
40
0
1211
21
ε;
⋅−⋅=⋅−⋅⋅=−+=⋅⋅
RSRSJ
NgM
TSSaM
C 22
20
2
2122
213
ε.
Sistemul prezintă un singur grad de libertate şi legătura între parametrii cinematici 3a , 1ε şi 2ε se poate face analizând tipul de mişcare executat de
către fiecare corp: - (1) execută o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară 1ω în jurul punctului O;
- (2) execută o mişcare plană cu viteza Cv a centrului său de masă şi viteza
unghiulară 2ω , sau o mişcare relativă de rotaţie cu 2ω faţă de axa din C care asigură mişcarea de transport;
- (3) execută o mişcare de translaţie rectilinie cu viteza Cvv =3 .
Astfel, pot fi scrise relaţiile: BA vRv =⋅= 31ω
ED vRv =⋅= 1ω Pe de altă parte
⊕⋅=⋅=IEv
IBv
E
B
2
2
ωω
( )IEIBvv EB +⋅=+ 2ω sau
RRR 43 211 ⋅=⋅+⋅ ωωω de unde rezultă
12 ωω = . De asemenea, se observă că
RRRvvvv
v DAEBC ⋅=
⋅−⋅=
−=
−= 1
11
2
3
22ω
ωω,
deci Rvv C ⋅== 13 ω .
Prin urmare,
R
v321 ==ωω .
Derivând în raport cu timpul rezultă
R
a321 ==εε .
Cu acest rezultat şi având în vedere că
NT ⋅=µ iar ( )2
2 2
2RM
J C
⋅= ,
din cele şase ecuaţii scalare se obţin:
ga ⋅−
=7
23
µ; gMS ⋅⋅
⋅+=
14
1161
µ; gS ⋅
⋅+=
14
1322
µ.
OR
3R
MO
1
2R
C
3
2
A
D
B
E
(µ)
OR
3R
MO
4Mg1
V
H
S1
S2
ε1
2R
C
NT
3
22Mg
S1
S2
ε2
A
D
B
E
a =a3
OR MO
1
ω1 C
2
E
B
ω2
A
D
B
E
I
2RR
R
D
A
2R3R
= 3
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
18
Se consideră sistemul de corpuri omogene din figură, alcătuit dintr-un disc de rază R şi greutate G de care este articulată o bară OA de greutate P . Discul se poate rostogoli fără alunecare pe un plan înclinat cu unghiul α faţă de orizontală, coeficientul frecării de rostogolire fiind s, iar cel al frecării de alunecare µ . Bara se sprijină cu capătul A pe planul înclinat, coeficientul frecării de alunecare fiind tot µ şi închide unghiul α cu planul înclinat. Să se determine acceleraţia centrului O al discului şi reacţiunile exterioare şi interioare ale sistemului. ------------------------------------------------ Se aplică principiul lui d’Alembert. În prealabil se izolează corpurile şi se introduc forţele şi momentele date şi de legătură exterioare şi interioare sistemului material. În continuare, se introduc elementele torsorului forţelor de inerţie în centrul de greutate al fiecărui corp tinând seama de modul în care se
mişcă sistemul, după care se stabilesc relaţiile de legătură între
parametrii cinematici cu care se mişcă
diversele elemente. În final, se scriu ecuaţiile scalare de echilibru pentru fiecare
element component al sistemului, din care se determină mărimile cerute în problemă. -corpul 1- -corpul 2-
⋅=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅
=+⋅−=−−⋅+
AA
AA
A
jA
NT
lN
lT
lH
lV
NPV
RTPH
µ
αααα
αα
0cos2
sin2
sin2
cos2
0cos
0sin 1
,
⋅≤⋅≤
=⋅−+=+−⋅−
=−−−⋅
Br
BB
Brj
B
jB
NsM
NT
RTMM
NVG
RTHG
µ
αα
0
0cos
0sin
2
2
.
Elementele torsorului forţelor de inerţie sunt:
agPR j ⋅=1 , a
gGR j ⋅=2 , εε ⋅⋅=⋅= ∆ 2
2
2R
gGJM Oj .
Legătura între parametrii cinematici se stabileşte astfel:
Rv=ω ,
Ra
Rv === &
&ωε .
Rezultă în final:
( ) ( )
PG
ctgRs
Pctg
Rs
PRsG
ga+⋅
+⋅
−⋅+
+
−−⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
⋅=
23
2sin1cossincossin
αµ
µ
ααµ
µαµααα
;
( )
( )αµ
αµαα
ctg
PPagP
V+⋅
⋅−⋅⋅−+⋅=
2
cossin2sin
; ( )αµαµ cossin ⋅−⋅−⋅−⋅= PVagPH ;
VPN A −⋅= αcos ; ( )VPTA −⋅⋅= αµ cos ; VGN B +⋅= αcos ; ( )VGTB +⋅⋅= αµ cos .
αα B
A
R(µ,s)
(µ)
1
2
O
P
G
C
G
P
V
H
HV
N
T
A
A
NB
TB
M r
A
B
O
O
CM j2
R j1
R j2
αa aC
a
a
ω
R
ε
α
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
19
O placă triungiulară omogenă OAB de masă M şi catete de lungime l, se poate roti în jurul catetei verticale cu viteza unghiulară constantă ω . Placa este articulată cilindric în O şi simplu rezemată în B. Să se determine valoarea vitezei unghiulare ω pentru care reacţiunea din B se anulează. Se neglijează frecările şi rezistenţa aerului. ----------------------------------------------------------------- Se aplică principiul lui d’Alembert. În prealabil se izolează corpul şi se introduc forţele şi momentele
date şi de legătură , precum şi forţele de inerţie. ce acţionează rigidul. Pentru calculul forţei de inerţie se consideră un element de arie
dxydS ⋅= aflat la distanţa x faţă de axa de rotaţie. Forţa de inerţie elementară, corespunzătoare acestuia, va fi
xdSl
MxdSxdmdF Sj ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= 2
2
22
2
ωωρω ,
xdxyl
MdF j ⋅⋅⋅⋅⋅= 2
2
2 ω .
Ecuaţia dreptei AB în sistemul de referinţă Oxy este xly −= şi astfel rezultă
( ) dxxxll
MdF j ⋅⋅−⋅⋅⋅=2
22 ω .
Forţa de inerţie totală se calculează ca rezultantă a forţelor de inerţie elementare
( )∫⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅⋅=
l
jlMdxxxl
l
MF0
2
2
2
32 ωω .
Pentru a determina distanţa h la care acţionează forţa de inerţie totală, se observă ca forţele de inerţie elementare sunt paralele şi au o rezultantă unică, prin urmare este valabilă teorema Varignon conform căreia
∫ ⋅=⋅ jj dFy
Fh2
,
de unde
( )
4
3
2
2
02
2
l
lM
dxxxll
M
h
l
=⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅
=∫
ω
ω
.
În continuare, se scriu ecuaţiile scalare de echilibru din care se determină mărimea cerută în problemă.
=⋅−⋅−⋅⋅
=⋅+=+−
03
0
0
hFlNlgM
gMV
FHN
j
j
.
Din a treia ecuaţie se calculează N
⋅−⋅=⋅⋅−⋅
=43433
22 lgMlMgMN ωω
iar din condiţia ca N=0 rezultă valoarea vitezei unghiulare ω pentru care reacţiunea din B se anulează:
l
g⋅=2ω .
Obs. Din celelalte două ecuaţii pot fi calculate componentele reacţiunii din O în funcţie de viteza unghiulară. Astfel rezultă:
gMV ⋅−= ;
343
22 ωω ⋅⋅+
⋅−⋅=+= lMlgMFNH j
43
2 lMg
MH ⋅⋅+⋅= ω .
dFj
Mg
Fj
ω
A
HC
h y
x dx
B
V
H
N
dS
O
ω
A O
B
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
20
Bara omogenă OA de greutate P este articulată plan în O iar la capătul A este prinsă cu un fir perfect flexibil şi inextensibil petrecut peste un scripete mic B. La capătul firului este agăţată o greutate Q . Se cunosc lungimile OA=OB=a şi lungimea firului l. Să se determine unghiul ϕ pentru poziţia de echilibru. --------------------------------------------------------------- Se aplică principiul lucrului mecanic virtual în cazul
echilibrului static ( )∑ ∑ =⋅+⋅+⋅=⋅= 0iiziiyiixii zFyFxFrFL δδδδδ .
În situaţia de faţă jQQ ⋅−= ; jPP ⋅−= ;
jyixr QQQ ⋅+⋅= ⇒ jyixr QQQ ⋅+⋅= δδδ ;
jyixr PPP ⋅+⋅= ⇒ jyixr PPP ⋅+⋅= δδδ . Înlocuind rezultă
0=⋅−⋅−= PQ yPyQL δδδ .
Conform datelor problemei,
⋅⋅−−= 2sin2 ϕalayQ ⇒ δϕϕδ ⋅⋅= 2cosayQ ;
ϕcos21 ⋅⋅= ay P ⇒ δϕϕϕδϕϕδ ⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−= 2cos2sinsin
21 aayP .
Se obţine astfel ecuaţia
02sin2cos =
−⋅⋅ QP ϕϕ
cu soluţiile:
02cos =ϕ ⇒ πϕ =1 - echilibru instabil;
02sin =−⋅ QP ϕ ⇒ P
Qarcsin22 ⋅=ϕ - cu condiţia PQ≤ .
Q
PO
A
B
ϕ
Q
PO
A
B
ϕ
δyP
δyQ
y P
y Q
a
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
21
Barele omogene OA şi OB de lungimi 1l şi 2l
având greutăţile G şi Q , articulate plan în O şi A, sunt activate în A şi B de forţele orizontale de modul constant 1F şi 2F .
Să se determine unghiurile 1ϕ şi 2ϕ corespunzătoare configuraţiei de echilibru a sistemului. ---------------------------------------------------------- Se aplică principiul lucrului mecanic virtual
în cazul echilibrului static
( )∑ ∑ =⋅+⋅+⋅=⋅= 0iiziiyiixii zFyFxFrFL δδδδδ .
În situaţia de faţă jGG ⋅= ; jQQ ⋅= ;
iFF ⋅= 11 ; iFF ⋅= 22 ; jyixr GGG ⋅+⋅= ⇒ jyixr GGG ⋅+⋅= δδδ ; jyixr QQQ ⋅+⋅= ⇒ jyixr QQQ ⋅+⋅= δδδ ;
jyixr FFF ⋅+⋅=111
⇒ jyixr FFF ⋅+⋅=111
δδδ ;
jyixr FFF ⋅+⋅=222
⇒ jyixr FFF ⋅+⋅=222
δδδ .
Înlocuind rezultă 0
21 21 =⋅+⋅+⋅+⋅= FFQG xFxFyQyGL δδδδδ .
Conform datelor problemei,
11 cos2
ϕ⋅=l
yG ⇒ 111 sin2
δϕϕδ ⋅⋅−=l
yG ;
22
11 cos2
cos ϕϕ ⋅+⋅=l
lyQ ⇒ 222
111 sin2
sin δϕϕδϕϕδ ⋅⋅−⋅⋅−=l
lyQ ;
11 sin1
ϕ⋅=lxF ⇒ 111 cos1
δϕϕδ ⋅⋅=lxF ;
2211 sinsin2
ϕϕ ⋅+⋅= llxF ⇒ 222111 coscos2
δϕϕδϕϕδ ⋅⋅+⋅⋅= llxF .
Se obţine astfel ecuaţia
0cossin2
coscossinsin2
222222
11121111111
=⋅
⋅⋅+⋅⋅−+
+⋅
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−
δϕϕϕ
δϕϕϕϕϕ
lFl
Q
lFlFlQl
G
Impunând condiţiile 01 ≠δϕ şi 02 =δϕ , respectiv 01 =δϕ şi 02 ≠δϕ , rezultă sistemul
=⋅⋅+⋅⋅−
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−
0cossin2
0coscossinsin2
22222
1121111111
ϕϕ
ϕϕϕϕ
lFl
Q
lFlFlQl
G,
din care se găsesc valorile unghiurilor pentru poziţia de echilibru:
QG
FFtg
+
+=
2
211ϕ ,
Q
Ftg 2
2
2⋅=ϕ .
Q
G
C1
C2
A
B
F1
F2
ϕ1
ϕ 2
O
1
2
Q
G
C1
C2
A
B
F1
F2
ϕ1
ϕ 2
y Q
x
y G
x
O
F1
F2
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
22
O
A
O bară omogenă articulată în O este îndepărtată de verticală cu unghiul α şi este lăsată să cadă liber, fără viteză iniţială. După ce loveşte piedica din A, bara se depărtează de verticală cu unghiul β . Să se determine coeficientul de restituire la ciocniri. ------------------------------------------------------------------------------
Pentru calculul coeficientului de restituire se utilizează relaţia
21
12
vv
uue
−−
= ,
în care: - indicele 1 se referă la corpul care ciocneşte; - indicele 2 se referă la corpul ciocnit; - cu v sunt notate vitezele înainte de ciocnire; - cu u sunt notate vitezele după ciocnire. Bara intră în ciocnire cu viteza unghiulară 1ω şi iese
din ciocnire cu viteza unghiulară 2ω . Cu notaţiile din figură şi având în vedere că cele două viteze unghiulare au
sensuri contrare, coeficientul de restituire are expresia
1
2
1
1
ωω
=−=v
ue .
Pentru aflarea vitezelor unghiulare 1ω şi 2ω se aplică teorema de variaţie a energiei cinetice înainte şi după ciocnire:
2112 −=− LEE CC . a) înainte de ciocnire bara porneşte de la unghiul α , fără viteză iniţială, şi ajunge în A cu viteza unghiulară 2ω . Prin urmare 01 =CE şi rezultă
212 −=LEC
b) după ciocnire bara porneşte din A cu viteza unghiulară 2ω şi se opreşte la unghiul β .
Astfel, 02 =CE şi rezultă
211 −=− LEC Coeficientul de restituire este deci
2sin
2sin
cos1
cos1
α
β
αβ
=−−
=e
O bilă cade de la o înălţime h pe un plan orizontal fix.După a doua ciocnire cu planul bila, sărind, atinge înălţimea 2/h . Să se determine coeficientul de restituire la ciocniri. ------------------------------------------------------------------------------- Pentru calculul coeficientului de restituire se utilizează relaţia
21
12
vv
uue
−−
= ,
în care: - indicele 1 se referă la corpul care ciocneşte; - indicele 2 se referă la corpul ciocnit; - cu v sunt notate vitezele înainte de ciocnire; - cu u sunt notate vitezele după ciocnire. Vitezele înainte şi după ciocnire se determină cu ajutorul teoremei de variaţie a energiei cinetice
2112 −=− LEE CC . a) înainte de prima ciocnire bila pleacă din repaus de la înălţimea h, prin urmare 01 =CE şi rezultă
212 −=LEC b) după prima ciocnire bila pleacă cu viteza 1u şi
ajunge în repaus la înălţimea x, prin urmare 02 =CE şi
rezultă 211 −=− LEC
Asemănător, bila intră în a doua ciocnire cu viteza 1/1 uv = şi iese cu viteza
22/1
hgu ⋅⋅= .
Prin urmare, pentru prima ciocnire coeficientul de restituire este
hg
xge
⋅⋅
⋅⋅−=
2
2
iar pentru a doua ciocnire acelaşi coeficient este
hge
hg
xg
hge
⋅⋅⋅−
⋅−=
⋅⋅
⋅−=
22,
de unde 2
12 =e ; ⇒ 4 2
1=e .
( )αω cos21 2
1 ⋅−⋅=⋅∆ llGJ O
( )OJ
lG
∆
−⋅⋅⋅=
αω
cos121
( )βω cos21 2
2 ⋅−⋅−=⋅− ∆ llGJ O
( )OJ
lG
∆
−⋅⋅⋅=
βω
cos122
12
l
A
v = 0 v = h2 1 1
u = 0 u = h2 1 2
h
hgmvm ⋅⋅=⋅ 212
1
hgv ⋅⋅= 21
xgmum ⋅⋅−=⋅− 212
1
xgu ⋅⋅= 21
h
h/2
h
x
h/2
v = 2 g h 1
u = 2 g x 11
2v = 02
u = 02
v = u 1
u = 2 g h/2 1
v = 02
u = 02
1
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
23
O bară omogenă de lungime l şi masă Mse poate roti într-un plan vertical în jurul articulaţiei O. Bara este lăsată să cadă liber din poziţia orizontală şi, când ajunge în poziţie verticală ciocneşte un corp de masă m aşezat pe un plan orizontal aspru. Cunoscând coeficientul de restituire la ciocnire e şi coeficientul frecării de alunecare µ dintre corp şi planul orizontal, să se determine vitezele unghiulare ale barei ω şi ω ′ înainte şi după ciocnire, viteza 2u a corpului după ciocnire şi distanţa x parcursă de acesta pe planul orizontal până la oprire. ----------------------------------------------------- Se notează:
- cu v vitezele înainte de ciocnire; - cu u vitezele după ciocnire; - indicele 1 se referă la corpul care ciocneşte; - indicele 2 se referă la corpul ciocnit.
a) Pentru aflarea vitezei unghiulare ω cu care bara intră în ciocnire, se aplică acesteia teorema de variaţie a energiei cinetice înainte de ciocnire:
2112 −=− LEE CC . Bara porneşte din repaus şi ciocneşte corpul cu viteza unghiulară ω . Prin urmare 01 =CE
şi rezultă 212 −=LEC .
de unde
l
g⋅=
3ω .
b) Pentru a afla viteza unghiulară ω ′ a barei după ciocnire se aplică teorema momentului cinetic în timpul ciocnirii, în raport cu articulaţia din O
∑=
×=−n
iiiOO HrKK
112 .
Percuţii exterioare date nu există, singura percuţie exterioară ciocnirii (de legătură) este OH al cărei moment în raport cu polul O este nul. Prin urmare,
după scalarizare pe axa Oz, perpendiculară în O pe planul mişcării, relaţia devine
012 =− zz KK .
La începutul ciocnirii corpul (2) stă pe loc, deci 1zK aparţine barei: ω⋅= ∆Oz JK 1 .
La sfârşitul ciocnirii ambele corpuri se află în mişcare, deci lumJK Oz ⋅⋅+′⋅= ∆ 22 ω .
Rezultă 02 =⋅−⋅⋅+′⋅ ∆∆ ωω OO JlumJ .
Viteza 2u a corpului (2) după ciocnire poate fi exprimată cu ajutorul coeficientului re restituire la ciocniri care este cunoscut. Astfel, din expresia acestuia
02
21
12
−⋅⋅′−
=−−
=l
lu
vv
uue
ωω
se obţine lleu ⋅′+⋅⋅= ωω2
cu care ( ) 0=⋅−⋅⋅′+⋅⋅⋅+′⋅ ∆∆ ωωωω OO JlllemJ
şi din care rezultă viteza unghiulară ω ′ a barei după ciocnire
l
g
mMemM ⋅
⋅⋅+
⋅⋅−=′3
33ω .
c) Viteza 2u a corpului (2) după ciocnire
⋅+
⋅⋅−+⋅⋅=⋅′+⋅⋅=mM
emMellleu3
32 ωωω
( )mM
eMlgu
⋅++⋅
⋅⋅⋅=3
132
d) Pentru a afla mărimea x a deplasării corpului pe planul orizontal se aplică acestuia teorema de variaţie a energiei cinetice după ciocnire:
2112 −=− LEE CC .
Corpul iese din ciocnire cu viteza 2u şi se deplasează până la oprire. Prin urmare 02 =CE şi rezultă
211 −=− LEC . Lucrul mecanic este efectuat de către forţa de frecare
gmNT ⋅⋅=⋅= µµ de unde
g
ux
⋅⋅=
µ2
22 ; ⇒
( ) 2
3
1
23
⋅++⋅
⋅⋅⋅=
mM
eMlxµ
x
ω ω
u2
O
(µ)
221 2 lgMJ O ⋅⋅=⋅∆ ω
xgmum ⋅⋅⋅−=⋅− µ222
1
Mgx
ω ω
u2
O
v = ω v = 01 2
u = ω u = ?1 2
1
2
1 2
NT
mg
Ho
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
24
Să se determine poziţia de prindere a cozii unui baros pentru ca în mână să nu apară percuţie. Coada barosului se consideră o bară omogenă de masă 1M şi lungime L, iar barosul propriuzis se consideră un paralelipiped cu dimensiunile bxhxc şi masa
2M . Prinderea cozii de către mână se asimilează cu o articulaţie plană.
Se dau: kgM 5,01 = ; kgM 5,72 = ; mL 8,0= ; mcb 08,0== ; mh 15,0= . ------------------------------------------------------------------------ Etapele rezolvării sunt următoarele:
a) Se raportează ansamblul barosului la două sisteme de referinţă, unul Oxy cu originea în centrul de greutate 1C al cozii
şi altul 111 yxO cu originea în punctul de prindere. b) Se notează cu 2C centrul de greutate al paralelipipedului. c) Se determină poziţia centrului de greutate al barosului, Cx , în sistemul de
referinţă Oxy şi expresia abscisei Cx1 a
aceluiaşi punct în sistemul 111 yxO în funcţie de abscisa Ax1 a punctului A de lovire, în acelaşi sistem:
−⋅=
+
⋅
−+⋅=
⋅=
∑
∑22
220
2
21
21bL
M
M
MM
MbLM
M
Mxx
i
iCiC ,
2211bxLxx CAC ++−= .
d) Se calculează momentul de inerţie al barosului în raport cu punctele C şi 1O : 2
2
22
22
1
21
221212
−−⋅++⋅+⋅+⋅
= bx
LM
hbMxM
LMJ CCC ,
211 CC xMJJ ⋅+= .
e) Se izolează barosul în poziţia de lovire în care apar percuţiile, poziţie considerată a fi cea orizontală. Se notează:
- ω şi ω ′ vitezele unghiulare la intrare şi ieşire din ciocnire; - 1P şi 2P impulsurile la intrare şi ieşire din ciocnire;
- AH percuţia din A considerată perpendiculară pe suprafaţa barosului deoarece se neglijează frecarea dintre acesta şi obiectul lovit;
- 1H percuţia din 1O considerată de asemenea perpendiculară pe axa 11 xO
deoarece şi impulsurile 1P şi 2P sunt perpendiculare pe aceasta. f) Se aplică teorema impulsului şi teorema momentului cinetic în timpul ciocnirii, în raport cu punctul 1O :
∑=
=−n
iiHPP
112 , ∑
=×=−
n
iiiOO HrKK
112 11
;
AHHPP +=− 112 ,
AOO HAOKK ×=− 112 11.
După scalarizare pe axele 11 yO , respectiv 11 zO , se obţin relaţiile:
ACC HHxMxM −−=⋅⋅−′⋅⋅ 111 ωω ,
AA HxJJ ⋅−=⋅−′⋅ 111 ωω .
Dacă 01 =H , rezultă: ( ) AC HxM −=−′⋅⋅ ωω1 ,
( ) AA HxJ ⋅−=−′⋅ 11 ωω . Prin împărţirea celor două relaţii se obţine expresia
CA xM
Jx
1
11 ⋅
= .
În acest caz, când 01 =H , punctul A se numeşte centru de percuţie. După înlocuire se obţine:
−−⋅
+−−=
22
221bxLM
JbxLx
C
CCA
şi în continuare distanţa la caretrebuie apucată coada pentru ca în mână să nu existe percuţie
211bxLd A −−=
−−⋅−+=
22
21bxlM
Jxld
C
CC .
Pentru valorile numerice precizate în enunţ rezultă valorile: mxC 3375,0= ; 210548,0 mkgJ C ⋅= ; mx A 6085,01 = ; mx C 586,01 = ; 2
1 8526,2 mkgJ ⋅= ;md 15,0= .
b
h
d =?1
L
C1
C2
C
b
b/2x C1
h
/2
O
HA
A
d
ω
ω
P1
H1
1 O
P2xC
x A1
L
L
1
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
25
Să se stabilească ecuaţiile diferenţiale ale mişcării manipulatorului RR din figură, în ipoteza neglijării frecărilor şi maselor elementelor sale. ------------------------------------------------------------- Sistemul mecanic are două grade de libertate care
pot fi definite prin unghiurile 1q şi
2q . Se urmăreşte aflarea relaţiilor dintre momentele motoare OM şi AM , aplicate în cuplele O şi
A şi coordonale generalizate 1q şi 2q . Se aplică ecuaţiile Lagrange de speţa II-a
kk
c
k
c Qq
E
q
E
dtd =
∂∂
−
∂∂&
,
în care: - cE reprezintă energia cinetică a manipulatorului;
- kQ reprezintă forţa generalizată motoare;
- k reprezintă numărul gradelor de libertate ale manipulatorului. În cazul de faţă, pentru două grade de libertate ecuaţiile sunt:
111
E
q
E
dtd cc =
∂∂
−
∂∂&
;
222
E
q
E
dtd cc =
∂∂
−
∂∂&
.
Etapele rezolvării sunt următoarele: a) se calculează energia cinetică a manipulatorului; b) se calculează derivatele energiei cinetice; c) se determină forţele generalizate motoare aplicând principiul lucrului
mecanic virtual; d) se obţin ecuaţiile diferenţiale ale mişcării.
a) Energia cinetică este dată de relaţia
( )222
21
21
BBBc yxmvmE && +⋅⋅=⋅⋅= .
Conform figurii ( )( )
+⋅+⋅=+⋅+⋅=
21211
21211
qqslsqly
qqclcqlx
B
B ,
( ) ( )( ) ( )
+⋅+⋅+⋅⋅=++⋅−⋅⋅−=
21212111
21212111
qqcqqlcqqly
qqsqqlsqqlx
B
B
&&&&
&&&&,
( ) ( )[ ]2211212
2122
21
21 2
21 cqqqqllqqlqlmEc ⋅+⋅⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅= &&&&&& .
b) În continuare se calculează derivatele energiei cinetice:
01
=∂∂
q
Ec ;
( ) ( )[ ]2212121221
21
1
2 cqqqllqqlqlmq
Ec ⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅=∂∂
&&&&&&
;
( ) ( ) ( )[ ]222121221212221
22
21
1
22 sqqqqllcqqqllqlqllmq
E
dtd c ⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=
∂∂
&&&&&&&&&&&&&
;
( ) 2211212
sqqqqllmq
Ec ⋅+⋅⋅⋅⋅−=∂∂
&&& ;
( )[ ]21212122
2
cqqllqqlmq
Ec ⋅⋅⋅++⋅⋅=∂∂
&&&&
;
( )[ ]2212121212122
2
sqqqllcqqllqqlmq
E
dtd c ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅++⋅⋅=
∂∂
&&&&&&&&&
.
c) Se aplică principiul lucrului mecanic virtual pentru a determina forţele generalizate motoare:
( )[ ]212111
11
1
1
11 qqclcqlgmM
q
ygmqM
q
LQ O
BO
+⋅+⋅⋅⋅−=⋅
∂∂
⋅⋅−⋅==
δ
δδ
δδ
;
( )2122
22
2
2
22 qqclgmM
q
ygmqM
q
LQ A
BA
+⋅⋅−=⋅
∂∂
⋅⋅−⋅==
δ
δδ
δδ
.
d) Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării se obţin după înlocuire în ecuaţiile Lagrange:
( ) ( ) ( )[ ]+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++⋅ 22221212221
221221
22
21 22 sqqqqllqcqlllqcqllllm &&&&&&&
( )[ ] OMqqclcqlgm =+⋅+⋅⋅⋅+ 21211
( )[ ] ( ) AMqqclgmsqqllmqlqcqlllm =+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 212221212
221221
22
&&&&&
Obs. Spunem că rezolvăm modelul dinamic direct dacă se dau OM , AM şi condiţiile ini ţiale ale mişcării (valorile coordonatelor şi vitezelor generalizate) şi se determină ecuaţiile de mişcare ( )tqq 11 = , ( )tqq 22 = . Dacă se dau ecuaţiile de mişcare şi determinăm momentele OM şi AM , spunem că rezolvăm modelul dinamic invers.
O
mg
A
B
1
2
MO
MA
q1
q2
O
mg
MO
MAA
B
q1
y B
xB
1
2
mxB yB,
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
26
Să se stabilească ecuaţiile diferenţiale ale mişcării manipulatorului RT din figură. Se neglijează masele elementelor mecanismului, iar obiectul manipulat se asimilează cu un punct material de masă m. ---------------------------------------------------------------- Se aplică ecuaţiile Lagrange de speţa II-a
kk
c
k
c Qq
E
q
E
dtd =
∂∂
−
∂∂&
Energia cinetică este dată de relaţia
( )222
21 zyxmEc &&& ++⋅⋅== .
Conform figurii
=⋅=⋅=
1
12
12
lz
sqqy
cqqx
⇒
=⋅⋅+⋅=⋅⋅−⋅=
012112
12112
z
cqqqsqqy
sqqqcqqx
&
&&&
&&&
( )[ ]22
2122
1 qqqmEc && +⋅⋅⋅== .
Derivatele energiei cinetice sunt:
01
=∂∂
q
Ec ; 122
1
qqmq
Ec&
&⋅⋅=
∂∂
;
( )= ⋅+⋅⋅⋅⋅=
∂∂
⋅ 122122
1
2 qqqqqmq
E
dtd c
&&&&&
;
212
2
qqmq
Ec&⋅⋅=
∂∂
; 22
qmq
Ec&
&⋅=
∂∂
; 22
qmq
E
dtd c
&&&
⋅=
∂∂
⋅ .
Forţele generalizate motoare se calculează cu relaţiile:
11
11
1
11 M
q
qM
q
LQ =
⋅==
δδ
δδ
;
22
22
2
22 F
q
qF
q
LQ =
⋅==
δδ
δδ
.
După inlocuire în ecuaţiile Lagrange de speţa II-a rezultă ecuaţiile diferenţiale de mişcare:
( ) 11222122 Mqqqqqm =⋅+⋅⋅⋅⋅ &&&& ; ( ) 2
2122 Fqqqm =⋅−⋅ &&& .
Să se stabilească ecuaţiile diferenţiale ale mişcării manipulatorului RTT din figură. Se neglijează masele elementelor mecanismului, iar obiectul manipulat se asimilează cu un punct material de masă m. ------------------------------------------------------------ Se aplică ecuaţiile Lagrange de speţa II-a
kk
c
k
c Qq
E
q
E
dtd =
∂∂
−
∂∂&
.
Energia cinetică este dată de relaţia
( )222
21 zyxmEc &&& ++⋅⋅== .
Conform figurii
=⋅=⋅=
2
13
13
qz
sqqy
cqqx
⇒
=⋅⋅+⋅=⋅⋅−⋅=
2
13113
13113
qz
cqqqsqqy
sqqqcqqx
&&
&&&
&&&
( )[ ]23
22
2132
1 qqqqmEc &&& ++⋅⋅⋅== .
Derivatele energiei cinetice sunt:
01
=∂∂
q
Ec ; 123
1
qqmq
Ec&
&⋅⋅=
∂∂
;
( )= ⋅+⋅⋅⋅⋅=
∂∂
⋅ 123133
1
2 qqqqqmq
E
dtd c
&&&&&
;
02
=∂∂q
Ec ; 22
qmq
Ec&
&⋅=
∂∂
; 22
qmq
E
dtd c
&&&
⋅=
∂∂
⋅ .
223
3
qqmq
Ec&⋅⋅=
∂∂
; 33
qmq
Ec&
&⋅=
∂∂
; 33
qmq
E
dtd c
&&&
⋅=
∂∂
⋅ .
Forţele generalizate motoare se calculează cu relaţiile:
11
11
1
11 M
q
qM
q
LQ =
⋅==
δδ
δδ
; gmFq
qgmqF
q
LQ ⋅−=
⋅⋅−⋅== 2
2
222
2
22 δ
δδδδ
;
33
33
3
33 F
q
qF
q
LQ =
⋅==
δδ
δδ
După inlocuire în ecuaţiile Lagrange de speţa II-a rezultă ecuaţiile diferenţiale de mişcare:
( ) 11233132 Mqqqqqm =⋅+⋅⋅⋅⋅ &&&& ; gmFqm ⋅−=⋅ 22&& ; ( ) 3
2133 Fqqqm =⋅−⋅ &&& .
mg
M1
F2
1 P
mg
M1
,q 1 q 1
,q 2 q 2
F2
q 1
q 2
x,y,zP m
y x
z
1
mg
M1
F3
P
F2
mg
M1
,q 1 q 1
,q 3 q 3
F3
q 1
q 3
x,y,zP m
q 2q 2
F2
q 2
y x
z
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
27
Se dă o bară cotită AOB, cu unghiul drept în O, articulată cilindric în acest punct. Barele omogene AO şi OB au lungimile a şi 2a şi greutăţile P , respectiv
P2 . În capătul A acţionează, perpendicular pe bara AO, un arc cu constanta elastică k. În poziţia de echilibru static bara OB formează cu orizontala unghiul α . Să se determine ecuaţia diferenţială a micilor oscilaţii şi perioada acestora. ------------------------------------------------------------------------- Se reprezintă bara într-o configuraţie dată de unghiul ϕ faţă de poziţia de
echilibru. Considerând cazul micilor oscilaţii, unghiul o5≤ϕ , situaţie în care
ϕϕ ≅sin iar 1cos ≅ϕ şi arcul poate fi considerat că rămâne perpendicular pe bara AO. Se aplică teorema momentului cinetic în raport cu axa de rotaţie:
zO MJ =⋅∆ ϕ&& .
( ) ( ) aFaPaPJ eO ⋅−+⋅⋅−+⋅⋅⋅=⋅∆ ϕαϕαϕ sin2
cos2&&
unde: ( ) 2
22
33
223
agPa
gPa
gPJ O ⋅⋅=
⋅⋅⋅+⋅=∆ ,
( ) αϕαϕαϕαϕα sincossinsincoscoscos ⋅−≅⋅−⋅=+ , ( ) αϕααϕϕαϕα cossincossincossinsin ⋅+≅⋅+⋅=+ ,
ϕ⋅⋅+= akFF stee .
Forţa elastică din arc în condiţii statice steF se determină scriind o ecuaţie de
momente în raport cu punctul O:
0sin2
cos2 =⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅ aFaPaP steαα ,
de unde
αα sin2
cos2 ⋅−⋅⋅= PPF ste .
După înlocuire în expresia obţinută în baza teoremei momentului cinetic, rezultă:
ϕαϕαϕϕ ⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅ 22 cos2
sin23 akaPaPag
p&&
0cos21sin2
3=⋅
+⋅⋅
+⋅⋅+ ϕααϕPk
aa
g&& .
Introducând notaţia
⋅+⋅+⋅⋅
⋅=
Pak
a
gp αα cos
21sin2
32 ,
ecuaţia diferenţială a mişcării devine 02 =⋅+ ϕϕ p&& .
Soluţia acesteia este de forma ptCptC sincos 21 ⋅+⋅=ϕ .
Perioada micilor oscilaţii este
⋅+⋅+⋅⋅
⋅
⋅=⋅=
Pak
a
gpT
αα
ππ
cos21sin2
3
22 .
αO
A
B
k
α
ϕ
2P
Fe
P
H
V
aϕ
a/2 sin a cos(α+ϕ) (α+ϕ)
ϕϕ
αFest
P
2P
H
V
a/2 sinα a cosα
O
Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.