Probleme Hidrodinamica

8/10/2019 Probleme Hidrodinamica

1/210

Ilare BORDEAU Eugen DOBND Cornel VELESCU

Cezar Dorin GALERIU Ionel Doru BACIU Adriana MANEA

Liliana SUCITU Rodica BDRU Constantin FLORESCU

PROBLEME DE HIDRODINAMIC, REELE DECONDUCTE, CANALE I MAINI HIDRAULICE

- EDIIA A DOUA REVIZUIT I COMPLETAT-

TIMISOARA

2013


2/210

Prefa

Lucrarea constitue o revizuire a primei editiiNOIUNI TEORETICE IPOBLEME DE HIDRODINAMIC, CONDUCTE, CANALE I MAINIHIDRAULICE, cu modificarile si completarile de rigoare.

Modul n care sunt prezentate noiunile teoretice i rezolvate problemele poatefacilita abordarea i rezolvarea unui caz mai complex, practic, de sistem hidraulic ;ialimentari cu apa.

In cadrul acestei lucrri s-a urmrit tratarea de la simplu spre complex nscopul facilitrii nelegerii mai rapide a modului de aplicare a relaiilor specifice i decreare a unei gandiri inginereti, caracteristic domeniului mecanicii fluidelor i

mainilor hidraulice.Pentru o mai uoar nelegere, fiecare capitol debuteaz cu notaiile utilizate ielementele teoretice necesare rezolvrii problemelor. Excepie face ultimul capitol careconstitue o mbinare a tipurilor de probleme abordate anterior n aceast cartecombinate i cu elemente de hidrostatic.

La baza conceperii problemelor au stat fenomenele din practic, dar i ideileizvorte din exerciiile de seminar, din proiectele de an i diplom i din concursurileprofesionale organizate att la nivel local ct i naional.

De asemenea, problemele rezolvate i propuse spre rezolvare sunt de un realfolos studenilor care parcurg disciplinele de mecanica fluideor, instalatii pentrualimentari, canale si masini hidraulice, pentru pregtirea concursurilor profesionale, dari inginerilor ce lucreaz in doemnii cu specific hidraulic.

Distribuia capitolelor este urmtoarea: Capitolul 1 Asist.dr.ing. Rodica BDRU, Capitolul 2 S.L.dr.ing. Cezar Dorin GALERIU,

Capitolul 3 Ing. Liliana SUCITU, S.L.dr.ing. Constantin FLORESCU

Capitolul 4 S.L.dr.ing. Adriana MANEA, S.L.dr.ing. Constantin FLORESCU,

Capitolul 5 Prof.univ.dr.ing. Ilare BORDEAU, Asist.dr.ing. Ionel Doru BACIU, Capitolul 6 S.L.dr.ing. Cornel VELESCU,

Capitolul 7 S.L.dr.ing. Eugen DOBND, Capitolul 8 Prof.univ.dr.ing. Ilare BORDEAU, S.L.dr.ing. Constantin

FLORESCU.Coordonarea lucrrii a fost fcut de ctre Prof. univ. dr. ing. Ilare

BORDEAU.Orice sugestie de mbuntire a unei viitoare ediii este bine venit, apreciati va primi recunotiina i mulumirile autorilor.

Autorii


3/210

7

C U P R I N S

PREFATA 5

CAPITOLUL 1 Anal iza dimensional i simi li tudinea hidrodinamic 9

1.1 Introducere................................... 10

1.2 Noiuni teoretice..... 10

1.3 Aplicaii............... 15

1.3.1 Probleme rezolvate...... 15

1.3.2 Probleme propuse spre rezolvare..... 34

CAPITOLUL 2Calculul i msurarea debitului fluidelorincompresibil e n micare permanent............... 35

2.1 Introducere.......................................... 35

2.2Noiuni teoretice .................................... 36

2.3 Aplicaii...................... 38

2.3.1 Probleme rezolvate............. 38


CAPITOLUL 3 Curgerea li chidelor prin conducte................................ 55

3.1 Introducere............ 55

3.2Noiuni teoretice ....... 55

3.3 Aplicaii.............. 59

3.3.1 Probleme rezolvate...... 59

3.3.2 Probleme propuse spre rezolvare..... 72CAPITOLUL 4 Reele de conducte........................................................ 77

4.1 Introducere.................... 77

4.2 Noiuni teoretice ....... 77

4.3 Aplicaii. ......................... 79

4.3.1 Probleme rezolvate........................... 79

4.3.2 Probleme propuse spre rezolvare................ 90

CAPITOLUL 5 Teoremele impulsulu .......................... 93

5.1 Introducere........................ 94

5.2Noiuni teoretice ........................... 94

5.3 Aplicaii......................... 96

5.3.1 Probleme rezolvate........................ 965.3.2 Probleme propuse spre rezolvare................... 113

CAPITOLUL 6 Curgerea lichidelor prin canale i conducte cu

suprafali ber.............................................................. 117

6.1 Introducere........................ 118

6.2 Noiuni teoretice .............. 118

6.3 Aplicaii........................ 131

6.3.1 Probleme rezolvate....................... 131

6.5.3.2 Probleme propuse spre rezolvare....... 147


4/210

8

CAPITOLUL 7 Maini hidraulice.......................................... 149

7.1 Introducere........................ 149

7.2Noiuni teoretice .......................... 150

7.3 Aplicaii......................... 159

7.3.1 Probleme rezolvate........................ 159

7.3.2 Probleme propuse spre rezolvare............ 165

CAPITOLUL 8 Probleme propuse la concursur il e profesionale....... 167

8.1 Introducere....................... 167

8.2Noiuni teoretice ............................. 167

8.3 Aplicaii.......................... 167

8.3.1 Probleme rezolvate.......... 167


BIBLIOGRAFIE

........ 207


5/210

CAPITOLUL 1

ANALIZA DIMENSIONAL ISIMILITUDINEA HIDRODIMAMIC

NOTAII I SEMNIFICAII FIZICEp-presiunea, n N/m2v-viteza, n m/s2

-densitatea mediului lichid, n kg/m3

m-masa, n kgV-volumul, n m3S-aria suprafeei, n m2F-fora, n NG-greutatea, n Ng=9,80665m/s2acceleraia gravitaional-greutatea specific, n N/m3-coeficientul cinematic de viscozitate, n m2/s-coeficientul dinamic de viscozitate, n Ns/m2sau Pas-tensiunea superficial, n N/mE-modul de elasticitate, n N/m2

Q-debit volumic, n m3/sl-lungime, n md-diametrul conductei, n mlo-scara lungimilorSo-scara suprafeelorVo-scara volumelorto-scara timpilorvo-scara vitezelorao-scara acceleraiilorFo-scara forelormo-scara maselorFr-numrulFroudeSh-numrul StrouhalEu-numrul EulerRe-numrul ReynoldsMa-numrul MachGa-numrul GalileiWe-numrul Weber

Ne-numrul Newton


6/210

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic10

1.1. INTRODUCERE

Este practic imposibil de a rezolva toate problemele curgerii unui fluid datnumai pe cale teoretic. La stadiul actual al cunotinelor n domeniu, cercetareaexperimental ocup un loc important. Teoria matematic i datele experimentale aufurnizat soluii practice pentru mai multe probleme de hidraulic. Aplicaiile analizeidimensionale i ale similitudinii hidraulice permit inginerului organizarea isimplificarea experimentelor i analizarea rezultatelor obinute.

n acest capitol se vor prezenta principiul ce st la baza analizei dimensionalei cteva aplicaii ce servesc la nelegerea modului de utilizare a analizei

dimensionale n stabilirea formulelorpentru anumite mrimi fizice, specifice mecaniciifluidelor. De asemenea, se vor prezenta relaiile de similitudinecu aplicaii specifice.

1.2. NOIUNI TEORETICE

Problemele de mecanica fluidelor pot fi abordate pe calea analizeidimensionale, care este n esen o procedur matematic care studiaz n exclusivitatedimensiunile mrimilor fizice. n cadrul ei se pornete de la nelegerea fenomenelorcurgerii pentru a stabili parametrii care o influeneaz i se ajunge la gruparea acestorparametrii n combinaii dimensionale, la o mai bun cunoatere i explicare afenomenelor. Analiza dimensional este de un real folos n studiile experimentale

pentru c poate indica mrimile sau parametrii ce influeneaz cu adevrat desfurareafenomenelor fizice.

Conform principiului omogenitii dimensionale toate relaiile matematice,care exprim fenomene fizice, trebuie s fie omogene din punct de vedere dimensional(toi termenii ecuaieitrebuie s aib aceleai dimensiuni).

Dac termenii unei ecuaii omogene din punct de vedere dimensional se mpartcu o cantitate care se exprim n aceleai dimensiuni va rezulta o adimensionare atermenilor, ecuaia devenind o relaie adimensional ntre grupuri de numere i de oform mai simpl. n acest mod se procedeaz n cadrul unei analize dimensionale,grupndu-se toate variabilele implicate ntr-o ecuaie care conine grupuri de numereadimensionale, evitnd cercetarea experimental, grupurile adimensionale fiind nnumr mult mai redus dect variabilele.

Aplicaiile analizei dimensionale constau n:- transformarea dintr-un sistem de uniti n altul;- stabilirea ecuaiilor;- reducerea numrului de variabile necesare la un program experimental;- stabilirea principiilor de concepere a unui model.Teorema Pi(Teorema lui Buckingham)Aceast teorem reprezint o generalizare a metodei analizei dimensionale avnd o

larg utilizare n prezent. Teorema Pi are principalul avantaj c reduce numrul devariabile la grupuri de mrimi adimensionale.


7/210

1-Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic 11

Dac x1, x2, , xn reprezint n variabile dimensionale care sunt implicate ndesfurarea unui fenomen fizic i ntre ele exist o legtur implicit de forma:

0x,...,x,xf n21 atunci se poate exprima aceast legtur sub forma unei dependene:

0,...,, kn21 unde

i reprezint combinaii adimensionale ale variabilelor xi.

Aplicarea teoremei Pi presupune parcurgerea a apte etape:Prima etap

- Se evideniaz fenomenului fizic i factorii care l pot influena, cu stabilirea

celor n variabile.A doua etap- Dimensiunile mrimilor fizice sunt exprimate n SI n combinaia de uniti

fundamentale mas lungimetimp (MLT), sau n combinaia for lungimetimp(FLT). Se alege n Sistemul Internaional SI unul din modurile de exprimare (MLT sauFLT) i se stabilesc dimensiunile fiecrei variabile, gsindu-se i numrul m aldimensiunilor fundamentale ale variabilelor.

A treia etap- Se va gsi numrul k (care de obicei este egal cu m, niciodat mai mare i

rareori mai mic).A patra etap

Se determin numrul grupurilor adimensionale kn,i i se poate scrie:

0,...,, kn21 A cincea etapDin numrul total de variabile se selecteaz un numr de k, denumite variabile

primare. Acestea trebuie s conin toate cele m dimensiuni fundamentale i nu trebuies formeze grupuri ntre ele. Se formeaz grupurile prin nmulirea variabilelorprimare ntre ele, fiecare cu un exponent necunoscut.

A asea etapPentru satisfacerea omogenitii dimensionale se formeaz un sistem de ecuaii

care are la baz egalitatea exponenilor variabilelor primare din ambele pri aleecuaiilor, deoarece

i nu au dimensiuni pot fi nlocuii cu MoLoTo. Se verific

adimensionalizarea factorilor i .A aptea etapSe rearanjeaz grupurile

i dup dorin. Teorema Pi arat c grupurile

i

sunt legate ntre ele: kn3211 ,...,,f

Analiza dimensional nu ofer o rezolvare complet a problemei, ci numai osoluie parial, iar reuita depinde de cele mai multe ori de abilitatea n selectareaparametrilor i mrimilor.


8/210


n multe situaii dezvoltarea experimentului are loc n laborator pe instalaiicare difer constructiv de cele industriale, dar permit o desfurare identic sausimilar a fenomenelor studiate. Pentru a utiliza rezultatele de laborator la instalaiileindustriale, s-au stabilit relaii matematice cunoscute sub denumirea de legi desimilitudine. Acestea permit desfurarea experimentului cu un fluid convenabil pentruutilizare i aplicarea rezultatelor la un fluid mai puin convenabil pentru utilizareexperimental. Aceste legi sunt deosebit de utile pentru c se pot utiliza pe o instalaiesau main mai simpl i de dimensiuni reduse (modelul), fiind posibil reducereasubstanial a costurilor de cercetare i permit transpunerea rezultatelor de la model lainstalaia sau maina n mrime natural (prototip). Pentru ca rezultatele stabilite pemodele s poat fi utilizate la instalaia n natur, trebuie respectate condiiile desimilitudine.

Dou micri sunt asemenea cnd traiectoriile lor sunt geometric asemenea icnd exist raporturi determinante ntre mrimile cinematice i dinamice ale celor doufenomene n dou puncte omoloage.

Pentru a realiza similitudinea dinamic a dou fenomene nu este suficient caraportul dimensiunilor liniare s fie constant. Trebuie ca i rapoartele mrimilorcinematice i dinamice s fie constante.

Similitudinea geometricse realizeaz atunci cnd raportul dintre dimensiunileliniare de pe prototip icele de pe model este constant. Raportul:

m

p

o l

l

l

se numete scara lungimilor sau scar geometric. Se poate stabili i scarasuprafeelor:

2

o

m

p

o lS

SS

iscara volumelor:

3

o

m

p

o lV

VV

Similitudinea cinematicimplic, n punte omoloage, similitudinea geometrica cmpului hidrodinamic i raport constant al mrimilor cinematice de acelai tip(viteze, acceleraii). Odat stabilit scara lungimilor, rezult un raport constant altimpului n care se desfoar fenomenul pe prototip i timpul n care se desfoarfenomenul pe model, adicscara timpului:

m

p

ot

tt


9/210


Cu acestea se pot determina scrile tuturor mrimilor cinematice n funcie deloi to. Astfel avemscara vitezelor:

1

oo

m

p

o tlv

vv

iscara acceleraiilor:

2

oo

m

p

o tla

aa

Similitudinea dinamic impune ca raportul tuturor forelor din natur, de peprototip i de pe model, s fie constant. Rezult, astfel,scara forelor:

m

p

oF

FF

Din similitudinea mecanic se poate defini i oscar a maselor, i anume:

m

p

om

mm

Numrul Froude:

lg

vFr

2

Numrul Strouhal:

l

tvSh

Numrul Euler:

2v

pEu

Numrul Reynolds:

lv

Re

Numrul Mach:

svvMa

unde vseste viteza sunetului n mediu considerat.

Numr Weber:

2vl

We


10/210


Numrul Galilei:

2

3lgGa

Numrul Newton:

vS

FNe

Aceste mrimi se mai numesc i criterii de similitudine.Teorema lui Newton afirm c ntr-un grup de fenomene asemenea, fiecare

criteriu de similitudine are cte o valoare unic pentru toate fenomenele grupului.

Respectarea simultan a tuturor acestor criterii ne conduce la o similitudinecomplet. Dar n realitate respectarea simultan a acestor criterii nu este posibilpractic. Similitudinea nu se va realiza dup toate criteriile, ci numai dup anumitecriterii, care sunt determinante n desfurarea unui fenomen. Astfel se realizeaz osimilitudine incomplet.

Transpunerea rezultatelor de pe un model la prototip va fi din aceast cauzafectat de erori, iar influena parametrilor neglijai apare n aa numitul efect de scar.

Vom prezenta unde se utilizeaz fiecare din criteriile de similitudine ca icriteriu determinant.

Similitudinea Strouhal se utilizeaz n cazul micrilor nepermanenteperiodice. Acestea apar cnd vrtejurile formate se desprind alternativ de pe o parte saualta n spatele unui corp, cnd fluidul se afl ntr-o micare de val i cnd un corp situat

n fluid are o micare periodic. Deoarece n tehnic cele mai multe micrinepermanente ale fluidelor sunt micri periodice, criteriul lui Strouhal este consideratde obicei drept criteriul de similitudine al micrilor periodice ale fluidelor. n multecazuri odat cu criteriul Strouhal trebuie asigurat i criteriul Reynolds.

Similitudinea Froude se utilizeaz n cazul n care n timpul micrii elementuldeterminant este greutatea. Aceasta apare ca element predominant la curgerea apeipeste deversoare, la micarea valurilor, la determinarea componentei de val arezistenei la naintare a navelor de suprafa. Apare n general cnd micrile ausuprafee libere care nu sunt plane orizontale, deoarece la aceste micri efectulgreutii proprii este determinant pentru forma suprafeei libere. n cazul micriilichidelor peste deversoare sau n cazul micrii valurilor, efectul vscozitii i efectulcapilaritii sunt neglijate n raport cu efectul greutii proprii a lichidului. Alteori, ns,

pe lng efectul greutii proprii a lichidelor,trebuie luate n considerare i alte efecte.Astfel, n micarealichidelor n canale, pe lng efectul greutii proprii trebuie luat nconsiderare i efectul vscozitii, iar la deversoarele avnd o lam deversant foartesubire i la valurile de dimensiuni mici, pe lng efectul greutii proprii trebuie luat nconsiderare i efectul capilaritii.

Similitudinea Reynolds trebuie asigurat dac frecarea vscoas are un rolpredominant. Cu ct numrul Reynolds este mai mic cu att influena vscozitiiasupra micrii fluidului este mai mare. Se aplic la curgerealichidelor n conducte subpresiune, la curgerea n mainile hidraulice i la curgeri n tunele aerodinamice la


11/210


viteze la care se poate neglija compresibilitatea fluidului. n general, ca lungime dereferin se alege diametrul conductei, grosimea unui strat de fluid, coarda unui profilaerodinamic.

Criteriul Euler este satisfcut automat dac sunt ndeplinite simultan criteriileStrouhal, Froude i Reynolds. Apare n studiul fenomenului de cavitaie.

Criteriul de similitudine Mach se aplic n cazul n care viteza curentului estemare i compresibilitatea fluidului datorit vitezei curentului nu poate fi neglijat (lamicarea cu viteze foarte mari a unui gaz, n cazul loviturii de berbec).

Criteriul de similitudine de tip Weber se respect n cazul mic rilor la caresunt determinante forele de tensiune superficiale (picturi, deci la pulverizarea

lichidelor, valuri de dimensiuni mici, la studiul curgerii lichidelor n tuburi capilare saun canale cu adncime foarte mic). n aplicaiile curente, forele de tensiunesuperficial sunt ns cu totul neglijabile, n raport cu celelalte tipuri de fore.

Criteriul Galilei intervine la micarea liber a lichidelor. Acest numr este defapt o combinaie a criteriilor de similitudine.

Fr

ReGa

2

Criteriul Newton se utilizeaz la modelarea fenomenelor hidrodinamice la careforele de inerie joac un rol important, adic la studiul pe model al curgerii n jurulcorpurilor (studiul rezistenelor la naintare, studiul aciunii curentului asupra profilelorhidrodinamice utilizate n mainile hidraulice, n aviaie).

1.3. APLICAII

1.3.1 Probleme rezolvate

1.1S se exprime dimensiunile mrimilor fizice folosite n hidraulic n funciede masa M, lungimea L i timpul T.

REZOLVARE

Mrimile fizice ce le folosim n hidraulic, respectiv dimensiunea lor n funciede MLT se pot deduce n funcie de relaiile de definiie ale acestor mrimi, i letrecem direct n tabelul urmtor. Pentru toate aceste mrimi se pot gsi similardimensiunile n funcie de FLT.


12/210


Nr.crt.

Mrimea fizic Simbol Uniti demsur

Dimensiunea(Relaia n MLT)

1.2.3.4.5.6.7.8.

9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.

21.22.23.24.25

MasaLungimeaTimpAriaVolumulVitezaAcceleraiaAcceleraia gravitaional

Viteza unghiularForaGreutateaMomentPutereaDensitatea masicGreutate specificPresiuneaTensiuneaTensiunea superficialVscozitatea dinamicVscozitatea cinematic

Modul de elasticitateCoeficient decompresibilitateDebit volumicDebit masic

mltAVVag

FGMPp

EQ

m

Kgmsm2m3m/sm/s2m/s2

rad/sN=kg m /s2NNmWkg/m3kg/(m2s2)Pa=N/m2N/m2N/mPa sm2/s

N/m2

m2/Nm3/skg/s

MLTL2

L3LT-1LT-2LT-2

T

-1

MLT-2MLT-2

ML2T-2ML2T-3ML-3ML-2T-2ML-1T-2ML-1T-2MT-2ML-1T-1L2T-1

ML-1

T-2

ML-1T-2L3T-1MT-1

1.2 S se arate prin analiz dimensional relaia dintre numrul Reynoldsi densitatea , vscozitatea cinematic , viteza v a unui fluid i o lungimecaracteristic l.

REZOLVARE

Folosind analiza dimensional pentru stabilirea relaiei dintre numrul

Reynolds i mrimile enumerate pornim de la faptul c numrul Reynolds este nfuncie de mrimile , , v i l, adic:

l,v,,fRe Analiza dimensional se bazeaz pe faptul c o relaie ntre mrimile fizice

trebuie s fie omogen dimensional. Utilizm metoda Rayleigh care presupune cmrimea rezultant, n cazul nostru numrul Re, se poate scrie ca fiind proporional cuun produs de puteri al mrimilor care o determin, adic:

dcba lvkRe


13/210


unde k este coeficientul de proporionalitate. Puterile a,b,c,d se gsesc impunndcondiia ca aceast relaie s fie omogen dimensional:

dc1b12a3ooo LLTTLMLkTLM cbdcb2a3aooo TLMkTLM

adic s avem urmtoarele egaliti:

cb0

dcb2a30

a0

Rezolvnd acest sistem de ecuaii obinem:

bd

bc

0a

adic:b

bbbo lvklvkRe

OBSERVAIE: Valorile lui k i b se determin prin analiz experimental. ncondiiile noastre 1k i 1b i atunci pentru numrul Re se obine relaiacunoscut:

lvRe

1.3 Pentru un lichid ideal s se exprime debitul Q care trece printr-unorificiu mic n funcie de densitatea lichidului , diferena de presiune i diametrulorificiului.

REZOLVARE

Folosind analiza dimensional pentru stabilirea relaiei:

d,p,fQ

cba dpkQ

cb21a313 LTMLMLkTL


14/210


Adic avem sistemul:

b21

cba33

ba0

i rezult:

2c

2

1b

2

1a

i obinem relaia:

pdkdpkQ 222/12/1

OBSERVAIE: Din experimente i considernd c pentru un orificiu situat peo parte a unui rezervor la adncimea H avem relaia Hgp se constat c avem

4

2k

, deci:

Hg2d4

1Hgd

42Q 22

1.4 Folosind analiza dimensional s se determine presiunea unui fluidincompresibil asupra unui obiect imersat admind c presiunea este funcie dedensitate i de vitez.

REZOLVARE

Cutm o dependen de forma:

v,fp

ba vkp

b1a321 LTMLkTML

bba3a21 TLMkTML


15/210


adic obinem sistemul:

b2

ba31

a1

2b

1a

Obinem:2vkp

1.5

Admind c puterea furnizat de o pomp este funcie de greutateaspecific a lichidului , de debit Q i de nlimea de pompare H, stabilii o ecuaie prinanaliz dimensional.

REZOLVARE

H,Q,fP cba HQkP

cb13a2232 LTLTMLkTML b2a2cb3a2a32 TLMkTML

Avem deci sistemul:

ba23

cb3a22

a1

care rezolvat d soluia:

1c

1b

1a

Obinem astfel pentru putere relaia:

HQkP

Pentru 1k i innd cont c g obinem relaia cunoscut:

HQgP


16/210


1.6 S se stabileasc relaia de calcul pentru puterea furnizat de o pompprin analiz dimensional tiind c aceasta se va exprima n funcie de densitatealichidului vehiculat, acceleraia gravitaional, debitul Q i nlimea de pompare H.

REZOLVARE

Aceast problem este asemntoare cu problema anterioar, ea va ajungepractic la acelai rezultat. Se pornete deci de la legtura dintre mrimile fiziceprecizate n enun.

H,Q,g,fP dcba HQgkP

adic:

dc13b2a332 LTLLTMLkTML cb2dc3ba3a32 TLMkTML

i se ajunge la sistemul:

cb23

dc3ba32

a1

3cb2

5dc3b

1a

Pentru rezolvarea sistemului se observ c avem 3 ecuaii i 4 necunoscute. Deaceea ne folosim de faptul c rezolvnd problema anterioar am obinut c 1b i

pentru acest caz avem:

1d

1c

1b

1a

adic:HQgP

deci am obinut i n acest caz rezultatul problemei anterioare.

1.7 Admind c fora cu care acioneaz un fluid n micare asupraunuicorp este funcie de densitate, vscozitatea dinamic, viteza fluidului i o lungimecaracteristic a corpului stabilii ecuaia general a forei.

REZOLVARE

Folosind tot analiza dimensional pentru for avem:

l,v,,fF


17/210


dcba lvkF

dc1b11a32 LLTTMLMLkMLT cbdcba3ba2 TLMkMLT

adic:

cb2

dcba31

ba1

b2d

b2c

b1a

Adic:b2b2bb1 lvkF

nmulim i mprim cu 2 i punem expresia sub forma:

2

vl

lvk2F

22

b

OBSERVAIE: Recunoatem n parantez numrul Reynolds i tiind c l2este o arie obinem:

2

vARek2F

2b

sau echivalent cu o relaie cunoscut:

2

vACF

2

p

1.8 S se stabileasc o expresie a tensiunii tangeniale vscoase a unuifluid care curge printr-o conduct admind c aceasta depinde de diametrul conductei,rugozitatea relativ a peretelui, de densitatea fluidului, de viscozitate i viteza fluidului.

REZOLVARE

Vrem s stabilim o legtur ntre tensiunea tangenial i diametrul d ,rugozitatea relativ a peretelui k, densitatea , vscozitatea dinamic i vitezafluidului v.

v,,,k,df

edcba vkdC

i am notat cu C coeficientul de proporionalitate.Rugozitatea relativ a peretelui este o mrime adimensional.


18/210


e1d11c3b

a21 LTTMLMLL

LLCTML

eddcedc3a21 TMLCTML Relaia trebuie s fie omogen dimensional, deci avem:

ed2

edc3a1

dc1

Rezolvnd sistemul n funcie de d avem:

d2e

d1c

da

Deci am obinut o relaie de forma:d2dd1bd vkdC

Grupm termenii i obinem:

2b

d

vkdv

C

Se observ n parantez c avem numrul Reynolds.2bd vkReC

OBSERVAIE: Am pus astfel n eviden o relaie de legtur ntre inumrul Re i rugozitatea relativ a pereilor, de aici fiind necesare i corelrile ce sepot face cu rezultatele experimentale.

1.9 S se stabileasc expresia cderii de presiune p ce apare ntr-oconduct de diametru d, lungime l, rugozitatea relativ a peretelui k, ce transport unfluid cu densitatea i vscozitatea dinamic cu viteza medie pe seciune v folosind

analiza dimensional.

REZOLVARE

Avnd date mrimile de care depinde cderea de presiune p putem considera:

v,,,k,l,dfp sau:

fedcba vkldCp


19/210


unde k este rugozitatea relativ a pereteluid

k , adic este o mrime adimensional,

raportul dintre nlimea asperitilor superficiale i diametrul d al conductei. v,,k,l,dfp

fedcba vkldCp

f1e11d3c

ba21LTTMLML

L

LLLCTML

fefed3baed21 TLMCTML

fe2

fed3ba1

ed1

Considerm 1b . Obinem:

f2e

1fd

1b

3fa

ff21fc3f

vkldCp

mprim cu g

ff21f

c2f

vkld

d

g

1C

g

p

2c

2f

2f2f2f

vkd

lvd

g

1C

g

p

g

vdvk

d

l

2

2C

g

p 22f

c

g

v

d

lk

dvC2

g

p 2c2f

Se observ n parantez numrul

dvRe

g

v

d

lConst

g

p 2

adic s-a ajuns la relaia lui Darcy.


20/210


OBSERVAIE: Se observ c metoda Rayleigh se folosete uor cndnumrul mrimilor studiate este mai mic dect cinci sau ase. Astfel se obine unsistem de ecuaii cu mult mai multe necunoscute i chiar dac se mai fac anumiteipoteze simplificatoare cazul este mai complicat matematic. n acest caz este depreferat s se aplice Teorema Pi. Aceeai problem este rezolvat mai jos n problemaurmtoare folosindu-se Teorema Pi.

1.10 S se stabileasc expresia cderii de presiune p ce apare ntr-oconduct de diametru d, lungime l, rugozitatea relativ a peretelui k, ce transport unfluid cu densitatea i vscozitatea dinamic cu viteza medie pe seciune v folosindteorema Pi n cadrul analizei dimensionale.

REZOLVARE

Vrem s stabilim urmtoarea dependen: v,,,k,l,dfp

Teorema Pi sau teorema Vaschy-Buckingham arat c orice relaie ce conine nmrimi fizice din care p mrimi primare is mrimi secundare, poate fi pussub forma unei relaii ntre s produse adimensionale.Se aleg mrimile primare dintre mrimile ce guverneaz fenomenul astfel ncts ndeplineasc urmtoarele cerine:

- s fie independente adimensional;- s permit exprimarea tuturor unitilor fundamentale.

Mrimile care apar n relaie se scriu ntr-o matrice dimensional ce conineexponenii mrimilor fundamentale L, M, T astfel:

Dimensiune/Mrime p d l k vM 1 0 0 0 1 1 0L -1 1 1 0 -3 -1 1T -2 0 0 0 0 -1 -1

S-a inut cont de observaia fcut i n problema anterioar i anume c k este

rugozitatea relativ a pereteluid

k , adic este o mrime adimensional.

n aceast matrice mrimile primare ce trebuie alese trebuie s asigure undetzerminant diferit de zero.Dac se aleg mrimile d, , v avem ndeplinite cele dou cerine pentru mrimi

primare, iar determinantul:

01

100

131

010


21/210


Avem deci trei mrimi primare(d, , v) din cele apte, i deci celelalte patru suntmrimi secundare i se pot forma patru produse adimensionale.

Vom grupa mrimile primare la sfritul relaiei: v,,d,,k,lfp

Matricea dimensional se reduce la:

Dimensiunea Exponentdimensional

A1p

A2l

A3k

A4

A5d

A6

A7v

Mi

1 0 0 1 0 1 0

L i -1 1 0 -1 1 -3 1T

i -2 0 0 -1 0 0 -1

Produsele adimensionale care se formeaz sunt de forma:

oooKKKK

7

K

6

K

5

K

4

K

3

K

2

K

1 TLMTLMAAAAAAA iiii1i7654321

undei

,i

, i sunt exponenii dimensiunilor M, L, T pentru fiecare mrime Ai icare rezult din matrice. Produsul este adimensional, deci exponenii dimensionali aiprodusului sunt nuli i avem:

0KKK2K

0KK3KKKKK

0KKKK

741ii

765421ii

641i

Avem format un sistem de trei ecuaii cu ase necunoscute (K3nu apare n sistem).

0KKK2

0KK3KKKK

0KKK

741

765421

641

de unde rezult:

425

417

416

KKK

KK2K

KKK

n matricea soluiilor se va da succesiv valoarea 1 uneia din mrimile K1, K2, K3,K4i celelalte se iau zero. i calculm valorile lui K5, K6, K7n funcie de primele pebaza relaiilor stabilite mai sus.


22/210


Deci s-au format urmtoarele produse adimensionale:

2

21

1v

pvp

D

ldl 1

2

k3

vdvd 1114

Aceste produse adimensionale exprim de fapt mrimile secundare cnd s-austabilit cele primare. Atunci avem obinut relaia:

v

v,,

d

d,

vd

,k,

d

lf

v

p2

adic o dependen de forma:

vd,k,

d

lf

v

p12

OBSERVAIE: tiind c p este direct proporional cu lungimea conductei,deci i cu l/d se mai poate scrie:

vd,kf

d

l

v

p22

i innd cont de criteriile de similitudine, avem: Re,kf

d

lEu 2

sau

2

v

d

lkRe,

2

v

d

lRe,kf2vRe,kf

d

l

2

2p

22

2

2

2

pK1

lK2

kK3

K4

dK5

K6

vK7

1 1 0 0 0 0 -1 -22 0 1 0 0 -1 0 03 0 0 1 0 0 0 04 0 0 0 1 -1 -1 -1


23/210


adic relaia lui Darcy. Funcia se determin fie experimental, fie din considerenteteoretice. Deci prin analiz dimensional s-au stabilit doar parametrii adimensionali ceguverneaz fenomenul.

1.11 S se determine folosind teorema Pi formula debitului peste undeversor triunghiular dac acesta depinde de nlimea lamei deversante h, unghiul lavrf , densitatea lichidului , vscozitatea cinematic a lichidului , tensiuneasuperficial i acceleraia gravitaional g.

REZOLVARE

Dorim s gsim o dependen de forma:

g,,,,,hfQ Considernd explicaiile fcute pe larg la problema anterioar putem scrie:Q h g

M 0 0 0 1 0 1 0L 3 1 0 -3 2 0 1T -1 0 0 0 -1 -2 -2

Dac alegem h, , g mrimile primare avem determinantul:

02

200

131

010

Deci avem mrimile primare h, , g i avem patru mrimi secundare, deci patruproduse adimensionale.

Procednd ca la problema anterioar se va ajunge la urmtoarea dependen:

g

g,

hg,

hgh,,,

h

hf

hgh

Q22

Ca exemplificare considerm:

ooo322 TLMLMTLLTMgh Adic se obine:

022

03

01

1

1

2

Deci ca s exprimm termenul adimensional care-l conin pe am obinut:

2hg


24/210


Analog se procedeaz i pentru i pentru . Se ajunge la dependena mai simpl:

212 hg

,hgh

,fhgh

Q

Deci avem:2/12/5

1

2

1 ghfhghfQ

1.12 Pentru studiul unui deversor s-a construit un model avnd dimensiunile

de 20 de ori mai mici dect ale prototipului. S se stabileasc scrile pentru viteze idebite. Considernd debitul deversorului Qp=250 m

3/s s se determine debitul necesarpe model.

REZOLVARE

n cadrul unui deversor criteriul determinant n realizarea similitudinii este criteriulFroude:

lg

vFr

2

Conform teoremei lui Newton pentru fenomene ce formeaz un grup desimilitudine, criteriile de similitudine de acelai nume au valori unice pentru toatefenomenele grupului. Aceasta nseamn n cazul nostru c numrul Froude pentruprototip i pe model are aceeai valoare.

mp FrFr

mm

2

m

pp

2

p

lg

v

lg

v

Dar acceleraia cmpului gravitaional terestru este practic constant, deci

mp gg i se obine:

m

p

2

m

2

p

l

l

v

v

De unde scara corespunztoare vitezelor, adic raportul dintre viteza depe prototipi cea de pe model, rezult c este:

472,420l

l

v

vv

m

p

m

p

o

Scara debitelor se calculeaz innd cont de ecuaia de continuitate SvQ


25/210


854,178820ll

l

l

l

l

l

l

l

v

v

Sv

Sv

Q

QQ

2/52/5

o

5,2

m

p

2

m

p

m

p

2

m

2

p

m

p

mm

pp

m

p

o

Debitul necesar pe model va fi:

1397,020

250

Q

QQ

2/5

o

p

m m3/s

1.13 ntr-o conduct cu diametrul 250 mm curge ap la 15C cu viteza de 5

m/s. Cu ce vitez trebuie s curg un combustibil la temperatura de 32C ( c=2,9710

-6

m2/s) ntr-o conduct de 150 mm pentru ca cele dou curgeri s fie din punct de vederedinamic asemenea?

REZOLVARE

n cazul micrii n conduct efectul vscozitii nu poate fi neglijat i de aceeatrebuie respectat criteriul de similitudine de tip Reynolds. nseamn c pentru a avea osimilitudine hidrodinamic ntre cele dou fenomene trebuie ca cele dou numereReynolds pentru cele dou curgeri s fie egale.

lcombustibiapa ReRe

c

cc

a

aa dvdv

unde indicele a este pentru ap i indicele c corespunde combustibilului.Vscozitatea apei la 15 se determin cu formula lui Poiseuille:

2

6

t00022,0t0337,01

1078,1

[m2/s]

t fiind temperatura apei n [C].Pentru ap la 15C se obine vscozitatea cinematic:

6

2

6

a 101447,11500022,0150337,01

1078,1

m2/s

Rezult n final:

621,21101447,1

1097,2

150

2505

d

dvv

6

6

a

c

c

a

ac

m/s

1.14 Pentru golirea modelului unui rezervor sunt necesare 6 minute prin

deschiderea ventilului de evacuare. S se determine timpul necesar golirii unui rezervorde 225 de ori mai mare dect modelul.


26/210


REZOLVARE

n acest caz greutatea este fora dominant i deci criteriul de similitudine caretrebuie respectat este cel al lui Froude. Aceasta nseamn c pentru model i prototipavem:

pm FrFr

pp

2

p

mm

2

m

lg

v

lg

v

Dar pm gg

i avem n continuare:

p

m

2

n

2

m

l

l

v

v o

p

m

p

m ll

l

v

v

Adic oo lv sau:

o

1

oo ltl oo lt

Adic:

15225lt

to

m

p

Timpul necesar golirii prototipului este:

9015615tt mp minute

1.15 n cazul unui ajutaj Venturi ce funcioneaz cu ap la temperatura de20C se dorete o vitez n seciunea contractat de 450 mm de 5 m/s. Se construieteun model de 4 ori mai mic dect prototipul care va funciona cu ap la 40C. S sedetermine care este debitul necesar pentru model.

REZOLVARE

Criteriul de similitudine n acest caz care trebuie respectat este:

pm ReRe

p

pp

m

mm dvdv

Din relaia lui Poiseuille se determin vscozitatea cinematic a apei la cele doutemperaturi (20C i 40C).

6

20p 1001,1o

m2/s6

40m 1066,0o

m2/s


27/210


07,131001,1

1066,045

d

dvv

6

6

p

m

m

p

pm

m/s

1299,04

4

450,0

07,134

dvSvQ

2

2

m

mmmm

m3/s

1.16 ntr-un prototip se va folosi ulei cu vscozitatea cinematicp=4,7010

-5 m2/s. Considernd c dominante n prototip sunt fora de greutate i

forele de frecare vscoase se dorete s se construiasc un model la scara 1/10. Careva fi vscozitatea lichidului necesar pentru model?

REZOLVARE

innd cont c dominante sunt fora de greutate i forele de frecare vscoasnseamn c att numrul Froude ct i numrul Reynolds trebuie s fie acelai pentrumodel i prototip. Aceasta nseamn c avem:

mp FrFr adicmm

2

m

pp

2

p

lg

v

lg

v

i mp gg

Rezult c avemm

p

2

m

2

p

ll

vv

Aceast relaie dac o scriem considernd scara lungimilorm

p

ol

ll i scara

vitezelorm

p

ov

vv devine: o

2

o lv oo lv

A doua condiie care trebuie ndeplinit este:

mp ReRe adicm

mm

p

pp dvdv

de unde:

2/3

o

p

oo

p

oo

p

p

m

p

mpm

ll

1

l

1

l

1

v

1

d

d

v

v

Fcnd nlocuirile obinem:

6

2/3

5

2/3

o

m

m 10486,110

1070,4

l

m2/s


28/210


29/210


1.18 La etalonarea unei diafragme avnd D=250 mm i d=150mm pentrumsurat aerul se folosete apa. S-a determinat debitul minim de ap de la carecoeficientul de debit rmne constant Qmin=19 l/s la o diferen de presiune pm=65mm col Hg. Care este debitul minim de aer i diferena de presiune n mm col Hgpentru Q minim de aer. Se dau apa=1,0110

-6 m2/s, aer=18,1810-6 Pas,

aer=1,17 kg/m3.

REZOLVARE

Pentru cele dou fenomene putem scrie:

pm ReRe

p

pp

m

mm dvdv

Fiind vorba de aceeai diafragm avem pm dd .Astfel obinem:

p

m

p

m

v

v

Raportul debitelor se poate scrie:

p

m

p

m

2

p

m

p

m

p

m

v

v

d

d

v

v

Q

Q

i obinem:

2923,01001,1

17,1

1018,18

019,0QQ6

6

m

p

mp

m3/s

Cderea de presiune apare n criteriul Euler i putem scrie pentru model i prototipegalitatea:

pm EuEu

2

pp

p

2

mm

m

v

p

v

p

2

6

6

2

m

p

m

p

m

2

m

p

m

p

mp1001,1

17,1

1018,18

1000

17,165p

v

vpp

= 18 mm Hg


30/210


1.3.2 Probl eme propuse spre rezolvare

1.19 S se stabileasc relaia dintre numrul Reynolds i densitatea ,vscozitatea dinamic , viteza v a fluidului i o lungime caracteristic l folosindu-seanaliza dimensional.

R:

lvRe

1.20 S se determine dependena dintre rezistena la naintare a unui corp

ntr-un fluid, tiind c depinde de viteza v, o dimensiune caracteristic a corpului l,rugozitatea suprafeei acesteia k, densitatea fluidului , vscozitatea dinamic i

modulul de compresibilitate E.

R:

MaRe,,l

k

lv

F22

1.21. Sse determine viteza ntr-un punct al unui deversor, dac s-a construitun model al deversorului funcionnd n condiii similare, fiind de 30 de ori mai mic icorespunztor a dou puncte omoloage de pe model i prototip, n punctulcorespunztor modelului viteza este v=0,5 m/s.

R: vp=2,739 m/s

1.22. Printr-o conduct avnd diametrul de 100 mm curge ap cu viteza de 1,5m/s la 20C (apa 20

oC=1,0110

-6m2/s). Cu ce vitez va curge petrolul (p=410-6m2/s)

prin aceeai conduct considernd cele dou curgeri similare.

R: vp=5,94 m/s

1.23 Printr-o conduct cu diametrul de 500 mm se transport aer cu o vitez de2,5 m/s. Pentru a asigura o similitudine dinamic care trebuie s fie dimensiunile uneiconducte care transport ap la 15C cu o vitez de 1,5 m/s? (aer=1,4910

-5 m2/s iapa=1,1410

-6m2/s).

R: dapa=63,76 mm


31/210

CAPITOLUL 2

CALCULUL IMSURAREA DEBITULUI FLUIDELORINCOMPRESIBILE N MICARE PERMANENT

NOTAII I SEMNIFICAII FIZICEQ-debitul volumic n(m3/s)

s-seciune de fluxS-aria seciunii s n(m2)V-volum de lichid n(m3)t-timpul n(s)

V -vectorul vitez ntr-un punct al seciunii s

V-modulul vectoruluiV n(m/s)Vs=Q/S-viteza medie n seciunea s n(m/s)-densitatea fluidului n(Kg/m3)M-debitul masic n(Kg/s)z-cota fa de unplan de referin epicentric n (m)p-presiunea n (N/m2)

pd-presiunea dinamic n (N/m2

)-coeficientul de etalonare al sondei Pitot-Prandtl- coeficientul Coriolis de neuniformitate a distribuiei vitezeihp-pierderea de energie hidraulic n (metri coloan de lichid)Z, Z*, -cota suprafeei libere real sau ipotetic n (m)H, H*, y-diferen de nivelPM-presiunea (relativ) indicat de manometru n ( N/m

2)CC-coeficient de contracieCV- coeficient de vitezCQ- coeficieent de debitD- diametrul (hidraulic)n (m)Re-numrul Reynolds

h- nlimea lamei deversante n (m)

2.1 INTRODUCERE

Debitul este unparametru esenial n ingineria fluidelor prin intermediul cruiase poate face o analz cantittativ, dar i al eficienei din punct de vedere energetic aproceselor de transport i transfer.


32/210


2.2.NOIUNI TEORETICE

Pentru micarea permanent a fluidelor incompresibile debitul (volumic) Q, sedefinete prin intermediul fluxului vitezei ca o msur scalar asociatunei seciunide curgerea (de fl ux)s:

s

danVQ (2.1)

sau dac n seciunea s micarea are loc n lungul unor drepte paralele, VnV :

s

VdaQ (2.2)

Fig. 2

n aplicaiile tehnice debitul se exprima prin intermediul vitezei medii. Mrimefr semnificaie fizic viteza medie Vs:

S

QVs (2.3)


33/210

2 - Calculul i msurarea debitului fluidelor 37

caracterizeaz situaia ipotetic corespunztoare unei distribuii uniforme a vitezei nseciunea s:

s

ss SVdaVVdaQ (2.4)

i intervine n expresiile ecuaiilor de transfer -ale: masei, ETM, i energiei mecaniceETEM-aplicate volumului de control standard [1]

ETM 2211 SQSVQ (2.5)

ETEM 21p

2

22

22

2

11

11 h

g2

V

g

pz

g2

V

g

pz

(7.6)

n conformitate cu definiia (2.2) pentru lichide debitul se exprim ,fig.2, iprin volumul vehiculat prin seciunea respectiv n unitatea de timp:

tVQ (2.7)

sau sub form diferenial:

QdtdV (2.8)

Relaiile de mai sus stau la baza metodelor directe (fr introducerea unormrimi auxiliare) de msurare a debitului n instalaiile sub presiune (conducte) sau lacurgerile cu suprafa liber (canale)

Observaie:pentru fluidele incompresibile (= ct), debitul masic rezult din

M=Q (2.9)

Calculul debitului, conform definiiei (2.1), presupune cunoaterea cmpuluide viteze n seciunea de flux i posibilitatea evalurii integralei de suprafa.. Acestedeziderate imposibil de ndeplinit reclam:

acceptarea unor ipoteze simplificatoare privind: distribuia (cmpul) i,metode experimentale sau relaii de calculpentru determinarea vitezelor.


34/210


2.3 APLICATII

2.3.1. Probleme rezolvate

2.1.Sse stabileascecuaiile pentru micarea laminara unui fluid vscosprintr-o conduct circular de seciune constant s, fig.2.1, n ipoteza micrii axialsimetrice:

REZOLVARE

Se pleaca de la ecuatia:

pV,

=0

innd cont de legea de distribuie a vitezei:

2

max 1R

rVrV

debitul Q are expresia:

2

s

R

0

2

RV2

rdr2Rr1VVdaQ

maxmax

i cu aceasta viteza medie:

2

V

S

QVs

max

Fig.2.1


35/210


Observaie.Ipoteza micrii axial simetrice este acceptat i n cazul curgerilor turbulente

n conducte .n aceste cazuri este necesar explorarea cmpului cu ajutorul unorinstrumente de msurare a vitezei cel mai accesibil fiind sonda Pitot-Prandtl. ntr-unpunct viteza sesizat de sond se obine din relaia:

din

p2V (2.10)

Pentru ca ipoteza micrii axial simetrice s fie viabil, este necesarmsurarea vitezei n (ct) mai multe puncte situate la aceeai raz r. iar vitezapresupus constant conform ipotezei, este media aritmetic Vmed(r) = ct( r ) a celormsurate. Cu acestea, n seciunea transversal a conductei n care s-au fcutmsurtorile s, conform definiiei, debitul Q rezult din:

2R

0

med

R

0

med

s

rdrVdrrrV2VdasQ

prin soluionarea numeric (grafic) a integralelor.Pentru regimurile turbulente de curgere n general, nu se cunosc distribuiile de

viteze n seciunile de flux i ca atare pentru calcul, n aplicaii,in general, se accept odistribuie uniform echivalent unei viteze medii. n aceast situaie debitul poate ficalculat apelnd la ecuaiile de transfer (2.5) i (2.6)n care implicit:

1daV

V

S

1

sm

.

2.2S se calculeze debitul de ap ( H2O=1000Kg/m3 ) vehiculat printr-o

conducta orizontal de seciune circular constituit din dou tronsoane cu diametrele.D1=0.025m, D2=0.05m fig.2.2, dac denivelarea indicat de piezometrul diferenialindirect cu mercur (Hg=13600Kg/m

3) conectat la extremitile conductei esteh=0.03m, iar pierderile (locale i longitudinale) pe conduct au fost estimate la hp(1-2)=0.2m coloan ap.


36/210


Fig.2.2

REZOLVARE

21phh1

O2

H

Hgg2

1

4

1D2

D

1

21ph

go2

H

1p

2p

g2

1

4

1D2

D

12

V

2

1D2

D

1V2V

Q2=V2S2=0.0169m3/s


37/210


Analog, prin identificarea unor seciuni n care distribuia de viteze poate fiacceptat ca uniform i asociat unei viteze medii, se procedeaz n cazul :

Orificiilor -inecate sau nu- practicate n, sau ajutajelor cilindrice(tronsoanescurte de conduct) ataate la, peretele unui rezervor de cot constant fig. 2.2.a, sauinstrumentelor de msur a debitului n sistemele sub presiune (conducte)diafragma,ajutajul, tubul Venturi, fig.2.2.b.

Fig.7.2a


38/210


diafragm ajutaj

Tub Venturi

Fig. 2.2b

Observaii:Pentru situaiile menionate, fig. 2.2a, ,fig. 2.2b, expresia debitului estestructural aceiai:

C0

Q

Q

Q

pp2SC

gH2SC

gH2SC

Q (2.11)

cu:

S

SC CC (2.12)

c0 ssp

Vh1

1C

(2.13)

VCQ CCC (2.14)


39/210


Coeficienii de debit CQ. de vitez CV, i de contracie CC, se determinexperimental i depind de tipul seciunii s de dimensiunea (relativ n raport cu sarcinaHsau diametrul conductei ) i calitatea suprafeei (rugozitatea) acesteia i, de regimul

de curgere (numrul Reynolds

VD

Re ).

n seciunea contractat sC(asemenea geometric cu s) micarea se desfoar nlungul unor drepte paralele iar fenomenul de contracie se explic prin faptul c liniilede curent au direcii convergente, convergen care se continu i dup seciunea s.

Sunt situaii n care, prin forma i dimensiunile (relative) seciunii de flux

procesul de contracie este atenuat, i / sau nu se poate identifica o seciune contractatasemenea geometric n care este acceptabil ipoteza unei distribuii uniforme a vitezei.n unele din aceste cazuri este posibil estimarea debitului dac:

a) se presupune c, n seciunea de flux, viteza este constant pentru orice planorizontal situat la cota Z fa de planul real sau ipotetic al suprafeei libere Z *, i arerespectiv expresiile:

gZ2zzg2V 0 (2.15)

gZ2zz

g

pg2V 0

M (2.16)

obinute pentru un fluid ideal din ecuaia lui Bernoulli.(EB):

(EB) ctg2

V

g

pz

2

(2.17).

b) se poate soluiona integrala de suprafa (2.1)n cazul utilizrii ca instrumente de msur sau pentru o evaluare ct mai

exact expresiile rezultate trebuiesc corectate cu un coeficient de debit stabilit pe caleexperimental.

2. 3n peretele lateral al rezervorului cu ap ( H2O=1000Kg/m3), din fig.2.3,

este practicat un orificiu de seciune dreptunghiular h=2m, b=4m. Rezervorul de cotconstant, a=4m, este nchis iar presiunea n perna de aer este msurat cu ajutorulunui manometru plasat pe capac care indic 1,962 bar. S se calculeze debitul Qvehiculat prin orificiu i s se compare cu cel obinut dac rezervorul este deschis.


40/210


Fig.2.3

REZOLVARE

n conformitate cu Fig.2.3 conform definiiei (2.1) din (2.16) rezult:

s/m154,117ag

phag

pg2b32

dZbgZ2VdaQ

3

2

3

M

2

3

M

*

s

hag

p

ag

p

*

M

M

i respectiv:

s/m3,82ahag2b3

2bdZgZ2VdaQ 32

3

2

3

s

ha

a

0pM


41/210


2. 4S se stabileasc n funcie de nlimea lamei deversante h expresiadebitului unui deversor triunghiular avnd unghiul la vrf 2(fig.2.4).

Fig.2.4

REZOLVARE

Cu relaia (2.15) i notaiile din fig.2.4, rezult:

25

s

h

0

htgg2

15

8dztgzh2gZ2VdaQ

ObservaiePentru cazul considerat-deversor triunghiular cu muchii ascuite i 2=900,

debitul real, se obine nmulind expresia de mai sus cu un coeficient de debitCQ=0.5926 determinat experimental. Pentru alte variante constructive-cu seciunedreptunghiular, circular, parabolic, cu profil gros, cu prag lat, .a - coeficienii dedebit au valori distincte dar metodologia de determinare a expresiei debitului esteaceiai.

Relatiile (2.8),(2.11) sunt aplicate i la tratarea unor probleme de golire saude transvazare a lichidelor dintr-un rezervor n altul- cazuri particulare de curgerinepermanente .n aceste cazuri se consider c variaia parametrilor definitorii amicrii este lent i micarea poate fi tratat ca o succesiune temporal de curgeristaionare.

2. 5Un vas de form oarecare, fig.2.5, alimentat cu debitul constant Qa esteprevzut cu un orificiu de golire avnd coeficientul de debit CQ. S se determine legeade variaie n timp a cotei Z a suprafeei libere fa de planul orificiului. Pentru cazulparticular al unui rezervor paralelipipedic de seciune ptrat L=2m, dac Qa=0, iorificiul circular d=0.1m are coeficientul de debit CQ=0.6 s se determine timpul degolire al rezervorului tGdac la momentul iniial t=0,cota suprafeei libere H= 10m.


42/210


Fig. 2.5

REZOLVARE

Considernd momentul iniial t=0, Z=H. La acest moment debitul asociat

seciunii s a orificiului este gH2d4

CQ 2Q0

. Dac Q a< Q 0 nivelul suprafeei

libere va cobor n aceast situaie la un moment de timp t cu relaia (2.8) se scrie:

dZt,ZSdtQgZ2d4

C a2

Q

unde S(Z,t) este aria suprafeei s(Z,t) i dVol=S(Z,t)dZ cu dZ


43/210


Din momentul t k curgerea devine permanent deoarece nivelul suprafeeilibere se menine la cota k ,debitul de alimentare fiind egal cu cel evacuat prin orificiu.Dac seciunea transversal a rezervorului este constant i deci S(Z, t)= S = ct, seobine:

kZ

kHlogHZk

g2d4

C

St

2

Q

,

din care rezult evident, c prezumtiva cot k nu este atins niciodat t .Pentru rezervorul de seciune ptrat (S= L2) nealimentat (Qa = 0 k = 0 )prin particularizarea relaiilor precedente sau direct cu (2.8) din:

g2d4

C

HL2

Z

SdZ

g2d4

C

1t

2

Q

20

H2

Q

G

rezult timpul de golire t G =300s.

2. 6Un rezervor paralelipipedic este divizat de un perete vertical n dou

compartimente avnd seciunile transversale s i s* de arie constant, respectivS=10 m2i S*=12 m2. n peretele despritor, fig.2.6, este practicat un orificiucircular s0avnd diametrul d=0.2 m i coeficientul de debit CQ=0.6 Dac la unmoment dat, considerat iniial t=0, diferena de nivel ntre suprafeele libere dincele dou rezervoare este H=10 m, s se determine timpul tG necesar egalizriicelor dou nivele.

Fig.2.8


44/210


REZOLVARE

La un moment dat t, diferena de nivel a lichidului n cele dou compartimenteeste:

ZZy

i, debitul transvazat prin orificiu (necat), are expresia:

gy2d4Ct,sQ 2

Q

La momentul t (arbitrar) considerat, pentru cele dou compartimente nconformitate cu (2.8) i (2.11) se scriu relaiile.

)0dZ(umplere..........dZSdtgy2d4

C

)0dZ(golire............SdZdtgy2d4

C

2

Q

2

Q

i cu:

dZdZdy rezult:

gy2d4

C

dy

SS

S.Sdt

2

Q

din care:

s80

g2d4

C

H

SS

S.S2dtt

2Q

0

H

G

2.3.2.Probleme propuse spre rezolvare.

2.7. Doua rezervoare de sectiune patrata cu laturile L1=2.4m respectivL2=1.2m, au un perete despartitor prevazut cu un orificiu de arie s=230 cm2. Lamomentul initial, cotele suprafetelor libere, fata de axa orificiului, erau,in celedoua rezervaoare H1=3m, respectiv H2=0.9m. Sa se determine timpul necesar

pentru egalizarea nivelelor daca coeficientul de debit al orificiului este Cq=0.8.

R: t=41.8s


45/210


46/210


2.12. S se calculeze debitul evacuat prin orificiul cu muchii ascuite, dediametru d = 0,120m, practicat n peretele terminal al unei conducte de diametruD = 0,2m, dac indicaia manometrului M, plasat pe conduct n amonte de orificiusituat la cota h = 1,5 m fa de axa conductei este pM = 0,981 bar, fig.2.12. Care estedebitul vehiculat Q1 dac la orificiu se ataeaz o conduct scurt. Se cunoatecoeficientul de pierderi hidraulice (locale) la trecerea fluidului prin orificiu = 0,04 icoeficicntul de contracie al vnei provenite din orificiu este CC= 0,62.

Fig.2.12

R: Q=0,115 m3/s ; Q1=0,155 m

3/s

2.13.Pe o conduct dreapt orizontal de diametru D = 0,3m, fig.2.13, este

plasat ca instrument de msur un tubVenturi avnd diametrul seciunii minime d=0,15 m. S se determine debitul de ap vehiculat (= 1000 kg/m3) dac se cunoatecoeficientul de debit al venturimetrului CQ = 0,9 i denivelarea h = 1 m citit lapiezometrul diferenial indirect cu toluen (1 = 1250 kg/m

3) conectat la instrument.

Fig.2.13R: Q=0,0352 m

3/s


47/210


2.14. n peretele lateral vertical al unui rezervor nchis de cot constant,fig.2.14, cu ulei (ulei = 750 kg/m

3), este practicat un orificiu de descrcare avndd = 0,075 m, CV = 0,950 CC = 0,650. Care este presiunea n perna de aer citit lamanometrul montat pe capacul superior al rezervorului dac puterea jetului provenitdin orificiu P = gQH = 6 kW. Axa orificiului este situat fa de planul suprafeeilibere la adncimea H = 2,7m.

Fig-2.14

R: pM=1,122 bar

2.15.Un rezervor cu ap (= 1000 kg/m3) de cot constant, fig.2.15, esteprevzut cu un ajutaj de descrcare cu diametru d=0.1m avnd coeficientul decontracie CC = 0,62. S se determine:

1) debitul evacuat dac nivelul suprafeei libere este situat deasupra axeiajutajului la cota H = 9 m

2)

indicaia manovacuumetrului conectat la seciunea contractat a vnei najutaj

3) cota H maxim pentru care la eirea din ajutaj, vna are diametru d.

Fig.2.15

R: Q=0,0855 m3/s , pN= -0,35 bar, H=12,15 m

2.16.n pereii laterali, plani, verticali, opui, ai unui rezervor cu ap, de cotconstant (ap= 1000 kg/m

3), sunt practicate dou orificii coaxiale, fig.2.16, unulcircular de diametru d = 0,2 m, CQ1 = 0,603, respectiv unul ptrat de latur a= 0,2 m,CQ2 = 0,489. Cunoscnd debitul de alimentare Q = 0,2 m

3/s care asigur pentru H= 4m, un regim permanent de curgere s se determine debitele asociate celor dou orificii.


48/210


Fig.2.16

R: Q2=0,1016m3/s ; Q1=0,0984m

3/s

2.17. Care este coeficientul de debit CQal unui deversor semicircular de razR = 0,5 m, fig.2.17, dac pentru o nlime h1 = 0,5 m debitul msurat a fostQ = 0,48 m3/s .

Fig.2.17

R:CQ = 0,6

2.18. n peretele lateral al unui rezervor de cot constant H, fig.2.18, estepracticat un orificiu circular cu diametru D (HD/2 ; HD ). S se determine neglijndpierderile expresia debitului Q evacuat prin orificiu i s se particularizeze pentru:H=1m, a=1m, D=2m. (orificiul este tangent la suprafaa liber)


49/210


Fig.2.18R: Q=4,3m

3/s

2.19. Un rezervor vertical, fig.2.19, este constituit din dou compartimente .nperetele despritor i n cel exterior al celui de al doilea compartiment snt practicatedou orificii circulare cu diametrele d1=0.2m, d2=0.1m. S se determine coeficientul dedebit al orificiului din cel de al doilea compartiment i debitul de alimentare Q necesarpentru ca nivelul lichidului n cele dou compartimente s se menin la coteleH=0.36m respectiv H1=4m . Coeficientul de debit al primului orificiu este CQ1=0.58

Fig.2.19

R:CQ2=0.696 ; Q=0,484 m3/s

2.20. Un rezervor semisferic de raz R, fig.2.20, este prevzut cu dou orificiiidentice de diametru d dispuse n axa vertical ce trece prin centrul sferei.. Dacrezervorul este umplut, s se stabileasc raportul dintre timpii de golire ai rezervorului,prin cele dou orificii.

Fig.2.20

R: tg1/tg2=12/7


50/210


2.21. Un rezervor tronconic este prevzut cu un orificiu de golire cu pereisubiri, fig.2.21. S se determine diametrul orificiului dac pentru: H=3m, D1=2.4m,D2=1.2m, se impune ca timpul de golire s fie de 6 minute. Se accept pentrucoeficientul de debit al orificiului valoarea CQ=0.8.

Fig.2.21

R: d=0,0987 m


51/210

CAPITOLUL 3

CURGEREA LICHIDELOR PRIN CONDUCTE

Notaii i semnificaii fizice densitatea mediului lichid, n kg/m3

vscozitatea cinematic, n m2/s vscozitatea absolut, n Pa.svviteza medie de curgere, n m/sRenumrul Reynoldsddiametrul conductei, n mllungimea conductei, n m coeficientul de pierdere hidraulic longitudinal coeficientul de pierdere hidraulic localppresiunea, n Pa tensiunea tangenial, n N/m2

g = 9,81 m/s2acceleraia gravitaionalQdebitul volumic, n m3/s coeficient de neuniformitate a vitezei pe seciunehppierderea hidraulic, n m

3.1. INTRODUCERE

n diverse ramuri ale practicii inginereti, problemele curgerii lichidelor princonducte se rezolv utiliznd ecuaia de transfer a energiei mecanice i ecuaia decontinuitate (prezentate n capitolul 2). Curgerea stabil a fluidelor reale trebuie luatn considerare i rezolvat n contextul metodelor experimentale i semi-empirice. Eaeste de dou tipuri, laminar i turbulent, fiecare tip de curgere fiind guvernat de legidiferite.

3.2. NOIUNI TEORETICE

Curgerea laminareste micarea n care nu exist schimb de substan ntrestraturile adiacente. Criteriul pentru caracterizarea naturii regimului de micare ntr-oconduct a fost introdus de O.Reynolds prin:


52/210


Redvdv

(3.1)

unde Re poart numele de criteriu sau numr Reynolds.Pentru condiiile de seciune circular s-au stabilit experimental valorile pentru

numerele Reynolds critice corespunztoare tranziiei laminar-turbulente.

2300dv

Re .inf.cr.inf.cr

(3.2)

4000dv

Re .sup.cr

sup.cr

(3.3)

Cnd Re


53/210

3 - Curgerea lichidelor prin conducte 57

4

R

l

pv

2

max

(3.7)

reprezint viteza maxim n axa conductei.Viteza medie pe seciunea transversal a conductei va fi:

2

vv maxmed (3.8)

Tensiunea tangenial se determin din Legea de frecare Newton ca avnd ovariaie liniar n raport cu raza:

dr

dv

dn

dv (3.9)

innd cont i de relaiile (3.6) i (3.7) rezult:

l2

rp

(3.10)

2

med

R

vl8p

(3.11)

Se poate determina coeficientul pentru micarea laminar conform relaieilui Hagen-Pouiseuille:

Re

64 (3.12)

Curgerea turbulent este micarea caracterizat de un puternic schimb desubstan ntre straturile adiacente de fluid.n domeniul micrii trurbulente coeficientul de pierderi hidraulice ia valori diferiten funcie de regimul de curgere, dup cum urmeaz:-regim de conduct hidraulic neted CHN: cnd nu depinde de rugozitatea relativ aconductei ci doar de numrul Re =(Re);

-regim de conduct hidraulic semi-rugoas CHSR: cnd =(Re,k/d);-regim de conduct hidraulic rugoas CHR: cnd depinde exclusiv de rugozitatearelativ i are o valoare constant =(k/d)=const.

Una i aceeai conduct poate fi hidraulic neted sau hidraulic rugoas nfuncie de valoarea lui Re i a raportului k/d. Pentru determinarea regimuluicoeficientul se calculeaz astfel: se admite la nceput o valoare de iniializare a


54/210


calculului pentru n intervalul 0,02...0,04. Se stabilete valoarea criteriului lui

Moody,d

kReCrit , dup cum urmeaz:

a). Pentru CHN: Crit


55/210


56/210


De aici determinm diametrul ca fiind:

0449,023001084,2

10308,24d

Re

Q4d

5

3

m

3.3. Apa curge printr-o conduct avnd un diametru d=200 mm. Pierdereahidraulic pe o lungime L=150 m este de 10 m, fig.3.3. S se determine:

a). Tensiunea tangenial la peretele conductei;b). Viteza medie n conduct pentru un coeficient de pierdere prin frecare

=0,04;c). Tensiunea tangenial la 40 mm fa de axa conductei?

Fig. 3. 3

REZOLVAREa).n ipoteza unei curgeri staionare, se scrie echilibrul forelor dup direcia x a

curgerii:0ASpSp 21 sau

0Lr2rprp 222

1

Rezult:

L2

rp

L2

rppL2rpp d2121

La perete r=d/2=R. Prin urmare,

L4

dpd0


57/210


Dar pierderile hidraulice uniform distribuite pot fi scrise astfel:

pd hgp

nlocuind in relaia lui 0obinem:

L4

hdg p0

7,32

1504

102,081,910000

N

b). Pierderile hidraulice uniform distribuite se exprim conform (3.5):

g2

v

d

Lh

2

p

De aici rezult viteza ca fiind:L

hdg2v

p

.

nlocuind,

557,215004,0

102,081,92

v

m/s

Sau, innd cont de cderea de presiuned

L4

r

L2p 0d

,

g2

v

d

L

dg

L4

g

ph

20d

p

Rezult pentru vitez:

557,2100004,07,3288v 0

m/s.

c).

d

r2

L4

dhg

L2

rhg

L2

rp ppd

DeciR

r

d

r200

, iar numeric, 08,13

100

407,32 N.


58/210


3.4. Ce debit de pcur de densitate =918 kg/m3 trece printr-o conductorizontal avnd lungimea L=100 m i diametrul d=150 mm? Se cunosc presiunile lacapetele conductei pA=1 bar i respectiv pB=0,035 bar, iar vscozitatea cinematic=412,510-6m2/s.

REZOLVARE

4

2dvSvQ

Pentru aflarea debitului avem nevoie de vitez. Aceasta se determin dinexpresia cderii de presiune, dup cum urmeaz:

55BAd 10965,010035,01ppp Pa. Dar:

2

d

52

5

2

242

2

d QL8pdd

QL8

g2

1

d

Q16

d

Lgp

Rezult:L8

pdQ d

52

Presupunem 0=0,03. Atunci

0573,010091803,08

10965,015,0Q

552

m3/s. De aici rezult viteza:

242,315,0

0573,04

d

Q4v

22

m/s. Verificm natura regimului de curgere n

conduct:

1179

105,412

15,0242,3dvRe

6micare laminar. Corecia pentru se

face utiliznd formula Hagen-Pouiseuille: 054,01179

64

Re

64 . Cu aceast valoare

se corecteaz valoarea debitului, rezultnd n final Q=0,043 m3/s.

3.5. Apa curge printr-o conduct de 2 km cu un debit Q=45 l/s. Diametrulconductei este d=300 mm, iar vscozitatea apei =1,0110-6m2/s. tiind c rugozitateapereilor conductei este k=1 mm, s se determine:

a).Cderea de presiune pe cei 2 km de conduct;b).Natura regimului de curgere n conduct;c).Ce valoare are coeficientul de pierdere longitudinal?


59/210


REZOLVARE

a).Cderea de presiune se scrie ca:g2

v

d

Lghgp

2

pd .

Pentru determinarea vitezei apelm la ecuaia de continuitate:4

dvsvQ

2

De unde 637,0d

Q4v

2

m/s. Atunci cderea de presiune va fi:

52

2

42

2

d

QL8

g2

1

d

Q16

d

Lgp

deci 528,40p kPa.

b).Se calculeaz numrul Reynolds:

1890951001,1

3,0637,0dvRe

6

>4000, deci micarea n conduct este

turbulent. Mai mult, din criteriul lui Moody:

17,109300

103,0189095

d

kRe valoare aflat n intervalul 9,4...200;

rezult deci o conduct hidraulic semirugoas.

c).Coeficientul se calculeaz utiliznd formula Colebrook-White. Se admitevaloarea la care, pentru dou iteraii succesive, eroarea este mai mic de 10-6.

d71,3

k

Re

51,2lg2

1

1nn

Presupunnd 0=0,03 rezult:

0276027,0

0276027,0

027603,0

027576,0

4

3

2

1

Deci =0,0276027


60/210


3.6.Printr-o conduct orizontal de lungime L=500 m i diametru d=40 mm estepompat ap de mare avnd densitatea masei =1025 kg/m3. Cunoscnd cderea depresiune la capetele conductei ca fiind pd=200 kPa i vscozitatea absolut a apei demare =1,02510-3Pas, s se determine debitul de ap de mare ce trece prin conduct.Se dau 0=0,03 i rugozitatea peretelui interior al conductei k=1,5 mm.

REZOLVARE

Conform ecuaiei de continuitate,4

dvSvQ

2

Cderea de presiune la capetele conductei poate fi exprimata astfel:

g2

v

d

Lghgp

2

pd d

De aici rezult expresia pentru viteza medie n conduct:

020.150003,01025

1020004,02

L

pd2v

3

0

d

m/s 28.1Q l/s.

Aceast valoare este aproximativ i se cere corectarea ei innd cont de regimulde curgere n conduct. Pentru aceasta calculm valoarea criteriului Reynolds:

40004080510025,1

102504.002,1dvdvRe

3

deci micarea este turbulent. Se calculeaz valoarea criteriului lui Moody:

26540

5,103,040805

d

kRe >200, ceea ce indic o conduct hidraulic

rugoas. Relaia de calcul pentru coeficientul de pierderieste dat de Prandtl:

14,1k

dlg2

1

de unde rezult =0,0627.

Cu aceast valoare se corecteaz viteza i n final se determin valoareadebitului de ap de mare. Rezult:

s

l886,0Q

s

m705,0v corcor .


61/210


3.7. Printr-o conduct nou de oel se transport aer la temperatura de 20oC.Conducta are dimensiunile d=40 mm i l=100 m, iar rugozitatea peretelui interiork=0,07 mm. S se determine ce debit de aer este transportat n condiiile n care aerulintr cu o presiune absolut de 3 bar i la captul conducteicderea de presiune este de0,015 bar.

REZOLVARE

Densitatea aerului la 20oC i la presiunea atmosferic de101325 Pa este:204,1

C20aer o kg/m3. Vscozitatea cinematic este=14,8610-6m2/s.innd cont de ecuaia de stare, la 3 bar densitatea aerului devine:

565,315,293287

103

TR

p 5

aer

kg/m3, iar=14,8610-6/3 =4,95310-6m2/s.

Considernd aerul incompresibil, rezult:

21 ppp l

d

g

p

g2

v

g2

v

d

l

g

p 22

l

pd2

lg

dpg2v

Pentru 0=0,03 rezult:

349,310003,0565,3

10015,004,02v

5

m/s. Rezult Q=4,208 l/s.

Pentru corectarea valorii coeficientului calculm criteriul Reynolds:

7,2704910953,4

04,0349,3dvRe

6

aadar avem o micare turbulent.

199,8

40

07,003,07,27049

d

kRe


62/210


694,3100024658,0565,3

10015,004,02v

5

cor

m/s.

32

cor 10462,44

04,0694,3Q

m3/s.

3.8. S se determine coeficientul de frecare pe o poriune a unei conducteprin care curge ap, fig.3.8, lung de 150 m, avnd d=200 mm, tiind c indicaiapiezometrului diferenial cu mercur conectat la capete este h=1,2 m, la un debit al apei

de 175 l/s. Se dau densitile masice ale apei=1000 kg/m3i mercurului,Hg=13600kg/m3.

0Fig. 3.8

REZOLVARE

Coeficientul de pierderi se determin din relaia de transfer a energiei

mecanice scris ntre seciunile 1 i 2. Dac se noteaz diferena de presiune pe aceastporiune cu p, nseamn c:

g2

v

d

l

g

p 2

unde v este viteza medie n conduct i se determin din:

570,52,0

175,04

d

Q4v

22

m/s. Dar HgHg hgp Rezult:


63/210


2

HgHg

2 vl

dg2

g

hg

vl

dg2

g

p

013761,01000

13600

57,5150

2,12,081,92

vl

hdg22

Hg

2

3.9. Printr-o conduct de oel avnd d=400 mm se pompeaz benzin nrezervorul R, cu ajutorul unei pompe centrifuge, fig.3.9. Un manometru plasat la

intrarea n pomp indic presiunea pi=0,14 kgf/cm2, la un debit Q=0,2 m3/s. S sedetermine:

a). Ce putere furnizeaz pompa benzinei?b). Ce presiune trebuie meninut la ieirea din pomp?c). Desenai linia piezometric.Se dau= 0,6510-6m2/s; k = 1,5 mm; = 725 kg/m3.

Fig. 3.9

REZOLVARE

a). Puterea furnizat de pomp benzinei este de fapt puterea util a pompei,care se poate scrie ca: pHQgP . nlimea de pompare Hp se determin dinecuaia de transfer a energiei mecanice scris de la seciunea de intrare n pomp pn

la rezervorul R:Rip

2

RRRRP

2

iiii h

g2v

gpzH

g2v

gpz

Considernd nivelul energetic zero la 1 m, i1, R1 energiile specifice de presiune icinetic la suprafaa liber a rezervorului ca fiindnule, rezult:

g2

v

g2

v

d

l00zH

g2

v

g

p0

2

i

2

iRP

2

ii


64/210


g2

v

d

l

g

pz

g

p

g2

v

g2

v

g2

v

d

lzH

2

iR

i

222

RP

Viteza se calculeaz din ecuaia de continuitate: 592,14,0

2,04v

2

m/s.

Se stabilete regimul de curgere n conduct:

9796921065,04,0592,1dv

Re 6 micare turbulent. Presupunem o valoare

iniial 0=0,03. Criteriul lui Moody are valoarea:

3,636400

5,103,0979692

d

kRe 0 >200, deci conducta este hidraulic

rugoas.Se aplic relaia lui KarmanNikuradse pentru calculul lui :

02785,014,1k

dlg2

1

. nlocuind n expresia nlimii de pompare:

258,39

81,92

592,1

4,0

180002785,0

81,9725

1081,914,025H

24

P

m.

Atunci puterea util rezult: 842,55258,392,081,9725 P kW.

b). Pentru determinarea presiunii la ieire din pomp se scrie ecuaia transferului deenergie mecanic ntre seciunea de la ieirea din pomp i rezervorul R:

g2

v

d

l

g2

v

g

pz

g2

v

g

pz

22

RRRR

2

eeee

Cum i1, R1, ze=0, pR=0 (rezervorul este deschis, la suprafaa liber a apeipresiunea fiind egal cu presiunea atmosferic) i componenta cinetic la suprafaaliber neglijabil, rezult:

189,4181,92

592,1

4,0

180002785,025

g2

v

d

lz

g

p 22

ee

m

Atunci 946,292189,4181,9725 ep kPa.


65/210


c).Cele trei seciuni remarcabile prezint urmtoarele valori ale energiei specificepoteniale:

931,2zg

pi

i

m; 189,42zg

pe

e

m; 25g

pR

m

Linia piezometric este reprezentat n figura 3.9.1.

Fig. 3.9.1

3.10.S se determine energiile specifice de presiune n cele dou conducte ceunesc rezervorul A cu rezervorul B, n seciunea contractat C (fig. 3.10). Se cunosc:H1=27 m, H2=20 m, H3=18 m. Dimensiunile conductei ce ias din rezervorul A suntd1=200 mm, l1=20 m, 1=0,02 iar a conductei ce intr n B, d2=100 mm, l2=10 m,2=0,015. Coeficientul de pierdere local pentru un cot de 90

0 este c=0,5 iar pentrucontracia brusc con=0,75.


66/210


67/210


Se scrie acum ecuaia de transfer ntre seciunile A i B:

B

A

p

2

BBBB

2

AAAA h

g2

v

g

pz

g2

v

g

pz .

Deoarece la suprafeele libere ale rezervoarelor energiile specifice cinetice suntneglijabile, iar cele de presiune sunt egale, rezult:

g2v

g2v2

g2v2

g2v

dl

g2v

dlHH

2

C2con

2

C2c

2

C1c

2

C2

2

22

2

C1

1

1121

nlocuind pe v2C, rezult:

g2

v

d

d

d

d22

d

d

l

d

l

dHH

2

C1

4

2

1con

4

2

1cc

4

2

1

2

22

1

1121

4

2

1con

4

2

1cc

4

2

1

2

22

1

11

21C1

d

d

d

d22

d

d

l

d

l

d

HHg2v

580,1

1675,01615,02161,0

10015,0

2,0

2002,0

202781,92v C1

m/s.

320,64vv C1C2 m/s. Revenim n ecuaia (*):

688,85,022,0

2002,0108053,01827

g

p C1

m

Din ecuaia de transfer a energiei mecanice ntre C i B rezult:


68/210


g2

v

g2

v2

g2

v

d

l

g2

v

g

pz

g2

v

g

pz

2

C2con

2

C2c

2

C2

2

22

2

BBBB

2

C2CC2C

12d

l

g2

vHH

12d

l

g2

vzz

g

p

conc

2

22

2

C232

conc

2

22

2

C2CB

C2

580,6175,05,021,0

10015,0

81,92

32,61820

g

p 2C2

m.

Aadar, energiile specifice de presiune sunt:g

p C1

=8,688 m i

g

p C2

=6,580 m.

3.3.2Probleme propuse spre rezolvare3.11. S se determine natura regimului de curgere ntr-o conduct avnd

diametrul d=50 mm, pentru un debit Q=2,309 l/s dea). ap la 150C (=1,14510-6m2/s)b). ulei avnd vscozitatea cinematic =410-5m2/s.

R: a). Re=51352; b). Re=1470.

3.12. S se dimensioneze conducta prin care trebuie transportat 25 l/scombustibil lichid avnd vscozitatea cinematic =110-4 m2/s, cunoscnd cderea desarcin pe lungimea de 1 km ca fiind de 25 m. Se consider curgerea laminar.

R: d=20 mm.

3.13. Ct trebuie s fie vscozitatea absolut a uleiului care are densitatea de860 kg/m3, este pompat printr-o conduat orizonzal lung de 250 m, i diametru d=50mm astfel nct prin conduct s curg laminar un debit Q=1,25 l/s. Cderea de presiunepe conduct este de 21 kPa.

R: =1,0310-2Pas


69/210


70/210


3.16 Apa curge printr-o conduct nou de oel, avnd diametrul d=150 mm irugozitatea k=0,06 mm (fig. 3.16). La capetele conductei s-au montat dou manometrecare indic presiunile p1=8,65 kgf/cm

2i respectiv p2=3,4 bar. S se determine debitulde ap ce trece prin conduct, tiind c apa are o temperatur de 65oC.

Fig. .3.16R: Q=40,94 l/s.

3.17. Printr-o conduct de oel, fig.3.17, avnd d=65 mm se transport, la

presiune constant, un debit Q=15 l/s de ap la 15oC. S se afle ct de mult coboarconducta pe o lungime l=200 m. Se cunosc rugozitatea conductei k=0,5 mm ivscozitatea cinematic a apei =1,1410-6m2/s.

Fig. 3.17

R: 2,111zz 21 m


71/210


3.18. Apa curge din rezervorul A n rezervorul B prin dou conducte avnddimensiunile d1=200 mm, l1=50 m i d2=100 mm, l2=25 m, ca n fig. 3.18. Punctul C alconductei n sifon se afl la h=800 mm fa de cota suprfeei libere a rezervorului A.Cunoscnd c pierderea datorat contraciei la modificarea diametrului este de 75 mmi H=6 m; =1,0110-6m2/s; k1=0,5 mm; k2=0,1 mm s se determine:a). Debitul de ap;b). Energia specific de presiune n punctul C aflat la l=25 m fa de rezervor.

Fig. 3.18

R: a). Q=33,5 l/s; b). Esp=0,556 m.

3.19. O pomp asigur transportul la 0,1 m3/s de ap din bazinul A n

rezervorul B (figura 3.19). n seciunea deaspiraie a pompei, de diametru da=250 mm,un manometru indic presiunea pMV=-0,12 kgf/cm2, iar n cea de refulare, manometrul

arat o presiune pM=5,75 bar. tiind c diametrul conductei de refulare este dr=125mm, pe o lungime de conduct de l1=15 m, iar apoi are loc o destindere brusc, lad2=250 mm, ntr-o conduct lung de l2=60 m, ce d n rezervorul B, s se determinepresiunea pB la suprafaa liber a apei din rezervor. Se dau 1=0,03 i 2=0,02 iarcoeficientul de pierdere pe ventil v=1. S se traseze linia piezometric i liniaenergetic.


72/210


73/210

CAPITOLUL 4

REELE DE CONDUCTE

NOTAII I SEMNIFICAII FIZICEp -presiunea, n N/m2

pat= 101325N/m2-presiunea atmosferic

- densitatea mediului lichid, n kg/m3g = 9,80665 m/s2- acceleraia gravitaional

vviteza fluidului n conduct, nm/s- coeficentul pierderilor longitudinale uniform distribuite

- coefcientul pirderilor localed, D- diametrul interior al unei conducte sau rezervor, n mL, llungimea, n mHnalimea, n mz - cota geodezic, n mQdebitul de fluid, n m3Mmodulul de rezisten al conductei, n s2m-5

4.1 Introducere

Reelele de conducte sunt sisteme hidraulice des ntlnite n practic. Ele suntutilizate n foarte multe domenii: reele de alimentare cu ap, transportul fluidelor deorice fel, etc. n funcie de aplicaia practic, reelele de conducte pot fi complexe icalculul corect al acestora este deosebit de important. n acest capitol se vor prezentametodele de calcul ale reelelor de conducte.

4.2 Noiuni teoretice

Pentru determinarea debitului Q ce trece printr-un sistem de conducte sau asarcinii H, se aplic ecuaia transferului energiei mecanice care, ntre seciunileextreme ale sistemului iintrare i e ieire, are forma:

unde:g2

v2

= energia specific cinetic

presiuniidatoratapot entialaspecificaenergiag

pi

pozitieidatoratapotentialaspecificaenergiazi

eiee

2

eei

i

2

ii hpzg

p

g2

vz

g

p

g2

v


74/210

Noiuni teoretice si probleme de hidrodinamic78

Pierderile hidraulice sunt de dou tipuri:

Pierderi hidraulice localeapar n coturi, vane, variaii brute de seciune,

etc, i au expresia:

- coeficient de pierdere corespunztor rezistenei localevviteza fluidului prin conductg = 9,81 m/s2acceleraia gravitaional

Pierderi hidraulice longitudinale sau distribuite apar datorit frecrilor de-alungul conductei i au forma:

- coeficient de pierderi longitudinalellungimea conducteiddiametrul conductei

La calculul reelelor de conducte se consider c avem conducte lungi, decipierderile hidraulice locale sunt neglijabile n raport cu cele longitudinale.

n cazul conductelor lungi pierderile hidraulice se pot exprima sub forma:

Unde M este modulul de rezisten al conductei, exprimat prin:

Conducte legate n serieAplicnd ecuaia transferului energiei, sarcina H poate fi exprimat sub forma:

iesiresiintrareintrehidraulicepierderilehp ei

g2

2vhploc

g2

v

d

lhp

2

long

22

long MQg2

v

d

lhp

gd

8

d

lM

42

n21 hp....hphpH


75/210


76/210


Fig. 4.1

REZOLVAREAplicnd ecuaia transferului energiei mecanice ntre suprafaa liber a apei din

rezervorul A i suprafaa liber a apei din rezervorul B, se obine:

BABB

2BB

AA

2AA hpz

g

pg2

vzg

pg2

v

Hzz;ppp;0v v1; BAatmBABABA

BAhpH

2

3

2

2

2

1 QMQMQMH

gd

8

d

LM

4

1

21

111

gd

8

d

LM

4

2

22

222


77/210

4 - Reele de conducte 81

H=47,67 m

4.2S se calculeze debitul sistemului de conducte din fig. 4.2, cunoscnd: pentru conducta AB: L=2400 m, d=150 mm,=0,03 pentru conducta B1C: L1=1500 m, d1=100 mm,1=0,02 pentru conducta B2C: L2=2100 m, d2=50 mm,2=0,04 pentru conducta CD: L3=900 m, d3=100 mm,3=0,02 sarcina H=30 m.

Fig.4. 2

REZOLVARE

Sarcina H n cazul sistemului de conducte din fig. 4. 2 poate fi calculat curelaia:

22

321 QMQ)MMM(H

gd

8

d

LM

4

3

231

333

g2

vQMQMQMH

2

D2

CD

2

BC

2

AB


78/210


Pe tronsonul BC este valabil relaia:

Q=0,00787 m3/s

C2BC1BBC M

1

M

1

M

1

gd

8

d

LM

42AB

gd

8

d

LM

4

1

21

11B1C

gd

8

d

LM

4

2

22

22B2C

gd

8dLM 4

3

23

33CD

222BCBCC2BC2BC1BC1B QMQMQM

QQQQQQ CDABBCC2BC1B

C2BC1B

C2BC1B

BC MM

MM

M

1

2

C2BC1B

C2BC1B

BCMM

MMM

2

CD

Dd

Q4v

CDBCAB MMM

HQ


79/210

4 - Reele de conducte 83

4.3 Un rezervorul deschis alimenteaz sistemul de conducte din fig. 4.3. Secunosc diametrele: D1=300 mm, D2=250 mm, D3=400

Probleme Hidrodinamica

Documents

Transcript of Probleme Hidrodinamica