LUCIAN DRAGOMIR

ADRIANA DRAGOMIR ovrDru sAorscu

PROBLEME DE MATEMATICAPENTRU

CLASA a X-a

Edilia a V-a

Cuprins

Prefo1d....... ..'.....5

Capitolul I. Numere reale.......... ...........7

1.1. Puteri gi radicali.... ..'...................'...7

1.2. Logaritmi.................. ..................'.20

1.3. Probleme de matematici aplicat[ ....................26

1.4. Teste de evaluare. .........'...............31

Capitolul II. Numere complexe .......'..342.1. Numere complexe sub formi algebric6..... ......34

2.2. Aplicalii in geometria plan[........ ............'........43

2.3. Forma trigonometrici a unui numdr complex, operatii, ecuafii, aplica{ii.............'.....48

2.4. Teste de evaluare. .........................54

Capitolul III. Funcfii gi ecuafii ...........56

3.1. Func(ii injective, surjective, bijective...... .....".563.2. Funclia putere, funcfia radical, ecuafii......... .......................'63

3.3. Funcfia exponen(ial[, func(ia logaritmicI, ecuafii gi inecua(ii.. .............'66

3.4. Funcfii trigonometrice, ecua(ii.. .......................75

3.5. Probleme de matematic[ aplicattr ....................82

3.6. Teste de evaluare. ."......................87

Capitotul IV. Metode de numtrrare................. ......90

4.1. Induc[ie matematic[, probleme simple de num[rare ..........90

4.2. Elemente de combinatoric6................ ..'.'.........964.3. Binomul lui Newton ...................101

4.4. Probleme de matematici aplicat[ .................'1064.5. Teste de evaluare. .......................108

Capitolul V. Matematici financiare ....................{............. ....' I l05.1. Procente, dobtnzi, T.V.A......... ......................1l0

5.2. Elemente de statistic5, probabili6{i, variabile aleatoare.. ........'............1l4

5.3. Elemente de calcul probabilistic ....................119

5.4. Probleme de matematic[ aplicat6 ................127

5.5. Teste de evaluare. .......................130

Capitolul VI. Geometrie.............. ......1326.1 . Reper cartezian in plan, distante, calcul vectorial ................. ................132

6.2. Ecua(ii ale dreptei, paralelism, perpendicularitate............ ....................136

6.3. Calcule de distanfe qi arii.......... .....................1446.4. Probleme de matematici aplicatil. .................147

6.5. Teste de evaluare. .......................148

Capitolul VII. Modele de teSte... .......1507.1. Lucriri scrise semestriale........... ......".............1S07.2.Teste de pregltire pentru Concursul de matematic[ aplicatii ,,Adolf Haimovici"...l587.3. Teste de pregltire pentru Olimpiada na{ional[ de matematic[.................................163

Solufii........ . ........ .:.....................170

Capitolul II. Numere complexe ........1g0Capitolul III. Funcfii gi ecua{ii..... ,....192

Capitolul V. Matematici financiare ...............,......225Capitolul VI. Geometrie.................. ......................233Capitolul VII. Modele de teste....... .......................2A

CAPITOLUL I. NUMERE REATE

1.1. Puteri gi radicali

Breviar teoretic

o Ridicarea la putere naturaltr a numerelor reale

DacL aeIR* gi n eN*,atunci an =g.a....,4,iar a0 =lz fhctori

(chestiuni cunoscute de fapt din clasele anterioare)

o Puteri cu exponentintreg: "-' =i, celR*,n e N*.

o Puteri cu exponent rafional:

Dacd a>0,r =L,meZ,neN*,n 2 2, atunci o' -- o* =<17.n

r Propriettrfi ale puterilor cu exponent rafional: Dacd a,b € IR**,x,y e Q, atunci:

l) ax 'ar =a**!

2l {=ox-Y'ay

,t (r')' =a*'lr Propriettrfi ale radicalilor:

Dacd a,be IR, iar r,t e(2N+l) sau a,b e(O,+a) gi t,n e N, atunci:

$ (a'b)- =a*'b*

,(;).=*

6) ao =1.

4) <l; =n*F, {G =n*li

q 4l; <4,fi e a <b

D (lv =oz\ 4l7o =G.<lE

, fb=ff,u*o

Exercilii Si probleme de consolidare

l. Stabiliti, in fiecare dintre cazurile urmitoare, care dintre numerele a, b Si c este celmai mic qi care este cel mai mare.

a) a=85,6= 410,c=320; d) a=920,b=260,c=540;

b) a=(i)',r=(i)',c=l; e,"=(-1)',r=(j)',"=(-1)',

c) a =310 ,b =220 ,c =8a .96 ; f) a =36 ,b =164 ,c -- 512 .

7

2. Pentru orice mullime finit6 l se noteazi cu m(A)Si M(A) cel mai mic, respectiv celmai mare element al mullimii l. Determinali m(A)Si M(A) pentru fiecare dintremullimile de mai jos:

a) A={t2,t03,+o} ; d) A={3.s2,t.32,s.23\;

b) A={ra,z3,to2} ; e1 t={f ,ze,s6l;

c)A={( +)'{+),,(-il}; D'={(;).,(+).,(;)'}

3. Determinafi, in fiecare dintre urmitoarele cazuri, numirul intreg /r pentru care a:2k:

a) a=32; U) a=|; c) a=0,25; d) a=0,125: e) o=fi; f) a--O,O6ZS.

4. Determina[i, in fiecare dintre urm[toarele cazuri, numIrul intregm pentru care b = 5*:

a) b=125; c) b=625; e) U=#,I

b) b= U; d) D=0,008; f) b=3125.

5. Dac[ x gi y sunt numere rafionale nenule, atunci, pentru un numlr intreg n, se noteazd

An(x,y) = xn . !-n. Stabilifi care dintre urmitoarele numere sunt intregi:

a\t(t,z); c)A3(2,4); er^(;,ri)t

at er(+,|); d) A2(sJ); D ,43(s,4).

6. Pentru orice mullime finiti l/ se noteazd cu m(H)Si M(H) cel mai mic, respectiv

cel mai mare element al mullimii H. Determinali m(H) qi M(H) pentru fiecaredintre mullimile de mai jos:

a) H ={t,;,*, ,i} ; d) H =iri,r;i ,-zr,-t}},b) F/ = {t-t)' ,(-4)2,(-3)2,(-l)'} ; e) u ={zto ,a6,e3,87};

c)H={-i,+,-+,,.+}; o r={i,-+,;,,-i}B

9.

Determinafi numerele intregi a gi D pentru care 2o '* = * .144

Determina(i cea mai mare gi cea mai mictr valoare a expresiei:

E(m,n)=(-l)* +2.(-l)'+t +3.(-t)'*', unde z,n e N.

Determinafi numerele reale x gi y pentru care urmltoarele expresii au valoare minimlgi indica{i, in fiecare caz, aceasti valoare extrem6:

a) E=t2 +y2 -4x+6y+14;b) E= x2 +2y2 +2x+4y+5;

c)E=Jffi*r{14a,10. Alex trebuie s[ studieze care dintre elementele mullimii:

| _ | .

-l,r =

{Jz8 ,{/su,t/+'u,i/-},$"00, ,llzt'

} 'unt ra[ionale.

R6zvan trebuie si faci acelagi efort pentru mullimea:.-R =

tJ3',1l s',112",i/-fi ,fi"00,,{ o+'z

l.Putefi s[ ii ajutafi?

11. Determinafi, in fiecare caz, mullimea valorilor reale ale lui x pentru care au sens

(sunt bine definite) urm[toarele expresii:

il Jzx-t;U $-2x +illa*-s ;

c) rElT+ lm+*hn. X[lall16-z;al4lzl *tr*q; x2 +2x-r +.ffi.

12. Alex gi Rlzvan particip[ la un duel matematic (de genul celor din epoca Renagterii).Fiecare are de rezolvat urmitoarele 6 probleme, toate cu acelaqi enunt: Comparafinumerele x $i .y in fiecare caz (fal inseamnl partea intreagi a numirului real a).Evident, cdqtigi cel care rezolv[ corect mai multe probleme. Voi suntefi juriul (pentru

asta trebuie si rezolvafi gi voi problemele...).

a)x=[ffi] $i.y=[ffi], d) x=JI 9l y=S;

b) x=Ulr*)ei y={@; e)x=t.E] $iy=[ffi]'l+2+3+...+89

d) E =2* +3Y +2-* +3-Y;e\ E=(l+x)(l+y),daci x,!>0 $i ry=4;

f) E=12 +y2,dacd x+y=1.

e)

0

9

c) x=89

$i.),=[.,Eo-12]; o,=[m] li r=[Vio]