Problemas y conceptos complementarios

Problemas y conceptos complementarios

Clase 1


• El producto vectorial es una operación entre vectores, en la cual el resultado es un vector perpendicular a los vectores operados y cuya magnitud se encuentra establecida por:

• Magnitud del producto vectorial de dos vectores


• En donde es el Angulo formado por los dos vectores en el espacio.

• La dirección y el sentido del producto vectorial se definen de acuerdo con la ley de la mano derecha: se extienden los dedos de la mano derecha hacia el primer operando y luego se cierrabn hacia el segundo, el pulgar de la mano queda dirigido en el sentido del producto vectorial como se muestra en la siguiente figura.


• Esta ley, presupone, entonces, que el producto vectorial no cumple la propiedad conmutativa, por lo menos en lo que a dirección y sentido se refiere.

• Sin embargo la figura anterior cumple con la propiedad:

• Anti conmutativa del producto vectorial


• Hay varias propiedades que se pueden deducir a partir de la ecuación considerando casos especiales:

• El producto vectorial de un vector por si mismo es nulo


• La magnitud del producto vectorial de dos vectores perpendiculares entre si es igual al producto de sus magnitudes.

• El producto vectorial dos vectores paralelos entre si es nulo


• A partir de estas propiedades, se puede inferir que el producto vectorial entre los vectores directores del sistema cartesiano es nulo para dos vectores diferentes, y es igual a la unidad para el caso del mismo vector, quedando por definir la dirección de acuerdo a la mano derecha.


𝑎𝑥×𝑎𝑥=𝑎𝑦×𝑎𝑦=𝑎 𝑧×𝑎𝑧=0


• •


• El producto vectorial, al igual que el producto escalar, cumple la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.


• Ejemplo 1

• Aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial en coordenadas cartesianas.

• Calcule el producto vectorial dados los vectores

•


• Solucion

• El problema se puede resolver aplicando la propiedad distributiva:

• Se aplica la propiedad distributiva


• Solucion

• Se anulan las componentes nulas y se obtiene:• Se puede obtener una ecuación para el producto vectorial a

través de las componentes rectangulares de los mismos a partir de la propiedad distributiva:


• Solucion

•


• Solucion

• Aplicando la propiedad distributiva y eliminando los componentes nulos queda:


• Solucion

• Producto vectorial en función de los componentes rectangulares• Esta ecuación resulta un poco difícil de aprender, por lo que suele abreviarse en una forma matricial usando la siguiente determinante:


• El cual arroja el mismo calculo


Ejemplo 2Calculo del producto vectorial entre dos vectores a través del determinante.Calcule el producto vectorial de


Solución

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