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Problemas y PreguntasProblemas y Preguntas

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Ejemplo 1

3

¿Cuál es el período del péndulo?

• El período medido de un péndulo es de 3.0s en el marco en reposo del péndulo.

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• ¿ Cuál es el período cuando se mide por un observador que se mueve a una velocidad de 0.95c respecto del

péndulo?

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Solución

• Si en lugar del observador moviéndose a 0.95c, consideramos que el observador esta en reposo y que es el péndulo el que se mueve a 0.95c pasando por el lado del observador estacionario. De la ecuación T = γ T1

6

Fórmula

7

Esto demuestra que un péndulo en movimiento se tarda más para completar un período comparado con un péndulo en reposo.

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Ejemplo 2

9

Repaso de la simultaneidad y de la dilatación del tiempo

• Emplee las ecuaciones de transformación de Lorentz en forma de diferencia para mostrar que:

a) La simultaneidad no es un concepto

absoluto.

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Solución• a) Suponga que dos eventos son simultáneos de

acuerdo con un observador en movimiento en O1, por lo que ∆t1 = 0. De las expresiones para ∆t dadas en la ecuación ∆t = γ (∆t1 + v ∆x1),

c2

vemos que en este caso ∆t = γ (o + v ∆x1) ≠ 0. c2

• Es decir, el intérvalo de tiempo para los mismos dos eventos según mide un observador en O no es cero, y por ello, no parecen ser simultáneos en O.

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b) Los relojes en movimiento funcionan más lentamente que los relojes estacionarios.

• Suponga que un observador en O1 encuentra que los dos eventos ocurren en el mismo lugar (∆x1 = 0), pero en tiempos diferentes (∆t1 ≠ 0). En este caso, la expresión para ∆t dada en la ecuación ∆t = γ (∆t1 + v ∆x1), se

c2

convierte en ∆t = y∆t1.

• Esta es la ecuación para la dilatación del tiempo es el tiempo propio medido por un solo reloj localizado en O1.

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Ejemplo 3

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Velocidad relativa de naves espaciales

• Dos naves espaciales A y B se mueven en direcciones opuestas como se muestra en la figura 1.

• Un observador en la Tierra mide 0.75c como la velocidad de A, y 0.85c como la velocidad de B.

14Figura 1

•Determine la velocidad de B respecto a A.

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Solución:

• Este problema puede resolverse considerando el marco S1 como si estuviera unido a A, de modo que v = 0.75c relativa al observador en la Tierra (el marco S). La nave espacial B puede considerarse como un objeto que se mueve con una velocidad ux = -0.85c relativa al

observador terrestre.

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• Por lo tanto, la velocidad de B respecto de A pude obtenerse empleando la ecuación 39.14:

u1x = ux – v = . -0.85c – 0.75c = -0.980c

1 – ux v 1 - -0.85c – 0.75c

c2 c2

 

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El signo negativo indica que la nave espacial B se mueve en la dirección negativa x según se observa en A.

Observe que el resultado es menor que c.

Esto significa que un cuerpo cuya velocidad es menor que c en un marco de referencia debe tener una velocidad menor que c en otro marco.

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(Si la transformación de velocidades galileana se utilizara en este ejemplo, encontraríamos que u1

x = ux – v = -0.85c – 0.75c = -1.60c, lo cual es mayor que c.

La transformación galileana no funciona en situaciones relativistas.)

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Ejemplo 4

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El Motociclista veloz

• Imagine un motociclista que se mueve con una velocidad de 0.80c y que pasa al lado de un observador estacionario, como se muestra en la figura 2.

• Si el motociclista lanza una pelota hacia delante con la velocidad de 0.70c relativa a sí mismo.

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Figura 2

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a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota Cuál es la velocidad de la pelota según el observador estacionario?según el observador estacionario?

b) Suponga que el motociclista activa un haz de luz que se aleja de él hacia delante con una velocidad c.

¿Cuál es la velocidad de la luz para el ¿Cuál es la velocidad de la luz para el observador estacionario?observador estacionario?

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Solución:

• a) En esta situación, la velocidad del motociclista respecto del observador estacionario es v = 0.80c. La velocidad de la pelota en el marco de referencia del motociclista es 0.70c. Por tanto, la velocidad, ux, de la pelota relativa al

observador estacionario es:

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ux = . ux1 + v . = . 0.70c + 0.80c . = 0.96c

1 + u1x v 1 + (0.70c) (0.80c)

c2 c2

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Ejemplo 5

Mensajeros relativistas

26

Dos motociclistas mensajeros llamados David y Emilio corren velocidades relativas a lo largo de trayectorias

perpendiculares, como en la figura 3.

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• A) ¿Qué tan rápido se aleja Emilio del hombro derecho de David según éste último?

B) ¿Calcule la velocidad de retroceso clásica para Emilio según lo observa David empleando una transformación galileana?

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Solución (a )

La figura 2 representa la situación de acuerdo con un policía que se encuentra en reposo en el marco S, quien observa lo siguiente:

 

David: ux = 0.75 c uy = 0 

Emilio: ux = 0 uy = - 0.90c

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• Para obtener la velocidad de alejamiento de Emilio según David, consideramos S1 como si se moviera junto con David y calculamos u1

x y u1y,

para Emilio empleando las ecuaciones.

u1x = . ux - v . = . 0 - 0.75c= - 0.75c

1 – ux v 1 - (0) (0.75c)

c2 c2

30

Solución (b)

31

De este modo la velocidad de Emilio según lo observa David es:

32

• Lo que está en desacuerdo con la teoría de la relatividad, viola el postulado de que c es igual en cualquier marco de referencia.

33

Ejemplo 6

• La energía de un electrón rápido

34

• Un electrón se mueve con una velocidad u = 0.850c.

• Encuentre su energía total y su energía cinética en electrón volts. 

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Solución:

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Solución (b):

KE = ET – m0 c2

= (0.970 - 0.511) MeV

= 0.459 MeV

37

Ejemplo 7

• La energía de un protón rápido

38

La energía total de un protón es tres veces su energía en reposo.

a) Encuentre la energía en reposo del protón en electrón vols.

– ¿Con qué velocidad se mueve el protón?

b) Determine la energía cinética del protón en electrón volts.

– ¿Cuál es el momento del protón?

39

Solución (a):

Energía en reposo = m0 c2 = (1.67 x 10-27 Kg.)

(3.00 x 108 m / s2) 2

= (1.50 x 10-10 J) (1.00 eV / 1.60 x 10-19 J)

= 938 MeV

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b) Puesto que la energía total E es tres veces la energía

en reposo, E = γ mc2 produce:

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Solución (c )

c) K = E - mc2 = 3 mc2 – m0c2 = 2 mc2

 

Puesto que mc2 = 938 MeV

 

K = 1 876 MeV

42

 

Podemos usar la ecuación E2 = p2 c2 + (m0c2) 2para

calcular el momento con E - 3 mc2.

NOTA: Por conveniente la unidad de momento se escribe MeV c

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Ejemplo 8

Momento de un electrón

44

Un electrón que tiene una masa de Un electrón que tiene una masa de 9.11 x 109.11 x 10-31-31 kg kg

se mueve con una velocidad de se mueve con una velocidad de 0.75c. 0.75c.

• Encuentre su momento relativista y compárelo con el cálculo a partir de la expresión clásica.

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46

La contracción de una nave espacial

Ejemplo 9

47

• Se mide una nave espacial y se encuentra que tiene 120m de largo mientras esta en reposo respecto a un observador.

• Si esta nave espacial después es tripulada por el observador viaja a 0.95c.

• ¿Qué longitud mide el observador en reposo?

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Solución (a):

49

Solución (b):

• Respuesta L = 119. 40 m

• Demuestre que la respuesta es correcta.

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PREGUNTASPREGUNTAS

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1. ¿Cuáles dos mediciones de velocidad que hacen dos observadores en movimiento relativo siempre concuerdan?

52

2. Una nave espacial en forma de esfera es vista por un observador sobre la Tierra con una velocidad de 0.5c.

¿Qué forma ve el observador cuando pasa la Qué forma ve el observador cuando pasa la nave espacial?nave espacial?

53

3. Un astronauta se aleja de la Tierra a una velocidad cercana a la de la luz.

Si un observador sobre la Tierra mide el tamaño el pulso del astronauta,

¿qué cambios (si los hay) mediría el observador?

¿El astronauta mediría algunos cambios?

54

4. Dos relojes idénticos están sincronizados. Uno se pone en órbita dirigido hacía el este alrededor de la Tierra, mientras que el otro permanece en la misma.

¿Cuál reloj funciona más lentamente?

Cuando el reloj en movimiento regresa a la Tierra,

¿los dos siguen sincronizados?

55

5. Dos láseres situados sobre una nave espacial en movimiento se disparan simultáneamente.

Un observador sobre la nave espacial

afirma que vió los pulsos de luz de

manera simultánea.

• ¿Qué condición es necesaria de manera que Qué condición es necesaria de manera que concuerde un segundo observador?concuerde un segundo observador?

56

6. Cuando decimos que un reloj en movimiento funciona más lentamente que uno estacionario,

¿significa que hay algo físico inusual significa que hay algo físico inusual relacionado con el reloj en relacionado con el reloj en movimiento?movimiento?

57

7. Enliste algunas maneras en las que nuestra vida cotidiana cambiaría si la velocidad de la luz fuera de sólo 50 m/s.

58

8. Brinde un argumento físico que muestre que es imposible acelerar un objeto de masa m a la velocidad de luz, incluso con una fuerza continúa que actué sobre el.

59

Se dice que Einstein, en sus años de adolescente, hizo la pregunta:

9. “¿Qué vería en un espejo si lo llevara en mis manos y corriera a la velocidad de la luz?”

¿Cómo respondería usted a esta pregunta?

60

10. ¿Qué sucede con la densidad de un objeto cuando aumenta su velocidad?

Tome en cuenta que la densidad relativista es m/V = E/c2V.

61

11. Algunas de las estrellas distantes, Algunas de las estrellas distantes, llamadas quasares, se alejan de llamadas quasares, se alejan de

nosotros a la mitad (o más) de la nosotros a la mitad (o más) de la velocidad de la luz, velocidad de la luz,

¿Cuál es la velocidad de la luz que Cuál es la velocidad de la luz que recibimos de estos quasares?recibimos de estos quasares?

62

12. ¿Cómo es posible que los fotones de luz, los cuales tienen masa en reposo cero, tengan momento?

63

Respecto de marcos de referencia,

13. ¿Cómo difiere la relatividad general de la relatividad especial?